特殊的高次方程的解法1

高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

转化与化归一■特殊方程,方程组阅读与思考特殊方程、方程垣通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解待殊方程、方程蛆的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、稣；3、平方；转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗“.例题与求解【例1】已知方程绢";侦,?二23的两组解是（而5）与巧），贝勺冲+矽i的值是（北京市竞赛题）解裁思踣：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值，【例2］方程组栏］富笠的正龄豚的砌是（）A.1组B.2组C.3组D.4组解黑单踏:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分忻常数的特征入手.【例3】解下列方程：13丫一/13-r（1）—―O+——）=42;（“祖冲之杯”12清赛试题）A+1X+1f x 2 +3x x'+x - 4 11(Z) —i ------+ -----=—2 疽+2x-8 3x+9x 12(3) (1999-对3 十(尤一1998)3=1；（河南省竞赛畋（山东省竞赛试题）(4) (W 3 +3x-4): +(2x 2-7x + 6)2 = (3： -4x+2)2（“祖冲之杯“邀请赛试题）解题思路：注意到方程左i右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】解下列方程组;⑵x(x+lK3x+5y) = 144' ' ，+4x+5y = 24;)(3)、尸='一3】十2与⑴ ]/二丈一3." + 2尹（山东省竞赛理（西安市意赛试题）（全苏数学奥林匹克瞄）解题思踣：观察发现方程组中两个方程的特点和联系.用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程毛一、一只有—4＜解（相等的解也算一＞b ）.试求Ar 的值与方程X —1 XX —X 的解.g 省竞赛趣）【例61方程Zv 〕一Ay+3x+j ，+ 2006=0的正做解有多少对?（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用I 余及分解因帝知炭行瞄能力训练A级方程2（/+%）一Xx+-）=1的实数根是X X2.（/+3入・一4『+（2疽一7x+6）'=（3J-4x+2）\逮个方程的解为》=3.实数芯M二海足昨：?一3*八则/七的®^.（上海市竞赛题）[x十3y一2x\'+2r=O s-----------ax2+&v+l=O,4,设方程缩况2十工十a=0「有实数解，5W〃十3+]=.x+av4-6=0（武汉市嬖赛皿5.使得（/一4缶-1）=（/+3》+2]，一软十7）成立的、的值得个数为（）A.4个B.3个C. 2个D.1个（“五羊杯“意赛试匙）6.已知方程钏"?指七有实数根，月眼它有（）A.一球B。

高次方程的解法与应用知识点总结高次方程，也称多项式方程，是一种含有高次幂的方程。

解决高次方程是数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用背景。

本文将对高次方程的解法和应用知识点进行总结。

一、高次方程的解法1. 因式分解法高次方程的因式分解法是根据高次方程的特殊形式来求解的。

如果方程能够分解成两个或多个较低次数的因式相乘的形式，就可以借助因式分解的方法求解。

例如：x^2 - 4 = 0，可以通过因式分解(x + 2)(x - 2) = 0求得解x =2和x = -2。

2. 配方法配方法是解决一些二次方程的常用方法，通过选择适当的变量替换和配方，将高次方程转化为较低次数的方程来求解。

例如：x^2 + 6x + 9 = 0，可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而解得x = -3。

3. 求根公式求根公式是解决二次、三次、四次方程的常用方法，它将高次方程的解与方程的系数之间建立了一种关系，通过求解这些关系式可以得到高次方程的解。

例如：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为x= (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

4. 奇偶对称性对于某些高次方程，可以利用奇偶对称性来简化解法。

通过观察方程中各项的奇偶性，可以减少计算量，并找到方程的一些特殊解。

例如：x^5 - x^3 + x = 0，通过观察可以发现x = 0是方程的解，这是因为x^5和x都是奇次幂，而-x^3是偶次幂。

5. 数值逼近法对于一些无法用以上方法求解的高次方程，可以借助数值逼近法求解。

数值逼近法是通过不断逼近方程解的数值来求解方程的近似解。

例如：牛顿迭代法、二分法等。

二、高次方程的应用知识点1. 几何应用高次方程在几何学中有着广泛的应用。

例如，二次方程可以用来描述抛物线的形状和轨迹；三次方程可以用来描述三维空间中的曲线；四次方程可以用来描述圆锥曲线等。

2. 物理应用高次方程在物理学中也有着重要的应用。

高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。

对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。

本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。

一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。

下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。

1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。

一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。

求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。

根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。

当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。

2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。

一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。

该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。

二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。

下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。

1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。

一般形式为：f(x, y) = 0。

求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。

消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。

代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。

2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。

高次方程及解法✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双1-6=-5）÷原高次方程:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根PＰ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。

对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。

依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

432 62+x+1x －解：将原方程化为３（x 3-32x 2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P Q =-32f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。

高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。

换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。

6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。

【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。

令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。

2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。

其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。

y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。

7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。

高次方程及其解法2009-12-06 11:35:27| 分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)，当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想：高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2.高次方程根的存在定理设多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n(a0≠0)（1）因式定理：多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0.（2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f(x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0)，那么它必定还有另一个根a-bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f(x)=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根，那么a-√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）；②若√a+√b是方程的根，那么√a-√b，-√a+√b，-√a-√b必也是它的根（其中，√a、√b都是无数）；③若方程有一个虚根√a+√bi(a，b∈R且b≠0)，那么√a-bi，-√a+√bi，-√a-√bi必也是它的根（其中，√a、√b都是无理数）.（4）整系数方程有理根存在定理：①如果方程f(x)=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中，如果α是方程的整数根，那么二比值f(1)/(α-1)和f(-1)/(α+1)都是整数；③在整系数方程f(x)=0中，如果f(0)与f(1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f(x)=0的有理根都是整数.如果方程没有整数根，那么它也没有有理根.3. 一元n次方程的解法：（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)的解法通常用验根法、因式分解法和换元法. （2）特殊的高次方程的解法：①二项方程ax n+b=0(a≠0)可用复数开n次方的方法求解；②三项方程ax2n+bx n+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令x n=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0),然后求x；③倒数方程ax n+bx n-1+c x-2+…+cx2+bx+a=0(其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解.注：倒数方程具有性质：①倒数方程没有x=0的根；②如果α是倒数方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；③奇次倒数方程必有x=-1的根.例题解答：。

高次方程解法 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因∴（x3+3x2-6x-8）÷ (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方式（x+1），∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

求解程序编辑高次方程的根的求解，可以利用bairstow法，通过简单的matlab程序，求得方程的所有复根（实根和虚根）2定义编辑整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

3一般形式编辑高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=高次方程等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=04其它相关编辑解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．根与系数按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于（-1）^nb0成果伽罗华（Galois，1811——1832），法国数学家。

伽罗华15岁进入巴黎有名公立中学学习，偏爱数学。

后来想进工科大学，两次落榜只进一所代等的预备学校，此时，他专攻五次方程代数解法。

第一年写了四篇文章，1828年，17岁的伽罗华写了《关于五次方程的代数解法问题》等两篇论文送交法国科学院，但被柯西（Cauchy,1789——1875）遗失，后来，他又把一篇文章送给傅利（Fourier，1768——1830）。

不久，傅利就去世了，也就不了了之。

1831年，伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。

伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。

任意高次方程的解法
任意高次方程的解法通常需要通过特殊方法或技巧来求解。

以下是一些常见的解法：
1. 因式分解法：对于二次或三次方程，可以通过因式分解来求解。

首先将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求解出对应的根。

2. 配方法：对于二次方程，可以使用配方法将方程转化为一个完全平方形式，然后求解。

3. 常数项假设法：对于特定的高次方程，可以根据一些已知根的特性假设一个或多个常数项，然后通过代入求解其他未知数。

4. 基本恒等式法：对于特殊的高次方程，可以使用基本恒等式法将方程转化为一个更简单的形式，然后求解。

5. 变量代换法：对于某些复杂的高次方程，可以通过引入新的变量代换来简化方程，然后求解。

6. 数值逼近法：对于无法解析求解的高次方程，可以使用数值逼近的方法来找到方程的数值解。

这包括二分法、牛顿法、割线法等。

总的来说，求解任意高次方程需要根据方程的具体形式和特性选择合适的解法，有时可能需要结合多种方法来求解。

特殊的高次方程的解法教学目标1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学流程设计复习引入例题分析巩固练习布置作业课堂小结教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.教师指出：在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1．例题分析例6 解下列方程（1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0.[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程（1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2.2．问题拓展（1）解方程x 3-2x 2-4x ＋8=0．解 原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x 2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x 1＝x 2＝2，x 3=-2．（2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k dc b a，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为bkx 3+bx 2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx 2+d)=0．三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.2．解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3．解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04．拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解一元高次方程的基本方法是什么？2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置1．练习册：习题21.2（3）2．选做题：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学设计说明1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.。

高次方程的韦达定理摘要：I.引言- 简要介绍高次方程和韦达定理II.韦达定理的推导- 推导韦达定理的公式- 韦达定理的符号表示III.韦达定理的应用- 举例说明韦达定理在实际问题中的应用- 讨论韦达定理的限制和局限性IV.总结- 总结韦达定理的重要性和意义正文：I.引言高次方程是指最高次数为n 的方程，其中n 是正整数。

在代数学中，高次方程是一个重要的研究对象，它在解决实际问题中有广泛的应用。

韦达定理是关于高次方程的一个重要定理，它可以用来求解高次方程的根。

II.韦达定理的推导韦达定理的推导过程相对复杂，需要运用代数中的多项式除法、因式分解等知识。

在这里，我们简单介绍一下韦达定理的公式和符号表示。

设一元n 次方程为：a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(1)x + a(0) = 0根据韦达定理，方程的n 个根x1、x2、...、xn 满足以下关系：x1 + x2 + ...+ xn = -a(n-1)/a(n)x1x2 + x1x3 + ...+ x(n-1)xn = a(n-2)/a(n)x1x2x3 + ...+ x(n-2)x(n-1)xn = (-1)^(n-1)a(0)/a(n)III.韦达定理的应用韦达定理在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在求解多项式的根、研究代数曲线和代数曲面的性质等方面。

下面我们举一个例子来说明韦达定理的应用。

例：求解方程x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0 的根。

根据韦达定理，我们可以先求出方程的系数：a(3) = 1, a(2) = -6, a(1) = 9, a(0) = -2然后，我们可以根据韦达定理的公式求解方程的根：x1 + x2 + x3 = -a(2)/a(3) = 6/1 = 6x1x2 + x1x3 + x2x3 = a(1)/a(3) = 9/1 = 9x1x2x3 = (-1)^(3-1)a(0)/a(3) = -2/1 = -2通过解这个方程组，我们可以得到方程的三个根：x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1IV.总结韦达定理是代数学中的一个重要定理，它可以用来求解高次方程的根。

特殊的高次方程的解法1特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计一、 情景引入1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x； (3) 03422=-+x x ； (4) 23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ；(7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9)010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？二、学习新课1．概念辨析（1）一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为(0≠≠=+ax n,0,0bn是正整数）ab注①n ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2．例题分析解下列简单的高次方程：（1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x，（2）01224=-+x x 如何求解上述方程？3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x，01224=-+x x 具有共同的特点？（1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x （4）013224=-+x x （5）012134=-+x x这类方程有什么共同的特点？二、学习新课1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax（3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程.换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。

浅谈几种特殊高次方程的解法随着数学研究的不断深入，复杂的数学问题也越来越多，其中高次方程也是让许多研究者饱受其苦。

特殊高次方程，更是让人头疼不已，摆在面前的只有乏味的分析法，甚至无解可言，我们如何才能快速有效地解决特殊高次方程呢？以下我将浅谈几种特殊高次方程的解法，以供参考。

首先是二次方程的解法，更精确地说应该是一元二次方程的解法。

一元二次方程的标准形式如ax+bx+c=0，其解的公式为x=(-b±√(b-4ac))/2a，其中a≠0.由此可以看出，若a=0，则这个方程恰好是一元一次方程，其解为x=-c/b。

第二种特殊高次方程解法是立方根解法。

立方根解法是一种解三次方程的方法，它可以帮助我们快速求解 cubxi + bx + cx + d = 0样的三次方程，其中a≠0.立方根解法的基本步骤是：(1)先我们要将方程化为 y + py + q = 0标准形式，其中p=b/a, q=c/a。

(2)后我们需要计算出Δ=q/4+p/27，Δ>0时方程有一个实根x1，Δ=0时方程有三个实根，其中一个x1=Δ=0时方程有三个实根，Δ<0时方程有三个不同实根。

(3)后我们根据Δ的值，使用立方根解法计算出方程的解。

第三种特殊高次方程解法是因式分解解法。

这种解法可以用来解任意一次以上的一元高次方程，因此也称为因式分解法。

它的基本思想是将原方程中的各个项及其系数分解为于求解的一元低次方程，最后把所得的低次方程解的结果以适当的方式组合起来，得到原方程的解。

因式分解解法的步骤如下：(1)先我们将方程化为如下形式：ax+bx-1+cx-2 +....+p=0，其中a≠0(2)后我们将该方程分解为n个一元低次方程：ax+bx+c=0,ax+bx+c=0,....,ax+bx+c=0。

(3)着我们依次用适当的方法解上述n个低次方程，并把最终所得解以适当的方式组合起来，得到原方程的解。

最后，需要提醒的是，每一种解法都有其局限性，比如立方根解法只能用来解三次方程，而因式分解解法则只适用于解一元高次方程。

高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。

其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。

我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。

其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。

比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。

一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。

因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。

其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。

如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。

比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。

那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。

通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。

所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。

比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。

所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。