高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识

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高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C

===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C

++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）

7、三角形面积公式：

111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2

)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---

8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．

9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222

cos 2a b c C ab

+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角）

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11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =o ；

②若222a b c +>，则90C

③若222a b c +<，则90C >o ．

12、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

第一章 解三角形单元测试

一 选择题：

1.已知△ABC 中，30A =o ，105C =o ，8b =，则等于

（ ）

A 4

B

C

2. △ABC 中，45B =o ，60C =o ，1c =，则最短边的边长等于

（ ）

A

B C 1

2

D

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为

( )

A 90°

B 120°

C 135°

D 150°

4. △ABC 中，cos cos cos a b c A B C ==，则△ABC 一定是

（ ）

A 直角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

5. △ABC 中，60B =o ，2b ac =，则△ABC 一定是

（ ）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC

( )

A 有 一个解

B 有两个解

C 无解

D 不能确定

7. △ABC 中，8b =，83c =，163ABC S =V ，则A ∠等于

（ ） A 30o B 60o C 30o 或150o D 60o 或120o

8.△ABC 中，若60A =o ，3a =，则sin sin sin a b c

A B C +-+-等于

（ ）

A 2

B 1

2 C

3 D 32

9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则

cos A =（ ） A 13 B 12 C 34

D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为

（ ）

A 锐角三角形

B 直角三角形

C 钝角三角形

D 由增加的长度决定

11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）

A. 3400米

B. 33400米

C. 2003米

D. 200米

12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )

A.10 海里

B.5海里

C. 56 海里

D.53 海里

二、填空题：

13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。

14.在△ABC 中，已知503b =，150c =，30B =o ，则边长a = 。

15.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60o

，另两边之比为8：5，则这个三角形的

面积为 。

三、解答题：