2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(2月份)

2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．（5分）i 是虚数单位，x ，y 是实数，x +i ＝（2+i ）（y +yi ），则x ＝（ ） A ．3B ．1C ．−12D ．133．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P （﹣3，4），则sin2α＝（ ） A ．−2425B ．−725C ．1625D ．854．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA →=−2FB →，则|AB |＝（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）为计算S ＝1+23+32+43+52+…+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入（ ）A ．i ≤101和N ＝N +（i +1）3B ．i ＜99和N ＝N +（i +1）2C ．i ≤99和N ＝N +（i +1）2D ．i ＜101和N ＝N +（i +1）37．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ） A ．f （x ）＝xlnx B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣xC ．f （x ）＝sin2xD ．f （x ）＝x 3﹣x8．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE →⋅AB →=（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．4D ．99．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．√105C ．√155D ．√6310．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2+√2C ．2D ．√2+√211．（5分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数f '（x ），当x ≥0时，恒有x 3f′(x)+f(x)＞0，则不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}B ．{x|−1＜x ＜−13}C ．{x |x ＜﹣3或x ＞﹣1}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞−13}12．（5分）如图，正三棱锥S ﹣ABC 中，侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角等于α，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，PQ ＝PS •sin α，则动点P 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆C ．一段圆弧D ．一段抛物线二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）若a =∫ ln3e x dx ，则(x 2−ax )6）展开式的常数项为 ．14．（3分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种（用数字回答）．15．（3分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4．若f （x ）＜1在区间（m ﹣1，﹣2m ）上恒成立．则实数m 的取值范围是 ．16．（3分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为 ．三．解答题（共5小题，满分24分）17．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，2S n +1＝S n +2．（1）求{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ={34a n b n ，n 为奇数1a n2，n 为偶数，证明：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜136．18．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA ＝AB ＝AC ． （Ⅰ）求证：DA ∥平面EBC ；（Ⅱ）若∠BAC =π2，DE ⊥平面BCE ，求二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值．19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]合计频数2184811162100（1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据，①绘制两条生产线合格率的等高条形图（图2）；②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关？若有97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计合格品 不合格品 合计附： P （K 2≥k 0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．20．已知函数f(x)=x 2−2ax −ln 1x，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值． 21．已知动圆C 与圆C 1：(x −2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12x 的对称点在曲线E 上．四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l 的参数方程是{x =1−t y =2t ，（t 为参数）．（Ⅰ）求椭圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 的交点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），求线段MN 的长度． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|．（1）若不等式f （x ）＝x +m 有解，求实数m 的取值范围：（2）函数f （x ）的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝n ，证明：4ab +bc +ac ≥8abc ．2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）i 是虚数单位，x ，y 是实数，x +i ＝（2+i ）（y +yi ），则x ＝（ ） A ．3B ．1C ．−12D ．13【解答】解：（2+i ）（y +yi ）＝y +3yi ， 所以3y ＝1，x ＝y =13， 故选：D ．3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P （﹣3，4），则sin2α＝（ ） A ．−2425B ．−725C ．1625D ．85【解答】解：∵终边上点P （﹣3，4），∴sin α=45，cos α=−35， ∴sin2α=2sinαcosα=2×45×(−35)=−2425． 故选：A ．4．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【解答】解：A 选项中高于200的只有三天，错误； B 选项中重度污染及以上的天数占320，错误；C 选项4号到15号空气污染越来越严重，错误；对于D 选项，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确． 故选：D ．5．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA →=−2FB →，则|AB |＝（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0）和准线l ：x ＝﹣1， 设A （﹣1，a ），B （m ，n ），∵FA →=−2FB →，可得|F A |：|AB |＝2：3，|FD |：|BC |＝2：3，|BC |＝3， ∴m ＝2，n 2＝4×2，n ＝2√2，a ＝﹣4√2，AB =√32+(6√2)2=9， 故选：C ．6．（5分）为计算S＝1+23+32+43+52+…+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入（）A．i≤101和N＝N+（i+1）3B．i＜99和N＝N+（i+1）2C．i≤99和N＝N+（i+1）2D．i＜101和N＝N+（i+1）3【解答】解：程序框图为计算S＝1+23+32+43+52+…+992+1003，则终止程序运行的i值为101，∴判断框处应为i＜101，又知偶数列加的是立方和，所以应填N＝N+（i+1）3，故选：D．7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A．f（x）＝xlnx B．f（x）＝e x﹣e﹣xC．f（x）＝sin2x D．f（x）＝x3﹣x【解答】解：对于A，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于B ，f （x ）＝﹣f （x ）奇函数，且f ′（x ）＝e x +e ﹣x ＞0，即在（0，1）上是增函数；对于C ，f （x ）＝﹣f （x ） 奇函数，正弦函数sin2x 周期为π，易知在（0，1）上先增后减；对于D ，f （x ）＝﹣f （x ） 奇函数，易知f （x ）在（0，1）上先减后增； 故选：B ．8．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE →⋅AB →=（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．4D ．9【解答】解：如图，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，∴BE →⋅AB →=(BD →+DE →)⋅AB →=(−23AB →+13DC →)⋅AB →=[−23AB →+13(DA →+AC →)]⋅AB →=[−23AB →+13(−13AB →+AC →)]⋅AB →=(−79AB →+13AC →)⋅AB →=−79AB →2+13AB →⋅AC →=−79×9+13×3×2×12＝﹣6． 故选：B ．9．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．√105C ．√155D ．√63【解答】解：如图，∵∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝BB 1＝1，∠B 1BC ＝∠B 1BA ＝90°，∴AB 1→⋅BC 1→=(−BA →+BB 1→)⋅(BC →+BB 1→) =−BA →⋅BC →−BA →⋅BB 1→+BB 1→⋅BC →+BB 1→2=−2×1×(−12)+1 ＝2，又|AB 1→|=√5，|BC 1→|=√2， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→||BC 1→|=10， ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为√155． 故选：C ．10．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2+√2C ．2D ．√2+√2【解答】解：以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2， 联立双曲线的方程b 2x 2﹣a 2y 2＝a 2b 2，可得x 2=a 2(c 2+b 2)c 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，可得x 2＝y 2=12c 2， 即有c 4﹣4a 2c 2+2a 4＝0， 由e =ca ，可得e 4﹣4e 2+2＝0， 解得e 2＝2+√2（2−√2舍去）， 则e =√2+√2．故选：D ．11．（5分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数f '（x ），当x ≥0时，恒有x3f′(x)+f(x)＞0，则不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}B ．{x|−1＜x ＜−13}C ．{x |x ＜﹣3或x ＞﹣1}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞−13}【解答】解：根据题意，不妨设g （x ）＝x 3f （x ）， 则当x ≥0时，g ′(x)=3x 2[f(x)+x 3f′(x)]≥0， 则g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又g （x ）＝x 3f （x ）为偶函数， 则g （x ）＝g （|x |），x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0⇔x 3f （x ）＜（1+2x ）3f （1+2x ），即g （x ）＜g （1+2x ）， 可知g （|x |）＜g （|1+2x |），则|x |＜|1+2x |，解得：x ＜﹣1或x ＞−13，所以不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为：{x|x ＜−1或x ＞−13}， 故选：D ．12．（5分）如图，正三棱锥S ﹣ABC 中，侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角等于α，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，PQ ＝PS •sin α，则动点P 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆C ．一段圆弧D ．一段抛物线【解答】解：如图：过点P 作AB 的垂线段PR ，连接RQ ，则RQ 是PR 在面ABC 内的射影，由三垂线定理得逆定理得，QR ⊥AB ，∠PRQ 为侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角α，直角三角形PRQ 中，sin α=PQPR ，又已知 PQ ＝PS •sin α，∴sinα=PQPS，∴PQPR=PQPS，∴PS＝PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，根据抛物线的定义，点P在以点S为焦点，以AB为准线的抛物线上．又点P在侧面SAB内，故点P的轨迹为一段抛物线，故选：D．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）若a=∫ln3e x dx，则(x2−a x)6）展开式的常数项为240．【解答】解：若a=∫ln3e x dx=e x|0ln3=e ln3﹣e0＝2，则(x2−a x)6=(x2−2x)6，它的展开式通项公式为T r+1=C6r•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为C64•16＝240，故答案为：240．14．（3分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有135种（用数字回答）．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况，②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，A不坐自己的位置，有3种坐法，假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，剩下C、D，只有一种坐法，则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况，故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种；故答案为：135．15．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣4x﹣4．若f（x）＜1在区间（m﹣1，﹣2m）上恒成立．则实数m的取值范围是[0，13）．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣4x﹣4，所以f（x）＜1⇔x2﹣4x﹣5＜0⇔﹣1＜x＜5，即解集为（﹣1，5）．因为f（x）＜1在区间（m﹣1，﹣2m）上恒成立，所以（m﹣1，﹣2m）⊆（﹣1，5），所以﹣1≤m﹣1＜﹣2m≤5，且两个等号不同时成立，所以0≤m＜1 3，故答案为：[0，13 )．16．（3分）在△ABC中，角A的平分线交BC于D，BD＝3，CD＝2，则△ABC面积的最大值为15．【解答】解：如图，由角平分线可得：ABBD =ACDC，即AB3=AC2，设AB＝3x，AC＝2x，则cosA=9x2+4x2−2512x2=13x2−2512x2，则有sinA=√1−(13x2−2512x2)2=512x2√−x4+26x2−25，∴S△ABC=12AB•AC•sin A=12⋅3x⋅2x⋅512x2•√−x4+26x2−25 =54√−x4+26x2−25=54√−(x2−13)2+144≤15，当x＝13时，取得最大值15．故答案为：15．三．解答题（共5小题，满分24分）17．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，2S n +1＝S n +2．（1）求{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ={34a n b n ，n 为奇数1a n2，n 为偶数，证明：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜136．【解答】解：（1）（基本量法求等差等比通项）等差数列{a n }的公差设为d ， a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，可得a 1+d ＝2a 1，2a 1+7d ＝9，解得a 1＝d ＝1， 可得a n ＝n ；由2S n +1＝S n +2得2S n ＝S n ﹣1+2，n ≥2， 两式相减整理得2b n +1＝b n ，可得公比q =12， 由2（b 1+12b 1）＝b 1+2，解得b 1＝1，∴b n =12n−1；（2）证法1：（应用放缩和错位相减求和证明不等式）c n ={34a n b n ，n 为奇数1a n 2，n 为偶数=={34n ⋅12n−1，n 为奇数1n 2，n 为偶数， ∁n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，A k ＝c 1+c 3+…+c 2k ﹣1，B k ＝c 2+c 4+…+c 2k ， A k =34（14+34+⋯+2k−14），14A k =34（14+34+⋯+2k−14），两式相减整理得34A k =34（1+12+18+⋯+122k−3−2k−14k ）=34（1+12(1−14k−1)1−14−2k−14k ）， 可得A k =53−(2k +53)14k ＜106， 又因为（2k ）2＞（2k ﹣1）（2k +1），∴B k =122+142+⋯+1(2k)2＜12(11−13+13−15+⋯12k−1−12k+1)＜12=36． 所以B k =122+142+⋯+1(2k)2＜36，∴C n =A k +B k ＜106+36=136． 证法2：（应用放缩和裂项求和证明不等式） 令d n =(an +b)14n−1，2n−14=d n+1−d n 化简整理得：d n =(−83n +49)14n−1，∴A k=d k+1−d 1=53−(2k +53)14k ＜106，T n =112+122+132+⋯+12＜1+11×2+12×3+⋯1(n−1)×n =2−1n ＜2，122T n =122+14+⋯+1(2n)＜12−14n＜12，所以B k =122+142+⋯+1(2k)2＜36，∴C n =A k +B k ＜106+36=136． 18．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA ＝AB ＝AC ． （Ⅰ）求证：DA ∥平面EBC ；（Ⅱ）若∠BAC =π2，DE ⊥平面BCE ，求二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，∵平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE ⊥平面ABC ＝BC ，EH ⊂平面BCE ， ∴EH ⊥平面ABC ，又∵DA ⊥平面ABC ，∴AD ∥EH ， ∵EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ， ∴DA ∥平面EBC ；（Ⅱ）∵DE ⊥平面BEC ，∴∠DEB ＝∠DEC =π2，又∵DB ＝DC ，DE ＝DE ，∴△DEB ≌△DEC ，则BE ＝CE ， ∴点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH ⊥BC ， ∴AH ⊥平面EBC ，则DE ∥AH ，AH ⊥EH ． ∴四边形DAHE 是矩形．以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设DA ＝2a ，则E （a ，a ，2a ），C （2a ，0，0），D （0，0，2a ）， 设平面DEC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， ∵DE →=(a ，a ，0)，DC →=(2a ，0，−2a)．由{n →⋅DE →=ax +ay =0n →⋅DC →=2ax −2az =0，取x ＝1，得n →=(1，−1，1)； 又平面DAC 的一个法向量为m →=(0，1，0)， 设二面角A ﹣DC ﹣E 的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√33，又∵二面角A ﹣DC ﹣E 是钝角，则二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值为−√33．19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品． 乙生产线样本的频数分布表质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45] 合计 频数2184811162100（1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据， ①绘制两条生产线合格率的等高条形图（图2）；②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关？若有97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计 合格品 不合格品 合计附： P （K 2≥k 0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）由频率约等概率可得答案为：18×1720×19=153190，（2）条形图如下：根据题目所给的数据填写2×2列联表如下：甲生产线 乙生产线 合计 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计100100200K 2=200(86×4−96×14)2182×18×100×100≈6.105＞5.024所以有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关， 甲生产线的合格率86100，乙产线的合格率96100，因此保留乙生产线较好． 故答案为：（1）153190，（2）有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关，保留乙生产线较好， 20．已知函数f(x)=x 2−2ax −ln 1x，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值．【解答】解：（1）f ′（x ）＝2x ﹣2a +1x =2x 2−2ax+1x，x ＞0，令y ＝2x 2﹣2ax +1，当△＝4a 2﹣8≤0，即−√2≤a ≤√2时，y ≥0，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜−√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个负根，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个正根，分别为x 1=a−√a 2−22，x 2=a+√a 2−22，此时f （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减． 综上可得：a ≤√2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增， a ＞√2时，f （x ）在（0，a−√a 2−22），（a+√a 2−22，+∞）上单调递增，在（a−√a 2−22，a+√a 2−22）上单调递减．（2）由（1）可得x 1+x 2＝a ，x 1•x 2=12，a ＞√2， 2ax 1＝2x 12+1，2ax 2＝2x 22+1， ∵a ＞√2，a2＞√22， ∴x 1∈（0，√22），x 2∈（√22，+∞），f （x 2）﹣2f （x 1）=x 22−2ax 2+lnx 2﹣2（x 12−2ax 1+lnx 1） =−x 22+2x 12+lnx 2﹣2lnx 1+1 =−x 22+2(12x 2)2+lnx 2+2ln 12x 2+1=−x 22+12x22+32ln x 22+1+2ln 2， 令t =x 22，则t ＞12，g （t ）＝﹣t +12t +32lnt +1+2ln 2，g ′（t ）＝﹣1−12t 2+32t =−2t 2+3t−12t 2=−(2t−1)(t−1)2t2， 当12＜t ＜1时，g ′（t ）＞0；当t ＞1时，g ′（t ）＜0，∴g （t ）在（12，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 g （t ）max ＝g （1）=1+4ln22f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值为1+4ln22．21．已知动圆C 与圆C 1：(x −2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12x 的对称点在曲线E 上．【解答】解：解法一：（1）依题意得圆心C 到于直线x ＝﹣2的距离等于到圆C 1圆心的距离，所以C 的轨迹是（2，0）为焦点，以直线x ＝﹣2为准线的抛物线， 设其方程y 2＝2px （p ＞0），则p2=2，p ＝4，所以曲线E 的方程为y 2＝8x ．（2）设P （t ，0），P 关于直线y =12x 的对称点为P 1（m ，n ），则{nm−t=−2，n 2=12(m+t 2)，即{2m +n =2t ，2n −m =t ，解得{m =35t ，n =35t.代入曲线E 得1625t 2=245t ，解得t ＝0（舍去），t =152，即点P 的坐标为(152，0)． 解法二：（1）设圆心C （x ，y ），依题意x ≥﹣1， 因为圆C 与直线l ：x ＝﹣1相切，所以r ＝x +1， 又圆C 与圆C 1外切，所以|CC 1|＝r +1， 即√(x −2)2+y 2=x +2， 化简得曲线E 的方程为y 2＝8x ． （2）同解法． 四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l 的参数方程是{x =1−ty =2t ，（t 为参数）．（Ⅰ）求椭圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 的交点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），求线段MN 的长度． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．所以c ＝1，a =√2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1，转换为极坐标方程为ρ2=21+sin 2θ．第21页（共21页）（Ⅱ）直线l 的参数方程是{x =1−t y =2t，（t 为参数）．转换为直角坐标方程为2x +y ﹣2＝0． 设交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以{2x +y −2=0x 22+y 2=1，整理得9x 2﹣16x +6＝0， 所以x 1+x 2=169，x 1x 2=69，所以|MN|=√1+(−2)2|x 1﹣x 2|=√5√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=109√2． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|．（1）若不等式f （x ）＝x +m 有解，求实数m 的取值范围：（2）函数f （x ）的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝n ，证明：4ab +bc +ac ≥8abc ．【解答】解：（1）设g （x ）＝f （x ）﹣x ＝|x ﹣3|+|x ﹣1|﹣x ，则g(x)={−3x +4，x ≤1−x +2，1＜x ＜3x −4，x ≥3，所以g （x ）在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）单调递增．故g （x ）min ＝g （3）＝﹣1∵g （x ）≤m 有解，∴m ≥﹣1综上所述：m ∈[﹣1，+∞）证明（2）：由（1）可知，n ＝2，即a +b +c ＝2，欲证原不等式，只需证：4c+1a +1b ≥8， 只需证：(4c +1a +1b )(a +b +c)≥8×2，只需证：4a c +1+a b +4b c +b a +1+4+c a +c b ≥16，因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式易得上式成立，当且仅当c ＝2a ＝2b 时取等． 所以4ab +bc +ac ≥8abc 成立。

2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，且A ∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．[2，9]D．（2，9）2．（5分）已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z 的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．234．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4 5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）A．30米B．20米C．15米D．15米6．（5分）若α∈（，π），则2cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．1D．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini ＝；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini ＝．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．360 10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π12．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y ＝﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x+）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．（5分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD ＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则||的最小值为．16．（5分）设函数的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S7＝77，且满足a112＝a1•a61．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n＝a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010K 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD 折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F（3，0）的距离与A到定直线x＝4距离之比为．（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C 的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于﹣，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）＝在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，a+1＞3a﹣5；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，且A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，∴①A＝∅时，a+1＞3a﹣5，解得a＜3；②A≠∅时，，解得3≤a＜9，∴综上得，实数a的取值范围是（﹣∞，9）．故选：B．2．【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．故选：C．3．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．4．【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，故选：C．5．【分析】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，可得OA＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，∴OA＝30，∵OP⊥平面ABCDEF，∴∠OAP＝45°，∴OP＝OA＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m．故选：A．6．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝，则有1+sin2α＝，sin2α＝﹣；故选：B．法2：∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．7．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．【分析】可由当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，可由判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④【解答】解：①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，④对，故选：B．9．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A44＝24种，则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种，故选：B．10．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，可得：a32＝a1a13，即（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a32＝a1a13，∴（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．S n＝n+×2＝n2．∴＝＝＝n+1+﹣2≥2﹣2＝4，当且仅当n+1＝时取等号，此时n＝2，且取到最小值4，故选：A．11．【分析】由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD 为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．12．【分析】根据题意直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y＝﹣x得A（，﹣），由＝2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣＝1，即＝1，整理可得c＝a，即离心率e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】令x＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．【解答】解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C x6﹣k•（）k＝C•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量+的模长表达式，再求最小值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）；所以+＝（3，a﹣2b），所以＝9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，||取得最小值为＝3．故答案为：3．16．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx （x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝lnt，代入①式得：﹣t2+（lnt）（t3+t2）＝0，即m＝（t+1）lnt②，令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e，∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于m≥e+1，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[e+1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d 的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题由题干可得．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{}的通项公式，接着计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则解得．∴a n＝5+2•（n﹣1）＝2n+3，n∈N*．（Ⅱ）依题意，由，可得．则当n≥2时，＝（n﹣1）（n﹣2+5）+3＝n（n+2）．当n＝1时，，即＝3也满足上式，∴＝n（n+2），∴b n＝＝（﹣），n∈N*．T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．【解答】解：（I）作出2×2列联表：青春组风华组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．ξ的取值为0，1，2，3，4．且．所以得ξ的分布列为：ξ01234P数学期望．19．【分析】（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE推导出DE⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC⊥AD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ACD⊥平面BCD．（2）过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，则DE⊥AC，AC⊥平面DME，EM⊥AC，从而∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．20．【分析】（I）先设A的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A的轨迹方程；（II）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I）设A（x，y），由题意，，化简得x2+4y2＝12，所以，动点A的轨迹C的方程为，（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得，，因为点M，N在椭圆C上，所以．所以＝（）（3﹣），化简得．直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线MN的距离为．所以，△MON的面积，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S＝2|x1y2﹣x2y1|，所以，，＝4[﹣]，＝，所以S＝12．所以，四边形MNPQ的面积为定值12．21．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II）先对F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，曲线．．x＝1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）所以切线方程为x﹣2y﹣1＝0，（Ⅱ），，当a＜0时，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令，，当△≤0时，即0＜a≤4，k（x）≥0，此时F'（x）≥0，函数F （x）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a＞4，方程有两个不等实根x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当a＜0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当a＞4时，F（x）的单减区间是，单增区间是当0＜a≤4时，F（x）单增区间是（0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。

2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝(y|y＝2x, x>0}, B＝{x|ylog2(x−2)}，则A∩(∁R B)＝（）A.[0, 1)B.(1, 2)C.(1, 2]D.[2, +∞)2.已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数f(x)＝sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间[π4, π2]上单调递减4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=12AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为、（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.6185.已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A.26B.52C.78D.1046.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”是“m // α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)={e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，若f(a)≥1，则a的取值范围是（）A.[1, 2)B.[1, +∞)C.[2, +∞)D.(−∞, −2]∪[1, +∞)8.若x，y满足约束条件{2x+y≥2y−x≤2x−2≤0，则yx+2的取值范围为（）A.[−12, 1]B.[−∞, −12]∪[1, +∞)C.[0, 1]D.[12, 1]9.已知数列{a n}中，a1=12，a n+1＝1−1an，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A.n≤2 015B.n≤2 018C.n≤2 020D.n≤2 02110.已知△ABC的内角A=π3，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA＝OB＝OC，设AO→=mAB→+nAC→，则m+n的值为（）A.1118B.1 C.718D.211.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为−4√3，△PF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.√3D.√212.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60∘，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1，三棱锥O−ABC的体积为V2，若V1V2的最大值为3，则球O的表面积为（）A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．14.已知正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，则当x ＝________√22时，1x +1y 取得最小值，最小值为________√2．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞, +∞)的偶函数，且f(x −1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝1−x 3，则f(292)＝________−7816.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，则p ＝________•三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列． （1）若sinC ＝3sinA ，求边AC 的长；（2）设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18.如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ．（1）证明：平面ACD ⊥平面BDP ；（2）若BD =√6，且二面角A −BD −C 为120∘，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y＝kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k OM⋅k ON=54，求证：点(m, k)在定圆上．20.已知函数f(x)＝me x−lnx−1．（1）当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若m∈(1, +∞)，求证：f(x)>1．21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(Ⅰ)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望；(Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n(n≥2)．(i)求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；(ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1+p)−23p ．当p 取最大值时，计算此时p ′所对应的E 6′值和此时p 对应的E 6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a ＝10） （结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），（1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（1）已知x ，y ∈R ，且|x +y|≤16，|x −y|≤14，求证：|x +5y|≤1．23.（2）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e ＝8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2＝16，试确定e 的最大值．2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝(y|y＝2x, x>0}, B＝{x|ylog2(x−2)}，则A∩(∁R B)＝（）A.[0, 1)B.(1, 2)C.(1, 2]D.[2, +∞)【解答】集合A＝(y|y＝2x, x>0}＝{y|y>1}＝(1, +∞)，B＝{x|ylog2(x−2)}＝{x|x−2>0}＝{x|x>2}，则∁R B＝{x|x≤2}＝(−∞, 2]，∴A∩(∁R B)＝(−∞, 2]．2.已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】由(1+√3i)z＝1+i，得z=1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=1+√34+1−√34i，∴复平面内与复数z对应的点的坐标为(1+√34,1−√34)，在第四象限角．3.已知函数f(x)＝sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间[π4, π2]上单调递减【解答】∵f(x)＝sin4x−cos4x＝sin2x−cos2x＝−cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f(−x)＝−cos(−2x)＝−cos2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f(x)＝cos2x在[π4, π2]上单调递减，故f(x)＝−cos2x在[π4, π2]上单调递增．4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：AB＝(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=121，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为、（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618【解答】由勾股定理可得：AC=√22+12=√5，CD＝1，则AD=√5−1≈1.236，则AE＝1.236，BE＝2−AE＝0.764，所以0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型可知：=0.236，使得BE≤AF≤AE的概率约为1.236−0.76425.已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A.26B.52C.78D.104【解答】等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，×13(b1+b13)＝13b7＝13×4＝52．则S13=126.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”是“m // α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”与“m // α”相互推不出．∴“m // n ”是“m // α”的既不充分也不必要条件． 故选D .7.已知函数f(x)={e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2 ，若f(a)≥1，则a 的取值范围是（ ） A.[1, 2) B.[1, +∞) C.[2, +∞)D.(−∞, −2]∪[1, +∞) 【解答】函数f(x)={e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，若f(a)≥1，可得：{a <2e a−1≥1 或{a ≥2log 3(a 2−1)≥1 ，{a <2e a−1≥1 ，可得：1≤a <2； {a ≥2log 3(a 2−1)≥1 解得a ≥2． 综上a ≥1．8.若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0 ，则yx+2的取值范围为（ ）A.[−12, 1]B.[−∞, −12]∪[1, +∞)C.[0, 1]D.[12, 1] 【解答】作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0 的可行域如图：△ABC ，yx+2表示区域内的点与点(−2, 0)连线的斜率， 联方程组{x =22x +y =2可解得B(2, −2)，同理可得A(2, 4)，当直线经过点B 时，M 取最小值：−22+2=−12， 当直线经过点A 时，M 取最大值42+2=1． 则yx+2的取值范围：[−12, 1]．9.已知数列{a n }中，a 1=12，a n+1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A.n ≤2 015B.n ≤2 018C.n ≤2 020D.n ≤2 021【解答】因为a 1=12，a n+1＝1−1a n，所以a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1a 2=1+1=2，a 4=1−1a 3=1−12=12，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，循环的三项分别是12,−1,2，即输出的数字2是循环数列中的第三项，20153=671⋯⋯2，20183=672⋯⋯2，20203=673⋯⋯1，20213=673⋯⋯2，只有选项C 对应的余数是1，不是2，10.已知△ABC 的内角A =π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC ，设AO →=mAB →+nAC →，则m +n 的值为（ ） A.1118 B.1C.718D.2【解答】由OA ＝OB ＝OC ，得：点O 是△ABC 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有：{AO →⋅AB →=18AO →⋅AC →=8 ， 即{(mAB →+nAC →)⋅AB →=18(mAB →+nAC →)⋅AC →=8，又AB ＝6，AC ＝4，AB →⋅AC →=12， 所以{6m +2n =33m +4n =2 ，解得：{m =49n =16，即m+n=49+16=1118，11.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为−4√3，△PF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.√3D.√2【解答】P是双曲线x2a −y2b=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24√3，可得P的纵坐标y为：12×12×y=24√3，y＝4√3．直线PF2的斜率为−4√3，所以P的横坐标x满足：yx−6=−4√3，解得x＝5，则P(5, 4√3)，|PF1|=√(5+6)2+(4√3−0)2=13，|PF2|=√(5−6)2+(4√3−0)2=7，所以2a＝13−7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．12.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60∘，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1，三棱锥O−ABC的体积为V2，若V1V2的最大值为3，则球O的表面积为（）A.16π9B.64π9C.3π2D.6π【解答】如图，设△ABC的外接球球心为O′，其半径为r，球O的半径为R，由题意可知，(V1V2)max=√R2−r2√22=3，可得R=√3，∵2r=ACsin∠ABC =√3，∴r=√3，∴R =43， ∴S =4π×169=64π9，当球心O 在三棱锥P −ABC 外时， 结果不变．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种． 【解答】根据题意，分2种情况讨论：①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有1×3×10＝30种，所以总共有20+30＝50种；14.已知正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，则当x ＝________√22时，1x +1y 取得最小值，最小值为________√2． 【解答】正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，由基本不等式可得，1＝x 2+y 2≥2xy 当且仅当x ＝y =√22时取等号，所以，1x+1y ≥2√1xy ≥2√2．故当x =√22时，1x +1y 取得最小2√2．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞, +∞)的偶函数，且f(x −1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝1−x 3，则f(292)＝________−78 【解答】根据题意，f(x −1)为奇函数，则函数f(x)关于点(1, 0)对称，则有f(−x)＝−f(2+x)，又由函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(−x)，则有f(x)＝−f(x +2)，变形可得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，f(292)＝f(16−32)＝f(−32)＝f(32)＝−f(12)＝−[1−(12)3]=−78；16.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，则p ＝________• 【解答】点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，F(p2, 0)，则M(p4, √2p2)，E(0, √2P)，cos∠EFO =OF EF=13，作NS 垂直y 轴与S ，NS ＝12−p2=(12+32p)cos∠EFO ， 解得p ＝8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列． （1）若sinC ＝3sinA ，求边AC 的长；（2）设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值． 【解答】∵在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 依次成等差数列， ∴2B ＝A +C ， ∵A +B +C ＝180∘， ∴B ＝60∘，∵△ABC 的面积为3√3=12acsinB =√34ac ，∴ac ＝12，∵sinC ＝3sinA ，由正弦定理可得：c ＝3a ， ∴解得：a ＝2，c ＝6，∴由余弦定理得AC ＝b =2+c 2−2accosB =√4+36−2×2×6×12=2√7．因为D 为AC 边的中点， 所以：BD →=12(BA →+BC →)，两边平方，可得：BD →2=14(BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →)，可得：|BD →|2=14(c 2+a 2+2a ⋅c ⋅cosB)=14(c 2+a 2+a ⋅c)≥14(2ac +ac)=14×3×12＝9，解得BD ≥3，当且仅当a ＝c 时等号成立， 可得BD 的最小值为3．18.如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ．（1）证明：平面ACD ⊥平面BDP ；（2）若BD =√6，且二面角A −BD −C 为120∘，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值． 【解答】∵△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘， ∴Rt △ABD ≅Rt △BCD ，∴AD ＝CD ， ∵点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， ∵PD ∩PB ＝P ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵AC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BDP ． 作CE ⊥BD ，垂足为E ，连结AE ， ∵Rt △ABD ≅Rt △BCD ，∴AE ⊥BD ，AE ＝CE ，∠AEC 为二面角A −BD −C 的平面角， 由已知二面角A −BD −C 为120∘，∴∠AEC ＝120∘， 在等腰△AEC 中，由余弦定理得AC =√3AE ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∴AB =√3AE ， 在Rt △ABD 中，12×AE ×BD =12×AB ×AD ，∴BD =√3AD ，∵BD =√6，∴AD =√2，∵BD 2＝AB 2+AD 2，∴AB ＝2，∴AE =2√33，ED =√63，由上述可知BD ⊥平面AEC ，则平面AEC ⊥平面BCD ， 过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ，则AO ⊥平面BCD ， 连结OD ，则∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成角， 在Rt △AEO 中，∠AEO ＝60∘，∴AO ＝1，AE =2√33，sin∠ADO =AO AD =√22，∴直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为√22．19.已知椭圆C:x 2a +y 2b=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l:y ＝kx +m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ⋅k ON =54，求证：点(m, k)在定圆上． 【解答】设焦距为2c ，由已知e =ca=√32，2b ＝2，a 2＝b 2+c 2．∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．证明：设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，依题意，△＝(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，化简得m 2<4k 2+1，①x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 若k OM ⋅k ON =54，则y 1y 2x1x 2=54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2，∴(4k2−5)⋅4(m2−1)4k2+1+4km⋅(−8km4k2+1)+4m2=0，即(4k2−5)(m2−1)−8k2m2+m2(4k2+1)＝0，化简得m2+k2=54，②由①②得0≤m2<65,120<k2≤54．∴点(m, k)在定圆x2+y2=54上．20.已知函数f(x)＝me x−lnx−1．（1）当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若m∈(1, +∞)，求证：f(x)>1．【解答】当m＝1时，f(x)＝e x−lnx−1，所以f′(x)＝ex−1x所以f(1)＝e−1，f′(1)＝e−1．所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(e−1)＝(e−1)(x−1)．即y＝(e−1)x．当m>1时，f(x)＝me x−lnx−1≥e x−lnx−1．要证明f(x)>1，只需证明e x−lnx−2>0．设g(x)＝e x−lnx−2，则g′(x)＝e x−1x．设ℎ(x)＝e x−1x ，则ℎ′(x)＝e x+1x>0，所以函数ℎ(x)＝g′(x)＝e x−1x在(0, +∞)上单调递增．因为g′(12)＝e12−2<0，g′(1)＝e−1>0，所以函数g′(x)＝e x−1x 在(0, +∞)上有唯一零点x0，且x0∈( 12, 1)．因为g′(x0)＝0时，所以e x0=1x，即lnx0＝−x0．当x∈(0, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，g′(x)>0所以当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．故g(x)≥g(x0)＝e x0−lnx0−2=1x+x0−2>0．综上可知，当m>1时，f(x)>1．21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p <1)，某位患者在隔离之前，每天有a 位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X ≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(Ⅰ)求一天内被感染人数为X 的概率P(X)与a 、p 的关系式和X 的数学期望； (Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n 天新增患者的数学期望记为E n (n ≥2)．(i)求数列{E n }的通项公式，并证明数列{E n }为等比数列；(ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1+p)−23p ．当p 取最大值时，计算此时p ′所对应的E 6′值和此时p 对应的E 6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a ＝10） （结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7） 【解答】（1）由题意X ∼B(a, p)，则P(X)=C a x p x(1−p)a−x ，EX ＝ap ．(2)(i)第n 天被感染人数为(1+ap)n−1，第n −1天被感染人数为(1+ap)n−2， 由题目中均值定义得：E n ＝(1+ap)n−1−(1+ap)n−2＝ap(1+ap)n−2． ∴E nEn−1=1+ap ，且E 1＝ap ，∴{E n }是以ap 为首项，1+ap 为公比的等比数列． (ii)令f(p)＝ln(1+p)−23p ，则f′(p)=1p+1−23=−2p+13(p+1)， ∴f(p)在(0, 12)上单调递增，在(12, 1)上单调递减，f(p)max ＝f(12)＝ln 23−13=ln3−ln2−13≈1.1−0.7−0.3＝0.1． 则当a ＝10，E n ＝10p(1+10p)n−2，E 6′＝10×0.1(1+10×0.1)4≈1.46，E 6＝10×0.5(1+10×0.5)4≈25.31，∵E 6>E 6′，∴戴口罩很有必要．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），（1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【解答】直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．可得直线l 的参数方程{x =12t y =√32t （t 为参数）．曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），可得普通方程：y ＝1−[1−2(x2)2]，化为：x 2＝2y ．把直线l 的参数方程{x =12ty =√32t （t 为参数）．化为普通方程：y =√3x ． 联立{y =√3xx 2=2y，解得：x ＝0，y ＝0．或x ＝2√3，y ＝6． ∴直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标为(0, 0)或(2√3, 6)． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（1）已知x ，y ∈R ，且|x +y|≤16，|x −y|≤14，求证：|x +5y|≤1．23.（2）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e ＝8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2＝16，试确定e 的最大值． 【解答】证明：依题意，−16≤x +y ≤16,−14≤x −y ≤14，设x +5y ＝m(x +y)+n(x −y)，解得m ＝3，n ＝−2，∴−12≤3(x +y)≤12，−12≤−2(x −y)≤12，∴−1≤3(x +y)−2(x −y)≤1，即−1≤x +5y ≤1， ∴|x +5y|≤1．依题意，{a +b +c +d =8−ea 2+b 2+c 2+d 2=16−e 2， 又(a 2+b 2+c 2+d 2)(1+1+1+1)≥(a +b +c +d)2（当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时取等号），即4(16−e 2)≥(8−e)2，解得0≤e ≤165，∴e 的最大值为165．。

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12BDACB CBCDB DA 二、填空题13.10;x y -+=14.4;15.;53016.{}.66,2,0--三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.a c b ac +-=……3分∴2221cos .22a c b B ac+-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c B C=,3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =……9分3613323sin sin()sin().323236A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18.解析：（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：2M A M C A C ===O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.O M ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM⊥,AC OM 相交于O ，故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 㜠Ꮉ婈Ӭ如图所示．因为2M A M B M C A C ====,2AB BC ==则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC = 所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z = ，则252252(,,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩ 令3y =(53,3,1)m =-- ……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB = 为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =-- 与(2,0,0)OB = 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB < 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1(797979m OB -<>=-= .……12分19．（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分又因为222a b c =+解得，2a =.……3分所以椭圆方程为2212y x +=.……4分（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆.则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =- ，()221,CB x y =- ，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以C A C B ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20.解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分(II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=.比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分(ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25p3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15p4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x x x x x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(,x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=,极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23.解：(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2).……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项． 1．（5分）设集合{|0}A x x =>，2{|log (32)2}B x x =-<，则( ) A ．5(0,]3A B =IB ．1(0,]3A B =IC ．1(,)3A B =+∞U D ．(0,)A B =+∞U2．（5分）已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1(z -= ) A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2(α= ) A ．2425-B ．725-C ．1625 D ．854．（5分）如图是我国第24~30届奥运会奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图．根据表和统计图，以下描述正确的是( )金牌（块) 银牌（块) 铜牌 （块) 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运会奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运会金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运金牌总数的中位数是54.55．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点0(6,)A y 是C 上一点，||2AF p =，则(p = )A ．8B ．4C ．2D ．16．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填( )A ．7S …？B ．21S …？C ．28S …？D ．36S …？7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是( ) A ．()f x xlnx =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-8．（5分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则(BE AB =u u u r u u u rg )A ．3-B ．6-C ．4D ．99．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为( ) A ．12B 10C 15D 6 10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A B C D 11．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数()f x '，当0x …时，恒有()()03xf x f x '+>，则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为( ) A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-12．（5分）已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC ∆的外心，则2PC =；②ABC ∆若为等边三角形，则AP BC ⊥；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为(0,]4π；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若//OM 平面PAC ，则M 在PBC ∆内的轨迹的长度为2，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．（3分）已知230x dx n =⎰，则1(2)(1)n x x-+展开式中2x 的系数为 ．14．（3分）从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为 ．（用数字作答） 15．（3分）已知函数2()44f x x x =--．若()1f x <在区间(1,2)m m --上恒成立．则实数m 的取值范围是 ．16．（3分）在ABC ∆中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题（共5小题，满分24分）17．（12分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．18．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点P 位置(P ∉平面)ABC ．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：//MH 平面ABP ； （2）若直线AB 与MN 所成角为4π，求二面角A PC B --的余弦值．19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品． 乙生产线样本的频数分布表质量指标值 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45] 合计 频数2184811162100（1）根据甲生产线样本的频率直方图，以从样本中任意抽取一件产品为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关？若有90%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计 合格品 不合格品 合计附：20()P K k …0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.8792()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．。

2020年河南洛阳高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则（ ）．A. B.C. D.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）．A. B. C. D.3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．A. B. C. D.4.下图是我国第届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数第届第届第届第届第届第届第届第届奥运会中国代表团奖牌总数统计图A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C.第届与第届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数．铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是5.抛物线：的焦点为，点是上一点，，则（ ）．A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则框图中①处可以填（ ）．开始，输出结束是否A.？B.？C.？D.？7.下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）．A.B.C.D.8.在中，，，，点分别在线段，上，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．A.B.C.D.10.已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.11.已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）．A.B.C.或D. 或12.已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点．若平面，则在内轨迹的长度为．其中正确的个数是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则展开式中的系数为 ．14.从名医生和名护士中选出名去武汉抗击疫情，医生中的甲和乙不能同时参加，护士中的丙与丁至少有一名参加，则不同的选法种数为 ．（用数字作答）15.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．16.在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．（1）（2）求数列和的通项公式．求数列的前项和．（1）（2）18.如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为、、的中点．以为折痕将折起．使点到达点位置（平面）．若为直线上任意一点，证明：平面．若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．（1）（2）19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本．检测一项质量指标值，该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数质量指标值频率组距甲生产线样本的频率分布直方图根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取件恰有件为合格品的概率．现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线．根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．若有的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好．甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：，．（1）（2）20.设函数．若，时，在上单调递减，求的取值范围．若，，，求证：当时，．（1）（2）21.已知点，分别在轴，轴上运动，，．求点的轨迹的方程．过点且斜率存在的直线与曲线交于，两点，，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程．若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．（1）（2）23.已知函数．若不等式有解，求实数的取值范围．函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．【答案】解析:根据题意，，则，．故选．解析:由，可得，所以，所以．故选．解析:∵终边上点，∴ ，，∴故选．解析:抛物线：的准线方程，点在上，，可得：，解得：．故选．解析:第一次循环：，不满足条件，；D 1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为．所以判断框中的条件可填写“”．故选．解析:根据题意，，则，在中，又由，则，则，则，则．故选．解析:如图，B 7.B 8.，，C 9.∵，，，，∴．又，，∴，∴异面直线与所成角的正弦值为．故选．解析:如图，不妨设直线的斜率为，∴直线的方程为，联立，得，∴．由题意，方程得的两根异号，则，此时，，则，即，∴，∴，即．A 10.故选．解析:令，则可得：，当时，恒有，即，所以在上单调递减，又，则，即为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，由，可得，，故，解可得，，故选．解析:为的外心，可得，平面，可得，即有，①正确；若为等边三角形，若，又，可得平面，即，由可得，矛盾，故②错误；若时，设与平面所成角为，可得，，设到平面的距离为，B 11.C 12.由，可得，即有，当且仅当取得等号，可得的最大值为，，即有的范围为，③正确；取的中点，的中点，连接，，，由中位线定理可得，，可得平面平面，可得在线段上，而，可得④正确．故选：．13.解析:∵，∴，二项式展开式通项为，，，所以的展开式中的系数为．14.解析:①设甲参加，乙不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，②设乙参加，甲不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，③设甲，乙都不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，综合①②②得：不同的选法种数为．15.解析:因为，（1）所以，即解集为，因为在区间上恒成立，所以，所以，且两个等号不同时成立，所以．故答案为．解析:∵角的平分线交于，又，，∴，不妨设，，∴，∴，∴的面积为，则时，取得最大值为．故答案为：．解析:，∴，，，∴，16.（1）；（2）；．17.（2）（1）（2）∴，∴．∵，∴．解析:连接，∵，，分别为、、的中点，∴，又∵平面，平面．∴平面，同理，平面．∵平面，平面，．∴平面平面．∵平面．∴平面．连接，在和中，由余弦定理可得，，由与互补，，，可解得，于是，∴，，∵，直线与直线所成角为，∴，又，（1）证明见解析．（2）．18.∴，即，∴平面，∴平面平面，∵为中点，，∴平面，如图所示，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，∴即，令，则，，可得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，∴，∴二面角的余弦值为．解析:（1）．（2）甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．保留乙生产线较好．19.（1）（2）（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．那么“从甲生产线生产的产品中任取件，恰有件为合格品”就相当于进行次独立重复试验，事件恰好发生次，其概率为：．列联表：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计的观测值，∵，，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由知甲生产线的合格率为，乙生产线的合格率为，∵，∴保留乙生产线较好．解析:，时，，，∵在上单调递减，∴，，令,,时，；时，，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，（1）．（2）证明见解析．20.（2）（1）∴，∴的取值范围为．若，，时，，，令，显然在上为增函数，又，，∴有唯一零点，且，时，，；时，，，∴在上为增函数，在上为减函数，∴，又，∴，，，∴，（），∴当时，．解析:设，，则，设，由得，，又由于，化简得的轨迹的方程为．（1）．（2）的取值范围为．21.（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得，，设，，则，，由已知，，则，故直线，，令，则，由于，，，所以，的取值范围为．22.（1）极坐标方程为，直角坐标方程为．（2）．（1）（2）（1）（2）解析:曲线，即.∴．曲线的极坐标方程为．直线的极坐标方程为，即，∴直线的直角坐标方程为．设，，∴，解得，又，∴（舍去），∴，点到直线的距离为，∴的面积为．解析:设，∴在单调递减，在单调递增，故，∵有解，∴，即的取值范围为．，当且仅当时等号成立，∴，即，∵，当且仅当，，时等号成立，∴，即成立．（1）的取值范围为．（2）证明见解析．23.。

2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x<2}，N={x|log2x<1}，则()A. M=NB. M∪N=NC. M∪N=RD. M∩N={x|0<x<2}2.已知i为虚数单位，复数z=2+i1−2i，则z3=()A. iB. −iC. 1D. −13.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=23，则|a−b|=()A. 15B. √55C. 2√55D. 14.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位：μg/m3)的日均值，则下列说法正确的是()A. 10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B. 从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C. 这10天中恰有5天空气质量不超标D. 这10天中PM2.5日均值的中位数是435.已知点A(1,y0)(y0>0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，若点A到该抛物线焦点的距离为3，则p=()A. 2B. 4C. 6D. 86.运行如图所示的程序框图，若输出S的值为35，则判断框中可以填()A. i≥4？B. i≥5？C. i ≥6？D. i ≥7？7. 设函数f(x)=x(e x +e −x )，则f(x)( )A. 是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数B. 是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数C. 是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数D. 是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数8. 如图，在△OAB 中，OA =4，OB =2，∠AOB =60°，点P 在线段AB 上，且AB =4AP ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. 9B. −9C. 13D. ±99. 已知在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CA =CC 1=2CB ，∠ACB =90°，则直线BC 1与AB 1夹角的余弦值为( )A. √55B. √53C. 2√55D. 3510. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√3，(√3,0)是双曲线的一个顶点.经过双曲线右焦点F 2且斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，则|AB|=( )A. 2√6B. 6C. 8√3D. 1211. 已知定义在R 上的可导函数f (x )，对于任意实数x 都有f(−x)=f(x)−2x 成立，且当x ∈(−∞,0]时，都有f′(x )<2x +1成立，若f(2m)<f(m −1)+3m(m +1)，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,13)B. (−1,0)C. (−∞,−1)D. (−13,+∞)12. 如图，在三棱锥S −ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =2，AC =2，BC =1，∠ACB =90°，则直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为( )A. 13B. √24C. √22D. √1010二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 二项式(ax +√36)6的展开式中x 5的系数为√3，则∫√x a0dx =________．14. 从4男2女共6名学生中选出4人，至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答) 15. 若关于x 的不等式x 2−4x +1−m >0的区间[1,4]内有解，则实数m 的取值范围为______． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =3，sin 2A −sin 2B =3sin 2C ，cosA =−13，则△ABC 的面积是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 2=2，a 4=a 3+4，a 3=b 3+b 1，a 5=b 7+3b 3． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{S n +b n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)，求T n ．18. 如图，三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA =PB ，∠APB =∠ACB =90°，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心．(1)证明：GF//平面PAC；(2)若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B−AP−C的余弦值．19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(Ⅰ)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计(Ⅱ)将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E(X)．附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.函数f(x)=x−lnx，g(x)=ae x．(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当a⩾1e时，xf(x)≤g(x)．21.设点A(−√3,0),B(√3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−23.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若直线l过点F(1,0)且绕F旋转，l与圆O:x2+y2=5相交于P、Q两点，l与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|∈[4,√19]，求ΔF′RS的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.己知点P的极坐标为(2,π2)，曲线C的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ=1，曲线D的参数方程为，{x=1+cosαy=sinα(α为参数).曲线C和曲线D相交于A,B两点．(1)求点P的直角坐标;(2)求曲线C的直角坐标方程和曲线D的普通方程;(3)求ΔPAB的面枳S．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|+c，a,b,c为正实数(Ⅰ)若a=b=c=2，解不等式f(x)<8；(Ⅱ)若f(x)的最小值为1，证明：a2+b2+c2≥1．3【答案与解析】1.答案：D解析：本题以对数不等式的形式考查集合的运算及基本关系，属于基础题． 根据集合的基本运算进行求解即可． 解：由题知，集合N ={x|0<x <2}， 所以M ∩N ={x|0<x <2}． 故选D ．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 利用复数的运算法则即可得出． 解：z =(2+i)(1+2i)5=i ，z 3=−i ． 故选B ．3.答案：B解析：推导出cos2α=2cos 2α−1=23，从而|cosα|=√306，进而|tanα|=|b−a2−1|=|a −b|=|sinα||cosα|=√55.由此能求出结果．本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A(1,a) ,B(2,b)，且cos2α=23， ∴cos2α=2cos 2α−1，解得cos 2α=56， ∴|cosα|=√306∴|sinα|=√1−56=√66，|tanα|=|b−a2−1|=|a−b|=|sinα||cosα|=√55．故选B．4.答案：D解析：本题考查了分布折线图，涉及中位数知识，属基础题．先对图表信息进行分析，再由折线图逐一检验即可得解解：10天中PM2.5日均值最低的是12月1日，所以A错误；由图可知，从1日到6日PM2.5日均值是先上升再下降，再上升，所以B错误；从图可知这10天中恰有8天空气质量不超标，所以C错误；这10天中PM2.5日均值从小到大排序为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，则中位数为41+452=43，，所以D正确．故选D．5.答案：B解析：本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．点A到该抛物线焦点的距离为3，可得1+p2=3，解得p．解：点A到该抛物线焦点的距离为3，由抛物线定义可得1+p2=3，解得p=4．故选B．6.答案：B解析：本题考查程序框图的循环结构，按程序试运行可得结果．解：运行程序，第一次，i=1，n=1，S=1;第二次，i=2，n=3，S=4;第三次，i =3，n =6，S =10; 第四次，i =4，n =10，S =20;第五次，i =5，n =15，S =35，满足条件，输出结果． 故判断条件为.i ≥5? 故选B ．7.答案：A解析：本题考查了函数奇偶性的判断和函数单调性的判断与证明，以及导数的应用，是个基础题． 先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后通过讨论去绝对值号，即可探讨函数的单调性． 解：∵f(x)=x (e x +e −x )，x ∈R ， 又f(−x)=−x (e x +e −x )=−f(x)， 故f(x)为奇函数，当x >0时，f′(x )=e x +e −x +x (e x −e −x )>0，为增函数， 故选A ．8.答案：B解析：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，属于中档题．用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 当基底，表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则要求的式子变为(34OA ⃗⃗⃗⃗⃗+14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再利用两个向量的数量积的定义，数量积公式运算求得结果． 解：由题意可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB) =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = (34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×4×2×cos60°−34×16+14×4=−9． 故选B ．9.答案：A解析：解：如图所示，建立空间直角坐标系． 不妨取BC =1，则CA =CC 1=2CB =2．C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,1，0)，B 1(0,1，2)，C 1(0,0，2)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，2)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1+4√22+12+(−2)2√0+(−1)2+22=√55． 故选：A ．如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、异面直线所成的角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系，考查运算化简的能力，属于中档题． 先由题意求出双曲线C 的方程为x 23−y 26=1，再联立{x 23−y 26=1y =x −3，消去y 得x 2+6x −15=0，利用韦达定理求弦长即可． 解：∵双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3， (√3,0)是双曲线的一个顶点， ∴{ca =√3a =√3，得c =3，∴b =√6， ∴双曲线C 的方程为x 23−y 26=1，双曲线的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且斜率为1的直线的方程为y =x −3． 由{x 23−y 26=1y =x −3，得x 2+6x −15=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6，x 1x 2=−15．∴|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2=√2(x1+x2)2−8x1x2=8√3．故选C．11.答案：A解析：↵本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．令g(x)=f(x)−x2−x，可判断出函数g(x)为R上偶函数．当x∈(−∞,0]时，都有f′(x)<2x+1成立，可得g′(x)=f′(x)−2x−1<0，可得函数g(x)的单调性．f(2m)<f(m−1)+3m(m+1)，即g(2m)<g(m−1)，因此g(|2m|)<g(|m−1|)，利用单调性即可得出．解：令g(x)=f(x)−x2−x，则g(−x)−g(x)=f(−x)−x2+x−f(x)+x2+x=0，∴g(−x)=g(x)，∴函数g(x)为R上的偶函数．∵当x∈(−∞,0]时，都有f′(x)<2x+1成立，∴g′(x)=f′(x)−2x−1<0，∴函数g(x)在x∈(−∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增．f(2m)<f(m−1)+3m(m+1)，即f(2m)−4m2−2m<f(m−1)−(m−1)2−(m−1)，∴g(2m)<g(m−1)，因此g(|2m|)<g(|m−1|)，∴|2m|<|m−1|，化为：3m2+2m−1<0，解得−1<m<1．3故选A ．12.答案：A解析：本题考查线面角的求法，属于中档题．根据线面垂直结合已知可得∠BSC 为直线SB 与平面SAC 所成角，然后利用直角三角形中求出结果， 解：因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以SA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，SA ∩AC =A ，SA ，AC ⊂平面SAC ， 所以BC ⊥平面SAC ，所以∠BSC 为直线SB 与平面SAC 所成角， 又SC ⊂平面SAC ， 则SC ⊥BC ，因为SA =2，AC =2，BC =1，∠ACB =90°， 所以SC =√SA 2+AC 2=2√2,SB =√(2√2)2+1=3 所以sin∠BSC =BCSB =13． 故选A ．13.答案：23解析：本题考查二项式定理的应用，以及微积分定理的应用，属于中档题． 利用二项式定理的展开式，即可得a 的值，从而得∫√x 10dx ，即可求解． 解：(ax +√36)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r (ax )6−r·(√36)r，当6−r =5，即r =1时，则C 61a 5·√36=√3，∴a =1，即∫√x 10dx =23x 32|01=23． 故答案为23．14.答案：14解析：本题考查了分类加法计数原理和组合数公式，属于基础题型．由题意，选1名女生，3名男生，共C 21C 43=8;选2名女生，2名男生，共C 22C 42=6;即可求解；解：由题意，选1名女生，3名男生，共C 21C 43=8; 选2名女生，2名男生，共C 22C 42=6; 共C 21C 43+C 22C 42=14;故答案为1415.答案：(−∞,1)解析：本题考查了一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题和一次和二次函数．利用一元二次不等式的解法得m < x 2−4x +1在区间[1,4]内有解，再利用不等式的恒成立问题得m <(x 2−4x +1)max ，最后利用二次函数性质计算得结论． 解： 因为关于x 的不等式x 2−4x +1−m >0在区间[1,4]内有解， 即m < x 2−4x +1在区间[1,4]内有解，而函数y =x 2−4x +1在区间[1,4]上的最大值为1，所以m <1， 因此实数m 的取值范围是m <1. 故答案为(−∞,1)．16.答案：√2解析：利用正弦定理可得：a 2=b 2+3c 2利用余弦定理可知求c =1，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解：在△ABC 中，∵b =3， sin 2 A −sin 2 B =3sin 2 C ，， ∴a 2−b 2=3c 2， ∴a 2=b 2+3c 2， 由余弦定理可知，∴S △ABC =12bcsinA =12×3×1×2√23=√2．故答案为√2．17.答案：解：(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，因为a 2=2,∴a 4=a 3+4， 所以a 2q 2=a 2q +4， 所以q 2−q −2=0， 所以q =2或q =−1(舍)， 所以a n =a 2q n−2=2n−1， 由{a 3=b 3+b 1a 5=b 7+3b 3, 所以{b 1+d =2b 1+3d =4, 所以{b 1=1d =1, 所以b n =1+(n −1)×1=n ，所以{a n }的通项公式为a n =2n−1和{b n }的通项公式b n =n (Ⅱ)∵S n =a 1+a 2+⋯…+a n=1+21+⋯…+2n−1=1×(1−2n )1−2=2n −1，∴S n +b n =2n +n −1，∴T n=2(1−2n)1−2+(0+n−1)n2=2n+1−2+n22−n2．解析：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质以及前n项和．(1)根据等差数列和等比数列的性质和通项公式求解即可；(2)利用分组求和法求解求解即可．18.答案：解：(1)连接EF，连接EG并延长交BC于点D，则点D为BC的中点，从而点D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE//AC，EF//AP．又DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC．∴DE//平面PAC，EF//平面PAC．又DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF=E，∴平面EFG//平面PAC．又GF⊂平面EFG，∴GF//平面PAC．(2)连接PE，∵PA=PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC．连接CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连接OF，则OF//PE，∴OF⊥平面ABC．∴∠FGO为GF与平面ABC所成的角，即∠FGO=60°．在Rt△FGO中，设GF=2，则OG=1，OF=√3，∴OC=3，PE=2√3．∴AB=4√3，CE=2√3，OE=√3，∴OE 2+OC 2=CE 2，即OC ⊥AB ．如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−3√3,0)，C(3,0，0)，P(0,−√3,2√3)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,2√3)， 设平面PAC 的一个法向量为n ⃗ 1=(x,y,z)， 则由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +3√3y =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3y +2√3z =0，可取n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)． 又平面PAB 的一个法向量可取n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)．则cos⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√5=√155， 所以二面角B −AP −C 的余弦值为√155．解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)连接EF ，连接EG 并延长交BC 于点D ，则DE//AC ，EF//AP ，进而通过证明平面EFG//平面PAC ，则可证GF//平面PAC ；(2)连接PE ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −AP −C 的余弦值．19.答案：解：(1)根据表1和图1得到列联表：将列联表中的数据代入公式计算得： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×7−2×43)250×50×91×9≈3.053；∵3.053>2.706，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； (2)由题知，不合格品的概率为P =250=125，且X ～B(3,125)，P (X =0)=576625，P (X =1)=48625，P (X =2)=1625， ∴X 的数学期望为E(X)=3×125=325．解析：本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．(1)根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(2)由题知X～B(3,125)，求出数学期望即可．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由f(x)=x−lnx，得f′(x)=1−1x =x−1x,当x∈(0,1)时，f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；(2)要证xf(x)≤g(x)，即证x(x−lnx)≤ae x，即证a≥x2−xlnxe x,令ℎ(x)=x2−xlnxe x，∵ℎ′(x)=(x−1)(lnx−x+1)e x．由(1)知，f(x)≥f(1)=1,即lnx−x+1≤0．于是，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减．所以ℎ(x)max=ℎ(1)=1e，故a≥x2−xlnxe x，所以当a⩾1e时，xf(x)≤g(x)．解析：本题考查利用导数求函数的单调性和证明不等式，属于中档题．(1)利用导数即可求解函数的单调性；(2)通过构造ℎ(x)=x2−xlnxe x，求ℎ(x)的最大值，从而得证．21.答案：(1)动点M的轨迹C的方程为：x23+y22=1；(2)S min=8√39，S max=4√33．解析：(Ⅰ)设M(x,y)，则k MA ⋅k MB =y x+√3⋅y x−√3=−23(x ≠±√3)，化简x 23+y22=1，∴轨迹C 的方程为x 23+y 22=1(x ≠±√3) (Ⅱ)设l:x =my +1，O 到l 的距离d =1√1+m 2，|PQ|=2√5−11+m 2∈[4,√19]，0≤m 2≤3，将x =my +1代入轨迹C 方程并整理得：(2m 2+3)y2+4my −4=0，设P(x 1,y1),Q(x2,y2)，则y 1+y 2=−4m 2m 2+3,y 1y 2=−42m 2+3，|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√16m 2(2m 2+3)2+162m 2+3， S Δ=12×|y 1−y 2|⋅|F 1F 2|=4√3(m 2+1)(2m 2+3)2，设m 2+1=t ∈[1,4]，则f(t)=4t +1t 在[1,4]上递增，∴f(t)∈[5,654]，∴S Δ=4√3t(2t+1)2=4√3√4+(4t+1t)， ∴S min =8√39，S max =4√33.22.答案：解：(1)点P 的直角坐标为(0,2)；(2)曲线C ：ρcosθ−ρsinθ=1，即x −y −1=0． 曲线D 的参数普通方程(x −1)2+y 2=1；(3)因为直线C ：x −y −1=0过圆D ：(x −1)2+y 2=1的圆心，所以AB 为圆D 的直径，所以AB =2， 又点P(0,2)到直线C ：x −y −1=0的距离为d =3√2， 所以S =12AB ⋅d =3√22解析：本题考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，属于基础题． (1)由极坐标与直角坐标的互化公式即可把P 的极坐标化为直角坐标； (2)由可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，由同角三角函数的平方关系消参可得到曲线D 的普通方程;(3)求出AB 的长，求得P 到直线的距离，由三角形面积公式求得面积．23.答案：解：(Ⅰ)当a =b =c =2时，f(x)=|x −2|+|x +2|+2．所以f(x)<8⇔{x ≤−22−2x <8或{−2<x <26<8或{x ≥22x +2<8，所以不等式的解集为{x|−3<x <3}．(Ⅱ)因为a >0,b >0,c >0所以f(x)=|a −x|+|x +b|+c ≥|a −x +x +b|+c =|a +b|+c =a +b +c ，因为f(x)的最小值为1，所以a +b +c =1，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =1， 因为2ab ≤a 2+b 2,2bc ≤b 2+c 2,2ac ≤a 2+c 2，所以1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2)，．所以a2+b2+c2≥13解析：本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据绝对值的几何意义分区间去绝对值求解；(Ⅱ)利用基本不等式即可得证．。

2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．复数（）A．i B．﹣i C．4+2i D．1+i2．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A． B．C．0 D．4．若S1=（e x﹣1）dx，S2=xdx，S3=sinxdx，则（）A．S2＞S3＞S1B．S1＞S3＞S2C．S2＞S1＞S3D．S1＞S2＞S35．若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤86．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣27．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（）A BC DA．192种B．128种C．96种D．12种8．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）10．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π11．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．212．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）•f（y）=f（x+y）成立，若数列{a n}满足，（n∈N*），且a1=f（0），则下列结论成立的是（）A．f（a2020）＞f（a2020）B．f（a2020）＞f（a2020）C．f（a2020）＜f（a2020）D．f（a2020）＜f（a2020）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．15．已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为．16．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），设S n为{b n}的前n项和．若a12=a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于．三、解答题17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．19．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB ⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20．已知F1、F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且=0，求||+||的取值范围．21．已知函数f（x）=﹣x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若对任意x∈[1，+∞），使得f（x）+g（x）≥﹣x3+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对n∈N*，不等式++…+＞成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=﹣2cosθ，ρcos（θ+）=1（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使||•||=2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

2020年河南郑州高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）．A. B. C. D.2.已知复数（其中是虚数单位，满足），则的共轭复数是（ ）．A. B. C. D.3.郑州市年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）．A. B. C. D.4.圆关于直线对称的圆的方程为（ ）．A. B.C. D.5.在边长为米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ）．A.米B.米C.米D.米6.若，，则的值为（ ）．A.B.C.D.开始输入输出结束是否7.在如图所示的程序框图中，若输出的值是，则输入的的取值范围是（ ）．A.B.C.D.8.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等．记区域为不平等区域，表示其面积；为的面积．将，称为基尼系数．对于下列说法：①越小，则国民分配越公平．②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有．③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则．④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则．其中不正确的是（ ）．xyO累计人口百分比累计收入百分比A.①④B.②③C.①③④D.①②④9.年月日是中华人民共和国成立周年国庆日，将，，，，按照任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数为（ ）．A.B.C.D.10.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）．正视图侧视图A.B.C.D.12.已知双曲线的右焦点为，过作直线的垂线，垂足为，且交双曲线的左支于，若，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.二项式的展开式中的常数项为 ．14.已知函数，，当且时，方程根的个数是 ．15.已知四边形中，，．，，是边上的动点，则的最小值为 ．16.设函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足．（1）（2）求数列的通项公式．若数列满足，且，求数列的前项和．（1）（2）（3）18.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的年度全国“最美中学生”寻访活动结果出炉啦，此项活动于年月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在票以上（包括票）定义为风华组．票数在票以下（不包括票）的学生定义为青春组．在这名学生中，青春组学生中有男生人，风华组学生中有女生人，试问有没有的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关．如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取人，再从这人中随机抽取人，那么至少有人在青春组的概率是多少？用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取人，用表示所选人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望．附：；其中，独立性检验临界表：（1）（2）19.如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上．求证：平面平面．当时，求二面角的余弦值．【答案】解析:∵，∴，∴．故选．Q R（1）（2）20.在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线距离之比为．求动点的轨迹的方程．设点，是轨迹上两个动点，直线，与轨迹的另一交点分别为，，且直线，的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．（1）（2）21.已知函数，当时，求曲线在处的切线方程．讨论函数在上的单调性．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在极坐标系中，圆的方程为（）．以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．求圆的标准方程和直线的普通方程．若直线与圆交于，两点，且．求实数的取值范围.（1）（2）23.已知函数．当时，解不等式．若，求的最小值．D1.解析:，则．故选：．解析:样本数据有个，位于中间的两个数为，，则中位数为，故选．解析:圆的圆心为，设与之对称的圆的圆心为，则两圆心中点为，其中点在直线上，①，同时两圆心连线的斜率，直线的斜率与的乘积为，故②，联立①②得，，故与之对称的圆为：．故选．解析:本题画图如下：A 2.C 3.C 4.A 5.光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使光源照亮广场，正六边形的对角线是等腰直角三角形的底，根据轴截面是等腰直角三角形可知，等腰直角三角形底上的高为．解析:，，，，，，，两边同时平方得：，．解析:，第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，A 6.B 7.，第四次循环：，此时要跳出循环体，输出结果，则，故选：．解析:对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误；对于③，因为，所以，所以③错误；对于④，因为，所以，所以④正确．故选．解析:由题意可知：，，，，中除不可以作为首位，其他数字都可以，故先从、、、中选出一位作为首位，共有种选择，再排列剩下的四个数，共有！种不同的情况，所以不同位数的个数为！，但是当其中和相邻且在左时正好组成，和数字样，可以把和看作一个整体和，，，一起共有！种排列即种，其中有一半是重复的，故减去，最后产生的不同的位数有个．故选．B 8.B 9.D10.解析:∵，，成等比数列，∴，∴，，解得，∴，，∴，当且仅当时取等号，此时，且取到最小值．故选．解析:如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为：．∴该阳马的外接球的表面积为：．C 11.故选．解析:设，则直线的方程为，代入双曲线渐近线方程得，由得，把点坐标代入双曲线方程，即，整理得，即离心率．故选：．解析:二项式的通项公式为，令，解得．故常数项为．解析:，令得，，∴在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，，，，，故作函数与在上的图象如下：又，都是奇函数，且不经过原点，∴与在上共有个交点，故有个零点．C 12.13.14.15.解析:如图：，，，，，，，，，，当时，取最小值为．16.解析:假设曲线上存在两点、满足题设要求，则点、只能在轴两侧．不妨设，，，，，∵是以为直角顶点的直角三角形，∴，即．①若方程有解，存在满足题设要求的两点、；若方程无解，不存在满足题设要求的两点、．若，则代入①式得，，即，而此方程无解．∴．此时，代入，即．（1）（2）令，，∴在上单调递增．∵，∴．∴．∴对于，方程①总有解．解析:设等差数列的公差为，则，解得，∴．由，∴，当时，，对也适合，∴，∴，∴．（1）．（2）．17.（1）没有的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（2）．（3）分布列为：18.（1）（2）（3）（1）解析:作出列联表： 青春组风华组合计男生女生合计由列联表数据代入公式得，因为，故没有的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．用表示“至少有人在青春组”，则．由题知，抽取的名学生中有名学生是青春组学生，抽取名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取名学生可以看出次独立重复实验，于是服从二项分布，显然的取值为，，，，．且，，，，，．所以得分布列为：数学期望．解析:设点在平面上的射影为点，连结，则平面，∴，∵四边形是矩形，∴，数学期望．（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）∴平面，∴，又，∴平面，而平面，∴平面平面．在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结，∵平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，设，则，在中，由题意得，，在中，，解得，∴，∴二面角的余弦值为．解析:设，由题意可得：，化简得，所以动点的轨迹的方程为：．设，，（1）．（2）四边形的面积为定值，证明见解析．20.（1）（2）由得：，，因为点，在椭圆上，所以，，所以，化简得，直线的方程为，原点到直线的距离为，所以的面积，根据椭圆的对称性，四边形的面积，所以，所以，所以四边形的面积为定值．解析:当时，曲线，，时，切线的斜率为，又切线过点，所以切线方程为．（1）切线方程为．（2）当时，的单减区间是．当时，单减区间是，单增区间是，，当时，单增区间是．21.（1）（2），，，当时，，函数在上单调递减；当时，令，，当时，即，，此时，函数在上单调递增；当时，即，方程有两个不等实根，所以，，此时，函数在，上单调递增；在上单调递减．综上所述，当时，的单减区间是．当时，单减区间是，单增区间是，，当时，单增区间是．解析:∵（）．∴，即，即，（）．则圆的标准方程为，（）．由，消去参数得，即直线的普通方程为．由圆的方程得圆心，半径，则圆心到直线的距离，∵．∴，（1）圆的标准方程为，（）．直线的普通方程为．（2）．22.（1）（2）即，则，即，则，则，由得得．即实数的取值范围是．解析:当时，，由的单调性及，得的解集为．由得，由得，得．（当且仅当或时等号成立）故的最小值为．（1）．（2）．23.或或。

2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9] B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i -B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．234．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米 B ．20米 C ．152 D ．15米6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．787．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．36010．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 ，展开式中的常数项是 ．14．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 ．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 ．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 ．。

2020年河南省周口市重点高中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z1+i=()A. −32+32i B. −32+12i C. −12+32i D. 12+32i2.已知集合M={−2,0，2，4}，N={x|x2<9}，则M∩N=()A. {0,2}B. {−2,0，2}C. {0,2，4}D. {−2,2}3.已知单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为π3，则a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=()A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√34.已知双曲线x22−y2a=1的一条渐近线为y=√2x，则实数a的值为()A. √2B. 2C. √3D. 45.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=36，则a3+a7=()A. 4B. 8C. 12D. 166.已知命题p:∃x0∈R，2x0(x0−1)<1;命题q:函数f(x)=tanx在定义域上是增函数.则下列命题是真命题的是()A. p∧qB. p∧¬qC. ¬p∧qD. ¬p∨q7.若角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=−4x上，且x≤0，则()A. sinα=−√1717B. cosα=4√1717C. tanα=−4D. 以上都错8.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A. 15B. 25C. 825D. 9259.已知函数f(x)=xcos x，则y=f(x)的图象大致为()A. B. C. D.10. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘11. 对于定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0，若f(−1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=( )A. −1B. 0C. 1D. 2 12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的右顶点为A ，点P 在椭圆上，且PF 1⊥x 轴，直线AP 交y 轴于点Q ，若AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =3QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率等于( ) A. 12 B. 13 C. √22 D. √23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 2+2xe ，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)=____.14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知首项为1的数列{a n }，满足a n+1=11+a n (n ∈N ∗)，则a 3= ______ ． 16. 已知点A ，B ，C ，D 在同一球的球面上，AB =BC =a ，AC =√2a ，若四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在侧棱DA 上，DC =√6a ，则这个球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cosB cosC =−b 2a+c ．(1)求∠B 的大小；(2)若a =2，S =√3，求b ，c 的值．18.如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB=60°，点F是BC的中点．(1)求证：BD⊥EF；(2)求二面角E−DF−B的余弦值．19.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F，E上一点(3,m)到焦点的距离为4．(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为−1，求直线l的方程．20. Monte −Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte −Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分∫x 410dx ，这时∫x 410dx 等于由曲线y =x 4，x 轴，x =1所围成的区域M 的面积，为求它的值，我们在M 外作一个边长为1正方形OABC ，设想在正方形OABC 内随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为m n ，此即为定积分∫x 410dx 的估计值L ，向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M ．(Ⅰ)若ξ=2099，计算L 的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；(Ⅱ)求ξ的数学期望；(Ⅲ)用以上方法求定积分，求L 与实际值之差在区间(−0.01,0.001)的概率．附表：p(n)=∑C n i=1 10000k ×0.2k ×0.810000−k .810000−k n 1899 1900 1901 2099 2100 2101P(n) 0.0058 0.0062 0.0067 0.9933 0.9938 0.9942x2−aln x(a>0)。

2020届河南省濮阳市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|05}A x N x =∈≤≤，{1,3,5}U C B =，则集合B =（ ）A ．{2,4}B ．{0,2,4}C ．{0,1,3}D ．{2,3,4}2.复数4312i z i+=+的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．-13.在如图的程序框图中，若输入77m =，33n =，则输出的n 值是（ ）A ．3B ．7C ．11D ．334.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，A ，B ，C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．5.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．-5C ．13 D ．13- 6.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A ．116B ．316C ．14D ．13167.设1x ，2x ，3x 均为实数，且121log (1)x x π-=+，232log x x π-=，323log x x π-=，则（ ）A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<8.设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1n n b a =+，若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中，则q 的值为（ ）A ．43-B ．32-C ．-2D ．94- 9.已知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1()()3g x f x =-，1x ，2x 是()g x 在[0,]π上的相异零点，则12cos()x x -的值为（ ）A．3 B．3- C ．13 D ．13- 10.已知1F ，2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠的值为（ ）A ．14B ．35C ．34D ．4511.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()()xf x f x >恒成立（其中'()f x 为函数()f x 的导函数），对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是（ ）A ．1212()()()f x f x f x x ⋅≥B ．1212()()()f x f x f x x ⋅≤C ．1212()()()f x f x f x x +>+D ．1212()()()f x f x f x x +<+12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N ：第2017行的第N 项为2的正整数幂.已知1021024=，那么该款软件的激活码是（ ）A ．1040B ．1045C ．1060D ．1065二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，有5个全等的小正方形，BD x AE y AF =+，则x y +的值是 ．14.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数是 ． 15.已知三棱锥P ABC -的底面为等边三角形，PA ，PB ，PC 两两相等且互相垂直，若该三棱锥ABC 的距离为 ．16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求CD 的长.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =.（Ⅰ）求证：PQ AB ⊥；（Ⅱ）求二面角P QB M --的余弦值.19.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2020年双十一的广告策略，随机调查1000名淘宝客户在2017年双十一前后10天内网购所花时间，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从2(,)N μσ，其中μ用样本平均值代替，20.24σ=.（Ⅰ）计算样本的平均值μ，并利用该正态分布求(1.51 2.49)P T <<.（Ⅱ）利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10000名淘宝客户，记X 为这10000人中目标客户的人数.（i ）求EX ；（ii ）问：10000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大？附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=0.49≈.20.已知椭圆Ω：22143x y +=，点A 是椭圆Ω内且在x 轴上的一个动点，过点A 的直线与椭圆Ω交于B ，C 两点（B 在第一象限），且3AB AC =.（Ⅰ）若点C 为椭圆Ω的下顶点，求点A 的坐标；（Ⅱ）当OBC ∆（O 为坐标原点）的面积最大时，求点A 的坐标.21.已知函数2()4x x f x e ae =-(42)a x +-，其中1a ≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在x 使得()()0f x f x +-=，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若当0x ≥时恒有()()f x f x ≥-，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的任一点向圆C 引切线，求切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.濮阳市2020届高三毕业班第二次模拟考试数学（理科）·答案一、选择题1-5: BDCAB 6-10: DABCC 11、12：DA二、填空题13. 1 14. -20 15. 316. 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，4cos 5A =，(0,)A π∈，所以sin A35==. 同理可得，12sin 13ACB ∠=. 所以cos cos[()]B A ACB π=-+∠cos()A ACB =-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB=∠-∠312451651351365=⨯-⨯=. （Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AB ACB A=∠1312203135=⨯=. 又3AD DB =，所以154BD AB ==. 在BCD ∆中，由余弦定理得，CD ===18.【解析】（Ⅰ）在PAD ∆中，PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥.因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD底面ABCD AD =，所以PQ ⊥底面ABCD .又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ AB ⊥.（Ⅱ）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， 所以//BC QD ，所以四边形BCDQ 为平行四边形.因为AD DC ⊥，所以AD QB ⊥，由（Ⅰ）可知PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Q xyz -.则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A，P，(C -，(1,0,0)D -，B .因为AQ PQ ⊥，AQ BQ ⊥，所以AQ ⊥平面PQB ，即OA 为平面PQB 的一个法向量，且(1,0,0)OA =.因为M 是棱PC 的中点，所以点M的坐标为1,222⎛- ⎝⎭，又QB =，设平面MQB 的法向量为(,,)m x y z =.则00m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即010222x y z =⎨-++=⎪⎩， 令1z =，得x =0y =，所以(3,0,1)m =.从而cos ,OA m <>32OA mOA m ⋅==.由题知，二面角P QB M --为锐角，所以二面角P QB M --19. 【解析】（Ⅰ）因为0.4(0.0500.80.225 1.2μ=⨯⨯+⨯0.550 1.60.825 2.00.600 2.4+⨯+⨯+⨯0.200 2.80.050 3.2)2+⨯+⨯=，从而T 服从(2,0.24)N，因为0.49σ=≈，从而(1.51 2.49)P T <<()0.6826P T μσμσ=-<<+=.（Ⅱ）（i ）任抽1个淘宝客户，该客户是目标客户的概率为(2 2.98)(2)P T P T μμσ<<=<<+1(22)2P T μσμσ=-<<+10.95440.47722=⨯=. 现若随机抽取10000名淘宝客户，记X 为这10000人中目标客户的人数，从而X 服从(10000,0.4772)B ，所以100000.47724772EX =⨯=.（ii ）X 服从(10000,0.4772)B ，()P X k =10000100000.4772(10.4772)k k k C --10000100000.47720.5228k k k C -=⋅. 若当X k =时概率最大，则有()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =>=+⎧⎨=>=-⎩，即11000010000110000100000.52280.47720.47720.5228k k k k C C C C +-⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得4772k =， 故10000人中目标客户的人数X 为4772的概率最大.20.【解析】（Ⅰ）由题易知(0,C ，由3AB AC =知B的纵坐标为3， 代入椭圆Ω的方程得22143x ⎝⎭+=，解得3x =（负值舍去），即此时33B ⎛ ⎝⎭. 从而直线BC的方程为y =0y =，得x =A . （Ⅱ）设11(,)B x y ，22(,)C x y ，由3AB AC =，知1230y y +=.易知直线l 与y 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 的方程为x my n =+，联立22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去x 可得22(34)6m y mny ++23120n +-=，∴122634mn y y m -+=+，212231234n y y m -⋅=+. ∵1230y y +=，∴12334mn y m =+，2212434n y m -=+， ∴22222294(34)34m n n m m -=++，从而2223431m n m +=+. ∴1212OBC S n y y ∆=⋅-2126234m n n y m ==+2631m m =+. ∵B 在第一象限，∴11x my n =+223034m n n m =+>+，∴0n >. ∵10y >，∴0m >. ∴2631OBC m S m ∆=+613m m≤=+，当且仅当m =时取等号，此时n =.即此时A ⎫⎪⎪⎝⎭.21.【解析】（Ⅰ）2'()24x x f x e ae =-(42)2(1)x a e +-=-(12)x e a +-.令'()0f x =得0x =或ln(21)x a =-.当1a =时，2'()2(1)0x f x e =-≥，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，令'()0f x >得0x <或ln(21)x a >-，从而()f x 在(,0)-∞，(ln(21),)a -+∞上单调递增，在(0,ln(21))a -上单调递减.（Ⅱ）2()()x f x f x e+-=24()0x x x e a e e --+-+=，令x x t e e -=+， 则x x t e e -=+2≥=，当且仅当0x =取得等号.注意到222()2x x x x e e e e --+=+-22t =-，原问题转化为2240t at --=在[2,)+∞上有解，即24a t t =-在[2,)+∞上有解，又2t t -关于t 单调递增，从而24212a ≥-=， 又1a ≥，综合得[1,)a ∈+∞.（Ⅲ）令()()()g x f x f x =--224()x x x x e e a e e --=---(84)a x +-，22'()2()x x g x e e -=+4()(84)x x a e e a --++-22(2)484t at a =--+-，得'()2(2)(22)g x t t a =-+-，由（Ⅱ）知2t ≥.当2220a +-≥，即2a ≤时，'()0g x ≥，又(0)0g =，从而当0x ≥时恒有()()f x f x ≥-， 当2a >时，存在22t a =-使得'()0g x =，即22x x e e a -+=-，即2(22)10x x ea e --+=，解得1x e a =-ln(1x a =-，（l n (1x a =--舍去）.从而当[0,ln(1x a ∈-时'()0g x ≤，此时()(0)0g x g ≤=，矛盾.综上[1,2]a ∈.22.【解析】（Ⅰ）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C 的直角坐标方程为220x y ++=，即22122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴圆心C 的直角坐标为22⎛- ⎝⎭. （Ⅱ）方法一：由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长是==≥，∴由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值是方法二：∵直线l 的普通方程为0x y -+=，圆心C 到直线l|5++=， ∴由直线l 上的任一点向圆C=23.【解析】（Ⅰ）因为(2)f x m x +=-，所以(2)0f x +≥等价于x m ≤. 由x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知111123a b c++=， 又,,a b c R +∈， 23(23)a b c a b c ++=++11123a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 21123a a b b c a =++++233132b c c c a b++++ 2323a b a b a c =+++32332c b c a c b +++3≥+9+=， 当且仅当3a =，32b =，1c =时等号成立.。

河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={y|y=2x,x>0}，B={x|y=log2(x−2)}，则A∩(∁R B)=（）A．[0,1)B．(1,2)C．(1,2]D．[2,+∞)2．（2分）已知复数z满足(1+√3i)z=1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）已知函数f(x)=sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的最大值为2C．f(x)的图像关于y轴对称D．f(x)在区间[π4，π2]上单调递减4．（2分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝12AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：√5≈2.236）A．0.236B．0.382C．0.472D．0.6185．（2分）已知等比数列{a n}中，有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7=a7，则S13=（）A．26B．52C．78D．1046．（2分）已知两条直线a,b和平面α，若b⊂α，则a//b是a//α的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（2分）已知函数f(x)={e x−1,x<2,log3(x2−1),x≥2,若f(a)≥1，则a的取值范围是（）A ．[1,2)B ．[1,+∞)C ．[2,+∞)D ．(−∞,−2]∪[1,+∞)8．（2分）若 x ， y 满足约束条件 {2x +y ≥2,y −x ≤2,x −2≤0, 则 yx+2 的取值范围为（ ）A ．[−12,1]B ．(−∞,−12]∪[1,+∞)C ．[0,1]D ．[12,1]9．（2分）已知数列 {a n } 中， a 1=12， a n+1=1−1a n ，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A ．n ≤2012B ．n ≤2015C ．n ≤2017D ．n ≤201810．（2分）已知 ΔABC 中， A =60° ， AB =6 ， AC =4 ， O 为 ΔABC 所在平面上一点，且满足 OA =OB =OC .设 AO⇀=λAB ⇀+μAC ⇀ ，则 λ+μ 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1118D ．71111．（2分）已知 P 是双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 上一点，且在 x 轴上方， F 1 ， F 2 分别是双曲线的左、右焦点， |F 1F 2|=12 ，直线 PF 2 的斜率为 −4√3 ， ΔPF 1F 2 的面积为 24√3 ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．√3D ．√212．（2分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点， ∠ABC =60∘ ， AC =2 ，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为 V 1 ，三棱锥O 一ABC 的体积为 V 2 ，若 V1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为 ( ) A ．16π9B ．64π9C ．3π2D ．6π二、填空题 (共4题；共9分)13．（1分）中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有种．14．（2分）已知正数x,y满足x2+y2=1，则当x=时，1x+1y取得最小值，最小值为．15．（5分）已知函数f(x)是定义域为(−∞,+∞)的偶函数，且f(x−1)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=1−x3，则f(292)=．16．（1分）已知点E在y轴上，点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|=12，则p=．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知ΔABC的面积为3√3，且内角A、B、C依次成等差数列.（1）（5分）若sinC=3sinA，求边AC的长；（2）（5分）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值.18．（10分）如图,在三棱锥A−BCD中, △ABC是等边三角形, ∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP．（1）（5分）证明:平面ACD⊥平面BDP;（2）（5分）若BD=√6,且二面角A−BD−C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（10分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2.（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，若k OM⋅k ON=54，求证：点(m,k)在定圆上.20．（10分）已知函数f(x)=me x−lnx−1.（1）（5分）当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）（5分）若m∈(1,+∞)，求证：f(x)>1.21．（10分）2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）（5分）求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望；（2）（5分）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n(n≥2).（i）求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′=ln(1+p)−23p，当p′取最大值时，计算此时p′所对应的E6′值和此时p对应的E6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取a=10）（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6,ln3≈1.1,ln2≈0.7,13≈0.3,23≈0.7）22．（10分）在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为{x=2sinαy=1−cos2α,（α为参数）．（1）（5分）请写出直线l的参数方程;（2）（5分）求直线l与曲线C交点P的直角坐标．23．（10分）回答下面问题（1）（5分）已知x,y∈R,且|x+y|≤16, |x−y|≤14,求证：|x+5y|≤1．（2）（5分）已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题意易得：A=(1，+∞)，B=(2，+∞)∴∁R B=(−∞,2],∴A∩(∁R B)=(1,2],故答案为：C【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果2．【答案】D【解析】【解答】由(1+√3i)z=1+i，得z=1+i1+3i=(1+i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=1+√3+(1−√3)i1+3=1+√34+1−√34i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1+√34，1−√34），在第四象限．故答案为：D．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．3．【答案】C【解析】【解答】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[ π4，π2]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[ π4，π2]上单调递增．故答案为：C．【分析】利用余弦型函数的图象与性质逐一判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】由勾股定理可得：AC＝√5≈2.236，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝√5−1≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为＝1.236−0.7642=0.236，故答案为：A．【分析】由勾股定理可得：AC＝√5≈2.236，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为1.236−0.7642＝0.236．5．【答案】B【解析】【解答】设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a11=4a7，∴a72=4a7≠0，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列，且b7=a7．∴S13=13×(a1+a13)2=13b7=13a7=52故答案为：B．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比性质可得a72=4a7，即b7=a7，再结合S13= 13b7，即可得到结果.6．【答案】D【解析】【解答】当b⊂α时，若a//b时，a与α的关系可能是a//α，也可能是a⊂α，即a//α不一定成立，故a//b⇒a//α为假命题；若a//α时，a与b的关系可能是a//b，也可能是a与b异面，即a//b不一定成立，故a//α⇒a//b也为假命题；故a//b是a//α的既不充分又不必要条件故答案为：D【分析】先判断a//b⇒a//α与a//α⇒a//b的真假，然后利用充要条件的定义，得到a//b与a//α的关系．7．【答案】B【解析】【解答】∵f(x)={e x−1,x<2,log3(x2−1),x≥2,，f(a)≥1∴{a<2e a−1≥1或{a≥2log3(a2−1)≥1即{a<2a−1≥0或{a≥2a2−1≥3即1≤a<2或a≥2∴a的取值范围是[1,+∞)故答案为：B【分析】依题意，对a分a <2,与a ≥2讨论，再解相应的不等式即可．8．【答案】A【解析】【解答】作出x，y满足约束条件{2x+y≥2y−x≤2x−2≤0的可行域如图：△ABC，yx+2表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组{x=22x+y=2可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：−22+2=−12，当直线经过点A时，M取最大值42+2=1．则yx+2的取值范围：[ −12，1]．故答案为：A．【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．9．【答案】C【解析】【解答】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A =12，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1 −12=12，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件． 分析选项中的条件，满足题意的C ． 故答案为：C ．【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时求出满足题意的选项即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：由 OA =OB =OC ，得：点 O 是 ΔABC 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有： {AO ⇀·AB ⇀=18AO ⇀·AC ⇀=8， 即 {(λAB⇀+μAC ⇀)·AB ⇀=18(λAB ⇀+μAC ⇀)·AC ⇀=8 ， 又 AB =6 ， AC =4 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 ， 所以 {6λ+2μ=33λ+4μ=2 ，解得： {λ=49μ=16， 即 λ+μ=49+16=1118，故答案为： C ．【分析】由由 OA =OB =OC ，得：点 O 是 ΔABC 的外心，由向量的投影的概念可得：{AO ⇀·AB ⇀=18AO ⇀·AC ⇀=8 ，再代入运算 {6λ+2μ=33λ+4μ=2 ，即可 11．【答案】B【解析】【解答】P 是双曲线 x 2a 2−y 2b2= 1（a ＞0，b ＞0）上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，c ＝6，△PF 1F 2的面积为24 √3 ，可得P 的纵坐标y 为： 12×12×y =24√3 ，y ＝4 √3 ．直线PF 2的斜率为﹣4 √3 ，所以P 的横坐标x 满足： yx−6=−4√3 ，解得x ＝5，则P （5，4 √3 ），|PF 1| =√(5+6)2+(4√3−0)2= 13， |PF 2| =√(5−6)2+(4√3−0)2= 7， 所以2a ＝13﹣7，a ＝3，所以双曲线的离心率为：e =ca = 2．故答案为：B ．【分析】利用三角形的面积求出P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出P 的横坐标，然后求解a ，c ，然后求解双曲线的离心率即可．12．【答案】B【解析】【解答】由题意，设 ΔABC 的外接圆圆心为 O′ ，其半径为 r ，球 O 的半径为 R ，且|OO′|=d依题意可知 (V 1V 2)max=R+d d =3 ，即 R =2d ，显然 R 2=d 2+r 2 ，故 R =2√3 ，又由 2r =AC sin∠ABC =3 ，故 r =3，∴球 O 的表面积为 4πR 2=163πr 2=649π ，故答案为：B.【分析】设 ΔABC 的外接圆圆心为 O′ ，其半径为 r ，球 O 的半径为 R ，且 |OO′|=d ，根据体积比求得 R =2d ，利用球的性质，得 R =23 ，再由三角形的性质，求得 r =23，利用球的表面积公式，即可求解．13．【答案】50【解析】【解答】解:先分类,若甲同学选了牛,则乙同学有 2 种选法,丙同学有 10 种选法,共有 C 21⋅C 101=20 种选法；若甲同学选了马,则乙同学有 3 种选法,丙同学有 10 种选法,共有 C 31⋅C 101=30 种选法．故三位同学的选法共有 20+30=50 （种）【分析】先分情况甲选牛共有 C 21⋅C 101=20 ,甲选马有 C 31⋅C 101=30 ,得出结果若14．【答案】√22；2√2【解析】【解答】解:由基本不等式可得 x 2+y 2≥2xy ,当且仅当 x =y 时等号成立． ∵ 正数 x,y 满足 x 2+y 2=1 , ∴xy ≤12,当且仅当 x =y =√22时等号成立． ∴1x +1y ≥2√1xy ≥2√2 ,当且仅当 x =y =√22时等号成立, ∴1x +1y 的最小值为 2√2 ．故答案为:(1). √22(2). 2√2【分析】先根据基本不等式得 x 2+y 2≥2xy ,结合 x 2+y 2=1 得 xy ≤12,再由基本不等式得 1x +1y >2√1xy ≥2√2 ,最后检验 x =y =√22时成立即可. 15．【答案】−78【解析】【解答】因为 f(x −1) 为奇函数，所以 f(−x −1)=−f(x −1)∴f(−x −2)=−f(x)又因为 f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的偶函数，所以 f(−x)=f(x) 即 f(−x −2)=−f(−x)∴f(x −2)=−f(x) 所以 f(x) 的周期 T =4因为 f(292)=f(12+52)=f(52)=−f(52−2)=−f(12)f(12)=1−(12)2=78所以 f(292)=−78故答案为 −78【分析】由题意 f(x) 的周期 T =4 ，再利用函数的性质可得所求结果.16．【答案】8【解析】【解答】设 E(0,b) ，又 F(p 2,0) ，因为 M 为 EF 的中点，所以点 M 的坐标为 (p 4,y) ，则 y 2=2p ×p 4=p 22 ，即 M(p 4,√22p) ，又由 0+b 2=√22p ，则 b =√2p ，即 E(0,√2p) ，直线 EF 的方程为 y =−2√2x +√2p ，代入 y 2=2px ，得 4x 2−5px +p 2=0 ， 设 N(x,y) ，则 x +p 4=54p，解得 x =p ， 由抛物线的定义得： |NF|=p +p2=12 ，解得： p =8 。

河南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣4）（x +1）≥0}，则∁U A ＝（ ） A ．（﹣1，4]B ．[﹣1，4）C ．（﹣1，4）D ．[﹣1，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为（ ） A ．85B ．−85C ．85iD ．−85i3．在△ABC 中AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．13b →+23c → B ．23b →+13c → C ．43b →−13c → D ．12b →+12c →4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源．其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为（ ）A ．15B ．725C ．825D ．9255．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（ ）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3 6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n ＝（）A．14B．15C．16D．177．设a=log49，b=2−1.2，c=(827)−13，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．已知A（﹣4，4），O是坐标原点，P（x，y）的坐标满足{2x−y≤0y≥0x−2y+3≥0，则z=OP→⋅AP→的最小值为（）A．3√55B．3√55−8C．﹣3D．−3159．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为l，M（﹣3，0），若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p＝（）A．2B．3C．4D．510．已知函数f（x）=2sinx1+2sinx，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x轴上一点旋转180°；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；A．①③B．③④C．②③D．②④11．已知函数f（x）=xe x，关于x的方程f（x）−1f(x)=m有三个不等实根，则实数m的取值范围是（）A．(e−1e，+∞)B．(1e−e，+∞)C．(−∞，e−1e)D．(−∞，1e−e)12．如图是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1木块的直观图，其中P，Q，F分别是D1C1，BC，AB的中点，平面α过点D且平行于平面PQF，则该木块在平面α内的正投影面积是（）A．4√3B．3√3C．2√3D．√3二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在△AOB中，OA→=a→，OB→=b→满足a→•b→=|a→−b→|＝|a→|＝2，则△AOB的面积．14．在（x+1）（x21√x）n的展开式中，各项系数的和为512，则x2项的系数是．（用数字作答）15．已知F1，F2是双曲线Γ：x225−y29=1的左、右焦点，点P为Γ上异于顶点的点，直线l分别与以PF1，PF2为直径的圆相切于A，B两点，若向量AB→，F1F2→的夹角为θ，则cosθ＝．16．已知数列{b n}的前n项和为T n，2b n＝T n+2，a n={4−n(n为奇数)b n(n为偶数)，数列{a n}的前n项和为S n，若使得S2mS2m−1恰好为数列{a n}中的某个奇数项，则数列{b n}的通项公式b n＝，所有正整数m组成的集合为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足以下四个条件中的三个：①b−a c=2√6a+3c 3(a+b)②cosC cosA+c a=2b a③a =√6④b ＝2√2．（Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC 的面积．18．如图在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，∠BAD ＝60°，AD ∥BC ，AD ＝4BC ＝4，PA =√2PB =√6． （Ⅰ）证明：PC ⊥CD（Ⅱ）求平面PCD 与平面PAB 夹角（锐角）的余弦值．19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P ，M ，N 为椭圆C上的点，直线MN 过坐标原点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若PF ∥MN 且直线PF 与椭圆的另一个交点为Q ，问|MN|2|PQ|是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得；s 2＝6.92，利用该正态分布，求：（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式√6.92≈2.63，若X⁓N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973；21．已知函数f（x）＝a+2ln（x+1），且f（x）≤a（x+1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=(x+1)f(x)x+1−a在x∈（a﹣1，+∞）上的最小值为m，求证：8＜m＜9．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1−√32ty=√3+12t（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sin2θ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A，B为曲线C2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=π2，射线OA，OB交曲线C1分别于点D，C．求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．23．已知a，b，c均为正实数，函数f（x）=1a2+|x−1b2|+|x+14c2|的最小值为1．证明：（Ⅰ）a2+b2+4c2≥9；（Ⅱ）1ab +12bc+12ac≤1．参考答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |（x ﹣4）（x +1）≥0}，则∁U A ＝（ ） A ．（﹣1，4]B ．[﹣1，4）C ．（﹣1，4）D ．[﹣1，4]【分析】可以求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 解：A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥4}，U ＝R ， ∴∁U A ＝（﹣1，4）． 故选：C ．2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为（ ） A ．85B ．−85C ．85iD ．−85i【分析】由已知求得z 1，代入z 1z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由题意，z 1＝2+3i ，又z 2＝﹣2+i ， ∴z 1z 2=2+3i−2+i =(2+3i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−15−85i ．∴复数z 1z 2的虚部为−85．故选：B ．3．在△ABC 中AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（ ）A ．13b →+23c → B ．23b →+13c →C ．43b →−13c → D ．12b →+12c →【分析】作出三角形，将AD →表示为23AB →+13AC →解：如图，因为BD →=12DC →，所以BD →=13BC →，又因为BC →=AC →−AB →，所以BD →=13（AC →−AB →）AD →=AB →+BD →=AB →+13（AC →−AB →）=23AB →+13AC →=23c →+13b →，故选：A ．4．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源．其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为（）A．15B．725C．825D．925【分析】由题意阳数有：1，3，5，7，9，阴数有：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n＝5×5＝25，利用列举法求出其差的绝对值为1包含的基本事件有9个，由此能求出其差的绝对值为1的概率．解：由题意阳数有：1，3，5，7，9，阴数有：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n＝5×5＝25，其差的绝对值为1包含的基本事件有9个，分别为：（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），（9，10），（3，2），（5，4），（7，6），（9，8），则其差的绝对值为1的概率为P=9 25．故选：D．5．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8﹣a5＝﹣6，S9﹣S4＝75，则S n取得最大值时n＝（ ） A ．14B ．15C ．16D ．17【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8﹣a 5＝﹣6，S 9﹣S 4＝75，可得3d ＝﹣6，5a 1+30d ＝75，解出可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 8﹣a 5＝﹣6，S 9﹣S 4＝75， ∴3d ＝﹣6，5a 1+30d ＝75， 解得：a 1＝27，d ＝﹣2， ∴a n ＝27﹣2（n ﹣1）＝29﹣2n ． 令a n ≥0，解得n ≤292=14+12． 则S n 取得最大值时n ＝14． 故选：A ．7．设a =log 49，b =2−1.2，c =(827)−13，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 解：∵a =log 49，b =2−1.2，c =(827)−13，a ＝log 49＞log 48=32， 0＜b ＝2﹣1.2＝（12）1.2＜12，c =(827)−13=32， ∴a ＞c ＞b ． 故选：C ．8．已知A （﹣4，4），O 是坐标原点，P （x ，y ）的坐标满足{2x −y ≤0y ≥0x −2y +3≥0，则z =OP →⋅AP→的最小值为（ ） A ．3√55B ．3√55−8 C ．﹣3 D ．−315【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用点到直线的距离的平方减8，求解即可．解：不等式组{2x −y ≤0y ≥0x −2y +3≥0，它的可行域如图：O 为坐标原点，点A 的坐标为A （﹣4，4），点P （x ，y ），z =OP →⋅AP →=x 2+4x +y 2﹣4y ＝（x +2）2+（y ﹣2）2﹣8，的几何意义是可行域内的点与（﹣2，2）距离的平方减8，如图：即A 到直线x ﹣2y +3＝0的距离最小，所以d =√1+(−2)=5，所以z 的最小值为：95−8=−315故选：D ．9．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线为l ，M （﹣3，0），若抛物线C 上存在一点N ，使M ，N 关于直线l 对称，则p ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】利用抛物线的性质，通过对称知识，转化求解即可． 解：由题意可得：l 的方程：y =√3（x −p2），点N 在第四象限， 设N （m ，−√2pm ），又∵MN 关于l 对称， 可得k =−√33，|−3√3−0−√32p|2=|√3m+√2pm−√3p2|2，l MN ：y =−√33(x +3)，N 在直线y =−√33(x +3)上，可得：−√2pm =−√33(m +3)，联立方程组可得m ＝3，p ＝2，可得 p ＝2． 故选：A ．10．已知函数f（x）=2sinx1+2sinx，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x轴上一点旋转180°；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；A．①③B．③④C．②③D．②④【分析】化简函数f（x），作出函数图象，由图象观察即可得解．解：f(x)=1+2sinx−11+2sinx=1−11+2sinx，作出函数f（x）的图象如下图所示：由图象可知，函数不具有对称中心，故①错误；以x轴为轴，作轴对称显然与原图不重合，故②错误；由图象可知，函数具有周期性，沿x轴正方向平移可以与原图象重合，故③正确；函数f（x）以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称可以与原图象重合，故④正确．故选：B．11．已知函数f（x）=xe x，关于x的方程f（x）−1f(x)=m有三个不等实根，则实数m的取值范围是（ ） A ．(e −1e，+∞)B ．(1e−e ，+∞)C ．(−∞，e −1e)D ．(−∞，1e−e)【分析】作出函数f （x ）的图象，依题意，设t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不同的实根t 1，t 2，且{t 1=1e 0＜t 2＜1e 或{t 1＜00＜t 2＜1e ，再分别讨论，结合函数图象及二次函数的性质即可得解． 解：f′(x)=1−xe x，故函数f （x ）在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 作出函数图象如下图所示，依题意，f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0（f （x ）≠0）有三个不同的实根，则设t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不同的实根t 1，t 2，且由图象可知，{t 1=1e0＜t 2＜1e 或{t 1＜00＜t 2＜1e， 当{t 1=1e 0＜t 2＜1e时，此时0＜t 1t 2＜1e 2，与t 1t 2＝﹣1矛盾，可知不符合题意； 当{t 1＜00＜t 2＜1e 时，由二次函数的性质可知，只需1e 2−m ⋅1e −1＞0，解得m ＜1e −e ，此时符合题意．综上，实数m 的取值范围为(−∞，1e −e)．故选：D ．12．如图是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1木块的直观图，其中P ，Q ，F 分别是D 1C 1，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A．4√3B．3√3C．2√3D．√3【分析】根据题意可知平面α过点D且平行于平面PQF，则平面α可以平移至平面A1BC1，根据投影的性质可得投影为正六边形A1A′BC′C1D1′，推导出A1B=√22+22=2√2，投影面内正六边形的边长为：A1A′=√2cos30°=2√63根据正六边形面积公式能求出投影的面积．解：根据题意可知平面α过点D且平行于平面PQF，则平面α可以平移至平面A1BC1，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面A1BC1的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形A1A′BC′C1D1′，如图所示，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，所以A1B=√22+22=2√2，则投影面内正六边形的边长为：A1A′=√2cos30°=2√63根据正六边形面积公式可得投影的面积为：S A1A′BC′C1D1′=3√32×(2√63)2=4√3，故投影面积为：4√3．故选：A．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在△AOB中，OA→=a→，OB→=b→满足a→•b→=|a→−b→|＝|a→|＝2，则△AOB的面积√3．【分析】根据a →⋅b →=|a →−b →|=|a →|=2，对|a →−b →|=|a →|两边平方即可求出|b →|=2，进而求出cos ＜a →，b →＞=12，sin ＜a →，b →＞=√32，从而可得出△AOB 的面积．解：∵a →⋅b →=|a →−b →|=|a →|=2， ∴a →2+b →2−2a →⋅b →=a →2， ∴b →2=2a →⋅b →=4， ∴|b →|=2，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=4cos ＜a →，b →＞=2，∴cos ＜a →，b →＞=12，sin ＜a →，b →＞=√32，∴S △AOB =12|a →||b →|sin ＜a →，b →＞=12×2×2×√32=√3．故答案为：√3． 14．在（x +1）（x 21√x）n的展开式中，各项系数的和为512，则x 2项的系数是 28 ．（用数字作答）【分析】先利用赋值法求出n 的值，然后再利用通项法求出x 2的系数． 解：令x ＝1得，展开式的各项系数和为（1+1）（1+1）n ＝512， 即2n +1＝29，解得n ＝8． 故原式为：(x +1)(x 2√x)8．(x 2+1√x )8展开式的通项为T k+1=C 8k x 16−52k ，结合原式：当16−52k =1或2，即k ＝6或285（舍）时符合题意．此时x 2的系数为C 82=28． 故答案为：28．15．已知F 1，F 2是双曲线Γ：x 225−y 29=1的左、右焦点，点P 为Γ上异于顶点的点，直线l 分别与以PF 1，PF 2为直径的圆相切于A ，B 两点，若向量AB →，F 1F 2→的夹角为θ，则cos θ＝√3434． 【分析】求得双曲线的a ，b ，c ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得|MN |，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值． 解：双曲线Γ：x 225−y 29=1的a ＝5，b ＝3，c =√34，如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ， MN 为△PF 1F 2的中位线，可得|MN |=12|F 1F 2|＝c =√34，连接AM ，BN ，可得AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，则四边形ABNM 为直角梯形， 过N 作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，可得|NQ |＝|AB |， 而|AM |=12m ，|BN |=12n ，|MQ |=12（m ﹣n ）＝a ＝5， 在直角三角形QMN 中，可得|QN |=√34−25=3， 又向量AB →，F 1F 2→的夹角θ＝∠QNM ，则cos θ=|QN||MN|=34=3√3434． 故答案为：3√3434．16．已知数列{b n }的前n 项和为T n ，2b n ＝T n +2，a n ={4−n(n 为奇数)b n (n 为偶数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，若使得S 2m S 2m−1恰好为数列{a n }中的某个奇数项，则数列{b n }的通项公式b n ＝ 2n ，所有正整数m 组成的集合为 {2} ．【分析】先由2b n ＝T n +2得到2b n ﹣1＝T n ﹣1+2，两式相减得b n ＝2b n ﹣1，求得b n ，再求得a n 及S 2m S 2m−1，然后找到适合题意的m 即可．解：由题意，当n ＝1时，2b 1＝T 1+2＝b 1+2，解得b 1＝2，当n ≥2时，由2b n ＝T n +2，可得2b n ﹣1＝T n ﹣1+2，两式相减，可得2b n ﹣2b n ﹣1＝b n ，整理，得b n ＝2b n ﹣1， ∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝2•2n ﹣1＝2n ，n ∈N*．∴a n ={4−n(n 为奇数)b n (n 为偶数)，即a n ={4−n(n 为奇数)2n (n 为偶数)，∴S 2m ＝（a 1+a 3+…+a 2m ﹣1 ）+（a 2+a 4+…+a 2m ）＝3m +m(m−1)2×(−2)+4(1−4m)1−4=4m ﹣m 2+4m+1−43，S 2m ﹣1＝S 2m ﹣a 2m ＝4m ﹣m 2+4m −43，∴S 2m S 2m−1=1+3×4m 3m(4−m)+4m −4．假设S 2m S 2m−1=a k ＝4﹣k ，k 为正奇数，则3×4m3m(4−m)+4−4=3﹣k ，易知只有当m ＝2时，k ＝1适合题意．故所有正整数m 组成的集合为 {2}． 故答案为：2n ；{2}．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 同时满足以下四个条件中的三个：①b−a c=2√6a+3c 3(a+b)②cosC cosA+c a=2b a③a =√6④b ＝2√2．（Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC 的面积．【分析】（I ）分别结合余弦定理及正弦定理对已知进行化简，然后结合和差角公式即可求解；（II ）结合所选选项进行化简，然后结合三角形的面积公式即可求解． 解：（I ）由①b−a c =2√6a+3c3(a+b)及余弦定理可得，3(a 2+c 2−b 2)=−2√6ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac=−√63，②由cosC cosA+c a=2b a及正弦定理可得，sinAcosC+sinCcosAsinAcosA=2sinB sinA，即sin(A+C)sinAcosA=2sinB sinA，因为sin （A +C ）＝sin B ≠0，A +C ，A ∈（0，π），所以cos A=12，且A为三角形的内角，A=13π，因为cos B=−√63＜−1 2，故B＞2π3，A+B＞π，矛盾，故不可能同时满足①②；（Ⅱ）由（I）可知，△ABC满足①③④或②③④，若满足①③④，因为b2＝a2﹣c2﹣2ac cos B，所以8＝6+c2+2√6c×√63即c2+4c﹣2＝0，解可得，c=√6−2，S=12acsinB=12×(√6−2)×√6×√33=√3−√2，若满足②③④即A=13π，a=√6，b＝2√2．由正弦定理可得，√6sin13π=2√2sinB，故sin B＝1，此时B=12π，c=√2，S△ABC=12ac=12×√2×√6=√318．如图在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，∠BAD ＝60°，AD∥BC，AD＝4BC＝4，PA=√2PB=√6．（Ⅰ）证明：PC⊥CD（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）过P作PO⊥AB于O，连结OC，OD，推导出OC⊥CD，从而CD⊥平面POC，由此能证明PC⊥CD．（Ⅱ）由AB⊥OD，以O为坐标原点，OD，OB，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过P作PO⊥AB于O，连结OC，OD，由题知AB ＝CD ＝3，∴PA 2+PB 2＝AB 2，∴PO =√2，OB ＝1，OA ＝2，OD ＝2√3，OC =√3， ∴OC ⊥CD ，∵OC ∩PO ＝O ，∴CD ⊥平面POC ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥CD ． （Ⅱ）解：由（1）知AB ⊥OD ，以O 为坐标原点，OD ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，0，√2），D （2√3，0，−√2），C （32，32，0），PD →=（2√3，0，−√2），CD →=（3√32，−32，0），设平面PCD 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PD →=2√3x −√2z =0m →⋅CD →=3√32x −32y =0，取x ＝1，得m →=（1，√3，√6）， 平面PAB 的法向量n →=（1，0，0），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=110=√1010． ∴平面PCD 与平面PAB 夹角（锐角）的余弦值为√1010．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P ，M ，N 为椭圆C上的点，直线MN 过坐标原点，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−12． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若PF ∥MN 且直线PF 与椭圆的另一个交点为Q ，问|MN|2|PQ|是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M （x 0，y 0），P （x 1，y 1），则N （﹣x 0，﹣y 0），将M ，P 的坐标代入椭圆方程，两式相减，结合平方差公式和斜率公式，以及条件可得a ，b 的关系式，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b 的值，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线PQ 的方程为x ＝ty +1，则直线MN 的方程为x ＝ty ，分别联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算化简即可得到所求比值为常数． 解：（Ⅰ）设M （x 0，y 0），P （x 1，y 1），则N （﹣x 0，﹣y 0）， 由{ x 02a 2+y 02b 2=1x 12a 2+y 12b 2=1，可得(x 0−x 1)(x 0+x 1)a 2+(y 0−y 1)(y 0+y 1)b 2=0， 即(y 0+y 1)(y 0−y 1)(x 0+x 1)(x 0−x 1)=−b 2a 2，所以a 2＝2b 2，又a 2﹣b 2＝c 2＝1， 所以a =√2，b ＝1， 故椭圆的方程为x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设直线PQ 的方程为x ＝ty +1，则直线MN 的方程为x ＝ty ， 由{x =ty +1x 2+2y 2=1可得（2+t 2）y 2+2ty ﹣1＝0，设Q （x 2，y 2）， 则△＝4t 2+4（2+t 2）＝8（1+t 2）＞0， y 1+y 2=−2t 2+t 2，y 1y 2=−12+t 2， 所以|PQ |=√1+t 2•|y 1﹣y 2|=√1+t 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2•√(−2t 2+t 2)2+42+t 2=2√2(1+t 2)2+t2， 由{x =ty x 2+2y 2=2可得y 02=22+t 2，所以|MN |＝2√x 02+y 02=2√(1+t 2)y 02=2√2(t 2+1)2+t2， 故|MN|2|PQ|=2√2为常数．20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得；s 2＝6.92，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式√6.92≈2.63，若X⁓N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973；【分析】（1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；（2）由题意，X～N（17.40，6.92），．（i）由已知数据求得P（x＞μ﹣σ），进一步求得μ﹣σ得答案；（ⅱ）求出P（X≥12.14），得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，设1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p），求出恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率，由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×pk(1−p)＞1，得k＜1001p，结合1001p＝978.233，对k分类分析得答案．解：（1）x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36×20×0.10+ 22×0.06+24×0.04=17.40；（2）由题意，X～N（17.40，6.92）．（i）P（x＞μ﹣σ）=12+0.68262≈0.8413，∴μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元；（ⅱ）由P（X≥12.14）＝P（X≥μ﹣2σ）＝0.5+0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p），其中p＝0.9773．于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P（ξ＝k）=C103k p k(1−p)103−k，从而由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×pk(1−p)＞1，得k＜1001p，而1001p＝978.233，∴当0≤k≤978时，P（ξ＝k﹣1）＜P（ξ＝k），当979≤k≤1000时，P（ξ＝k﹣1）＞P（ξ＝k）．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978．21．已知函数f（x）＝a+2ln（x+1），且f（x）≤a（x+1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）令g（x）=(x+1)f(x)x+1−a在x∈（a﹣1，+∞）上的最小值为m，求证：8＜m＜9．【分析】（Ⅰ）令x+1＝t，等价于a﹣at+2lnt≤0在t＞0时恒成立，令h（t）＝a﹣at+2lnt，求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出h（t）的最大值，从而确定a的值；（Ⅱ）令x+1＝t，问题变形为θ（t）=2t+2tlntt−2（t＞2），求出函数的导数，令s（t）＝t﹣2lnt﹣4，求出θ（t）的最小值，从而得到m的范围，证明结论成立．解：（Ⅰ）令x+1＝t，由题意知：f（x）≤a（x+1））等价于a﹣at+2lnt≤0在t＞0时恒成立，令h（t）＝a﹣at+2lnt，则h′（t）=2−at t，当a≤0时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，+∞）递增，由于h（1）＝0，不合题意，当a＞0时，h′（t）=−a(t−2 a )t，故当t∈（0，2a），h′（t）＞0，h（t）递增，当t∈（2a，+∞），h′（t）＜0，h（t）递减，故h（t）max＝h（2a）＝a﹣2+2ln2﹣2lna，故要使h（t）≤0在t＞0时恒成立，则只需h（t）max≤0，即a﹣2+2ln2﹣2lna≤0，令φ（a）＝a﹣2+2ln2﹣2lna，则φ′（a）=a−2 a，故a∈（0，2）时，φ′（a）＜0，φ（a）递减，a∈（2，+∞）时，φ′（a）＞0，φ（a）递增，又∵φ（2）＝0，故满足条件a的值是2，即a＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令x+1＝t，则g（x）=(x+1)f(x)x+1−a变形为θ（t）=2t+2tlntt−2（t＞2），∴θ′（t）=2(t−2lnt−4)(t−2)2，令s（t）＝t﹣2lnt﹣4，则s′（t）=t−2t＞0，故s（t）在（2，+∞）递增，又s（8）＜0，s（9）＞0，故存在t0∈（8，9），使得s（t0）＝0，且当2＜t＜t0时，s（t）＜0，当t＞t0时，s（t）＞0，故θ（x）在（2，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故θ（t）min＝θ（t0）=2t0+2t0lnt0t0−2=t02−2tt0−2=t0，（2lnt0＝t0﹣4），即m＝t0，故8＜m＜9．一、选择题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1−√32ty=√3+12t（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sin2θ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A，B为曲线C2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=π2，射线OA，OB交曲线C1分别于点D，C．求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用和分割法的应用求出结果． 解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =1−√32ty =√3+12t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +√3y −4=0． 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，整理得ρcosθ+√3ρsinθ=4，转换为ρ=2sin(θ+π6)．（Ⅱ）设A ，B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB =π2，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．设A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+π2），D （ρ3，θ），C （ρ4，θ+π2）．所以S △AOB 2=14ρ12⋅ρ22=14×31+2sin 2θ×31+2cos 2θ≥94×1(1+2sin 2θ+1+2cos 2θ2)=916，所以S △AOB ≥34．S △COD =12ρ3ρ4=12×2sin(π4+π6)×2cos(π4+π6)=8． 所以此时四边形ABCD 的面积为8−34=294．23．已知a ，b ，c 均为正实数，函数f （x ）=12+|x −1b2|+|x +14c 2|的最小值为1．证明： （Ⅰ）a 2+b 2+4c 2≥9； （Ⅱ）1ab+12bc+12ac≤1．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值，再运用柯西不等式，即可得证；（Ⅱ）运用重要不等式m 2+n 2≥2mn ，m ，n ＞0，由累加法和1a 2+1b 2+14c 2=1，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）a ，b ，c 均为正实数，函数f （x ）=1a 2+|x −1b 2|+|x +14c 2|≥1a 2+|x −1b 2−x −14c 2|=12+1b2+12， 当−14c 2≤x ≤1b 2时，f （x ）取得最小值1，即1a 2+1b 2+14c 2=1， 由柯西不等式可得（a 2+b 2+4c 2）（1a +1b +14c）≥（a •1a+b •1b+2c •12c）2＝9，当且仅当a ＝b ＝2c =√3时，取得等号，所以a2+b2+4c2≥9；（Ⅱ）由a＞0，b＞0，c＞0，可得1a2+1b2≥2ab，1b2+14c2≥1bc，1a2+14c2≥1ac，三式相加可得2ab +1bc+1ac≤2（1a2+1b2+14c2）＝2，即1ab +12bc+12ac≤1．。

空白简历模板电子版的制作方法
在现代社会，简历是求职者展示个人能力和经历的重要方式。

而随着电子化信
息时代的到来，电子版简历也变得越来越流行。

有时候我们需要根据自己的需求制作一份空白简历模板电子版，以备不时之需。

下面将介绍一种简单而有效的方法来制作空白简历模板电子版。

步骤一：选择编辑工具
首先，我们需要选择一款适合制作简历的编辑工具。

市面上有很多专门用来编
写简历的在线编辑工具或者软件，比如Microsoft Word、Google Docs、Pages等。

您可以根据自己的习惯和需求选择合适的编辑工具。

步骤二：设计简历模板
在编辑工具中，我们可以开始设计空白简历模板。

简历模板的设计应简洁清晰，包括个人信息、教育经历、工作经验、技能特长等内容。

您可以根据自己的喜好和个人风格自行设计，并确保留有足够的空白填写区域。

步骤三：设置格式样式
在设计好简历模板之后，我们需要设置格式样式。

这包括字体大小、颜色、对
其方式等方面的设置，以确保整体风格统一、美观。

同时，您也可以添加一些装饰性的元素，使简历看起来更加有吸引力。

步骤四：保存和导出
编辑完成后，记得保存您的简历模板。

可以选择保存在本地电脑上或者云端存
储中，以备后续使用。

另外，您也可以导出简历为PDF等格式，方便发送给招聘
方或打印出来使用。

结语
制作一份空白简历模板电子版并不困难，只要按照以上步骤进行操作，您就可
以轻松地拥有一份自己设计的简洁、美观的简历模板了。

希望以上方法能够对您有所帮助，祝您求职顺利！。