2023-2024学年山东省临沂市郯城县高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+【正确答案】C【分析】由分母构成等差数列即可求出.【详解】数列的分母5,7,9,形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为()51223n n +-⨯=+，所以()123nna n -=+.故选：C.2．已知空间向量()1,0,1a = ，()1,1,b n = ，且3a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】A【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出n ，再利用向量夹角公式求出夹角.【详解】103a b n ⋅=++= ，解得2n =，则()1,1,2b =，a ==b = 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅= []0,πθ∈，π6θ∴=，即a 与b的夹角为π6．故选：A ．3．直线0x ky k -+=与圆221x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切【正确答案】A【分析】易得直线过定点()0,1，而定点在圆上，根据直线与圆的位置关系进而得结果.【详解】直线0x ky k -+=，即()10x k y +-=，直线过定点()0,1，而点()0,1在圆上，所以直线与圆相交或者相切，而过点()0,1且与221x y +=相切的直线斜率为0，但直线0x ky k -+=的斜率不可能为0，所以直线0x ky k -+=与圆221x y +=的位置关系是相交，故选：A.4．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）A ．130B ．170C ．210D ．260【正确答案】C【分析】等差数列{}n a 中232,,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，据此可解答﹒【详解】由于等差数列{}n a 中232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，即330,70,100m S -成等差数列，∴33100110,210m m S S -=∴=﹒故选：C ．5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 在OA 上，满足2OE EA = ，点F 为BC 的中点，则EF =（）A ．121232OA OB OC -+- B ．211322OA OB OC --C ．111222OA OB OC--+D ．211322OA OB OC-++【正确答案】D【分析】由2OE EA = 得23OE OA =，结合中点公式可得1122OF OB OC =+ ，由线性运算EF OF OE =-即可求解.【详解】由2OE EA = 得23OE OA = ；由点F 为线段BC 的中点得1122OF OB OC =+ ，∴112211223322EF OF OE OB OC OA OA OB OC =-=+-=-++ ，故选：D6．已知点P 在圆2220x x y -+=上运动，点Q 在直线10x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A 1BC 1D ．【正确答案】A【分析】将PQ 的最小值问题，转化为圆心到直线距离的最小值减去圆的半径，利用点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】点P 在圆22(1)1x y -+=上，点Q 在直线10x y -+=上，故PQ 的最小值可以转化为圆心到直线10x y -+=的距离减去半径，又圆2220x x y -+=的圆心为()1,0，半径为1，则min 11PQ ==-.故选.A7．已知P 是抛物线24y x =上的一动点，F 是抛物线的焦点，点(3,1)A ，则||||PA PF +的最小值为（）A ．3B ．C ．4D ．【正确答案】C【分析】过P 作PM 垂直准线，M 为垂足，则有||||PM PF =，则可转化||||||||PA PF PA PM +=+，分析即得解【详解】过P 作PM 垂直准线，M 为垂足，||||PM PF =，所以||||||4PA PF AM +≥≥（当且仅当,,M N A 纵坐标相等时取等号）故选：C8．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，12,F F 分别是左右焦点，P 是直线32x a =上的一点，且12F F P 是顶角为120 的等腰三角形，则椭圆离心率为（）A ．34B ．23C ．2D ．12【正确答案】A【分析】利用12120F F P ∠= ，1222F F F P c ==可求得P y =，利用12tan tan 30PF F ∠=可得关于,a c 的齐次方程，由此可推导得到离心率.【详解】12F F P △是顶角为120 的等腰三角形，由题意可知：12120F F P ∠=，1222F F F P c ==，2sin 60P y PF ∴==，又1230PF F ∠=，tan 302a c ∴=+ ，整理可得：43c a =，34c e a ∴==.故选：A.二、多选题9．已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F O 为坐标原点，点()00,M x y 在抛物线C 上，若5MF =，则（）A ．F 的坐标为()1,0B ．04y =C．OM =D ．以MF 为直径的圆与x 轴相切【正确答案】BCD【分析】由抛物线的方程求出焦点F 的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得0y 的值，可判断B 选项；先根据抛物线的方程求0x 的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；求出MF 的中点坐标，进而可得该点到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项.【详解】对于抛物线2:4C x y =，可得2,12pp ==，且焦点在y 轴正半轴上，则点()0,1,A F 错误；由拋物线的定义可得015MF y =+=，可得04,B y =正确；由04y =可知，2016x =，可得04,x OM =±==C 正确；∵MF 的中点坐标为52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭到y 轴的距离5122d MF ==，∴以MF 为直径的圆与x 轴相切，D 正确.故选：BCD.10．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，,A D ，,C B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，3,4,1AB BG FC BC ====，下列说法正确的是（）A ．该几何体是四棱台B ．10AC AF ⋅= C ．EG HC⊥D ．平面EFGH 与平面ABCD 的夹角为45 【正确答案】BD【分析】四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，其他四个面均为矩形,可知：//////HG EF DC AB ，且四直线相等，故这是一个以平面ADEH 和平面BCFG 是底面的直四棱柱，又过D 的三条棱两两垂直，可以建立空间直角坐标系易得答案.【详解】因为四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，,,,A D C B 为直角顶点，其他四个面均为矩形可知：//////HG EF DC AB ，且四直线相等，所以这个六面体是四棱柱，平面ADEH 和平面BCFG 是底面，故A 错误；由题意可知,,DA DC DE 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1,0,0,0,0,4,1,3,3,0,3,0,1,0,3,0,3,4,1,3,1A E G C H F EG =-()()(),1,3,3,1,3,0,1,3,4CH AC AF =-=-=- ，故10AC AF ⋅=.故B 正确；193110EG CH =--=-≠⋅，所以,EG HC 不垂直，故C 错误；根据题意可知DE ⊥平面ABCD ，所以()0,0,4DE =为平面ABCD 的一个法向量，()()1,0,1,0,3,0EH HG =-=，设(),,n x y z = 为平面EFGH 的法向量，则有0,30,n EH x z n HG y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩则可取()1,0,1n = ，则cos ,2n DE n DE n DE ⋅=⋅，所以平面EFGH 与平面ABCD 的夹角为45 ，故D 正确.故选：BD.11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,...称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,...称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A ．621a =B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．1231111 (1)n na a a a n ++++=+D ．*,2m m ∀∈≥N ，总存在*,p q ∈N ，使得m p qb a a =+成立【正确答案】ABD【分析】利用等差数列求和，分别求出{}n a ，{}n b ，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】三角形数构成数列{}:1,12,123,1234,...n a ++++++，易得()112 (2)n n n a n +=+++=；正方形数构成数列{}:1,13,135n b +++，1357,...+++，易得()212113 (212)n n n n n b +-=+++-=；对于A ：621a =，故A 正确；对于B ：令212252n n na +==，解得49n =；令21225n b n ==，解得35n =.故B 正确；对于C ：∵()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴123111112 (2111)n n a a a a n n ⎛⎫++++=-= ⎪++⎝⎭，故C 错误；对于D ：取,1p m q m ==-，且*,2m m ∈≥N ，则()()21122m m m m m +-=+，即1m m m b a a -=+，故*,2m m ∀∈≥N ，总存在*,p q ∈N ，使得m p q b a a =+成立，故D 正确.故选：ABD.12．若π02b a <<<，则（）A ．11e 2e 2e ebaa b a b ++>++B ．e e e e a b b a b a ->-C ．sin sin a b b b a a +<+D ．sin cos sin b a a>【正确答案】BC【分析】分别构造1()e 2e xx f x x =--、()ln(1)f x x x =-+、sin 1()x f x x-=，利用导数研究它们在π02x <<上的单调性比较(),()f a f b 大小即可，应用特殊值法判断D.【详解】A ：令1()e 2e xxf x x =--且π02x <<，则1()e 220e x x f x '=+-≥=，仅当0x =时等号成立，故导函数恒大于0，故()f x 在定义域上递增，则()()f a f b >，即11e 2e 2e e bab ab a --<--，所以11e 2e 2e e baa ba b ++<++，错误；B ：令()ln(1)f x x x =-+且π02x <<，则1()101f x x '=->+，故()f x 在定义域上递增，则()()f a f b >，即ln(1)ln(1)a a b b -+>-+，所以()()11a blne b lne a +>+，则(1)e )e (1a b b a >++，即e e e e a b b a b a ->-，正确；C ：令sin 1()x f x x -=且π02x <<，则2cos sin 1()0x x x f x x -+'=>，故()f x 在定义域上递增，则()()f a f b >，即sin 1sin 1a b a b-->，所以(sin 1)(sin 1)b a a b ->-，则sin sin a b b b a a +<+，正确；D ：当ππ,63b a ==时，1sin cos sin 4b a a =<=，错误.故选：BC关键点点睛：根据不等式构造函数，应用导数研究单调性，进而比较大小关系.三、填空题13．已知()2,1,3=- a ，()1,2,3b =- ，()7,6,c λ= ，若a ，b ，c三向量共面，则λ等于_________．【正确答案】9-【分析】由a ，b ，c共面，设c ma nb =+ ，列方程组即可求出λ的值．【详解】∵a ，b ，c共面，∴设c ma nb =+（,m n 为实数），即(7,6,)(2,1,3)(1,2,3)m n λ=-+-，∴272633m n m n m n λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得4,1,9m n λ===-．故9-．14．若圆222:2440A x y y a a +---=与圆222:440B x y x a a +---=有且只有一条公切线，则实数a 的值是_________．【正确答案】1+1--【分析】根据题意知两圆内切，得AB R r =-，分类讨论求解即可．【详解】圆222:2440A x y y a a +---=，即()222(1)21x y a =+-+，则圆心(0,1)A ，半径21R a =+，12a ≠-．圆222:440B x y x a a +---=，即()222(2)2y x a -++=，则圆心(2,0)B ，半径2r a =+，2a ≠-．由于两圆有且只有一条公切线，所以两圆内切，所以AB R r =-221a a =+-+，当2a <-()()221a a =-+++，即1a -+=1a =当122a -<<-()()221a a =--++，即33a --=1a =--或1a =-+(舍)；当12a >-()()221a a =+-+，即1a -=，解得1a =+1a =-(舍)，综上，1a =13a =--．故1或13--．15．已知数列1-，1a ，2a ，3a ，4-成等差数列，数列1-，1b ，2b ，3b ，4-成等比数列，则122a ab -=_________．【正确答案】38##0.375【分析】根据题意，求出数列的公差d ，得到21a a -，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得2b ，从而得解.【详解】由1-，1a ，2a ，3a ，4-成等差数列，可得公差4(1)3514d ---==--，所以2134a a -=-，又由1-，1b ，2b ，3b ，4-成等比数列，可得221(4)4b =-⨯-=，设等比数列的公比为q ，可得2210b q =-⨯<，所以22b =-，所以21238a ab -=.故答案为.3816．已知抛物线26x y =的弦AB 的中点的纵坐标为4，则AB 的最大值为_________．【正确答案】11【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由A B 中点的纵坐标为4，知128y y +=，结合抛物线定义及三点共线，可得弦AB 过焦点时，AB 取最大值，结合123AB y y =++即可得到答案．【详解】抛物线方程为26x y =，焦点3(0,)2F ，准线为3:2l y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点的纵坐标为4，128y y ∴+=，作1AA l ⊥，1BB l ⊥，垂足为1A ，1B ，连接AF ，BF ，则1123AF AA y ==+，1223BF BB y ==+，而AB AF BF ≤+，当弦AB 过焦点F 时取等号，即1238311AB AF BF y y ≤+=++=+=，故当弦AB 过焦点时，AB 取最大值11．故11．四、解答题17．设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值-1.(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的单调区间.【正确答案】(1)1,3a b ==-(2)()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-.【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出1,3a b ==-；（2）结合第一问得到单调区间.【详解】（1）2()3f x ax b '=+，由题意得：(1)30f a b '=+=，(1)11f a b =++=-，解得：1,3a b ==-，此时()()2()33311f x x x x '=-=+-，当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故1x =为极值点，满足题意，所以1,3a b ==-.（2）由（1）可知：当11x -<<时，()0f x '<，当1x <-或1x >时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调递减区间为()1,1-18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)78-．【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =目()12n n nS n S +=+，n *∈N (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()24141nnn a b n n *=-∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n =，n *∈N .(2)11221112121n n k n T n k n ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪--=-⎪-⎩，，其中k *∈N .【分析】对于（1），先由()12n n nS n S +=+可得n S 表达式，再由1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，其中n *∈N .可得{}n a 的通项公式；对于（2），由（1）可得n a n =，则()()()22411414111412121nn n n n a b n n n n n ⎛⎫=+ ⎪-=-=----+⎝⎭，据此可得数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）由题111S a ==，又由()12n n nS n S +=+，n *∈N .可得12n n S n S n++=，n *∈N .故()312112211341112212n n n n n n n S S S Sn n S S S S S S n n ---++=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=--.则当2n ≥，n *∈N 时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.又1n =时，11a =，故数列{}n a 的通项公式是n a n =，n *∈N .（2）由（1）可知n a n =，n *∈N ，则()()()22411414111412121nn n n n a b n n n n n ⎛⎫=+ ⎪-=-=----+⎝⎭.则当n 为偶数时，12321n n n nT b b b b b b --=++++++11111111111133557252323212121n n n n n n =--++--+++--++-----+1121n =-++.当n 为奇数时，1111111123212321n n n T T b n n n n ++=-=-+--=--++++.综上：11221112121n n k n T n k n ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪--=-⎪-⎩，，其中N k *∈.20．如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点.（I ）求证：SD //平面ACE ；（II ）若平面ABS ⊥平面ABCD ，120ABC ∠=︒，求直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【正确答案】（I ）证明见解析；（II 【分析】（I ）连接BD 交AC 于点F ，再连接EF ，利用EF 是三角形DBS 的中位线，判断出DS 平行EF ，再利用线面平行的判定得证;（II ）取AB 的中点为O ，利用已知条件证明DO 、SO 、BO 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC 的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC 与平面ADS 所成角的正弦值.【详解】（I ）证明：连接BD 角AC 于点F ，再连接EF.因为四边形ABCD 是菱形，所以点F 是BD 的中点，又因为点E 是BS 的中点，所以EF 是三角形DBS 的中位线，所以DS 平行EF ，又因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE 所以SD //平面ACE（II ）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠= 又AB=AD ，所以三角形ABD 为正三角形.取AB 的中点O ，连接SO ，则DO ⊥AB 因为平面ABS ⊥平面ABCD ，平面ABS平面ABCD =AB所以DO ⊥平面ABS ，又因为三角形ABS 为正三角形则以O 为坐标原点建立坐标系设AB=2a ，则(0,,0),,0,0),),(0,2)A a S D C a -(0,),,,0),(0,3)AD a AS a AC a ===设平面ADS 的一个法向量为(,,)n x y z =则0000y AD n AS n y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩ 取x=1，则1y z ==所以(1,n =r设直线AC 与平面ADS 所成角为θ则sin cos ,5AC n AC n AC nθ⋅===⋅本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.21．已知()()2,0,1,0M N --，动点Q满足QM QN=Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 是直线122y x =-上的动点，过点P 作曲线C 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，则直线CD 是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【正确答案】(1)222x y +=(2)过定点，定点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）点点距离，列等量，化简即可求解轨迹方程，（2）根据四点共圆得方程，进而根据两圆方程得相交弦方程，进而可求定点.【详解】（1）设点(),Q x y，依题意知QM QN =222x y +=，∴曲线C 的方程为222x y +=.（2）设O 为坐标原点，由题意可知：,,,O P C D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上（对角互补的四边形的四顶点共圆），设该圆为圆A ,设1,22P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则圆心,124t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭A 的方程为：2222112444t t t t x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即221202x tx y t y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，又,C D 在圆22:2O x y +=上，1:2202CD l tx t y ⎛⎫∴+--= ⎪⎝⎭即2202y x t y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，（直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程）.由02220y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线CD 过定点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭..22．已知双曲线222:1(0)y E x b b-=>1y kx =+与曲线E 的左支相交于相异两点,A B .(1)求k 的取值范围；(2)O 为坐标原点，若双曲线上存在点P ，使()OP OA OB λ=+ （其中1143λ≤≤），求ABP 的面积的取值范围.【正确答案】(1)⎝⎭；(2)⎣⎦.【分析】（1）根据已知可得双曲线方程为2221x y -=.联立直线与双曲线的方程可得()2212430k xkx ---=，根据题意可判断方程有两个不相等的负数根，由韦达定理以及两根的符号，即可求出k 的取值范围；（2）由()OP OA OB λ=+ 可得到2242,1212kP k kλλ⎛⎫⎪--⎝⎭，代入双曲线即可得到,k λ的关系.然后表示出弦长以及P 到直线AB 的距离，可表示出ABP的面积8ABPS=12t λ=-换元可得8ABPS=对()8f t =()8f t =[]1,2上单调递增，即可求出最值.【详解】（1）因为双曲线2221y x b-=，所以212b =，故双曲线方程为2221x y -=.联立22211x y y kx ⎧-=⎨=+⎩消去y 整理得()2212430k x kx ---=，因为直线1y kx =+与曲线E 的左支相交于相异两点,A B ，所以该方程有两个不相等的负数根，设()()1122,,,A x y B x y .()()()222122122120Δ44123040123012k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=--⨯-⨯->⎪⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩，解得2k <<∴实数k的取值范围是22⎛ ⎝⎭.（2）设()00,P x y ，由()OP OA OB λ=+得.()()()112200,,,x y x y x y λλ+=所以()012x x x λ=+，()()012122y y y k x x λλλ=+=++，故02412k x k λ=-，02212y k λ=-，2242,1212kP k k λλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭.点P 在双曲线E 上，()()222222216811212k k k λλ∴-=--，整理得()()222282121k k λ-=-，因为，2210k -≠，所以22821k λ=-，即22281k λ=+.AB ∴=2=又点P 到直线:1AB y kx =+的距离为d==12ABPSAB d ∴=⋅⋅=122⨯=由于22281k λ=+，88ABPS∴====1143λ≤≤，134λ∴≤≤，令12tλ=-，则[]1,2t∈，8ABPS=令()f t=[]1,2t∈.[]12,1,2t t∀∈，且设12t t<，则()()128f ft t-=⋅338=()()2222121212121248t t t t t t t t t t⎡⎤-+++++=因为[]12,1,2t t∈，12t t<，所以12t t-<，所以有()()12f t f t-<，所以()()12<f t f t，所以，()8f t=[]1,2上单调递增，所以，当1t=时，()f t有最小值()881f=；当2t=时，()f t有最大值()2f==故ABPS∈⎣⎦.。
