初三数学重难点专题：二次函数的综合专题(word答案版

⼆次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）⼆次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）⼀、⽬录⼀、⽬录 (1)⼆、基础知识点 (2)1.⼆次函数的概念 (2)2.⼆次函数y=的图像和性质 (2)3.⼆次函数y=a（）（）的性质 (4)4，⽤配⽅法求（） (6)5.⼆次函数图像性质总结 (7)6.⼆次函数解析式的求法 (7)7.⼆次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.⽤待定系数法求⼆次函数的解析式 (13)3.运⽤抛物线的对称性解题 (17)4.⽤⼆次函数解决最值问题 (18)5.⼆次函数的图像 (20)6.⼆次函数与应⽤问题 (21)⼆、基础知识点1.⼆次函数的概念形如y=（a≠0）的函数叫作⼆次函数。

注：①a、b、c为常数，且a≠0，即⼆次项必须有，⼀次项和常数项可以没有②⼆次函数为函数的⼀种，满⾜函数的所有性质。

即在定义域内，⾃变量x有且仅有唯⼀应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的⼆次函数的有：①y=；②y=（）（m为常数）；③y=（m为常数）；④y=答案：①是⼆次函数，⼆次项系数不为0；②不应定，当m=1时，⼆次项为0，则不是⼆次函数；③是⼆次函数，⼆次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是⼆次函数例2.已知y=（）是⼆次函数，求k的值。

答案：因为y=（）是⼆次函数所以解得：k=22.⼆次函数y=的图像和性质y=（a≠0，b=0，c=0，即⼀次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开⼝向上；a<0，开⼝向下③过原点（顶点），为最⼤值或最⼩值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤越⼤，开⼝越⼩，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三⾓形⾯积S与边长a的函数关系式。

答案：由等边三⾓形性质可知S=例2.根据抛物线y=（a≠0）的性质回答下列问题；（1）抛物线的开⼝向上，则a：（2）当x＜0时，抛物线y值随x的增⼤⽽减⼩，则a：（3）除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下⽅，则a：（4）当x＞0且a＜0时，则抛物线的y值随x的增⼤⽽：答案：（1）因为抛物线开⼝向上所以a＞0（2）因为当x＜0时，抛物线y值随x的增⼤⽽减⼩所以抛物线开⼝向上所以a＞0（3）因为除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下⽅。

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=，2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式；（2）如图，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE ＝S △CGO ，求点E 的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．3．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+．设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =3． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．4．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2．∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．5．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a （x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ． 【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4）， 当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4）， 又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2， ∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC 10，sin ∠ABC 310BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝3104610BE 210， ∴CE ＝3105， ∴tan ∠ACB ＝2AECE=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（34-，94）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为（32-，32）或（34-，94）． 【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P 1（1，）；②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（ ，），Q （2，），m ＝，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P 2（1，－4）．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为 ．（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，⎛⎫- ⎪⎝⎭、31122⎛-+ ⎝⎭，、31122⎛-- ⎝⎭，． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-x 232-x +2． 故答案为y 12=-x 232-x +2； （2）当y =0时，12-x 232-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）． 当x =0时，y =2，即C （0，2）．AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形； （3）y 12=-x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132+）2+n 2254=+n 2，CP 294=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论：①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解； ②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（32-，0）； ③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=211+，n 2=211-，P 2（32-，2112+），P 3（32-，2112-）． 综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（32-，0），（32-，211+），（32-，211-）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

中考数学二次函数的综合热点考点难点含详细答案一、二次函数1．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =，∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a -=-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线x =（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为2x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--.∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-， ∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴113222AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得1m =2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=，化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.2．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】 【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x 2+32x+2；（2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩，∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．3．已知点A （﹣1，2）、B （3，6）在抛物线y=ax 2+bx 上 (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ； (3)如图2，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM=2PM ，直接写出t 的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.4．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为2﹣，2；（3）M （13，﹣113）【解析】 【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34m 2﹣94m ﹣3），N（n ，34n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，即可求M ；【详解】（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3），∴a ＝34， ∴y ＝34x 2﹣94x ﹣3，与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴403k b b +=⎧⎨=-⎩，∴343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y ＝34x ﹣3； 过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ， 设H （x ，34x ﹣3），D （x ，34x 2﹣94x ﹣3），∴DH ＝|34x 2﹣3x |， ∵S △ABC ＝1155323⨯⨯=，∴S △DBC ＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OBMN BC,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝54（n﹣m）＝54（4﹣2m）＝5﹣52m，∴ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，∵﹣34＜0，∴当m＝13时，ME+MN有最大值，∴M（13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y ＝kx+2，求得k；（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD2122m+=②当DF＝BD 24522m m-+=，③当BF＝DF22145m m m+-+m＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，将B（2，0）代入，0＝a（2﹣1）2﹣1，∴a＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+， 联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x xBF ==DF ==①当BF ＝BD=m ＝∴F 坐标（11②当DF ＝BD=，m ＝∴F 坐标（1，1，2③当BF ＝DF，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（111，1，2﹣【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．7．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+5152-），P2（352-，1+52），P35+5，1+52），P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535-P3+515-35-1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35-1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数知识点汇总含二次函数-综合题一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，，，是常数，0叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO OB OA==3，∴OB＝3OA＝3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l2ba=-=-1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴13EM EF ODMP CF CO===，∴MP＝3ME．∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．3．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.4．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++； （2）t 的值为3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得2x =±∵x ﹥0，∴2x =+∴()28+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．5．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)， ∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，BC=2234+=5．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ，∴HB OC BG BC =，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ． 当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910．∴S △CBK =94． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ） =12×4•EK =2（﹣38m 2+32m ） =﹣34m 2+3m ． 即：﹣34m 2+3m=94． 解得 m 1=1，m 2=3． ∴K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．7．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6.(1)求a 的值；(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-.【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP =26，设出Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可【详解】(1)解：由题意得()()1y x x a =---由图知：0a ＜所以A (,0a )，()10B ,,()0,C a - ()()112ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍∴3a =-(2)由(1)得A (-3,0)，()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为：3yx AC 中点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴AC 的垂直平分线为：y x =-又∵AB 的垂直平分线为：1x =-∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1).(3)解：过点P 做PD ⊥x 轴由题意得：PD =d ，∴12ABP S PD AB ∆=⋅ =2d∵QPB ∆的面积为2d∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等∴AQ PB ∥设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B∴1y x =-∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),由题意及PAQ AQB ∠=∠易得：ABQ QPA ∆∆≌∴BQ =AP =26设Q (m ，-1)(0m ＜)∴()221126m -+= 4m =-∴Q ()4,1-.【点睛】本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式8．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或2或②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以，接着根据平行四边形的性质得到，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=2PQ=2×22=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41，m2=5-41，综上所述，P点的横坐标为4或5+41或5-41；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换10．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．。

二次函数的应用专题知识归纳二次函数的概念及解析式1．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的2、2函数，叫做二次函数．2、二次函数解析式的三种形式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ，h ，k 为常数，a ≠0)，顶点坐标是(h ，k)．(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0. 抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，顶点坐标为(h ，k)．2．保持y ＝ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k)处，二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，当y ＝0时，就变成了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标． 方法归纳 一、当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出，，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式. 二、当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大;当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式(为常数)配方，转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.例题精讲 例1、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①abc ＞0；②a =b ；③a =4c ﹣4；④方程21ax bx c ++=有两个相等的实数根，其中正确的结论是．（只填序号即可）．故答案为：③④．例2、已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是_____________． 答案为(1，4)例3、已知点A(4，y 1)，B( ，y 2)，C(－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是．答案为y 3>y 1>y 2.例4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②2a ＋b>0；③y 随x 的增大而增大；④a －b ＋c<0，其中正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：由二次函数的图象可知a<0，c>0，ac<0，故①错误；∵0<－<1，∴2a ＋b<0，故②错误；在对称轴左边y 随x 的增大而增大，在对称轴右边y 随x 的增大而减小，故③错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c<0，故④正确，故选D .专题练习1. 抛物线 (是常数)的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A2. 如图，直线y ＝－34 x ＋c 与x 轴交于(3，0)，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－32 x 2＋bx ＋c 经过点A ，B.求点B 的坐标和抛物线的解析式；∵直线y ＝－34 x ＋c 过点A(3，0)， ∴－34×3＋c ＝0，解得c ＝2，[来源:学科网] ∴直线AB 的解析式为y ＝－34 x ＋2， ∴B(0，2)．∵抛物线过点A(3，0)，B(0，2)，3. 将抛物线22x y =向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A.5)3(22--=x y B ．5)3(22++=x yC ．5)3(22+-=x yD ．5)3(22-+=x y答案：A4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( ) A.对称轴是直线，最小值是2 B.对称轴是直线，最大值是2 C.对称轴是直线，最小值是2 D.对称轴是直线，最大值是2 解析：，抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线当时，有最大值 2.故选B.5. 对于二次函数，下列说法正确的是( )[来源:] A.当时，随的增大而增大 B.当时，有最大值-3C.图象的顶点坐标为(-2, -7)D.图象与轴有两个交点。

二次函数一、选择题（共15题）1.将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A.B. C.D.2.抛物线的顶点坐标是（ ） A.（2，） B.（，3） C.（2，3） D.（，）3.已知A （﹣1，y 1），B y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣b （a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是______.A.y 1＜y 2＜y 3B.y 2＜y 3＜y 1C.y 3＜y 1＜y 2D.y 2＜y 1＜y 34.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ （A. y 1=B.22 y x (x 1)=-+C.21 y x 3x 12=-++D.21 y x 2x=+- 5.在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为()0,4，()3,4，若抛物线()223y a x =-+与线段MN 有且只有一个交点，则a 的值可以是（ ） A.16 B.12 C.1 D.326.抛物线2(1)(3)y x x =-+的对称轴是（ ）A.直线x=－1B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=37.如图，是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =，下列结论正确的是（ ）A.0abc >B.若1228,,,33y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y <C.420a b c ++<D.20a b +=8.二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，对称轴是直线x ＝﹣1.5，与x 轴的一个交点在(﹣4，0)和(﹣3，0)之间，有以下结论：（abc ＞0；（b 2﹣4ac ＞0；（3a ﹣b ＝0；（4b +3c ＜0.其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.49.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：（abc ＜0；（4ac ﹣b 2＜0；（9a ﹣3b+c ＝0；（a ﹣b≥m （am+b ）（m 为实数），其中错误结论的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知点（﹣2（y 1（（（（5.4（y 2（（（1.5（y 3）在抛物线y=2x 2（8x+m 2的图象上，则y 1（y 2（y 3大小关系是（ ）A.y 2（y 1（y 3B.y 2（y 3（y 1C.y 1（y 2（y 3D.y 3（y 2（y 111.已知抛物线()()()12121y x x x x x x =--+<，抛物线与x 轴交于(,0)m ，(,0)n 两点()m n <，则m ，n ，1x ，2x 的大小关系是（ ）A.12x m n x <<<B.12m x x n <<<C.12m x n x <<<D.12x m x n <<<12.已知抛物线2y ax bx c =++（0a >）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）A.只能是x=﹣1B.可能是y 轴C.在直线x=2的左侧D.在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧13.抛物线y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则下列结论：（abc（0（（3a+c=0（（当y（0时，﹣3（x（1（（b 2（4ac（（当y=3时，x 只能等于0.其中正确结论的个数为（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个14.已知二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）（abc（0（（a+c（0（（2a+b=0（（关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=（1（x 2=3（b 2（4acA.（（（B.（（（（C.（（（D.（（（15.如图，已知函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象与x 轴交于()1A x ,0及()2B x ,0两点，与y 轴交于点()C 0,3.5，对称轴为直线x 2=，且12x 1-<<-，则下列结论中错误的是( )A.4a b 0+=B.2b 4ac 0->C.方程2ax bx c 3++=有两个不相等的实数根D.26x 7<<二、综合题（共10题）16.二次函数y= 2ax +bx+c 的图象如图所示，其对称轴与x 轴交于点（-1（0），图象上有三个点分别为（2（1y （（（-3（ 2y （（（0（ 3y ），则 1y （ 2y （ 3y 的大小关系是________（用“（”“（”或“=”连接）.17.将二次函数2y x 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为______. 18.地物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当0y >时，x 的取值范围是______.19.已知函数245y x x =+-，当30x -≤≤时，此函数的最大值是____________，最小值是______________. 20.如图所示，设长方体底面是边长为xcm 的正方形，高为20cm ，这个长方体的表面积S =________，它是x 的________函数；这个长方体的体积V =________，它是x 的________函数.21.如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场ABCD ，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙MN ，墙MN 可利用的长度为24米，另外三边用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）. 若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边长AB 为多少米？该矩形养兔场ABCD 的面积有最大值吗？若有最大值，请求出面积最大时AB 的长度；若没有最大值，请说明理由.22.已知二次函数y=ax 2-4x+c 的图象过点(-1, 0)和点(2,-9).求该二次函数的解析式并写出其对称轴；已知点P(2 , -2),连结OP , 在x 轴上找一点M,使（OPM 是等腰三角形,请直接写出点M 的坐标(不写求解过程). 23.如图，直线y ＝﹣12x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点B ，并且顶点D 的坐标为（﹣2，﹣1）.（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB 的另一个交点为F ，点C 是线段BF 的中点，过点C 作BF 的垂线交抛物线于点P ，Q ，求线段PQ 的长度；（3）在（2）的条件下，点M 是直线AB 上一点，点N 是线段PQ 的中点，若PQ ＝2MN ，直接写出点M 的坐标.24.如图，已知一次函数122y x =+的图像与x 轴交于点A ，与二次函数的图像交于y 轴上的一点B ，另一交点为D ，二次函数图像的顶点C 在x 轴的正半轴上，且OC=2.（1）求二次函数的表达式；（2）设P 为x 轴上的一个动点，当PBD △为直角三角形，且Rt PBD 面积最小时，求点P 的坐标；（3）当02x ≤≤时，抛物线的一段BC 上是否存在一点Q ，使点Q 到直线AD 求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.25.如图，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE OF=.（1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）（2）若矩形ABCD的周长为20，求四边形AEDF的面积的最大值；=，且存在点E，使四边形AEDF能成为一个矩形，求BC的取值范围.（3）若AB m参考答案1.A2.D3.A4.C5.B6.A7.D8.D9.A10.A11.A12.D13.C14.B15.D16.3y ＜2y ＜1y .17.()212y x =++18.1x <-或3x >19.-5 -920.2280x x + 二次 220x 二次21.（1）15米 （2）有，1322.(1) y=x 2-4x -5，x=2;（2）M 1（4，0）；M 2（-0）M 3（0）；M 4（2，0）. 23.（1）y ＝12x 2+2x +1；（2）；（3）M （52，﹣14）或（﹣152，194） 24.（1）21222y x x =-+；（2）(1,0)P ；（3）存在，Q25.（1）当点E 运动到BC 的中点时，四边形AEDF 是菱形；（2）25；（3）BC ≥2m。

1 / 20 绝密★启用前2015-2016学年度二次函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图像如图所示，其对称轴为x =1，有如下结论：① c ＜1 ②2a +b =0 ③2b ＜4a c ④若方程02=++c bx ax 的两个根为1x ，2x ，则1x +2x =2.则结论正确的是【 】A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A．1<x<5- B ．x>5 C ．x<1-且x>5 D ．x ＜－1或x ＞53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）.4．在同一平面直角坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是（ ）5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（0，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④ 6．若函数y=mx ²+（m+2）x+12m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ）A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－27．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图，有下列5个结论：①abc ＞0；②b＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m （am ＋b ）（m ≠1的实数）其中正确的结论个数有（ ）-1O x =1y xA 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8．已知抛物线2(41)21y x m x m =-++-与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点（0，12-）的下方，那么m 的取值范围是（ ）A ．1164m << B ．16m < C ．14m > D ．全体实数3 / 209．在同一坐标系中，函数2y ax b =+与2y bx ax =+的图象，只可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k 和函数y=﹣kx 2+4x+4（k 是常数，且k ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下，则a 的值为（ ）AB． C ．1 D12．抛物线222y x x =-＋-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ）A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位13．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，其对称轴为直线x =−1，给出下列结果：（1）b 2>4ac ；（2）abc ＞0；（3）2a +b =0；（4）a +b +c >0；（5）a −b +c <0．则正确的结论是（ ）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（4）（5）二、填空题（题型注释）14．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a >）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b+c的值为．15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②248b ac a ->-；③4a+c ＜0；④2a －b+l ﹤0．其中正确的结论是（填写序号） ．16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a-b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是______．A ．②③B ．①②C ．③④D ．①④5 / 2017． 抛物线a bx ax y 32-+=经过A （1-，0）、C （0，3-）两点，与x 轴交于另一点B 。

二次函数的综合专题知识归纳二次函数与一元二次方程的关系两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.方法归纳1、当数学问题中的条件、结论不明确或题目中含参数或图形不确定是时，需要进行分类讨论。

分类讨论要按统一标准，做到不重复不遗漏。

2、对于两个函数交点的问题，一般要转化为方程来求解，因为两个函数图象交点的坐标一定适合两个函数解析式，只有将点的坐标代入函数解析式再利用等量代换转化为一元二次方程求解即可3、解是否存在某点问题时，一般先假设符合条件的点存在，并列出解析式，如果能求出结果，则点存在，反之则不存在。

4、利用二次函数解决实际问题时，一般要先通过分析已知的数量关系，确定二次函数的解析式，建立函数模型然后通过计算函数值或代入函数值得到关于自变量的方程求解得到实际问题的答案。

例题精讲例1、如图，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，并经过B （4，4）和C （6，0）两点，点D 的坐标为（4，0），连接AD ，BC ，点E 从点A 个单位长度的速度沿线段AD 向点D 运动，到达点D 后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC 运动，设点E 的运动时间为t 秒，过点E 作AB 的垂线EF 交直线AB 于点F ，以线段EF 为斜边向右作等腰直角△EFG ． （1）求抛物线的解析式；（2）当点G 落在第一象限内的抛物线上时，求出t 的值；（3）设点E 从点A 出发时，点E ，F ，G 都与点A 重合，点E 在运动过程中，当△BCG 的面积为4时，直接写出相应的t 值，并直接写出点G 从出发到此时所经过的路径长．解析：（1）214433y x x =-++（2）如图1，由题意得：AE t ，∵A （0，4），B （4，4），∴AB ⊥y 轴，且AB ∥x 轴，∵OA =OD =4，∴△AOD 是等腰直角三角形，∴∠ADO =∠BAD =45°，∴△AFE 是等腰直角三角形，∴AF =EF =t ，∵△EFG 是等腰直角三角形，∴G （t +12t ，4﹣12t ），即：点G （32t ，4﹣12t ），将点G （32t ，4﹣12t ）代入到抛物线得： 4﹣12t =21343()43232t t -+⨯+，解得：t 1=0（舍），t 2=103． 答：当t =103时，点G 落在抛物线上；（3）如图2，连接BD ，当G 在BD 上时，32t =4，t =83，分三种情况讨论：①当0≤t ≤83时，如图3，过G 作GH ⊥x 轴于H ，延长HG 交AB 于M ，则GM ⊥AB ，∵B （4，4），D （4，0），∴BD ⊥x 轴，∴S △BCG =S 梯形GHDB +S △BDC ﹣S △GHC ，4=12（4﹣12t +4）（4﹣32t ）+12×4×（6﹣4）﹣12（6﹣32t ）（4﹣12t ），4=52t ，解得：t =85，∴AM =32t =32×85=125，GM =12t =12×85=45，在Rt △AGM 中，由勾股定理得：AG ，∴当t =85时，此时点G ；②当G 在BC 上时，如图4，tan ∠C =42BD GH DC HC ===2，∴GH =2HC ，∴4﹣12t =2（6﹣32t ），t =165，当83＜t ≤165时，如图5，S △BCG =S △BDC ﹣S 梯形BDHG ﹣S △GHC ，4=12×4×2﹣12（4﹣12t +4）（32t ﹣4）﹣12×（4-12t ）（6-32t ），t =85（不在此范围内，不符合题意）；③当E 与D 重合时，F 与B 重合，如图6，t =4，∴G （6，2），∴AG ，∴S △BCG =S 梯形BDCG ﹣S △BDC =12×2×（4+2）﹣12×2×4=2，∴当t ＞4时，如图7，由题意得：DE =t ﹣4，∴OE =t ﹣4+4=t ，∴OH =OE +EH =t +2，EH =2，GM =GH =2，BM =t +2﹣4=t ﹣2，CH =t +2﹣6=t ﹣4，过G 作MH ⊥x 轴，交x 轴于H ，交直线AB 于M ，∴S △BGC =S梯形BCHM﹣S △BGM ﹣S △GCH ，4=12（t ﹣4+t ﹣2）×4﹣12×2×（t ﹣2）﹣12×2×（t ﹣4），t =5，当t =5时，点G 的运动路径分为两部分组成：i ）点G 从A 运动到D 时，运动路径为：如图6中的AG 长，即为；ii ）点G 从D 点继续在射线DC 上运动1秒时，路径为1；所以当t =5时，此时点G 运动的路径长度为1+.科.网综上所述：当t 1=85，当t 2=5秒，此时路径长度为1+．例2、二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y =ax +c 的图象不经第四象限C ．m （am +b ）+b ＜a （m 是任意实数）D ．3b +2c ＞0 答案：D例3、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线2t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m . 其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B 专题练习 1. 一次函数与二次函数的图象大致是( )。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x 2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=，解得：1 {2 ab=-=∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；(2) 如图1，∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴∴P点的坐标为(t，－t+3)，Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |∴223(03) {3(3)d t t td t t t=-+<<=->；∵d，e是y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 1，x 2=1综上：t 值为1，M 点坐标为，2)和(1，2).3．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线2x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，∴232a -=⨯-12a =， ∴抛物线的解析式为2122y x x =-，∵21222b x a =-=-=⨯∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--. ∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅= 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)22m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(2111133322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-- ⎪ ⎪⎭⎝213222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简整理得2180m -=，解得1m =2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-，∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．5．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣ =； （4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=x+b ，∵P 的坐标为（2，4），∴4=×2+b ，解得b=3，∴直线PM 的解析式为y=x+3． 由，解得，， ∴点M 的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题6．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =++-；（2）存在，点(12)P ，；（3）存在，点M 坐标为(14)， 【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，），故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x ＝代入即求得点P 纵坐标．（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标．【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）∴可设交点式13y a x x +＝（）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝1a ∴＝﹣21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣∴抛物线解析式为223y x x ++＝-（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小．如图1，连接PB 、BC∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴＝PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小103003A B C （﹣，）、（，）、（，）AC BC ∴===PAC C AC CB ∆∴+＝设直线BC 解析式为3y kx +＝把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣∴直线BC ：3y x +＝﹣132P y ∴+＝﹣＝∴点12P （，）使PAC ∆的周长最小，最小值为1032+． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝．∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC∴当以PA 为底时，两三角形等高∴点C 和点M 到直线PA 距离相等∵M 在x 轴上方//CM PA ∴1012A P （﹣，），（，），设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩∴直线1AP y x +：＝∴直线CM 解析式为：3y x +＝2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为14（，）【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ．【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得 93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3），∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3），∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ．∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点，∴D 点坐标为（﹣1，4），又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC＝310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝2AE CE =， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2，∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y x y x =-⎧⎨=+⎩， 解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ，∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33 y xy x=-⎧⎨=+⎩，解得3494 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M点为（34-，94），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（32-，32）或（34-，94）．【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．如图，二次函数245y x x=-++图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数215y x=+的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是 ______；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P，Q，使得DPQ∆与DAB∆相似．①当275n=时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ∆与DAB∆相似，请直接写出n的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP=②92155n<<.【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DAC DPN ∆∆，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述95DP =； ②当PQ AB ∥，DB DP =时，35DB =，DP DN DA DC ∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．9．复习课中，教师给出关于x 的函数（k 是实数）. 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条： ①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断. 试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点. ∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k 是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为， 当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大. ∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4． 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=， ∴点C 的坐标为()0,3．点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD == 22220BC BD CD +==，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x t y x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132322x t y ⎧+=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，2232322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点M 的坐标为，点N 的坐标为，32)2t ++． 点A 的坐标为()1,0，(22223321057122t AM t t t ⎛⎫⎛⎫+-∴=-+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(22223321057122t AN t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2223332321882222t t MN t ⎛⎛-+++=-+-=+ ⎝⎭⎝⎭．AMN ∆为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=． 0t >，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．。

二次函数专题训练〔含答案〕一、填空题1.把抛物线y1x2向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个2单位，得抛物线.2 .函数y2x2x图象的对称轴是，最大值是.3 .正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是.4.二次函数y2x28x 6，通过配方化为y a(x h)2k的形为.5.二次函数y ax2c〔c不为零〕，当x取x，x〔x≠x〕时，函数值相等，那么1212x1与x2的关系是.6.抛物线y ax2bx c当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在y轴侧.7.抛物线y 2(x1)23开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.8 .假设a0，那么函数y2x2ax5图象的顶点在第象限；当x a时，函4数值随x的增大而.二次函数9.口抛物线y ax2bx c〔a≠0〕当a0时，图象的开口a0时，图象的开，顶点坐标是.y1(x h)2，开口，顶点坐标是，对称轴2是.11.二次函数y3(x)2()的图象的顶点坐标是〔1，-2〕.12.y1(x1)22，当x时，函数值随x的增大而减小.313.直线y2x1与抛物线y5x2k交点的横坐标为2，那么k=，交点坐标为.14.用配方法将二次函数y x22x化成y a(xh)2k的形式是. 315.如果二次函数yx26x m的最小值是1，那么m的值是.二、选择题：16.在抛物线y2x23x1上的点是〔〕1A.〔0，-1〕B.1,0 C.〔-1，5〕D.〔3，4〕217.直线y5x2与抛物线yx21x的交点个数是〔〕22个个个 D.互相重合的两个18.关于抛物线y ax2bx c〔a≠0〕，下面几点结论中，正确的有〔〕①当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当0时，情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④一元二次方程ax2bx c 0〔a≠0〕的根，就是抛物线y ax2bx c与x轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C.①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，那么图象的对称轴是〔〕A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数yax b的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函yax2bx-3的大致图象是〔〕图代13-2-1221.假设抛物线y ax2bxc的对称轴是x 2,那么ab〔〕A.2B.11D.2422.假设函数y a1，-2〕，那么抛物线的图象经过点〔xA.质说得全对的是〔〕开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y ax2(a 1)x a3的性轴相交轴相交轴相交轴相交23.二次函数y x2bxc中，如果b+c=0，那么那时图象经过的点是〔〕A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.〔-1，1〕224.函数y ax2与y a〔a0〕在同一直角坐标系中的大致图象是〔〕x图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线y x2bx c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，那么b的值是〔〕A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数y ax2〔a 0〕，假设要使函数值永远小于零，那么自变量x的取值范围是〔〕A．X取任何实数00或x027.抛物线y2(x3)24向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为〔〕A.y2(x4)26B.y2(x4)22C.y2(x2)22D.y3(x3)2228.二次函数y x2ykx9k2〔k0〕图象的顶点在〔〕轴的负半轴上轴的正半轴上轴的负半轴上轴的正半轴上29.四个函数：y x,y x1,y1〔x0〕，y x2〔x0〕，其中图象经过原x点的函数有〔〕个个个个30.不管x为值何，函数y ax2bx c〔a≠0〕的值永远小于0的条件是〔〕0，00,03C．a0,00,0三、解答题31.二次函数y x22ax 2b 1和y x2(a 3)x b21的图象都经过x轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.32.二次函数y ax2bx c的图象经过点A〔2，4〕，顶点的横坐标为1，它2的图象与x轴交于两点B〔x1，0〕，C〔x2，0〕，与y轴交于点D，且x12x2213，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似〔O为坐标原点〕？假设存在，请求出过P，B两点直线的解析式，假设不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：〔1〕直线AB的解析式；〔2〕抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线y ax23x c交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做⊙D，假设⊙D与y轴相切.〔1〕求a，c满足的关系；〔2〕设∠ACB=α，求tgα；〔3〕设抛物线顶点为 P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇局部为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求〔1〕桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；〔2〕BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；〔3〕按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA〔或OA＇〕区域平安通过？请说明理由.4图代13-3-1736.：抛物线yx 2 (m 4)x m 2与x 轴交于两点A(a,0),B(b,0)〔ab 〕.O为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 和⊙O 在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并12指出两圆的位置关系.37.如果抛物线yx 2 2(m 1)x m 1与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴（ 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上， OA 的长是a ，OB 的长是b.1〕求m 的取值范围；2〕假设a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；〔3〕 设〔2〕中的抛物线与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点是 M ，问：抛物线上是否存 在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？假设存在，求出 P 点的坐标；假设不存在，请说明理由.38.：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点 P ，使是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-181〕假设AE=2，求AD 的长.〔2〕当点A 在EP 上移动〔点A 不与点E 重合〕时，①是否总有ADED？试证明AH FH你的结论；②设 ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.二次函数yx2(m24m5)x2(m24m9)的图象与x 轴的交点为2240. A ，B 〔点A 在点B 右边〕，与y 轴的交点为 C.1〕假设△ABC 为Rt △，求m 的值；2〕在△ABC 中，假设AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；〔3〕设△ABC 的面积为 S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值 .如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ，满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.5图代13-3-191〕求⊙C 的圆心坐标.2〕过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.〔3〕抛物线yax 2bx c 〔a ≠0〕的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.直线y1x 和yx m ，二次函数yx 2pxq 图象的顶点为M.21x 与y〔1〕假设M 恰在直线yx m 的交点处，试证明：无论m 取何实数值，2二次函数yx 2 pxq 的图象与直线 y xm 总有两个不同的交点.〔2〕在〔1〕的条件下，假设直线y x m 过点D 〔0，-3〕，求二次函数yx 2pxq 的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20〔3〕 在〔2〕的条件下，假设二次函数 y x 2 pxq 的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线y1x 上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上.242.如图代 13-3-20，抛物线yx 2 ax b 与x 轴从左至右交于A ，B 两点，（ 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.1〕求点C 的坐标；2〕求抛物线的解析式；3〕假设抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.6参 考 答 案动脑动手设每件提高x 元〔0≤x ≤10〕，即每件可获利润〔2+x 〕元，那么每天可销售〔100-10x 〕件，设每天所获利润为y 元，依题意，得y (2x)(10010x)10x 2 80x 20010(x4)2 360.∴当x=4时〔0≤x ≤10〕所获利润最大，即售出价为 14元，每天所赚得最大利润 360元.2.∵ymx 23m 4x 4，3∴当x=0时，y=4.当mx 23m 4x4 0,m0时m 1 3,m 24.33m即抛物线与y 轴的交点为〔0，4〕，与x 轴的交点为A 〔3，0〕，B4,0.3m1〕当AC=BC 时，43,m 4.3m4x 2 9 ∴y492〕当AC=AB 时，AO 3,OC4,AC 5.∴45 .33mm 112 .∴,m 231时，y1x 2 11x4；6当m666当m2时，y2x22x4.3333〕当AB=BC 时，44 2342，3m3m∴m8.77∴y8x244x4.721可求抛物线解析式为：y4x24,y1x211x4,y2x22x4或8x244x 96633y4.7213.〔1〕∵[(25)]24(226)m mm22m21(m2 1)20图代13-3-21∴不管m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.令y=0，得x2(m25)x2m260(x2)(xm23)0，∴x12,x2m23.∴两交点中必有一个交点是A〔2，0〕.〔2〕由〔1〕得另一个交点B的坐标是〔m2+3,0〕.d m232m21，∵m2+100，∴d=m2+1.3〕①当d=10时，得m2=9.∴A〔2，0〕，B〔12，0〕.y x214x24(x7)225.该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为〔7，-25〕，∴AB的中点E〔7，0〕.过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，那么PE 1AB5,PM2b2,ME2(7a)2，2∴(7a)2b252.①∵点PD在抛物线上，8∴b(a 7)2 25. ②解①②联合方程组，得 b 1 1,b 2 0.当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，那么-25≤b -1；△ ABP 为钝角三角形时，那么 b -1，且b ≠0.同步题库一、 填空题1.y1(x2)2,y1(x 2)23；2.x1,1；3.y(x3)29；4.224 8y2(x2)22；5. 互为相反数；轴，左，右；7. 下，x=-1,(-1,-3) ，x-1；8.四，增大；9.向上，向下，b ,4ac b 2 ,xb ； 10.向下，〔h,0〕，x=h ；2a4a2a1 2，-2；-1；，〔2，3〕；14.yx13；15.10.9二、选择题 28. C三、解答题解法一：依题意，设M 〔x 1，0〕，N 〔x 2，0〕，且x 1≠x 2，那么x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴x 1 x 22a ，x 1·x 22b1. ∵x 1，x 2又是方程x 2 (a3)xb 21 0的两个实数根，∴ x1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴2a a 3,2b 1 1 b 2.解得a 1, 或a 1,b 0;b2.当a=1,b=0 时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数y x 2 2x 3和yx 22x 3符合题意.∴a=1，b=2.解法二：∵二次函数yx 22ax 2b 1的图象对称轴为x a ，9二次函数 yx 2 (a 3)x b 21的图象的对称轴为 xa3，2又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线 .∴a3.a2解得a1.∴两个二次函数分别为yx 2 2x 2b1和yx 2 2xb 21.依题意，令y=0，得x 2 2x 2b 1 0，x 2 2xb 2 10.①+②得b 22b 0. 解得b 1 0,b 22.∴a 1,a 1,b 0;或2.b当a=1，b=0时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为y x 22x 3和yx 2 2x3符合题意.∴a=1，b=2.32.解：∵y ax 2 bx c 的图象与x 轴交于点B 〔x 1，0〕，C 〔x 2，0〕，∴x 1 x 2b,x 1x 2c .aa又∵x 12 x 22 13即(x 1x 2)2 2x 1x 2 13，∴( b )22 c 13 .①aa又由y 的图象过点A 〔2，4〕，顶点横坐标为1，那么有4a+2b+c=42，②b 1③2a.2解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.10∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为〔-2，0〕，〔3，0〕.与y 轴交点D 坐标为〔0，6〕.设y 轴上存在点 P ，使得△POB ∽△DOC ，那么有 〔1〕 当B 〔-2，0〕，C 〔3，0〕，D 〔0，6〕时，有OB OP ,OB 2,OC 3,OD6.OCOD∴OP=4，即点P 坐标为〔0，4〕或〔0，-4〕.当P 点坐标为〔0，4〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 OBOP,OB2,OD6,OC3. OD OC ∴OP=1，这时P 点坐标为〔0，1〕或〔0，-1〕.当P 点坐标为〔0，1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得1k.2∴y1x1.2当P 点坐标为〔0，-1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有0=-2k-1 ，得k 1 .2∴y1x1.22〕当B 〔3，0〕，C 〔-2，0〕，D 〔0，6〕时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9， 或y1x 1，3 或y11. x 3解：〔1〕在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为〔4，0〕. ∴ ∠ABC=90°. ∵△CBD ∽△BAO ，∴OB OA2OCOB ，即OB=OA ·OC.11又∵CO=1，OA=4，∴OB2=1×4=4.∴OB=2〔OB=-2舍去〕∴B点坐标为〔0，2〕.将点B〔0，2〕的坐标代入y=k(x-4)中，得k 1.1x 2∴直线的解析式为：y2.2〔2〕解法一：设抛物线的解析式为y a(x1)2h，函数图象过A〔4，0〕，B〔0，2〕，得25a h0,a h 2.解得a1,h25. 1212∴抛物线的解析式为：y1(x1)225. 1212解法二：设抛物线的解析式为：y ax2bx c，又设点A〔4，0〕关于x=-1的对称是D.∵CA=1+4=5，∴CD=5.∴OD=6.∴D点坐标为〔-6，0〕.将点A〔4，0〕，B〔0，2〕，D〔-6，0〕代入抛物线方程，得16a4b c0,c2,36a6b c0.解得a 1,b1,c2. 126∴抛物线的解析式为：y1x21x2.12634.解：〔1〕A，B的横坐标是方程ax23x c 0的两根，设为x1,x2〔x2x1〕，C的纵坐标是C.又∵y轴与⊙O相切，∴OA2·OB=OC.∴x1·x2=c2.又由方程ax23x c0知x1x2c，a12∴c2c，即ac=1.a〔2〕连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴AE1AB .1 2ACBADBADE.2ax ，∵0,x21∴ABx 2x 1 9 4ac5a.aAE5.2a又ED=OC=c ，∴tg AE 5 .DE23〕设∠PAB=β，∵P 点的坐标为3, 5 ，又∵a0，2a 4a∴在Rt △PAE 中，PE5.4a∴PE5tg.AE2∴tgβ=tg α.∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵∠ADE+∠DAE=90°PA 和⊙D 相切.解：〔1〕设DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y ax 2 c ，由题意得 G 〔0，8〕，D 〔15，〕.138c,解得a1 , ∴9025ac.c 8.∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y1x 2 8.∵AD1且AD=5.5,90AC4∴×4=22(米).∴cc2OC 2 (OA AC) 2(1522〕=74 〔米〕.答：cc ＇的长为 74米. 〔2〕∵EB 1,BE 4，BC=16.BC 4∴∴AB=AC-BC=22-16=6〔米〕.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是 6米.〔3〕在y1x 2 8中，当x=4时，901737y16 8 .90 45∵37 (7 0.4) 1970.4545∴该大型货车可以从 OA 〔OA ＇〕区域平安通过.解:〔1〕∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即 a0，b0.∴方程x 2 (m 4)x m 2 0的两个根a ，b 异号.ab=m+20，∴m-2.〔2〕当m-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形.根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 22 2m=-4时，四边形POOQ 是矩形.1 2根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 222〔3〕∵(m 4)2 4(m 2)(m2)240∴方程x 2 (m 4)x m 2 0有两个不相等的实数根.∵ m-2，∴a b m4 0,ab m 20.14∴a0，b0.∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.解：〔1〕设A，B两点的坐标分别是〔x1，0〕、〔x2，0〕，∵A，B两点在原点的两侧，∴x1x20，即-〔m+1〕0，解得m-1.∵[2(m1)]24(1)(m1)4m24m84(m1)272当m-1时，0，∴m的取值范围是m-1.2〕∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k〔k0〕，那么x1=3k，x2=-k，∴3k k2(m1),3k(k)(m1).解得m12,m21 .143∵m x2时，x1〔不合题意，舍去〕，33∴m=2∴抛物线的解析式是y x2x3.〔3〕易求抛物线y x22x3与x轴的两个交点坐标是A〔3，0〕，B〔-1，0〕与y轴交点坐标是C〔0，3〕，顶点坐标是M〔1，4〕.设直线BM的解析式为y px q，4 p1 q,那么0p(1)q.p2,解得q 2.∴直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N，那么N点坐标是〔0，2〕，∴SBCM SBCNSMNC111111221.设P点坐标是〔x,y〕，15∵SABP8S BCM，∴1AB y81. 2即14y8.2∴y4.∴y4.当y=4时，P点与M点重合，即P〔1，4〕，当y=-4时，-4=-x2+2x+3，解得x122.∴满足条件的P点存在.P点坐标是〔1，4〕，(122,4),(122,4).38.〔1〕解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，∴AD2=AE·AB=2×〔2+6〕=16.∴AD=4.图代13-2-23〔2〕①无论点A在EP上怎么移动〔点A不与点E重合〕，总有证法一：连结DB，交FH于G，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEB.又∵BH⊥AH，BE为直径，∴∠BDE=90°AD ED.AH FH ∴有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB和△DHB中，DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，∴△DFB∽△DHB.BH=BF，∴△BHF是等腰三角形.BG⊥FH，即BD⊥FH.16∴ED∥FH，∴AD ED.AH FH图代13-3-24证法二：连结DB，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEF.又∵DF⊥AB，BH⊥DH，∴∠EDF=∠DBH.以BD为直径作一个圆，那么此圆必过F，H两点，∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.∴ED∥FH.∴AD EDAH .FH ②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，∴∴△DFE∽△BDE，EFED，即ED2EFEB.ED EB∴x26(6y)，即y1x26.6∵点A不与点E重合，∴ED=x0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，那么OD⊥PH.∴OD∥BH.又POPE EO639,PB12，OD PO,BH ODPB4，BH PB PO ∴BF BH4,EF EB BF642，2由ED=EF·EB得x2 2 612，x0，∴x23.∴0x≤23.〔或由BH=4=y，代入y1x26中，得x23〕617故所求函数关系式为y1 x2 6〔0x ≤2 3〕.639.解：∵yx2m 4m5 x 2m24m 9(x2)[xm24m9],222∴可得A(2,0),Bm 24m 9 ,0,C0,2m 24m9 .22〔1〕∵△ABC 为直角三角形，∴OC 2OB ，AO24m9即4m24m92m，22化得(m 2)20.∴m=2.〔2〕∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即m 24m 9 2 .2∴OC2m 24m94.∴ACBC5.22过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB·OC=BC ·AD.∴8AD.58∴sin ACBAD 5 4 .AC2 55图代13-3-25〔3〕S ABC1AB CO21m 24m 9 22m 24m9222(u2)u(u1)21.∵u m 2 4m9 1 ，2 2181，即m5∴当u2时，S 有最小值，最小值为.24解：〔1〕∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为32,0，B 点坐标为0,24.55∴⊙C 的圆心C 的坐标为 16 ,12.52〕由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB，∴∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt△AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OE OC ,OFOC .AB OA AB OB∴OE5,OF20.3E 点坐标为〔 5，0〕，F 点坐标为0,20，3∴切线EF 解析式为y4x 20 .3 3〔3〕①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为16,12 4，可得5 5b16, 5,2a 5 a324ac b 2 324ab1,524.24 cc. 55∴y5x 2 x 24 .32 5②当抛物线开口向上时 ,顶点坐标为16,124，得5 519b 16,5,2a 5a 4acb 28, b8 4,4a52424c.c .5541. ∴综合上述，抛物线解析式为〔1〕证明：由y5 x 2 4x 24 .8 5y5x 2 x24或y 5x 2 4x 24.325 85y1x, 2 yxm,有1xxm ，3221∴x mxmy m .2,3 , 32 1∴交点 M()m,m332m 21m此时二次函数为yx3 3x24mx 4m 2 1m .y ，有 3 93由②③联立，消去x24m1x4m 22m0.3934m1 244m 22m39316m 2 8m116m 28m9 3 931 0.∴无论m 为何实数值，二次函数y x 2pxq 的图象与直线yxm 总有两个不同的交点.20图代13-3-26〔2〕解：∵直线y=-x+m过点D〔0，-3〕，∴-3=0+m，∴m=-3.∴M〔-2，-1〕.∴二次函数为y(x2)21x24x3(x3)(x1).图象如图代13-3-26.3〕解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，∴MC为△CMA外接圆直径.∵P在y 1x上，可设Pn,1n，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，22∴∠CPM=Rt∠.过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的延长线交于点Q.由勾股定理，有222212MP QP(n2)2n1.MQ，即MP222NC2NP231n n2.CP2220.CM而MP 2CP2CM2，21n2∴(n2)21n13n220，22即52260，n n2∴5n24n120，(5n6)(n2)0.21∴n 16,n 22.5 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴n 6，5此时1 32n.5∴P 点坐标为6 ,3.5解：〔1〕根据题意，设点A 〔x 1，0〕、点〔x 2，0〕，且C 〔0，b 〕，x 10，x 20，b0，∵x 1，x 2是方程 x 2 axb0的两根， ∴x 1 x 2a,x 1x 2b .2在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC=OA ·OB.∵ OA=-x∴ bb0,∴b=1，∴C 〔0，1〕.〔2〕在Rt △AOC 的Rt △BOC 中，1,OB=x 2，2=-x 1·x 2=b.OCOC 1 1 x 1x 2 a tgtgx 1x 2x 1x 22.OAOBb∴a2.∴抛物线解析式为yx 2 2x1.图代13-3-27〔3〕∵y x 2 2x1，∴顶点P 的坐标为〔1，2〕，当x 2 2x 1 0时，x12. ∴A(12,0),B(12,0).延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1， ∴点D 坐标为〔-1 ，0〕. ∴S 四边形ABPC S DPB S DCA221DB y p 1AD yc221(22)21(22)1 2232(平方单位).223。

备战中考数学二次函数的综合热点考点难点附答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-；联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，∴A（-2，23），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在223432333y x x=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，∴C（-3,0），且A（-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=22AN-AD=13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43-），F（-4，103）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

备战中考数学二次函数的综合热点考点难点及答案解析一、二次函数1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题2．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．3．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.4．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表： 时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.（3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+480-96n，∴对称轴为t=14+2a，∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，又∵a＜4，∴3≤a＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．5．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用△PBD的面积即可求得．试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，∵△PBD的面积===，∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．考点：二次函数综合题．6．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC∆的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362--+． 【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解． 【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-， 故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，∵20-<，故当22bx a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362+--⎝⎭、332362--+⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或33236224⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或33236224⎛--+ ⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴2点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．8．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数．【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）12；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个．【解析】【分析】（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可； （2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离24b b -，配方即可得出结论；（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个．【详解】（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，24b ）． ∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 2144b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或x 0=b 12-． ∵x 0≠0，∴x 0=b 12-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12-）12=． （4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和点C （0，4），交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上一动点（不与点O ，B 重合），以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，连接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90°，得到线段FP ，过点P 作PH ∥y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点E （a ，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC 与△FEB 相似，求a 的值．（3）当PH ＝2时，求点P 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）a ＝165或45；（3）点P 的坐标为（2，4）或（1，4）3+17，4）．【解析】【详解】（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝AOCO＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则144aa=-或44aa=-，解得：a＝165或45；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或12或3174+或3174-（舍去），故：点P的坐标为（2，4）或（1，43+17，4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF 的长，进一步可表示出△CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E 点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，∴B （3，0），C （0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．12．综合与探究如图，抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【答案】（1）C （0，﹣4）；（2）Q 点坐标为（522，522﹣4）或（1，﹣3）； （3）当m=2时，QF 有最大值．【解析】【分析】（1）解方程13x 2−13x-4=0得A （-3，0），B （4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C 点坐标； （2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC 的解析式为y=x-4，则可设Q （m ，m-4）（0＜m ＜4），讨论：当CQ=CA 时，则m 2+（m-4+4）2=52， 当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标；（3）过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，由△OBC 为等腰直角三角形．可判断△FQG 为等腰直角三角形，则FG=QG=22FQ ，再证明△FGP ～△AOC 得到34FG PG =，则PG=223FQ ，所以PQ=26FQ ，于是得到FQ=327PQ ，设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4），利用PQ=-13m 2+43m 得到32-13m 2+43m ），然后利用二次函数的性质解决问题．【详解】（1）当y=0，13x2−13x-4=0，解得x1=-3，x2=4，∴A（-3，0），B（4，0），当x=0，y=13x2−13x-4=-4，∴C（0，-4）；（2）AC=2234=5，易得直线BC的解析式为y=x-4，设Q（m，m-4）（0＜m＜4），当CQ=CA时，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=52，m2=-52（舍去），此时Q点坐标为（52，52-4）；当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，-3）；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=252（舍去），综上所述，满足条件的Q点坐标为（522，522-4）或（1，-3）；（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，-4）得△OBC为等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG为等腰直角三角形，∴FG=QG=22FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC．∴FG PG OA CO =，即34FG PG =，∴PG=43FG=43•2FQ=3FQ ，∴PQ=PG+GQ=3FQ+2FQ=6FQ ，∴PQ ， 设P （m ，13m 2-13m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4）， ∴PQ=m-4-（13m 2-13m-4）=-13m 2+43m ，∴（-13m 2+43m ）=-7（m-2）2∵-7＜0， ∴QF 有最大值．∴当m=2时，QF 有最大值．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．13．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +； （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4）， 如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 22D H NH '+2246+13点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．14．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （13），点B （3，﹣3），O 为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围； （3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．【答案】（1）2235333y x x =-+；（2）t＞4；（3）∠BOC =60°，C （32，3） 【解析】 分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （1，3），点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得2353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣22353x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54， 当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ． （3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ，∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大．∵A （1，3），点B （3，﹣3），∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（32，3）． 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．15．如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________；（2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）9352t -=或3t 4=；（3）124(,)39D ，2240(,)39D -. 【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝，分别列方程可得t 的值； （3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0），∴OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，∴P （2，0），Q （3，4），∴线段PQ 的中点坐标为：（2+32，0+42），即（52，2）； 故答案为：（52，2）； （2）如图1，∵四边形OABC 是矩形，∴∠B=∠PAQ=90°∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC＝， ∴36223t t t --＝， 4t 2-15t+9=0， （t-3）（t-34）=0， t 1=3（舍），t 2=34， ②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝， ∴33262t t t＝--， t 2-9t+9=0，，∵0≤t≤6＞7，∴x=2不符合题意，舍去，综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是3 4或9+352；（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：10932b cb c++⎧⎨++⎩＝＝，解得：32bc-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线：y=x2-3x+2=（x-32）2-14，∴顶点k（32，-14），∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=12∠MKQ，如图2，∠MQD=12∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H，∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ∽△QMH，∴KE MQEQ MH＝，∴12+3432MH＝，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：y=-23x+4，则224 332y xy x x＝＝⎧-+⎪⎨⎪-+⎩，x2-3x+2=-23x+4，解得：x1=3（舍），x2=-23，∴D（-23，409）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=12∠MKQ=∠QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y=23x，则22332y xy x x⎧⎪⎨⎪-+⎩＝＝，x2-3x+2=23x，解得：x1=3（舍），x2=23，∴D（23，49）；综上所述，点D的坐标为：D（-23，409）或（23，49）．点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．。

初三数学重难点专题：二次函数最值专题（word答案版）二次函数最值专题知识归纳二次函数的图象和性质称x ＝点减当x >时，y 随x 的增大而增大；当x ＜时，y 随x 的增大而减小. 当x >时，y 随x 的增大而减小；当x ＜时，y 随x 的增大而增大.x=，y 最小＝. x =，y 最大＝.二次函数最值的方法与技巧1、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。

2、若自变量的取值范围是21x x x ≤≤，若-a b 2在自变量的取值范围内，则当x=-ab2时，y=a b ac 442-是其中的一个最值。

另一个最值在1x x =或2x x =处取得。

若ab2-不在自变量的取值范围内，则函数的最值即为函数在1x x =，2x x =时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的。

解决最值应用题注意事项①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.例题精讲例1、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①abc ＞0；②a =b ；③a =4c ﹣4；④方程21ax bx c ++=有两个相等的实数根，其中正确的结论是．（只填序号即可）．答案为：③④．例2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为（4，t ）（t ＞0），二次函数2y x bx =+（b ＜0）的图象经过点B ，顶点为点D ．求点E 是二次函数2y x bx =+（b ＜0）的图象与x 轴的一个公共点（点E 与点O 不重合），求OE ?EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；答案：OE ?AE 的最大值为4，此时b 的值为﹣2，抛物线的表达式为22y x x =-．例3、已知函数221y ax ax =--（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（） A ．当a =1时，函数图象经过点（﹣1，1） B ．当a =﹣2时，函数图象与x 轴没有交点 C ．若a ＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方 D ．若a ＞0，则当x =1时，y 有最大值。

备战中考数学二次函数的综合热点考点难点附详细答案一、二次函数1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =.【解析】 【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值． 【详解】 解：（1）∵2ax 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4， ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=， 解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入，得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-.∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=.当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点.所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.（3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=.()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t的取值范围为t3≤-或3t32≤<或7t2=.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】 【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x 2+32x+2； （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩，∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．4．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．5．已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）点P （4，6）．【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6），则N （t ，﹣t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y=6时x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•（AG+BM）=12 PN•OB=12×（﹣12t2+3t）×6=﹣32t2+9t=﹣32（t﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.6．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N 在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32， 点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1， 当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．7．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。

中考数学专题复习二次函数的综合题附答案解析一、二次函数1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．4．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233(0)y ax x a =≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为21322y x x =-;抛物线的对称轴为直线332x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，理由见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）将3,3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =，∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a =-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线x =（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴94y x =-.∴直线944y x =--与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-， ∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴32AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)22m m m -，如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵932AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴()21133113333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=，化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．6．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y=-21x 2+32x+2； （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形，则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时， ∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】【分析】 （1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF 2EH EF ==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4），∵B （3，0），∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ，连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小，∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长，当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ，∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF 2EH EF==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2， 设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ， ∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，∴△NOB ∽△PKB ， ∴PB BK BN OB= ∴PB ＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．9．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数y ＝k x(k 为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，求实数t 的值；(3)若直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2+3bx+3c(a≠0)交于B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点．①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；②若a ＞2b ＞3c ，x 2＝1，求点P(c a ，b a)与原点O 的距离OP 的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；②2≤OPOP≠1． 【解析】【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣c b，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a ，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得b a的取值范围，令m ＝b a，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围．【详解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数k x (k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k+，∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4； 当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2； 当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a 、b 、c 均不为0，∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0， ∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根，∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a-＝﹣b c ＝11x ， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；②∵x 2＝1，∴a+b+c ＝0，∴c ＝﹣a ﹣b ，∵a ＞2b ＞3c ， ∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a >⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12， ∵P(c a ，b a)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12， 令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m＝﹣12时，OP2有最小临界值12，当﹣12＜m＜12时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣12时，OP2有最小临界值12，当m＝12时，OP2有最大临界值52，∴12≤OP2<52且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴2≤OP＜10且OP≠1．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．10．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及详细答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣9 10（t﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=34x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，38m2﹣34m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=94．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣34m2+3m=94．易求得K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得423016430a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得3834ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x2﹣34x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=2234+=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴HBOCBGBC=，即Hb35t=，∴HQ=35t．∴S△PBQ=12PB•HQ=12（6﹣3t）•35t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）2+910．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，S△PBQ最大=910．答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是910；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ．当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910． ∴S △CBK =94． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ） =12×4•EK =2（﹣38m 2+32m ） =﹣34m 2+3m ． 即：﹣34m 2+3m=94．解得 m 1=1，m 2=3．∴K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA =3，OC =3，∴tan ∠CAO =3，∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =33AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 的坐标为（3，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-233k k -，∴11AM AN +323231k k --3232k -3(32(31)k k -3点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2,23）55 4m-≤≤【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣32）2﹣54，然后根据n的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则330bk b''=⎧⎨+=⎩，解得：k=-1,b’=3故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩ ∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴，∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴＝﹣t 2+3t ，解得t ＝0或t ＝3，此时P （3）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4， 取CM 的中点Q （2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°，∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2，∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2]＝m 2+9，整理得，m＝（n﹣32）2﹣54，∵0≤n≤4，当n＝32时，m最小值＝﹣54，n＝4时，m＝5，综上，m的取值范围为：﹣54≤m≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250 ∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大 ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】 【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式． 【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6，则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）， 则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ，将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1m （x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m ）， 同理可得：点G （﹣32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m）22， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．7．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣110）或P（﹣110P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C 是抛物线与y 轴的交点，因此C 的坐标为（0，3），根据M 、C 的坐标可求出CM 的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP ＝PM 时，P 位于CM 的垂直平分线上．求P 点坐标关键是求P 的纵坐标，过P 作PQ ⊥y 轴于Q ，如果设PM ＝CP ＝x ，那么直角三角形CPQ 中CP ＝x ，OM 的长，可根据M 的坐标得出，CQ ＝3﹣x ，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x ，由此可得出P 的坐标．②当CM ＝MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．③当CM ＝C P 时，因为C 的坐标为（0，3），那么直线y ＝3必垂直平分PM ，因此P 的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE ＝S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝53，∴P点坐标为：P1（﹣1，53）；∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±10，∴P点坐标为：P2（﹣1，10）或P3（﹣1，﹣10）；∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=⎩，解得11kt=-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝12BF•EF+12（OC+EF）•OF＝12（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+12（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣32a2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638，∴当a＝﹣32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638．此时，点E坐标为（﹣32，154）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.9．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。

2020 届中考九年级数学二次函数综合题复习1、如图1，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴分别交于A、B 两点，与y 轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l 绕点A 以AB 为起始位置顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D，P 是AD 的中点．①求点P 的运动路程；②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E，作DF⊥AC 所在直线于点F，连结PE、PF，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF 周长的最小值．2、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形ABCD 的边BC 在x 轴上，D 点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C 三点，抛物线y=ax2+bx+c 过点D，B，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED 是⊙P 的切线；（3）若将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，E 点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c 上吗？请说明理由；（4）若点M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c 1 是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2 是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”；（2）若函数mx﹣2 与y=x2﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n）2015 的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C 关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1 的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+4 与x 轴交于点A、B 两点，与y 轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P 作y 轴的垂线与射线BC 交于点Q，以PQ 为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F 在点Q 的下方，且QF=1．设线段PQ 的长度为d，点P 的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求d 与m之间的函数关系式．（3）当Rt△PQF 的边PF 被y 轴平分时，求d 的值．（4）以OB 为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3 时，直接写出点F 落在△OBD 的边上时m 的值．5、如图，二次函数y=ax2+2x+c 的图象与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A 的直线AD∥BC 且交抛物线于另一点D，求直线AD 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x 轴上是否存在一点P，使得以B、C、P 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②动点M 以每秒1 个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N 以每秒个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．6、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点D 为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP 沿x 轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C 对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t 为何值时S 最大，最大值为多少？7、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y 轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D 三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE 与⊙A 相切；（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标．8、综合与探究如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为x2+x+4．抛物线W 与x 轴交于A，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C，它的对称轴与x 轴交于点D，直线l 经过C、D 两点．（1）求A、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l 交于点F，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．（3）如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C 交直线l 于点M，C′D′交CB 于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x 轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC 上是否存在点E，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．10、如图①，一次函数y=kx+b 的图象与二次函数y=x2 的图象相交于A，B 两点，点A，B 的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4 时，k= ，b= ；当m=﹣2，n=3 时，k= ，b= ；（2）根据（1）中的结果，用含m，n 的代数式分别表示k 与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点C，D，点A 关于y 轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系式为；当四边形AOED 为正方形时，m= ，n= ．11、抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C 的坐标；（2）点P 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，同时点E 也从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C 作CD⊥x 轴于点D，交线段OB 于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A 三点．（1）∠OBA= °．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E 为顶点的四边形面积记作S，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3 个？13、在平面直角坐标系中，已知x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），点 C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限． （1）如图，若抛物线经过 A 、B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离时，试证 明：平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q ， 取 BC 的中点 N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．14、如图，抛物线 y=﹣x 2+2x+3 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点E ．（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F ，过点 F 作 FG ⊥AD 于点 G ，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H ，求△FGH 周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A，M，P，Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形．若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标．15、已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1 经过坐标原点，且当x＜0 时，y 随x 的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0 时，对应x 的取值范围；（2）设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x 轴于点B，DC⊥x 轴于点C．①当BC=1 时，直接写出矩形ABCD 的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标；如果不存在，请说明理由．16、已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t 上．（1）求点C 的坐标；（2）当y1 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2n2﹣5n 的最小值．答案：1、【解答】解：（1）∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c=0 两根为：﹣8，2，∴A（﹣8，0）、B（2，0），即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，﹣6），将A（﹣8，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx﹣6中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为x2+x﹣6；（2）①如图1，当l 在AB 位置时，P 即为AB 的中点H，当l 运动到AC 位置时，P 即为AC 中点K，∴P 的运动路程为△ABC 的中位线HK ，∴HK=BC，在Rt△BOC 中，OB=2，OC=6，∴BC=2，∴HK= ，即P 的运动路程为：；②∠EPF 的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，∴在Rt△AED 中，P 为斜边AD 的中点，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD ，同理可得∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF 大小不变，∴∠EPF 的大小不会改变；（3）设△PEF 的周长为C，则C=PE+PF+EF，△PEF∵PE=AD，PF=AD，=AD+EF，∴C△PEF在等腰三角形PEF 中，如图2，过点P 作PG⊥EF 于点G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC==，∴tan∠EPG==，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴C=AD+EF=（1+）AD=AD，△PEF最小，又当AD⊥BC 时，AD 最小，此时C△PEF=30，又S△ABC∴BC×AD=30，∴AD=3，最小值为：AD= ．∴C△PEF2、【解答】解：（1）∵C（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），在Rt△OCD 中，∴OD=2tan60°=2，∴D（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），把）代入得，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为（x+4）（x ﹣2）=﹣x2﹣x+2 ；（2）在Rt△OCD 中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴=，==，∴=，而∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD 为⊙P 的直径，∴ED 是⊙P 的切线；（3）E 点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c 上．理由如下：∵△AED∽△COD，∴= ，即= ，解得DE=3 ，∵∠CDE=90°，DE ＞DC ，∴△ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°，E 点的对应点 E ′在射线 DC 上， 而点 C 、D 在抛物线上， ∴点 E ′不能在抛物线上； （4）存在． ∵y=﹣x 2﹣ x+2 （x+1）2+∴M （﹣1， ），而 B （﹣4，0），D （0，2）， 如图 2， 当 BM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 D 向左平移 4 个单位，再向下平移 个单位得到点 B ，则点 ）向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位得到点 N 1（﹣ 5， ）；当 DM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 B 向右平移 3 个单位，再向上平移 个单位得到点M ，则点 D （0，2）向右平移 3 个单位，再向上平移个单位得到点 N （2 3，）；当 BD 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 M 向左平移 3 个单位，再向下平移 个单位得到点 B ，则点 D （0，2）向右平移 3 个单位，再向下平个单位得到点 N 3（﹣3，﹣），综上所述，点 N 的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．3、【解答】（1）解：∵a 1=﹣1，b 1=3，c 1=﹣2， ∴﹣1+a 2=0，b 2=3，﹣2+c 2=0， ∴a 2=1，b 2=3，c 2=2，∴函数 y=﹣x 2+3x ﹣2 的“旋转函数”为y=x2+3x+2；（2）解：根据题意m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1；（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），当y=0时，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），∵点A、B、C 关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2•（﹣1）•4=﹣2，解得，∴经过点A1，B1，C1 的二次函数解析式为（x﹣1）（x+4）=x2+x ﹣2，而（x+1）（x ﹣4）=﹣x2+x+2，∴a 1+a 2=﹣+=0，b1=b2=，c1+c2=2﹣2=0，∴经过点A1，B1，C1 的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．4、【解答】解：（1）把点B（3，0）代入抛物线y=a（x﹣1）2+4，得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，即抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，当x=0 时，y=3；当y=0 时，x=﹣1，或x=3，∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），设直线BC 的解析式为：y=kx+b，根据题意得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，∵点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），∴点Q 的纵坐标坐标为：﹣m2+2m+3，则﹣x+3=﹣m2+2m+3，x=m2﹣2m，∴点Q的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴当﹣1≤m＜0 时，如图1，d=m2﹣2m﹣m=m2﹣3m，当0＜m＜3 时，如图2，d=m﹣（m2﹣2m）=﹣m2+3m∴d 与 m 之间的函数关系式为：d= ；（3）当 Rt △PQF 的边 PF 被 y 轴平分时，点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，∴横坐标互为相反数，∴m 2﹣2m+m=0， 解得：m=1，或 m=0（不合题意，舍去）， ∴m=1，∴d=3﹣1=2； （4）分四种情况：①情形一：如图 4 所示，∵C 点的坐标为（0，3）， 将 y=3 代入函数 y=﹣x 2+2x+3 得 x 1=0（舍去），x 2=2， ∴P 点的横坐标 m=2；②情形二：如图 5 所示：过 D 2 点作 D 2G ⊥CO 交 QF 与 N 点， ∵B （0，3） ∴D 2（，），∵CO=3，QF=1，QF ∥CO ，∴ ，∴D 2N=，∴Q （1，2）， 将 y=2 代入函数 y=﹣x 2+2x+3 得 x 1=1+，x 2=1﹣（舍去）， ∴m=1+；②情形三：如图 6 所示：过 D 2 点作 D 2G ⊥OB ，∵B（0，3）∴D2（，），∵BG=，QF=1，QF∥CO，∴，∴BF=1，∴Q（1，1），将y=1代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=1+，x2=1﹣（舍去），∴m=1+；④情形四：如图7 所示：∵CD 2=6，QF=1，BC=3，且QF∥CD2，∴，∴BQ=，∴Q 点纵坐标，即P 点纵坐标，将y=代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），∴m= ．综上所述：当0＜m＜3 时，点F 落在△OBD 的边上时m 的值为：2，或，或，．5、【解答】解：（1）由题意知：，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3 中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），由已知条件得直线BC 的解析式为y=﹣x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD 的解析式为y=﹣x+b，∴0=1+b，∴b=﹣1，∴直线 AD 的解析式为 y=﹣x ﹣1；（3）①∵BC ∥AD ， ∴∠DAB=∠CBA ， ∴只要当 或时，△PBC ∽△ABD ， 解得 D （4，﹣5），∴AD=，AB=4，BC=， 设 P 的坐标为（x ，0）， 即或 ，解得或 x=﹣4.5，∴或 P （﹣4.5，0），②过点 B 作 BF ⊥AD 于 F ，过点 N 作 NE ⊥AD 于 E ， 在 Rt △AFB 中，∠BAF=45°， ∴，∴===，∴当时，S △MDN 的最大值为 ．∴BF= ，BD=， ∴ ，∵DM=，DN= ，又∵ ，NE=，6、【解答】解：（1）∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， ∴C （0，3），D （1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边， ∴延长 DC 交 x 轴于点 P ，设直线 DC 的解析式为 y=kx+b ，把 D 、C 两点坐标代入可，解，∴直线 DC 的解析式为 y=x+3，将点 P 的坐标（a ，0）代入得 a+3=0，求得 a=﹣3， 如图 1，点 P （﹣3，0）即为所求；（3）过点 C 作 CE ∥x ，交直线 BD 于点 E ，如图 2，由（2）得直线 DC 的解析式为 y=x+3，由法可求得直线 BD 的解析式为 y=﹣2x+6，直线 BC 的解析式为y=﹣x+3，，解得 ，，），在 y=﹣2x+6 中，当 y=3 时， ∴E 点坐标为（，3），设直线 P ′C ′与直线 BC 交于点 M ， ∵P ′C ′∥DC ，P ′C ′与 y 轴交于点（0，3﹣t ）， ∴直线 P ′C ′的解析式为 y=x+3﹣t ， 联立∴点 M 坐标为∵B ′C ′∥BC ，B ′坐标为（3+t ，0）， ∴直线 B ′C ′的解析式为 y=﹣x+3+t ， 分两种情况讨论：①当 时，如图 2，B ′C ′与 BD 交于点 N ， 联立，解得 ，∴N 点坐标为（3﹣t ，2t ），S=S △B ′C ′P ﹣S △BMP ﹣S △BNB ′=×6×3﹣（6﹣t ）×（6﹣t ）﹣t ×2t=﹣t 2+3t ， 其对称轴为 ，可知当 时，S 随 t 的增大而增大，当 时，有最大 ；② ≤t ＜6 时，如图 3，直线 P ′C ′与 DB 交于点 N ，联立，解得，∴N 点坐标为（，），S=S △BNP ′﹣S △BMP ′= （6﹣t ）×﹣ ×（6﹣t ）×=（6﹣t ）2=t2﹣t+3；显然当＜t＜6 时，S 随t 的增大而减小，当t= 时，S=综上所述，S 与t 之间的关系式为S= ，且当t= 时，S 有最大值，最大值．7、【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，解得．∴经过B ，C，D 三点的抛物线的函数表达式为x2+x+4；（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，∴E（﹣5，﹣），设直线CE 的函数解析式为y=mx+n，直线CE 与y 轴交于点G，则，解得：，∴y=x+，在x+中，令，∴G（0，），如图1，连接AB，AC，AG ，则=，CG= = = ，∴BG=CG ，AB=AC ， 在△ABG 与△ACG 中，，∴△ABG ≌△ACG ， ∴∠ACG=∠ABG ， ∵⊙A 与 y 轴相切于点 B （0，4）， ∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90° ∵点 C 在⊙A 上，∴直线 CE 与⊙A 相切；（3）存在点 F ，使△BDF 面积最大， 如图 2 连接 BD ，BF ，DF ，设 F （t ，t 2+t+4）， 过 F 作 FN ∥y 轴交 BD 于点 N ，设直线 BD 的解析式为 y=kx+d ，，解得．∴直线 BD 的解析式为 x+4， ∴点 N 的坐标为（t ，t+4），∴FN=t+4﹣（t 2+t+4）=﹣t 2﹣2t ， ∴S △DBF =S △DNF +S △BNF =OD •FN=（﹣t 2﹣2t ）=﹣t 2﹣8t=﹣（t+4）2+16，∴当 t=﹣4 时，S △BDF 最大，最大值是 16， 当 t=﹣4 时t 2+t+4=﹣2， ∴F （﹣4，﹣2）．8、【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣x 2++4=0， 解得 x 1=﹣3，x 2=7，∴点 A 坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（7，0）．∵﹣=﹣，∴抛物线 w 的对称轴为直线 x=2， ∴点 D 坐标为（2，0）．当 x=0 时，y=4， ∴点 C 的坐标为（0，4）． 设直线 l 的表达式为 y=kx+b ，，解得，∴直线 l 的解析式为 y=﹣2x+4；（2）∵抛物线 w 向右平移，只有一种情况符合要求，即∠FAC=90°，如．此时抛物线 w ′的对称轴与 x 轴的交点为 G ， ∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，∴tan ∠1=tan ∠3，∴=．设点F的坐标为（x F，﹣2x F+4），∴，解得x F=5，﹣2x F+4=﹣6，∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为x2+x；（3）由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3+m，0），D′（2+m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，可用待定系数法求得直线A ′C′的表达式为x+4﹣m，直线BC 的表达式为x+4，直线C′D′的表达式为y=﹣2x+2m+4，分别解方程组和，解得和，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点N 的坐标为（m，﹣m+4），∴y M=y N∴MN∥x 轴，∵CC′∥x 轴，∴CC′∥MN．∵C′D′∥CD，∴四边形CMNC′是平行四边形，∴S=m[4﹣（﹣m+4）]=m29、【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，∴，解得，∴该二次函数的解析式为y= x2﹣x﹣4；（2）由二次函数x2﹣x﹣4 可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），设直线BC 的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线BC 的解析式为y= x﹣4，设E（m，m﹣4），当DC=CE 时m﹣4）2=CD2，即（m﹣8）2+（m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2，m2=8+2（舍去），∴E（8﹣2，﹣）；当DC=DE 时m﹣4）2=CD2，即（m ﹣3）2+（m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE 时m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2 解得m5=5.5，∴E（，﹣）．综上，存在点E，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标m2﹣m﹣4，m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2∵△PBD 的面积S=S梯形﹣m﹣4）]﹣×3×4=﹣m2+ m=﹣（m﹣）2+∴当时，△PBD 的最大面积，∴点P的坐标为（，﹣）．10、【解答】解：（1）当x=﹣1时，y=x2=1，则A（﹣1，1）；当x=4时，y=x2=16，则B（4，16），把A（﹣1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得，解得；当x=﹣2时，y=x2=4，则A（﹣2，4）；当x=3时，y=x2=9，则B（3，9），把A（﹣2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得，解得；故答案为：3，4；1，6；（2）k=m+n，b=﹣mn．理由如下：把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；（3）①当m=﹣3时，A（﹣3，9），∵点A 关于y 轴的对称点为点E，∴E（3，9），∵k=m+n，b=﹣mn，∴k=﹣3+n，b=3n，∴直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，则D（0，3n），当y=0时，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，则C（，0），∴==（n＞3）；②连结AE 交OD 于P，如图②，∵点A（m，m2）关于y 轴的对称点为点E，∴E（﹣m，m2），∴OP=m2，∵k=m+n，b=﹣mn，∴D（0，﹣mn），若四边形AOED 为菱形，则OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；若四边形AOED 为正方形，则OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．11、【解答】解：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即x2﹣x+2=0，解得：x1=2，x2=4，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2），（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，，∴DE=4﹣2t，∴，∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2 始终为正数，且t=1 时，1﹣（t﹣1）2 有最大值1，∴t=1 时，有最小值1，即t=1 时有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线x2﹣x+2 的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，EP2+PF2=EF2，即5+1+m2=（m﹣1）2+32，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，EF2+FP2=PE2，即 （m ﹣1）2+3+（3﹣2）2+m 2=5， 解得；m=0 或 m=1，不合题意舍去， ∴当∠EFP=90°时， 这种情况不存在， ③当∠PEF=90°时， EF 2+PE 2=PF 2，即（m ﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m 2， 解得：m=7， ∴F （3，2），（3，7）．12、【解答】解：（1）∵OA 是⊙O 的直径， ∴∠OBA=90°， 故答案为：90；（2）连接 OC ，如图 1 所示，∵由（1）知 OB ⊥AC ，又 AB=BC ， ∴OB 是 AC 的垂直平分线， ∴OC=OA=10，在 Rt △OCD 中，OC=10，CD=8， ∴OD=6， ∴C （6，8），B （8，4） ∴OB 所在直线的函数关系为 x ，又∵E 点的横坐标为 6， ∴E 点纵坐标为 3， 即 E （6，3）， 抛物线过 O （0，0），E （6，3），A （10，0）， ∴设此抛物线的函数关系式为 y=ax （x ﹣10），把 E 点坐标代入得： 3=6a （6﹣10），解得 ．∴此抛物线的函数关系式为 y=﹣x （x ﹣10），即 y=﹣x 2+x ；（3）设点 P （p ，﹣p 2+p ），①若点 P 在 CD 的左侧，延长 OP 交 CD 于 Q ，如右图 2， OP 所在直线函数关系式为p+）x ∴当 x=6 时，即 Q 点纵坐标，∴QE=﹣3=，S 四边形 POAE =S △OAE +S △OPE=S △OAE +S △OQE ﹣S △PQE=•OA •DE+QE •OD ﹣•QE •P x • =×10×3+×（﹣p+）×6﹣•（）•（6﹣p ），=②若点 P 在 CD 的右侧，延长 AP 交 CD 于 Q ，如右图 3， P （p ，﹣p 2+p ），A （10，0）∴设 AP 所在直线方程为：y=kx+b ，把 P 和 A 坐标代入得，，解得 ．∴AP 所在直线方程为x+，∴当 x=6 时•6+=P ，即 Q 点纵坐标P ，∴QE=P ﹣3， ∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE=S △OAE +S △AQE ﹣S △PQE=•OA •DE+•QE •DA ﹣•QE •（P x ﹣6） =×10×3+•QE •（DA ﹣P x +6） =15+•（p ﹣3）•（10﹣p ） ==，∴当 P 在 CD 右侧时，四边形 POAE 的面积最大值为 16，此时点 P 的位置就一个，令=16，解得，∴当 P 在 CD 左侧时，四边形 POAE 的面积等于 16 的对应 P 的位置有两个，综上所知，以 P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积 S 等于 16 时，相应的点 P 有且只有 3 个．13、【解答】解：（1）∵等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4， 3） ∴点 B 的坐标为（4，﹣1）． ∵抛物线过 A （0，﹣1），B （4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为 x 2+2x ﹣1．（2）如答题图 2，设顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距时，到达 P ′，作 P ′M ∥y轴，PM ∥x 轴，交于 M 点， ∵点 A 的坐标为（0，﹣1），点 C 的坐标为（4，3）， ∴直线 AC 的解析式为 y=x ﹣1， ∵直线的斜率为 1，∴△P ′PM 是等腰直角三角形， ∵PP ′=， ∴P ′M=PM=1，∴抛物线向上平移 1 个单位，向右平移 1 个单位， ∵y=﹣x 2+2x ﹣1=﹣（x ﹣2）2+1， ∴平移后的抛物线的解析式为 （x ﹣3）2+2，令 y=0，则 （x ﹣3）2+2，解得 x 1=1，x=52， ∴平移后的抛物线与 x 轴的交点为（1，0），（5，0），解 ， 或∴平移后的抛物线与 AC 的交点为（1，0）， ∴平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点（1，0）． （3）如答图 3，取点 B 关于 AC 的对称点 B ′，易得点 B ′的坐标为（0，3），BQ=B ′Q ，取 AB 中点 F ，连接 QF ，FN ，QB ′，易得 FN ∥PQ ，且 FN=PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP=FQ ．∴NP+BQ=FQ+B ′Q ≥FB ′==2．∴当 B ′、Q 、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为．14、【解答】解：（1）当 x=0 时，y=﹣x 2+2x+3=3，则 C （0，3）， 当 y=0 时，﹣x 2+2x+3=0，解得 x 1=﹣1，x 2=3，则 A （﹣1，0），B （3，0）， ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线 x=1，而点 D 和点 C 关于直线 x=1 对称， ∴D （2，3），设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ， 把 A （﹣1，0），D （2，3）分别代入得，解得，∴直线 AD 的解析式为 y=x+1； （2）当 x=0 时，y=x+1=1，则 E （0，1）， ∵OA=OE ，∴△OAE 为等腰直角三角形， ∴∠EAO=45°， ∵FH ∥OA ，∴△FGH 为等腰直角三角形，过点 F 作 FN ⊥x 轴交 AD 于 N ，如图， ∴FN ⊥FH ，∴△FNH 为等腰直角三角形， 而 FG ⊥HN ， ∴GH=NG ，∴△FGH 周长等于△FGN 的周长， ∵FG=GN=FN ，∴△FGN 周长）FN ，∴当 FN 最大时，△FGN 周长的最大， 设 F （x ，﹣x 2+2x+3），则 N （x ，x+1）， ∴FN=﹣x 2+2x+3﹣x ﹣1=﹣（x ﹣）2+ ，当时，FH 有最大，∴△FGN 周长的最大值为（1+ =，即△FGH 周长的最大值；（3）直线AM 交y 轴于R，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4）设直线AM 的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，∴直线AM 的解析式为y=2x+2，当x=0时，y=2x+2=2，则R（0，2），当AQ 为矩形APQM 的对角线，如图1，∵∠RAP=90°，而AO⊥PR，∴Rt△AOR∽Rt△POA，∴AO：OP=OR：OA，即1：OP=2：1，解得，∴P点坐标为（0，﹣），∵点A（﹣1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M（1，4），∴点P（0，﹣）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q（2，），∵点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，∴T点坐标为（0，）；当AP 为矩形AMPQ 的对角线，反向延长QA 交y 轴于S，如图2，同理可得S点坐标为（0，﹣），∵R 点为AM 的中点，∴R 点为PS 的中点，∴PM=SA，P（0，），∵PM=AQ，∴AQ=AS，∴点Q 关于AM 的对称点为S，即T点坐标为（0，﹣）．综上所述，点T的坐标为（0，）或（0，﹣）．15、【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），∴m2﹣1=0，∴m=±1∴y=x2+x 或y=x2﹣3x，∵当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0 时，0＜x＜3；（2）①如图，当BC=1 时，由抛物线的对称性，得点A 的纵坐标为﹣2，∴矩形的周长为6；②∵A的坐标为（a，b），∴当点A 在对称轴左侧时，如图，矩形ABCD 的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，当a=时，L=，A点坐标为（，﹣），最大当点A 在对称轴右侧时如图，矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，=，A点坐标为（周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大，﹣）；综上所述：当时）2+，=，A点坐标为（，∴当a=时，L最大﹣），当＜a＜3 时）2+，=，A点坐标为（，﹣）．∴当a=时，L最大16、【解答】解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC 的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2 异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2 异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3 得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1 时，y 随x 增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2 异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y 1=ax2+bx+3 得，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1 时，y 随x 增大而增大，综上所述，若c=3，当y 随x 增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y 随x 增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1 向左平移n 个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1 不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n= 时，2n2﹣5n 的最小值为：﹣．。

中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合附详细答案一、二次函数1．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为28，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段=∴P点到直线BC2728⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S 关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P 点到直线BC 的距离的最大值．2．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。