2020届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学(文)

汕头市金山中学2020届高三第一学期期末考试数 学（文科）一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．已知集合，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（ ） A ．{1，4} B ．{2，3}C ．{2，3，4}D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1zi =-+ D ． 2z 为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在等差数列中，前项和满足，则（ ）A ． 7B ． 9C ． 14D ． 18 5. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 6. 定义在R 上的奇函数满足，且当时，，则（ ）A ．1-B ．21- C ．21 D ．1 7.在中，为边上的中线，点满足，则（ ）A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB -D ． 1566AC AB +8. 已知，则（ ）A.103B.53 C.56-D. 512-9. 函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.)(xf的图象关于直线32π=x对称B. )(xf的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,125π对称C.将函数的图象向左平移2π个单位得到函数)(xf的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是]3,2(--10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球表面积是（）A．π4B．π9C．441πD．π1211. 设数列{}n a满足12a=，且，若[]x表示不超过x的最大整数，（例如[][]1.61, 1.62=-=-）则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡201822212201932aaa（）A．2020 B．2019 C．2018 D．201712. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=,1221,12)(2xxxxxfx方程0)()]([2=+-bxafxf有5个不同的实根，则ab取值范围是（）A．⎪⎭⎫⎝⎛32,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0C．)1,0(D．)1,0[二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知曲线在处的切线过点，那么实数_______．14. 设向量且，则向量在向量方向上的投影是.15.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为.16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a ，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则 （1）；（2）如果对恒成立，那么线段的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34 .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都是2，⊥1AA 面ABC ，E D ,分别是1,CC AC 的中点. （1）求证：⊥AE 平面BD A 1; （2）求三棱锥ABE B -1的体积.19.（本小题满分12分） 汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案： 方案l ：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形.记三角形的面积为，四边形. 请分别计算的最大值，并比较哪个方案好.20.（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为1F ，离心率为21，1F 为圆0152:22=-++x y x M 的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的取值范围．21. （本小题满分12分） 已知函数， g (x )＝x 2e ax (a ∈R). （1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点； （2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.注：复合函数y =e ax 的导函数=a e ax .请考生从第22、23两题中任选一题作答。

2017级高三上学期期中理科数学试题命题人：张学昭 芮泽柱一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ={0,1,2,3,4},B ={x|x =2n +1,n ∈A}，则A ∩B 等于（ ） A.{1,3,5} B.{3} C.{5,7,9}D.{1,3}2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i − D ．413i +3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1−D ．()f x 的图象关于点(,0)12π−对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位8．已知函数f(x)=cos(sinx)，g(x)=sin(cosx)，则下列说法正确的是（ ） A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1,1] B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C.f(x)的值域为[cos1,1]，g(x)的值域为[−sin1,sin1] D.f(x)与g(x)都不是周期函数 9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =−−=，则a b ⨯=（ ）A ．2B ．3C ．23D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =−，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足f(−x)=4−f(x)，若函数y =2x+1x与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑ （ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =−−，给出以下结论：（1）若2a e −=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e−<−其中正确结论的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =__________cm 时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂足为D ，则 AB AD ⋅的值为_____ 15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P −−，则sin α的值为__________． 16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。

广东省汕头市金山中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x||x|<2}，B={x|x2−4x+3>0}，则A∩(∁U B)等于()A. {x|1≤x<3}B. {x|−2≤x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|−2<x≤3}2.若复数z−i=1+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. 53.已知命题p：∃x0∈R，x0−2<lgx0；命题q：∀x∈(0,1)，x+1x>2，则()A. “p∨q”是假命题B. “p∧q”是真命题C. “p∧(¬q)”是真命题D. “p∨(¬q)”是假命题4.下列函数中是奇函数且有零点的是()A. f(x)=x−|x|B. f(x)=x−1+xC. f(x)=1x+tanx D.5.若函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≥f(π3)，则函数f(x)的单调递增区间是()A. [2kπ−π6,2kπ+π3](k∈Z) B. [2kπ+π3,2kπ+5π6](k∈Z)C. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z) D. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)6.若x，2x+2，3x+3是某个等比数列的连续三项，则x=()A. −4B. −1C. 1或4D. −1或−47.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A. 190B. 191C. 192D. 1938.若函数f(x)=−x2+2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A. (0,3)B. (1,3)C. [1,3]D. [0,4]9.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x−9都相切，则a等于()A. −1或−2564B. −1或214C. −74或−2564D. −74或710.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时货轮看到灯塔S的距离为()海里．A. 12√3B. 12√2C. 100√3D. 100√211.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为90°，则|2a⃗+b⃗ |等于()A. 2√3B. 2√2C. √7D. 212.f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，且f(−3)=0，f(x)g(x)<0的解集为()A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(0,3)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=1,(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗·b⃗ =___________________14.已知等差数列{a n}的前n项S n有最大值，且a7a8<−1，则当Sn<0时n的最小值为______．15.设集合A={x|2x+3>1}，B={x|x+a≥0}，若A⊆B，则实数a的最小值是________．16.不等式x2−3x<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π2．(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S7=127，且a8是16a2和14a5的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当a2>0时，令b n=a n2+log2a n，求数列{b n}的前n项和．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=√2，E为PB中点．(1)求证：PD⊥平面PBC；(2)求三棱锥A−EBC的体积．20.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：(Ⅰ)根据4月7日、15日、21日这三天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程；(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(Ⅰ)所得的线性回归方程是否可靠？ 注：回归直线方程是y ^=bx +a ，其中b =i −x )n i=1i −y )∑(x −x )2n a =y −bx21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =3+3cosφy =3sinφ(φ为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线C 的普通方程；(2)若点B 是射线l ：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C 的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−3|−m|x|．(1)若m=−2，求不等式f(x)<5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥1在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由A中不等式解得：−2<x<2，即A={x|−2<x<2}，由B中不等式变形得：(x−1)(x−3)>0，解得：x<1或x>3，即B={x|x<1或x>3}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，则A∩(∁U B)={x|1≤x<2}，故选：C．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：本题考查复数模的计算，考查复数的运算，属于基础题．求出复数z，继而可得结果．解：∵z−i=1+i，∴z=1+2i，故|z|=√1+4=√5．故选：C．3.答案：B解析：解：当x=1时，x−2=1−2=−1，lg1=0，满足x0−2<lgx0，即命题p是真命题，当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1取等号，∵x∈(0,1)，∴x+1x>2，成立，即q为真命题，则“p∧q”是真命题，其余为假命题，故选：B．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查否命题真假关系的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．4.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性以及函数零点存在性定理，属于基础题．解：对于A.f(1)=0，f(−1)=−2，故f(x)不是奇函数；对于B.f(x)=x−1+x=x2+1x不存在零点；对于C.f(x)=+tanx，定义域为{x|x≠0且，k∈Z}，关于原点对称，，则f(x)是奇函数，且有零点；对于D.f(x)=sin(x+)=cosx，f(x)为偶函数，不是奇函数．故选C．5.答案：D解析：本题利用三角函数的图像性质进行作答，取一个符合条件的ϕ=−7π6进行计算，属于一般难度题。

广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ）A. {}|24x x -≤<B. {}|34x x x ≤≥或 C. {}|13x x -≤≤ D. {}|21x x -≤<-【答案】C 【解析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题． 已知全集,{|23},,{41}U R A x x B x x x ==-≤≤=<-∴或根据补集的定义结合数轴法可知，{|14}{|13}U U C B x x A C B x x =-≤≤∴⋂=-≤≤故选C.解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用． 2.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为 A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.【详解】由全称命题否定的定义可知，“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为“2,240x x x ∃∈-+>R ”，故选B ．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 3.“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. 23m ≤<B.1522m ≤≤ C. 13m ≤< D.522m ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】首先求区间[]1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.【详解】函数的对称轴是x m =， 由已知可知13m <<，由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m ≤<. 故选：C【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件.4.已知2(0)()2(0)xx f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则[()]1f f x ≥的解集是（ ）A. (,-∞B. )+∞C. (,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】分0x ≥和0x < 先求()f x ，根据()f x 的值域，再解不等式()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦. 【详解】当0x ≥时，()02xf x =≥()124x xf f x f ⎛⎫==≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得：4x ≥，当0x <时，()20f x x =>，()()2212x f f x f x ==≥⎡⎤⎣⎦，解得：x ≥（舍）或x ≤，综上可知：4x ≥或x ≤故选：D【点睛】本题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x 的范围，求()f x 的范围. 5.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减 B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233y x x πππ=-+=-，∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212ππ上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．6.函数3()2xy x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象. 7.若cos2sin5,αα+=-则tan()πα-=（）A. 2- B. 12- C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】首先用辅助角公式化简()cos2sin55αααϕ+=-=-tan2ϕ=，然后求两个角的关系，求()tanπα-. 【详解】()cos2sin55αααϕ+=-=-且25sinϕ=5cosϕ=，tan2ϕ=()cos1αϕ∴-=-，2,k k Zαϕππ-=+∈2kαϕππ∴=++，tan tan 2αϕ∴==，()tan tan 2παα∴-=-=- .故选：A【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.8.若实数,x y 满足不等式330{23010x y x y x my +-≥--≥-+≥，且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】考点：简单线性规划的应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A 时，从而得到m 值即可．解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9， 显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9230x y x y +=⎧⎨--=⎩解得45x y =⎧⎨=⎩即点A （4，5）直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1． 故答案为1．9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. 三棱锥E ABF -的体积为定值C. //EF 平面ABCDD. 异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】A.因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BDDD D =，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，正确； B.1111233212E ABF A BEF BEF V V S AB EF BB AB --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥E ABF -的体积为定值，正确；C.因为//EF BD ,且EF ⊄平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，正确；D.如上图，当点E 在11B D 的中点时，点F 与1B 重合，O 是BD 的中点，1//OE BB ，AO EO ⊥，此时AE 与BF 所成的角是AEO ∠，6cos 362OE AEO AE ∠===.如上图，当点E 和1D 重合时，点F 是11B D 的中点，O 是BD 的中点，如图1AD O ∠是AE 与BF 所成的角，12AD =2AO =，116122OD =+=，1612342cos 26222AD O +-∴∠==⨯⨯,这两种情况下异面直线,AE BF 所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确. 故选：D【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.10.如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，在离地面1.6m 的C 处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6【答案】D 【解析】【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD x =，则5tan AD ACD CD x ∠==，2tan BD BCD CD x∠==， ()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACD BCD x x x x-∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.11.已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A. 38B. 1C.98D.158【答案】D 【解析】 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得3304a a -+-=，解得158a =.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4πx =-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是 ( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈，根据2T πω=，可推出()21k k N ω*=+∈，再根据()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，可推出24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，从而可得ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件．【详解】∵()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标 ∴4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈. 又∵2T πω=，0ω>∴()21k k N ω*=+∈又∵()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调 ∴24122Tππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 又∵2T πω=∴8ω≤当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=-，此时，()f x 在,1228x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824x ππ⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=，此时()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=. 故选B ．【点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可. 二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.已知直线20ax by --=与曲线2y x 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为________ 【答案】12-; 【解析】 【分析】 先求2yx 在1x =处的导数，根据已知条件可知()11a f b '⨯=-，解得ab的值. 【详解】直线20ax by --=的斜率ak b=， 2yx ，2y x '=，当1x =，2y '=，由题意可知，21ab⨯=-， 12a b ∴=-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型. 14.函数()sin cos ,[0,]f x x x x π=+∈的值域为___________【答案】[-; 【解析】 【分析】首先化简函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的定义域求值域.【详解】()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值域是2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴的值域是1,2⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：1,2⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 15.设函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示， 若6()(0)52f παα=<<，则()6f πα+=_______433+; 【解析】 【分析】首先根据函数图象特征求函数的解析式()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后再利用两角和的正弦公式求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由图象可知，2A =，2233T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2T π=,22ππω∴= ，1ω∴=，当23x π=时，函数取得最大值， 22,32k k Z ππφπ∴+=+∈， 26k πφπ=-+ ，2πφ<6πφ∴=-，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ ，02πα<<，663πππα∴-<-<，4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭那么2sin 6f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2sin 2sin cos 2cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34122552=⨯+⨯⨯==故答案为：45+ 【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 16.已知 01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[13,]22-. 【解析】 【分析】首先不等式等价于31112x ax -≤-≤，参变分离转化为2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数的最值.【详解】由题意可知31112x ax -≤-≤， 当(]0,1x ∈时，32222x a x x x-≥=-，且2112a x x ≤+ 即2max 22a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭设()22g x x x=-，函数在(]0,1上是单调递增函数， ()g x ∴的最大值是()11g =-，1212a a ∴≥-⇒≥-，设()2112h x x x=+ ，(]0,1x ∈()322110x h x x x x-'=-=< ，()h x ∴单调递减，()h x 的最小值是()312h =，32a ∴≤，当0x =时恒成立， 综上：a 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法. 三、解答题17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，3cos 5B =. （1）求cos cos sin sin A CA C+的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长． 【答案】(1)54【解析】 【分析】（1）首先根据题意可知2b ac =，根据正弦定理转化为2sin sin sin B A C =，再变形cos cos sin sin sin sin sin A C BA C A C+=，代入求值； （2）首先根据面积求b ，再根据余弦定理求a c +.【详解】解：(1)△ABC 中，∵cosB=35＞045由a ，b ，c 成等比数列，得b 2=ac ，根据正弦定理得：sin 2B=sinAsinC ，∴cos cos +sin sin A CA C=cos sin sin cos sin()=sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++sin()sin sin sin sin sin B B A C A C π-== =2sin sin B B =15=sin 4B ； (2)△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB=12b 2•45=2由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×35，∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21，的周长为【点睛】本题考查根据正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.【答案】(1) 40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩(2) 3350 【解析】 【分析】（1）根据题意分10n <和10n ≥两段，求分段函数；（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在[]500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.【详解】解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+； 当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB =2CD ，∠BAD =90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离． 【答案】(1)证明见解析；457【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，根据题中所给的条件证明PA CE ⊥，即证明PA ⊥平面CDE ；（2）利用等体积P ADE E PAD V V --=，根据所给的条件，易求PAD S ∆，点E 到平面PAD 的距离就是CD ，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE ∆的面积. 【详解】证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 是PB 中点，∴EF∥AB，EF=12AB ， 又CD∥AB，CD=12AB ， ∴CD∥EF，CD=EF ∴四边形CDEF 为平行四边形， ∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE， 又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE ， 又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB⊥平面CDE ．⑵∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD ，又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD ， ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2， 易得△PAD 的面积S △PAD =3×22=3， Rt△PAB 中，PB=2，AE=125 在矩形CDEF 中，CD=2，37 在△ADE 中，57，AD=2，222cos 235AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅219sin 1cos 35AED AED ∴∠=-∠=∴△A DE 的面积119sin 2ADE S AE ED AED ∆=⋅⋅∠=设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得13313×192d ， 解得457 ∴点P 到平面ADE 457【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面的位置关系.20.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且PA QA ⊥,求证：直线l 过定点.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意建立,,a b c 的方程组求解；（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， 由已知可知0AP AQ ⋅=，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到12k m =-或56k m =-，再验证是否成立，证明直线过定点.【详解】解：（1）由已知，3c a =，22221c b a a =-，可得224a b =，又因1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ①因为PA QA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-= 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-，所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去）， 综上所述直线l 过定点6(,0)5.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数()[2(1)]2,xxf x e e a ax =-++（e 为自然对数的底数，且1a ≤）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 1(,0).2- 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简()()()21xxf x e e a '=--，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围. 【详解】解：(1)/()[2(1)]2xxxxf x e e a e e a =-++⋅+222(1)2x x e a e a =-++2(1)()x x e e a =--①当0a ≤时，0x e a ->，则当0x <时，/()0f x <，故()f x 在(,0)-∞单调递减；当0x >时，/()0f x >，故()f x 在(0,)+∞单调递增.②当0a >时，由/()0f x =得12ln ,0.x a x ==若1a =，则/()0f x ≥，故()f x 在R 上单调递增.若01a <<，则：当ln x a <或0x >时，/()0f x >，故()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增.当ln 0a x <<时，/()0f x <，故()f x 在(ln ,0)a 单调递减.(2)①当1a =时， ()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.②当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增，(ln ,0)a 单调递减故当ln x a =时，()f x 取得极大值，极大值为(ln )(2)2ln 0f a a a a a =-++<此时，()f x 不可能有两个零点.③当0a =时，()(2)x x f x e e =-，由()0f x =得ln 2x =此时，()f x 仅有一个零点.④当0a <时，()f x 在(,0)-∞单调递减； 在(0,)+∞单调递增.min ()(0)12f x f a ∴==--()f x 有两个零点， (0)0f ∴<解得12a >- ∴102a -<<而则(1)[2(1)]20f e e a a =-++> 取2(1)2a b a +<，则222()[(1)](1)2[(1)]0bb f b e a a ab e a =-+-++>-+≥故()f x 在(,0)-∞、 (0,)+∞各有一个零点综上，a 的取值范围是1(,0).2-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，讨论法.请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy ，直线l过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N两点，若||||PM PN -=l 的倾斜角α的值． 【答案】(1) 直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)；圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+= (2) 4πα=或34π 【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C 的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t 的几何意义表示1212PM PN t t t t -=-=+，代入根与系数的关系求解.【详解】解：（1）因为直线l过点P ，且倾斜角为α所以直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=所以22cos sin 10ρρθθ---=所以圆C的普通方程为：22210x y x +---=，圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+-=（2）直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，代入圆C 的标准方程 得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=整理得22cos 40t t α--=设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=所以||||PM PN -=12|||2cos |t t α+=，cos 2α=± 因为0απ≤<，所以4πα=或34π 【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.23.已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8⇔2228x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++， 所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<.（2）因为0a >，0b >，0c >，所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当()() 0a x xb -+≥等号成立； 因为()f x 的最小值为1，所以1a bc ++=，所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c=+++++≤++， 所以22213a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。

汕头市金山中学2020届高三第一学期期中考试数 学（文科）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A. ]3,1[- B. {}|34x x x 或≤≥ C. )1,2[-- D. )4,2[-⒉已知命题2:,240P x R x x ∀∈-+≤，则P ⌝为 （ ）A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+> ⒊“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( ) A. 32<≤m B.2521≤≤m C. 31<≤m D. 252≤≤m 4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,-∞B. )+∞C.(,1][42,)-∞-+∞D.(,[4,)-∞+∞⒌将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 ⒍函数xx x 2)(y 3-=图象大致是（ ）A ．B ．C． D ．⒎若,5sin 2cos -=+a a 则)tan(a -π=（ ）A ．2- B. 21- C ．21D ． 2⒏若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且y x z +=的最大值为9，则实数m =（ ）A.2-B. 1-C. 1D.2 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有 两个动点E ，F，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） A. AC BE ⊥ B. 三棱锥ABF E -的体积为定值 C. //EF ABCD 平面 D.异面直线,AE BF 所成的角为定值 10. 如右图,树顶A 离地面m 8.4,树上另一点B 离地面m 4.2，在离地面 的m 6.1C 处看此树,则离此树多少m 时看A ,B 的视角最大( ) A. 2.2 B. 2 C. 1.8 D.1.611. 已知曲线,x (:3a ax x f C +-=）若过点A(1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A.83 B. 1 C. 89 D. 81512. 已知函数()()sin (0),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=-，4π=x 和分别是函数)(x f 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在)24,12(ππ-单调，则ω的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知直线02=--by ax 与曲线2x y =在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 的值为14. 函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 的值域为 15. 设函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示， 若)20(56)(παα<<=f ，则=+)6(παf16. 已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，53cos =B .（1）求CC A A sin cos sin cos +的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长．18. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ， AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点 （1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a ba b +=>>，设A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈ 交椭圆于P ，Q 两点，且QA PA ⊥, 求证：直线l 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数,2)]1(2[)(ax a e e x f xx++-=（e 为自然对数的底数，且1≤a ）. ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.请考生从第22、23两题中任选一题作答。

2020-2021学年广东省汕头市金山中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合，B＝{0，1，2，4，8}（）A．{1，2，4，8}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，4} 2．（5分）已知直线l，m，平面α，若m⊂α（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知i为虚数单位，若复数为纯虚数（）A．B．3C．5D．4．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠），下面一粒珠（简称下珠）是1，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）（）A．B．C．D．5．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（log210）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知tanθ+＝4，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，，P A＝PB＝，AC＝5，且平面P AB⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．28πC．24πD．32π8．（5分）对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）（x+1），，函数f（x）与g（x），则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为（x）的图象向左平移个单位后，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称10．（5分）在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．B．若A＞B，则sin2A＞sin2BC．c＝a cos B+b cos AD．若，且＝，则ΔABC为等边三角形11．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（）A．S2019＜S2020B．a2019a2021﹣1＜0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值12．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，D是AC的中点，O 为A1C的中点．点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B．无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1C．当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D．无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）的展开式中x3的系数为．14．（5分）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，O为BC边的中点，则的值为．15．（5分）已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则．16．（5分）已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P，且离心率之积为1．若sin∠F1PF2＝2sin∠PF1F2，则该双曲线的离心率为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝8．（1）求边长a；（2）已知点M为边BC的中点，求AM的长度．18．（12分）已知递增等比数列{a n}满足：a1+a4＝18，a2•a3＝32，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝n，记c n＝．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时）（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝DC＝AP＝2（1）证明：PD⊥平面ABE；（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣D的余弦值．21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，并求该定值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（Ⅰ）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且，求|f（x1）﹣f（x2）|的最大值．2020-2021学年广东省汕头市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合，B＝{0，1，2，4，8}（）A．{1，2，4，8}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，4}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x＜4}，B＝{2，1，2，4，∴A∩B＝{0，1，4}．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，分式不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知直线l，m，平面α，若m⊂α（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若m⊂α，则“l⊥α”，则l⊥m，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：∵若m⊂α，则“l⊥α”，反之不成立，∴“l⊥m”是“l⊥α的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）已知i为虚数单位，若复数为纯虚数（）A．B．3C．5D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部等于0且虚部不等于0求解啊，进而求解结论即可．【解答】解：∵复数为纯虚数，即z＝＝＝为纯虚数，∴a+5＝0且2a﹣7≠0，∴a＝﹣2，∴z＝﹣i，∴|z+a|＝|﹣2﹣i|＝＝，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠），下面一粒珠（简称下珠）是1，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出基本事件有6个，算盘表示的数为质数包含的基本事件有2个，由此能求出算盘表示的数为质数的概率．【解答】解：从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，基本事件有：7，16，52，70，算盘表示的数为质数包含的基本事件有：2，61，∴算盘表示的数为质数的概率是P＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（log210）的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由f（x+2）＝f（x﹣2）变形可得f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4，则有f（log210）＝f（log210﹣4）＝f（log2），结合函数的奇偶性以及解析式求出f （log2）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），即函数的周期为4，f（log210）＝f（log210﹣8）＝f（log2），又由f（x）为奇函数，则f（log2）＝﹣f（log2），当x∈[0，1]时x﹣3，则f（log2）＝﹣1＝，则f（log210）＝f（log2＝﹣f（log2）＝﹣，故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知tanθ+＝4，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知求得sinθcosθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解的值．【解答】解：由，得，即，∴sinθcosθ＝，∴＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，，P A＝PB＝，AC＝5，且平面P AB⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．28πC．24πD．32π【分析】先求出AB，得到△ABC为直角三角形，所以CB⊥平面P AB，所以几何体的外接球的球心到平面P AB的距离为，再利用正弦定理求出△P AB的外接圆半径为r，利用勾股定理即可求出几何体的外接球半径为R，从而得到外接球的表面积．【解答】解：在△P AB中，由余弦定理得AB＝32＝AB5+BC2，∴△ABC&nbsp;为直角三角形，又平面P AB⊥平面ABC且交于AB，∴CB⊥平面P AB，设△P AB&nbsp;的外接圆的圆心为M，则2r＝，∴r＝，且三棱锥P﹣ABC的外接球的球心在过点M的平面P AB的垂线上，如图所示：，因为CB⊥平面P AB，所以几何体的外接球的球心到平面P AB的距离为，即OM＝2，设几何体的外接球半径为R，在Rt△OBM中，则＝7，所求外接球的表面积S＝6πR2＝28π，故选：B．【点评】本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．8．（5分）对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）（x+1），，函数f（x）与g（x），则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【分析】由题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）＝有2个交点，利用导数研究函数g（x）的单调性，画出图象，数形结合得答案．【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，3）依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）＝，由，得g′（x）＝，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜2，函数g（x）单调递减，而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，4），作出函数g（x）＝的图象如图，当直线y＝﹣m（x﹣1）与切于（1，由导数的几何意义可得，﹣m＝，则要使y＝﹣m（x﹣1）与g（x）＝有8个交点，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性及导数的几何意义，考查数形结合的思想与数学转化思想，属于中档题．二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为（x）的图象向左平移个单位后，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【分析】由题意利用周期求得ω，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数y＝A sin（ωx+φ）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为•＝，∴ω＝4．将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后+φ）的图象．根据得到的图象关于y轴对称，可得，k∈Z，∴φ＝﹣，函数f（x）＝sin（3x﹣）．令4x﹣＝kπ+，可得函数f（x）的图象关于点（+，k∈Z对称．令6x﹣＝kπ++，可得函数f（x）的图象关于直线x＝+，故C正确．故选：BC．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．（5分）在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．B．若A＞B，则sin2A＞sin2BC．c＝a cos B+b cos AD．若，且＝，则ΔABC为等边三角形【分析】对于A，由正弦定理即可求解；对于B，当当A为钝角，B为锐角时不成立，即可得解；对于C，利用两角和的正弦函数公式，正弦定理即可求解；对于D，先根据，判断出∠A的角平分线与BC垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C，判断出三角形的形状．【解答】解：对于A，由正弦定理可得右边＝，故正确；对于B，当A为钝角，sin4A＝2sin A cos A＜0，故错误；对于C，因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，故正确；对于D，∵若，，，∴∠A的角平分线与BC垂直，∴AB＝AC，∵cos A＝•＝，∴∠A＝，∴∠B＝∠C＝∠A＝，∴三角形为等边三角形，故正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，向量的数量积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（）A．S2019＜S2020B．a2019a2021﹣1＜0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，分析可得q＞0，可得数列{a n}各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a2q2019）＝（a1）2（q4037）＞3，又由a1＞1，必有q＞6n}各项均为正值，又由＜62019﹣1）（a2020﹣1）＜6，则有或，又由a1＞7，必有0＜q＜1，对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；对于B，有a2020＜6，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；对于C，，则T2019是数列{T n}中的最大值，C错误；故选：AB．【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n项和，注意分析q的范围．12．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，D是AC的中点，O 为A1C的中点．点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B．无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1C．当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D．无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与平面的夹角，即可判断选项A；设出点P坐标，计算•＝0，可判断选项B；由三角形中位线的性质可得，OP∥A1B1，且OP＝A1B1，即可判断选项C；根据已知判断当点P运动到BC1中点时，直线A1P与AB所成的角最小，求出其正切值即可判断选项D．【解答】解：如图所示，以B为坐标原点，设AB＝BC＝BB1＝2，则A4（2，0，2），0，0），C4（0，2，8），B1（0，4，2）当P运动到BC1中点时，P（2，1，则＝（2，1），平面A1B6C1的一个法向量为＝（6，0设直线A1P与平面A8B1C1所成的角的为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝，所以tanθ＝，故A正确；当点P在BC1上运动时，可设P（0，t，则＝（﹣2，t，因为O为A1C的中点，则O（2，1，所以＝（﹣8，1），则•，所以A1P⊥OB1，故B正确；当点P运动到BC6中点时，A1P与OB1相交于一点，记为Q，B2C，则P为B1C，的中点1B8C中，OP∥A1B1，且OP＝A1B7，所以＝＝，故C错；因为AB∥A7B1，所以直线A1P与AB所成的角为∠B3A1P，因为A1B2⊥平面BB1C1C，所以为A4B1⊥B1P，在Rt△B7A1P中，当B1P最小，即点P为BC5中点时∠B1A1P最小，计算可得∠B5A1P最小正切值为，所以直线A1P与AB所成角都不可能是30°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，空间向量的应用，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）的展开式中x3的系数为5．【分析】把（1﹣x4）4按照二项式定理展开，可得的展开式中x3的系数．【解答】解：∵＝（x﹣2﹣4x3+x4），故它的展开式中x4的系数为6﹣1＝6，故答案为：5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，O为BC边的中点，则的值为6．【分析】画出图形，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，A（0，B（0，C（3，P为斜边BC上靠近点B的三等分点，O为BC边的中点，可得P（，），O（1，＝（，）•（1＝6．故答案为：6．【点评】本题考查向量的数量积的求法，利用向量的坐标运算可以简化解题过程．15．（5分）已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则2+．【分析】由题意可得＝+，再利用乘1法和基本不等式即可求出最小值．【解答】解：＝x+++（y+1）++＝（+）（x+y+8）＝+）≥）＝5+，当且仅当＝时，即x＝3﹣﹣2时取等号，故最小值为2+，故答案为：5+．【点评】本题考查了乘1法和基本不等式的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P，且离心率之积为1．若sin∠F1PF2＝2sin∠PF1F2，则该双曲线的离心率为．【分析】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义得|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|﹣|PF2|＝2m，可得|PF1|＝a+m，|PF2|＝a﹣m，再由已知结合正弦定理得|PF2|＝c，与离心率之积为1联立可得c2﹣mc﹣m2＝0，即，求解得答案．【解答】解：如图，如图，由椭圆定义1|+|PF2|＝8a，①由双曲线定义，|PF1|﹣|PF2|＝6m，②联立①②，得|PF1|＝a+m，|PF2|＝a﹣m，在△PF4F2中，由sin∠F1PF4＝2sin∠PF1F5，得，即，则|PF7|＝c．∴a﹣m＝c．由，得am＝c2，则c3﹣mc﹣m2＝0，即，解得m＝，∵双曲线的离心率大于2，∴该双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查圆锥曲线的定义，是中档题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝8．（1）求边长a；（2）已知点M为边BC的中点，求AM的长度．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin B的值，进而利用正弦定理可得a的值．（2）利用二倍角的余弦函数公式可求cos B的值，利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，根据余弦定理可求AM的值．【解答】解：（1）由0＜A＜π，，得，所以，由正弦定理，可得．（2），在△ABC中，可得，在△ACM中，由余弦定理得：，所以，．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）已知递增等比数列{a n}满足：a1+a4＝18，a2•a3＝32，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝n，记c n＝．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用等比数列的定义和数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）∵a2•a3＝a7•a4，∴a1，a6方程x2﹣18x+32＝0的两根，又∵a2＞a1，所以a1＝5，a4＝16．，∴q＝6．∴．当n≥2时，，又∵n＝1时，b1＝S8＝2符合，所以b n＝n+1．（2）＝，＝，所以＝，＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时）（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数．（2）由已知得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+7.100+0.0875+a）×2＝7，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，8]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×8＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，7，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：ξ0323P．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝DC＝AP＝2（1）证明：PD⊥平面ABE；（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（1）以点A为原点，以AB、AD、AP为轴建立空间直角坐标系，求出向量，，计算，说明BE⊥PD，然后证明AB⊥PD．即可证明PD⊥面ABE．（2）求出平面F AB的法向量，平面ABD的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角F﹣AB﹣D的余弦值即可．【解答】（1）证明：依题意，以点A为原点、AD，可得B（1，0，6），2，0），2，0），0，5），由E为棱PC的中点，得E（1，1，向量，，故，∴BE⊥PD，所以AB⊥P A，P A∩AD＝A，PD⊂面P AD．又因为AB⊂面ABE，BE⊂面ABE，所以PD⊥面ABE．（2）由（1）可知：，，，，由点F在棱PC上，设，故，由BF⊥AC，得，因此8（1﹣2λ）+6（2﹣2λ）＝7，∴，即，设为平面F AB的法向量，则，即，不妨令z＝1，可得，取平面ABD的法向量，则，因为二面角F﹣AB﹣D的平面角为锐角，所以二面角F﹣AB﹣D的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，并求该定值．【分析】（1）由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；（2）讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，即可得出四边形OPMN的面积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，∴＝∴，∴a2＝4b2；将Q代入椭圆C的方程，得+＝1，解得b3＝4，∴a2＝5，∴椭圆C的方程为；（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y＝kx+m（m≠0），P（x2，y1），N（x2，y7）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k8）x2+4kmx+4m2﹣8＝2，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2＝2+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（Ⅰ）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且，求|f（x1）﹣f（x2）|的最大值．【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用函数f（x）为单调函数，由二次函数图象性质可知，函数f（x）是单调函数等价于g（x）≥0恒成立，解得即可，（Ⅱ）由（I）函数f（x）的两个极值点x1，x2满足2x2+ax+2＝0，可得|f（x1）﹣f（x2）|＝令设函数，再利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）＝2x2+ax+2，定义域为（0由二次函数图象性质可知，函数f（x）是单调函数等价于g（x）≥0恒成立，所以或解得a≥﹣7．（Ⅱ）由（I）函数f（x）的两个极值点x1，x2满足3x2+ax+2＝7，所以不妨设0＜x1＜5＜x2，则f（x）在（x1，x3）上是减函数，＝令设函数因为h′（t）＝1+﹣＝＞4，所以h（t）在（1，+∞）上为增函数．由，即，解得1＜x2≤3，故，所以|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。

东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期中试题 理一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则等于（ ）A. B. C.D.2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x 的图象开口向上，顶点坐标为3)，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为 D.与都不是周期函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）A ．2B ．3C ．23D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑ （ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<-其中正确结论的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂足为D ，则AB AD ⋅的值为_____15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。