四川省雅安市高三下学期三诊数学(理)试题

四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试题理（扫描版）雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.40 15.27 个 16.三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}的公差是．由已知 ...........2分，得， .........4分数列{}的通项公式为……………6分（2）由数列{ }是首项为1，公比为的等比数列，，，………………9分………………10分………………11分当………………12分18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：……………2分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得. ……………4分因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关． ……………6分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为41. ……………7分由题意～，从而X 的分布列为……………10分E (X )＝np ＝3×41＝43，D (X )＝np (1－p )＝3×41×43＝169. ……………12分 19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE ，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC ⊥BD ．由PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BD ，因为AC ∩PA=A ，所以BD ⊥平面PAC ． ……………6分 （2）解：方法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO ⊥PC ． 所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH ．故∠DHO 是二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角，所以∠DHO=60°． 在Rt △DOH 中，由DO=，得OH=．在Rt △PAC 中，=．设PA=x ，可得=．解得x=，即AP=． ……………12分方法二：（2） 由（Ⅰ）知AC ⊥BD ．以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A （0，﹣，0），B （，0，0），C （0，，0），D （﹣，0，0）．由PA ⊥平面ABCD ，得PA ∥z 轴， 故设点P （0，﹣，t ） （t ＞0）．设=（x ，y ，z ）为平面PDC 的法向量，由，知取y=1，得.又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是．解得t=，即AP=．……………12分20.解：（1）由已知可得解得，………2分故椭圆的标准方程为．………4分（2）设，，联立方程消去得．………5分当，即时，，．………6分所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号.则: ………………………8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．………10分所以当，即时，取得最大值．………11分综上的最大值为，此时直线: 或或………12分21．解：（1）由题可知的定义域为，因为，所以又因为直线的斜率为，∴，解得………3分（2）由（1）知：，当时，，所以在上单调递增；………4分当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减. ………5分综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. ………6分（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；………7分当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；………8分当时，①若，即时，在上单调递减，∵，∴在上没有零点；②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，若，即时，在上没有零点；若，即时，在上有一个零点；若，即时，由得，此时，在上有一个零点；由得，此时，在上有两个零点；③若，即时，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点. ………11分综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点. ………12分选考题：22、解:(1)由消去参数，得，即曲线的普通方程为……………2分由，得，(*)将代入(*)，化简得，……………4分所以直线的倾斜角为……………5分(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为 (为参数)，即 (为参数)，………………7分代入并化简，得，，设两点对应的参数分别为，则，，所以……………10分23解:(1)(ⅰ)当时，原不等式可化为，解得………………2分(ⅱ)当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；………………4分(ⅲ)当时，原不等式可化为，解得……………5分综上，. ………………6分(2)证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证.因为，所以，所以成立，所以原不等式成立. ……………10分。

雅安市高三第三次诊断性考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数满足，则的虚数是（）A. B. C. D.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半径等于米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米4. 若实数，满足，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.5. 已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D.7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.8. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（ ）A. B. C. D.9. 过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线于，两点，若为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.10. 已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A.B.C. D.11. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.12. 在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的图象在区间上的对称轴方程为__________．14. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，，则__________．15. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为，则表中空格处的值为__________．16. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求的值.18. 某校初一年级全年级共有名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.（1）从抽出的人中选出人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的人中挑选出阅读量低于万字和高于万字的同学，再从中随机选出人来长期跟踪调查，求这人中来自阅读量为万到万字的人数的概率分布列和期望值.19. 如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且.（1）求证：平面，平面平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.20. 已知椭圆：过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设为整数，且对于任意正整数.若恒成立，求的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为：（为参数）.（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）点的极坐标为，直线与圆相交于，，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.雅安市高三第三次诊断性考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数满足，则的虚数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵复数满足∴∴的虚数是故选C.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴故选B.3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半径等于米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米【答案】B【解析】因为圆心角为，半径等于4米，所以圆心到弦的距离为|OB|=2，，所以矢等于4-2=2米，弦长为所以弧田的面积约为，故选B。

四川省雅安市高三下学期三诊数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚数是（ ） A ．425-B ．425i -C ．425D ．425i 2.已知集合{}12A x x =-<<，{}22B x y x x ==--，则A B = （ ）A ．{}10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤<3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4.若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．155.已知1(2)nx x+展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)nx x+的展开式中2x 的系数（ ）A ．448B ．560C ．7D ．356.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.已知函数3()7sin f x x x x =--+，若2()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,3)-∞ C ．(1,2)- D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A ．6364B ．12764C ．127128D ．2551289.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．510.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，23AC =，60ABC ∠=，且棱锥O ABC -的体积为463，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π11.已知函数2()22x x f x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．[0,]e C ．(,)e -∞ D ．[0,)e12.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[2,2]-C ．11[,]22-D ．22[,]22- 二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数()3sin(2)3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为 ．14.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+ ．15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为 0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为 ．x3 4 5 6y2.53416.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，若2b c a +=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.18.某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19.如图，在四棱锥S ABCD-中，SD⊥底面ABCD，M为SD的中点，底面ABCD为直角梯形，AB AD⊥，//AB CD，且222CD AB AD===.（1）求证：//AM平面SBC，平面SBC⊥平面SDB；（2）若SB与平面SDC所成角的正弦值为33，求二面角A SB C--的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.21.已知函数()1ax f x e ax =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，半径为2，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA二、填空题13. 12x π=14. 3- 15. 4.5 16. 3 三、解答题17. 解答：271313()sin(2)2sin 1cos 2sin 2cos 2cos 2sin 262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6x π=+.（Ⅰ）最小正周期：22T ππ==， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; （Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或而()0,A π∈所以3A π=，又因为2a b c =+， 而1cos 6,122AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， 222221()4cos 11122248b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，23a ∴=.18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y 则： 40.168100.25120.158.30.10.250.151x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨++++=⎩，可得0.2,0.3x y ∴==，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.112226142622220299190C C A C A P C A +∴==或2214222202991190C A P C A =-=或11226142622099190C C A A P A +∴==或214220991190A P A =-=， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为99190. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，31221332323333555361(1),(2),(3)101010C C C C C P P P C C C ξξξ∴=========故ξ的分布列为ξ1 2 3 P310 610110361123 1.8101010E ξ∴=⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.19．（1）证明：设SC 中点是E ，连接,BE ME 则12ME //DC ， 12AB//DC ， ABEM 为平行四边形，//AM EB ，EB ⊂ 平面SBC ，AM ⊄平面SBC ， //AM ∴平面SBC ，ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ， 2DB BC ∴==，DB BC ∴⊥，⊥SD 底面ABCD ，SD BC ∴⊥，SD DB D = ，BC ∴⊥底面SBD ，BC ⊂底面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SDB.（2）SB 与平面SDC 所成角的正弦值为33， 1SD ∴=，建立如图所示的空间直角坐标系(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0)S ∴∴平面SAB 的法向量1(1,0,1)n = ，平面SBC 的法向量2(1,1,2)n =， 223cos ,2n n ∴<>= . ∴二面角C SB A --的余弦值为32-.20.解答：（1） 椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点(0,2），且离心率为22∴ 222222b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 即2224,2a b c ===，∴椭圆E 的方程22142x y +=. (Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ． 由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=， 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而022y m 2=+. 所以222222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216GH x =++=++=. 22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-， 故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++， 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 则112299(,),G (,)44GA x y B x y =+=+，由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=， 12122223y +y =,y y =m 2m 2m ∴++. 1212121222121229999G ()()=(m )(m )4444525172(m 1)()041616(m 2)GA B x x y y y y y y m y y y y ∴∙=+++++++=++++=>+ 0cos ,G GA B >>∴< ，又,G GA B 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．21．解：（1）=a -a=a( ， 当a>0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增， 当a=0时，显然无单调区间，当a<0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增，综上：当a=0时，无单调区间，a 时，减区间为，增区间为(0，) . （2）令a=1，由（1）可知f （x ）的最小值为f(0)=0，f （x ），(当0x =时取得“=”)，令x=n-1，1n e n ->>， 所以0121n e e e e-⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 所以(n 1)2!n e n ->， 两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3.选考题：22、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：，化简得圆的极坐标方程：， 由:1x t l y t=-⎧⎨=+⎩得， l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即12sin()4ρπθ=+.（2）由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ， 直线的参数的标准方程可写成22212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入圆得：2222(2)(1)222t t --++=， 化简得：，，.23解:解：（1）当1a =-时，函数()212f x x x =-+-， 则不等式为2126x x -+-≥，① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥； ②当122x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解； ③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-， 原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图： 结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.（2）不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-232a x ≥--， 即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立. 而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413a -≤≤或a φ∈. 所以a 的取值范围是4[1,]3-.。

雅安市高中级第三次诊断性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4U =----，集合{}0,1,2M =--，{}0,3,4N =--，那么()U C M N 为（ ）A ．{}0B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅ 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --3．若()y f x =是定义域在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．()00f = B ．对x R ∀∈，()0f x =都成立 C ．0x R ∃∈，使得()()000f x f x +-= D ．对x R ∀∈，()()0f x f x +-=都成立 4．cos xdx π⎰（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．π5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤ 6．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．524π C ．4π D ．724π 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π8．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．[]2,2- D ．[)0,+∞9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）A．(16π B．(16π C．(82π- D．(82π 10．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于（ ） A ．32 B ．43CD11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） ABC1 D1- 12．已知函数()ln f x x =，()2042g x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩()()011x x <≤>则方程()()1f x g x +=实根的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值 ．14．展开式5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项为 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，AB CD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为2，直线l ：y kx m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AOB （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-（a R ∈）. （1）若()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线220x y ++=垂直，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设a ，b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDDCA 6-10:BABBC 11、12：CB二、填空题13．4 14．40 15．27个 16．[]6,10-三、解答题17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ．由已知()()382726a a a a d +-+==- 3d ∴=-2712723a a a d ∴+=+=-m ，得 11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，1n n n a b q -∴+=，1n n n b q a -∴=-=132n n q --+，()14732n S n ∴=++++-⎡⎤⎣⎦()211n q q q -+++++∴当1q =时，()312n n n S n -=+232n n +=当1q ≠时，()312n n n S -=+11nq q -- 18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1003.03033=≈.因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X⎛⎫⎪⎝⎭，从而X 的分布列为[来源:学&科&网]()13344E X np ==⨯=， ()()1D X np p =-13934416=⨯⨯=.19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE BC ⊥于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得12BC ADCE -==，3DE ==， 所以BE DE =，从而得45DBC BCA ∠=∠=︒，所以90BOC ∠=︒，即AC BD ⊥． 由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，因为ACPA A =，所以BD⊥平面PAC ．（2）解：作OH PC ⊥于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO PC ⊥．所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC OH⊥，PC DH⊥． 故DHO ∠是二面角A PC D --的平面角，所以60DHO∠=︒． 在Rt DOH中，由DO =，得3OH =．在Rt PAC 中，PA OH PC OC =． 设PA x =6=11x =，即11AP =． 20.解：（1）由已知可得222,222,c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()22124kxkmx ++2220m +-=．当()228210k m =-+>，即2221k m >-时，122412km x x k -+=+，21222212m x x k -⋅=+．所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k+=+． 当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭12AOBSAB m =⋅=12m ⋅⋅=因为()1,0m ∈-()0,1,所以()20,1m ∈AOBS≤=，当212m =时，取到等号.则l :2y =±当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-1k=-，化简整理得2212k m +=． 由222212,21,k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩得02m <<． 又原点O 到直线AB的距离为d =．12AB x =-=所以12AOBSAB d =⋅=而2212k m +=且02m <<，则AOBS =02m <<.所以当1m =，即212k =时，AOB S 取得最大值．综上AOB S的最大值为2，此时直线l : 12y x =+或12y x =-+或2y =±21．解：（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞，因为()21ln 2f x x ax =-，所以()1f x ax x '=-=21ax x-又因为直线220x y ++=的斜率为2-，()14212a-∴-⨯=-，解得0a = （2）由（1）知：()1f x ax x '=-=21ax x-，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得1x a<，由()0f x '<得1x a >，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.（3）由（2）可知，当0a <时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =->，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当0a =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =-=，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 当0a >时，1≤，即1a ≥时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()1102f a =-<，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；②若21e <≤，即411a e <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦上单调递减，而()1102f a =-<，11ln 22f a =--，()24122f e ae =-， 若11ln 2f a a ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭102<，即1a e >时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点； 若1ln 2f a =--102=，即1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 若1ln 2f a =--102>，即1a e <时，由()241202f e ae =->得44a e <，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；由()241202f eae =-≤得44a e≥，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点； ③若2e ≥，即410a e <≤时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =-<，()241202f e ae =->，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点. 综上所述：当440a e ≤<或1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；当0a <或1a e>时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当441a e e≤<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点. 选考题：22、解: (1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得()f x ，即曲线C 的普通方程为2219x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，(*) 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+， 所以直线l 的倾斜角为4π (2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245∆=-⨯271080⨯=>，[来源:学|科|网]设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1205t t +=-<，122705t t ⋅=>，10t ∴<，20t < 所以PA PB +=12t t +=()125t t -+=23解:(1)(ⅰ)当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x <-(ⅱ)当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； (ⅲ)当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x > 综上，{1M x x =<-或}1x >.(2)证明：因为()()f a f b --=11a b +--+≤()11a b a b +--+=+，所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2221a b ab ++>222a ab b ++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->.因为a ，b M ∈，所以21a >，21b >，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立.。

四川省雅安市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共25分)1. （2分）已知集合，则=（）A .B .C . ，或D . ，或2. （2分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·镇海模拟) 已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{an}的前100项的和为（）A . ﹣200B . ﹣100C . 0D . ﹣504. （2分）(2017·丰台模拟) 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是（）A . 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B . 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C . 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D . 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒5. （2分）若已知两个变量x 和y 之间具有线性相关系，4 次试验的观测数据如下：x3456y 2.534 4.5经计算得回归方程 =bx+a系数b=0.7，则a等于（）A . 0.34B . 0.35C . 0.45D . 0.446. （3分） (2017高二下·和平期末) 某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A . 70B . 98C . 108D . 1207. （2分）下列函数中，以π为周期的偶函数是（）A . y=|sinx|B . y=sin|x|C .D .8. （2分） (2019高一上·集宁月考) 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B . +12C . +10D . 24π9. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（）A . 仍保持平静B . 不断波动C . 周期性保持平静D . 周期性保持波动11. （2分）当实数x,y满足不等式时，恒有成立，则实数a的取值集合是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·河南模拟) 已知关于x的方程|2x3﹣8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣2，2）D . （﹣1，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高三上·上海模拟) 若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11 ，则a0+a1+…+a11的值为________．14. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 等边△ABC的边长为1，记 = ， = ， = ，则• ﹣﹣• 等于________．15. （1分）(2020·银川模拟) 已知，则的值为________.16. （2分）数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n（n=1，2，3，…），则a1=________ {an}的通项公式是：________三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2016高二上·枣阳开学考) 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18. （5分）(2018·北京) 如图，在三菱柱ABC- 中，平面ABC。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣x=0}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．{0} D．φ【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：M={x|x2﹣x=0}={0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N={0}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理即可得出．【解析】：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了向量共线定理，属于基础题．3．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】：解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件，比较基础．4．（5分）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】：二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解析】：解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．【点评】：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C． 4 D．7【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解析】：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解析】：解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．【点评】：本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．7．（5分）已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．±D．【考点】：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解析】：解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．【点评】：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．【解析】：解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+故所求概率P==故选：A．【点评】：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．9．（5分）过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．y=x﹣1 D．y=﹣x﹣1【考点】：轨迹方程．【专题】：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．【解析】：解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．设A（），B（），直线l：y=kx+1，联立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又抛物线方程为：，求导得，∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…②抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③由①②③得：y=﹣1．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1．故选：A．【点评】：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．10．（5分）对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对∀n∈N*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2015）=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，分别令n=1，2，3，4，…，求得几个特殊的函数值，归纳得到当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．检验成立，即可得到f（2015）．【解析】：解：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，由f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1，再由f（2）+f（3）+f（f（2））=7，解得f（3）=4，再由f（3）+f（4）+f（f（3））=10，解得f（4）=3，再由f（4）+f（5）+f（f（4））=13，解得f（5）=6，再由f（5）+f（6）+f（f（5））=16，解得f（6）=5，…归纳可得，当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．经检验，当n为奇数时，f（n）+f（n+1）+f（f（n））=n+1+n+f（n+1）=2n+1+n=3n+1成立；同样n为偶数时，仍然成立．则f（2015）=2016．故选：C．【点评】：本题考查抽象函数的运用，主要考查赋值法的运用，通过几个特殊，计算得到结果再推出一般结论，再验证，是解本题的常用方法．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知（1+2i）z=3﹣i（i为虚数单位），则复数z=．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接由复数代数形式的除法运算化简求值即可得答案．【解析】：解：由（1+2i）z=3﹣i，得．故答案为：．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为﹣1．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：所有二项式系数的和是32，可得2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．【解析】：解：∵所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和=（﹣1）5=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（5分）若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值2或﹣1．【考点】：二次函数的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．【解析】：解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案为：2或﹣1．【点评】：本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．14．（5分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于π．【考点】：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．【解析】：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π【点评】：求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．15．（5分）以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜④已知f（x）=log a x（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：导数的综合应用；简易逻辑．【分析】：①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=log a x（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd ，，，等号不全相等，即可判断出正误．【解析】：解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f （e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．④∵f（x）=log a x（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，，因此正确．综上可得：错误的是①②③．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，，函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1，进而可得，结合余弦定理和结合可解答案．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得：===（3分）由，得．（5分）所以f（x）的单调增区间是．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1∵C是三角形内角，∴，即，（7分）∴cosC==，即a2+b2=7．（9分）将代入可得，解之得：a2=3或4，∴a=或2，∴b=2或，（11分）∵a＞b，∴a=2，b=．（12分）【点评】：本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．17．（12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．【解析】：解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．所以X的分布列为：．（或）所以X的数学期望为1．【点评】：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．18．（12分）如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，从而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED•tan ∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能证明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足为G，设BE交DC于O点，连OF，则∠FOG为二面角F﹣BE﹣C 的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），从而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此结合已知条件能求出．【解析】：解：（1）证明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分别是线段AB、AC的中点，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED•tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE⊂平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCE，设BE交DC于O点，连OF，由（1）知，∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，则=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立的实数λ的范围．【考点】：数列的求和；数列与函数的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，得到，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．（2另一类消费求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可．【解析】：解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）当n≥2时，=6n﹣5…（5分）当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）（2）∵，∴=…（10分）∴2T n＜1又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015故λ≥2016…（12分）【点评】：本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设A（t，t）且t＞0，通过，以及椭圆的离心率，A在椭圆上，列出方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），利用，得到方程组，利用E，F在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直线EF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．【解析】：解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t＞0，，，∴…①（1分），…②（2分），…③，a2﹣b2=c2…④，联立①②③④解得：a2=3，b2=1∴椭圆的方程为：…（6分）（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），∵，∴…（7分）∵E，F在椭圆上，则，相减可得，，∴直线EF的方程为：，即，代入，整理得：，∴，…（9分），===，∵原点O（0，0）到直线EF的距离为，…（11分）=，…（12分）=，当时等号成立，所以△OEF得最大值为．…（13分）【点评】：本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的综合应用，基本不等式以及斜率与圆锥曲线相结合，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对|恒成立；（3）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f（x）=x﹣1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m ＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w（x）=2e x﹣x，通过导数求解函数的最值，然后推出．【解析】：解：（1）∵，∴，∴（﹣∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x﹣1，在[3，4]上是增函数∴，在[3，4]上是增函数设3≤x1＜x2≤4，则原不等式转化为即…（6分）令，即证∀x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h′（x）=1﹣e x＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合题意当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即得，且函数f（x）在由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴内，，下面证时，f（t）≥1，取t=e﹣m，先证．令w（x）=2e x﹣x，∴内恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2e m﹣m＞0，再证f（e﹣m）≥1，∵，∴．…（14分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。

四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试题理（扫描版）雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.40 15.27 个 16.三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}的公差是．由已知 ...........2分，得， .........4分数列{}的通项公式为……………6分（2）由数列{ }是首项为1，公比为的等比数列，，，………………9分………………10分………………11分当………………12分18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：……………2分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得. ……………4分因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关． ……………6分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为41. ……………7分由题意～，从而X 的分布列为……………10分E (X )＝np ＝3×41＝43，D (X )＝np (1－p )＝3×41×43＝169. ……………12分 19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE ，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC ⊥BD ．由PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BD ，因为AC ∩PA=A ，所以BD ⊥平面PAC ． ……………6分 （2）解：方法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO ⊥PC ． 所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH ．故∠DHO 是二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角，所以∠DHO=60°． 在Rt △DOH 中，由DO=，得OH=．在Rt △PAC 中，=．设PA=x ，可得=．解得x=，即AP=． ……………12分方法二：（2） 由（Ⅰ）知AC ⊥BD ．以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A （0，﹣，0），B （，0，0），C （0，，0），D （﹣，0，0）．由PA ⊥平面ABCD ，得PA ∥z 轴， 故设点P （0，﹣，t ） （t ＞0）．设=（x ，y ，z ）为平面PDC 的法向量，由，知取y=1，得.又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是．解得t=，即AP=．……………12分20.解：（1）由已知可得解得，………2分故椭圆的标准方程为．………4分（2）设，，联立方程消去得．………5分当，即时，，．………6分所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号.则: ………………………8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．………10分所以当，即时，取得最大值．………11分综上的最大值为，此时直线: 或或………12分21．解：（1）由题可知的定义域为，因为，所以又因为直线的斜率为，∴，解得………3分（2）由（1）知：，当时，，所以在上单调递增；………4分当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减. ………5分综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. ………6分（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；………7分当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；………8分当时，①若，即时，在上单调递减，∵，∴在上没有零点；②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，若，即时，在上没有零点；若，即时，在上有一个零点；若，即时，由得，此时，在上有一个零点；由得，此时，在上有两个零点；③若，即时，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点. ………11分综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点. ………12分选考题：22、解:(1)由消去参数，得，即曲线的普通方程为……………2分由，得，(*)将代入(*)，化简得，……………4分所以直线的倾斜角为……………5分(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为 (为参数)，即 (为参数)，………………7分代入并化简，得，，设两点对应的参数分别为，则，，所以……………10分23解:(1)(ⅰ)当时，原不等式可化为，解得………………2分(ⅱ)当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；………………4分(ⅲ)当时，原不等式可化为，解得……………5分综上，. ………………6分(2)证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证.因为，所以，所以成立，所以原不等式成立. ……………10分。

雅安市2009年高三第三次诊断性考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 一、选择题：1、设全集U R =，集合{|2}A x x =≥-，集合{|3}B x x =<，则()U C A B =（ ）A 、{|23}x x -≤<B 、{|2}x x ≤-C 、{|3}x x <D {|2}x x <-2、点(1,2)A -在直线cos 40x θ-=的（ ）A 、上方B 、下方C 、线上D 、位置视θ而定3、若2()f x ax x c =--，且不等式()0f x >的解集为(2,1)-，则函数()y f x =-的图象为（ ）4、函数2()31f x ax ax =++，若()()f x f x '>对一切x 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A 、413a <B 、0a ≥C 、4013a <<D 、4013a ≤<5、已知P ：12x>，Q 1，则Q 是P 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 6、已知点(1,2)A ，过点(5,2)-的直线与抛物线24y x =交于另外两点B 、C ，那么ABC ∆ 是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、锐角或钝角三角形 7、已知向量(,)n p a n =，1(,1)n q a n +=+，（*n N ∈），若13a =，//p q ，则数列{}n a 的通项n a 等于（ ）A 、2n +B 、35n +C 、3nD 、5n8、已知cos 2x =44sin cos x x +的值为（ ） A 、1318 B 、1118 C 、79D 、1 9、在正方体1111ABCD A BC D -中，与1AB 所成角为60°的棱和面对角线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、8条D 、9条 10、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12009a =，20092007220092007S S -=-，则2009S =（ ） A 、2007 B 、2008 C 、2009 D 、2010 11、若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11{1,0,,,1,2,3,4}32M =-的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A 、15 B 、16 C 、82 D 、5212、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个号码中任意抽取3个号码，则所抽取的3个号码中，仅有两个号码是连续整数的概率为（ ）A 、715 B 、815 C 、813 D 、713第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.当＜m＜1时，复数z=（3m-2）+（m-1）i在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设x∈R，则“x＜2”是“x2-x-2＜0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. 2+B. 4+C. 2+2D. 55.已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B. C. D. 16.从6人中选出4人分别到碧峰峡、蒙顶山、喇叭河、龙苍沟四个景区游览，要求每个景区有一人游览，每人只游览一个景区，且这6人中甲，乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有（）A. 168种B. 216种C. 240种D. 360种7.若执行如图的程序框图，输出S的值为5，则判断框中应填入的条件是（）A. k＜33？B. k＜32？C. k＜31？D. k＜30？8. 已知等差数列{a n }，a 1=-2018，前n 项和为S n ，，则S 2019=（ ）A. 0B. 1C. 2018D. 20199. 已知函数f （x ）=2ef ′（e ）ln x -（e 是自然对数的底数），则f （x ）的极大值为（ ）A. 2e -1B.C. 1D. 2ln210. 在半径为2的圆O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠COD =120°，P 是线段CD 上异于C 、D 的点，则的取值范围是（ ）A. [-3，-1）B. （1，3）C. [-3，0）D. （-3，3）11. 如图，圆锥的高，底面⊙O 的直径AB =2，C 是圆上一点，且∠CAB =30°，D为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D.12. 定义域为[a ，b ]的函数y =f （x ）图象的两个端点为A 、B ，向量，M （x ，y ）是f （x ）图象上任意一点，其中x =λa +（1-λ）b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f （x ）在[a ，b ]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值．若函数定义在[1，2]上，则该函数的线性近似阈值是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.展开式中的常数项是______（用数字作答）．14. 从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设X 表示抽到的次品件数，则DX =______．15. 已知函数f （n ）=n 2cos （n π），且a n =f （n ）+f （n +1），则a 1+a 2+…+a 20=______．16.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A的坐标为（2，6），点P是C上的任意一点，当P在点P1时，|PF|-|PA|取得最大值，当P在点P2时，|PF|-|PA|取得最小值，则P1，P2两点间的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.平面向量，，．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，b=1，，求a的值．18.2018年12月28日，成雅铁路开通运营，使川西多个市县进入动车时代，融入全国高铁网，这对推动沿线经济社会协调健康发展具有重要意义．在试运行期间，铁道部门计划在成都和雅安两城之间开通高速列车，假设每天7：00-8：00，8：00-9：00两个时间段内各发一趟列车由雅安到成都（两车发车情况互不影响），雅安发车时间及其概率如表所示：若小王、小李二人打算乘动车从雅安到成都游玩，假设他们到达雅安火车站候车的时间分别是周六7：00和7：20（只考虑候车时间，不考虑其它因素）．（1）求小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率；（2）设小李候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．19.如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．20.已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别是A1、A2，长轴长为，CD是以原点为圆心，|OF1|为半径的圆的任一条直径，四边形A1CA2D的面积最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过原点的直线l：y＝kx+m与椭圆交于A、B两点，①若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；②若直线l的斜率是直线OA、OB斜率的等比中项，求△OAB面积的取值范围.21.设f（x）=．（1）证明：f（x）在（0，1）上单调递减；（2）若0＜a＜x＜1，证明：g（x）＞1．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知不等式x+|x-a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）=x+|x-a|的图象．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m-2∈（0，1），虚部m-1∈．复数z=（3m-2）+（m-1）i在复平面上对应的点（3m-2，m-1）位于第四象限．故选：D．当＜m＜1时，复数z的实部3m-2∈（0，1），虚部m-1∈．即可得出．本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：x2-x-2＜0，解得-1＜x＜2．∴“x＜2”是“x2-x-2＜0”的必要不充分条件．故选：B．x2-x-2＜0，解出即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵双曲线，∴a2=2，b2=1∴c2=a2+b2=3∴=故选：C．先确定双曲线的几何量，再利用离心率公式，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．5.【答案】D【解析】解：作出实数x，y满足，对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（-3，0）的斜率，由图象知DA的斜率最大，由得A（-2，1），则DA的斜率k==1，则的最大值为：1．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质，结合斜率的公式进行转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质结合直线斜率的公式，以及数形结合是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：①当从6人中选出4人，这4人中没有甲也没有乙，则不同的选择方案有=24种，②当从6人中选出4人，这4人中有甲但没有乙，则不同的选择方案有=72种，③当从6人中选出4人，这4人中没有甲但有乙，则不同的选择方案有=72种，④当从6人中选出4人，这4人中有甲且有乙，则不同的选择方案有=72种，综合①②③④得：不同的选择方案共有24+72+72+72=240，故选：C．由排列组合及计数问题得：：①当从6人中选出4人，这4人中没有甲也没有乙，则不同的选择方案有=24种，②当从6人中选出4人，这4人中有甲但没有乙，则不同的选择方案有=72种，③当从6人中选出4人，这4人中没有甲但有乙，则不同的选择方案有=72种，④当从6人中选出4人，这4人中有甲且有乙，则不同的选择方案有=72种，综合①②③④得：不同的选择方案共有24+72+72+72=240，得解．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属中档题．7.【答案】B【解析】解：程序的功能是计算S=log23•log34•log45…log k（k+1）=…==log2（k+1），由log2（k+1）=5，得k+1=32，则k=31，此时k=k+1=32，不满足条件输出S=5，即k≤31成立，k=32不成立，则条件为k＜32？故选：B．根据程序框图，理解程序框图功能，结合对数的运算法则进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序框图以及结合对数的运算法则进行化简是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：因为数列{a n}为等差数列，所以=，又因为，所以{}是为首项是-2018，公差为1的等差数列，所以=-2018+（2019-1）×1=0，所以S2019=0．故选：A．等差数列{a n}，设其公差为d，则=，又因为，所以{}是为首项是-2018，公差为1的等差数列，所以可求，可得S2019．本题考查了等差数列的前n项和、等差数列的定义、通项公式、等差数列和一次函数的关系等，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】求出f′（e）的值，求出函数f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，求出f′（e）的值是解题的关键．【解答】解：f′（x）=-，故f′（e）=，故f（x）=2ln x-，令f′（x）=-＞0，解得：0＜x＜2e，令f′（x）＜0，解得：x＞2e，故f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+∞）递减，∴x=2e时，f（x）取得极大值2ln2，故选D．10.【答案】C【解析】解：由已知有=-，||∈[1，2），=（））=-（）+ 2=-4+2∈[-3，0），故选：C．由平面向量的线性运算及数量积的运算得：由已知有=-，||∈[1，2），=（））=-（）+2=-4+2∈[-3，0），得解．本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，属中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力．由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中求解即可．【解答】解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC所以平面POD⊥平面PAC在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=OA•sin30°=，在Rt△POD中，OH==，在Rt△OHC中，sin∠OCH=，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由已知可得：A（1，2），B（2，1），AB直线方程为y=-x+3，由向量，因为λ+（1-λ）=1，则点N，A，B三点共线，即N（x，-x+3），又M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，则M（x，），则|MN|=|-x+3-|=|3-（x+）|，当x∈[1，2]时，易得0≤|3-（x+）|，则k≥3-2，即k的最小值为3+2，则该函数的线性近似阈值是3-2，故选：B．先阅读理解定义，再利用重要不等式求最值即可得解．本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属中档题．13.【答案】15【解析】解：∵展开式的通项为=C6r x12-3r要求常数项，只要令12-3r=0可得r=4T5=C64=15故答案为：15要求常数项，只要在展开式的通项=C6r x12-3r中，令12-3r=0可求r，然后代入可求本题主要考查了二项式的通项的应用，属于基础性试题14.【答案】1.96【解析】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1-p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．判断概率满足的类型，然后求解方差即可．本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．15.【答案】-20【解析】解：函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则：，故：，，…所以：，则：a1+a2+…+a20=1+2-2-3+3+4+…-21-20=-20故答案为：-20．首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．当点P、A、M在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最大值，当点P、A、F在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最小值，分别求出点P1，P2的坐标，即可求出答案．【解答】解：F是抛物线C：y2=8x的焦点，则F（2，0），点A的坐标为（2，6），其准线方程为x=-2，过P作PM垂直于抛物线的准线，则|PF|-|PA|=|PM|-|PA|≤|AM|，故当点P、A、M在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最大值，由，解得x=，y=6，即P1（，6），∵|PF|-|PA|=-（|PA|-|PF|）≥-|AF|，故当点P、A、F在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最小值，由，解得x=2，y=-4，即P2（2，-4），则|P1P2|==，故答案为：．17.【答案】解：（1）向量，，所以=2-sin（2x+）-2sin2x=2-sin2x cos-cos2x sin-2（）═1-sin2x+cos2x=cos（2x+）+1，令2kπ-π≤2x+≤2kπ，解得kπ-≤x≤kπ-，所以函数f（x）的单调增区间为：[kπ-，kπ-]，k∈Z；（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为＜B+＜，所以B+=，即B=，因为b=1，c=，由余弦定理得；1=a2+3-2a×cos，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2；经验证，a=1或a=2都满足题意．【解析】（1）利用平面向量数量积公式求得f（x）的解析式，再求f（x）的单调增区间；（2）由题意求得B的值，再利用余弦定理求得a的值．本题考查了平面向量数量积应用问题，也考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）小王的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为：P1（10）=0.2，P1（30）=0.3，P1（50）=0.5．小李的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟、70分钟、90分钟的概率为：P2（10）=0.3，P2（30）=0.5，P2（50）=0.2×0.2=0.04．P2（70）=0.2×0.3=0.06，P2（90）=0.2×0.5=0.1，∴小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率P=0.2×0.5=0.1（6分）（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90（单位：分钟），（）．【解析】（1）小王候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为P1（10）=0.2，P1（30）=0.3，P1（50）=0.5；小李的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为P2（10）=0.3，P2（30）=0.5，P2（50）=0.2×0.2=0.04，由此能求出甲、乙两人候车时间相等的概率．（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵AB=2CD，O是线段AB的中点，∴OB=CD，又∵OB∥CD，∴四边形OBCD为平行四边形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜边上的中点，∴EO⊥AB，∵EO∩DO=O，面EOD，∴AB⊥平面EOD，又∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EOD．（Ⅱ）解：∵平面ABE⊥平面ABCD，面ABE面ABCD=AB，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，OD面ABCD，∴EO⊥OD，∴OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵△EAB为等腰直角三角形，且CD=BC=1，∴OA=OB=OD=OE=1，∴O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），∴=（-1，0，0），=（0，-1，1），设平面ECD的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∵OD⊥平面ABE，∴是平面ABE的一个法向量，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，∴平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为45°．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力、数形结合思想，属于中档题．（Ⅰ）推导出四边形OBCD为平行四边形，AB⊥OD，EO⊥AB，从而AB⊥平面EOD，由此能证明平面ABE⊥平面EOD．（Ⅱ）以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．20.【答案】解：（1）由对称性可知四边形A1CA2D为平行四边形，且当CD与x轴垂直时，四边形A1CA2D的面积取得最大值，∴=2，又2a=2，故a=，c=1，∴b==1，∴椭圆方程为+y2=1；（2）联立方程组，消去y得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，∴△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）＞0，即m2＜2k2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，①∵F1（-1，0），F2（1，0），故k1==，k2==，∴k1+k2=+=0，即2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，∴2k•+（m-k）•（-）-2m=0，化简得：m=-2k．∴直线l的方程为y=kx-2k=k（x-2），∴直线l过定点（2，0）；②∵直线l的斜率是直线OA、OB斜率的等比中项，∴k2=k OA k OB，即=k2，∴=k2，∴km（x1+x2）+m2=0，即m2-=0，∵m≠0，∴k2=，代入m2＜2k2+1可得m2＜2，∵|AB|==•=•．点O到直线AB的距离d==，∴S△AOB=|AB|•d==．∵0＜m2＜2，∴0＜S△AOB≤，故△OAB面积的取值范围为.【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆性质，弦长公式等内容，属于较难题．（1）根据条件列方程组，求出a，b，c即可得出椭圆方程；（2）①联立方程组，根据根与系数的关系和k1+k2=0得出k，m的关系，从而得出直线l的定点坐标；②根据根与系数的关系和等比中项列方程，得出k的值，代入判别式得出m的范围，求出弦长和O带直线AB的距离，得出三角形的面积关于m的函数，从而得出面积的范围．21.【答案】解：（1）f′（x）=．令h（x）=1--ln x，则h′（x）=-=，x＞0，所以0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，又h（1）=0，所以h（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）单调递减．（2）g′（x）=a x ln a+ax a-1=a（a x-1ln a+x a-1），当0＜a≤时，ln a≤-1，所以a x-1ln a+x a-1≤x a-1-a x-1．由（1）得＜，所以（a-1）ln x＜（x-1）ln a，即x a-1＜a x-1，所以g′（x）＜0，g（x）在（a，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）=a+1＞1．当＜a＜1时，-1＜ln a＜0．令t（x）=a x-x ln a-1，0＜a＜x＜1，则t′（x）=a x ln a-ln a=（a x-1）ln a＞0，所以t（x）在（0，1）上单调递增，即t（x）＞t（0）=0，所以a x＞x ln a+1．所以g（x）=a x+x a＞x a+x ln a+1=x（x a-1+ln a）+1＞x（1+ln a）+1＞1．综上，g（x）＞1．【解析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而证明结论．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．22.【答案】解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=6，化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ-6=0，将代入ρcosθ+ρsinθ=1可得直线l的方程为x+y-1=0，故直线l的参数方程为（t为参数）；（2）P的极坐标为（1，），在直线l上，设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得，则：，，∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=.【解析】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：（1）∵x+|x-a|≥x-x+a=a，∴不等式x+|x-a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a=1，f（x）=x+|x-1|=，图象如下：【解析】（1）不等式x+|x-a|≥1的解集为R等价于a≥1；（2）分段画图．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

四川省雅安市2018届高三数学下学期三诊试题 理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚数是（ ） A ．425-B ．425i -C ．425D ．425i 2.已知集合{}12A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤< 3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4.若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．155.已知1)nx展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)n x的展开式中2x 的系数（ ）A ．448B ．560C ．7D ．356.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7.已知函数3()7sin f x x x x =--+，若2()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,3)-∞C ．(1,2)-D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A ．6364 B ．12764 C ．127128 D ．2551289.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D10.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC -，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π11.已知函数2()22xxf x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．[0,]e C ．(,)e -∞ D ．[0,)e12.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[B ．[C ．11[,]22-D ．[ 二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数())3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为 ．14.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+ ．15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为 ．16.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，若2b c a+=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.18.某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===.（1）求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ；（2）若SB 与平面SDC A SB C --的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点.（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 21.已知函数()1axf x e ax =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA 二、填空题13. 12x π=14. 4.5 16. 3 三、解答题 17. 解答：2711()sin(2)2sin 1cos 22cos 2cos 2262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6x π=+.（Ⅰ）最小正周期：22T ππ==， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; （Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或而()0,A π∈所以3A π=，又因为2a b c =+， 而1cos 6,122AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， 222221()4cos 11122248b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，a ∴=18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y则： 40.168100.25120.158.30.10.250.151x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨++++=⎩，可得0.2,0.3x y ∴==，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.112226142622220299190C C A C A P C A +∴==或2214222202991190C A P C A =-=或11226142622099190C C A A P A +∴==或214220991190A P A =-=， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为99190. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，31221332323333555361(1),(2),(3)101010C C C C C P P P C C C ξξξ∴=========故ξ的分布列为123 1.8101010E ξ∴=⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.19．（1）证明：设SC 中点是E ，连接,BE ME 则12ME //DC ， 12AB//DC ， ABEM 为平行四边形，//AM EB ，EB ⊂平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，//AM ∴平面SBC ，ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ，DB BC ∴==DB BC ∴⊥，⊥SD底面ABCD，SD BC∴⊥，SD DB D=，BC∴⊥底面SBD，BC⊂底面SBC，∴平面SBC⊥平面SDB.（2）SB与平面SDC所成角的正弦值为1SD∴=，建立如图所示的空间直角坐标系(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0) S∴∴平面SAB的法向量1(1,0,1)n=，平面SBC的法向量2(1,1,2)n=，223cos,n n∴<>=.∴二面角CSBA--的余弦值为-20.解答：（1）椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点，且离心率为2∴222b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 即2224,2a b c ===，∴椭圆E 的方程22142x y +=.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而022y m 2=+.所以222222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216GH x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-，故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++， 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1122(,),(,)A x y B x y ，则112299(,),G (,)44GA x y B x y =+=+，由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，12122223y +y =,y y =m 2m 2m ∴++. 1212121222121229999G ()()=(m )(m )4444525172(m 1)()041616(m 2)GA B x x y y y y y y m y y y y ∴∙=+++++++=++++=>+ 0cos ,G GA B >>∴<，又,G GA B 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 21．解：（1）=a-a=a(，当a>0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增，当a=0时，显然无单调区间， 当a<0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增， 综上：当a=0时，无单调区间，a时，减区间为，增区间为(0，) .（2）令a=1，由（1）可知f （x ）的最小值为f(0)=0，f （x ），(当0x =时取得“=”)，令x=n-1， 1n en ->>，所以0121n e e e e -⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 所以(n 1)2!n e n ->，两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3. 选考题：22、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：， 化简得圆的极坐标方程：，由:1x tl yt =-⎧⎨=+⎩得，l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即1)4ρπθ=+.（2）由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ， 直线的参数的标准方程可写成1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入圆得：22(2)(1)222--++=， 化简得：，，.23解:解：（1）当1a =-时，函数()212f x x x =-+-， 则不等式为2126x x -+-≥，① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥； ②当122x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解；③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-， 原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.（2）不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-232a x ≥--，即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立. 而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413a -≤≤或a φ∈.所以a 的取值范围是4[1,]3-.。

四川省雅安市2021届高三数学下学期三诊试题 理一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕z 满足(34)1z i ⋅-=，那么z 的虚数是〔 〕A ．425-B ．425i -C ．425D ．425i {}12A x x =-<<，{B x y ==，那么A B =〔 〕A ．{}10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤< 3.?九章算术?是我国古代数学成就的出色代表作，其中?方田?章计算弧田面积所用的经历公式为：弧田面积12=〔弦×矢+矢2〕.弧田〔如图〕，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦〞指圆弧所对弦长，“23π，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为〔 〕A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，那么目的函数2z x y =+的最大值为〔 〕A ．18B ．17C ．16D ．155.1)nx展开式的各个二项式系数的和为128，那么1)nx的展开式中2x 的系数〔 〕A ．448B ．560C ．7D ．356.某几何体的三视图如下图，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，那么该几何体的体积等于〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．43()7sin f x x x x =--+，假设2()(2)0f a f a +->，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,1)-∞B ．(,3)-∞C ．(1,2)-D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，假如输入8p =，那么输出的S =〔 〕 A ．6364 B ．12764 C ．127128 D ．25512822221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，假设B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．2 D10.A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC-的体积为3，那么球O 的外表积为〔 〕 A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π2()22x x f x xe kx e kx =--+只有一个零点，那么实数k 的取值范围为〔 〕A ．(,]e -∞B ．[0,]eC ．(,)e -∞D ．[0,)eABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动〔如下图〕.假设AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，那么2λμ-的取值范围是〔 〕A ．[B ．[C ．11[,]22-D ．[22- 二、填空题〔本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上〕())3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为 ．{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，那么2201632015tan1a a b b +=+ ．0.70.35y x =+，那么表中空格处y 的值为 ．16.F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ．三、解答题：〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭()x R ∈.〔1〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；〔2〕在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()12f A =，假设2b c a +=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进展广泛的阅读，开学后教师对全年级学生的阅读量进展了问卷调查，得到了如下图的频率分布直方图〔局部已被损毁〕，统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3500人中抽出20人来作进一步调查.〔1〕从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；〔2〕为进一步理解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===. 〔1〕求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ；〔2〕假设SB 与平面SDC 所成角的正弦值为3，求二面角A SB C --的余弦值.E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点，且离心率为2.〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.()1ax f x e ax =--.〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.假设2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C 的圆心坐标为(2,0)X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t=-⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕.〔1〕求圆C 和直线l 的极坐标方程； 〔2〕点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲函数()22f x x a x =++-〔其中a R ∈〕. 〔1〕当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；〔2〕假设关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.雅安市高中2021 级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA 二、填空题13. 12x π=14. 4.5 16. 3 三、解答题 17. 解答：2711()sin(2)2sin 1cos 22cos 2cos 2262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6x π=+.〔Ⅰ〕最小正周期：22T ππ==， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; 〔Ⅱ〕由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或而()0,A π∈所以3A π=，又因为2a b c =+， 而1cos 6,122AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， 222221()4cos 11122248b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，a ∴=18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y那么： 40.168100.25120.158.30.10.250.151x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨++++=⎩，可得0.2,0.3x y ∴==，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.112226142622220299190C C A C A P C A +∴==或2214222202991190C A P C A =-=或11226142622099190C C A A P A +∴==或214220991190A P A =-=， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为99190. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3 故ξ的分布列为123 1.8101010E ξ∴=⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.19．〔1〕证明：设SC 中点是E ，连接,BE ME 那么12ME //DC ， 12AB//DC ， ABEM 为平行四边形，//AMEB ，EB ⊂平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，//AM ∴平面SBC ，ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ，DB BC ∴==DB BC ∴⊥， ⊥SD 底面ABCD ， SD BC ∴⊥，SDDB D =，BC ∴⊥底面SBD ，BC ⊂底面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SDB .〔2〕SB 与平面SDC 所3 1SD ∴=，建立如下图的空间直角坐标系∴平面SAB 的法向量1(1,0,1)n =，平面SBC 的法向量2(1,1,2)n =，223cos ,2n n ∴<>=∴二面角C SB A --的余弦值为3-20.解答：〔1〕椭圆E ：22221(a 0)x y b a b 过点2），且离心率为22∴ 222222b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 即2224,2ab c ，∴椭圆E 的方程22142x y .(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1xmy ，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my ，所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ， 从而022y m 2.所以222222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216GHx =++=++=.22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y ，故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y ，所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1xmy ，设点1122(,),(,)A x y B x y ，那么112299(,),G (,)44GAx y B x y ， 由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my ，12122223y +y =,y y =m 2m 2m ∴++. 0cos ,G GA B >>∴<，又,G GA B 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 21．解：〔1〕=a-a=a(，当a>0时，令>0，解得x>0f 〔x 〕在(0，)上单调递增，当a=0时，显然无单调区间，当a<0时，令>0，解得x>0f 〔x 〕在(0，)上单调递增， 综上：当a=0时，无单调区间，a时，减区间为，增区间为(0，) .〔2〕令a=1，由〔1〕可知f 〔x 〕的最小值为f(0)=0， f 〔x 〕，(当0x =时获得“=〞)，令x=n-1，1n e n ->>， 所以0121n e e e e -⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯，所以(n 1)2!n en ->，两边进展2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3. 选考题： 22、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：，化简得圆的极坐标方程：，由:1x tl y t=-⎧⎨=+⎩得，l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即12sin()4ρπθ=+.〔2〕由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ，直线的参数的标准方程可写成22212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕， 代入圆得：2222(2)(1)222t t --++=， 化简得：，， .23解:解：〔1〕当1a =-时，函数()212f x x x =-+-， 那么不等式为2126x x -+-≥，① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥；②当122x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解； ③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-，原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.〔2〕不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-232a x ≥--， 即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立.而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-，解得413a -≤≤或a φ∈. 所以a 的取值范围是4[1,]3-.。

四川省雅安市2023-2024学年高三三诊数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}ln 1A xy x ==+∣，集合12B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()e,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知复数75i1iz +=+，则z =（ ） A ．6i +B ．6i -C ．16i +D ．16i -3．已知平面向量()()0,1,1,1a b ==-r r ，则向量a r在向量b r 方向上的投影是（ ）A ．-1B ．1C ．D 4．已知如图中程序框图的输出结果为1275，则判断框里可填（ ）A ．51?n <B ．50?n <C ．51?n >D ．50?n >5．在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则8a =（ ） A ．21B ．24C ．27D ．296．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是2121⨯大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有4412种不同的码，假设我们1万年用掉15310⨯个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈） A ．11710万年B ．12010万年C ．12310万年D ．12510万年7．直线:3l y x a =+与曲线sin3y x =相切的一个充分不必要条件为（ ）A ．1a =B ．2πa =-C ．πa =D ．4π3a =8．从0,1,2,3,4五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A ．23B ．59C ．58D ．139．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知点O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．1D O P 平面11A BCB ．MO ⊥平面11A BCC ．异面直线1BC 与AC 所成的角等于60oD ．直线OM 与平面ABCD 所成的角等于45o10．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x ya b +=与双曲线22221x y a b-=的离心率分别为12,e e ，其中0a b >>且双曲线渐近线的斜率绝对值小于12，则下列关系中正确的是（ ）A ．22123e e += B ．212e <<C ．1112e << D 121e e <<11．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，则下列说法中正确的个数是（ ） ①当2ω=时，函数()π2log y f x x =-有且只有一个零点；②当2ω=时，函数()y f x ϕ=+为奇函数，则正数ϕ的最小值为π3；③若函数()y f x =在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数()y f x =在()0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为1325,66⎛⎤⎥⎝⎦.A ．1B ．2C ．3D ．412．若拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线3y =与抛物线C 交于M ，N 两点，4MF =，圆E 为MFN △的外接圆，直线OP 与圆E 相切于点P ，点Q 为圆E 上任意一点，则OP OQ⋅u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,21-C ．63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,9二、填空题13．已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则32x y +的最大值为 .14．已知函数()e cos2e x xaf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，则实数=a . 15．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，3,tan 4AB BC BAC ∠⊥=，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 .16．已知四边形ABCD中，2,AB BC CD DA ====设ABD △与BCD △的面积分别为12,S S ，则2212S S +的最大值为 .三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,2n n n S a S a +==-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令21log n n b a =+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18．跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用跑腿服务的主要目的，随着消费者即时需求和节约时间需求的提升，跑腿经济的发展空间有望逐步扩大，某跑腿服务公司随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下频数分布表：(1)若把年龄在[15,35)内的人称为青年，年龄在[35,55]内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关?(2)从样本中每月使用跑腿服务2～4次且年龄在[35,55]内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[35,45)与[45,55]内的人数分别为X 、Y ，若||X Y ξ=-，求ξ的分布列与数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++附：19．四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，222,AB CD BC E ===为线段PC 的中点，PC CB ⊥.(1)证明：⊥AE 平面PCB ；(2)若2PB =，求二面角A PC D --的余弦值.20．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左右焦点，椭圆的短轴长为2,M 是直线2x =上除()2,0外的任意一点，且直线2MF 的斜率与直线1MF 的斜率之比为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，设直线2,,MA MF MB 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列？并说明理由.21．已知函数()()e cos ,sin 1xf x ax xg x x =-=-.(1)当1a =时，求函数()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域；(2)若关于x 的不等式()()0f x g x +≥在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.22．如图，在极坐标系中，曲线1C 是以()14,0C 为圆心的半圆，曲线2C 是以2π3,2C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆，曲线12,C C 都过极点O .(1)分别写出曲线1C ，曲线2C 的极坐标方程；(2)射线π:04l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线12,C C 分别交于,M N 两点（异于极点O ），求1C MN V 面积的最大值.23．已知()|||3|(R)f x x a x a =-+-∈. (1)若1a =-，解不等式()2f x x ≥；(2)当(0)a t t =>时，()f x 的最小值为3，若正数,m n 满足m n t +=，证明：6.。

一、单选题1.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（）A．B ．0C．D．2. 已知空间两条直线两个平面，给出下面四个命题：①，；②，，；③，；④，，．其中正确的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④3. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是A ．2B．C．D．5.的内角，，所对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ）A．B．C．D．6. 在三棱锥中，，平面经过的中点E ，并且与BC 垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点(为坐标原点)，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．28. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高两丈．问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛等于2700立方寸，一斛粟米卖540钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈=立方寸）（ ）四川省雅安市2022届高三第三次诊断性考试数学（理）试题(1)四川省雅安市2022届高三第三次诊断性考试数学（理）试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题A ．800两B ．1600两C ．2400两D ．3200两9. 已知函数，则（ ）A ．为偶函数B ．是增函数C ．不是周期函数D ．的最小值为10.关于函数下列结论正确的是（ ）A ．图像关于轴对称B ．图像关于原点对称C ．在上单调递增D．恒大于011. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）A．B ．是偶函数C ．关于中心对称D．12.定义在上的函数满足，且.若，则下列说法正确的是（ ）A．为的一个周期B．C ．若，则D ．在上单调递增13. 设是虚数单位，已知是关于的方程的一个根，则________，________．14. 已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是______.15.正项等比数列满足，且，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为____.16. 根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊､逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.（1）根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数；（2）若以图2中年龄在岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，现从该地区年龄在岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为，求的分布列及数学期望；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为43%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.17. 某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：开播天数x12345（单位：天）当天播放量y335910（单位：百万次）(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；(2)假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式：，，.参考数据：x i y i＝110，＝55，＝224，≈10.5.注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.18. 已知数列中，，其前n项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．19. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数在区间上的大致图象.20. 如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=PA，F为PA的中点．(1)求证：DF∥平面PEC；(2)记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求的值．21. 如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点在线段的中点，点为线段的中点．（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．（2）求三棱锥的体积．。

2021年5月2021届四川省雅安市普通高中高三下学期5月三诊考试数学（理）参考答案一.选择题1.A2.C3.D4. B5. C6. C7. C8.B9.C 10. A 11. D12.A二.填空题13.3 14. 15. 3 16.②③④三.解答题17.解：∵是与的等差中项∴=∴∴........................................................3分∵∴∴∴ ....................6分（2）由（1）得...........8分......10分∵数列为单调递增的数列，∴∴. ...........12分18.解：（1）由已知可得，40岁及以下采用乘坐成雅高铁出行的有260=40⨯人············..................................................1分3⨯列联表如表:22·········.......................................................····4分 由列联表中的数据计算可得2K 的观测值()221004030201016.66760405050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，·································6分由于16.66710.828>，故有99.9%的把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”.····························································7分 （2）采用分层抽样的方法，从“岁及以下”的人中抽取人，从“岁以上”的人中抽取人，···································8分的可能取值为:···········································10分故分布列如表:数学期望.·············12分19．解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ， 因为∠PCD ＝90︒，所以PC ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AC ．······························································4分 （Ⅱ）因为底面ABCD 是平行四边形，CD ⊥AC ，所以AB ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ，所以AB ，AC ，AP 两两垂直．如图所示，以点A 为原点，以为x 轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．设，则，又∠DAE ＝60°，则，即，解得． ···································· 8分则，，所以.因为，所以．又，故二面角B-AE-D 的余弦值为．·······················……12分另解：同上，E(0，12，12)．设()1111,,n x y z =是平面BAE 的法向量，解得法向量()10,1,1n =-， 设()2222,,n x y z =是平面DAE 的法向量，解得法向量()21,1,1n =-，126cos ,23n n ==⋅，由图可知，二面角的余弦值为.20.解：（1），·············································1分由题知，则椭圆的标准方程··········································4分（2）（i ）若的斜率不存在，则此时······································.5分（ii ）若的斜率存在，设，设的方程为：，，·······················6分由韦达定理得： (7)分1212123322,44y y k k x x --==--，·················································8分··············································11分所以：为定值1.··············································12分另解：（2）当直线AB 的斜率为0时，12123-4,213,,144A k k k k ⎛⎫⎪⎝⎭==∴+=（2,0），B （2,0），N ，·········5分当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 为：1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y 则：()22221423044x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，···································6分 12122223,44m y y y y m m +=-=-++，·········································7分 则：1212123322,44y y k k x x --==--，··············································8分 2122123611236m k k m ++==+，··················································11分 所以：为定值1.·················································12分21题：解：（1）由题意，ln 1x ax =+，可得a ＝1＋ln xx（x>0），·············1分转化为函数T(x )＝1＋ln xx与直线y ＝a 在(0，＋∞)上有两个不同交点，········2分T ′(x )＝－ln xx 2(x >0)，故当x ∈(0,1)时，T ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，T ′(x )<0，故T (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，·······················4分 所以T(x )max ＝T (1)＝1.又T ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，T(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，T(x )>0. ·······5分可得a ∈(0,1)．························································6分 另解：()()()()ln 10,h x f x g x x ax x =-=-+>令则：()/1h x ax=-，·········1分 ①当0a ≤时，()/0h x >恒成立，()()0+h x ∴∞在，单调递增，不满足题意；······3分 ②当0a >时，()()/0+y h x =∞在，单调递减， ()/0h x =令，则1x a =，当()()//110,,0,,,0,x h x x h x a a ⎛⎫⎛⎫∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110,h x a a ⎛⎫⎛⎫∴+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上单调递增，在上单调递减；()max111ln 0,1,01;h x h a a a a ⎛⎫∴==>∴><< ⎪⎝⎭即····························5分综上：01a <<·······················································6分 (2)证明： h ′(x )＝1x－a ， 因为x 1，x 2是ln x －ax ＋1＝0的两个根，故ln x 1－ax 1＋1＝0，ln x 2－ax 2＋1＝0⇒a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，·················..·8分要证h ′(x 1x 2)<1－a ，只需证x 1x 2>1，即证ln x 1＋ln x 2>0，即证(ax 1－1)＋(ax 2－1)>0， 即只需证明 a >2x 1＋x 2成立，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2.·························9分 不妨设0<x 1<x 2，故ln x 1x 2<2(x 1－x 2)x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1.(*)····························10分令t ＝x 1x 2∈(0,1)，φ(t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，······································11分 φ′(t )＝1t－4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， 则h (t )在(0,1)上单调递增，则φ(t )< φ(1)＝0，故（*）式成立，即要证不等式得证．······································12分 22. 解 ：（1）直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=························2分曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，即22sin cos ρθρθ=， 化为直角坐标方程：2y x =.将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线1C ：22y x =. ··············································5分（2）直线l cos 204πθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，()cos sin 202ρθθ+-=. 可得直角坐标方程：20x y +-=.可得参数方程：22222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. ····························7分 代入曲线1C 的直角坐标方程可得：22280t t +-=. 解得1222t t +=-128t t ⋅=-. ∴12PA PB t t +=-()212124t t t t =+-()()22248210=--⨯-=.·······································10分 23.解：（1）1011x x x ⎧-≥⎪⎨-≤-⎪⎩或1011x x x ⎧-<⎪⎨-≤-⎪⎩解出01x ≤≤或无解, 所以，原不等式的解集为[0，1]····················5分 另解：（1）当1a =时，()()f x g x ≤等价于11x x -≤-，则 0011111111x x x x x x x x x ≤<≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-≤+-≤--≤-⎩⎩⎩或或 ∴0x =或01x <≤或无解综上，原不等式的解集为[0，1]···········································5分（2）当0a =时，()|1|1f x ax =-=，因为0x ≥，所以11x ≥-恒成立，即()()f x g x ≥恒成立，所以0a =满足()()f x g x ≥的解集为R ；而1,0()1||1,0x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，当0a >时，11,()|1|11,ax x a f x ax ax x a⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，当0a <时，11,()|1|11,ax x af x ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，作出(),()f x g x 的图像如上图所示，要使()()f x g x ≥的解集为R ，则需11a≥或11a ≤-，解得10a -≤<或01a <≤；综上可得：a 的取值范围是[1,1]-. ·····································10 分2021年5月2021届四川省雅安市普通高中高三下学期5月三诊考试数学（理）试卷。