全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论

初二数学竞赛辅导资料(共12讲)目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容本次培训具体计划如下以供参考第一讲实数一第二讲实数二第三讲平面直角坐标系函数第四讲一次函数一第五讲一次函数二第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试未装订在内另发第十四讲试卷讲评第1讲实数一知识梳理一非负数正数和零统称为非负数1几种常见的非负数1实数的绝对值是非负数即a≥0在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则绝对值的性质①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b③对任意实数a则a≥a a≥－a④a·b＝ab b≠0⑤a－b≤a±b≤a＋b2实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥03算术平方根是非负数即≥0其中a≥0算术平方根的性质 a≥0 ＝2非负数的性质1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零3若非负数不大于零则此非负数必为零3对于形如的式子被开方数必须为非负数4推广到的化简5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方例题精讲◆专题一利用非负数的性质解题例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根巩固1已知则的值为______________2若的值拓展设abc是实数若求abc的值◆专题二对于的应用例2已知xy是实数且例3已知适合关系式求的值巩固1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根2已知则拓展在实数范围内设＝求的个位数字◆专题三的化简及应用常用方法利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式例4化简例5若实数x满足方程那么巩固1若且则2已知实数a满足a＋＝03设1求y的最小值2求使6＜y＜7的x的取值范围拓展若求的值课后练习1如果a 0 那么2已知和是数的平方根则求的值3设abc是△ABC的三边的长则＝4已知xy是实数且则＝5若0 a 1 且则为6代数式的最小值是7已知实数满足＝则＝8已知△ABC的三边长为和满足求的取值范围9已知求的值10实数满足求的值第2讲实数二知识梳理一实数的性质1设x为有理数y为无理数则x＋yx－y都为无理数当x≠0时xy都是无理数当x＝0xy 就是有理数了2若xy都是有理数是无理数则要使＝0x＝y＝03xymn都是有理数都是无理数则要使成立须使x＝ym＝n常用方法直接法利用数轴比较平方法同次根式下比较被开方数法作差法作商法三证明一个数是有理数的方法证明这个数是一个有限小数或无限循环小数或可表示成几个有理数的和差积商的形式例题精讲◆例1比较下列两数的大小1 2 34 5 6巩固设◆例2若的小数部分为的小数部分为则的值为巩固1已知为的整数部分是9的平方根且求的值2设的整数部分为小数部分为试求的值拓展已知的整数部分为m小数部分为n的整数部分为a小数部分为b试计算的值◆例3已知是有理数且求的值巩固1已知ab是有理数且求ab的值2已知是有理数并且满足求的值◆例4设试用的代数式表示巩固已知试用的代数式表示◆例5求证是有理数◆例6a与b是两个不相等的有理数试判断实数是有理数还是无理数并说明理由拓展证明是无理数◆例5若ab满足的取值范围巩固已知求x和y的取值范围课后练习1比较大小2设ab是正有理数且满足求ab的值3设的整数部分为小数部分为试求的值4已知与的小数部分分别是ab求ab－3a＋4b＋8的值5已知ab为有理数xy分别表示的整数部分和小数部分且求a＋b的值6证明是无理数第3讲平面直角坐标系函数知识梳理1平面直角坐标系是在数轴的基础上为了实际问题的需要而建立起来的是学习函数的基础数形结合是本节最显著的特点2坐标平面内任意一点P都有唯一的一对有序实数xy和它对应反过来对于任何一对有序实数xy在平面内都有唯一的点P和它对应与点P相对应的有序实数对xy叫做点P的坐标3平面直角坐标系内的点的特征1若点Pxy在第一象限内2若点Pxy在第二象限内3若点Pxy在第三象限内 4若点Pxy在第四象限内5若点Pxy在x轴上 6若点Pxy在y轴上4对称点的坐标特征1点Pxy关于x轴对称或成轴反射的点的坐标为Px－y2点Pxy关于y轴对称或成轴反射的点的坐标为P－xy3点Pxy关于原点对称的点的坐标为P－x－y5函数的有关定义1函数的定义在一个变化过程中如果有两个变量x与y并且对于每一个x确定的值y都有唯一确定的值与其对应则x是自变量y是的函数2函数关系式用来表示函数关系的等式叫函数关系式也称函数解析式6函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以1使分母不为零2开平方时被开方数为非负数3为整式时其自变量的范围是全体实数另外当函数关系表示实际问题时自变量的取值必须使实际问题有意义例题精讲◆例1若点M1＋a2b－1在第二象限则点N a－11－2b 在第象限巩固1点Q3－a5－a在第二象限则＝2若点P2a＋43－a关于y的对称点在第三象限求a的取值范围为◆例2方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内求m的取值范围巩固已知点Mab在第四象限且ab是二元一次方程组的解求点M关于坐标原点的对称点的坐标◆例3在直角坐标系中已知A11在轴上确定点P使△AOP为等腰三角形则符合条件的点P共有个A1 B2 C3 D4拓展在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD它的4个顶点为A100B 010C －100D 0－10 则该正方形内及边界上共有_______个整点即横纵坐标都是整数的点◆例4求下列函数中自变量的取值范围◆例5如图在靠墙墙长为18m的地方围建一个矩形的养鸡场另三边用竹篱笆围成如果竹篱笆总长为35m求鸡场的一边长y m与另一边长x m的函数关系式并求自变量的取值范围巩固1求下列函数中自变量的取值范围①②③2周长为10cm的等腰三角形腰长y cm 与底边长x cm 之间的函数关系式是______________自变量x的取值范围为_________________．拓展若函数y＝的自变量x的取值范围为一切实数求c的取值范围◆例6已知函数的图像如图所示求点AB的坐标巩固若点P在函数的图象上那么点P应在平面直角坐标系中的A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限升又知单开进水管20分钟可把空水池注满若同时打开进出水管20分钟可把满水池的水放完现已知水池内有水升先打开进水管分钟再打开出水管两管同时开放直至把水池中的水放完则能确定反映这一过程中水池的水量升随时间分钟变化的函数图象是巩固如图小亮在操场上玩一段时间内沿的路径匀速散步能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是课后练习1汽车由北京驶往相距120千米的天津它的平均速度是30千米时•则汽车距天津的路程S千米与行驶时间t时的函数关系及自变量的取值范围是 • AS＝120－30t0≤t≤4 BS＝30t0≤t≤4CS＝120－30tt 0 DS＝30tt＝42图1是韩老师早晨出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置则韩老师散步行走的路线可能是3函数自变量的取值范围为___________________4如图水以恒速即单位时间内注入水的体积相同注入下图的四种底面积相同的容器中下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象A．1～甲2～乙3～丁4～丙 B．1～乙2～甲3～丁4～丙C．1～乙2～甲3～丙4～丁 D．1～丁2～甲3～乙4～丙5平面直角坐标系内点An1－n一定不在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若P a＋b－5 与Q 13a－b 关于原点对称则a＋b a－b 的值为6已知点P3p－153－p在第三象限如果其坐标为整数点求点M的坐标第4讲一次函数一姓名知识梳理一一次函数和正比例函数的概念若两个变量xy间的关系式可以表示成y＝kx＋bkb为常数k≠0的形式则称y是x的一次函数x为自变量特别地当b＝0时称y是x的正比例函数二一次函数的图象由于一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的图象是一条直线所以一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b．由于两点确定一条直线因此在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与y轴的交点0b直线与x轴的交点－0但也不必一定选取这两个特殊点画正比例函数y＝kx的图象时只要描出点001k即可三一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的性质1k的正负决定直线的倾斜方向①k＞0时y的值随x值的增大而增大②k＜O时y的值随x值的增大而减小．2k大小决定直线的倾斜程度即k越大直线与x轴相交的锐角度数越大直线陡k越小直线与x轴相交的锐角度数越小直线缓3b的正负决定直线与y轴交点的位置①当b＞0时直线与y轴交于正半轴上②当b＜0时直线与y轴交于负半轴上③当b＝0时直线经过原点是正比例函数．4由于kb的符号不同直线所经过的象限也不同①如图11－181所示当k＞0b＞0时直线经过第一二三象限直线不经过第四象限②如图11－182所示当k＞0b＞O时直线经过第一三四象限直线不经过第二象限③如图11－183所示当k＜Ob＞0时直线经过第一二四象限直线不经过第三象限④如图11－184所示当k＜Ob＜O时直线经过第二三四象限直线不经过第一象限．5由于k决定直线与x轴相交的锐角的大小k相同说明这两个锐角的大小相等且它们是同位角因此它们是平行的．另外从平移的角度也可以分析例如直线y ＝x＋1可以看作是正比例函数y＝x向上平移一个单位得到的．四正比例函数y＝kxk≠0的性质1正比例函数y＝kx的图象必经过原点2当k＞0时图象经过第一三象限y随x的增大而增大3当k＜0时图象经过第二四象限y随x的增大而减小．五用函数的观点看方程与不等式1方程2x＋20＝0与函数y＝2x＋20观察思考二者之间有什么联系从数上看方程2x＋20＝0的解是函数y＝2x＋20的值为0时对应自变量的值从形上看函数y＝2x＋20与x轴交点的横坐标即为方程2x＋20＝0的解关系由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b＝0kb为常数k≠0的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数值为0时求相应的自变量的值从图象上看这相当于已知直线y＝kx＋b确定它与x轴交点的横坐标值．2解关于xy的方程组从数的角度看•相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是多少从形的角度看相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的交点坐标两条直线的交点坐标•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解3解一元一次不等式可以看作是当一次函数值大于或小于0时求自变量相应的取值范围．解关于x的不等式kx＋b mx＋n可以转化为当自变量x取何值时直线y＝k－mx＋b－n上的点在x轴的上方或2求当x 取何值时直线y＝kx＋b上的点在直线y＝mx＋n上相应的点的上方．不等号为时是同样的道理例题精讲◆例1已知一次函数则这样的一次函数的图象必经过第象限巩固1一次函数的图象如图则下面结论正确的是A BC D2若直线经过点Am－1B1m其中则这条直线不经过第象限拓展已知≠并且那么一定经过A第一二象限 B第二三象限 C第三四象限 D第一四象限◆例2若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24求常数k的值是多少巩固过点P3作直线使它与两坐标轴围成的三角形面积为5这样的直线可以作几条拓展设直线是正整数与两坐标轴所围成的图形的面积为则◆例3如图所示直线y＝x＋2与x轴交于点A直线y＝－2x＋6与x轴交于点B且两条直线的交点为P试求出△PAB的面积巩固1如图在直角坐标系中长方形OABC的顶点B的坐标为 156 直线恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分那么2如图所示已知直线y＝x＋3的图象与x轴y轴交于AB两点直线l经过原点与线段AB交于点C把△AOB的面积分为21的两部分求直线l的解析式．拓展若直线和直线k是正整数及x轴围成的三角形面积为则值为___________◆例4一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则下列结论①k1＞0b＜0②k2＞0③关于x的不等式的解集是④关于xy的二元一次方程组的解为其中正确的结论有____________巩固1已知关于x的不等式kx－2 0k≠0的解集是x －3则直线y＝－kx＋2与x 轴的交点是_______．2如右图直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则关于的不等式的解集为◆例5一个一次函数的图像与直线平行与轴轴的交点分别为AB并且过点－1－25则线段AB上包括端点AB横坐标纵坐标都是整数的点有几个巩固如图一次函数的图象经过点和则的值为◆例6如图直线的解析式为且与轴交于点D直线经过点AB直线交于点C1求直线的解析式2求△ADC的面积3在直线上存在异于点C的另一点P使得△ADP与△ADC的面积相等请直接写出点P的坐标课后练习1点A为直线上的一点点A到两坐标轴的距离相等则点A的坐标为________ 2直线经过一二四象限那么直线经过象限3一次函数是常数的图象如图所示则不等式的解集是A．B．C．D．4如图一直线L经过不同三点AabB ba C那么直线L经过A．第二四象限 B．第一三象限 C．第二三四象限 D．第一三四象限5设直线为自然数与两坐标轴围成的三角形面积为＝1232000 则1＋2＋3＋＋2000的值为A B C D6如图直线与轴轴分别交于AB两点以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC∠BAC＝90°如果在第二象限内有一点P且△ABP的面积与△ABC的面积相等求a的值第5讲一次函数二知识梳理一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系构建一次函数模型再利用一次函数的性质求出问题的解例题精讲◆例1我市一种商品的需求量y1万件供应量y2万件与价格x元／件分别近似满足下列函数关系式y1＝x＋60y2＝2x36需求量为时即停止供应当y1 ＝ y2 1求该商品的稳定价格与稳定需求量2价格在什么范围该商品的需求量低于供应量3当需求量高于供应量时政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格以提高供应量现若要使稳定需求量增加4万件政府应对每件商品提供多少元补贴才能使供应量等于需求量巩固图11－30表示甲乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y千米随时间x分变化的图象全程根据图象回答下列问题．1当比赛开始多少分时两人第一次相遇2这次比赛全程是多少千米3当比赛开始多少分时两人第二次相遇◆例2在购买某场足球赛门票时设购买门票数为张总费用为元．现有两种购买方案方案一若单位赞助广告费10000元则该单位所购门票的价格为每张60元总费用＝广告赞助费＋门票费方案二购买门票方式如图所示．解答下列问题1方案一中与的函数关系式为方案二中当时与的函数关系式为当时与的函数关系式为2如果购买本场足球赛超过100张你将选择哪一种方案使总费用最省请说明理由3甲乙两单位分别采用方案一方案二购买本场足球赛门票共700张花去总费用计58000元求甲乙两单位各购买门票多少张．元一月用水超过10吨的用户10吨水仍按每吨元收费超过10吨的部分按每吨元收费设一户居民月用水吨应收水费元与之间的函数关系如图13所示1求的值某户居民上月用水8吨应收水费多少元2求的值并写出当时与之间的函数关系式3已知居民甲上月比居民乙多用水4吨两家共收水费46元求他们上月分别用水多少吨◆例3抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全决定将甲乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的AB两仓库已知甲库有粮食100吨乙库有粮食80吨而A库的容量为70吨B库的容量为110吨从甲乙两库到AB两库的路程和运费如下表表中元吨·千米表示每吨粮食运送1千米所需人民币1若甲库运往A库粮食吨请写出将粮食运往AB两库的总运费元与吨的函数关系式2当甲乙两库各运往AB两库多少吨粮食时总运费最省最省的总运费是多少巩固我市某乡两村盛产柑桔村有柑桔200吨村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库已知仓库可储存240吨仓库可储存260吨从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．1请填写下表并求出与之间的函数关系式总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨2试讨论两村中哪个村的运费较少3考虑到村的经济承受能力村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下请问怎样调运才能使两村运费之和最小求出这个最小值．◆例4我国铁路第六次大提速在甲乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s 单位在km 与运行时间t 单位h 的函数图象BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s 单位km 与运行时间t 单位h 的函数图象．请根据图中信息解答下列问题1点B的横坐标05的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h点B的纵坐标300的意义是_______________________ 2请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象3若普通快车的速度为100 kmh①求BC的解析式并写出自变量t的取值范围②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．巩固某物流公司的快递车和货车每天往返于AB两地快递车比货车多往返一趟图中表示快递车距离A地的路程y 单位千米与所用时间x 单位时的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发到达B地后用2小时装卸货物然后按原路原速返回结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．1请在图中画出货车距离A地的路程y 千米与所用时间x 时的函数图象2求两车在途中相遇的次数直接写出答案3求两车最后一次相遇时距离A地的路程和货车从A地出发了几小时课后练习1某车站客流量大旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现每天开始售票时约有300名旅客排队等候购票同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票新增购票人数人与售票时间分的函数关系如图所示每个售票窗口票数人与售票时间分的函数关系如图所示．某天售票厅排队等候购票的人数人与售票时间分的函数关系如图所示已知售票的前分钟开放了两个售票窗口．1求的值2求售票到第60分钟时售票厅排队等候购票的旅客人数3该车站在学习实践科学发展观的活动中本着以人为本方便旅客的宗旨决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票以便后来到站的旅客能随到随购请你帮助计算至少需同时开放几个售票窗口2如图工地上有AB两个土墩洼地E和河滨F两个土墩的土方数分别是781方1584方洼地E填上1025方河滨F可填上1390方要求挖掉两个土墩把这些土先填平洼地E余下的图填入河滨F填入F实际只有1340方如何安排运土方案才能使劳力最省提示把土方米作为运土花费劳力的单位第6讲全等三角形知识梳理1全等三角形全等三角形能够完全重合的两个三角形2全等三角形的判定方法有SASASAAASSSSHL3 全等三角形的性质1全等三角形的对应角相等对应线段边高中线角平分线相等2全等三角形的周长面积相等4全等三角形常见辅助线的作法有以下几种遇到等腰三角形可作底边上的高利用三线合一的性质解题思维模式是全等变换中的对折．遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相等构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的旋转．遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠截长法与补短法具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定线段相等再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和差倍分等类的题目．特殊方法在求有关三角形的定值一类的问题时常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来利用三角形面积的知识解答．例题精讲◆例1已知如图△ABC中AB＝5AC＝3则中线AD的取值范围是_________巩固如图所示已知在△ABC中AD是BC边上的中线E是AD上一点且BE＝AC 延长BE交AC于F求证 AF＝EF◆例2已知等腰直角三角形ABC中AC＝BCBD平分∠ABC求证AB＝BC＋CD巩固1已知△ABC中AD平分∠BACAB＞AC求证AB－AC＝BD－DC2如图所示已知四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝60°∠BCD＝120°求证 BC＋DC＝AC◆例3如图已知在△ABC中∠B＝60°△ABC的角平分线ADCE相交于点O求证OE＝OD◆例4如图在△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P过点P分别作PN⊥AB于NPM ⊥AC于点M求证BN＝CM◆例5AD为△ABC的角平分线直线MN⊥AD于AE为MN上一点△ABC周长记为△EBC周长记为求证＞拓展正方形ABCD中E为BC上的一点F为CD上的一点BE＋DF＝EF求∠EAF 的度数课后练习1如图∠BAC＝60°∠C＝40°AP平分∠BAC交BC于PBQ平分∠ABC交AC于Q求证AB＋BP＝BQ＋AQ2如图△ABC中EF分别在ABAC上DE⊥DFD是中点试比较BE＋CF与EF的大小3如图△ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平分BCDE⊥AB于EDF⊥AC于F1说明BE＝CF的理由2如果AB＝AC＝求AEBE的长第7讲直角三角形与勾股定理知识梳理一直角三角形的判定1有两个角互余的三角形是直角三角形2勾股定理逆定理二直角三角形的性质1直角三角形两锐角互余．2直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．。

数学竞赛初中讲解教案一、教学目标：1. 让学生掌握初中数学竞赛的基本题型和解题方法。

2. 培养学生解决数学问题的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生对数学竞赛的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 初中数学竞赛的基本题型：选择题、填空题、解答题。

2. 初中数学竞赛的解题方法：公式法、方程法、几何法、逻辑法等。

3. 初中数学竞赛的常见问题及解决策略。

三、教学过程：1. 导入：介绍数学竞赛的意义和价值，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解基本题型：选择题、填空题、解答题的解题方法和要求。

3. 讲解解题方法：公式法、方程法、几何法、逻辑法的应用实例。

4. 分析常见问题：学生遇到的常见问题及解决策略。

5. 练习与讲解：学生练习题目，老师进行讲解和指导。

6. 总结与反思：学生总结所学内容，反思自己的学习方法和策略。

四、教学评价：1. 学生能熟练掌握初中数学竞赛的基本题型和解题方法。

2. 学生能独立解决数学竞赛题目，提高解题速度和准确性。

3. 学生对数学竞赛的兴趣和自信心得到提高。

五、教学资源：1. 教学PPT：包含基本题型、解题方法、常见问题等内容。

2. 练习题目：针对不同题型和解题方法的练习题目。

3. 参考资料：数学竞赛相关的书籍和网络资源。

六、教学建议：1. 注重培养学生的逻辑思维能力和创新意识，引导学生主动探索和解决问题。

2. 鼓励学生多参加数学竞赛，提高解题能力和经验。

3. 教师要关注学生的学习进度和需求，及时进行教学调整和指导。

4. 结合现代教育技术，利用网络资源和教学软件，提高教学效果和学生的学习兴趣。

5. 定期进行教学评价，了解学生的学习情况，为教学改进提供依据。

欢迎阅读页脚内容目录第1讲 全等三角形的性质与判定(P2----11) 第2讲 角平分线的性质与判定(P12----16) 第3讲 轴对称及轴对称变换(P17----24) 第4讲 等腰三角形(P25----36) 第5讲 等边三角形(P37----42) 第6讲 实 数(P43----49) 第7讲 第8讲 第9讲 第10讲 第11讲 第12讲 第13讲 第14讲 第15讲 第16讲 第17讲 第18讲 第19讲 第20讲 第21讲 第22讲 第23讲 第24讲 考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）A．Array【对全第⎧⎪∠⎨⎪⎩【01．ABCD02．，则△03．(接“真”【DE.【形.AF找出证明它们全等的条件.页脚内容页脚内容证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C 在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01的长02.⊥AE03＝BC ，DEF 绕点的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.B （E ） OCF 图③ DAA CEFBD页脚内容 【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】C 落）【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，1ABP QE F D页脚内容∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QCBP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】010*******．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）页脚内容 A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCA D .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它06于N ，07的度数0810°，091011P12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以D B A CEF AE BF DC证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.；ABC≌0102DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.页脚内容页脚内容06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定. 0809101112页脚内容A D E G CH B 13．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G . 求证：GD ＝GE . 14．已知，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°, ∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F .当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时，如图1，易证：AE ＋CF ＝EF ；（不需证明）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.AD .求3【变式题组】01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上. 02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM＝PN 【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF＝页脚内容60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在Rt △CF A 和Rt △CEA 中，CF CEAC AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF 【0102．(AC D ＝180【CE ＝12BD 【∴【01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD . 02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A．13mn B．12mn C．mn D．2 mn02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（）个A． 1 B．2 C．3 D．403．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③04E、F，上任意一BDEAD．05A．06PF，给三条A07AC08AB、AC）A．09AD平）A．10Q到BC11CF 12．求证：AD01123站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（）A．18B．16C．14D．1203．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x 的范围是__________04．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD ＝__________05．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________06．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G 07．如图.求证:08BC 、AC AB ＋BP12②数量3【后是（【【01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A ’B ’C ’，则与点B ’关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（1，1）C ．（2，－1）D ．（1，－1）【解法指导】在△ABC 中，点B 的坐标为（－1，1），将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B ’（－1＋2，1），即B ’（1，1）.由关于x 轴对称的点的坐标的规律可得点B ’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D .【变式题组】01．若点P （－2，3）与点Q （a ，b ）关于x 轴对称，则a 、b 的值分别是（ ）A ．－2，3B ．2，3C ．－2，－3D ．2，－302．在直角坐标系中，已知点P （－3，2），点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平移4个单位得到点R ，则点R 的坐标是___________.03．（荆州）已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC （∠ACB ＝90°），沿线段CD 折叠，使点B 落在B 1处，若∠ACB 1＝70°，则∠ACD ＝（ ）A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°【ACD＝70【01．.若∠A ．0203．AC 落在重合，（如图【EF 交BC【≌△DEF 三角形＝∠DEF ，3＝∠B B ＝∠4【变式题组】01．如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC ＝BD ＋AD ，则点D 在__________的垂直平分线上． 02．如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝15°，DE ⊥AC 于E ，且AE ＝EC ，若AB ＝3cm ，则DC ＝___________cm ．03．如图，△ABC 中，∠BAC ＝126°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG ＝___________． 04.△ABC 中，AB ＝AC ，AB 边的垂直平分线交AC 于F ，若AB ＝12cm ，△BCF 的周长为20cm ，则△ABC 的周长是___________cm ．【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF ．【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．【变式题组】01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计则认为是同一种不同涂法，【处，若牧童从河岸CD【BM为解:M，则点M∵∴’M’＋BM∴A即【01．Q两地到l地距离分别为5千两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图）02上确定点C、点D，使四边形周长最01．B A．02．AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）A．80°B．85°C．95°D．110°04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（）A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－107．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．08．（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2. 09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________.10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的B12BC于M13．01．P在∠αl为1的对l2……作P3 P nA．02关于yl 03．04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．⑴求证：AB＝CD；⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与A的距离是多少？07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．⑴若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝___________时，△P AB的周长最短；⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝___________时，四边形ABCD的周长最短；n），使1⑴等腰23【三角如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【变式题组】01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C.7或11 D．7或1002.（黄冈）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒A B C D P E 1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t ＝_________秒时，过D 、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】 如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，AD ＝BD ＝BC ，求∠A 的度数．【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数． 解：设∠A ＝x , ∵BD ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ＝x ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ，∵BD ＝BC ，∴∠C ＝∠BDC ＝2x ， ∵AB ＝AC ，∴∠ C ＝∠ABC ＝2x ，∵在△ABC 中, ∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180° ∴x ＋2x ＋2x ＝180°，x ＝【0102【AOB A ．【因上的在坐标轴上，因而中垂在坐标在坐标【01．(AOPA ．02），点 03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG ＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．1 04．（济南）如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝错误! 未找到引用源。

初二数学竞赛班讲义第一讲因式分解(一) (1)第二讲因式分解(二) (10)第三讲实数的若干性质和应用 (17)第四讲分式的化简与求值 (26)第五讲恒等式的证明 (34)第六讲代数式的求值 (44)第七讲根式及其运算 (52)第八讲非负数 (63)第九讲一元二次方程 (73)第十讲三角形的全等及其应用 (81)第十一讲勾股定理与应用 (90)第十二讲平行四边形 (101)第十三讲梯形 (108)第十四讲中位线及其应用 (116)第十五讲相似三角形(一) (124)第十六讲相似三角形(二) (132)第十八讲归纳与发现 (153)第十九讲特殊化与一般化 (162)第二十讲类比与联想 (171)第二十一讲分类与讨论 (180)第二十二讲面积问题与面积方法 (188)第二十三讲几何不等式 (197)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (222)第二十七讲列方程解应用问题中的量与等量 (230)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题(一) (239)第二十九讲生活中的数学(一) (247)第三十讲生活中的数学(二) (254)复习题 (260)自测题 (268)自测题一 (268)自测题二 (270)自测题三 (271)自测题四 (273)自测题五 (274)复习题解答 (276)自测题解答 (304)自测题一 (304)自测题二 (309)自测题三 (314)自测题四 (321)自测题五 (327)第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第二讲因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20 =52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．练习三1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证ab=ac+bc，只要证c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：。

八年级数学竞赛教案教案标题：八年级数学竞赛教案教学目标：1. 熟悉八年级数学竞赛的题型和要求。

2. 提高学生解题的思维能力和数学应用能力。

3. 培养学生的合作与竞争意识。

教学内容：1. 数的性质与变化2. 代数表达式3. 方程与不等式4. 几何图形的性质与变化5. 数据分析与统计教学步骤：第一课：数的性质与变化1. 导入：通过一个有趣的数学谜题引起学生的兴趣。

2. 讲解：复习数的性质，如整数的分类、有理数的性质等。

3. 练习：提供一些数的性质相关的练习题，让学生巩固理解。

第二课：代数表达式1. 导入：通过实际生活中的例子引出代数表达式的概念。

2. 讲解：介绍代数表达式的基本概念和运算规则。

3. 练习：提供一些代数表达式的练习题，让学生练习转化和简化代数表达式。

第三课：方程与不等式1. 导入：通过一个实际问题引出方程与不等式的概念。

2. 讲解：介绍方程与不等式的基本概念和解题方法。

3. 练习：提供一些方程与不等式的练习题，让学生练习解方程和不等式。

第四课：几何图形的性质与变化1. 导入：通过几何图形的变换引起学生的兴趣。

2. 讲解：介绍几何图形的基本性质和变换规律。

3. 练习：提供一些几何图形的性质和变换的练习题，让学生巩固理解。

第五课：数据分析与统计1. 导入：通过一个实际数据的分析引出数据分析与统计的概念。

2. 讲解：介绍数据分析与统计的基本方法和技巧。

3. 练习：提供一些数据分析与统计的练习题，让学生练习应用统计方法解决问题。

教学评估：1. 在每节课结束时进行小测验，检查学生对所学内容的掌握情况。

2. 设计一套模拟数学竞赛试题，让学生在课后完成，以评估他们的竞赛水平。

教学资源：1. 数学竞赛教材和习题集。

2. 数学竞赛模拟试题。

3. 多媒体投影仪和电脑。

教学建议：1. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高他们的数学思维能力。

2. 组织学生进行小组合作学习，培养他们的合作与竞争意识。

3. 鼓励学生参加校内外的数学竞赛，提高他们的数学应用能力和竞赛技巧。

课时：2课时年级：八年级教材：《初中数学竞赛辅导教程》教学目标：1. 让学生掌握竞赛数学的基本概念和原理。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。

3. 提高学生的竞赛数学水平，为参加数学竞赛做好准备。

教学重点：1. 竞赛数学的基本概念和原理。

2. 解题技巧和策略。

教学难点：1. 竞赛数学问题的灵活性和多样性。

2. 解题过程中的思维转换和逻辑推理。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中数学知识，让学生了解竞赛数学的基本概念和原理。

2. 介绍竞赛数学的特点和重要性。

二、新课导入1. 介绍竞赛数学的基本概念和原理，如数列、组合、概率等。

2. 讲解竞赛数学的基本解题技巧和策略。

三、课堂练习1. 让学生完成一些竞赛数学的基本题目，巩固所学知识。

2. 针对学生的错误，进行个别辅导。

四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

第二课时一、复习1. 回顾上节课所学内容，检查学生的学习效果。

2. 针对学生的疑问，进行解答。

二、新课导入1. 介绍竞赛数学中的难题和技巧，如代数问题、几何问题等。

2. 讲解解决难题的思路和方法。

三、课堂练习1. 让学生完成一些竞赛数学的难题，提高解题能力。

2. 针对学生的错误，进行个别辅导。

四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度和解题能力。

2. 课后作业：检查学生对所学知识的掌握程度。

3. 竞赛成绩：根据学生在数学竞赛中的表现，评价教学效果。

教学反思：1. 不断调整教学方法和策略，提高学生的学习兴趣和效果。

2. 关注学生的学习需求，针对性地进行辅导。

3. 注重培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，为参加数学竞赛做好准备。

全国初中数学联赛一全国初中数学联赛简介中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。

竞赛简介奖项名称：全国初中数学联合竞赛创办时间：1984年主办单位：由各省、市、自治区联合举办，轮流做庄竞赛介绍：同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。

1984年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，天津数学会在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。

当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。

会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位，从此，“全国初中数学联赛”也形成了制度。

“全国初中数学联赛”原来不分一试、二试。

为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针，1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。

中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。

为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。

从1991年起，我们力求降低试题的难度。

题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。

目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。

其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。

注：有(*)标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |（2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0（3）算术平方根是非负数，即a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3的式子，被开方数必须为非负数； 4a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。

初中数学竞赛课程教案课时安排：24课时教学目标：1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。

2. 巩固和拓展初中数学知识，提高学生的数学水平。

3. 培养学生的团队合作意识和竞赛意识，激发学生学习数学的兴趣。

教学内容：1. 数论：数的性质、因数分解、最大公约数和最小公倍数、同余方程等。

2. 几何：平面几何的基本性质、三角形、四边形、圆、几何证明等。

3. 代数：一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数、二元一次方程组等。

4. 初等数学中的综合问题：数学归纳法、数列、组合问题、概率问题等。

教学过程：第1-4课时：数的性质1. 介绍数的性质的基本概念和性质。

2. 讲解质数和合数的定义及其性质。

3. 讲解最大公约数和最小公倍数的计算方法及其性质。

4. 练习相关题目，巩固所学知识。

第5-8课时：因数分解1. 介绍因数分解的意义和方法。

2. 讲解质因数分解和交叉约简法。

3. 讲解因数分解的应用，如求最大公约数和最小公倍数等。

4. 练习相关题目，巩固所学知识。

第9-12课时：同余方程1. 介绍同余方程的定义和基本性质。

2. 讲解同余方程的解法，如中国剩余定理等。

3. 讲解同余方程的应用，如密码学等。

4. 练习相关题目，巩固所学知识。

第13-16课时：平面几何的基本性质1. 介绍平面几何的基本性质，如平行线、垂直线、相交线等。

2. 讲解三角形的性质，如三角形的内角和、外角定理等。

3. 讲解四边形的性质，如矩形、菱形、正方形的性质等。

4. 练习相关题目，巩固所学知识。

第17-20课时：几何证明1. 介绍几何证明的基本方法和技巧。

2. 讲解几何证明中的定理和公理，如相似三角形的性质等。

3. 讲解几何证明的应用，如证明线段相等、角度相等等。

4. 练习相关题目，巩固所学知识。

第21-24课时：综合问题1. 介绍数学归纳法的基本概念和应用。

2. 讲解数列的基本性质和求和公式。

3. 讲解组合问题的解决方法和技巧。

第二十一讲 分类 论分类在数学中是常见的 们先从一个简单的例子开始．有四张卡片 它们 面各写有一个数字 1 9 9 8．从中取出若 张按任意次序排列起来得到一个数 样的数中有多少个是质数因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、 位数和四位数 们分别给予 论．任取一张卡片 只能得3个数 1 8 9 其中没有质数 任取二张卡片 可得7个数 18 19 81 89 91 98 99 其中19 89两个是质数 任取 张卡片 可得12个数 189 198 819 891 918 981 199 919 991 899 989 998 其中199 919 991 个数是质数 取四张 所得的任一个四位数的数字和是27 因而是3的倍数 是质数．综 所述 质数共有2 3=5个．面的解题方法称为分类 论法．当 们要解决一个比较复杂的问题时 常把所要 论的对象分 若 类 然后逐类 论 得出结论． 分类 论法是一种很 要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类 论一般分为 个 骤 首先确定分类对象 即对谁实施分类．第二是对对象实施分类 即分哪几类 要特别注意 次分类要按照同一标准 并做到 复、 遗漏 有些复杂的问题 要逐级分类．最后对 论的结果进行综合 得出结论． 例1 求方程x 2-│2x -1│-4=0的实根．x 2+2x -1-4=0x 2-2x 1-4=0x 1 3 x 2=-1．说明 在去绝对值时 常常要分类 论．例2 解方程x2-与x成=2 其中与x成是 超过x的最大整数．解 由与x成的定义 可得x 与x成=x2-2所以 x2-x-2 0解 等式得-1 x 2．现把x的取值范围分 4个小区间(分类)来进行求解．(1)当-1 x 0时 原方程为x2-(-1)=2所以x=-1(因x=1 满足-1 x 0)．(2)当0 x 1时 原方程为x2=2．(3)当1 x 2时 原方程为x2-1=2所以(4)当x=2时 满足原方程．例3 a是实数 解方程x│x+1│+a=0．分析 方程中既含有绝对值 又含有参数a 若以 方化去绝对值的话 则引入了高次方程 把问题更加复杂化了．对 种问题 宜 论x 的取值范围来求解．解 (1)当x -1时 原方程变形为x2 x-a=0．当△=1 4a 0(且a=-x│1 x│ 0) 即a 0时 的解为(2)当x -1时 原方程为x2 x a=0．又x -1 即综 所述 可得 当a 0时 原方程的解为例5 已知 角形中两角之和为n 最大角比最小角大24° 求n的取值范围．解 设 角形的 个角度数分别是干 平 γ 且有干 平 γ． 由题设干-γ=24．(1)若平+γ=n 则干=180°-nγ=干-24° 156°-n 平 n-γ 2n-156°．所以156°-n 2n-156° 180°-n所以 104° n 112°．(2)若干 γ=n 则平=180°-n 于是所以所以 112° n 128°．(3)若干 平=n 则γ=180°-n 干=γ+24°=204°-n 平=n-干=2n-204°．于是180°- n 2n-204° 204°-n所以 128° n 136°．综 所述 n的取值范围是104° n 136°．例6 证明 若p是大于5的质数 则p2-1是24的倍数．分析 关于整数的问题 们常把它分 奇数和偶数(即按模2分类)来 论 有时 把整数按模3分 类 3k 3k 1 3k 2．一般地 可根据问题的需要 把整数按模n来分类．本题 们按模6来分类．证 把 整数按模6分类 可分 6类 6k 6k+1 6k 2 6k 3 6k 4 6k 5．因p是大于5的质数 故p只能属于6k+1 6k+5 两类．当p=6k 1时p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．因k 3k 1中必有一个偶数 时24│p2-1．当p=6k 5时p2-1=36k2 60k 2412k2 12k=12k(k 1)≡0(mod 24)．所以 P2-1是24的倍数．例7 证明A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z4max｛x y z｝其中max｛x y z｝表示x y z 个数中的最大者．分析 欲证的等式中含有 个绝对值符号 且其中一个在另一个内 要把绝对值去掉似乎较为困难 但等式的另一边对 们有所提示 如果x 为x y z中的最大者 即证A=4x 依次再考虑y z是它们中的最大值便可证得．证 (1)当x y x z时A=│x-y+x+y-2z│ x-y+x+y+2z=2x-2z+2x+2z=4x.(2)当y z y x时A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z=2y-2z+2y+2z=4y．(3)当z x z y时 因为│x-y│ x y=max｛x y｝ 2z所以A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．从而 A=4max｛x y z｝．例8在1×3的矩形内 叠地放两个 大矩形相似的小矩形 且 个小矩形的 条边相 地 大矩形的一条边 行 求两个小矩形周长和的最大值．解 两个小矩形的放置情况有如 几种(2)两个小矩形都 横放 如图2-124及图2-125所示 时两个小矩形的周长和的最大值是2(a 3a) 2与1-a 3(1-a)成 8．(3)两个小矩形一个 横放 一个 竖放 如图2-126 时两个小矩形的周长和为练 二十一1．解 等式 │x+1│ │x│ 2．2．解关于x的 等式 a(ax-1) x-1.3．解方程 ││x-3│-2│=a．4．解方程 x2-2与x成-3=0．6．设等腰 角形的一腰 边分别是方程x2-bx a=0的两根 当 样的 角形只有一个时 求a的取值范围．7．x y都是自然数 求证 x2+y+1和y2 4x 3的值 能同时是完全 方．。

初中数学竞赛辅导教案年级学科：八年级数学教材内容：勾股定理及其应用教学目标：1. 理解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理的应用方法。

2. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 培养学生的竞赛意识，提高学生的数学素养。

教学重点：勾股定理的证明和应用教学难点：勾股定理的灵活运用和解决实际问题教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示勾股定理的发现和历史背景。

2. 引导学生思考勾股定理的意义和应用。

二、自主学习（10分钟）1. 让学生阅读教材，理解勾股定理的证明过程。

2. 学生互相讨论，解答教材中的例题。

三、课堂讲解（15分钟）1. 讲解勾股定理的证明过程，引导学生理解证明的逻辑关系。

2. 讲解勾股定理的应用方法，举例说明如何解决实际问题。

四、练习巩固（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的练习题。

2. 教师挑选一些典型的题目进行讲解和分析。

五、拓展提高（10分钟）1. 引导学生思考勾股定理在实际生活中的应用。

2. 给出一些竞赛题，让学生尝试解决。

六、总结反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课的学习内容，总结勾股定理的证明和应用。

2. 鼓励学生积极参与数学竞赛，提高自己的数学素养。

教学评价：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对勾股定理的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行简单的测验，检验学生对勾股定理的应用能力。

教学反思：本节课通过讲解勾股定理的证明过程和应用方法，让学生掌握了勾股定理的基本知识。

在教学过程中，注意引导学生思考和讨论，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，通过拓展提高环节，培养学生的竞赛意识，提高学生的数学素养。

在今后的教学中，要继续注重学生的主体地位，引导学生主动探索和发现，培养学生的创新精神。

同时，加强对学生的个别辅导，提高学生的学习效果。

初中数学竞赛获奖教案年级学科：八年级数学教学目标：1. 提高学生对数学竞赛的认识，激发学生的学习兴趣和参与热情。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 训练学生的逻辑思维和运算能力，提高学生的解题技巧。

教学内容：1. 数学竞赛的基本类型和特点2. 数学竞赛题目的解题策略和方法3. 数论、几何、代数等数学知识在竞赛中的应用4. 常见的数学竞赛题型和解题技巧教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍数学竞赛的基本类型和特点，让学生了解数学竞赛的内容和形式。

2. 分享一些数学竞赛的获奖经验和技巧，激发学生的学习兴趣和信心。

二、讲解数学竞赛题型和解题方法（15分钟）1. 数论题型：讲解数论的基本概念和常见题型，如数字规律、质数与合数、最大公约数等。

2. 几何题型：讲解几何的基本知识和解题技巧，如勾股定理、相似三角形、平行线等。

3. 代数题型：讲解代数的基本概念和解题方法，如方程、不等式、函数等。

4. 应用题型：讲解应用题的解题思路和方法，如比例问题、概率问题、几何问题等。

三、解题训练（15分钟）1. 针对不同题型，给学生提供一些练习题目，让学生独立解答。

2. 引导学生运用所学的解题方法和技巧，培养学生的逻辑思维和运算能力。

3. 对学生的解答进行点评和指导，纠正错误和不足，提高学生的解题水平。

四、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的知识和解题方法，巩固记忆。

2. 鼓励学生积极参与数学竞赛，培养学生的自信心和竞争意识。

3. 提醒学生要注意学习方法和时间的合理安排，提高学习效率。

教学评价：1. 课后收集学生的练习试卷，对学生的解题情况进行评估和分析。

2. 在下一节课开始时，对学生的学习情况进行回顾和反馈，针对问题进行针对性的指导。

3. 定期组织数学竞赛，检验学生的学习成果，鼓励优秀学生展示自己的才华。

以上教案旨在帮助学生系统地学习和掌握数学竞赛的相关知识和技巧，提高学生的逻辑思维和运算能力。

八年级数学竞赛教学设计引言：数学竞赛对学生的数学基础和解题能力有较高的要求，因此在八年级数学竞赛教学设计中，我们应该注重培养学生的思维能力和解题技巧。

本文将围绕八年级数学竞赛教学设计展开讨论，针对不同的知识点和题型，提出相应的解题策略。

一、整数运算整数运算是数学竞赛中常见的题型之一。

通过整数运算题的教学，可以培养学生对整数运算规则的理解和熟练应用能力。

在教学设计中，可以结合实际生活中的情境，通过具体的例子引导学生掌握整数的加减乘除运算。

例如：小明有一笔债务，欠了银行1000元。

他每月向银行还款100元，问多少个月后才能还清债务？解题策略：1. 设还清债务的月数为x，根据题意可以列出方程：1000 - 100x = 0；2. 解方程可得x = 10，因此小明需要还清债务10个月。

二、几何图形几何图形是数学竞赛中另一个重要的考察点。

通过几何图形题的教学，可以培养学生的几何思维和推理能力。

在教学设计中，可以注重几何图形的性质和证明方法的教学，以提高学生理解和解题的能力。

例如：已知ABCD为平行四边形，且角A的度数为60°，求角B的度数。

解题策略：1. 由平行四边形的性质可知，角A和角C的度数相等，角B和角D的度数相等；2. 根据平行四边形的性质可得角A + 角B + 角C + 角D = 360°；3. 代入已知条件可得60° + 角B + 60° + 角B = 360°；4. 解方程可得角B = 120°。

三、代数方程代数方程是数学竞赛中常见的题型之一。

通过代数方程题的教学，可以培养学生的代数思维和解方程的能力。

在教学设计中，可以结合实际问题，引导学生将问题转化成代数方程，并通过解方程得出答案。

例如：某数的三倍减去二与5的和的一半等于10，求该数。

解题策略：1. 设该数为x，根据题意可以列出方程：3x - 2 + 5 = 2 * 10；2. 化简方程可得3x - 2 + 5 = 20；3. 解方程可得x = 5，因此该数为5。

教案名称：初中生数学竞赛辅导年级：八年级学科：数学课时：2课时教材：《数学竞赛教程》教学目标：1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。

2. 巩固和拓展初中数学知识点，提高学生的数学成绩。

3. 培养学生的团队合作意识和竞赛意识，激发学生的学习兴趣。

教学内容：1. 数论基础：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与同余方程。

2. 几何基础：平面几何的基本性质、三角形的不等式、圆的性质。

3. 代数基础：一元二次方程、不等式、函数的概念与应用。

4. 初等数学问题：逻辑推理题、几何证明题、计算题、应用题等。

教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 老师简要介绍数学竞赛的背景和意义，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

2. 学生分享自己参加数学竞赛的经验和感受，促进彼此的交流和启发。

二、数论基础（15分钟）1. 老师讲解质数与合数的概念，引导学生理解和掌握质数与合数的性质。

2. 学生通过例题练习最大公约数和最小公倍数的计算方法，巩固相关知识。

三、几何基础（15分钟）1. 老师讲解平面几何的基本性质，如三角形内角和定理、平行线性质等。

2. 学生通过例题练习三角形的不等式证明，提高几何证明能力。

四、课堂小结（5分钟）1. 老师引导学生总结本节课的重点知识点和注意事项。

2. 学生分享自己的学习心得和困惑，老师进行解答和指导。

第二课时：一、代数基础（20分钟）1. 老师讲解一元二次方程的解法，如因式分解、公式法等。

2. 学生通过例题练习一元二次方程的解法，掌握解题技巧。

二、初等数学问题（20分钟）1. 老师讲解初等数学问题的类型和解决方法，如逻辑推理题、几何证明题等。

2. 学生通过练习题巩固所学知识，提高解决问题的能力。

三、课堂小结（10分钟）1. 老师引导学生总结本节课的重点知识点和注意事项。

2. 学生分享自己的学习心得和困惑，老师进行解答和指导。

四、课后作业（10分钟）1. 老师布置课后作业，要求学生在规定时间内完成，巩固所学知识。

第二十一讲应用问题的解题技巧应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面,要求学生灵活应用所学知识,在具体问题中,从量的关系分析入手,设定未知数,发现等量关系列出方程,获得方程的解,并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序,要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理,因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题,略述一下解应用问题的技能和技巧．1．直接设未知元在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．例1某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．分析本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及初中一年级人数．由已知条件易知,可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x．于是全年级共有(x+3x)人．由已知,全年级人数减少6人,即(x+3x)-6, ①而未参加人数增加6人时,则参加人数是未参加人数的2倍,从而总人数为(x+6)+2(x+6)．②由①,②自然可列出方程．解设未参加的学生有x人,则根据分析,①,②两式应该相等,所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,所以x+6+2x+12=4x-6,所以 3x+18=4x-6,所以 x=24(人)．所以未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的小学生有3×24=72(人)．全年级有学生4×24=96(人)．说明本例若按所求量次序设参加人数为x人,则未参加人数为例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做做多少个零件？定期是多少天？分析若直接设这个工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做另一方面,如果他每天少做5个,则要增加3天工期,因此,显然,将此两式联立,解出x,y即可．解设工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做x/y个,依分析有方程组整理得②×2+①得将x=50y代入②得y=27, x=50y=1350,答工人要做1350个零件,定期为27天．例3一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解设起初有汽车m辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2,n≤32,依题意有22m+1=n(m-1)．所以因为n为自然数,所以23/m-1为整数,因此m-1=1,或m-1=23,即 m=2或m=24.当 m=2时,n=45(不合题意,舍去)；当m=24时,n=23(符合题意)．所以旅客人数为：n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．答起初有汽车24辆,有乘客529人．注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性,并根据情况做具体讨论．2．间接设元如果对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得容易解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法．例4若进货价降低8％,而售出价不变,那么利润可由目前的p％增加到(p+10)％,求p．分析本题若直接设未知元为x,则不易列方程,为此,可间接设元,设进货价为x,则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变,它可用以下方程式表示：x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％]．解设原进货价为x,则下降8％后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变,故有以下方程x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)],约去x得1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］,所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1,即 0.0008p=0.012,所以 p=15．答原利润为15％．例5甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB两端同时相向起跑．第一次相遇时离A点100米,第二次相遇时离B点60米,求圆形跑道的总长．分析与解如图1－76,设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别为V,V＇,再设第一次在C点相遇,则第二次相遇有以下两种情况：(1)甲乙第二次相遇在B点下方D处,此时有方程组化简得由③,④得解此方程得S=0(舍去),S=240．所以2S=480米．经检验是方程的解．(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D＇处,则有方程组解此方程组得S=0(舍去),S=360．所以2S=720米．经检验也是方程的解．这样,两人可能在D点处相遇,也可能在D＇点处相遇,故圆形跑道总长为480米或720米．3．设辅助元有时为了解题方便,可设某些量为辅助量,参与列方程和运算,最后把这些辅助量约去,得出要求的值．例6从两个重量分别为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克？分析与解设切下的重量是x千克,并设重m千克的铜合金中含铜的百分数为q1,重n千克的铜合金中含铜的百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1和xq2,而混合熔炼后所得两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]和[xq2+(m-x)q1]．故依题意有方程解此方程得答切下的重量为mn/m+n(千克)．例7甲乙两邮递员分别从A,B两地同时以匀速相向而行,甲比乙多走了18千米(km),相遇后甲走4.5小时到达B地,乙走8小时到A地,求A,B两地的距离．解设甲速为a千米/小时,乙速为b千米/小时,A,B两地的距离为2S,依题意有所以所以 S-9/S+9=3/4,所以 S=63(千米), 2S=126(千米)．答 A,B两地相距126千米．练习二十一1．已知甲、乙、丙三人．甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍,乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍．求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍？2．有甲乙两容量均为20升(L)的容器,甲容器内装满纯酒精,而乙为空容器．自甲内倒出若干酒精于乙内,再将乙其余部分注满水,将此混合溶液注满甲容器,最后自甲容器回注入乙容器62/3升,则两容器内所含纯酒精量相等,问第一次自甲容器倒出多少酒精？3．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,再以每小时15千米的速度走平路到B地,共用了55分钟．回来时他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用了11/2小时,求地面上A,B两地相距多少千米？4．有一块长方形的场地,长比宽多4米,周围有一条宽2米的道路环绕着,已知道路的面积和这块土地的面积相等．求这块场地的周长是多少米？5．一个四位数是奇数,它的千位数字小于其他各位数字,十位数字等于千位数字和个位数字之和的2倍,求这个四位数．。

等腰三角形教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． 五、作业：课本习题13.3第1、2、3、4题．课 后 反 思五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ．D CA BD CABDC A B∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定．D CABⅥ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得E DC A B P2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zx yz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(a a a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）b a ab - （3）3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

初中竞赛教案年级学科：八年级数学教学目标：1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。

2. 通过竞赛辅导，使学生掌握一些常见的数学竞赛题型和解题技巧。

3. 增强学生对数学学科的兴趣和自信心，提高学生的学习积极性。

教学内容：1. 数的性质和运算规律2. 几何图形的性质和变换3. 方程和不等式的解法4. 数学逻辑推理和证明5. 数学竞赛题型和解题技巧教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍数学竞赛的意义和价值，激发学生的学习兴趣。

2. 通过一些有趣的数学问题，引导学生思考，为后续的教学做铺垫。

二、数的性质和运算规律（15分钟）1. 复习数的性质，如质数、合数、素数等。

2. 讲解运算规律，如平方数、立方数、平方根、立方根等。

3. 举例讲解一些运算技巧，如分解质因数、求最大公约数和最小公倍数等。

三、几何图形的性质和变换（15分钟）1. 复习几何图形的性质，如三角形、四边形、圆等。

2. 讲解几何图形的变换，如平移、旋转、翻转等。

3. 举例讲解一些几何问题的解法，如求面积、周长、角度等。

四、方程和不等式的解法（15分钟）1. 复习一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。

2. 讲解方程和不等式的解法技巧，如移项、合并同类项、化简等。

3. 举例讲解一些方程和不等式竞赛题的解法。

五、数学逻辑推理和证明（15分钟）1. 讲解数学逻辑推理的基本规则，如三段论、逆否命题等。

2. 举例讲解一些数学证明题的解法，如几何证明、代数证明等。

六、数学竞赛题型和解题技巧（15分钟）1. 讲解一些常见的数学竞赛题型，如数字谜题、逻辑题、几何题等。

2. 举例讲解一些解题技巧，如反证法、构造法、代换法等。

七、总结和练习（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

2. 布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

教学评价：1. 课后收集学生的练习答案，对学生的学习情况进行评价。

2. 在下一节课开始时，对学生的练习情况进行反馈，解答学生的疑问。

课时：2课时年级：八年级教材：《初中数学竞赛辅导教材》教学目标：1. 让学生掌握竞赛数学的基本解题思路和方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生的数学竞赛成绩。

教学重点：1. 竞赛数学的基本解题方法。

2. 逻辑推理能力的培养。

教学难点：1. 解题方法的灵活运用。

2. 逻辑推理能力的提高。

教学过程：第一课时一、导入1. 引导学生回顾已学的数学知识，激发学生对竞赛数学的兴趣。

2. 提问：同学们，你们知道什么是数学竞赛吗？它有什么特点？二、新课讲解1. 讲解竞赛数学的基本解题方法：a. 代数法：通过代数运算解决数学问题。

b. 几何法：利用几何图形的性质解决数学问题。

c. 统计法：运用统计方法解决数学问题。

d. 推理法：通过逻辑推理解决数学问题。

2. 通过实例讲解每种解题方法的运用，让学生了解各种方法的特点和适用范围。

三、练习1. 让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生提出的问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学的竞赛数学基本解题方法。

2. 强调逻辑推理能力在解题过程中的重要性。

第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学的竞赛数学基本解题方法。

2. 提问：同学们，你们还记得上节课我们学习的内容吗？二、新课讲解1. 讲解竞赛数学解题技巧：a. 分析问题：对题目进行仔细分析，找出解题的关键点。

b. 构建模型：根据题目要求，建立相应的数学模型。

c. 演绎推理：利用已知条件，逐步推导出答案。

d. 逆向思维：从结果出发，寻找解题的线索。

2. 通过实例讲解解题技巧的运用，让学生了解各种技巧的特点和适用范围。

三、练习1. 让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生提出的问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学的竞赛数学解题技巧。

2. 强调解题技巧在实际应用中的重要性。

教学反思：1. 通过本节课的学习，学生是否掌握了竞赛数学的基本解题方法？2. 学生在解题过程中是否能够灵活运用所学知识？3. 如何进一步提高学生的逻辑推理能力？课后作业：1. 完成教材中的练习题。