2019-2020年九年级数学上册 1.4角平分线 (2)学案 (无答案)北师大版

1.4、角平分线1--第一章[上学期]北师大数学九(上)完整教案课题1.4、角平分线(一) 课型新授课教学目标1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。

2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。

教学重点角平分线性质定理及其逆定理。

教学难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

教学方法教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、角平分线性质定理1．让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。

2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。

尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励、保护学生的积极性。

3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子，并说出它们分别的作用在哪里。

2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣，同时体会数学和现实生活的联系。

3．对于自己的发现进行深入探索，很有兴趣。

但是对于从实际问题中提炼观点，感到有难度。

4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。

由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。

可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。

5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。

6．肯定学生的发现，鼓励学生以后也要通过积极动脑思考，自己探索发现结论。

引导学生再来看他们找的生活中的实例，是不是也有利用这个性质的? 7．让学生口述他们的长度相等。

北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1章“几何图形变换”中的一个知识点。

本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。

教材通过引入角平分线来让学生进一步理解角的性质，培养学生的几何思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念，并了解了垂线的性质。

在此基础上，学生需要进一步理解角平分线的概念，并能够运用角平分线解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的概念、性质和运用。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质和运用。

2.难点：角平分线的证明和运用。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现角平分线的性质。

2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题。

3.实践操作法：学生动手操作，加深对角平分线性质的理解。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.学具：学生每人一份三角板、直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示三角板，引导学生观察角平分线的定义，并用几何画板软件动态展示角平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用三角板、直尺、圆规等工具，自行探索角平分线的性质。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）教师选取几组学生得出的结论，让学生进行分析、判断、验证。

学生通过互相交流，巩固对角平分线性质的理解。

5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。

例如：在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点的距离相等？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固角平分线的性质及运用。

课题：《§1.4角平分线》（1）导学案【学习目标】1、能够证明角平分线的性质定理以及判定定理。

2、能够用尺规作已知角的平分线。

3、进一步发展学生的推理证明意识和能力 【学习重点】：角平分线的性质及判定方法的掌握及运用【学习难点】: 灵活运用角平分线的判定及性质解决实际问题。

【学习方法】：自主探索、归纳总结。

【学习过程】： 一、课前展示：1、线段垂直平分线的性质定理和逆定理的内容：定理：线段垂直平分线的点到逆定理：到一条线段两个端点的距离 的点，在这条线段的 。

2、什么是角的平分线？ 二、探索新知：1、自主学习：如何用尺规作一个角的平分线。

已知：∠AOB求作：射线OC 使∠AOC=∠BOC 作法：2、合作探究： （1）实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB 的平分线OC , 在OC 上任意一点P ，过P 作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB问题：①比较PD 和PE 的大小关系（量一量）。

②再换一个新的位置看看情况会怎样？（2）猜想的结论是：（3）证明的你的猜想：已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：由此得到角平分线的性质定理：其中题设是： 结论： 利用此性质怎样书写推理过程?结合图形（4）反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 你能证明你的猜想吗？画图试一试。

A BO三、巩固新知：1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.。

求证:EB=FC.2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．四、拓展提升： 1、教材37页第3、4题：2、已知，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.五、总结评价：附加题：1、如图所示，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE、CD交于O点，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC。

1.4角平分线-----三角形三个内角的平分线1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．【学习重点】三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的证明【学习难点】三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的运用【教学过程】一、先学（15分钟）1.导入课题，出示目标（1）能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．（2）能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．2.出示自学指点请同学们认真看课本P30 --31的内容，思考并完成下列问题：（1）回顾：角平分线的性质定理和角平分线的判定定理的内容；（2）如何证三条直线交于一点？（3）通过例2的证明，你能得到什么结论？（5分钟后进行提问和检测，比比谁学得好。

）（学生自学，老师巡查监督学生自学，调整学习进度）提问：1、角平分线性质定理：学生回答，老师总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、角平分线判定定理：学生回答，老师总结：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、如何证三条角平分线交于一点？学生回答，老师总结：基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点；要想证明三条角平分线相交于一点, 只要能证明两条的交点在第三条直线上即可。

4、通过例2的证明，你能得到什么结论？学生回答，老师总结：定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.新知探究例2、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB 、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F。

求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PF=PF.证明：∵BM 是∠ABC的平分线，点P在BM上∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理，PF=PE∴PD=PE=PF∴点P在A的平分线上(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)即 ∠A 的平分线经过点P ，且PD=PF=PF.新知归纳三角形三条角平分线性质定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

课题：第一章第四节角平分线（第二课时）课型：新授课教学目标：1.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力．（重点）2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．（重难点）3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教法与学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.教学过程：一、感悟导入问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)．[生]三角形的三个内角的角平分线交于一点．[生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．[师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？[生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点．[师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？[生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．[师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点．二、探究新知1.三角形角平分线性质定理的证明[师生共析]已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE＝PF．∴PD＝PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．[师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？[生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．[师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理[师]下面我们来看问题2(多媒体演示)如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．[师]你如何发现的？[生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．[生]我找到四处．(同学们很吃惊)[师]你是如何找到的？[生]除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA 的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠CBA的外角的角平分线的交点P3．因此满足条件的点共4个，分别是P、P1、P2、P3．三、合作竞学多媒体演示[例1]如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC＝CD＋DB，CD＝4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE＝CD＝4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB＝AC＋CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB＝AE＋BE，所以需证AC＝AE，CD＝BE．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C ＝90°，DE ⊥AB ．∴DE ＝CD ＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵AC ＝BC ．∴∠B ＝∠BAC (等边对等角)．∵∠C ＝90°，∴∠B ＝21×90°＝45°． ∴∠BDE ＝90°－45°＝45°．∴BE ＝DE (等角对等边)．在等腰直角三角形BDE 中BD ＝22DE ＝24cm(勾股定理)，∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝(4＋24)cm ．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED (HL 定理)∴AC ＝AE ．∵BE ＝DE ＝CD ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD ．[例2]已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC ＝OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．证明：(1)∵P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC ＝PD (角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt △OPC 和Rt △OPD 中，OP ＝OP ，PC ＝PD ，∴Rt △OPC ≌Rt △OPD (HL 定理)．∴OC ＝OD (全等三角形对应边相等)．(2)又OP 是∠AOB 的角平分线，∴OP 是CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？四、课堂小结1.师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？生1：本节课我学会了证明三角形角平分线的性质定理．生2：我们可以用三角形角平分线的性质定理解决一些数学问题和实际问题.生3：我进一步熟练了尺规作角的平分线．生4：我学会了类比的思想方法.生5：通过课本p39,第2题和助学p24第7题我学会了归纳总结思想.五、达标检测1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE =AF ；③AD 上的点到B 、C两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有：( )A.1个B.2个C.3个D.4个〖答案〗D2. 已知：如下图，在△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢?〖答案〗证明：过点F 作FG ⊥BC ,FM ⊥AE ,FN ⊥AD 垂足分别为G 、M 、N .∵FB 、FC 分别为∠CBD 、∠BCE 的角平分线∴FG = FN , FG =FM∴FN =FM∴点F 在∠DAE 的平分线上.六、布置作业1．习题1．9第1，2，3题．2．完成助学p26第1，2题．选作第5题七、 板书设计§1．4．2 角平分线(二)1．定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． F E D AC B M N G FA D EB C2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：(略)解：(略)八、教学反思教材中的引入是一种用被动的方式将学生的知识回想起来.而笔者的引入以交流方式让学生主动回想起角平分线的概念以及画法，这样对学生思维的启发度深；也让学生明白前后知识的联系，以填空的形式给出让学生的思维对角平分线是射线、三角形的角平分线是线段有了充分的理解与掌握.这样学生对知识的学习达到知其然、知其所以然的效果.1、这节课主要是用类比的教学方法——将书本的知识隐含的内容表达出来、给学生一种美的感受；将旧知与新知以有效的语言表达出来、合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围；这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果。

P DAE COB角平分线（二）学习目标: 会证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论 试探题：作出三角形三角平分线的交点并观看，你能发觉什么？ 问题与题例:问题1：作三角形的三个内角的角平分线，你发觉了什么?能证明自己发觉的结论必然正确吗？ 结论：__________________________________________________________________ 例1：如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ． 目标检测：一、如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条彼此交叉的公路， 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可选择的地址有几处？你如何发觉的?二、已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足别离为C 、D ． 求证：(1)O C=OD ； (2)OP 是CD 的垂直平分线． 配餐练习： A 组：一、命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是________________________________________.二、P 在∠AOB 的角平分线上，在利用角平分线性质 定理推证PD=PE 时，必需知足的条件是_________________.ADBECl 3l 21l CBAB组：1、四边形ABCD中，AD∥BC，假设∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE,且恰好平分∠ABC，那么AB的长与AD+BC的长的大小关系是( )A．AB>AD+BD B．AB=AD+BCC．AB<AD+BC D．无法确信2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠B AC交BC于D，假设BC=64，且BD：CD=9：7，那么D到AB边的距离为（）A．18 B．32 C．28 D．243、知识技术一、2题。

北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计2一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1.4节的内容。

本节主要介绍了角平分线的性质，包括角平分线的定义、角平分线上的点到角的两边的距离相等、角平分线与角的对边成等角等。

教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和几何直观能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了角的概念、线的概念以及一些基本的几何图形，具备了一定的观察和推理能力。

但对于角平分线的性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和图形来引导他们理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的几何直观能力和推理能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。

2.难点：理解并证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和几何直观法进行教学。

通过提出问题，引导学生观察、操作和推理，培养学生的几何直观能力和推理能力。

六. 教学准备1.准备一些角的模型和尺规作图工具。

2.准备多媒体教学设备，以便展示图形和实例。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾之前学习过的角的概念和线的概念，为新课的学习做好铺垫。

2. 呈现（10分钟）教师通过展示一些角的模型和实例，引导学生观察和思考：角平分线是什么？角平分线有哪些性质？3. 操练（10分钟）教师引导学生通过尺规作图，自己画出一个角的平分线，并观察和测量角平分线上的点到角的两边的距离。

学生相互交流自己的观察结果，教师总结角平分线的性质。

4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。

教师巡回指导，帮助学生解答疑问。

角平分线模型授课日期时 间主 题教学内容1. 熟练掌握与角平分线相关的性质；2. 会根据角平分线模型分析证明.1. 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用: 证明两条线段相等）；2. 角平分线的性质定理逆定理: 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（作用: 证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）.3. 还有哪些性质或定理与角平分线有关？ 角平分线+平行线→等腰三角形: 如图, 已知 平分 , , 则 ； 如图, 已知 平分 , , 则 ．NBMPCABPCAFE三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）:如图, 已知 平分 , 且, 则 , ．CDAB【例1】如图: 已知在 中, 的平分线与 的外角平分线交于点 , ∥ , 交 于点 , 交 于点 , 求证: .FEDABCM【例2】如图, 已知在 中, , 的两条角平分线 相交于点 ,求证： .DEOBC A【例3】如图, 已知 中 垂直于 的平分线 于 , 交 于 , 求证: .ED CAB【例4】已知如图在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, ∠A 的平分线交CD 于F, BC 于E, 过点E 作EH ⊥AB 于H.求证：（1）CF=EH. （2）四边形CEHF 是菱形.1. 已知: 如图, 平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H,求证：四边形EFGH是矩形.2. 已知: 如图, 于点是中点,求证：.AD CHB3. 如图, 已知∠BAC=90°, AD⊥BC于点D, ∠1=∠2, EF∥BC交AC于点F. 试说明AE=CF.21FE DABC。

2019-2020学年九年级数学上册 1.4 角平分线教案（1）北师大版学习目标：1、角平分线的性质定理、判定定理的证明．2、用尺规作已知角的角平分线．3、进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．教学重点、难点重点1、角平分线的性质和判定定理的证明．2、用尺规作已知角的角平分线并说明理由．难点正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．教法及学法指导：启迪诱导－自主探究课前准备：制作课件.教学过程：一、创设情境，呈现问题我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？你能证明它吗?二、合作探究（一）探究角平分线的性质定理生:自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．师：对有困难的学生要给以指导后板书已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．师：(用多媒体演示)21EDCPOBA定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 符号语言：∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，垂足为点D PE ⊥OB ，垂足为点E ．∴PD =PE（二）探究角平分线的判定定理 师：你能写出这个定理的逆命题吗?生1：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．生2：（质疑）“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”师：肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。

只有射线OC (即在∠AOB 内部的射线)才是∠AOB 的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件． 再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。

角平分线一、内容与分析本节课要学习的主要内容是三角形三角平分线定理，指的是证明三角形三边角平分线交于一点切这点到三边距离相等，其核心是该定理的应用；通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力；教学重点是综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题，解决的关键是弄懂三角形三角平分线的定理。

二、目标与分析教学目标：会证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论目标分析：会证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论就是指能够利用前面学习过的知识，通过正确的方法得出三角形三角平分线交于一点并且这点到三边距离相等。

三、问题诊断分析由于三角形三角平分线定理比较抽象，内容也较复杂，所以学生掌握起来比较困难，教师在讲解时需要细致一点，充分发挥学生的主观能动性，让学生去发现。

四、教学过程分析问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ． 已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 证明：P 点在∠B AC 的角平分线上．证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足．∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE =PF ． ∴PD =PF ．∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理变式练习：如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?l 3l 21l CBA师生活动：有一处。

学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。

学习重点：三角形三个内角的平分线的性质．综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．学习过程：课前热身（复习提问）三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？引入新课：（导学提问）分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的角平分线自主学习合作探究如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上（提示：过P点分别作AB、AC、BC的垂线）定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。

引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。

例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。

（1）求证：AB=AC+C巩固练习2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为 .3、Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm 。

4、△ABC 中，∠A B C 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。

5 、Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是 。

课堂小结1、证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理2、尺规作图第七环节：反馈检测1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD 是Rt △ABC 的角平分线。

求证：BD=2CD 。

2、已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ，且AC=AD ，求证：BE=BF3、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。

课题：第一章第四节角平分线（第二课时）课型：新授课教学目标：1.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力．（重点）2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．（重难点）3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教法与学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.教学过程：一、感悟导入问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)．[生]三角形的三个内角的角平分线交于一点．[生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．[师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？[生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点．[师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？[生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．[师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点．二、探究新知1.三角形角平分线性质定理的证明[师生共析]已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE＝PF．∴PD＝PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．[师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？[生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．[师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理[师]下面我们来看问题2(多媒体演示)如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？[生]有一处．在三条公路的交点A 、B 、C 组成的△ABC 三条角平分线的交点处． [师]你如何发现的？[生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．[生]我找到四处．(同学们很吃惊) [师]你是如何找到的？[生]除了刚才同学找到的三角形ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB 、∠ABC 外角的平分线交于点P 1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P 1在∠CAB 的角平分线上，且到l 1、l 2、l 3的距离相等．同理还有∠BAC 、∠BCA 的外角的角平分线的交点P 2；∠BAC 、∠CBA 的外角的角平分线的交点P 3．因此满足条件的点共4个，分别是P 、P 1、P 2、P 3．三、合作竞学 多媒体演示[例1]如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD ＝4cm ，求AC 的长； (2)求证：AB ＝AC ＋CD ．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC ＝CD ＋DB ，CD ＝4cm ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE ＝CD ＝4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB ＝AC ＋CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB ＝AE ＋BE ，所以需证AC ＝AE ，CD ＝BE ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C ＝90°，DE ⊥AB ．∴DE ＝CD ＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵AC ＝BC ．∴∠B ＝∠BAC (等边对等角)． ∵∠C ＝90°， ∴∠B ＝21×90°＝45°． ∴∠BDE ＝90°－45°＝45°． ∴BE ＝DE (等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD ＝22DE ＝24cm(勾股定理)， ∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝(4＋24)cm ．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC＝AE．∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．[例2]已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：(1)OC＝OD；(2)OP是CD的垂直平分线．证明：(1)∵P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP＝OP，PC＝PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)．(2)又OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？四、课堂小结1.师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？生1：本节课我学会了证明三角形角平分线的性质定理．生2：我们可以用三角形角平分线的性质定理解决一些数学问题和实际问题.生3：我进一步熟练了尺规作角的平分线．生4：我学会了类比的思想方法.生5：通过课本p39,第2题和助学p24第7题我学会了归纳总结思想. 五、达标检测1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE =AF ；③AD 上的点到B 、C两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有：( )A.1个B.2个C.3个D.4个〖答案〗D2. 已知：如下图，在△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢?〖答案〗证明：过点F 作FG ⊥BC ,FM ⊥AE ,FN ⊥AD 垂足分别为G 、M 、N . ∵FB 、FC 分别为∠CBD 、∠BCE 的角平分线 ∴FG = FN , FG =FM ∴FN =FM∴点F 在∠DAE 的平分线上.六、布置作业1．习题1．9第1，2，3题．2．完成助学p26第1，2题．选作第5题F E DACBM NG F AD EB C七、板书设计§1．4．2 角平分线(二)1．定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD．分析：(略)解：(略)八、教学反思教材中的引入是一种用被动的方式将学生的知识回想起来.而笔者的引入以交流方式让学生主动回想起角平分线的概念以及画法，这样对学生思维的启发度深；也让学生明白前后知识的联系，以填空的形式给出让学生的思维对角平分线是射线、三角形的角平分线是线段有了充分的理解与掌握.这样学生对知识的学习达到知其然、知其所以然的效果.1、这节课主要是用类比的教学方法——将书本的知识隐含的内容表达出来、给学生一种美的感受；将旧知与新知以有效的语言表达出来、合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围；这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果。

第一章三角形的证明4.角平分线（一）课题 1.4角平分线（一）第1课时共2课时教学目标1.要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理一一判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。

2 •理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

3 •能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。

重点角平分线性质定理及其逆定理。

难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

教学方法合作探究法教学过程：一.情景导入，初步认知让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用•【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.二.思考探究，获取新知探究1角平分线定理已知：如图，0C是/AOB勺平分线，点P在0C上，PD丄OA PEL OB垂足分别为D E.求证：PD=PE证明：仁/2，OP=OP/ PDO M PEO=90，•••△ PDO^ PEO（AAS）••• PD=PE全等三角形的对应边相等）.【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流.教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等探究2:角平分线的判定定理已知：在/ AOB内部有一点P,且PD1OA PE± OB D、E 为垂足且PD=PE.求证：点P在/ AOB勺角平分线上.证明：••• PDL OA PE! OB•••/ PDO M PEO=90 .在Rt△ ODP和Rt△ OEP中,OP=OPPD=PE••• Rt△ ODP^ Rt△ OEP（HL定理）.•••/仁/2（全等三角形对应角相等）.•••点P在/ AOB勺角平分线上.【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上三.运用新知，深化理解1.见教材P29例12.如图，已知：/ C=90°, DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E, AB=2AC 求证：CE=DE.证明：连结AE,由于/ C=90°，AB=2AC• / B=30°,Z CAB=60 .•••DE是AB的垂直平分线，• AE=BE^Z EAB W B=30°,• / CAE=60 —30°=30°,即AE是/ CAB的角平分线,•CE=DE.3.如图，已知：E是/AOB的平分线上的一点，且ECLOA ED丄OB垂足分别是CD.求证：OE垂直平分CD.证明：••• OE是/AOB的平分线,•CE=DE• Rt △ OC 舉Rt △ODE• OC=O,• O与E都在CD的垂直平分线上,• OE垂直平分CD.4.如图，已知：在△ ABC中，/ BAC的平分线交BC于D,且DEL AB DF L AC,垂足第一章三角形的证明2.角平分线（二）••• PD=PF•••点P在/BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）•• △ ABC的三条角平分线相交于点P.2. 证明：这一点到三条边的距离相等如上图，P是厶ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.由上题的证明可知：PD=PE=PF.【教学说明】让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性.【归纳结论】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 三.运用新知，深化理解1. 见教材P31例3.2. 已知：如图，P点是/ AOB^分线上的一点，PC X OA PDL0B垂足分别为C D. 求证：（1）0C=0；（2）OP是CD的垂直平分线.证明：（1）P点是/ AOB角平分线上的一点，PC X OA PDLOB• PC=PD角平分线上的点到角两边的距离相等）.在Rt△OPC ffi Rt△OPD中,OP=OP PC=PD•Rt△ OPC^ Rt△ OPD（H定理）.•- OC=O□全等三角形对应边相等）.（2）又T OP是/ AOB的角平分线，•OP是CD的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.3. 如图：直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？解：我找到四处.除了△ ABC三条角平分线交点P夕卜，在三角形外部还有三点.作 /ACB / ABC外角的平分线交于点P1（如图所示），我们利用角平分线的性质定理和判定。