近世代数群的概念

（finite group），否则称G为无限群（infinite group).
例３ 整数集Z 关于数的加法构成群．这个群
称为整数加群．
证 对任意的 a,b Z ，有a b Z，所以“＋”
是 Z上的一个代数运算．同时，对任意的a,b,c Z,
有
(a b) c a (b c),
所以结合律成立.
一．群的定义
定义1.2.1 设A是一个非空集合, 若对A中任意 两个元素a,b, 通过某个法则“ ”，A有 中惟一确定的 元素c与之对应, 则称法则“ ”为集合上的一个代数运 算（algebraic operation）．元素c是a,b,通过运 算“ ”作用的结果, 我们将此结果记为a b c.
例１ 有理数的加法、减法和乘法都是有理数集
Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考
虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运 算.
例２
设
m
为大于1的正整数，Z
为
m
Z
的模
m
剩余类集．对 a,b Zm ，规定
a b ab
a b ab.
则“＋”与 “ ”Z都m是 上的代数运算． 证 我们只要证明, 上面规定的运算与剩余类
因此 xy Un．于是“ ”是U n 的代数运算．
(2) 因为数的乘法满足交换律和结合律，所以U n
的乘法也满足交换律和结合律．
(3) 由于 1Un，且对任意的 x Un ，
1 x x1 x
所以1为U
的单位元．
n
(4) 对任意的 x Un ，有 xn1 Un
x xn1 xn1 x xn 1,
(a b ) c a b c (a b) c a (b c) a b c a (b c ),
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
例６ 集合{1, 1,i, i}关于数的乘法构成交换群
例７ 全体 n次单位根组成的集合
Un {x C | xn 1}
cos
2k
n
i sin 2k
n
k
0,1,2,L
, n 1
关于数的乘法构成一个n阶交换群．
证 (1) 对任意的 x, y Un，因为xn 1, yn 1,
所以
(xy)n xn yn 11 1,
，且
所以x有逆元 xn1 ．
因此 U n关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为
n
次单位根群，显然U
是一个具有
n
n个元素的交换群．
例８ 设 m是大于1的正整数，则 Zm关于剩余 类的加法构成加群.这个群称为Z 的模 m剩余类加群．
证 (1) 由例２知，剩余类的加法“＋”是Zm 的
代数运算． (2) 对任意的 a,b ,c Zm ，
定义1.2.2 设G是一个非空集合，“ ”G是 上的 一个代数运算，即对所有的a,b G,有 a b G. 如 果G的运算还满足
(G1) 结合律，即对所有的a,b,c G, 有； (a b) c a (b c);
(G2) G中有元素e，使对每个a G ，有
e a a e a; (G3) 对G中每个元素 ，存在元素b G，使
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
例４ 全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法
构成交换群, 这个群的单位元是数1，非零有理数
a
a
b
b
的逆元是
的倒数
b
a ．同理，全体非零实数的
集R*、全体非零复数的集合C*关于数的乘法也．
构成交换群．
例５ 实数域R上全体 n 阶方阵的集合 M n (R)， 关于矩阵的加法构成一个交换群．全体 n阶可逆 方阵的集合GLn (R)关于矩阵的乘法构成群，GLn (R) 群中的单位元是单位矩阵 En ，可逆方阵 AGLn (R) 的逆元是 A 的逆矩阵 A1. 当 n 1 时，GLn (R) 是一个非交换群．
另一方面 0 Z，且a Z,有 a 0 0 a a,
所以0为 Z 的单位元. 又对每个a Z, 有 a (a) (a) a 0,
所以a是 a的逆元.
从而 Z关于“＋”构成群，显然这是一个交换群．
注 1．当群的运算用加号 “＋”表示时，通常
将G 的单位元记作0，并称0为G 的零元；将 a G
2．如果群 G的运算还满足交换律，即对任意的 a,b G ，有 a b b a ，则称G 是一个交换群
（commuta源自文库ive group）或阿贝尔群（abelian group)．
3．群G 中元素的个数称为群 G的阶（order），
记为| G ．| 如果| G 是| 有限数, 则称 G为有限群
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
(G3)中的元素 b 称为 a 的逆元（inverse）．
我们将证明：群G 的单位元 e 和每个元素的逆元 都是惟一的．G中元素 a的惟一的逆元通常记作a1．
所以0为 Zm的零元．
(5) 对任意的 a Zm , a a a a 0,