巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修五模块质量检测2及答案解析

北师大版高中数学必修五第二章 解三角形（北师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分一、选择题（每小题5分，共30分）1.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（ ） A.200米 B.300米 C.400米 D.500米2.线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则行驶( )h 后，两车的距离最小． A.B.C. D.3.已知a ，b ，c 为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A)，若m ⊥n ，且 a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B=( )A. B.C. D.4.在△ABC 中， B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大内角为( ) A.45° B.60° C.70° D.75°5.若△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 的长是( )A.5B.6C.7D.86.在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c)2，则cos A ＝( )A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共30分） 7.在锐角△ABC 中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范围为 .8.在△ABC 中， 2sin Acos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 . 9.在△ABC 中，cos22B ＝2a +c c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 .10.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，B=30°，则 b＝ .11.一船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 km.12.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是 n mile. 三、解答题（共90分）13.（10分）在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.(1)若c ＝2,C ＝,且△ABC 的面积为,求a,b的值；(2)若sin C ＋sin(B －A)＝sin 2A,试判断△ABC 的形状.14.（10分）在△ABC 中，已知23=a ，62=+c ，B=45°，求b 及A.15.（12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅=． （1）求△ABC 的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．16.（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C的对边，已知2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，求A 的大小及cBb sin 的值.17.（10分）在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,B ＝,b ＝,a ＋c ＝4,求a 的值.18.（18分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC = 0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离.（计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449）19.（18分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.第二章解三角形参考答案1.C 解析：如图所示，AD 为山坡底线，AB 为行走路线，BC 垂直于水平面,作BD ⊥AD 于点D,则BC=100米，∠BDC=30°，∠BAD=30°， ∴ BD=200米，AB=2BD=400 米．故选C.2.A 解析：如图所示，设行驶t h 后，汽车由A 行驶到D （0≤t ≤2.5），摩托车由B 行驶到E ，则AD =80t ，BE =50t.因为AB =200，所以BD =200-80t ， 问题就转化为求DE 最小时t 的值．由余弦定理得DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BEcos 60°=(200-80t)2+2 500t 2-(200-80t)·50t =12 900t 2-42 000t+40 000.当t =7043时，DE 最小．故选A. 3.C 解析：∵ m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴ tan A ＝3，∴ A ＝π3.∵ acos B ＋bcos A ＝csin C ，∴ sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，∴ sin(A ＋B)＝sin 2C ，∴ sin C ＝sin 2C.∵ sin C ≠0，∴ sin C ＝1.∴ C ＝π2，∴ B ＝π6.故选C.4.D 解析：不妨设a 为最大边，则c 为最小边．由题意得，＝ sin sin AC＝3＋12，即sin sin(120)A A ︒-＝3＋12，∴sin 31cos sin 22AA A +＝3＋12，即(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ，∴ tan A ＝2＋3，∴ A ＝75°.故选D.5.C 解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin 60︒，即bc ＝40.因为△ABC 周长是20，故a ＋b ＋c ＝20，∴ b ＋c ＝20－a.由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c)2－3bc ，故a 2＝(20－a)2－120，解得a ＝7.6.B 解析：S ＝a 2－(b －c)2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴ sin A ＝4(1－cos A),16(1－cos A)2＋cos 2A ＝1，∴ cos A ＝1517或cos A=1（舍去）.故选B.7. 2 ，)3,2( 解析：设,A =θ则B 2B θ=，由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角△ABC 得0290045θθ<<⇒<<， 又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2(2,3).AC ∴=∈θc os8.等腰三角形 解析一：∵ 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即C ＝π－(A ＋B)，∴ sin C ＝sin(A ＋B)．由2sin Acos B ＝sin C ，得2sin Acos B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ， 即sin Acos B －cos Asin B ＝0，即sin(A －B)＝0.又∵ －π＜A －B ＜π，∴ A －B ＝0，即A ＝B.∴ △ABC 是等腰三角形． 解析二：利用正弦定理和余弦定理2sin Acos B ＝sin C 可化为2a ·2222a +c -b ac＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，a 2＝b 2，故a ＝b.∴ △ABC 是等腰三角形．9.直角三角形 解析：∵ cos22 B ＝2a +c c ，∴ cos 12 B +＝2a +c c， ∴ cos B ＝，∴ 2222a +c -b ac＝，∴ a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴ △ABC 为直角三角形．10.2 解析：如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得=4，∴ b=2.11. 30解析：如图所示,依题意有AB ＝15×4＝60.由题意易知∠MAB ＝30°,∠AMB ＝45°, 在△AMB 中,由正弦定理得＝，解得BM ＝30（km ）.12. 70 解析：如图所示，由题意可得OA ＝50，OB ＝30.而AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 120°＝502＋302－2×50×30×(－12)＝2 500＋900＋1 500＝4 900， ∴ AB ＝70.13. 解：(1)∵ c ＝2,C ＝,∴ 由余弦定理＝＋－2abcos C 得＋－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为,∴ absin C ＝,ab ＝4.联立方程组解得(2)由sin C ＋sin(B －A)＝sin 2A,得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sin Acos A, 即2sin Bcos A ＝2sin Acos A,∴ cos A ·(sin A －sin B)＝0, ∴ cos A ＝0或sin A －sin B ＝0, 当cos A ＝0时,∵ 0＜A ＜π, ∴ A ＝,△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时,得sin B ＝sin A,由正弦定理得a ＝b,即△ABC 为等腰三角形. ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形. 14.解：∵ 2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)++-⨯⨯+cos 45° =212(62)43(31)++-+=8， ∴ 2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.方法一：∵ cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-===⨯⨯+b c a A bc ∴ 60.A ︒= 方法二：∵ sin 23sin sin 4522a A B b ==⨯︒ =23，又62+＞2.4 1.4 3.8,+=23＜21.8 3.6,⨯=∴ a ＜c ，即0︒＜A ＜90,︒∴ 60.A ︒=15.解：（1）∵ 25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==. 又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==.（2）由（1）知5bc =，又6b c +=，∴ b=5,c=1或b=1，c=5.由余弦定理，得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=.16.分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求A ，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值.解法一：∵ b 2=ac,又a 2－c 2=ac －bc ，∴ b 2+c 2－a 2=bc.在△ABC 中，由余弦定理得cos A=bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴ A=60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B=aAb sin .∵ b 2=ac ，A=60°，∴ ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin 60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A=21ac sin B.∵ b 2=ac ，A=60°，∴ bc sin A=b 2sin B.∴cBb sin =sin A=23.点评：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.17.解：由余弦定理＝＋－2accos B ＝＋－2accos ＝＋＋ac ＝－ac.又∵ a ＋c ＝4,b ＝,∴ ac ＝3.联立解得a ＝1或a ＝3.18.解:在△ADC 中，∠DAC = 30°, ∠ADC = 60°－∠DAC=30°, 所以CD = AC = 0.1 km .又∠BCD = 180°－60°－60° = 60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD = BA. 在△ABC 中，∠ABC=75°-60°=15°，，ABC ACBCA AB ∠=∠sin sin即.2062315sin 60sin +==︒︒AC AB 因此，BD =≈0.33(km).故B ，D 的距离约为0.33 km.19.解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；B 点到M ， N 点的俯角22,αβ；A ，B 间的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM ，由正弦定理得212sin sin()d AM ααα=+ ；第二步：计算AN ，由正弦定理得221sin sin()d AN βββ=- ；第三步：计算MN ，由余弦定理得22112cos()MN AM AN AM AN αβ=+-⨯- .方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）. ②第一步：计算BM ，由正弦定理得112sin sin()d BM ααα=+ ；第二步：计算BN ， 由正弦定理得121sin sin()d BN βββ=- ；第三步：计算MN ， 由余弦定理得22222cos()MN BM BN BM BN βα=++⨯⨯+.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )． A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152. 答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )． A ．－14B.14C ．－23 D.23解析 由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )．A ．16B ．32C ．64D ．256解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )． A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3， ∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．A. 2B.32C.322D ．2解析 |CD|＝1＋1＝2，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1，∴S △CDA ＝12×2×12＝12，S △CDB ＝12×2×1＝1.故所求区域面积为32.答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m)x ＋(3－m)＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m ＜3. 答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )． A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关 解析 因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝ a n (1－q)(1－q 2)＝a n (1－q)2(1＋q)＞0. 答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )． A. 3 B.2C ．±3D ．± 2解析 等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }， 则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝± 3.答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m＝ 1. 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q)＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n .∴b n ＝3－n.∴S 10＝－25. 答案 －2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝PA sin ∠PBA ，60sin 15°＝PAsin 135°，∴PA ＝60(3＋1)，PQ ＝PA ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C(1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析 如图，设AB ＝k ， 则AC ＝2k ，再设BD ＝x ， 则DC ＝2x.在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x.② 由①②得x 2－4x －1＝0， 解得x ＝2＋5(负值舍去)． 答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析 因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23， 所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n(n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x>b}， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0， 即x 2－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解 据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×3×32＝1534.19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6) 解 (1)第一年末的住房面积为 a ·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)． 第二年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102，第四年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103，第五年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b.依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 法一 作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二 设2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y)≤－12，－52≤52(x －y)≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt.此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

北师大版高中数学必修五必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135B.100C.95D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c)cos A ＝acos C ，则cos A 的值等于( ) A.23B. 33C. 43D. 634.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4B.5C.54D. 51 5.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.36.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B.44S a ＞66S a C.44S a ＜66S a D.44S a ≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x(x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2C.a n ＝n ＋1D.a n ＝n8.设函数f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f(a)<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1) 9.已知a>0，b>0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2B.22C.4D.510.已知目标函数z=2x+y 中变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f(x)对任意a ，b 满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( ) A.4 018B.1 006C.2 010 D.2 01412.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab)>1，则c 的取值范围是( )A.0<c<1B.1<c<8C.c>8D.0<c<1或c>8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B=.14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为. 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为.16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A)共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N*) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b =n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测 点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船 发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 图120.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R).21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝cb .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理得3sin Bcos A ＝sin Ccos A ＋cos Csin A⇒3sin Bcos A ＝sin(C ＋A)＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＝⎪⎭⎫⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q>0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ； 当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(q a q q a --＝q 3(1－q)()()642111q q q ---⋅＝231q q +611qq--⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n(n ∈N +).8.A 点拨：不等式f(a)<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a a a ＜＜解得a ≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a 的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab⋅1＝4，当且仅当a 1＝b 1，且ab1=ab 时，取等号，故应选C. 10.C11.D 点拨：由f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，)()1(n f n f +＝f(1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b)，即b ＝2a.又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab)＝log c 8>1＝log c c ，有1<c<8，故选B.二、13.60° 点拨：依题意得acos C ＋ccos A ＝2bcos B ，根据正弦定理得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝2sin Bcos B ，则sin(A ＋C)＝2sin Bcos B ，即sin B ＝2sin Bcos B ，所以cos B ＝21，又0°<B<180°，所以B ＝60°， 14.425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+y x ＝41.设f(t)＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f(t 1)－f(t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0， 所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f(t 1)－f(t 2)>0.即f(t 1)>f(t 2).∴f(t)＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f(t)＝t ＋t 2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则nn T S ＝12105-+n n ，而77b a ＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3.16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒nn a a 1+＝34(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ， 三、17.解：(1)因为m ∥n ， 所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0. 即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫⎝⎛-611,6ππ， 故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ， 又S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ， 而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ≤43×4＝3. 当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n.即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n b n a 1+.∴nb b b n -+++)(214=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)－(n+1)］=(n+1)b n+1.②②－①，得2(b n+1－1)=(n+1)b n+1－nb n ,即(n －1)b n+1－nb n +2=0,③ ∴nb n+2－(n+1)b n+1+2=0.④④－③，得nb n+2－2nb n+1+nb n =0,即b n+2－2b n+1+b n =0,∴b n+2－b n+1=b n+1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列.19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADB DAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时， 原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a 2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1； ③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2， 又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ， 从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21， 所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n211.令f(n)=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21. 因为f(n)＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立， 则8≤10＋λ，得λ≥－2， 所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x(x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x 900＋9x ＋10 809≥2x x9900⋅＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x(x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则 y 2＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f(x)＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则 f(x 1)－f(x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

北师大版高中数学必修五期中综合测试卷一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 1．数列252211，，，，的一个通项公式是 （ ） A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D.33n a n =+ 2．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 4．在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于 （ ）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1505．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．33-D ．不确定 6.在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为（ ） A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π 7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 （ ） (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100009. 若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=（ ）A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n-10．从2004年到2010年间，甲每年6月1日都到银行存人m 元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2011年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A 7)1(q m +元 B 8)1(q m + 元 C []q q q m )1()1(7+-+ 元 D[]qq q m )1()1(8+-+元二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列 一共有项. 12．在ABC ∆中，04345,22,3B c b ===，那么A ＝____________; 13．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ .14．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距km15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第10案中有白色地面砖______________块.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五模块质量检测(二)(江西专用)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2asin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150° 解析： 根据正弦定理sin B ＝2sin Asin B ， 所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析： 由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴d ＝a 5－a 15－1＝2∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值． 答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12acsin B ＝32∴ac ＝6又∵b 2＝a 2＋c 2－2accos B ∴b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accos 30° ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析： 由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100， ∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.7．已知△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，bsin B －csin C ＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析： ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形，A ＝90°.又∵bsin B －csin C ＝0，即bsin B ＝csin C ， ∴sin 2B ＝sin 2C ，又∵A ＝90°，∴B ＝C. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： C8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析： 如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎨⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A(1,5)，同理可得B(－2，2)，C(1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎨⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1)n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝an －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列． 答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a)⊗(x ＋a)＝(x －a)(1－x －a)， ∴不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 成立， 即(x －a)(1－x －a)＜1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0， 解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析： 因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12absin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 312．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________．解析： 由a 3a 7＝3，知a 52＝3，所以a 5＝± 3. 答案： ± 313．设点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________． 解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x≥281＝18. 答案： 1814．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析： 先画部分可行域⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A(3,0)，B(0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)． 答案： (－∞，－3]∪[0,6)15．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎨⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案：32≤a ＜3 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解析： 在△ACD 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11142＝5143. 在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝7×5143sin 45°＝562.17．(12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．解析： (1)由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)；又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．从而，S n ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得： 13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49t ， 解得t ＝2.18．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋(a －1)x －a>0}，B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)>0(a ≠b)}，M ＝{x|x 2－2x －3≤0}．(1)若∁U B ＝M ，求a ，b 的值； (2)若－1<b<a<1，求A ∩B ；(3)若－3<a<－1，且a 2－1∈∁U A ，求实数a 的取值范围．解析： 由题意，得A ＝{x|(x ＋a)(x －1)>0}，∁U B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)≤0}，M ＝{x|(x ＋1)(x －3)≤0}．(1)若∁U B ＝M ，则(x ＋a)(x ＋b)＝(x ＋1)(x －3)， 所以a ＝1，b ＝－3，或a ＝－3，b ＝1. (2)若－1<b<a<1，则－1<－a<－b ＜1，所以A ＝{x|x<－a 或x>1}，B ＝{x|x<－a 或x>－b}． 故A ∩B ＝{x|x ＜－a 或x ＞1}． (3)若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A ＝{x|x<1或x>－a}，∁U A ＝{x|1≤x ≤－a}． 又由a 2－1∈∁U A ，得1≤a 2－1≤－a ，即⎩⎨⎧a 2－2≥0a 2＋a －1≤0，解得－1－52≤a ≤－ 2.19．(12分)已知f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f(x)>0； x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求y ＝f(x)的解析式；(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.解析： (1)由x ∈(－3,2)时，f(x)>0；x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0知：－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18.(2)由a<0，知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下．要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0⇔c ≤－2512.∴当c ≤－2512时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.20.(12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？ 解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C.因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．21．(15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设c n ＝n(3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8. 解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝1,2,3…)．(3)证明：∵c n ＝n(3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.① 而12T n ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .② ①－②得12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n&知识就是力量&＝8－82n －4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝8－8＋4n 2n (n ＝1,2,3，…)． ∴T n ＜8.。

高二数学必修5测试题一．选择题（每道4分，共计40分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ） A ．21B ．23 C.1 D.33.已知{}n a 等比数列，且0n a >,252645342=++a a a a a a 那么53a a +=（ ）A. 5B. 10C. 15D. 204.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．65．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为 （ ）A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn nC ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ．5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ） 10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A 、63B 、108C 、75D 、83 二、填空题（每道4分，共计16分）11.在ABC ∆中，045,B c b ===，那么A ＝_____________;12.a 克糖水中含有b 克糖(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了。

北师大版高中数学必修五 高一下学期第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.在ABC ∆中，若a =1,C=︒60,c =3则A 的值为( ) A ．︒30 B ．︒60 C ．30150︒︒或D ．60120︒︒或2.已知{}n a 是等差数列，713+a =20a ，则91011+a +a =a （ ） A.36 B.30 C.24 D.183.若0,0<<<<c d a b ，则( ) A.bd ac < B.dbc a > C.d b c a +>+ D.d b c a ->- 4．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．下列结论正确的是( ) A.当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B.当0>x 时，21≥+xx C.当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D.当20≤<x 时，xx 1-无最大值 6.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k 7．在△ABC 中，已知sin 2sin()cos B B C C =+，那么△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形 D ．等边三角形8.若方程 04)1(2=++-x m x 在(0,3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310] 9．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．有限数列A :1a ,2a ,…,n a ,n S 为其前n 项和，定义nS S S n+++ 21为A 的“凯森和”，若有99项的数列1a ,2a ,…,99a 的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，1a ,2a ,…,99a 的“凯森和”为（ ） A.1001B.991C.999D.990二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.不等式21030x x x ->--的解集是____________.12．函数143++=x x y )1(->x 的最小值是 13．在ABC ∆中，满足222a bc cb =-+，且3ab=，则角C 的值为. 14．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为. 15、如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有(1,)n n n N >? 个点，每个图形总的点数记为na ，则23344521320149999a a a a a a a a ++++=.三．解答题：本大题共6小题，共75分.16．(12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．17．(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3152,105.a S == （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）设32n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+．（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； （2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式()0f x >．19．（12分）△ABC 中内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，已知2c =,3C π=（1）若△ABC 的面积等于3，求,a b ;（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求△ABC 的面积.20.（13分）某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已知第x 天应付的维修费为1(1)5004x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦元．机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费 用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废．(1)将每天的平均损耗y(元)表示为投产天数x 的函数； (2)求机器使用多少天应当报废？21.（14分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n b 是等差数列； （3）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈下学期第二次月考数学试卷一．选择题：ABCDB DBDDB二．填空题：11、(5,1)(6,)-⋃+∞ 12、433- 13、90 14、 1 15、20122013三、解答题：16．(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)．从而S n ＝13×[1－(13)n]1－13＝12[1－(13)n](n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 17．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题得11221514151052a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………3 解得101a d =⎧⎨=⎩1n a n ∴=-； (6)（2）13232na n n b n n -=+=+ (7)023112(3333)2(123)n n n T b b b n -∴=+++=+++++++++1(13)31(1)(1)1322n n n n n n -=++==++-- (12)18．(1)由题1-=x ，3是方程022=+-+a bx ax 的二根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a (4)(2))1)(2(22)(22++-=+-+==x a ax a x ax x f b 时，………………………6 ∵0>a ∴0)1)(20)(>+-->x aa x x f 化为（ ①当⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<≥-≥-a a x x x a a a 211,12或时，解集为即 (9)②⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<<<-<-1210,12x a a x x a a a 或时，解集为即………………12 19．（1）由余弦定理及已知条件得224a b ab +-=， ………………………1分 又因为△ABC 的面积等于3，所以1sin 32ab C =，得4ab =， …………2分联立方程，解方程组得2,2a b ==. …………………………5分 （2）由题意得sin()sin()B A B A ++-=4sin cos A A ，即sin cos 2sin cos B A A A =. …………………………………………7分 当cos 0A =时， 2A p =, 6B p =, 233b =, 433a =………………8分 所以123sin 23ABC S ab C D == ………………………………………………9分 当cos 0A ¹时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组224a b ab +-=，解得233a =,433b =;…………………………………11分 20.(1)机器投产x 天，每天的平均损耗是y ＝1x[ 500 000＋⎦⎥⎤500＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋500＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋500＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x －14＋500 ＝1x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤500 000＋500x ＋18x(x －1)＝500 000x ＋x 8＋49978 ---------------6分(2)y ＝500 000x ＋x 8＋49978≥2500 000x ·x 8＋49978＝500＋49978＝99978， 当且仅当500 000x ＝x8，即x ＝2 000时取等号．所以这台机器使用2 000天应当报废．--13分21．（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列.n n a 21=+∴，12-=n n a （2）n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，n n nb n b b b 24)(21=∴-+++n n nb n b b b =-+++2)(221 ①1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③212)1(++=-+∴n n nb b n ④ ④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所以数列}{n b 是等差数列（3）1111121222n n n n a a -=<=-- 设132111++++=n a a a S ，则)111(211322n a a a a S ++++< )1(21112+-+=n a S a3213212112<-=-<++n n a a a S。

一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D，且CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72BC ．3D．2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）ABC ．3 D3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 4．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S = AB．C ．2 D ．45．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边，若b =60B =︒，若ABC 仅有一个解，则a 的取值范围是（ ）A．({}2⋃B ．30,2C ．{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．26．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2-D17．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =，2b =，45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒9．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．80B ．803C ．160D ．80510．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．6511．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A ．(2,2B ．(2,4⎤⎦C ．(4,222+D ．(222,6⎤+⎦12．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．23二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.14．在△ABC 中,若2,23,30,a b A ===︒则角B 等于______ .15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．在ABC 中，3A π∠=，D 是BC 的中点.若34AD BC ≤，则sin sin B C 的最大值为____________.17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．18．凸四边形ABCD 中，已知AB =4BC =，5CD =，1tan 2B =-，3cos 5C =，则sin D =__________.19．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，b =2ac +的最大值为______．20．若钝角三角形ABC 的三边长a ，8，b ()a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是________.三、解答题21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ； （2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值. 22．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a ，3c sin B =4a sin C ． （1）求cos B ； （2）求sin(2)6B π+的值．23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B ，sin 4sin C A =.（1）求B ；（2）在ABC 的边AC 上存在一点D 满足4AD CD =，连接BD ，若BCD △的面积为b . 24．现有三个条件①sin()sin ()sinc A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______． （1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积． 25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积为b c +的值．26．如图，观测站C 在目标A 的南偏西20方向，经过A 处有一条南偏东40走向的公路，在C 处观测到与C 相距31km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20km 到达D处，此时测得,C D 相距21km ，求,D A 之间的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得c ===. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．A解析：A 【分析】由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOBABC S SS=+可化简得2sin 3OACB S πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=，即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||222OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin 1221cos )θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=+2sin 34πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为538532++=. 故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯=所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．4．C解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2. ∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12， 解得a =，∴24sin a R A === ， 解得R =2.本题选择C 选项.5．A解析：A 【分析】根据b =60B =︒，由正弦定理得到sin 2sin sin b Aa A B==，然后作出函数2sin =y A 的图象，将问题转化为y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点求解. 【详解】因为b =60B =︒， 由正弦定理得sin sin a b A B=， 所以sin 2sin sin b Aa A B==， 因为()0,120∈︒A ，2sin =y A 的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，所以y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点， 所以03a <≤或2a =， 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.8．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin 2a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C9．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得BD =ABD △中，由余弦定理，即可得答案； 【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒， 由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得BD =ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ，ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280280cos135=+-⨯⨯︒ 2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．C解析：C 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022AC AD ACD ACD ∠=∠=， 可得sin 5ACD ∠=，ACD ∠为锐角，可得4cos 155ACD ∠=-=在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有45AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得225sin 5sin 455CD ACD A AD ⨯∠=， 由sin sin AC BC B A=可知10sin 55sin 2AC ABC B ⨯===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.12．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+ 解得5n =,故228a n =-=.故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.14．或【解析】∵∴由正弦定理得：∵∴或故答案为或解析：060或0120 【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 2b A B a ===∵b a > ∴60B =︒或120︒ 故答案为060或012015．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积． 【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学 解析：1532【分析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解. 【详解】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤， 因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠= 所以2222422+=+x a b c ，故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA = 12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】如图设先求出再求出再利用正弦定理求出即得解【详解】如图设在△中因为所以由余弦定理得所以在△中所以在△中由正弦定理得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形意在考查学生对这些知识 解析：7210【分析】如图，设,ACB ACD αβ∠=∠=，先求出37AC =，再求出cos ,sin 3737αα==，cos ,sin 537537ββ==，32=AD ，再利用正弦定理求出sin D 即得解. 【详解】如图，设,ACB ACD αβ∠=∠=，在△ACB 中，因为1tan 2B =-，所以cos 55B ==由余弦定理得2516254cos 2185(375AC B =+-=-=， 所以37AC =在△ACB中，cos (0,),sin 2πααα==∈∴=所以34cos cos()sin 55DCB βαβ=∠-=+=∴=在△ACD 中，225372518,AD AD =+-⨯=∴=sin D =∴==..【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==． ∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A AA A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20．【分析】由题意结合余弦定理可得再根据三角形三边关系可得即可得解【详解】由题意得且三角形为钝角三角形即即又由三角形三边关系可得即故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用属于中档题 解析：24d <<【分析】由题意结合余弦定理可得22640a b +-<，再根据三角形三边关系可得8b a -<，即可得解. 【详解】由题意得16a b +=且8a b <<， 三角形ABC 为钝角三角形，∴222cos 02a c b B ac+-=<即22640a b +-<，∴2264b a ->即()1664b a ->， ∴4b a ->，又由三角形三边关系可得8b a -<，∴48b a <-<即428d <<， ∴24d <<.故答案为：24d <<.【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）3π；（2 【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R aR B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. 【详解】 （1）由()sin sin sin b c CB A b a-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，可得3A π=. （2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R，可得2sin a R A ==， 又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥， 即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+= ()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径， 所以11tan tan B C +的最小值为3. 22．（1）14-；（2） 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合2b c a +=，把,b c 用a 表示，然后由余弦定理得cos B ；（2）由同角关系求出sin B ，利用二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再由两角和的正弦公式求得结论． 【详解】（1）因为3c sin B =4a sin C ，由正弦定理得34cb ac =，所以43b a =， 又2b c a +=，所以23c a =，所以222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅．（2）因为(0,)B π∈，所以sin B ==sin 22sin cos B B B ==27cos 212sin 8B B =-=-， 所以sin(2)sin 2coscos 2sin666B B B πππ+=+71()82=+-⨯= 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 23．（1）3π；（2【分析】（1）利用正弦定理把sin cos b A B =化为sin sin cos A B A B =，从而可得tan B ，进而可求出角B ；（2）由于4AD CD =，所以51ABC BCDSAC SDC ==，从而可得ABC 的面积为用三角形面积公式可得8ac =，而由sin 4sin C A =得 4c a =，从而可求出,a c 的值，再利用余弦定理可求出b 的值. 【详解】解：（1） ∵sin cos b AB =，∴sin sin cos A B A B=， ∴tan B ∵()0,B π∈ ∴3B π=；（2）依题意可知：51ABC BCDS AC SDC ==，∵BCD △，∴ABC 的面积为∵ABC 的面积为1sin 2S ac B ==∴8ac =， ∵sin 4sin C A =，∴4c a =，c =a=∴b . 24．（1）3π；（2）. 【分析】若选①：（1）利用诱导公式和正弦定理化简，再利用余弦定理即可求出角B ；（2）由（1）得到()223b a c ac =+-，再利用基本不等式求出b 的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积.若选②：（1）利用正弦定理以及同角三角函数的基本关系化简求解即可；（2）由（1）得到()223b a c ac =+-，再利用基本不等式求出b 的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积. 若选③：（1）利用正弦定理以及辅助角公式化简整理即可求出角B ；（2）由（1）得到()223b a c ac =+-，再利用基本不等式求出b 的最小值及此时等号成立的条件，再利用面积公式即可求出面积. 【详解】若选①：（1）sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-， sin()sin sin sin c C b B c A a A π-=+-， sin sin sin sin c C b B c A a A =+-，222c b ac a =+-， 222a c b ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<， 3B π∴=；（2）由（1）知：()22223b a c ac a c ac =+-=+-，22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==()()()()2222231344b ac ac a c a c a c ∴=+-≥+-+=+，又a c +=则()(22211544b ac ≥+=⨯=，又0b >，所以b ≥则ABC 周长的最小值为：=；此时a c b ===所以ABC 的面积为：1sin 602ac ︒=若选②：（1）由tan 2sin b a B A=， 得2sin tan b A a B =， 则sin 2sin cos AsinBAsinB B=， 又0,0A B ππ<<<<， 则sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =， 即3B π=；（2）由（1）知：()22223b a c ac a c ac =+-=+-， 22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c == ()()()()2222231344b ac ac a c a c a c ∴=+-≥+-+=+，又a c +=则()(22211544b ac ≥+=⨯=，又0b >，所以b ≥则ABC 周长的最小值为：=；此时a c b ===所以ABC 的面积为：1sin 602ac ︒=若选③：（1）(1cos )sin a B A +=，sin (1cos )sin A B A B +，0A π<<，sin 0A ∴>，1cos +=B B ，2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 66B ππ∴-=或566B ππ-=， 即3B π=或B π=（舍）；（2）由（1）知：()22223b a c ac a c ac =+-=+-，22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c == ()()()()2222231344b ac ac a c a c a c ∴=+-≥+-+=+，又a c +=则()(22211544b ac ≥+=⨯=，又0b >，所以b ≥则ABC 周长的最小值为：=；此时a c b ===所以ABC 的面积为：1sin 602ac ︒= 【点睛】思路点睛：本题首先利用正弦定理，同角三角函数的基本关系，诱导公式，辅助角公式以及余弦定理进行化简求角；其次利用余弦定理，基本不等式，三角形面积公式求解. 25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．15公理.【分析】先求出cos BDC ∠，进而设ADC α∠=，则sin ,cos αα可求，在ACD △中，由正弦定理求得AD ，即可得到答案.【详解】由题意知21,31,20CD BC BD ===,在BCD △中，由余弦定理可得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， 设ADC α∠=，则1sin 7αα==，可得11sin()sin cos cos sin 33372πππααα+=+=+= 在ACD △中，由正弦定理得21sin()sin 33ADππα=+，所以sin()153AD πα=+=， 即所求的距离为15公理.【点睛】平面图形中计算问题的解题关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用共同条件，求出结果.。

一、选择题1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的面积为3154，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．243+B ．43+C ．623+D ．843+3．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）A ．24B ．1233+C ．183D ．(3534．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米B ．57米C ．64米D ．70米5．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则223a c -的最小值为（ ）A ．4-B ．23-C ．2-D ．3-8．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（ ）A ．2,1⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．13,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C ．23,⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在△ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m11．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4312．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．33B ．332C ．32D 3二、填空题13．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，133sin sin 14B C +=，则bc 的值为______. 14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则满足10a =，18b =，30A =︒的三角形解的个数是______.16．在ABC 中，2AB =，30C ︒=，则AB BC 的取值范围是________. 17．在锐角ABC ∆中，2AC =，22AB =D 在BC 边上，并且2BD DC =，6π∠=CAD ，则ABC ∆的面积为__________．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足22()a b c S --=，b ＋c ＝2，则S 的最大值是________19．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____． 20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2b =，2a c =，则当角C 取最大值时，△ABC 的面积为__________．三、解答题21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1||2AB AC AC ⋅=，且1c =. 在①cos cos 2a C c A +=；② sin 3cos b C c B c =；③ sin 2sin a B c A =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. （1）求角A ；（2）若___________，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=. （1）求A ；（2）若34b c =，且BC 边上的高为23ABC 的面积. 23．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积． 24．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos aA b C c B=+.（1）求角A 的大小；（2）若a =11b c+的取值范围. 25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin aS A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，b =2a c -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 2ABCS bc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C 2．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos 20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=， 又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 3．D解析：D 【分析】ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，应用基本不等式可得AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值． 【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,)2πθ∈，∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，AE CE ==DE =AD =ACD △中，由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则CD ==， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则CD θ==，∴θ=，解得cos θ=，6πθ=，∴3CD ==，ACD △中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==236AC =⨯=． ABC 中，23ABC πθ∠==，由余弦定理得2222cos 3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6ACE π∠=．4．D解析：D 【分析】画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：70AC ===米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B-=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．6．A解析：A 【详解】由题设可得060B =311sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b AB <⇔<，应选答案A ．7．A解析：A 【分析】由222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到223a c -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，∴2223a c b ac +-=，∴2222a c b ac +-=∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B ac π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos 2C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-. 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.8．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论． 【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+，由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】根据正弦定理22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，化简得到sin 2sin 2A B =，得到答案. 【详解】22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =.故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.故选：D . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.10．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBDsin 45BC302sin 45203BC3tan 3020320AB BC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．11．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 62222ABCSac B =≤⨯⨯=， ∴△ABC故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或解析：40 【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】22sin a R R A =⇒==，根据正弦定理可知1322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC AB θ=⋅⋅︒==OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=+13(sin )60)2θθθ==-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．2【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题意在考查学生的应用能力解析：2 【分析】直接利用正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理得到：sin sin a b A B=，故9sin 10B =，91sin sin 10B A >=>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.16．【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定理得：所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题 解析：[6,2]-【分析】首先根据正弦定理得4sin =BC A ，化简得到()4sin 2302⋅=+-AB BC A ，再求其范围即可. 【详解】 由正弦定理得：4sin sin ==AB BCC A，所以4sin =BC A . 所以()cos 1808sin cos ⋅=⋅-=-AB BC AB BC B A B()()8sin cos 180308sin cos 30⎡⎤=--+=+⎣⎦AA A A 218sin sin cos 4sin 22⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭A A A A A A ()()221cos 24sin 2302=--=+-A A A因为0150<<A ，所以3030330<2+<A ， 即()1sin 2301-≤+≤A ，()64sin 23022-≤+-≤A .故AB BC 的取值范围是[6,2]-. 故答案为：[6,2]- 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，同时考查三角函数的值域问题，属于中档题.17．【分析】在中由正弦定理可得到在中由正弦定理可得到由是锐角可知结合三角形的面积公式可得到答案【详解】在中由正弦定理得：则在中由正弦定理得：则因为所以由于三角形是锐角三角形故则故的面积为【点睛】本题考查 1【分析】在ADC ∆中，由正弦定理sin sin DC AC CAD ADC =∠∠，可得到1sin ADC DC∠=，在ADB ∆中，由正弦定理sin sin DB ABBAD ADB=∠∠，可得到12sin sin 2DCDB ADBDC BAD AB ∠∠===，由BAD ∠是锐角，可知4BAD π∠=，46BAC ππ∠=+，结合三角形的面积公式可得到答案．【详解】在ADC ∆中，由正弦定理得：sin sin DC ACCAD ADC=∠∠，则11sin 2sin6ADC DC DCπ∠=⨯⨯=， 在ADB ∆中，由正弦定理得：sin sin DB AB BAD ADB =∠∠，则sin sin DB ADBBAD AB ∠∠=，因为1sin sin ADB ADC DC∠=∠=，2BD DC =，所以122sin 22DCDC BAD ∠==，由于三角形是锐角三角形，故4BAD π∠=，则26sin sin 46BAC ππ+⎛⎫∠=+=⎪⎝⎭，故ABC ∆的面积为126222312+⨯⨯⨯=+.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．18．【分析】结合余弦定理同角三角函数的基本关系式和基本不等式先求得然后求得的最大值【详解】由余弦定理得依题意所以由于是三角形的内角所以所以由解得所以当且仅当时等号成立所以的最大值为故答案为：【点睛】本小 解析：417【分析】结合余弦定理、同角三角函数的基本关系式和基本不等式，先求得sin A ，然后求得S 的最大值. 【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 依题意221()sin 2a b c S bc A --==，2b c +=， ()()222212cos 221cos sin sin 41cos 2b c bc A b c bc bc A bc A A A +---+=-=⇒=-，所以1cos 1sin 4A A =-，221sin 1sin 14A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,2171sin sin 0162A A -=，由于A 是三角形ABC 的内角，所以sin 0A >，所以由2171sin sin 0162A A -=解得8sin 17A =.所以21444sin 21717217b c S bc A bc +⎛⎫==≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1b c ==时等号成立，所以S 的最大值为417. 故答案为：417【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.19．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型 解析：15【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】 设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x -∴+=，解得：6x =26BC ∴=， ABC 中，(22224261cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,sin BAC ∴∠==1242ABCS∴=⨯⨯=【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.20．【分析】由余弦定理可得再利用基本不等式的性质可得的最大值再利用三角形面积计算公式即可得出【详解】解：在中由余弦定理可得：时取等号此时当取最大值时的面积故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理基本不等式的【分析】由余弦定理可得cos C ，再利用基本不等式的性质可得C 的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：2b =，2a c =，∴在ABC ∆中，由余弦定理可得：22222441311cos ()22222242a b c c c c C ab c c +-+-===+⨯⨯⨯，(0,)C π∈，3c =时取等号．此时，3a =， 06Cπ∴<，∴当C 取最大值6π时，ABC 的面积11222S =⨯=．【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）3A π=； （2 【分析】（1）由1||2AB AC AC ⋅=，得到1cos 2AB A =，进而求得1cos 2A =，即可求解；（2）分别选①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得2B π=，得到4ABD π∠=，进而得到sin ADB ∠的值，在ABD △中结合正弦定理，即可求解. 【详解】 （1）由1||2AB AC AC ⋅=，可得1cos ||2AB AC A AC ⋅=，所以1cos 2AB A =，又由1c =，所以1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=. （2）若选①：因为cos cos 2a C c A +=，由余弦定理可得222222222a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得220b b，解得2b =，又由余弦定理可得2222212cos 2122132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即a = 因为222a c b +=，所以2B π=，又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 若选②：由sin cos bC B c =，根据正弦定理可得sin sin cos sin B C C B C =， 因为(0,)Cπ∈，可得sin 0C >，所以sin1B B =， 可得sin 2sin()13B B B π-=-=，即1sin()32B π-=，因为2333B πππ-<-<，所以36B ππ-=，可得2B π=又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 若选③：由sin 2sin a B c A =，根据正弦定理可得sin sin 2sin sin A B C A =， 因为(0,)C π∈，可得sin 0C >，可得sin 2sin B C =， 又由()()3C A B B πππ=-+=-+，可得sin 2sin 2sin()sin 3B C B B B π==+=+，所以cos 0B =，因为(0,)B π∈，所以2B π=.又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 【点睛】方法点睛：对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 22．（1）6π；（2） 【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积． 【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =， 由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠， 所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）2222232cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，4a =，所以11sin 22ABC S bc A a ==⨯△2111222⨯=⨯c =b == 111sin 222ABC S bc A ===△【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．23．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=； （2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 22ABCSac B ===. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 24．（1）3A π=；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【分析】（1）利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得cos A ，结合A 的范围可求得结果；（2）解法一：利用正弦定理边化角可整理得到1161sin 262B b c B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=⎛⎫-+⎪⎝⎭，利用B 的范围可求得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，代入整理可求得结果； 解法二：利用余弦定理和基本不等式可求得3bc ≤，整理得到11b c +=合二次函数的性质可求得所求的范围. 【详解】（1）由正弦定理得：()sin sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C C B B C ==++. B C A π+=-，()sin sin B C A ∴+=，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =， ()0,A π∈，3A π∴=.（2）解法一：由正弦定理知，2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，sin sin 1111sin sin 3612sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 2362B B B B C b c B C B C B B B ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴+=+===⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3A π=，20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. 令6B πθ=+，则5,66ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin ,12θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.则11cos 24sin sin 22sin 22b cθθθθ⎫+====+∞⎪⎪⎣⎭-+--+⎪⎝⎭.解法二：3a =，3A π=，∴由余弦定理知：2232b c bc bc bc +-=≥-（当且仅当b c =时取等号）， 3bc ∴≤，()233b c bc +=+，则113bc ≥，11b c b c bc +∴+===.11b c ∴+的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.25．2+ 【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长. 【详解】由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=， 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==，代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26．（1）3B π=；（2）()0,3.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角B 的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简2a c -，再由锐角三角形得出C 的范围，进而得出答案．【详解】（1）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+. 再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又()0,B π∈，则3B π=.（2）由3B π=，b = 224sin 2sin 4sin 2sin 3a c AC C C π⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭224sin cos cos sin 2sin 33C C C C ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则62C ππ<<，则0cos C << 所以2a c -的取值范围为()0,3.。

一、选择题1．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km 2C 3 kmD 2 km2．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12π C ．12π D ．3π3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则23a c -的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．3-5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2aB c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 17．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．29．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABCS =2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．3B C D ．10．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则AEF 的周长的最小值为（ ）A ．36sin 20︒B ．C ．12D ．11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．2C ．32D 二、填空题13．已知ABC 的面积为4，2tan 3B =，AB AC >，设M 是边BC 的中点，若AM =，则BC =___________.14．在ABC 中，3B π=，2AC =，则4AB BC +的最大值为_______． 15．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.16．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在钝角ABC 中，已知2a =，4b =，则最大边c 的取值范围是__________． 20．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，AB 边上的高为CD ，且2CD AB =，则a bb a+的取值范围是___________. 三、解答题21．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ， ∠BAD =34π，2AB =BD =4.（1）求cos ∠ADB ； （2）若BC 22CD .22．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若272,cos b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：7cos cos 14a B b A ac +=；条件②：72cos 27b C ac =-． 23．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN△地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.（1）当3km 2AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？24．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ()3cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan 3tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,10a b c =+=ABC 的面积. 25．已知ABC 中，632AB BC ==225AC AB +=． （1）求ABC ∠的值；（2）若P 是ABC 内一点，且53,64APB CPB ππ∠=∠=，求tan PBA ∠． 26．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.5323338h h h h =+-⨯⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⨯⎪，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.2．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,2R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =．∵212cos sin sin (2cos )sin 222A ABC A --=+=，易知2cos 0A -≠， ∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴2sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin 3cos 0b A a B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin 3cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 30B B ∴=，tan 3B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果. 【详解】11c sin60=424︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc c由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin 3++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 10．D解析：D 【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小， 故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，1AA ∴==，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．11．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】 根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式建立关于的方程再分别求根据余弦定理求结合条件求得的值【详解】得：解得：①中利用余弦定理②由①②可得解得：或即当时得此时不成立当时得此时成立故故答案为：4【点解析：4 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式，建立关于,a c 的方程，再分别求,a c ，根据余弦定理求b ，结合条件AB AC >，求得BC 的值. 【详解】2tan 3B =，得：sin B =，cos B =11sin 42213ABCSac B ac ==⋅=，解得：ac =① ABM中，利用余弦定理222252cos 542413a a a c c B c ac =+-⋅⋅=+-= ②由①②可得22174ac a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， AB AC >，即c b >当2a c ==时，2222cos 32b a c ac B =+-=，得b =c b <，不成立，当4,a c == 2222cos 5b a c ac B =+-=，得b =c b >，成立，故4BC a ==. 故答案为：4 【点睛】易错点点睛：本题的易错点是求得,a c 后，还需满足条件AB AC >这个条件，否则会增根.14．【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数求出角的取值范围利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值【详解】由正弦定理可得则则其中为锐角且所以当时取最大值故答案为：【点睛】求三角形有关代数式的取值范围【分析】利用正弦定理可将4AB BC +表示关于角A 的三角函数，求出角A 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得4AB BC +的最大值. 【详解】由正弦定理可得21sin sin sin sin 3BC AB ACA CB π====，则sin BC A =，sin AB C =，3B π=，203A π∴<<，则()14sin 4sin sin 4sin sin 4sin 2AB BC C A A B A A A A+=+=++=++()9sin 2A A A ϕ=+=+， 其中ϕ为锐角，且tan ϕ=，23A πϕϕϕ∴<+<+， 所以，当2A πϕ+=时，4AB BC +取【点睛】求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.15．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：12【分析】根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以cos C 的最小值是12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系再利用余弦定理求解出角A 的值再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值【详解】因为所以根据正弦定理得:化简可得:即(A 为【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值. 【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-， 化简可得:222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正解析：3【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】利用三角形三边大小关系余弦定理即可得出【详解】因为三角形两边之和大于第三边故解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形三边大小关系余弦定理考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：【分析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出． 【详解】因为三角形两边之和大于第三边，故6c a b <+=．22224cos 0224c C +-=<⨯⨯，解得c >c ∴∈．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当解析：2,⎡⎣【分析】由余弦定理得出2222cos a b c ab C =++，由三角形的面积公式得出22sin c ab C =，进而可得出4b a C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得a bb a +的取值范围. 【详解】 如下图所示：由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，2222cos a b c ab C ∴+=+，1122CD AB c ==，由三角形的面积公式得11sin 222ABC c S ab C c ==⋅△，得22sin c ab C =，()222sin cos 22sin 4a b ab C C ab C π⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，则22224b a a b C a b ab π+⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 0C π<<，5444C πππ∴<+<，当42C ππ+=时，即当4C π时，b aa b+取得最大值2由基本不等式可得2b a b a a b a b+≥⋅=，当且仅当a b =时，等号成立， 因此，a bb a+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2,22⎡⎣.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）14cos 4ADB ∠=；（2）32CD =【分析】（1）ABD △中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而得出答案； （2）BCD △中，利用余弦定理可得CD ． 【详解】（1）ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即2sin 2ADB =∠，解得sin 4ADB ∠=，故cos 4ADB ∠=； （2）sin cos ADB CDB ∠==∠ BCD △中，222cos 2BD CD BC CDB BD CD +-∠=⋅⋅，即2224424CD CD+-=⋅⋅，化简得(0CD CD -+=，解得CD =22．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解； 选用条件②：由正弦定理求得cos 14B =，得出sin 14B =，再由cos 7C =，求得得sin 7C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos a B b A +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==． 选用条件②：因为2cos 27b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin B C A C =2sin()B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin 0B C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin 14B =，又由cos 7C =，可得221sin 1cos 7C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC的面积为11sin 6422S bc A ==⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.23．（1）9km ；（23）15θ=︒时，OMN 的面积最小，最小面积为(2272km 4.【分析】（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得MNAM，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN 的面积最小为(2272km 4.【详解】（1）在三角形OAM中，由余弦定理得OM ==所以222279944OM AM OA +=+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒，在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒.所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒====︒=︒︒︒︒︒以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，所以3OMN OMNOAMOAMS MNS SSAM===，即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得()333sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ⋅︒==⇒==︒︒-.在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得()()()()333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 602sin 60OM OM θθθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒+︒.所以()()11271sin 30242cos 2sin 6016sin 60cos OMNSOM ON θθθθ=⋅⋅⋅︒=⋅⋅=⋅+︒+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅27271616==2727168==272784==.由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，OMN S △最小值为(22722727km 444-==.【点睛】求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解.24．（1）3A π=；（2 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=；方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c 的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A = 又()0,A π∈， 所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C =-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -= 即2cos sin sin ,A C C = 又()0,C π∈， 所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A = 所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C =又()0A B C π∈,,,，所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A ==所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+- 即()243b c bc +=+，又因为b c +=所以2bc =所以1sin 2ABC S bc A ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.25．（1）4ABC π∠=；（2）tan PBA ∠=． 【分析】（1）由已知求得25AC =-cos 2ABC ∠=，即可求得ABC ∠；（2）由题可得PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简即可求出. 【详解】解：（1）由AB BC ==，知AB BC ==，由225AC AB +=，知2525AC AB =-=-在ABC 中，由余弦定理得：222cos22BC AB AC ABC AB BC +-∠===⨯，0ABC π<∠<，4ABC π∴∠=； （2）,44PBA PBC PCB PBC BPC πππ∠+∠=∠+∠=-∠=， PBA PCB ∴∠=∠，设PBA α∠=，则在PBC 中，由正弦定理得,2sin 3sin sin 4PB BC PB απα=∴=， 在APB △中，由正弦定理得：,56sin sin 66PBAB PB παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin 666πππαααα⎛⎫⎫∴=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，化简可得：tan α=，故tan PBA ∠=. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 26．2S AB == 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.【详解】,a b是方程220x -+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b cC abab -⨯-+--+-====⨯，解得c =所以AB =ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯=。

北师大版高中数学必修五解三角形第1课时 三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．3．三角形的面积公式： 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226+A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则co s B = （ ）A ．14 B ．34 C ．24 D ．23解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ）A 1665 B 5665 C 1665或 5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,3,sin sin sin ABCa b cA b SA B C++∠===++则= ．解：2393提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得13a =例2. 在△ABC 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝C sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2⇒∠A ＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。

北师大版高中数学必修五章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设m ∈R ，则下列式子正确的是( )． A ．3－2m ＞1－2mB ．m 3＞m 2C.1m＜mD ．－2m ＞－3m 解析 对于A ，可算得为3＞1，显然成立． 答案 A2．已知集合P ＝{0，m}，Q ＝{x|2x 2－5x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则m 等于( )． A ．1 B ．2 C ．1或25D ．1或2解析 ∵Q ＝{x|0＜x ＜52，x ∈Z}＝{1,2}∴m ＝1或2.答案 D3．不等式x －1x ≥2的解集为( )．A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析 由x －1x ≥2得x ＋1x ≤0，∴其解集为{x|－1≤x ＜0}．答案 A4．已知ab ＞0，且b a ＋ab ≥m 恒成立，则m 的取值范围是( )．A ．{2}B ．[2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[－2，＋∞) 解析 ∵ab ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，∴m ≤2.答案 C5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a|－2＜a ＜2} B ．{a|－2≤a ＜2} C ．{a|－2＜a ≤2} D ．{a|a ≥2}解析 当a ＝2时，原不等式即为－4＜0恒成立．当a ≠2时，由题意⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2，∴－2＜a ≤2. 答案 C6．二次函数f(x)的图像如图所示，则f(x －1)＞0的解集为( )． A ．(－2,1) B ．(0,3) C ．(－1,2]D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析 ∵－1＜x －1＜2，∴0＜x ＜3. 答案 B7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为( )． A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1解析 画出图形，知可行域表示的图形为直角三角形，可求三角形的三个顶点坐标 (－2,2)，(a ，－a)，(a ，a ＋4)．∴S △＝12|a ＋2|·|2a ＋4|＝9，∴a ＝1，(a ＝－5舍去)．故选D 项．答案 D8．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于( )．A.32B.23C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B ()1，1，C ()0，4. ∴S △ABC ＝12|AC|·h ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.故选C.答案 C9．在R 上定义运算：x y ＝x2－y，若关于x 的不等式x(x ＋1－a)＞0的解集是集合{x|－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－1,3]B ．[－3,1]C ．[－3，－1)∪(－1,1]D ．[－1,1)∪(1,3] 解析 x(x ＋1－a)＝x 2－x －1＋a ＝－x x －(a ＋1)＞0⇒xx －(a ＋1)＜0，(1)⎩⎨⎧a ＞－10＜x ＜a ＋1≤2⇒－1＜a ≤1 (2)⎩⎨⎧a ＜－1－2≤a ＋1＜x ＜0⇒－3≤a ＜－1 (3)a ＝－1时，不等式为xx －0<0，x ∈∅显然成立，故选B.答案 B10．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润y x ＝－(x －6)2＋11x ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤12－225＝2，此时x ＝25x ，解得x ＝5.答案 C二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.答案 ①③⑤12．已知0＜x ＜6 ，则(6－x)·x 的最大值是________． 解析 ∵0＜x ＜6，∴6－x ＞0. ∴(6－x)·x ≤⎝⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.当用仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号． 答案 913．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析 由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0. 答案 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x －1x ，x ≥2，x ，x ＜2，若使不等式f(x)＜83成立，则x 的取值范围为________．解析 当x ≥2时，解x －1x ＜83得x ＜－13或0＜x ＜3，∴2≤x ＜3.当x ＜2时，x ＜83，∴x ＜2，∴x ＜3.答案 {x|x ＜3}15．若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，对x ∈R 恒成立，∴Δ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]16．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－2或x ＞－12，则关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析 由题设知a ＜0且－b a ＝－52，ca＝1，从而ax 2－bx ＋c ＞0可以变形为x 2－b a x ＋c a ＜0即x 2－52x ＋1＜0，∴12＜x ＜2.所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2三、解答题(本大题共4小题，共40分．)17．(10分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z≥36.证明 ∵(x ＋y ＋z)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2， 即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．18．(10分)已知函数f(x)在定义域(－∞，1]上是减函数，是否存在实数k ，使得f(k －sin x)≥f(k 2－sin 2x)对一切x ∈R 恒成立？并说明理由． 解 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，∴k －sin x ≤k 2－sin 2x ≤1.假设存在实数k 符合题意， ∵k 2－sin 2x ≤1，即k 2－1≤sin 2x 对一切x ∈R 恒成立， 且sin 2x ≥0，∴k 2－1≤0，∴－1≤k ≤1①由k －sin x ≤k 2－sin 2x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122≤k 2－k ＋14，∵⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122的最大值为94，∴k 2－k ＋14≥94，解得k ≤－1或k ≥2②由①②知k ＝－1为符合题意的实数．19．(10分)设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y)|x 2＋y 2≤25}，求实数m 的取值范围．解 根据题意可知，直线mx ＋y ＝0不能与直线x －2y ＋5＝0，3－x ＝0平行，∴m ≠12.不等式组所确定的区域如下图所示．因此只需要满足⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－52m ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5m 2m ＋12≤25，32＋(－3m )2≤25⇒0≤m ≤43.20．(10分)玩具所需成本费用为P 元，且P 与生产套数x 的关系为P ＝1 000＋5x ＋110x 2，而每套售出的价格为Q 元，其中Q(x)＝a ＋xb (a ，b ∈R)，(1)问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本) 解 (1)每套玩具所需成本费用为P x ＝1 000＋5x ＋110x2x ＝110x ＋1 000x ＋5≥2100＋5＝25， 当110x ＝1 000x ，即x ＝100时等号成立， 故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少． (2)利润为x ·Q(x)－P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋x 210＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧5－a2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b＝30，1b －110＜0，解得a ＝25，b ＝30.。

北师大版高中数学必修五1 正弦定理和余弦定理（北师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2abcos C；（2）c2＝a2－b2－2bccos A；（3）b2＝a2－c2－2bccos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B =（）A. B.C. D.3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A. B.C.2D.24.已知锐角A 是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c2a；（3）b＋c ≤2a；（4）b＋c≥2a.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC中，点D为BC边上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. B.C. D.7.在△ABC中，已知2sin Acos B = sin C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C＝.9.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1. 若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC中，下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C，一定成立的个数是.12.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c= .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．15.（12分）在△ABC 中，2sin cos 2A A +=，2AC =，3AB =，求tan A 的值和△ABC 的面积.16.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n|的最小值．1 正弦定理和余弦定理（北师大版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B =得sin B ＝sin b Aa＝33，cos B ＝＝63，故选A. 3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219. 故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12.又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+＝2sincos223B C B C +-＝cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE＝1，所以BE ＝3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°.在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3， 所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a＋－＝78. 故选C.7.D 解析：由2 =，知2=，∴+，即= 0.∴ 0，∴ .故选D.8. 解析：利用正弦定理、余弦定理求解.由3sin A=5sin B ，得3a=5b.又因为b+c=2a ，所以a=b,c=b, 所以cos C==-.因为C ∈（0,π），所以C ＝.9.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB.∵ ∠AOB=∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B.∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ 2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2accos 60°， 整理得(a －c)2＝0，∴ a ＝c.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C. 又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 11.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，不一定成立．12.2 解析：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：= == ，∴cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即1=3+c2-3c，解得c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B＝2222a c bac＋－，将c＝acos B代入，得c ＝2222a c bac＋－，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．又∵b＝asin C，∴b＝a•ca，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．14.解：（1）由2asin B=b，利用正弦定理得2sin Asin B=sin B.∵sin B≠0，∴sin A =.又A为锐角，∴A=.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即36=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=64-3bc，∴bc=.又sin A=，则=bcsin A=．15.解法一：先解三角方程，求出角A的值..21)45cos(,22)45cos(2cossin=-∴=-=+AAAA又0180<<A, 4560,105.A A∴-==13tan tan(4560)2313A+∴=+==---,.46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A )62(434623221s i n 21+=+⨯⨯⨯=∙=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. 22cos sin =+A A ， ① .0c o s ,0s i n ,1800.21c o s s i n 2.21)c o s (s i n 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A 又23c o s s i n 21)c o s (s i n 2=-=-A A A A , 26c o s s i n=-∴A A . ② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264. 从而sin 264tan 23cos 426A A A +==⨯=---. 以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴ 1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵ m +n 2cos ,2cos1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴|m +n|222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵π3A=，∴2π3B C+=，∴2π0,3B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B-<-<．∴当πsin26B⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B=时，|m+n|2取得最小值12．∴|m+n|min22 =.。

模块综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A.8B.10C.12D.14解析:因为S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C . 答案:C 2.在△ABC 中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为( )A.5√2B.5√3C.2√5D.3√5解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,根据正弦定理,得b sinB =a sinA ,所以b=asinB sinA =5sin135°sin30°=5√2. 答案:A3.在△ABC 中,若AB=√5,AC=5,且cos C=910,则BC 为( )A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x ,由余弦定理得,5=x 2+25-2×5·x ·910,即x 2-9x+20=0,解得x=4或x=5. 答案:C4.已知数列{a n }满足a n+1-a n =2n (n ∈N +),a 1=3,则a n n 的最小值为( )A.0B.2√3-1C.52D.3解析:a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+3=n 2-n+3,所以a n n =n-1+3n ≥52,当且仅当n=2时取等号.故选C .答案:C5.若在△ABC 中,sin B ·sin C=cos 2A 2,则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sin B ·sin C=cos 2A 2可得2sin B ·sin C=2cos 2A 2=1+cos A ,即2sin B ·sin C=1-cos(B+C )=1-cos B cos C+sin B sin C ,所以sin B sin C+cos B cos C=1,即cos(B-C )=1,又-π<B-C<π.所以B-C=0,即B=C.答案:C6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d=2,S k+2-S k =24,则k=( )A.8B.7C.6D.5解析:因为S k+2-S k =24,所以a k+1+a k+2=24,所以a 1+kd+a 1+(k+1)d=24,所以2a 1+(2k+1)d=24.又因为a 1=1,d=2,所以k=5.答案:D7.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y=x 2-2x+3的顶点是(b ,c ),则ad 等于( )A.3B.2C.1D.-2解析:因为y=x 2-2x+3的顶点为(1,2),所以b=1,c=2.又因为a ,b ,c ,d 成等比数列,所以a=12,d=4,所以ad=2.答案:B8.(2017天津高考)设变量x ,y 满足约束条件{2x +y ≥0,x +2y -2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数z=x+y 的最大值为 () A.23 B.1 C.32 D.3解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y 可化为y=-x+z.作直线l 0:y=-x ,平行移动直线y=-x ,当直线过点A (0,3)时,z 取得最大值,最大值为3.故选D . 答案:D9.若不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立,则实数m 的取值范围是( )A.(1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞)解析:因为4x 2+6x+3=(2x +32)2+34>0,。