2012西城高三(二模)数学(理)

2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。

西城区2012年高三一模试卷（理科）2012.4一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞（D ）(,0)[1,)-∞+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9（B ）3（C ）0（D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm（D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ） （A ）(0,1]（B ）(0,2)（C ）[1,2)（D ）(0,2)8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ） （A ）3240（B ）3120（C ）2997（D ）2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC于点M ．若3OC =，1OM =，则MN =_____． 12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()24ρθ+=的距离是_____． 13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线3(0)3y x x =≥和3(0)y x x =-≥上运 动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是 _____．三、解答题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-．（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若||7BC = ，20=⋅AC AB ，求||AB AC +．ABCOM N16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.ECBADF19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为53，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数 列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=- ，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1； 12.2； 13.1-和0，(0,4]； 14.32，2(12)+. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7BC = ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC += ． ………………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分 所以 ||129AB AC +=． ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分所以 125()16P B P P =+=． ………………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分 比赛局数的分布列为：X45 6 7 P18 14 516 516………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，3OA OF ==．所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以 (3,0,3)CF = ，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得 15cos ,5⋅〈〉==n v n v n v ． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x'=⋅+-． ………………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x++-'=，0x ≠． ………………6分 ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……………8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ………………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a -===-， 得23b a =. ………………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . ………………9分 设(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分 （Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分 当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”．当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥． 因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,T A a a bb -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列 各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。

2012年北京市西城区高三二模试卷与答案英语试卷2012. 5第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

例：It’s so nice to hear from her again. ______, we last met more than thirty years ago.A. What’s moreB. That’s to sayC. In other wordsD. Believe it or not答案是D。

21. I have watched you two for the past ten minutes and ___ of you has done any work in that time.A. neitherB. eitherC. noneD. both22. --Do you think he will send you a card?-- Yes, if he _____ on holiday.A. goB. goesC. will goD. went23. What we can learn from the story is _____ you mustn’t blame children for themistakes of their parents.A. whereB. whatC. whetherD. that24._____ power, turn off the hot water after you are done showering.A. SaveB. SavingC. SavedD. To save25. Builders use soft wood in the construction of small boats ____ it is flexible.A. afterB. unlessC. becauseD. while26. The baby bird is at the stage ______ it is ready to leave the nest.A. thatB. whichC. whenD. what27.---How long did you own your first car?---We ____ it for six months before it was stolen.A. had ownedB. ownedC. has ownedD. would own28. Tom called customer service to question ______ his credit card bill was so high.A. whetherB. whyC. howD. when29. A person, when ______, can often do what is normally beyond his ability.A. challengedB. challengesC. challengingD. to challenge30. --Did you hear about the hero who rescued the child from the burning building?--Yes. What do you think most people ______ if they were in a similar situation?A. will do B will have done. C. would do D. would have done31. _____ this advertisement several times, I decided to apply for the marketingmanager position.A. ReadB. ReadingC. To readD. Having read32. ----You may hear some complaining, but you must deal with it.----Yes, I am fully prepared for whatever anyone ______ say.A. canB. mightC. mustD. should33. The meeting began two hours ago and because no decision ______, we willcontinue our discussion tomorrow.A. has madeB. had madeC. has been madeD. had been made34. Engineering is ________ challenging course of study that requires ________thorough understanding of mathematics and science.A. the; aB. a; theC. 不填; 不填D. a; a35. – Can I have your business number?-- You can call me, free of charge, ______.A. atB. byC. withD. for第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科) 2012．5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ）． A ．1i 22+ B ．1i 22- C ．1i 22-+ D ．1i22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）． A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2x y =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ）．A ．①B ．②C ．③D ．④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂， 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）．A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =± D ．2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）．（注：标准差s =其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）A ．12x x >，12s s >B ．12x x <，12s s <C ．12x x >，12s s <D ．12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼 层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量 为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ）． A ．7层 B ．8层 C ．9层 D ．10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =L ，其中0(1,2,,20)k a k >=L ，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）．A ．210个B ．200个C ．190个D ．180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在ABC △中，BC AC =π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的 两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何 体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．已知函数 ()sin())f x x x ωϕωϕ=++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值；（Ⅱ）若()4f α=，求2sin sin 22sin sin 2αααα-+的值．如图，四棱锥E ABCD -中，EA EB =，AB CD ∥，AB BC ⊥，2AB CD =． （Ⅰ）求证：AB ED ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB △（O 为原点）面积的最 大值．若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N L L ，则称12n a a a ⨯⨯⨯L 为N 的 一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()k a k ∈N 中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =L ，使得N 的分解积最 大．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，()1,2； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分；14题少选、错选均不给分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1n n n a b c -+=，即132n n n b c --++=，所以 132n n b n c -=-+． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++L L 21(31)(1)2n n n c c c --=+++++L ． ………………10分 从而当1c =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分当1c ≠时，(31)121nn n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分设()f x 的最小正周期为T ．由图可得πππ()2442T =--=，所以πT =，2ω=． ………………4分 由 (0)2f =，得 πsin()13ϕ+=，因为ππ(,)22ϕ∈-，所以π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos22f x x x =+=． ………………8分由 ()2cos 42f αα==，得 cos 2α=， ………………9分所以 23cos 2cos 125αα=-=． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 EO AB ⊥． ……………2分 因为 AB ∥CD ，2AB CD =， 所以 BO ∥CD ，BO CD =．又因为AB BC ⊥，所以四边形OBCD 为矩形， 所以AB DO ⊥． ………4分因为EO DO O =I ，所以AB ⊥平面EOD ． ………………5分所以AB ED ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，12FG AB =． 因为AB ∥CD ，12CD AB =，所以FG ∥CD ，FG CD =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， ………………12分所以DF ∥平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a-∞；单调减区间是1(,)a a --，(,)a -+∞．………………13分综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由222222213a b b e a a -==-=，得 b a =． ① ………………2分由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分联立①②，解得1b =，a = …………4分 所以椭圆C 的方程是2213x y +=． …………5分（Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2y kx =+．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得22(13)1290k x kx +++=． …………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……………9分所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x =-=⨯⨯-=-△△△． ………………10分因为22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设21(0)k t t -=>，则212236363()16(34)4924t x x t t t -===+++． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时AOB △………………14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ……………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ……………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． …………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =L 中可以有2个2． …………4分 当(1,2,,)k a k n =L 有3个或3个以上的2时， 因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()k a k ∈N 中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =L 中有1时， 因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ②由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =L 中至多有2个2． ③当(1,2,,)k a k n =L 中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大．因此，(1,2,,)k a k n =L 中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分④ 当(1,2,,)k a k n =L 中有大于4的数时，不妨设4i a >， 因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =L 中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++L 1444442444443个使得分解积最大； …………12分 当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++L L 14444424444431444442444443个个使得分解积最大； ……………13分 当*32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++L 1444442444443个使得分解积最大． ………………14分北京市西城区高三二模试卷 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：由题可知111i 1i 1i 1i 1i 2z ++==⋅=--+． 故选A ．2．【答案】C【解析】解：对于函数3()f x x =，易知()()f x f x =--； 对于函数()sin f x x =，易知()()f x f x =--． 故选C ．3．【答案】D【解析】解：由题可知输出的函数为存在零点的函数， 因为()20x f x =>，所以该函数不存在零点； 因为()20x f x =-<，所以该函数不存在零点；因为1()f x x x -=+为对勾函数且()2f x ≤-或()2f x ≥，所以该函数不存在零点； 因为当1x =时，1()0f x x x -=-=，所以该函数存在零点． 故选D ．4．【答案】A【解析】解：由图一，图二可知“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件．故选A ．图二图一nnm mββαα5．【答案】D【解析】解：可知c ，由双曲线的定义可知14c k ===渐近线为2y x ==±． 故选D ．6．【答案】B【解析】解：可知()1153565758617072617x =⨯++++++=，()2154565860617273627x =⨯++++++=1s ==2s == 故选B ．7．【答案】C【解析】解：由题可知，设在第()212n n ≤≤层下，S 达到最小值， 而()()23110S n n n =-+-++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦L ()()111122n n +++-+-⨯⎡⎤⎣⎦L ()()()()1213122n n n n -⨯-=+-⨯-235315722n n =-+， 可知函数的对称轴为536n =，由于n 为整数， 故当9n =时，min 40S =． 故选C ．8．【答案】C【解析】解：易知满足题意得(),a b ，其中,220a b a >≤≤， 当2a =，有()2,1，共1个； 当3a =，有()3,1()3,2，共2个；L L L ；当20a =，有()()()20,1,20,2,,20,19L ，共19个； 综上，()119191902S +⨯==，满足题意．故选C ．二、 填空题 9．【答案】π4【解析】解：由正弦定理可知sin sin sin sin 2sin 3BC AC B A B B ==⇒=， 所以π4B =． 故答案为π4．10．【答案】2-【解析】解：由题可知,x y 满足的区域为如图的阴 影区域ABCD ，当直线过点()1,0A -时，取得最小 值()max 2102z =⨯-+=-． 故答案为2-．11．【答案】16【解析】解：由题可知(),x y 的可能为：()()()()()()1,1,1,3,1,1,1,3,3,1,3,3--；由⊥a b 可知，0⋅=a b ，所以()(),13,030x y x y -⋅=⇒-=，即3y x =； 满足条件的有()1,3，故16p =． 故答案为16．12．【答案】0，()1,2【解析】解：由题可知002bb -=⇒=；当0x ≥，则不等式为()221132012x x x x x -+<⇒-+<⇒<<， 当0x <，则不等式为()221120x x x x -+<-⇒-+<， 因为180∆=-<，故方程无解． 故答案为0，()1,2．13．【答案】13，3π【解析】解：由题可知,,PA AB AD 两两垂直，所以1133V PA AB AD =⋅⋅⋅=；可知三棱锥P ABCD -的外接球的直径为PC =所以表面积2224π4π4π3π2PC S r ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为13，3π．14．【答案】② ③【解析】解：当0,0x y >>时，函数的方程为()()22118x y -+-=，可画图，当0,0x y ><；0,0x y <>； 可类似画图（如图）．① 错误．如图曲线C 与坐标轴没有公共点； （方法二：由函数方程易知0x =或0y =无意 义，故与坐标轴无公共点） ② 正确．由图易知； ③ 正确．由图可知max 2PQ r ==故答案为② ③．PDCBA。

2012北京市西城区高三（二模）物理一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）关于从空气射入玻璃中的一束单色光，下列说法正确的是（）A．若入射角足够大，则能发生全反射现象B．光在玻璃中的波长小于在空气中的波长C．光子在玻璃中的能量大于在空气中的能量D．光在玻璃中的传播速度大于在空气中的传播速度2．（3分）下列过程吸收能量的是（）A．重核裂变B．轻核聚变C．原子从较高能级跃迁到较低能级D．原子从较低能级跃迁到较高能级3．（3分）如图所示，在两个水平放置的平行金属板之间，电场和磁场的方向相互垂直．一束带电粒子（不计重力）沿着直线穿过两板间的空间而不发生偏转．则这些粒子一定具有相同的（）A．质量m B．电量q C．运动速度v D．比荷4．（3分）已知甲、乙两个绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为h1和h2，月球半径为R．甲、乙的运动速度大小分别用v1和v2表示．则v1和v2的比值为（）A．B．C．D．5．（3分）一简谐横波沿x轴正方向传播．波源的位移y随时间t的变化规律可以用表达式y=0.2sin4πt表示，式中位移y的单位是m，时间t的单位是s．该简谐横波的波速为v=4.0m/s．则（）A．这列波的波长λ=2.0mB．这列波的波长λ=0.20mC．在一个周期内，任一质点振动时的路程s=0.2mD．在一个周期内，任一质点振动时的路程s=0.4m6．（3分）如图所示，P、Q、A、B四个点在同一条直线上，分别把两个正、负点电荷置于P、Q两点．A、B两点间的电势差用U表示，A点的电场强度用E表示．若只把Q点的点电荷的电荷量减半，则（）A．U变大，E变大B．U变小，E变小C．U变小，E变大D．U变大，E变小7．（3分）如图1所示，矩形导线框ABCD固定在匀强磁场中，磁感线垂直于线框所在平面向里．规定垂直于线框所在平面向里为磁场的正方向；线框中沿着ABCDA方向为感应电流i的正方向．要在线框中产生如图2所示的感应电流，则磁感应强度B随时间t变化的规律可能为（）A．B．C．D．8．（3分）如图所示，一半径为R的圆弧形轨道固定在水平地面上，O为最低点，轨道末端A、B两点距离水平地面的高度分别为h和2h，h＜R．分别从A、B两点同时由静止释放甲、乙两个完全相同的小球．不计轨道与球之间的摩擦及空气阻力，不计两球碰撞过程中的机械能损失．则（）A．碰撞后乙球经过2π的时间再次回到点OB．碰撞后乙球落到水平地面上时的速度大小为C．碰撞后甲球落到水平地面上时的速度大小为D．碰撞的瞬间前后相比较，轨道对地面的压力变小二、解答题（共4小题，满分72分）9．（18分）实验题（1）甲乙两个同学共同做“验证牛顿第二定律”的实验，装置如图所示．响．他们将长木板的一端适当垫高，在不挂砝码盘的情况下，小车能够自由地做运动．另外，还应满足砝码盘（连同砝码）的质量m 小车的质量M．（填“远小于”、“远大于”或“近似等于”）接下来，甲同学研究：在保持小车的质量不变的条件下，其加速度与其受到的牵引力的关系；乙同学研究：在保持受到的牵引力不变的条件下，小车的加速度与其质量的关系．②甲同学通过对小车所牵引纸带的测量，就能得出小车的加速度a．图2是某次实验所打出的一条纸带，在纸带上标出了5个计数点，在相邻的两个计数点之间还有4个点未标出，图中数据的单位是cm．实验中使用的电源是频率f=50Hz的交变电流．根据以上数据，可以算出小车的加速度a= m/s2．（结果保留三位有效数字）③乙同学通过给小车增加砝码来改变小车的质量M，得到小车的加速度a与质量M的数据，画出a～图线后，发现：当较大时，图线发生弯曲．于是，该同学后来又对实验方案进行了进一步地修正，避免了图线的末端发生弯曲的现象．那么，该同学的修正方案可能是A．改画a与的关系图线 B．改画a与（M+m）的关系图线C．改画 a与的关系图线 D．改画a与的关系图线（2）在“描绘小灯泡的伏安特性曲线”实验中，采用如图3所示的电路．①请根据图3在图4中进行实物连线．②某同学在实验中得到下面一组U和I的数据：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9U/V 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 1.00 1.50 2.00 3.00I/A 0.05 0.08 0.10 0.11 0.12 0.16 0.19 0.22 0.27图5是该同学根据实验数据描绘出的伏安特性曲线．从图线上可以看出，当通过小灯泡的电流逐渐增大时，灯丝的阻值逐渐；这表明灯丝的电阻率随温度升高而．（以上两空均选填“增大”、“不变”或“减小”）③将本实验中的小灯泡两端加3.0V的电压，则小灯泡的实际功率约为W；若直接接在电动势为3.0V、内阻为2.0Ω的直流电源两端，则小灯泡的实际功率约为W．（以上两空的结果均保留两位有效数字）10．（16分）如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m，电荷量为+q的小球．整个装置处于水平向右，场强大小为的匀强电场中．（1）求小球在电场中受到的电场力大小F；（2）当小球处于图中A位置时，保持静止状态．若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小a；（3）现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态．小球从位置B无初速度释放．不计小球受到的空气阻力．求小球通过最低点时的速度大小v．11．（18分）十三陵抽水蓄能电站担负着北京地区调峰和紧急事故备用电源，改善首都供电质量的重要任务．抽水蓄能电站的工作原理是，在用电低谷时，电站利用电网多余电能把水抽到高出蓄水池中，到用电高峰时，再利用蓄水池中的水发电．电站利用十三陵水库为下游水库，在蟒山后上寺沟头修建上游水库．电站的年发电量约为10亿kW•h，年抽水用电量约为14亿kW•h．如图所示，上游水库近似视为长方体，可用于发电的库容量为V，蓄水后上游水库的平均水深为d，蓄水后水位高出下游水面高度为H．已知下游水库的库容量远大于上游水库的库容量．（1）求十三陵抽水蓄能电站的总效率η；（2）求能用于发电的水的最大重力势能E P；（3）若把抽水蓄能电站产生的电能输送到北京城区．已知输电功率为P，输电线路的总阻值为R．要使输电线路上损耗的功率小于△P，a．求输电电压的最小值U；b．在输电功率P一定的情况下，请提出两种能够降低输电过程中功率损耗的方法，并加以评述．12．（20分）如图所示，一个木板放置在光滑的水平桌面上，A、B两个小物体通过不可伸长的轻绳相连，并且跨过轻滑轮，A物体放置在木板的最左端，滑轮与物体A间的细绳平行于桌面．已知木板的质量m1=20.0kg，物体A的质量m2=4.0kg，物体B的质量m3=1.0kg，物体A与木板间的动摩擦因数μ=0.5，木板长L=2m，木板与物体A之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2．为了使A、B两个物体以及木板均保持静止状态，需要对木板施加水平向左的力F1，加以维持（1）求这个力F1的大小；（2）为了使物体A随着木板一起向左运动，并且不发生相对滑动，现把力F1替换为水平向左的力F2，求力F2的最大值；（3）现在用一个水平向左的力瞬间击打木板，并同时撤去力F1，使得物体B上升高度h B=1.0m（物体B未碰触滑轮）时，物体A刚好经过木板的最右端．求打击木板的这个力的冲量大小I．物理试题答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．【解答】A、光从空气进入玻璃，由于光从光疏介质进入光密介质，不会发生全反射．故A错误．B、光从空气进入介质，频率不变，根据E=hv知光子能量不变，根据v=知光速减小，根据知波长减小．故B正确，C、D错误．故选B．2．【解答】AB、重核裂变和轻核聚变有质量亏损，根据质能方程，将释放能量．故A、B错误．C、原子从高能级跃迁到低能级时，释放能量．故C错误．D、原子从低能级跃迁到高能级时，吸收能量．故D正确．故选D．3．【解答】一束带电粒子（不计重力）沿着直线穿过两板间的空间而不发生偏转，知粒子受电场力和洛伦兹力平衡，有：qvB=qE，因为B与E是确定的，所以v=，知粒子的速度相同．故C正确，A、B、D错误．故选C．4．【解答】万有引力提供卫星运动的向心力有：G=mv=甲、乙的运动的轨道半径分别是R+h1和R+h2，所以v1和v2的比值为故选D．5．【解答】A、B由y=0.2sin4πt得到ω=4πrad/s，周期T==0.5s，由公式v=得波长λ=vT=2m．故A正确，B错误．C、D质点做简谐运动，具有周期性，每个周期内通过的路程是4A，由y=0.2sin4πt得，A=0.2m，故在一个周期内，任一质点振动时的路程s=0.8m．故CD均错误．6．【解答】由题，P、Q在A点产生的场强方向均向右，只把Q点的点电荷的电荷量减半，P产生的场强不变，而根据E=k得知，Q在A两点产生的场强减小，方向不变则根据叠加原理可知，E变小．由U=Ed知，AB间距离不变，则U变小．故选B7．【解答】A、在0﹣t0时间内，磁场垂直纸面向里，且均匀增大，根据楞次定律，知感应电流的方向为ADCBA，与规定的正方向相反，感应电流为负值．故A错误．B、在0﹣t0时间内，磁场垂直纸面向里，且均匀减小，根据楞次定律，知感应电流的方向为ABCDA，与规定的正方向相同，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势为定值，则感应电流为定值，同理，在t0﹣2t0时间内，感应电流的方向为ADCBA，与规定的正方向相反，感应电流为负值，且为定值．故B正确．C、在0﹣t0时间内，磁场垂直纸面向里，且均匀减小，根据楞次定律，知感应电流的方向为ABCDA，与规定的正方向相同，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势为定值，则感应电流为定值，在t0﹣2t0时间内，磁场方向垂直纸面向外，且均匀增大，根据楞次定律，感应电流的方向仍然为ABCDA，与规定的正方向相同．故C错误．D、磁感应强度不变，磁通量不变，则不产生感应电流．故D错误．故选B．8．【解答】A、由题意知两球做的是类单摆运动，周期为T=2相等，所以，两球同时到达O点，再经过半个周期乙球再回到O点，A错误；B、C：碰撞后两球交换速度，所以对甲球：2mgh=解得V=，对乙球：mgh=解得V=，B错误C正确；D、碰撞的瞬间前后相比较，两球仅仅是交换速度，所以轨道对地面的压力不变，D错误；故选C二、解答题（共4小题，满分72分）9．【解答】（1）①在验证牛顿第二定律实验中，平衡摩擦力时要求在不挂砝码盘的情况下，小车能够自由地做匀速直线运动运动，这样小车受到的拉力才为合力，另外，还应满足砝码盘（连同砝码）的质量m远小于小车的质量M，这样绳子拉力才近似等于砝码盘（连同砝码）的重力．②△S=a，将纸带分为两部分，=8.05cm =17.47﹣8.05=9.42cm，t=0.2s，代入解得a==0.343m/③分别对小车与砝码列出牛顿第二定律，对小车有F=Ma，对砝码有F﹣mg=ma，两式联立可得a==，故若改画a﹣图线，则斜率一定，故该同学的修正方案是A．（2）①实物连线如图②根据欧姆定律R=，因U﹣I图象上的一点与原点的连线的斜率即为电阻R，可见当通过小灯泡的电流逐渐增大时，灯丝的阻值逐渐增大；这表明灯丝的电阻率随温度升高而增大．③根据小灯泡的U﹣I图线可读出U=3V时对应的电流I=0.27A，由P=UI得小灯泡的实际功率为P=3×0.27W=0.81W （0.80～0.82均可），若直接接在电动势为3.0V、内阻为2.0Ω的直流电源两端，则在小灯泡的U﹣I图象上再做出表示电源的U﹣I图象，两图线的交点坐标为I=0.24A，U=2.6V，则小灯泡的实际功率约为P=UI=2.6×0.24W=0.62W （0.60～0.64）故答案为（1）①匀速直线，远小于，②0.343，③A．（2）①如图，②增大，增大，③0.81（0.80～0.82），0.62（0.60～0.64）10．【解答】解：（1）小球在电场中受到的电场力大小为F=qE=．（2）根据平行四边定则得：剪断瞬间小球受到重力和电场力的合力大小F合==根据牛顿第二定律得小球的加速度为 a==（3）小球从位置B无初速度释放到最低点的过程中，根据动能定理得 mgl﹣Eql=解得 v=答：（1）小球在电场中受到的电场力大小F等于；（2）剪断瞬间小球的加速度大小a是；（3）小球通过最低点时的速度大小v是．η=×100%=×100%=71%（2）能用于发电的水的总质量m=ρV所以，能用于发电的水的最大重力势能E p=mgh=ρVg（H﹣）（3）a．当输电电压为U时，输电电流I=所以，损失功率△P=I2R=R所以，输电电压的最小值U=Pb．损失功率△P=I2R=R输电功率P一定，能够降低输电过程中功率损耗的方法：一种是减小电阻R，即增大输电导线的横截面积（不经济）；改用电阻率小的输电导线；另一种是：提高输电电压U（最经济）．答：（1）十三陵抽水蓄能电站的总效率η是71%；（2）能用于发电的水的最大重力势能是ρVg（H﹣）；（3）输电电压的最小值U=P，增大输电导线的横截面积（不经济）；改用电阻率小的输电导线；提高输电电压（最经济）．12．【解答】解：（1）对物体，由平衡条件可知，绳子拉力T1=m3g，对A和木板组成的整体，则有 F1=T1=m3g=10N．（2）物体A随着木板一起向左运动时，三个物体的加速度大小相等，当A与木板间的静摩擦力达到最大值时，F2达到最大值．对AB整体进究得，f﹣m3g=（m2+m3）a，又f=μm2g解得，a=2m/s2．对木板，根据牛顿第二定律得 F2﹣f=m1a解得 F2=60N（3）用一个水平向左的力瞬间击打木板，并同时撤去力F1，A向左做匀加速运动，木板向左做匀减速运动，由于木板与物体A之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，AB的加速度大小与（2）中加速度大小相等，即为a=2m/s2．对B：h B=则有 f=m1a′解得，a′=1m/s2．根据题意，物体B上升h B=1.0m的过程中，木板向左运动的位移x=L+h B=3m设击打木板后的瞬间，木板的速度大小为v0，对木板：由x=v0t﹣解得，v0=3.5m/s根据动量定理得 I=m1v0=70N•s答（1）这个力F1的大小是10N；（2）为了使物体A随着木板一起向左运动，并且不发生相对滑动，力F2的最大值是60N；（3）打击木板的这个力的冲量大小I是70N•s．。

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（理科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2 （B）2 （C ）28cm（D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ） （A ）(0,1] （B ）(0,2)（C ）[1,2)（D）8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ） （A ）3240（B ）3120（C ）2997（D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC于点M．若OC =1OM =，则MN =_____．12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____．13. 已知函数12,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运 动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是 _____．ABCOMN三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC = ，20=⋅AC AB ，求||AB AC + ．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=- ，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1；12 13.1-和0，(0,4]； 14，2(1. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7BC = ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC += ． ………………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分所以 ||AB AC +=………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分所以 125()16P B P P =+=． ………………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分 比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以CF =，,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得cos ,5⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-． ………………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分 （Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠． ………………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……………8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ………………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a-===-， 得 23b a =. ………………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . ………………9分 设(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分（Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分 当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”．当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥． 因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b --- 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一 类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列 各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（理科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞ 2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm （D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2) （C ）[1,2) （D ）(0,2)8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）（A ）3240 （B ）3120 （C ）2997 （D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 11. 如图，A C 为⊙O 的直径，O B AC ⊥，弦B N 交A C于点M ．若3O C =，1O M =，则M N =_____．12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()24ρθ+=的距离是_____．13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线3(0)3y x x =≥和3(0)y x x =-≥上运动，且△O A B的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△O A B 周长的最小值是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7B C = ，20=⋅AC AB ，求||A B A C +．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列. 17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为ABCOM NEF菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F A F C =． （Ⅰ）求证：A C ⊥平面B D E F ； （Ⅱ）求证：F C ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)ax a f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为53，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12M B M B ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=- ，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1； 12.2； 13.1-和0，(0,4]； 14.32，2(12)+.注：13题、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7B C = ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅= ， 所以 22||||89AB AC +=． ………10分因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分 所以 ||129AB AC +=． ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==．………………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分所以 125()16P B P P =+=． ………………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P1814516516………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 A C F O ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以A D //B C ，D E //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△D B F 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故F O ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1O B =，3OA OF ==．所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以 (3,0,3)C F =，(3,1,0)C B =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.C F C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得 15cos ,5⋅〈〉==n v n v n v．所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)xf x x=⋅+，211()e (2)xf x xx'=⋅+-． ………………2分由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x++-'=，0x ≠． ………………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……………8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+．② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a + ………………10分③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由222222519a b b e aa-===-， 得23b a=. ………………2分依题意△12M B B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分所以椭圆C 的方程是22194xy+=. ………………5分（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………………7分 所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分若PF 平分APB ∠，则直线P A ，P B 的倾斜角互补， 所以0=+PB PA k k . ………………9分 设(,0)P a ，则有12120y y x ax a+=--.将 112x m y =+，222x m y =+代入上式，整理得1212122(2)()0(2)(2)m y y a y y m y a m y a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0m y y a y y +-+=.……………12分将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得 (29)0a m -+⋅=. ………13分由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =.综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分（Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”． 当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为m ax()n A ，则0m ax()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥．因为0q a ≥， 所以m ax()i p n b a A ≤≤，故m ax()m ax()n n B A ≤，证毕．………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44m ax()m ax()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一类数列； 若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。

2012年北京西城高考二模数学（理）一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，若，则的取值范围是______A. B. C. D.2. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：则输出函数的序号为______①；②；③；④．A. ①B. ②C. ③D. ④3. 椭圆是参数的离心率是______A. B. C. D.4. 已知向量，，其中．则“”是“”成立的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么______，其中为的平均数）A. ；B. ；C. ；D.6. 已知函数，其中实数随机选自区间．对，的概率是______A. B. C. D.7. 某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人．因特殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层．假设这位乘客的初始"不满意度"均为，乘客每向下步行层的"不满意度"增量为，每向上步行层的"不满意度"增量为，人的"不满意度"之和记为，则的最小值是______A. B. C. D.8. 对数列，如果及，，，，使成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：①若是等比数列，则为阶递归数列；②若是等差数列，则为阶递归数列；③若数列的通项公式为，则为阶递归数列．其中，正确结论的个数是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 在中，，则 ______．10. 已知复数满足，则 ______．11. 如图，是的内接三角形，是的切线，交于点，交于点．若，，，，则 ______； ______．12. 已知函数是上的偶函数，则实数 ______，不等式的解集为______．13. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是______；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是______．14. 曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②若点在曲线上，则；③若点在曲线上，则．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数．（1）求的值；（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．16. 如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使 平面 ?若存在，求出；若不存在，说明理由．17. 甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．19. 已知函数，其中．（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．20. 若（或，），则称为和的一个位排列．对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至．对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则，．若，则称为最佳排列．（1）写出所有的最佳排列；（2）证明：不存在最佳排列；（3）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. C6. C7. C8. D第二部分9.10.11. ；12.13. ；14. ①②③第三部分15. （1）．（2）因为，都有，即，由已知得又因为，故，当时，即时，有最大值为，所以的取值范围为．16. （1）取中点，连接，，，所以．因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以．又因为，所以平面，平面，所以．（2）因为平面平面，且，平面平面，所以平面，所以．由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．为等腰直角三角形，所以，设，所以，，，，，．所以，平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．（3）存在点，且时，有 平面．证明如下：假设上存在点，使得 平面，交于点，连接，则，所以，由，得．其他证明方法：由，，所以．设平面的法向量为，则有<br>\（\[ \begin{cases}\overrightarrow v\cdot\overrightarrow{BD}=0，\\ \overrightarrow v\cdot \overrightarrow{FB}=0. \end{cases}\]\）<br>所以取，得．因为，且平面，所以 平面．即点满足时，有 平面．17. （1）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，且乙得分的分布列如下表：故．（2）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲、乙入选的事件分别为，则由（1）知，，又甲回答题可视为独立重复试验，故，于是甲、乙至少有一人入选的概率．18. （1）依题意，设直线方程为．将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得设，，所以因为，所以．联立和，消去，，得．所以直线的斜率是．（2）由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于．因为所以时，四边形的面积最小，最小值是．19. （1）当时，，．由，得曲线在原点处的切线方程是．（2）．①当时，．所以在单调递增，在单调递减．当，．②当时，令，得，，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是．③当时，与的情况如下：所以的单调增区间是，；单调减区间是．（3）由（2）得，时不符合题意．当时，由（2）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，则的取值范围是．当时，由（2）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，则的取值范围是．综上，的取值范围是．20. （1）最佳排列为，，（2）设，则，因为，所以，，，，之中有个，个．按的顺序研究数码变化，由上述分析可知有次数码不发生改变，有次数码发生了改变．但是经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得，从而不存在最佳排列．（3）由或，得因为，所以与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，因此有以上各式求和得，．另一方面，还可以这样求和：设，，，，中有个，个，则．所以解得或所以排列中的个数是或．。

五、三角函数（必修四）1.（2012年西城二模理9）在△ABC 中，BC =，AC =，π3A =，则B = _____． 答案：π4. 2.（2012年海淀二模理1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（ D ） A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角3.（2012年朝阳二模理4）在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ⋅<，且△ABC的面积为32，则BAC ∠等于（ C ） A ．60 或120 B ．120 C ．150 D ．30 或150 4.（2012年丰台二模理7）已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是（ C ）A ．B ．C ．D ．5.（2012年昌平二模理9）在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.答案：127π。

6.（2012年东城二模理11）在平面直角坐标系xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋转 90到点B ，那么点B 的坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则sin2α的值为 ．7.（2012年海淀二模理11）在ABC ∆中，若120=∠A ，5c =，ABC ∆的面积为则a = .8.（2012年西城二模理15）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围． 解：（Ⅰ）22ππππ()cos ()sin cos 12121262f =--==． ………………5分 （Ⅱ） 1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- ………………7分1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+ ………………8分π)3x =+． ………………9分 因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π2[,]333x +∈， ………………10分所以当 ππ232x +=，即 π12x =时，()f x 取得最大值2． ………………11分所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于2c ≤．故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c的取值范围是)+∞． ………………13分 9.（2012年朝阳二模理15） 已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）由()12(cos 21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．…3分 因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上， 所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =. …5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分10.（2012年丰台二模理15）已知函数()cos sin )f x x x x =-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值． 解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -1cos 213()sin 222x x +-12sin 22x x -＝cos(2)6x π+-（Ⅰ）()cos(2)336f πππ=⨯+==7分 （Ⅱ）因为 [0,]2x π∈， 所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． …13分11.（2012年昌平二模理15）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-.（Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值;（Ⅱ）求||b a +的取值范围. 解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π……6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ … 11分 21)3sin(1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a … 13分12.（2012年东城二模理15）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为-解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =⨯=.由2π8T ==ω，得4π=ω. ………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42+=ϕ， 即4π=ϕ . ………5分 所以π()sin()sin (1)444f x x x =+=+ππ. ………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin (51)1,4f =+=-所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………7分所以MN PN MP ===.由余弦定理得3cos5MNP ∠==-. ………11分因为[)0,MNP ∠∈π， 所以4sin 5MNP ∠=. ……13分。

北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2x y =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差s =，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个（C ）190个（D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在△ABC 中，BC ，AC =π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}， 那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ． 16．（本小题满分13分）已知函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间． 19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．2-； 11．16；12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++． ………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n n S n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分 设()f x 的最小正周期为T ． 由图可得πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=， 因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． (8)分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos2cos 2=-=αα． ………………11分所以 2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． (13)分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． ………………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． (6)分① 当0a =时，22()1xf x x '=+． 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a+∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b +=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，a = …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k=+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则212236363()16(34)4924t x x t t t -==≤=+++． (13)分当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23． ………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分 当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。

北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科） 2012.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2x y =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ） （A ）14y x =±（B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个 （C ）190个 （D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}， 那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．ADCBE三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++． ………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n n S n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分GF OADCB E16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分 设()f x 的最小正周期为T ． 由图可得πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos 2cos 2=-=αα． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． ………………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =．所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a+∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x '-+-()f x↘1()f x ↗2()f x ↘x2(,)x -∞ 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x '+-+()f x↗2()f x↘1()f x↗0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分 令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k=+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23． ………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸 上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i 1i =+ （ ）A ．1i 22+B ．1i 22- C ．1i 22-+ D ．1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）A ．2cos ρθ=B ．2sin ρθ=C ．2cos ρθ=-D ．2sin ρθ=-3．已知向量=a ，(0,2)=-b ．若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ）A．1)-B．(1,-C．(1)-D．(-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ） A ．3 B ．6- C ．10 D ．15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是 （ ） A ．[1,4]B ．[1,5]C ．4[,4]5D ．4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ）A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A ．8 B ．83 C ．4D ．438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △ 为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线： ① 3(03)y x x =-+≤≤； ②0)y x =≤≤；③ 1(0)y x x=->． 其中，Γ型曲线的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数21()log f x x=的定义域是______． 10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______． 11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若2PA BC =，则PBBC=______． 12．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=______． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b =4B π∠=，sin C =则c = ；a = ．14．有限集合P 中元素的个数记作card()P ．已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅，且card()2A =，card()3B =．若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y --⊄，B Y --⊄，则集合Y 的个数是_____．（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈．（Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分13分） 盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用． （Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次 抽到使用过的零件的概率； （Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围．19．（本小题满分14分） 已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a ．如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”．（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，…．依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω．证明：i Ω是等差数列．。