2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.

一、选择题<共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.设1a ,则代数式32312612a a a +--的值为( >.

2.对于任意实数a b c d ,,,,定义有序实数对a b (,)与c d (,)之间的运算“△”为:

u v ,, 都有.

3.若1x >,0y >,且满足3y y x

xy x x y

==,,则x y +的值为( >.

92

4.点D E ,分别在△ABC 的边AB AC ,上,BE CD ,相交于点F ,设

1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形,,,,则13S S 与24S S 的大小关系为

( >.

5.设333

3

1111

12399S =

++++

,则4S 的整数部分等于( >.

6.若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m 的取值范围是 .

7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8.如图,点A B ,为直线y x =上的两点,过A B ,两点分别作y 轴的平行线交双曲线1

y x

=

9.若

1

12

y x x =-+-

的最大值为a ,最小值为b ,则22a b +的值为 . 10.如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为35,正方形CDEF 内接于△ABC ,且其边长为12,则△ABC 的周长为 .三、解答题<共4题,每题20分,共80分)

11.已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax b ++=的两个根都大1,求a b c ++的值.

12.如图,点H 为△ABC 的垂心,以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点.

<第8题)

<第10题)

13.如图,点A 为y 轴正半轴上一点,A B ,两点关于x 轴对称,过点

A 任作直线交抛物线2

23

y x =

于P ,Q 两点. <1)求证:∠ABP =∠ABQ ;

<2)若点A 的坐标为<0,1),且∠PBQ =60º,试求所有满足条件的直线

PQ 的函数解读式.

14.如图,△ABC 中,60BAC ∠=︒,

2AB AC =.点P 在△ABC 内,且

352PA PB PC ===,,,求△ABC 的面积.

中国教育学会中学数学教学专业

委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答

一、选择题 1.A

解:由于71a =-, 17a +=, 262a a =-, 所以

3223126123621262612

61260

662126024.

a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=()()()

2.B

解:依定义的运算法则,有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩,,即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩

,对任何实数

u v ,都成立. 由于实数u v ,的任意性,得

<第13题)

<第12题) <第14题)

3.C

解:由题设可知1

y y x -=,于是

341y y x yx x -==,

所以 411y -=, 故1

2

y =

,从而4x =.于是92x y +=.

4.C

解:如图,连接DE ,设1DEF S S ∆'=,则

14

23S S EF S BF S '==,从而有1324S S S S '=.由于11S S '>,所以1324S S S S >.

5.A

解:当2 3 99k =,,,时,由于

()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤

<=-⎢⎥-+-⎣⎦

, 所以 33

31111115111239922991004

S ⎛⎫<=+

+++

<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4.

二、填空题 6.3<m ≤4

解:易知2x =是方程的一个根,设方程的另外两个根为12 x x ,,则124x x +=,12x x m =.显然1242x x +=>,所以

122x x -<, 164m ∆=-≥0,

()

2

121242x x x x +-<,164m ∆=-≥0,所以

1642m -<, 164m ∆=-≥0,

解之得 3<m ≤4.

<第4题)