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北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ðA ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x <-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x ≤≤- 2．下列函数中为奇函数的是A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y D ．||e x y -=3．若,x y 满足10,0,0x y x y y -++⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥则2x y +的最大值为A ．1-B ．0C ．12D ．2 4．设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和．若15172a a +=，244a a =，则6=S A ．2716 B ．278C ．634 D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261-)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利 用秦九韶算法求多项式的一个实例． 若输入的5,1,2n v x ===， 则 程序框图计算的是 A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++ C ．654322222221++++++ D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格 低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 A ．若A B p ，B C p ，则A C pB ．若A B p ，BC p 同时不成立，则A C p 不成立 C ．A B p ，B A p 可同时不成立D ．A B p ，B A p 可同时成立第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 ．10．在极坐标系中，直线cos sin 10r q q +=与圆2cos (0)a a r q >=相切，则a = ． 11．某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，1BC =， 2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA =．14．已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈=--∈--∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围 是_______．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.（本小题13分）已知函数()2cos 2()f x x a x a =+⋅∈R ． （Ⅰ）若()26f =π，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在7[,]1212ππ上单调递减，求()f x 的最大值．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该 主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之 比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题共14分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ^平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，2EA ED AB EF ===，EF AB ∥，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ^？若存在，求CG CF的值；若不存在，说明理由．设函数2()()e ()x f x x ax a a R -=+-⋅∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（Ⅱ）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围．19.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ， 线段BN 的中点为E ．证明： 点B 关于直线EF的对称点在直线MF 上．20.（本小题共13分）对于n 维向量12(,,,)n A a a a =鬃?，若对任意{1,2,,}i n 巫鬃均有0i a =或1i a =，则 称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B ，定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å．（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值；（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若1(1,1,1,1,1)A =且满足：1(,)2i i d A A +=，*i ÎN ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)；（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若112(1,1,,1)A个=鬃?且满足：1(,)i i d A A m +=， *m N Î，1,2,3,i 鬃?=，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A个鬃?=，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）(1,2) （10）1 （11）14（12）21 （13 （14）(1,)+∞ (4,2)(2,4--U 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2cos 2=2666f a πππ=⋅+⋅⋅， ………3分 所以31222a +?． ………5分所以1a =． ………6分（Ⅱ）由题意(22)f x x x)x ϕ=+，其中tanϕ=．………8分 所以T =π，且712122πππ-=， ………9分所以当12x π=时，max ()sin()126y f ϕππ==+．所以=+23k k ϕππ(∈)Z ． ………10分所以tanϕ=3a =． ………11分所以π())3f x x =+． ………12分所以()f x 的最大值为 ……………………13分（16）（共13分）解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”（1,2,,9i = ）. 根据题意，1()9i P A =，且()i j A A i j =乒 . …………1分（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则47B A A = . …………2分C所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=. …………5分 （Ⅱ）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， …………6分4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++= ，…………7分356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，…………8分12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． …………9分 所以X 的分布列为分故X 的期望14280123999EX =???．…………………11分 （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）取CD 中点N ，连结,MN FN ．因为,N M 分别为,CD BC 中点， 所以MN ∥BD ． 又BD ⊂平面BDE 且MN Ë平面BDE ， 所以MN ∥平面BDE ， 因为EF ∥AB ，2AB EF =， 所以EF ∥CD ，EF DN =． 所以四边形EFND 为平行四边形． 所以FN ∥ED ．又ED ⊂平面BDE 且FN Ë平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， ………2分 又FN MN N = ，所以平面MFN ∥平面BDE ． ………3分 又FM Ì平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． …………4分C（Ⅱ）取AD 中点O ，连结EO ，因为EA ED =，所以EO ^因为平面ADE ^平面ABCD 所以EO ^平面ABCD ，EO 因为AD AB =，60DAB ∠=所以△ADB 为等边三角形． 因为O 为AD 中点， 所以AD BO ^．因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -．…………6分 由题意得，(2,0,0)A ，B ，(C -，(2,0,0)D -，E ，(1F -．………7分(3,CF =，DE = ，(0,BE =-．设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BE DE ì?ïíï?î n n 即0,0.y z x ì-=ïíï=î 令1z =，则1y =，x =-所以(,1)=-n ．………9分 设直线CF 与平面BDE 成角为α，sin |cos ,|αCF =< n 所以直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值为10． ……………………10分 （Ⅲ）设G 是CF 上一点，且CG CFλ=，[0,1]λ∈．……………11分因此点(34,)G λ-+．……………12分(34,)BGλ=-． 由0BG DE ? ，解得49λ=．所以在棱CF 上存在点G 使得BG ^DE ，此时49CG CF =．………14分解：（Ⅰ）当0a =时，因为2()e x f x x -=?，所以2'()(2)e x f x x x -=-+?， …………1分'(1)3e f -=-． …………2分又因为(1)e f -=， …………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为e 3e(1)y x -=-+，即3e 2e 0x y ++=． ……………………4分（Ⅱ）“对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ³成立”等价于“在区间[0,2]上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”． …………………5分因为2215()1()24g x x x x =--=--， 所以()g x 在[0,2]上的最大值为(2)1g =．2'()(2)e ()e x x f x x a x ax a --=+?+-?2e [(2)2]x x a x a -=-+-- e (2)()x x x a -=--+ 令'()0f x =，得2x =或x a =-． …………………7分 ① 当0a -?，即0a ³时，'()0f x ³在[0,2]上恒成立，)(x f 在[0,2]上为单调递增函数， ()f x 的最大值为21(2)(4)e f a =+?, 由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． ……………9分 ② 当02a <-<，即20a -<<时，当(0,)x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为单调递减函数，当(2)x a ∈-，时，'()0f x >，()f x 为单调递增函数． 所以()f x 的最大值为(0)f a =-或21(2)(4)e f a =+?, 由1a -?，得1a ?；由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． 又因为20a -<<，所以21a -<?． ……………11分 ③ 当2a -?，即2a ?时，'()0f x £在[0,2]上恒成立，()f x 在[0,2]上为单调递减函数，()f x 的最大值为(0)f a =-，由1a -?，得1a ?， 又因为2a ?，所以2a ?．综上所述，实数a 的值范围是1a ?或2e4a ?．……………………13分解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?． 所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?．此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分 ② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF 的距离2d2=22|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==． 即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||niii d A B a b ==-å，可得(,)4d A B =. …………………………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A L ，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)m A =.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n -+-+-+-+- 123452(2)1n n n n n =++++--次，此数为奇数.又因为*1(,)2,i i d A A i +=?N ，说明i A 中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到1i A +，所以共需要改变数值2(1)m -次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分 （Ⅲ）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =. ……………13分易见当m 为12的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1分). 答出5,8,10m =给(1分).答出7,9,11m =中任一个给(1分)，都对给(2分)。
2017平谷期末理18．(13分)已知函数1()(1)x f x k x e=-+． （Ⅰ）如果()f x 在0x =处取得极值，求k 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （III ）当0k =时，过点(0,)A t 存在函数曲线()f x 的切线，求t 的取值范围.18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R ．所以 (1)1()x xk e f x e --'=∵函数()f x 在0x =处取得极值∴00(1)1(0)0k e f e--'==，解得：k=0 当k=0时，1()x xe f x e-'=，11()00,()00,x x x x e e f x x f x x e e --''=>⇒>=<⇒< ∴函数()f x 在0x =处取得极小值，符合题意。
………..3分（Ⅱ）因为(1)1()x xk e f x e--'=． ①当1k ≥时， ()0f x '<恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞为减函数 ②当1k <时，令()0f x '= ， 则ln(1)x k =--，当(,ln(1))x k ∈-∞--时，()0f x '<，()f x 在(,ln(1))k -∞--上单调递减； 当(ln(1),)x k ∈--+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(1),)k --+∞上单调递增；…8分 （III ）设切点坐标为00(,)x y ，则切线方程为000'()()y y f x x x -=- 即000011()(1)()x x y x x x e e -+=--将(0,)A t 代入得001x x t e +=．令1()x x M x e +=， 所以 ()x x M x e -'=．当()0xxM x e-'==时，00x =． 所以 当(,0)x ∈-∞时，()0M x '>，函数()M x 在(,0)x ∈-∞上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0M x '<，()M x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．所以 当00x =时，max ()(0)1M x M ==，无最小值．当1t ≤时，存在切线； …..13分2017昌平高三期末理)( 13分) 设函数()ln(1)f x ax bx =++，2()()g x f x bx =-. （Ⅰ）若1,1a b ==-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y g x =在点(1,ln 3)处的切线与直线1130x y -=平行. (i) 求,a b 的值；(ii)求实数(3)k k ≤的取值范围，使得2()()g x k x x >-对(0,)x ∈+∞恒成立.(18)解：（Ⅰ）当1,1a b ==-时，()ln(1),(1)f x x x x =+->-， 则1'()111x f x x x-=-=++.当'()0f x >时，10x -<<；当'()0f x <时，0x >； 所以()f x 的单调增区间为(1,0)-，单调减区间为(0,)+∞. …4分 （Ⅱ）(i)因为22()()ln(1)()g x f x bx ax b x x =-=++-，所以'()(12)1ag x b x ax=+-+. 依题设有(1)ln(1),11'(1),3g a g =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 即ln(1)ln 3,11.13a ab a+=⎧⎪⎨-=⎪+⎩解得23a b =⎧⎨=-⎩. ……8分 (i i)21()ln(12)3(),(,)2g x x x x x =+--∈-+∞2()()g x k x x >-对(0,)x ∈+∞恒成立，即2()()0g x k x x -->对(0,)x ∈+∞恒成立.令2()()()F x g x k x x =--．则有24(3)1'()12k x k F x x-+-=+．① 当13k ≤≤时，当(0,)x ∈+∞时，'()0F x >，所以在(0,)+∞上单调递增. 所以()(0)0F x F >=，即当(0,)x ∈+∞时，2()()g x k x x >-；②当1k <时，当x ∈时，'()0F x <，所以在上单调递减，故当x ∈时，()(0)0F x F <=，即当(0,)x ∈+∞时，2()()g x k x x >-不恒成立.综上，[1,3]∈．…13分()F x ()F x k2017朝阳期末理19．（ 14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e xg x x ax =-+，R a ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；（Ⅲ）证明()()f x g x ≤． 19．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时，(2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-．……4分 （Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>， 当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>．所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．又(0)1g =-，(1)g a =， 因为0x <，所以10,1x x e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取0x =00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-． ⅰ) 当1a <-，则ln(2)0a ->．当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则l n (2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．若12a >-，则ln(2)0a -≤．当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0xg x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞……9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1x g x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1x h x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可．因为1()e (e )11xx x h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)x h x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>．所以函数()h x 的最小值为0()h x ． 所以00000()()(1)e ln(1)1x h x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=． 所以()().f x g x ≤…14分2017东城期末理 18．设函数．（Ⅰ）若f （0）为f （x ）的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立，求a 的最大值． 18．解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x ）=﹣，因为f （0）为f （x ）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x ）=，当x ∈（﹣1，0）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增．所以f （x ）在x=0处取得极小值，所以a=1． … （Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 所以f （x ）＞f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立． 因此，当a ＜1时，f （x ）=ln （x +1）﹣＞ln （x +1）﹣＞0，f （x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立．当a ＞1时，f′（x ）=，所以，当x ∈（0，a ﹣1）时，f′（x ）＜0，因为f （x ）在[0，a ﹣1）上单调递减， 所以f （a ﹣1）＜f （0）=0，所以当a ＞1时，f （x ）＞0并非对x ∈（0，+∞）恒成立． 综上，a 的最大值为1． …2017丰台期末理18.（13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值. 18．解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=….2分 因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ….4分因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-．…….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数， 故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； …….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， …….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. …….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -；…….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -.…….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……….13分2017海淀期末理19. （14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．19. 解：（Ⅰ）由()ln 1a f x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x +=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x +=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增，所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->，所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =， 所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x0x0(,)x +∞'()g x -0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可） 2017石景山期末理19．（ 14分）已知函数2()11xf x x =++，2()(0)a xg x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．19．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1．……5分 （Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………7分因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．…8分 因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分（ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()e g x g a a =-=．由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-．……13分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-．……14分2017通州期末理18．（13分）设函数()()1kxf x e k R =-∈．（Ⅰ）当k ＝1时，求曲线()y f x =在点))0(0(f ，处的切线方程； （Ⅱ）设函数kx x x f x F -+=2)()(，证明：当x ∈)0(∞+，时，()F x ＞0.18．解：(Ⅰ)'()x f x e =，…….1分将x =0分别代入f (x )和f ’(x )得，f ’(0)=1， f (0)=0…….3分 所以曲线在点(0, f (0))处的切线方程为：y =x . …….4分(Ⅱ)'()2kx F x ke x k =+-…….6分令()2kx g x ke x k =+-，则2'()2kx g x k e =+…….8分 20,0kx e k >≥ ，2'()20kx g x k e ∴=+>…….10分∴g (x )在(0,)+∞上单调递增，∴g (x )>g (0)=0即'()0F x >，…….11分∴F (x )在(0,)+∞上单调递增，∴F (x )>F (0)=0….13分2017西城期末理18．（ 13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围． 18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分] 导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-， 所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分]所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， 所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]2017丰台一模理18.（13分）已知函数1()ln()(0)f x kx k k x=+->.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意12[]x k k∈，，都有ln()1x kx kx mx -+≤，求m 的取值范围.18．解：由已知得，()f x 的定义域为(0,)+∞. （Ⅰ）21()x f x x-'=， 令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<. 所以函数()f x 的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1,)+∞. …5分（Ⅱ）由ln()1x kx kx mx -+≤，得1ln()kx k m x+-≤，即()max m f x ≥. 由（Ⅰ）知，（1）当2k ≥时，()f x 在12[,]k k 上单调递减，所以1()()0max f x f k ==，所以0m ≥； .（2）当01k <≤时，()f x 在12[,]k k上单调递增，所以2()()ln22max kf x f k ==-，所以ln 22km ≥-；（3）当12k <<时，()f x 在1[,1)k 上单调递减，在2(1,]k上单调递增，所以12()(),()max f x max f f k k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 又1()0f k =，2()ln22k f k =-,① 若21()()f f k k ≥，即ln 202k -≥，所以12ln 2k <<，此时2()()ln22max kf x f k ==-，所以ln 22km ≥-.② 若21()()f f k k <，即ln 202k-<，所以2ln 22k ≤<，此时max ()0f x =，所以0m ≥综上所述，当2ln 2k ≥时，0m ≥；当02ln 2k <<时，ln 22km ≥-.…13分 2017延庆一模理18.（13分）已知函数()()ln()f x x a a x =+-．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (Ⅱ)当a e =时，求证：函数()f x 在0x =处取得最值． 18. 解：(Ⅰ)因为1a =1()ln(1)1x f x x x +'=-+-…2分 (0)1f '=-，所以1k =- …3分 因为(0)0f =所以切点为(0,0)， …4分 则切线方程为y x =- …5分 (Ⅱ)证明:定义域(,)e -∞ 函数a e =所以()ln()x ef x e x x e +'=-+-…6分 (0)f e =2()ln()1ef x e x x e'=-++- 当(,)x e ∈-∞时，ln()y e x =-,21ey x e=+-均为减函数…7分 2()ln()1ef x e x x e'=-++-所以()f x '在(,)e -∞上单调递减；…8分 又(0)0f '= 因为当(,0)x ∈-∞时2()ln()10ef x e x x e '=-++>-…9分 ()f x 在(,0)-∞上单调递增；…10分又因为当(0,)x e ∈2()ln()10ef x e x x e '=-++<-…11分 ()f x 在(0,)x e ∈上单调递减；…12分 因为(0)0f =所以()f x 在0x =处取得最大值 …13分解法二:当(,0)x ∈-∞时，0,x ->e x e -> ,ln()ln 1e x e ->=ln()12e x -+>…7分又因为0,x <11222,,2,2e e ex e e x e e x e e x e -<->>=->------…8分 2()ln()10ef x e x x e'=-++>-，()f x 在(,0)-∞上单调递增； …9分 当(0,)x e ∈(,0),(0,)x e e x e -∈--∈ln()1e x -<， …10分 又因为(0,)x e ∈112220,,2,2e e e e x e x e e x e e x e-<-<<<=-<------…11分 2()ln()10ef x e x x e'=-++<-,()f x 在(0,)x e ∈上单调递减；…12分 又因为(0)0f =所以()f x 在0x =处取得最大值 …13分 解法三:也可以二次求导,老师斟酌给分2017朝阳一模理(18)（13分）已知函数()ln 1f x x ax =--(R a ∈),21()()22g x xf x x x =++.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若函数()g x 在区间(,1)()m m m Z +?内存在唯一的极值点，求m 的值. （18） 解：（Ⅰ）由已知得0x >，11()axf x a x x-'=-=. （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数；（ⅱ）当0a >时，由()0f x '>，得10x a <<； 由()0f x '<，得1x a>； 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞. ……4分（Ⅱ）因为21()()22g x xf x x x =++21(ln 1)22x x x x x =--++21ln 2x x x x =-+，则()ln 11g x x x '=+-+ln 2()3x x f x =-+=+.由（Ⅰ）可知，函数()g x '在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 又因为2211()22e e g '=--+210e=-<，(1)10g '=>， 所以()g x '在(0,1)上有且只有一个零点1x .又在1(0,)x 上()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上单调递减；在1(,1)x 上()0g x '>，()g x 在1(,1)x 上单调递增.所以1x 为极值点，此时0m =.又(3)ln 310g '=->，(4)2ln 220g '=-<，所以()g x '在(3,4)上有且只有一个零点2x . 又在2(3,)x 上()0g x '>，()g x 在2(3,)x 上单调递增；在2(,4)x 上()0g x '<，()g x 在2(,4)x 上单调递减.所以2x 为极值点，此时3m =. 综上所述，0m =或3m =. ……13分2017东城一模理（18）（13分）已知函数1()2ln ()f x x mx m x=+-∈R ． （Ⅰ）当1m =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，求m 的取值范围；（Ⅲ）设b a <<0，求证：ln ln b a b a -<-（18）解：（Ⅰ）的定义域为．当1m =-时，1()2ln f x x x x=++， 所以221'()1f x x x=-+．因为(1)2f =且'(1)2f =， 所以曲线在点处的切线方程为20x y -=．……4分（Ⅱ）若函数在上为单调递减，则在上恒成立． 即在上恒成立．即在上恒成立． 设221()(0)g x x x x=->，则．因为，所以当时，有最大值．所以的取值范围为…9分 （Ⅲ）因为，不等式等价于． 即，原不等式转化为．令，由（Ⅱ）知在上单调递减， 所以在(1,)+∞上单调递减．所以，当时，． 即当时，成立． 所以，当时，不等式成立．…13分2017房山一模理18、（14分）已知函数()1xf x x ae =-+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； 2）求()f x 的极值； （3）当1a =时，曲线()y f x =与直线1ykx =-没有公共点，求k 的取值范围. 18．（I ）'()1x f x ae =+ 因为x ae x x f +-=1)(，在点（1，)1(f ）处的切线平行于x 轴，所以k='1(1)10f ae =+= 所以1a e=- ……4分)(x f (0,)+∞()y f x =(1,(1))f )(x f (0,)+∞'()0f x ≤(0,)+∞2210m x x --≤(0,)+∞221xm x -≤(0,)+∞max [()]m g x ≥22211()(1)1(0)g x x x x x =-=--+>1x =()g x 1m [1,)+∞b a <<0ln ln b a b a -<-ln ln b a -<lnb a <(1)t t >12ln t t t <-1()2ln h t t t t=+-1()2ln f x x x x=+-(0,)+∞1()2ln h t t t t=+-1t >()(1)0h t h <=1t >12ln 0t t t+-<b a <<0ln ln b a b a -<-（II ）当0≥a 时，令0)(/>x f 恒成立，所以函数无极值 当0<a 时，令x ae x f +=1)(/=0，解得)1ln(x -=2)ln()(--=ax f 极大值……9分(III)法一、当a=1时，()1x f x x e =-+与1y kx =-无公共点只需证()(1)x h x x k e =-+无零点即()0h x =无根，即(1)x e k x =-，由数形结合知 当1k =时无零点 当1k <时有一个零点 当1k >时，(1)x e k x -与相切时，有一个零点设切点00,)x y （，0x e e x x =，所以10=x ，所以切点为（1，e ）所以k-1=e ，所以1k e =+ 综上所述11k e ≤<+ …14分法二、当a=1时，()1x f x x e =-+与1y kx =-无公共点 只需证()(1)x h x x k e =-+无零点 x e k x h +-=1)(/ (1)当=1k 时，()=e x h x ，无零点(2)当1k <时，0)(/>x h ，)(x h 单调递增，111()10,(0)101k h e h k -=-+<=>-所以)(x h 有一个零点 (3)当1>k 时，令01)('=+-=k e x h x 解得)1ln(-=k x)1)1ln(()1()1(ln()(---=-=k k k h x h 极小当1)1ln(=-k ，即1+=e k ，0)('=极小x h ，有一个零点当1)1ln(<-k ，即11+<<e k ，0)('>极小x h ，无零点当1)1ln(>-k ，即1+>e k ，0)('<极小x h ， 01)0(>=h ，一定有零点综上所述：11k e ≤<+ …14分2017海淀一模理18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数()f x 定义域为(1,)-+∞．4(1)'()221a f x x a x -=-++22(1)(2)1x a x a x ⎡⎤+-+-⎣⎦=+， 令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， 由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点，所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点．（Ⅱ）已知(0)0f =，因为[]2(1)(2)'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[]0,1上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立；当23a <<时，在区间[]0,2a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立；所以2a ≤时，有()0f x ≤在区间[]0,1恒成立． 2017石景山一模理18．已知函数()1n f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x≥-；（Ⅲ）若11n x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．18．解:（Ⅰ）1'()f x x=，'(1)1f =，又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-； （Ⅱ）由题意知0x >，令1()()(1)g x f x x =--11n 1x x=-+．22111'()x g x x x x -=-=令21'()0x g x x-==，解得1x =．易知当1x >时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 所以min ()(1)0g x g ==， ()(1)0g x g ≥= 即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-．（Ⅲ）设()11n (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1x >，()0h x >恒成立．'()1a x a h x x x-=-=，1a ≤时，'()0h x >，()h x 在[)1,+∞上单调递增， 当1x >时，()(1)0h x h >=，满足题意．1a >时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(1,)a 上单调递减，所以()(1)0g a g <=即当1a >时，总存在()0g a <，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．2017西城一模理18．（13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值． 18．解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=- [ 1分] 所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=， 即000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 4分]（Ⅱ）依题意，切线方程中令1x =，得 00020000011e e )22(e )(1)(2)(x x x y x x x x x =+=--+--. [ 5分]所以 (1,)A y ，(1,0)B .所以 1||||2AOB S OB y =⋅△0001|(2)(1e 22)|x x x =--000(1)(11|e )|22x x x =--，0[1,1]x ∈- [ 7分] 设 ()(111e )22)(x x g x x -=-，[1,1]x ∈-. [ 8分]则 11111e )(1)(e )(1)(e 1)22(2()22x x x x x x g x -+'=-----=-. [10分]令 ()0g x '=，得0x =或1x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以 ()g x 在(1,0)-单调递减；在(0,1)单调递增， [12分]所以 min ()(0)1g x g ==， 从而 △AOB 的面积的最小值为1 [13分] 2017朝阳二模理19．（14分）已知函数2()e x f x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ． （Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值； （Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．（18）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． ……4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y = ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+- ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥ ．90OEG ∠=︒． …13分 2017东城二模理18. 设函数()()2(x f x x ax a e a -=+-⋅∈R ）. （1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.18. 解：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()[]222x e x a x a -=-+--()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.2017丰台二模理18.（13分）已知函数()e ln x f x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a上有极小值，且极小值大于0.18.解：（Ⅰ） ()f x 的定义域为(0,)+∞， ……1分 因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x'=-. ……2分因为(1)0f =，(1)0f '=， …3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =. ……4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …5分因为e ()e e 0e aa f '=-<，(1)e 0f a '=->， …6分所以0(,1)eax ∃∈,使得00e =0x a x -. …7分所以0(,)e ax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， ……8分故()f x 在0(,)eax 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …9分所以()f x 有极小值0()f x . ……10分 因为0e 0x a x -=, 所以000001()=e (ln 1)(ln 1)x f x a x a x x -+=--. …11分 设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈， 则2211(1)()()a x g x a x x x +'=--=-， ……12分所以()0g x '<， 即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． …13分2017海淀二模理19．已知函数f （x ）=e ax ﹣x ．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在（0，f （0））处的切线l 与直线x +2y +3=0垂直，求a 的值；（Ⅱ）当a ≠1时，求证：存在实数x 0使f （x 0）＜1． 19．（Ⅰ）解：f'（x ）=ae ax ﹣1，∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，∴切线l的斜率为2，∴f'（0）=a﹣1=2，∴a=3；（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e a﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，∴在时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在上递减；时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在上递增．∴=是f（x）的极小值．设，则，令g'（x）=0，得x=1．∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，∴，综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．2017顺义二模理18．已知函数f（x）=pe﹣x+x+1（p∈R）．（Ⅰ）当实数p=e时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当p=1时，若直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，求实数m的取值范围．18．解：（Ⅰ）当p=e时，f（x）=e1﹣x+x+1，可得导数f′（x）=﹣e1﹣x+1，∴f（1）=3，f′（1）=0，∴曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程为y=3；（Ⅱ）∵f（x）=pe﹣x+x+1，∴f′（x）=﹣pe﹣x+1，①当p≤0时，f′（x）＞0，则函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；②当p＞0时，令f′（x）=0，得e x=p，解得x=lnp．则当x变化时，f′（x）的变化情况如下表：所以，当p＞0时，f（x）的单调递增区间为（lnp，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lnp）．（Ⅲ）当p=1时，f（x）=e﹣x+x+1，直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x 的方程mx+1=e ﹣x+x+1在（﹣∞，+∞）上没有实数解， 即关于x 的方程（m ﹣1）x=e ﹣x （*）在（﹣∞，+∞）上没有实数解． ①当m=1时，方程（*）化为e ﹣x =0，显然在（﹣∞，+∞）上没有实数解． ②当m ≠1时，方程（*）化为xe x =，令g （x ）=xe x ，则有g′（x ）=（1+x ）e x ．令g′（x ）=0，得x=﹣1，则当x 变化时，g'（x ）的变化情况如下表：当x=﹣1时，，同时当x 趋于+∞时，g （x ）趋于+∞，从而g （x ）的值域为．所以当＜﹣时，方程（*）无实数解，解得实数m 的取值范围是（1﹣e ，1）．综合①②可知实数m 的取值范围是（1﹣e ，1]． 2017西城二模理19．（13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x '的零点个数（Ⅱ）证明0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分不必要条件． 19．解：（Ⅰ）由21()()e x f x x ax a -=+-⋅，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅1()(2)e x x a x -=-+-⋅．[ 2分]令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点：2x =，x a =-．[ 4分]（Ⅱ）① 当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减， 所以，函数()f x 无极值．[ 5分]② 当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()e a f a a +-=-⋅≤0．[ 7分]又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-⋅为()f x 的最小值．[ 9分] 故0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分条件．[10分] ③ 当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+⋅>，又1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．[13分]2017人大附中18.（13分）已知函数()ln()f x a x =+，())g x k R =?，y x =为曲线()y f x =的切线．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若存在00x >，使得()00,x x ∈时，()y f x =图象在()y g x =图象的下方，求k 的取值范围．18.（Ⅰ）()()1f x x a a x '=>-+，设切点为()11,x y ，则1111111ln()a x y a x y x⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：1a =．5（Ⅱ）由(Ⅰ)知1a =，令()()()ln(1)(0,)h x f x g x x x =-=+-∈+∞ 依题意，存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <， ·························· 7分 ①0k ≤时，(0,)x ∈+∞，()ln(1)0h x x =+->，此时不存在00x >， 使得()00,x x ∈时()0h x <； 8分②01k <<时，因为()h x'=22111k k k ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭=所以存在120,0x x >>使()()120h x h x ''==，不妨设21x x >()10,x x ∈，()()0,h x h x '<递减，所以()()00h x h <=，此时存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <； 11分③1k ≥时，因为(0,)x ∈+∞，()221110k k k h x ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭'=≤， ()y h x =递减，所以()()00h x h <=．12分综上所述，k 的取值范围是(0,)+∞．13分2017高考押题理19.（13分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x-≥；（Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值19.解：（Ⅰ）1()f x x'=, (1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x x x=--=-+．22111'()x g x x x x -=-= 令21'()0x g x x-==，解得1x =．易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥= 即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-．（Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x ah x x x-=-=， 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增， 当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． 1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减， 所以()()<=g a g 10 即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．2017北大地高考押题理18．已知函数满足，其中，且。
北京市东城区2017届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合24{|}0A x x =﹣＜,则R A ð=（ ） A ．2{}2|x x x ≤≥-或B ．2{2|}x x x ＜-或＞C ．2{|}2x x -＜＜D ．2{|}2x x ≤≤-2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．yD ．xy e=-3．若x y ,满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设,a b 是非零向量,则“,a b 共线”是“||||||a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列,n S 是其前n 项和．若15172a a +=,244a a =,则6S =（ ） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===,则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A ,P 两点间的距离Y 与动点P 所走过的路程X 的关系如图所示,那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a ⋯,和123,,,,b b b 令,{|}1,2,,m m M m a b m n ==＜,若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作：,,,,,A B A B C 现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ） A ．,,A B B C A C <<<若则B ．,A B BC A C <<<若同时不成立,则不成立 C ．,A B B A <<可同时不成立D ．,A B B A <<可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ+=与圆2cos (0)a a ρθ=＞相切,则a =_______．11．4,2,4A B 某校开设类选修课门类选修课门每位同学需从两类选修课中共选门,若要求至少选一门B 类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形1,45,30,1,2,cos 4ABCD ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=中,则BD =_______；三角形ABD 的面积为_______．13．在直角坐标系2,4,,xOy l y x F A B =中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于两点,其中点60,A x l OA ︒=在轴上方．若直线的倾斜角为则_______．14．已知函数{}{}|1|,(0,2]()min |1|,|3|,(2,4]min |3|,|5|,(4,)x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪--∈⎨⎪--∈+∞⎩①若()f x a =有且只有一个根,则实数a 的取值范围是_______．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根,则实数T 的取值范围是_______． 三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 15．已知函数()f x=sin 2cos2()x a x a +∈R ． （Ⅰ）若π()26f =,求a 的值；（Ⅱ）若f x （）在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求()f x 的最大值． 16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 17．如图,在几何体ABCDEF 中,平面A D E A B C⊥平面,四边形ABCD 为菱形,且60,2,,DAB EA ED AB EF EF AB M BC ∠=︒===∥为中点．（Ⅰ）求证：FM BDE ∥平面；（Ⅱ）求直线CF BDE 与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在,CF G BG DE ⊥棱上是否存在点使？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．18．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-∈R ．（Ⅰ）当0,()(1,(1))a y f x f ==时求曲线在点-处的切线方程；（Ⅱ）设2()1,0,]2[g x x x t =--∈若对任意的,存在0,2[()])(s f s g t ∈≥使得成立,求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b =+＞＞的短轴长为,右焦点为(1,0)F ,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2AM x N BN E =与直线交于点，线段的中点为．证明：B EF 点关于直线的对称点在直线MF 上．20．对于12(,,,)n n A a a a =⋯维向量,若对任意1,2,{01},i i i n a a ∈==均有或,则称A 为,,,n T n T A B d A B 维向量．对于两个维向量定义（）=1||ni i i a b =-∑． （Ⅰ）若(1,0,1,0,1)(0,1,1,1,0)(,)A B d A B ==，，求的值．（Ⅱ）现有一个5维1231,,,,1(1,1,1,1,1)T A A A A ⋯=向量序列：若且满足：(,1)2i i d A A +=,*i ∈N ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维123T A A A 向量序列：,,,,若112(1,1,,1)A 个且满足：1()i i d A A m +=,,*,1,2,3,m i ∈=N ,若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个,j A 为12维T 向量序列中的项,求出所有的m ．。
东城二模数学理科附答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x ，则A R（A ）{|2x x 或2}x （B ）{|2x x 或2}x（C ）{|22}x x （D ）{|22}x x（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+（C ）y x （D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ，则2x y 的最大值为（A ）1 （B ）0 （C ）12（D ）2（4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a ，244a a ，则6=S（A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632否1v v x 1i i1i n0i（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的着作《数书九章》中提出了九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n ，1v ，2x ，则程序框图计算的是（A ）5432222221（B ）5432222225APPAP（C ）654322222221（D ）43222221（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图P 所走的图形可能是（A）（B）（C）（D）BD（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a 和123,,,,n b b b b ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立（C ）A B ，B A 可同时不成立（D ）A B ，B A 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ?或2}x ³ （B ）{|2x x <-或2}x >（C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -＃（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C）y =（D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ì-+?ïï+?íï³ïî，则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632APAP（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是 （A ）5432222221+++++ （B ）5432222225+++++ （C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）B D（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p（B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立（C ）A B p ，B A p 可同时不成立 （D ）A B p，B A p 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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2０17年北京市东城区高考数学二模试卷(理科）一、选择题共８小题,每小题5分,共4０分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝｛x｜ｘ2﹣4＜0},则∁ＲA=( ）A.｛ｘ|x≤﹣2或ｘ≥2｝ﻩB．｛x|ｘ＜﹣2或x>2}ﻩC．｛x|﹣2<x<２}ﻩD.{ｘ｜﹣２≤x≤２} 2．下列函数中为奇函数的是（)A.y=ｘ＋coｓｘﻩＢ.y＝x＋sinx C. D.y=ｅ﹣|x｜３.若x，ｙ满足,则x＋2y的最大值为（)A.﹣1ﻩB.0ﻩC.ﻩＤ．２4．设,是非零向量,则“，共线”是“｜+｜＝||+||”的( ）A．充分而不必要条件ﻩＢ．必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等比数列{ａｎ}为递增数列，Sｎ是其前ｎ项和．若a1+a５＝,a２ａ4=４,则S6＝( )Ａ． B.C．ﻩD．6.我国南宋时期的数学家秦九韶(约1２02﹣12６1）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，ｖ=1,ｘ=2，则程序框图计算的是( )A．2５+24＋2３+22＋２+1ﻩB．２5+24+２3＋22+2+5C.２6+25+２4+23+2２＋2+1ﻩD．24＋２３＋22+２+17．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是( ）Ａ.B．Ｃ．ﻩD.8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1,a２，ａ3，…,a n,和b1，b2,b3，…，b n,令Ｍ=｛ｍ|a m<b m,ｍ=1,2,…,n｝，若M中元素个数大于n，则称蔬菜Ａ在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作:A Ｂ，现有三种蔬菜Ａ，B,C，下列说法正确的是（）A.若A B,B C,则A CB.若A B,Ｂ C同时不成立，则Ａ C不成立C.Ａ B,B A可同时不成立Ｄ.Ａ Ｂ,B Ａ可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.复数i(２﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为 .10．在极坐标系中,直线ρｃosθ＋ρsｉnθ+1=０与圆ρ=2acoｓθ（a＞0）相切，则a ＝.１1.某校开设A类选修课4门，B类选修课２门,每位同学需从两类选修课中共选４门，若要求至少选一门Ｂ类课程，则不同的选法共有种．(用数字作答）12.如图,在四边形AＢCD中，∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=１，DC＝2,cos∠BCD=，则BD= ;三角形ABD的面积为．13．在直角坐标系xOｙ中，直线l过抛物线ｙ2=４x的焦点F,且与该抛物线相交于Ａ,Ｂ两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|= ．１4.已知函数①若ｆ(x)=a有且只有一个根,则实数ａ的取值范围是.②若关于x的方程ｆ（x+T）＝f（x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共８0分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．1５．已知函数ｆ(x）=sｉn２x+a•cos２x（a∈R）．（Ⅰ)若f（）=２,求a的值；(Ⅱ）若f（x）在[，］上单调递减,求f（ｘ)的最大值.16.小明计划在8月１１日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,４0％以下为舒适，40%﹣60%为一般，６０％以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择８月１1日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览２天．(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.如图，在几何体ＡBＣＤEF中，平面AＤE⊥平面ＡBＣD，四边形ＡBＣD为菱形，且∠DAB ＝60°,EA=ED=AB=2EF，EＦ∥AB,M为BC中点.（Ⅰ）求证：FM∥平面BDＥ；（Ⅱ)求直线CＦ与平面BDE所成角的正弦值;（Ⅲ）在棱CF上是否存在点Ｇ,使ＢG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由.１8．设函数f（x）=(x2+aｘ﹣a)•ｅ﹣x（a∈Ｒ）．(Ⅰ）当a=0时，求曲线y=ｆ(x）在点（﹣１,ｆ(﹣1）)处的切线方程；(Ⅱ）设g(x）=x2﹣x﹣１,若对任意的t∈［0,2],存在ｓ∈[0，2］使得ｆ(s）≥g(t)成立,求a的取值范围．１9．已知椭圆Ｃ：=１(ａ>b>０）的短轴长为２,右焦点为Ｆ（1,0）,点M是椭圆C上异于左、右顶点Ａ，B的一点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；（Ⅱ）若直线ＡM与直线ｘ=2交于点N,线段BN的中点为E.证明:点B关于直线EＦ的对称点在直线MＦ上.２0．对于n维向量A=（a１,a２,…,a n)，若对任意ｉ∈｛1,２,…,n｝均有aｉ=０或ａi=1,则称A 为n维Ｔ向量．对于两个n维T向量A，B,定义ｄ（A，B）=.(Ⅰ)若Ａ=(1，0,1，0,1），B=(０,1,１，1，０）,求d（A,B)的值．(Ⅱ)现有一个5维T向量序列：A1,Ａ2,A3,…，若A1=(1,1,1,1,１）且满足：d（A i,Ａi+1）=2,i ∈N*.求证：该序列中不存在５维T向量（0,０,0,０，０）.（Ⅲ)现有一个1２维T向量序列：A１，A２，A3,…，若且满足:d（Ａｉ，A i+)=ｍ,ｍ∈N*,i=１,２，3,…，若存在正整数ｊ使得,A j为1２维Ｔ向量序列１中的项，求出所有的ｍ.2017年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题５分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.１．已知集合A={x|x2﹣4<0}，则∁RＡ=( )A.｛ｘ｜x≤﹣２或x≥２} B．{x|x＜﹣2或x>2} C．{x|﹣2<x<2｝D.｛x｜﹣2≤x≤2}【考点】1F:补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A,根据补集的定义计算∁ＲＡ.【解答】解：集合A=｛x|ｘ２﹣4<0}={x｜﹣2＜x＜２}，则∁ＲＡ={ｘ｜x≤﹣2或x≥2}.故选：Ａ.2.下列函数中为奇函数的是( )A.y=x+cosｘﻩＢ.y＝x+sinｘC．Ｄ.y=e﹣|ｘ｜【考点】3K:函数奇偶性的判断.【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．【解答】解:对于A非奇非偶函数，不正确；对于Ｂ，计算,正确,对于C，非奇非偶函数，不正确;对于D,偶函数，不正确,故选:B．３．若x，y满足，则x＋2y的最大值为( ）A．﹣1 B．0 C.D.２【考点】７C:简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABＣ及其内部，再将目标函数z=x+２y对应的直线进行平移，判断最优解,然后求解z取得的最大值．【解答】解：作出x,y满足表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由,解得A（﹣,）,设z＝F(x,y)=x+2ｙ,将直线ｌ:ｚ=x+２y进行平移,当l经过点Ａ时,目标函数z达到最大值∴ｚ最大值=Ｆ(，)=．故选:C．４．设，是非零向量,则“，共线”是“|+|=||+||”的（）Ａ.充分而不必要条件Ｂ.必要而不充分条件C.充分必要条件ﻩD．既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“|+|=||+｜|”⇒“，共线”,反之不成立，例如.【解答】解：“｜+|=｜｜+｜｜”⇒“，共线”，反之不成立，例如.∴,是非零向量，则“，共线”是“|＋｜=||＋｜|”的必要不充分条件．故选：B.５.已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和.若ａ１+a5=,a２ａ４＝4,则S６=（) A. B.ﻩC.ﻩD.【考点】８9:等比数列的前ｎ项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解:设递增的等比数列{a n}的公比为q,∵a１+a５=，ａ2ａ4=4＝a1a５，解得ａ1=,a５=8.解得q=2，则S6=＝.故选:D.６．我国南宋时期的数学家秦九韶（约１20２﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n ＝5,v=1，x=２,则程序框图计算的是( ）Ａ．25＋2４＋２３+2２+２＋1 B．25+24＋23+22+２+5Ｃ．２6＋25+２4+2３+22+2＋1ﻩD．24＋23+22+２＋1【考点】EF:程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的ｉ,v的值，当ｉ=﹣1时，不满足条件ｉ≥0,跳出循环,输出v的值为６３,即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=５，ｖ=1,x＝2，i=４满足条件i≥0，执行循环体，ｖ=3,i=３满足条件i≥0,执行循环体,v=7,i=２满足条件i≥0,执行循环体,ｖ=１5,i=1满足条件ｉ≥０,执行循环体,v＝3１，i＝0满足条件i≥0，执行循环体,v=63,ｉ=﹣1不满足条件i≥0，退出循环,输出v的值为63．由于２5+２４＋23+22＋2+1=63．故选:A．７．动点Ｐ从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A,Ｐ两点间的距离y 与动点Ｐ所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．ﻩＢ.ﻩC．D．【考点】3O:函数的图象.【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点,包括对称性、圆滑性等,再结合所给A,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解:由题意可知:对于A、Ｂ,当P位于Ａ，Ｂ图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线,由此即可排除Ａ、Ｂ，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除Ｄ,故选C．８．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为ａ1,a2,a3,…,a n，和ｂ1,b2,ｂ3，…,ｂn,令Ｍ＝{m｜ａm＜b m，m=1,2,…,n}，若Ｍ中元素个数大于n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作：A Ｂ，现有三种蔬菜A,B，C，下列说法正确的是( )A．若A Ｂ，B C，则Ａ CB.若Ａ Ｂ，B C同时不成立，则A C不成立C.Ａ B,B Ａ可同时不成立D．Ａ B,B A可同时成立【考点】F4:进行简单的合情推理.【分析】令a i=ｂｉ，ｉ＝1,2，…ｎ,即可判断C正确.【解答】解：若ａi=ｂi,i=1,2,…n,则A B，Ｂ A同时不成立,故选C．二、填空题共6小题,每小题5分，共３0分.9．复数i(2﹣ｉ)在复平面内所对应的点的坐标为(１,2) ．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解：复数ｉ（２﹣ｉ）=２i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．故答案为:(1,2)．10.在极坐标系中,直线ρcoｓθ+ρｓinθ+1=0与圆ρ＝2acｏsθ(a＞0）相切,则a＝1 ．【考点】Ｑ4:简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=０化为直角坐标方程：x＋y+1=0.圆ρ＝2acoｓθ(a>0)即ρ2=２ρaｃｏsθ（a>0),可得直角坐标方程：x2+ｙ２=2ax,配方为:（x ﹣a)2＋ｙ2=ａ2．可得圆心（a，０）,半径a.∵直线ρcosθ+ρsinθ＋1=0与圆ρ=2acoｓθ(a＞0）相切,∴=a，a>0，解得a=1.故答案为:１．１1．某校开设Ａ类选修课4门，Ｂ类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有14 种.(用数字作答）【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意,分2种情况讨论:①、选择１门B类课程，需要选择A类课程3门，②、选择2门B类课程，需要选择Ａ类课程2门，由分步计数原理计算每种情况的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意，分2种情况讨论:①、选择1门B类课程,需要选择A类课程3门,则B类课程有C21=2种选法,A类课程有C４3=4种选法，此时有2×4＝8种选择方法；②、选择2门B类课程，需要选择A类课程２门,则B类课程有C2２＝１种选法,A类课程有C42=６种选法，此时有１×6=6种选择方法；则一共有8+6=１４种不同的选法；故答案为：１4.1２．如图，在四边形ＡBCD中，∠ABＤ=４5°，∠AＤB=30°，BC=１，ＤC=2,coｓ∠BCＤ=，则BD= 2 ;三角形ＡBＤ的面积为﹣1 ．【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】△ＣＢD中,由余弦定理,可得，ＢD，△ＡBＤ中,利用正弦定理，可得AＤ,利用三角形的面积公式,可得结论.【解答】解:△CBD中,由余弦定理,可得,BＤ＝=２，△ＡBD中,利用正弦定理，可得ＡD==2﹣2,∴三角形ＡBD的面积为（2﹣2)×＝﹣1,故答案为２，﹣1.１3．在直角坐标系xＯy中，直线l过抛物线y２=4ｘ的焦点Ｆ，且与该抛物线相交于A,B两点,其中点Ａ在x轴上方．若直线ｌ的倾斜角为60°，则|OA|= ．【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】由题意可知求得直线l的方程,代入抛物线方程,点A在x轴上方,即可求得A点坐标，利用两点之间的距离公式,即可求得丨ＯA丨．【解答】解:抛物线y2＝４x的焦点F的坐标为(1,０)∵直线ｌ过Ｆ,倾斜角为60°，即斜率k＝tanα=，∴直线l的方程为：y＝(x﹣１)，即ｘ=ｙ+1，,解得:，，由点A在x轴上方，则A(3,2)，则｜OA｜==，则丨OA丨＝,故答案为:.14．已知函数①若f(x）=ａ有且只有一个根，则实数ａ的取值范围是(１,＋∞) .②若关于x的方程f（ｘ+Ｔ)=f（x）有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是(﹣4,﹣２)∪(2,4) ．【考点】54:根的存在性及根的个数判断．【分析】①作出ｆ(ｘ)的图象,根据图象判断;②将f（x)的图象平移,只需与原图象有３个交点即可.【解答】解:①ｆ(ｘ)=，作出f（x）的函数图象如图所示:由图象可知当a＞1时,ｆ(x）＝a只有1解.②∵关于x的方程f（ｘ＋T)=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将ｆ(ｘ)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有３个交点,∴2＜｜T｜<4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为：①（１，＋∞）,②(﹣4,﹣2）∪(2,４）.三、解答题共6小题,共８0分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.１5．已知函数f（x）=ｓin2x+a•cos２x（a∈R）．（Ⅰ)若f（）＝2，求ａ的值；(Ⅱ)若f(x）在［，］上单调递减,求ｆ（ｘ）的最大值.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H２：正弦函数的图象.【分析】（Ⅰ）根据f（)＝２,即可求a的值；(Ⅱ)利用辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asｉn(ωx+φ）的形式,结合三角函数的图象和性质，ｆ(x)在［,］上单调递减，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ)因为,∵.故得：a=1．（Ⅱ)由题意:f(x)=,其中taｎ,∴函数的周期Ｔ=π,且，所以当x=时,函数f(x）取得最大值，即f（ｘ)max＝ｆ（）═=，∴sin()=1,∴,k∈Z．∴ｔａnθ==,∴a=3．故得．因此f（x)的最大值为.1６．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园.根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度"(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，４0％以下为舒适,40%﹣６0%为一般,60％以上为拥挤)情况如图所示.小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?(结论不要求证明)【考点】ＣＨ：离散型随机变量的期望与方差;CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】设Ａi表示事件“小明８月１1日起第ｉ日连续两天游览主题公园”(i＝１,2,…，９).根据题意，,且事件Ａi与Aｊ互斥.(Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤",则B=A4∪A7．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．(Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0，1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出.(Ⅲ）从８月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．【解答】解:设Aｉ表示事件“小明8月１1日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2,…,９）．根据题意,,且事件Ａi与A j互斥.…(Ⅰ)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤＂,则B=A4∪Ａ7．…所以.…（Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,…,…，…. …所以Ｘ的分布列为Ｘ01２P…故X的期望．…(Ⅲ)从8月１6日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…1７．如图,在几何体ABＣDＥF中,平面ADＥ⊥平面ＡBCD,四边形ABCD为菱形,且∠ＤAＢ=60°,EA＝EＤ=ＡB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FＭ∥平面BDE;（Ⅱ）求直线CF与平面ＢＤE所成角的正弦值;(Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BＧ⊥DE？若存在,求的值；若不存在,说明理由.【考点】LＳ：直线与平面平行的判定;MＩ：直线与平面所成的角.【分析】（Ⅰ）取CＤ中点N,连结MＮ、ＦN，推导出四边形EFND为平行四边形.从而FN∥ED.进而ＦＮ∥平面BDE，由此能证明平面MＦＮ∥平面ＢＤE，从而ＦM∥平面BDE．(Ⅱ)取AD中点Ｏ,连结EO，BＯ.以O为原点,OA，OＢ,OE为x，y,ｚ轴,建立空间直角坐标系Ｏ﹣xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ)设G是CF上一点,且,λ∈[0,１].利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG ⊥DＥ，此时．【解答】(共1４分）证明:（Ⅰ)取ＣD 中点N,连结MN、FN.因为N，Ｍ分别为CＤ,BC中点,所以MN∥BD．又ＢD⊂平面ＢDＥ,且ＭＮ⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE，因为ＥF∥AB,AB＝2ＥF，所以ＥF∥ＣD,EF=DN．所以四边形ＥFND为平行四边形．所以ＦN∥ED.又ED⊂平面ＢDE且FN⊄平面BＤE，所以FＮ∥平面ＢDE，…又ＦN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．…又ＦＭ⊂平面MＦＮ,所以FM∥平面BＤE. …解:（Ⅱ）取ＡD中点O,连结ＥＯ,BO．因为EＡ＝ED，所以ＥＯ⊥ＡD．因为平面ADE⊥平面ＡBCD，所以ＥＯ⊥平面ABCD，EO⊥ＢO．因为AD=AＢ,∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形.因为Ｏ为ＡＤ中点，所以AD⊥BO.因为EO，ＢO,ＡO两两垂直,设AＢ＝4，以Ｏ为原点,OA,OＢ,OＥ为ｘ,y,ｚ轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xy ｚ. …由题意得，A(2，０,0）,,,D(﹣2，0,0),，．…,,.设平面BＤE的法向量为=(x,y，ｚ),则，即,令z=1,则y=1，．所以．…设直线CＦ与平面BDE成角为α,，所以直线CＦ与平面ADE所成角的正弦值为．…(Ⅲ）设Ｇ是CF上一点，且,λ∈[0,１］. …因此点. ….由,解得．所以在棱CF上存在点Ｇ使得BG⊥DE，此时.…18．设函数ｆ（x)=（ｘ2+ax﹣a）•ｅ﹣x(ａ∈R).(Ⅰ）当ａ=０时,求曲线y=f（x)在点(﹣1，f（﹣1）)处的切线方程;（Ⅱ)设ｇ（ｘ)＝x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[０,2],存在s∈[0，2]使得f(s）≥g（t）成立，求a的取值范围．【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(Ⅰ）当ａ=０时，f′(ｘ)＝（﹣x2+２x)e﹣ｘ,由此能求出曲线ｙ=ｆ（x)在点(﹣1，f（﹣１)）处的切线方程.(Ⅱ)“对任意的ｔ∈［0,2]，存在s∈[0,2］使得ｆ（s）≥g（t)成立＂,等价于“在区间［0,2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x)的最大值”．求出g(x）在［0,2］上的最大值为ｇ(２)＝１．f'(x）＝e﹣x（x﹣2)(x+a),令f′(x）=0,得ｘ=２，或x=﹣a. 由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数ａ的值范围．【解答】(共１3分）解：(Ⅰ）当ａ=0时，∵ｆ(ｘ)=x2ｅ﹣x,∴f′(x）＝(﹣x2+２x）e﹣x,…,∴f′(﹣1)﹣3e. …又∵f(﹣1)=e，…∴曲线y=f（ｘ）在点(﹣1，f（﹣1)）处的切线方程为:ｙ﹣e=﹣3ｅ(x+1),即３ex＋y＋2ｅ＝0. …(Ⅱ）“对任意的t∈［0,2]，存在ｓ∈［0，2]使得ｆ（s)≥g(t)成立",等价于“在区间［０，2］上，ｆ(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值". …∵，∴g(x)在［0,2］上的最大值为g（2)=１．f'(x)=(２ｘ+ａ）•e﹣x﹣(x２＋ａｘ﹣a）•e﹣x=﹣ｅｘ[x2+(a﹣2)ｘ﹣２ａ]=e﹣x（x﹣2)(x+ａ）,令f′(ｘ)=０，得x=2，或ｘ=﹣ａ．…①当﹣a<0,即a＞0时，ｆ′(x）＞0在[0,２]上恒成立，f（x)在[0,2]上为单调递增函数，f(x）的最大值为ｆ（2)=（4＋a）•，由（4＋a）•≥1，得a≤ｅ２﹣４．…②当0<﹣a<2,即﹣2＜a＜０时,当x∈(0，﹣a)时，ｆ′（x）<０，ｆ（x）为单调递减函数,当x∈(﹣a，¬2)时,f'(x)>0,f(ｘ)为单调递增函数．∴f(x)的最大值为f（０）=﹣ａ或f(2）=(4+a),由﹣a≥1,得a≤﹣1;由(4+ａ)≥1,得a≤e2﹣４.又∵﹣2<a＜0，∴﹣２<a=１. …③当﹣a＞2，即a＜﹣2时,f′（x）＜0在[0,2]上恒成立，ｆ(ｘ）在[0,２]上为单调递减函数，ｆ(x）的最大值为f（０）=﹣a，由﹣a≥1,得a≤﹣1，又因为a<﹣2,所以ａ<﹣2.综上所述,实数a的值范围是{x｜a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…1９．已知椭圆C:＝1（a>b＞０）的短轴长为2，右焦点为F(１，0)，点M是椭圆C上异于左、右顶点Ａ,Ｂ的一点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程;（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明:点B关于直线EＦ的对称点在直线ＭＦ上.【考点】ＫL：直线与椭圆的位置关系．【分析】(Ⅰ）由题意可知b=，ｃ=１,a2=ｂ2+ｃ２=4,即可求得椭圆方程;（Ⅱ)由“点B关于直线ＥＦ的对称点在直线MF上”等价于“EＦ平分∠ＭFB”设直线AM的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得Ｍ点坐标，分类讨论,当MF⊥x轴时,求得k的值,即可求得N和Ｅ点坐标,求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，则ＥＦ平分∠MFB,当k≠时,即可求得直线ＭF的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得=|ＢE|,则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解:（Ⅰ)由题意得2b=2,则b=,c=1，则a2=b2+ｃ2=４，则a=2，∴椭圆C的方程为;（Ⅱ）证明:“点B关于直线ＥF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB＂．设直线ＡM的方程为y=k(x+2）（k≠0)，则N(2,4k),E（2,2ｋ)．…设点M(x0，ｙ0)，由，整理得(4ｋ2＋3）x2+16k2x＋16k2﹣12=0,由韦达定理可知﹣２x０=，则x0＝，y0＝k(ｘ0+2）=,①当MＦ⊥x轴时,x０=1,此时k=±.则M（１,±）,N(2，±２）,E(２,±１)．此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1,即EF平分∠ＭFB．…②当ｋ≠时，直线ＭF的斜率为k MF＝=,所以直线ＭＦ的方程为4kx+(４k2﹣１)y﹣4k=0．…所以点E到直线MＦ的距离===|2k|＝|BE｜．即点B关于直线EF的对称点在直线ＭF上,综上可知：点Ｂ关于直线ＥF的对称点在直线MＦ上. …20.对于n维向量A=(ａ１，ａ2,…,a n),若对任意i∈{1,2,…，n｝均有a i=0或a i＝１,则称A为n 维T向量.对于两个n维T向量Ａ，B，定义d(Ａ,Ｂ）＝．(Ⅰ）若A=(1,0，1，０，1）,B=（0,1，1，１，0）,求ｄ（A，Ｂ)的值．（Ⅱ)现有一个５维T向量序列:Ａ１，Ａ2,A3,…,若A1＝（1,１,1，1,1）且满足:d（A i，A i+１）＝2，i∈N*．求证:该序列中不存在5维T向量（０，0，0,0，０).(Ⅲ）现有一个12维T向量序列:Ａ1,Ａ2，A3,…,若且满足：d(A i,A i+1)=m,ｍ∈N*，i=1，２,３，…,若存在正整数j使得,Ａｊ为１２维T向量序列中的项,求出所有的m.【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】(Ⅰ)由于Ａ＝(1,0，1,0,1),B=（0,1，１,1,0),由定义,求d(A,B)的值．(Ⅱ）利用反证法进行证明即可;（Ⅲ）根据存在正整数ｊ使得,A j为1２维T向量序列中的项,求出所有的m．【解答】解:（Ⅰ)由于A=(1，０,１,0,1),B=(０，1，１,１,0)，由定义，可得ｄ(A，B)＝4.…(Ⅱ)反证法:若结论不成立，即存在一个含５维Ｔ向量序列,A1，A2，A3,…A n，使得A1=（1，1,１，1，1)，A m＝(0,０,0,０,０).因为向量A１=（１,1,1,1，1）的每一个分量变为0,都需要奇数次变化，不妨设A１的第i（i=1,2，3,4，5)个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要(2n1﹣1)＋(2n２﹣1)+（2n3﹣1)+(2n4﹣1）+(2n5﹣１）=2(n1+n2＋ｎ3＋n４+n５﹣2)﹣1次,此数为奇数.又因为,说明Ａi中的分量有２个数值发生改变,进而变化到Ａｉ＋1,所以共需要改变数值２（m﹣1)次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0，０,0).…(Ⅲ)存在正整数j使得,A j为12维T向量序列中的项，此时m=1,2,３，４，５,６，７,8，９，1０，１1，12．…以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2017.1本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =-（D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6 （B ）8（C ）10 （D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y -> （C ）ln ln 0x y +> （D ）220xy->正（主）视图俯视图侧（左）视图时间（天）（6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则(1)0f x +≥的解集为（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞ （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）23 （B ）43（C ）2 （D ）83（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是10（C ）时间10时间（天）（D ）0.0.0.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学 （理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|12}A x x =-<<，{|2B x x =<-或1}x >，则AB =（A ）{|2x x <-或1}x > （B ）{|2x x <-或1}x >- （C ）{|22}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数(1+i)(2-i)=（A ）3+i （B ）1+i （C ）3-i （D ）1-i（3）在5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 的系数为10，则实数a 等于（A ）1- （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆x 25+y 2＝1有相等的焦距，则C 的方程为（A ）x 23－y 2＝1 （B ）x 29－y 23＝1 （C ）x 2－y 23＝1 （D ）x 23－y 29＝1（5）设a ，b 是非零向量，则“|a ＋b |＝|a |－|b |”是“a // b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为12,m m ；平均数分别为12,s s ，则下面正确的是 （A ） 1212,m m s s >> （B ）1212,m m s s >< （C ）1212,m m s s << （D ）1212,m m s s <> （7）已知函数a x x g x x f +==2)(,log )(2，若存在]2,21[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，则a 的取值范围是（A ）[5,0]- （B ）(,5][0,)-??? （C ）(5,0)- （D ）(,5)(0,)-???（8）A ，B ，C ，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I 型、 II 型零件数，则下列说法错误．．的是 （A ）四个工人中，D 的日生产零件总数最大（B ）A ，B 日生产零件总数之和小于C ，D 日生产零件 总数之和（C ）A ，B 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和 （D ）A ，B ，C ，D 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2017届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合24{|}0A x x =﹣＜,则R A ð=（ ） A ．2{}2|x x x ≤≥-或B ．2{2|}x x x ＜-或＞C ．2{|}2x x -＜＜D ．2{|}2x x ≤≤-2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．yD ．xy e=-3．若x y ,满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设,a b 是非零向量,则“,a b 共线”是“||||||a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列,n S 是其前n 项和．若15172a a +=,244a a =,则6S =（ ） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===,则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A ,P 两点间的距离Y 与动点P 所走过的路程X 的关系如图所示,那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a ⋯,和123,,,,b b b 令,{|}1,2,,m m M m a b m n ==＜,若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作：,,,,,A B A B C 现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ） A ．,,A B B C A C <<<若则B ．,A B BC A C <<<若同时不成立,则不成立 C ．,A B B A <<可同时不成立D ．,A B B A <<可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ+=与圆2cos (0)a a ρθ=＞相切,则a =_______．11．4,2,4A B 某校开设类选修课门类选修课门每位同学需从两类选修课中共选门,若要求至少选一门B 类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形1,45,30,1,2,cos 4ABCD ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=中,则BD =_______；三角形ABD 的面积为_______．13．在直角坐标系2,4,,xOy l y x F A B =中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于两点,其中点60,A x l OA ︒=在轴上方．若直线的倾斜角为则_______．14．已知函数{}{}|1|,(0,2]()min |1|,|3|,(2,4]min |3|,|5|,(4,)x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪--∈⎨⎪--∈+∞⎩①若()f x a =有且只有一个根,则实数a 的取值范围是_______．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根,则实数T 的取值范围是_______． 三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 15．已知函数()f x=sin 2cos2()x a x a +∈R ． （Ⅰ）若π()26f =,求a 的值；（Ⅱ）若f x （）在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求()f x 的最大值． 16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 17．如图,在几何体ABCDEF 中,平面A D E A B C⊥平面,四边形ABCD 为菱形,且60,2,,DAB EA ED AB EF EF AB M BC ∠=︒===∥为中点．（Ⅰ）求证：FM BDE ∥平面；（Ⅱ）求直线CF BDE 与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在,CF G BG DE ⊥棱上是否存在点使？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．18．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-∈R ．（Ⅰ）当0,()(1,(1))a y f x f ==时求曲线在点-处的切线方程；（Ⅱ）设2()1,0,]2[g x x x t =--∈若对任意的,存在0,2[()])(s f s g t ∈≥使得成立,求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b =+＞＞的短轴长为,右焦点为(1,0)F ,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2AM x N BN E =与直线交于点，线段的中点为．证明：B EF 点关于直线的对称点在直线MF 上．20．对于12(,,,)n n A a a a =⋯维向量,若对任意1,2,{01},i i i n a a ∈==均有或,则称A 为,,,n T n T A B d A B 维向量．对于两个维向量定义（）=1||ni i i a b =-∑． （Ⅰ）若(1,0,1,0,1)(0,1,1,1,0)(,)A B d A B ==，，求的值．（Ⅱ）现有一个5维1231,,,,1(1,1,1,1,1)T A A A A ⋯=向量序列：若且满足：(,1)2i i d A A +=,*i ∈N ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维123T A A A 向量序列：,,,,若112(1,1,,1)A 个且满足：1()i i d A A m +=,,*,1,2,3,m i ∈=N ,若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个,j A 为12维T 向量序列中的项,求出所有的m ．北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答 案1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．(1,2) 10．1 11．1412．211314．①(1,)+∞；②4,2)(2,4)--(15．解（Ⅰ）因为πππ()2cos22666f a =+=, 31222a +=． 故得：1a =．（Ⅱ）由题意：()),tanf x x θθ=+=其中∴函数的周期πT =,且7πππ12122-=,所以当π12x =时,函数()f x 取得最大值,即max ππ()())126f x f θ=+=,πsin()16θ∴+=,π2π,.tan 3.3k k a θθ∴=+∈∴===Z因此()f x 的最大值为16．解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(i 1,2,,9)=．根据题意,1()9i P A =,且事件i A 与j A 互斥．（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”, 则47B A A =．所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=． （Ⅱ）由题意,可知X 的所有可能取值为0,1,2,4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++=,356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=, 12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． 所以X 的分布列为故X 的期望14()0123999E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大． 17．证明：（Ⅰ）,CD N MN FN 取中点连结、． 因为,,,N M CD BC MN BD 分别为中点所以∥．,,BD BDE MN BDE MN BDE ⊂⊄又平面且平面所以∥平面,因为//,2,,EF AB AB EF EF CD EF DN ==所以∥． 所以四边形EFND 为平行四边形．所以FN ED ∥． 又ED BDE FN BDE ⊂⊄平面且平面, 所以FN BDE ∥平面, 又,FNMN N MFN BDE =所以平面∥平面．又,FM MFN FM BDE ⊂平面所以∥平面． 解：（Ⅱ）,,AD O EO BO 取中点连结． 因为,EA ED EO AD =⊥所以．因为平面,,ADE ABCD EO ABCD EO BO ⊥⊥⊥平面所以平面． 因为,60,AD AB DAB ADB =∠=︒所以△为等边三角形． 因为,O AD AD BO ⊥为中点所以． 因为,,,4,EO BO AO AB =两两垂直设以,,,,,O OA OB OE x y z 为原点为轴,如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得,2,0,0A (),B ,(C -,2,0,0D (-),E ,(F -．(3,CF =,CE =,(3,BE =-．设平面BDE 的法向量为n ,,x y z =(),则0n BE n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即00y z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩,令11z y ==,则,x =．所以(n =．设直线CF BDE α与平面成角为,sin |cos ,n |CF α=<>=,所以直线CF ADE 与平面． （Ⅲ）设G CF 是上一点,且CG CF λ=,1[]0,λ∈．因此点(34,)G λ-+．(34,)BG λ=-．由0BG DE =,解得49λ=． 所以在棱CF G BG DE ⊥上存在点使得,此时49CG CF =．18．解：（Ⅰ）当20e x a f x x -==时,(),∴22e ,13e x f x x x f -'=-+∴'--()()()=． 又∵1e f -=(),∴曲线()(1,(1))y f x f =--在点处的切线方程为：e 3e(1)3e 2e 0y x x y -=-+++=,即．（Ⅱ）“对任意的0,20,[],[]2t s f s g t ∈∈≥存在使得()()成立”, 等价于“在区间0,2,[]f x g x 上()的最大值大于或等于()的最大值”． ∵2215()1()24g x x x x =--=--, ∴0,2[]21g x g =()在上的最大值为()．2'2e x x f x x a x ax a e --=+-+-()()()=2e 22[]x x a x a -+--=()e 2x x x a --+()(),令0,2,f x x x a '===-()得或． ①当0,0,a a -＜即＞时00[202[]]f x f x '()＞在，上恒成立,()在，上为单调递增函数,2124e f x f a =+()的最大值为()(), 由22141,e 4ea a +≥≤-()得 ②当02,20a a --＜＜即＜＜时,当00,x a f x f x ∈-'(,)时,()＜()为单调递减函数, 当(,2)'()0,()x a f x f x ∈--时,＞为单调递增函数． ∴21()(0)(2)(4)f x f a f a e =-=+的最大值为或,由1,1;(4)a a a -≥≤-+得由211e≥,得2e 4a ≤-． 又∵20,21a a -∴-=＜＜＜． ③当22a a -＞,即＜-时,00[202[]]f x f x '()＜在，上恒成立,()在，上为单调递减函数,0f x f a =-()的最大值为(),由1,1a a -≥≤-得, 又因为2,2a a ＜-所以＜-．综上所述,实数a 的值范围是2{|}14x a a e ≤-≥-或．19．解：（Ⅰ）由题意得2b =则b 2221,4,2c a b c a ==+==则则,∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）证明：“”“B EF MF EF MFB ∠点关于直线的对称点在直线上等价于平分”．设直线202,4,2,2AM y k x k N k E k =+≠的方程为()(),则()()． 设点00,M x y (),由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2222431616120k x k x k +++-=(),由韦达定理可知2021612234k x k --=+,则2028634k x k -+=+,00212234k y k x k =+=+(), ①当01,1,2MF x x k ⊥==±轴时此时．则31,2M ±(),2,2N ±(),2,1E ±()．此时,点11E BFM y x y x ∠=-=-+在的角平分线所在的直线或, 即EF MFB ∠平分． ②当12k ≠时,直线MF 的斜率为0204114MF y kk x k ==--,所以直线244140MF kx k y k +--=的方程为()． 所以点E 到直线MF 的距离2222|2(41)||41|k k d k +==+2k BE ==． 即点B EF MF 关于直线的对称点在直线上,综上可知：点B EF MF 关于直线的对称点在直线上．20．解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =,(0,1,1,1,0)B =,由定义1(,B)||ni i i d A a b ==-∑,可得,4d A B =()．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含5维T 向量序列,123,,,,n A A A A ,使得1(1,1,1,1,1)(0,0,0,0,0,0)m A A ==,．因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0,都需要奇数次变化, 不妨设1i i i 1,2,3,4,5121A n =的第()个分量变化了-次之后变成0, 所以将1A 中所有分量1变为0共需要:1234(21)(21)(21)(21)n n n n -+-+-+-521n +=（-）2123452n n n n n ++++-（）1-次,此数为奇数．又因为1,,*i i d A A m m +=∈N (),说明i A 中的分量有2个数值发生改变,进而变化到1,21i A m +所以共需要改变数值(-)次,此数为偶数,所以矛盾． 所以该序列中不存在5维T 向量0,0,0,0,0()． （Ⅲ）存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A =个,j A 为12维T 向量序列中的项,此时m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．解 析1．解：集合2{|}{4022|}A x x x x ==-＜-＜＜, 则}2|2{RA x x x =≤≥-或ð． 故选：A ．2．解：对于A 非奇非偶函数,不正确； 对于B ,计算,正确,对于C ,非奇非偶函数,不正确； 对于D ,偶函数,不正确, 故选：B ．3．解：作出x y ，满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由100x y x y -+=⎧⎨+=⎩,解得A 11(,)22-,设2z F x y x y ==+（，）,将直线2l z x y =+：进行平移, 当l 经过点A 时,目标函数z 达到最大值 ∴z F =最大值11(,)22-=12． 故选：C ．4．解：“||||||a b a b +=+”⇒“,a b 共线”,反之不成立,例如0a b =-≠． ∴a ,b 是非零向量,则“a ,b 共线”是“||||||a b a b +=+”的必要不充分条件． 故选：B ．5．解：设递增的等比数列{}n a 的公比为q ,∵15172a a +=,244a a =15a a =, 解得112a =,58a =． 解得2q =,则6S =61(21)632212-=-． 故选：D ．6．解：模拟程序的运行,可得5124n v x i ====，，，满足条件i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件0i ≥,执行循环体,72v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,151v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,310v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,631v i ==，﹣ 不满足条件0i ≥,退出循环,输出63v 的值为． 由于25+24+23+22+2+1=63． 故选：A ．7．解：由题意可知：对于A B P A B 、，当位于，图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除A 、B ,对于D ,其图象变化不会是对称的,由此排除D , 故选C ．8．解：若12i i a b i n ==，，，, 则A B B A <<，同时不成立, 故选C ．9．解：复数221i i i =+（﹣）在复平面内所对应的点的坐标为（1,2）． 故答案为：(12)，．10．解：直线ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程：10x ++=．圆2cos 0a a ρθ=（＞）即22cos 0a a ρρθ=（＞）,可得直角坐标方程：222x y ax +=,配方为：222x a y a -+=（）．可得圆心(0)a a ，，半径．∵直线10cos sin ρθθ+=与圆20acos a ρθ=（＞）相切, ∴|1|2a +0a a =，＞,解得1a =． 故答案为：1．11．解：根据题意,分2种情况讨论：①．选择1门B 类课程,需要选择A 类课程3门,则B 类课程有122C =种选法,A 类课程有344C =种选法, 此时有248⨯=种选择方法；②．选择2门B 类课程,需要选择A 类课程2门,则B 类课程有221C =种选法,A 类课程有246C =种选法, 此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法； 故答案为：14．12．解：CBD △中,由余弦定理,可得,2BD =, ABD △中,利用正弦定理,可得2sin 452sin105AD ︒==︒,∴三角形ABD的面积为1122)122⨯⨯⨯=,故答案为21．13．解：抛物线24y x =的焦点F 的坐标为（1,0） ∵直线l F 过,倾斜角为60︒,即斜率k tan α=, ∴直线l 的方程为：y=1)x ﹣,即1x y =+, 214x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,解得：3y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,13y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由点(3A x A 在轴上方，则,则OA则OA =14．解：①|1|,(0,2]()|x 3|,(2,4]|x 5|,(4,)x x f x x x -∈⎧⎪-∈⎨⎪-∈+∞⎩,作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知当1()a f x a =＞时，只有1解．②∵关于()()x f x T f x +=的方程有且仅有3个不同的实根,∴将f x T （）的图象向左或向右平移个单位后与原图象有3个交点, ∴24T ＜＜,即4224T T ﹣＜＜﹣或＜＜．故答案为：①(1)4,2)(24)+∞-，，②(﹣，．15．（Ⅰ）根据π()26f a =，即可求的值；（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y Asin x ωϕ=+（）的形式,结合三角函数的图象和性质,()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得最大值． 16．设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(129)i =，，，．根据题意1()9i P A =,,且事件i A 与j A 互斥．（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则47B A A =．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．（Ⅱ）由题意,可知X 的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出． （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）CD N MN FN EFND 取中点，连结、，推导出四边形为平行四边形．从而//FN //////ED FN BDE MFN BDE FM BDE ．进而平面，由此能证明平面平面，从而平面．（Ⅱ）AD O EO BO O OA OB OE x y z 取中点，连结，．以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标O xyz CF ADE 系-，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．（Ⅲ）设G CF 是上一点,且CG CF λ=,]1[0λ∈，．利用向量法能求出在棱CF G 上存在点使得BG DE ⊥,此时49CG CF =． 18．（Ⅰ）当202a f x x x e x ='=+-时，（）（-）,由此能求出曲线y f x =（）在点（1(1)f --，)处的切线方程． （Ⅱ）“对任意的0202[][]t s f s g t ∈∈≥，，存在，使得（）（）成立”, 等价于“在区间]0[2f x g x ，上，（）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出[0]2g x （）在，上的最大值为21'202g f x e x x x a f x x x a ==--+'===-（）．（）（）（），令（），得，或．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知22214b c a b c ==+=，,即可求得椭圆方程；（Ⅱ）由“点”“”B EF MF EF MFB AM ∠关于直线的对称点在直线上等价于平分设直线的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得M MF x k ⊥点坐标，分类讨论，当轴时，求得的值,即可求得11N E E BFM y x y x ∠=-=-+和点坐标，求得点在的角平分线所在的直线或,则EF MFB ∠平分,当12k ≠时,即可求得直线MF 的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得2||d BE ==,则点B EF MF 关于直线的对称点在直线上．20．（Ⅰ）由于1010101110A B ==（，，，，），（，，，，）,由定义1(,B)||ni i i d A a b ==-∑,求d A B （，）的值． （Ⅱ）利用反证法进行证明即可； （Ⅲ）根据存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A =个,12j A T m 为维向量序列中的项，求出所有的．。
2016～2017学年北京东城区北京市第二中学高三上学期理科期中数学试卷选择1。
已知全集U= R ，则正确表示集合M= ｛−1， 0， 1｝和N= ｛x|x 2+ x = 0｝关系的韦恩（Venn ）图是（ ）．A. B. C 。
D.2. 已知向量a = (1, 2），b = （1， 0)，c = (3， 4）,若 为实数，（a + λb ）//c ， 则λ等于( ）．A 。
21 B 。
41 C.2 D 。
1 3. 函数31lg )(--=x x x f 的零点所在区间为（ )．A. (0, 1)B. （1, 2)C. (2, 3） D 。
（3， +∞)4. 已知角α在第二象限且53sin =α，则)2cos()4cos(21παπα+-+等于（ )．A 。
2B 。
4 C. 34D. 34- 5。
若函数x a x x f +=2)(（a ∈ R),则下列结论正确的是（ ）．A 。
∀a ∈R ，f (x ）在(0， +∞)上是增函数 B. ∀a ∈R ，f （x)在（0， +∞)上是减函数C. ∃a ∈R ，f (x)是偶函数 D 。
∃a ∈R ，f (x ）是奇函数6。
已知函数x x x f -+=)1ln(1)(，则f （x ）的图像大致为（ ）．A. B。
C。
D。
7. 已知定义在R上的函数f （x)是偶函数，在［0，+∞)上是减函数，并且有f (2) = 0,则使得f (x − 1) 〈0的一个必要不充分条件是（）．A. （−∞, −2) ∪(2, +∞）B。
(−∞，−1）∪（2，+∞） C. (−∞，−2） D. (−∞，−1) ∪(3，+∞）8。
非空集合G关于运算⊕满足：（1)对任意a，b∈G,都有a⊕b ∈G；（2）存在c∈G,使得对一切a∈G，都有c⊕a = a，则称G关于运算⊕为“融洽集",现给出下列集合和运算：①G = {二次三项式｝，⊕为多项式的加法．②G = ｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③G = {平面向量｝,⊕为平面向量的加法．④G = ｛非负整数｝，⊕为整数的加法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（）．A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④填空9. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a3+ a6= 12,S4= 8，则a9的值是．10. 已知｜a｜= 1，|b｜= 2，且a⊥（a−b)，则向量与向量的夹角为．11。
东城区2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,1}A=，2=≤，则A B={|4}B x x（A）{0,1}（B）{0,1,2}（C）{|02}≤≤x xx x≤<（D）{|02}对应的点位于（2）在复平面内，复数i1+i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）设a∈R，则“2a a>”是“1>a”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18（C ）22 （D ）44（5）当4n =输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a >，则实数a 的取值范围是（A）(1,0))-+∞ （B ）(1-（C ）(1,0))-+∞ （D ）(- （7）在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，则得到正视图可以为（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠= （O 为坐标原点），则0x 的取值范围是 （A ）[0,1]（B ）8[0,]5（C ）1[,1]2-（D ）18[,]25-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则A B =U（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<（2）已知命题:,2np n ∀∈>N ，则p ⌝是（A）,2nn ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N （C）,2nn ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N（3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）13（B ）23 （C ）1 （D ）43（7）将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x =图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为 （A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|40A x x =-<，则A C R = （ ）A ．{|2x x ≤-或}2x ≥B ．{|2x x <-或}2x >C ．{}|22x x -<<D ．{}|22x x -≤≤ 2. 下列函数中为奇函数的是（ ）A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y =D ．x y e -=3. 若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．2 4. 设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若152417,42a a a a +==，则6S =（ ） A ．2716 B ．278 C. 634 D ．6326. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2n x υ===，则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++C. 654322222221++++++ D ．43222221++++7. 动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ． C. D ．8. 据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,...,n a a a a 和123,,,...,n b b b b ,令{}|,1,2,...,m m M m a b m n =<=,若M 中元索个数大于34n ,則称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作:AB ,现有三种蔬菜,,A BC 下列说法正确的是（ ）A ．若,AB BC ,则 A C B ．若,A B B C 同时不成立，则A C 不成立C. ,AB BA 可同时不成立 D ．,AB B A 可同时成立第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 复数()i 2i -在平面内所对应的点的坐标为 ．10. 在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ+=与圆()2cos 0ρθ=>a a 相切，则a = ．11. 某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种.（用数字作答）12. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=∠===∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13.在直角坐标系中xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60，则OA = ．14. 已知函数()(]{}(]{}()1,0,2min 1,3,2,4min 3,5,4,x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩. ①若()f x a =有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是 ．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范闱是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2cos2(f x x a x a +⋅∈R). （1）若26π⎛⎫=⎪⎝⎭f ，求a 的值； （2）若()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求()f x 的最大值. 16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，000040~60为一般，0060以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17. 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60,2,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠====为BC 中点.（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ⊥？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由. 18. 设函数()()2(x f x x ax a e a -=+-⋅∈R ）.（1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为右焦点为()1,0F ，点M 时是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E .证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.20. 对于n 维向量()12,,...,n A a a a =，若对任意()1,2,...,i n ∈均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B 定义()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）若()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==, 求(,)d A B 的值；（2）现有一个5维T 向量序列：123,,,...A A A 若()11,1,1,1,1A =且满足：()1,2,i i d A A i N *+=∈，求证：该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.(3) 现有一个12维T 向量序列：123,,,...A A A 若()1121,1, (1)=且满足：()1,,,1,2,3,...i i d A A m m N i *+=∈=，若存在正整数j 使得()120,0,...,0,j j A A =为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题参考答案一、选择题1-4: ABCB 5-8: DACC二、填空题9.()1,2 10.1 11.14 12.21()1,+∞ ()()4,22,4--三、解答题15. 解：(1)因为2cos 22666f a πππ⎛⎫=⋅+⋅⋅=⎪⎝⎭，所以31222a +⋅=，所以1a =.(2)由题意()22f x x x ⎫=+⎪⎭()2x ϕ=+.其中tan ϕ=，所以T π=，且712122πππ-=，所以当12x π=时，max 126y f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()23k k Z πϕπ=+∈.所以tan 3a ϕ===，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x的最大值为16. 解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主題公园”()1,2,...9i =，根据题意，()19i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（1）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则47B A A =，所以()()()()474729P B P A A P A P A ==+=. （2）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2.且()()()()()478478103P X P A A A P A P A P A ===++=； ()()()()()()35693569419P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212229P X P A A P A P A ===+=，所以X 的分布列为故X 的期望()280123999E X =⨯+⨯+⨯=.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.17. 解：(1)取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE 且MN ⊄平面BDE .所以//MN 平面BDE ，因为//,2EF AB AB EF =，所以//,EF CD EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE .所以//FN 平面BDE .又FN MN N =，所以平面//MFN 平面BDE ，又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .(2) 取AD 中点O ，连结,EO BO ，因为EA ED =，所以EO AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面,ABCD EO BO ⊥，因为,60AD AB DAB =∠=，所以ADB ∆为等边三角形，因为O 为AD 中点，所以AD BO ⊥.因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -.由题意，得()()()()2,0,0,,,2,0,0A B C D --，((()()(,1,3,3,23,2,0,23,0,E F CF DE BE -=-==-.设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0n BE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则1,y x ==所以()3,1,1n =-，设直线CF 与平面BDE 所成角为α，10sin cos,CF n α==，所以直线CF 与平面ADE(3)设G 是CF 上一点，且[],0,1CG CF λλ=∈，因此点()()34,,34,G BG λλ-+=-，由0BG DE ⋅=，解得49λ=. 所以在棱CF 上存在点G 使得BG DE ⊥，此时49CG CF =. 18. 解：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()[]222x e x a x a -=-+--()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.19. 解：(1)由题意，得2221b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB ∠”.设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，则()()2,4,2,2N k E k .设点()00,M x y ，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +++-=，得2020286341234k x k k y k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.①当MF x ⊥轴时，01x =，此时12k =±，所以()()31,,2,2,2,12M N E ⎛⎫±±± ⎪⎝⎭，此时，点E 在BFM ∠的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+上，即EF 平分MFB ∠；②当12k ≠±时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--，所以直线MF 的方程为()244140kx k y k +--=，所以点E 直线MF 的距离d ==()22241241k k k BE k +===+，即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上. 20. 解：(1)由于()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==，由定义()1,ai ii d A B a b==-∑，可得(),4d A B =.(2)反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,...m A A A A ，使得()()11,1,1,1,1,0,0,0,0,0m A A ==，因为向量()11,1,1,1,1A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第()1,2,3,4,5i i =个分量1变化了121n -次之后变成0，所以将1A 中所有分量1变化为0共需要()()()()()123452*********n n n n n -+-+-+-+-()12345221n n n n n =++++--次，此数为奇数，又因为()1,2,i i d A A i N *+=∈，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1i A +，所以共需改变数值()21m -次，此数为偶函数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.（3）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =.。
东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）D （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9（10）40 （11）6（12）己巳 （13）32 （14）11,0,2()10,0.2x g x x x 或⎧≤<⎪⎪=⎨⎪<≥⎪⎩ 4三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设22225c a b ab a ab =++=+，得2b a =．由正弦定理sin sin a b A B =，sin sin b Ba A=， 得sin 2sin BA=． ……………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3A B π∠+∠=． sin sin sin sin()3A B A A π⋅=⋅-1sin (cos sin )22A A A =⋅-112cos 2444A A =+- 11sin(2)264A π=+-． 因为03A π<∠<， 所以当6A π∠=，sin sin A B ⋅取得最大值14．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）5a =．由表1知使用Y 共享单车方式人群的平均年龄的估计值为：Y 方式：2020%3055%+4020%+505%=31?创?.答：Y 共享单车方式人群的平均年龄约为31岁. ……………5分（Ⅱ）设事件i A 为“男性选择i 种共享单车”，12,3i =， 设事件i B 为“女性选择i 种共享单车”，12,3i =，设事件E 为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”. 由题意知，213132E A B A B A B = . 因此213132()()()()P E P A B P A B P A B =++0.58=.答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.……11分（Ⅲ）此结论不正确. ……………………………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，因为45ABC ? ，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABC ，CD Ì平面ABC ，所以CD ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ， 所以CD ⊥AE ．在等边△PAD 中，AE 为中线， 所以AE PD ⊥． 因为PD DC D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． ……………………………5分 （Ⅱ）在△PAB 中，取AD 中点O ，连接PO ，所以PO AB ^．在平面ABC 中，过O 作CD 的平行线，交AC 于G ． 因为平面PAB ⊥平面ABC ， 所以PO ⊥平面ABC ． 所以PO OG ^．因为,,OG OB OP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -． 设4AB a =，则相关各点坐标为：(0,,0)A a -，(0,3,0)B a ，(2,,0)C a a，)P ，(0,,0)D a ，(0,)2a E ，(,)2a Fa ．(2,2,0)AC a a =u u u r ，(0,,)PA a =-u u r．设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,ACPA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu rn n ，即0,0.x y y+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，则y =x =． 所以=n ．平面PAB 的法向量为(2,0,0)DCa=， 设,DC n 的夹角为α，所以cos α=由图可知二面角B PA C --为锐角，所以二面角B PA C --的余弦值为7．…………………………10分 （Ⅲ）设M 是棱PB 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PB λ=uuu r uu r．因此点(0,3(1))M a λλ-，(2,(3(1))CM a a λλ=---u u u r．由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAB ，AE ⊥PD ． 所以CD ⊥PD ． 因为EF ∥CD ， 所以EF PD ⊥． 又AE EF E =， 所以PD ^平面AEF ． 所以PD 为平面AEF 的法向量．(0,,)PD a =u u u r．因为CM ⊄平面AEF ，所以CM ∥平面AEF 当且仅当0CM PD ⋅=u u u r u u u r，即(2,(31(1))(0,,)0a a a λλ---⋅=．解得23λ=． 因为2[0,1]3λ=∈，所以在棱PB 上存在点M ，使得CM ∥平面AEF ， 此时23PM PB λ==． …………………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞．当1m =-时，1()2ln f x x x x=++， 所以221'()1f x x x=-+． 因为(1)2f =且'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y -=．…………4分 （Ⅱ）若函数)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，则'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立． 即2210m x x --≤在(0,)+∞上恒成立． 即221x m x -≤在(0,)+∞上恒成立． 设221()(0)g x x x x=->， 则max [()]m g x ≥． 因为22211()(1)1(0)g x x x x x=-=--+>， 所以当1x =时，()g x 有最大值1．所以m 的取值范围为[1,)+∞． ……………………9分（Ⅲ）因为b a <<0，不等式ln ln b ab a -<-ln ln b a -<．即lnb a <(1)t t >，原不等式转化为12ln t t t <-．令1()2ln h t t t t=+-， 由（Ⅱ）知1()2ln f x x x x=+-在(0,)+∞上单调递减，所以1()2ln h t t t t=+-在(1,)+∞上单调递减． 所以，当1t >时，()(1)0h t h <=． 即当1t >时，12ln 0t t t+-<成立． 所以，当时b a <<0，不等式ln ln b a b a -<-13分 （19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2222,b caa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>． 射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002yy x x =-， 所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=． 过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--． 由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得2201102()42y x x x +=+， 即2220010222200004(2)4(2)2(2)2(2)4x x x x x y x x ++===+++++-，同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）由于{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，所以{6,7,8,9,10}N =，{5,6,7,8,9}N =，{4,5,6,7,8}N ={3,4,5,6,7}N =，{2,3,4,5,6}N =，回答其中之一即可 ………3分（Ⅱ）若集合12{,,,}n A a a a =L ，如果集合A 中每个元素加上同一个常数t ，形成新的集合12{,,,}n M a t a t a t =+++L . ……………5分根据1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑定义可以验证：()()T M T A =. ……………6分取1nii C a t n=-=∑，此时11112{,,,}nnniiii i i n C a C a C a B a a a nnn===---=---∑∑∑L .通过验证，此时()()T B T A =，且1nii b C ==∑. ……………8分（Ⅲ）由于2m ³21314121()()()()()m T A a a a a a a a a =-+-+-++-L324222()()()m a a a a a a +-+-++-L4323()()m a a a a +-++-LM221()m m a a -+-121212=(21)(23)(23)(21)m m m mm a m a a a m a m a +-------+++-+-L L 212121=(21)()(23)()()m m m m m a a m a a a a -+--+--++-L2121=(21)()(23)()()m m m m b a m a a a a -+--+--++-L ………11分由于2120m a a b a -<-<-，2230m a a b a -<-<-， 2340m a a b a -<-<-，M10m m a a b a +<-<-.所以2(21)()()()m b a T A m b a --<<-.………13分。
东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）6 （11（127213 （13）13 （14）1，(1,)+∞三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ． 由题意，得3418a q a ==，2q =． 所以11132n n n a a q --==⋅(1,2,)n = ． ……………3分 又数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列， 所以4(1)1n n a b n +=+-⋅．从而1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n = ． ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =数列{3}n +的前n 项和为(7)2n n +． ……………9分 数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(12)32312n n -=⨯--． ……………12分 所以，数列{}n b 的前n 项和为(7)3232n n n +-⨯+． ………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意22T π==π，T =π． …………2分 因为点(0,1)在()2sin(2)f x x ϕ=+图象上， 所以2sin(20)=1ϕ⨯+． 又因为||2ϕπ<，Ay所以6ϕπ=． …………4分 所以076x =π． ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)6f x x π=+，因为02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤． 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2； 当266x π7π+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-．………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F ，连结EF ．因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中，由已知E 为PA 中点， 所以EF ∥PC ． 又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ，所以PC ∥平面BED ． ……………………………5分（Ⅱ）取CD 中点O ，连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形，O 为CD 所以PO CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连结OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形，所以OF CD ⊥．所以PO OG ⊥．…………………1分如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G ．(1,2,0)AC =- ，(0,1,1)PC =-．设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则1y =，2x = ． 所以(2,1,1)=n ．平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =．设,OG n 的夹角为α，所以cos 3α=．由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --10分 （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=--- ，(1,2,0)AC =-．由BM ⋅ 0AC = ，即12λ=．因为1[0,1]2λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ． 此时，12PM PC λ==． …………………………14分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞．因为()ln(1)1axf x x x =+-+， 所以21'()1(1)a f x x x =-++． 因为(0)f 为()f x 的极小值， 所以'(0)0f =，即21001(01)a -=++． 所以1a =．此时，2'()(1)xf x x =+． 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增．所以()f x 在0x =处取得极小值，所以1a =． ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当1a =时，()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数， 所以()(0)0f x f >=，所以()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立． 因此，当1a <时，()ln(1)ln(1)011ax xf x x x x x =+->+->++， ()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立．当1a >时，221(1)'()1(1)(1)a x a f x x x x --=-=+++， 所以，当(0,1)x a ∈-时，'()0f x <，因为()f x 在[0,1)a -上单调递减， 所以(1)(0)0f a f -<=．所以当1a >时，()0f x >并非对(0,)x ∈+∞恒成立．综上，a 的最大值为1． ……………………………13分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=． 所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）4A 中所有与x 正交的元素为(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--． ………………………3分（Ⅱ）对于m B ∈，存在12(,,,),{1,1}n i x x x x x =∈-L ，12(,,,),{1,1}n i y y y y y =∈-L ；使得x y m =e ．令1,0,i i i i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩，，1ni i k δ==∑；当i i x y =时1i i x y =，当i i x y ≠时1i i x y =-.那么1()2ni ii x y x yk n k k n ===--=-∑e .所以2m n k +=为偶数．………………………8分 （Ⅲ）8个，2个8n =时，不妨设1(1,1,1,1,1,1,1,1)x =，2(1,1,1,1,1,1,1,1)x =----．在考虑4n =时，共有四种互相正交的情况即： 1111111111111111------，分别与12,x x 搭配，可形成8种情况．所以8n =时，A 中最多可以有8个元素．………………………10分14n =时，不妨设114(1,1,1)y =个，17(1,1,,1,1,1,1)y =---个7个，则1y 与2y 正交．令1214(,,,)a a a a =L ，1214(,,,)b b b b =L ，1214(,,,)c c c c =L 且它们互相正交． 设 ,,a b c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外,a b 相应位置数字都相同的共有m 个， ,b c 相应位置数字都相同的共有n 个.则(14)22140a b m k m k m k =+---=+-=e . 所以7m k +=，同理7n k +=. 可得n m =.由于(142)0a c m m k k m =--++--=e ，可得27m =，*72m =∉N 矛盾. 所以任意三个元素都不正交.综上，14n =时，A 中最多可以有2个元素. ………13分。
