高中数学必修五知识点汇总
第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:
1．正弦定理:2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径).
步骤1.
证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA
得到b b
a a sin sin =
同理，在△ABC 中， b
b
c c sin sin =
步骤2.
证明：2sin sin sin a b c
R A B C
===
如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.
所以C R
c
D sin 2sin ==
故2sin sin sin a b c R A B C ===
2.正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==2c R =；
()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；
（4）R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算
解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
1．余弦定理： 2222
222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩
2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪
=⎨⎪
⎪+-=
⎪⎩
.
设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:
已知三角形的三边为a,b,c,
1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）
2.设)(2
1
c b a p ++=
,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)
例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(2
1
c b a p ++=，求证：
（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则p
c p b p a p r )
)()((---=
（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p a
h a ---=
))()((2
c p b p a p p b h b ---=
))()((2
c p b p a p p c
h c ---=
证明：（1）根据余弦定理的推论：222
cos 2a b c C ab
+-=
由同角三角函数之间的关系，sin C ==
代入1sin 2
S ab C =，得
12S =
=
=
=记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1
()2
a b c p c +-=-
代入可证得公式
（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式1
22
S p r pr =⨯⨯=
其中1
()2
p a b c =++，所以S r p =
= 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角
形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=21
2121
（3）根据三角形面积公式1
2
a S a h =⨯⨯
所以，2a S h a =
a h =
同理b h c h 【三角形中的常见结论】
（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
2cos 2sin
C B A =+,2
sin 2cos C
B A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>
C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60
(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .
