《学考优化指导》2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4课件第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换Word

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、A组1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=()A.8B.3+C.28D.32解析:a2-(a-b)·b=a2-a·b+b2=25-(-4+6)+5=28.答案:C2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()A.(3,4)B.C.D.(1,1)解析:与a共线的单位向量是±=±(3,4),即与a共线的单位向量是.答案:C3.已知a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于()A. B.4C.3D.2解析:∵a∥b,∴m=-4,b=(-2,-4).∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).∴|2a+3b|==4.答案:B4.(2016·广东深圳南山期末)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若k a-2b与a垂直,则实数k的值为()A.-1B.1C.2D.-2解析:∵向量a=(1,1),b=(2,-3),∴k a-2b=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6).∵k a-2b与a垂直,∴(k a-2b)·a=k-4+k+6=0,解得k=-1.故选A.答案:A5.已知a=(1,),b=(x,2),且b在a方向上的投影为2,则a与b的夹角为()A. B.C.D.解析:∵b在a方向上的投影为2,则=2,∴=2,解得x=-2,∴b=(-2,2).设a,b的夹角为θ,则cos θ=.∵0≤θ≤π,∴θ=.答案:D6.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,则|a|=.解析:∵a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,∴-1+n2=2,∴n2=3.∴|a|2=1+n2=4,∴|a|=2.答案:27.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.解析:a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,∵a与b的夹角为45°,∴cos 45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案:28.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是.解析:∵∠C=90°,∴,∴=0.又=(2-k,2),∴2(2-k)+6=0,k=5.答案:59.在平面直角坐标系内,已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)的坐标;(2)||的值;(3)cos∠BAC的值.解:(1)=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5).(2)因为=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以||==2.(3)因为=(-1,1)·(1,5)=4,||=,||=,所以cos∠BAC=.10a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即(1,x)·(2x+3,-x)=0.所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.(2)因为a∥b,所以1×(-x)-(2x+3)×x=0,即x2+2x=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),所以|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=2.二、B组1.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:如图所示,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案:A2.已知向量a=(2,0),|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4a·b+4=12,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案:B3.设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=()A. B.C. D.解析:由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).∵a在b方向上的投影为3,∴=3,解得y=,则b=.故选A.答案:A4.已知向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.解析:∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=-2+8=6.∴c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).∴|c|=8.答案:85.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=.解析:设b=(x,y).∵|b|==1,∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵(1,0)是与x轴平行的向量,∴b=.答案:6.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-k a+t b,且x⊥y,试求的最小值.解:∵a=(,-1),b=,∴a·b=-1×=0.∵|a|==2,|b|==1,a·b=0,∴a⊥b.∵x⊥y,∴[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0,即-k a2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.∴k=.∴(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.7=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.解:(1)设=(x,y).∵点Q在直线上,∴向量共线.又=(2,1),∴x=2y,∴=(2y,y).又=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),∴=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,故当y=2时,有最小值-8,此时=(4,2).(2)由(1)知,=(-3,5),=(1,-1),=-8,||=,||=,cos∠AQB==-.。

基础课4铜金属材料与金属矿物的开发利用②常见金属材料及金属的冶炼方法(对应学生用书P61)考点一铜及其化合物的性质及应用1．铜的物理性质紫红色固体，具有良好的导电、导热和延展性.2．铜的化学性质（1)与非金属单质的反应（2)与酸反应(3）与某些盐溶液反应(写离子方程式）3．铜的重要化合物(1)Cu2(OH）2CO3的名称为碱式碳酸铜，是铜绿、孔雀石的主要成分，受热分解可生成黑色的氧化铜，化学方程式：Cu2(OH）2CO3错误!2CuO＋CO2↑＋H2O,可溶于稀硫酸，离子方程式：Cu2(OH)2CO3＋4H＋===2Cu2＋＋CO2↑＋3H2O。

(2）黑色氧化铜在高温下分解为红色的Cu2O，化学方程式为4CuO错误!2Cu2O＋O2↑。

(3）蓝色的硫酸铜晶体受热分解为白色的硫酸铜粉末，化学方程式为CuSO4·5H2O错误!CuSO4＋5H2O。

(4)红色的Cu2O与稀硫酸反应，溶液变蓝,同时生成红色的单质铜，离子方程式为Cu2O＋2H＋===Cu＋Cu2＋＋H2O。

正误判断，正确的划“√”，错误的划“×”(1）Cu2（OH）2CO3是铜锈的主要成分,在干燥的空气中不易生成.(√)(2)过量的铜与浓硝酸反应一定没有一氧化氮生成。

（×)(3）利用无水硫酸铜遇水变成蓝色这一性质，来检验水的存在。

（√）(4）将铁片置于CuSO4溶液中，铁片上有红色物质析出，说明铁比铜活泼。

(√）题组一铜及其化合物的性质1．（2018·兰州质检）下列关于铜的化合物的说法正确的是（）A．蓝色硫酸铜晶体受热转化为白色硫酸铜粉末是化学变化B．常温下将铜丝伸入盛满氯气的集气瓶中,有棕黄色的烟生成C．用稀盐酸除去铜锈的离子方程式为CuO＋2H＋===Cu2＋＋H2OD．向CuSO4溶液中滴入过量NaOH溶液充分反应后，将混合物倒入蒸发皿加热煮沸一会儿，然后冷却、过滤，滤纸上的物质为“蓝色固体"解析：选A蓝色硫酸铜晶体受热失去结晶水转化为白色硫酸铜粉末是化学变化，A正确;常温下铜与氯气不反应，需在点燃条件下才能反应，观察到有棕色的烟生成,B错误;铜锈的成分是碱式碳酸铜，不是氧化铜，C错误;CuSO4溶液中滴入过量NaOH溶液充分反应后生成Cu（OH）2沉淀，加热后过滤，滤纸上留下的是黑色物质CuO,D错误。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。

[学业水平训练]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则角α终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2α2－1＝725>0，故α是第四象限角．3．下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x g (x )＝2sin x cos xB ．f (x )＝cos 2x g (x )＝cos 2x －sin 2xC ．f (x )＝2cos 2x －1 g (x )＝1－2sin 2xD ．f (x )＝tan 2x g (x )＝2tan x 1－tan 2x解析：选D.显然选项A 、B 、C 均正确，对于D ，函数f (x )与g (x )的定义域不同，所以二者表示的函数不同．4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15， ∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2D. 3解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________． 解析：由已知可得cos α＝－255， ∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为β， 则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425. 答案：24259．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，求sin α，tan 2α的值． 解：∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15. ∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35. ∴tan α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 10．已知角α在第一象限且cos α＝35， 求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． 解：∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. [高考水平训练]1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34B.34 C ．－43 D.43 解析：选B.由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除以cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 2．计算cos 10°·cos 80°sin 20°＝________． 解析：原式＝sin 80°·cos 80°sin 20°＝2sin 80°·cos 80°2sin 20°＝sin 160°2sin 20°＝12. 答案：123．已知sin(π4＋x )sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin 4x 的值． 解：∵sin(π4＋x )sin(π4－x )＝sin(π4＋x )sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4＋x )cos(π4＋x )＝12sin(π2＋2x ) ＝12cos 2x ＝16， ∴cos 2x ＝13. ∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 4．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明：原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①而①式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．。