课时作业3：专题强化五 天体运动的“四类热点”问题

专题强化五 天体运动的“四类热点”问题专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解． 3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 2．同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T 2r . (2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．(3)物理规律：①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． ②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径． ③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行． (4)重要条件：①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km ，地球表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s.3．两个向心加速度特点随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小4.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢． (2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T ＝2πr 3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．例1 (2019·安徽宣城市第二次模拟)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有( )A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运动周期有可能是20 h变式1 (多选)(2019·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( )A ．它们均位于赤道正上方B ．它们的周期小于近地卫星的周期C ．它们离地面的高度都相同D ．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图2所示．图2(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例2 (2019·辽宁大连市第二次模拟)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图3所示，B 为近月点，A 为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅱ上A 点的加速度大于在B 点的加速度B ．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态C ．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加D ．卫星在轨道Ⅱ经过A 点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B 点时的动能变式2 (2019·山东潍坊市二模)如图4所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M 点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M 点与空间站对接，航天飞机在即将到达M 点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是( ) A ．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期B ．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态C ．航天飞机与空间站对接前后机械能增加D ．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变变式3 (多选)(2019·湖南娄底市下学期第二次模拟)如图5所示，设地球半径为R ，假设某地球卫星在距地球表面高度为h 的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T ，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B 时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G ，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )A ．该卫星在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率B ．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小C ．卫星从远地点A 向近地点B 运动的过程中，加速度变小D ．地球的质量可表示为4π2(R ＋h )3GT 21．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示． (2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . ④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G .2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图7甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A ．质量之积 B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度变式4 (2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T ，恒星A 的质量为M ，恒星B 的质量为3M ，引力常量为G ，则下列判断正确的是( )A ．两颗恒星相距3GMT 2π2B ．恒星A 与恒星B 的向心力大小之比为3∶1C ．恒星A 与恒星B 的线速度大小之比为1∶3D ．恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为3∶1变式5 (多选)如图9，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( ) A ．三颗星的质量可能不相等 B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 41．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3…)． 2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是()A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C．木星运行的加速度比地球的大D．木星运行的周期比地球的小变式6(多选)(2020·山西太原市质检)如图10，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a∶r b＝1∶4，则下列说法中正确的有()A．a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶8B．a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次1.(多选)(2019·福建泉州市第一次质量检查)如图1，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则()A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍B．卫星经过a点的速率为经过b点的2倍C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能2．(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图2所示()A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样3.(多选)如图3为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量为M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则( ) A ．A 的质量一定大于B 的质量 B ．A 的线速度一定大于B 的线速度 C ．L 一定，M 越大，T 越大 D ．M 一定，L 越大，T 越大4．(2019·山东济宁市第二次摸底)设月球和地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r 1、r 2；向心加速度大小分别为a 1、a 2；环绕速度大小分别为v 1、v 2.下列关系式正确的是( ) A ．r 1＜r 2 B ．a 1>a 2 C.v 1v 2＝r 2r 1D ．a 1r 12＝a 2r 225．(2019·山西运城市5月适应性测试)2018年5月21日，我国成功发射了为探月任务执行通信中继服务的“鹊桥”卫星，并定点在如图4所示的地月连线外侧的位置上．“鹊桥”卫星在位置L 2时，受到地球和月球共同的引力作用，不需要消耗燃料就可以与月球保持相对静止，且与月球一起绕地球运动．“鹊桥”卫星、月球绕地球运动的加速度分别为a 鹊、a 月，线速度大小分别为v 鹊、v 月，周期分别为T 鹊、T 月，轨道半径分别为r 鹊、r 月，下列关系正确的是( ) A ．T 鹊<T 月 B ．a 鹊<a 月 C ．v 鹊>v 月D.T 鹊2r 鹊3＝T 月2r 月3 6．地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则( )A ．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大B ．地球的运行速度比海王星的运行速度小C ．2019年不会出现海王星冲日现象D ．2017年出现过海王星冲日现象7.(多选)(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))如图5所示，一火箭中固定有一水平放置的压力传感器，传感器上放有一个质量为m 的科考仪器．火箭从地面由静止开始以g2的初始加速度竖直向上加速运动，火箭通过控制系统使其在上升过程中压力传感器的示数保持不变．当火箭上升到距地面R2的高度时(地球的半径为R ，地球表面处的重力加速度为g )，以下判断正确的是( ) A ．此高度处的重力加速度为14gB ．此高度处的重力加速度为49gC ．此高度处火箭的加速度为54gD ．此高度处火箭的加速度为1918g。

专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图1所示。

图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。

2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。

天体运动中常考易错的“两个命题点”选择题(1～9题为单项选择题，10～14题为多项选择题)1．如图1所示，a 是地球赤道上的一点，t ＝0时刻在a 的正上空有b 、c 、d 三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星，这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向(顺时针方向)相同，其中c 是地球同步卫星。

设卫星b 绕地球运行的周期为T ，则在t ＝14T 时刻这些卫星相对a 的位置最接近实际的是( )图1解析 a 是地球赤道上的一点，c 是地球同步卫星，则c 始终在a 的正上方；由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝4π2r 3GM ，故r 越大，T 越大，则b 比d 超前。

答案 C 2．某卫星在半径为r 的轨道1上做圆周运动，动能为E k ，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE ，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为( )A.E k E k －ΔE rB.E k ΔE rC.ΔE E k －ΔE rD.E k －ΔE ΔE r 解析 卫星在轨道1上时，G Mm r 2＝m v 2r ＝2E k r ，因此E k ＝GMm 2r ，同样，在轨道2上，E k －ΔE ＝GMm 2r 2，因此r 2＝E k E k －ΔE r ，A 项正确。

答案 A 3．中国航天局秘书长田玉龙2015年3月6日证实，将在2015年年底发射高分四号卫星，这是中国首颗地球同步轨道高时间分辨率对地观测卫星。

如图2所示，A 是静止在赤道上随地球自转的物体；B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。

下列关系正确的是()图2A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度B．卫星B的线速度大于卫星C的线速度C．物体A随地球自转的加速度大于卫星C的加速度D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期解析由于A是静止在赤道上随地球自转的物体，C是地球同步轨道卫星，所以两者角速度大小相等，周期相同，即T A＝T C，ωA＝ωC，由T＝2πr3GM得T C＞T B，根据T＝2πω，可得ωC＜ωB，所以ωA＜ωB，选项A、D错误；由a＝ω2r得aA＜a C，选项C错误；根据v＝GMr，可知卫星B的线速度大于卫星C的线速度，即v B＞v C，选项B正确。

专题5.2 宇宙航行及天体运动四类热点问题【讲】目录一讲核心素养 (1)二讲必备知识 (2)【知识点一】卫星运行参量的分析 (2)【知识点二】宇宙速度的理解与计算 (4)三．讲关键能力 (6)【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题 (6)【能力点二】.卫星的变轨和对接问题 (8)四．讲模型思想---双星或多星模型 (10)一讲核心素养1.物理观念：万有引力、宇宙速度。

(1)通过史实，了解万有引力定律的发现过程。

知道万有引力定律。

认识发现万有引力定律的重要意义。

认识科学定律对人类探索未知世界的作用。

(2)会计算人造地球卫星的环绕速度。

知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。

2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。

(1)理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.。

(2)掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。

会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。

二 讲必备知识【知识点一】卫星运行参量的分析1．物理量随轨道半径变化的规律规律⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧G Mm r 2＝（r ＝R 地＋h ）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m v 2r→v ＝GM r →v ∝1rmω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM →T ∝r3ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2越高越慢mg ＝GMm R2地（近地时）→GM ＝gR 2地2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 3．同步卫星的六个“一定”【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为3∶ 2C ．角速度大小之比为22∶3 3D ．向心加速度大小之比为9∶4 【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维中的科学推理。

专题强化五天体运动的“四类热点”问题专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解．3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．一、卫星的轨道1．赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．2．极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．3．其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．自测1(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道()A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的答案CD解析人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B错误；相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星，它必须在赤道平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，C、D正确．二、地球同步卫星的特点相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．同步卫星有以下“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝3GMT 24π2－R ≈3.6×107 m.(5)速率一定：v ＝GM R ＋h ≈3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由G Mm (R ＋h )2＝ma n 得a n ＝GM (R ＋h )2＝g h ＝0.23 m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致．自测2 (2018·河南省鹤壁市第二次段考)已知某行星半径为R ，以第一宇宙速度围绕该行星运行的卫星的绕行周期为T ，围绕该行星运动的同步卫星运行速率为v ，则该行星的自转周期为( )A.8π3R 3T 2v 3B.4π3R 3v 3C.2πR vD.2π2R 2T v2 答案 A解析 设同步卫星距地面的高度为h ，则GMm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h，以第一宇宙速度运行的卫星的轨道半径为R ，GMm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，联立解得h ＝4π2R 3T 2v2－R ，行星的自转周期等于同步卫星运转周期T ＝2π(R ＋h )v ＝8π3R 3T 2v3，A 选项正确，B 、C 、D 选项错误． 三、卫星变轨 1．当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝ GM r可知其运行速度比原轨道运行时的小，但重力势能、机械能均增加． 2．当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GM r可知其运行速度比原轨道运行时的大，但重力势能、机械能均减小． 自测3 (2018·安徽省江南十校冲刺联考)现对于发射地球同步卫星的过程分析，如图1所示，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P 点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )图1A ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/sB ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/sD ．在轨道Ⅰ上，卫星在Q 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s答案 C解析 第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据G Mm r 2＝m v 2r可知v ＝ GM r，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A 错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B 错误；P 点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P 点加速，所以卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度，C 正确；在Q 点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q 点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q 点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q 点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故卫星在轨道Ⅰ上经过Q 点时的速度小于第一宇宙速度，D 错误.命题点一 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题1．解决同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：要抓住G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r . (2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．(3)物理规律：①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．(4)重要条件：①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km ，地球表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s.2．两个向心加速度3.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T ＝2πr 3GM ，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．例1 (2018·江西省鹰潭市模拟)有a 、b 、c 、d 四颗卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b 在地面附近近地轨道上正常运行，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h ，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )图2A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角为π6C ．b 在相同的时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期可能是23 h答案 C解析 同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a 和c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大，由GMm r 2＝ma 知，c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，选项A 错误；由于c 为同步卫星，所以c 的周期为24 h ，因此4 h 内转过的圆心角为θ＝π3，选项B 错误；由四颗卫星的运行情况可知，b 运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C 正确；d 的运行周期比c 要长，所以其周期应大于24 h ，选项D 错误．变式1 (2016·四川理综·3)如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设“东方红一号”在远地点的加速度为a 1，“东方红二号”的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )图3A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3答案 D解析 由于“东方红二号”卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a ＝ω2r ，r 2>r 3，则a 2>a 3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mm r 2＝ma ，由题目中数据可以得出，r 1<r 2，则a 2<a 1；综合以上分析有，a 1>a 2>a 3，选项D 正确．变式2 (2018·福建省南平市第一次质检)如图4所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，a 和b 的轨道半径相同，且均为c 的k 倍，已知地球自转周期为T .则( )图4A ．卫星b 也是地球同步卫星B ．卫星a 的向心加速度是卫星c 的向心加速度的k 2倍C ．卫星c 的周期为1k 3TD ．a 、b 、c 三颗卫星的运行速度大小关系为v a ＝v b ＝k v c答案 C解析 卫星b 相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A 错误；根据公式G Mm r 2＝ma 可得a ＝GM r 2，即a a a c ＝r c 2r a 2＝1k 2，B 错误；根据开普勒第三定律r a 3T a 2＝r c 3T c 2可得T c ＝r c 3r a 3T a 2＝1k 3T a ＝1k 3T ，C 正确；根据公式G Mm r 2＝m v 2r 可得v ＝GM r，故v a ＝v b <v c ，D 错误． 命题点二 卫星变轨问题1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图5所示．图5(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例2 (多选)(2018·陕西省宝鸡市质检二)如图6所示，质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMm r，其中G 为引力常量，M 为地球质量，该卫星原来在半径为R 1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R 3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动，其中P 点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q 点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列判断正确的是( )图6A ．卫星在轨道Ⅰ上的动能为G Mm 2R 1B ．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－G Mm 2R 3C ．卫星在Ⅱ轨道经过Q 点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q 点时的加速度D ．卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率答案 AB解析 在轨道Ⅰ上，有：G Mm R 12＝m v 12R 1，解得：v 1＝GM R 1，则动能为E k1＝12m v 12＝GMm 2R 1，故A 正确；在轨道Ⅲ上，有：G Mm R 32＝m v 32R 3，解得：v 3＝GM R 3，则动能为E k3＝12m v 32＝GMm 2R 3，引力势能为E p ＝－GMm R 3，则机械能为E ＝E k3＋E p ＝－GMm 2R 3，故B 正确；由G Mm R Q2＝ma 得：a ＝GM R Q 2，两个轨道上Q 点到地心的距离不变，故向心加速度的大小不变，故C 错误；卫星要从Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道上，经过P 点时必须点火加速，即卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率小于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率，故D 错误．变式3 (多选)(2018·河北省唐山市上学期期末)登陆火星需经历如图7所示的变轨过程，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是( )图7A ．飞船在轨道上运动时，运行的周期T Ⅲ> T Ⅱ> T ⅠB ．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能C ．飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝速度方向喷气D ．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度 答案 ACD解析 根据开普勒第三定律a 3T 2＝k 可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期T Ⅲ> T Ⅱ> T Ⅰ，选项A 正确；飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道Ⅰ，则在轨道Ⅰ上机械能小于在轨道Ⅱ的机械能，选项B 错误，C 正确；根据G Mm R 2＝mω2R 以及M ＝43πR 3ρ，解得ρ＝3ω24πG，即若轨道Ⅰ贴近 火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D 正确．变式4 (多选)(2018·河南省南阳、信阳等六市二模)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图8所示．关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )图8A ．沿轨道Ⅰ运动至P 时，需制动减速才能进入轨道ⅡB. 沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C ．沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度大于在Q 点的加速度D ．在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变答案 AD解析 要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A 正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B 错误；万有引力使物体产生加速度，a ＝G Mm r 2m ＝G M r 2，沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度小于在Q 点的加速度，C 错误；月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D 正确．命题点三 双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图9所示．图9(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. ⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图10甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图10(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G， 质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自自转的角速度无法求解．变式5 (多选)(2018·广东省高考第一次模拟)如图11，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是()图11A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 4答案 BD解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r ＝l 2cos 30°＝33l .根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m ，则2G m 2l2cos 30°＝m ·4π2T 2·33l ，解得m ＝4π2l 33GT 2，它们两两之间的万有引力F ＝G m2l 2＝G ⎝⎛⎭⎫4π2l 33GT 22l 2＝16π4l 49GT 4，A 错误，B 、D 正确；线速度大小为v ＝2πr T ＝2πT ·3l 3＝23πl3T，C 错误．命题点四 天体的追及相遇问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3，…)． 2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4 (2018·福建省泉州市考前适应性模拟)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( ) A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年 B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年 C ．木星运行的加速度比地球的大 D ．木星运行的周期比地球的小 答案 B解析 地球公转周期T 1＝1年，土星公转周期T 2＝125T 1≈11.18年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝2πT 1，ω2＝2πT 2，解得t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝GMr 2，T ＝2πr 3GM，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C 、D 错误．变式6 (多选)(2019·山西省太原市质检)如图12，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )图12A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次 答案 AD解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对；设图示位置夹角为θ<π2，b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t ＝T b ，则a 、b 相距最远时：2πT a T b －2πT b T b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3，…)，可知n <6.75，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：2πT a T b －2πT b T b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3，…)，可知m <6.25，m 可取7个值，故在b转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，D 对．1．(2018·广东省茂名市第二次模拟)所谓“超级月亮”，就是月球沿椭圆轨道绕地球运动到近地点的时刻，此时的月球看起来比在远地点时的月球大12%～14%，亮度提高了30%.则下列说法中正确的是( )A ．月球运动到近地点时的速度最小B ．月球运动到近地点时的加速度最大C ．月球由远地点向近地点运动的过程，月球的机械能增大D ．月球由远地点向近地点运动的过程，地球对月球的万有引力做负功 答案 B解析 由开普勒第二定律，月球运动到近地点时的速度最大，A 错误；由牛顿第二定律和万有引力定律可得a ＝GMr 2，月球运动到近地点时所受引力最大，加速度最大，B 正确；月球绕地球运动过程仅受地球的万有引力，机械能守恒，C 错误；月球由远地点向近地点运动的过程中二者间距变小，地球对月球的万有引力做正功，D 错误．2．(多选)(2018·广东省深圳市第一次调研)我国发射的某卫星，其轨道平面与地球赤道在同一平面内，卫星距地面的高度约为500 km ，而地球同步卫星的轨道高度约为36 000 km ，地球半径约为6 400 km ，地球表面的重力加速度取g ＝10 m/s 2，关于该卫星，下列说法中正确的是( )A ．该卫星的线速度大小约为7.7 km/sB ．该卫星的加速度大于同步卫星的加速度C ．一年内，该卫星被太阳光照射时间小于同步卫星被太阳光照射时间D ．该卫星的发射速度小于第一宇宙速度 答案 ABC解析 该卫星的线速度为：v ＝GMR ＋h，又由g ＝GMR 2得：v ＝gR 2R ＋h＝10×(6 400×103)26 400×103＋500×103m /s ≈7.7 km/s ，故A 正确．根据a ＝GMr 2知该卫星的加速度大于同步卫星的加速度，故B 正确．由开普勒第三定律知，该卫星的周期小于同步卫星的周期，则一年内，该卫星被太阳光照射时间小于同步卫星被太阳光照射时间，故C 正确．第一宇宙速度是卫星最小的发射速度，知该卫星的发射速度大于第一宇宙速度，故D 错误．3．(2018·山东省日照市校际联合质检)“慧眼”是我国首颗大型X 射线天文卫星，这意味着我国在X 射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天能力、独特的多波段快速光观测能力等．下列关于“慧眼”卫星的说法正确的是( ) A ．如果不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小 B ．如果不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低 C. “慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用D ．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度 答案 B解析 卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，如果不加干预，卫星的机械能减小，卫星的轨道高度会缓慢降低，据G Mmr 2＝m v 2r可得v ＝GMr，卫星的轨道高度降低，卫星的线速度增大，卫星的动能增大，故A 错误，B 正确．卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，故C 错误．据G Mmr 2＝m v 2r 可得v ＝GMr，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，故D 错误．4．(多选)(2018·山东省淄博市一中三模)2017年4月20日19时41分，“天舟一号”货运飞船在文昌航天发射场成功发射，后与“天宫二号”空间实验室成功对接．假设对接前“天舟一号”与“天宫二号”都围绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．“天舟一号”货运飞船发射加速上升时，里面的货物处于超重状态B ．“天舟一号”货运飞船在整个发射过程中，里面的货物始终处于完全失重状态C ．为了实现飞船与空间实验室的对接，飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向后喷气加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．为了实现飞船与空间实验室的对接，飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向前喷气减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 AC解析 “天舟一号”货运飞船发射加速上升时，加速度向上，则里面的货物处于超重状态，选项A 正确，B 错误；为了实现飞船与空间实验室的对接，飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向后喷气加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项C 正确，D 错误.5．如图1所示，有A 、B 两颗卫星绕地心O 做圆周运动，旋转方向相同．A 卫星的周期为T 1，B 卫星的周期为T 2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G )( )图1A ．两卫星经过时间t ＝T 1＋T 2再次相距最近B ．两颗卫星的轨道半径之比为231T ∶232TC ．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D ．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度 答案 B解析 两卫星相距最近时，两卫星应该在同一半径方向上，A 比B 多转动一圈时，第二次追上，转动的角度相差2π，即2πT 1t －2πT 2t ＝2π，得出t ＝T 1T 2T 2－T 1，故A 错误；根据万有引力提供向心力得GMm r 2＝m 4π2T 2r ，A 卫星的周期为T 1，B 卫星的周期为T 2，所以两颗卫星的轨道半径之比为231T ∶232T ，故B 正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得GMm r 2＝m 4π2T 2r ，可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球密度和地球表面的重力加速度，故C 、D 错误．6．(多选)(2018·山西省太原市三模)据NASA 报道，“卡西尼”号于2017年4月26日首次到达土星和土星内环(碎冰块、岩石块、尘埃等组成)之间，并在近圆轨道做圆周运动，如图2所示．在极其稀薄的大气作用下，开启土星探测之旅的最后阶段——“大结局”阶段．这一阶段持续到九月中旬，直至坠向土星的怀抱．若“卡西尼”只受土星引力和稀薄气体阻力的。

课时作业(15) 天体运动的“四类热点”问题1．(2021·安徽蚌埠质监)2020年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通．该系统共有35颗卫星，比GPS 导航系统多5颗，多出的5颗是相对地面静止的高轨道卫星(简称“静卫”)，这5颗“静卫”的( )A ．周期不相等B ．角速度大小均相等C ．轨道可能不在赤道平面内D ．线速度大小均介于7.9 km/s 和11.2 km/s 之间B [5颗“静卫”相对地面静止，即周期与地球的自转周期相等，故A 错误；由公式GMmr 2 ＝m ·4π2T2 r 得T ＝2π r 3GM ，则轨道半径相等，由公式GMmr2 ＝mω2r ，得ω＝GMr 3，所以角速度大小均相等，故B 正确；同步轨道卫星轨道只能在赤道上空，则“静卫”的轨道必须是在赤道上空，故C 错误；7.9 km/s 是地球卫星的最大速度，所以“静卫”的线速度小于7.9 km/s ，故D 错误．]2．(2021·甘肃白银模拟)如图，A 、B 为地球的两颗卫星，它们绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径满足r A <r B .v 、a 、T 、E k 分别表示它们的环绕速度大小，向心加速度大小、周期和动能，下列判断正确的是( )A ．v A <vB B ．a A <a BC ．T A <T BD ．E k A <E k BC [设卫星的质量为m 、轨道半径为r 、地球质量为M .卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有：G mM r 2 ＝mrω2＝m 4π2T 2 r ＝m v 2r ＝ma ；解得：v ＝GMr，T ＝2πr 3GM，ω＝GM r 3 ，a ＝GMr 2，则根据题意有：r A ＜r B 可得：v A ＞v B ，故A 错误；a A ＞a B ，故B 错误；T A ＜T B ，故C 正确；由于二者的质量关系是未知的，则不能比较它们的动能大小，故D 错误．]3．(2021·云南民族大学附中模拟)我国实施空间科学战略性先导科技专项计划，已经发射了“悟空”、“墨子”、“慧眼”等系列的科技研究卫星，2019年8月31日又成功发射一颗微重力技术实验卫星．若微重力技术实验卫星和地球同步卫星均绕地球做匀速圆周运动时，微重力技术实验卫星的轨道高度比地球同步卫星低，下列说法中正确的是( )A ．该实验卫星的周期大于地球同步卫星的周期B ．该实验卫星的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度C ．该实验卫星的线速度小于地球同步卫星的线速度D ．该实验卫星的角速度小于地球同步卫星的角速度B [万有引力提供向心力，有G Mm r 2 ＝m (2πT )2r ＝m v 2r ＝mω2r ＝ma解得：v ＝GMr…①T ＝2πr 3GM…②ω＝GM r 3 …③a ＝GMr2 …④实验卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径．由T ＝2πr 3GM可知轨道半径小的周期小，故A 错误；由a ＝GMr 2 可知轨道半径小的加速度大，故B 正确；由v ＝GMr可知轨道半径小的线速度大，故C 错误；由ω＝GMr 3可知轨道半径小的角速度大，故D 错误．]4．(2020·浙江卷)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为3 ∶2C ．角速度大小之比为22 ∶33D ．向心加速度大小之比为9∶4C [轨道周长s ＝2πr ，与半径成正比，故周长之比为3∶2，A 错．由万有引力提供向心力，GMmr 2 ＝m v 2r ，得v ＝GMr ，则v 火v 地＝ r 地r 火＝23 ，B 错．由万有引力提供向心力，GMmr2 ＝mω2r ，得ω＝GMr 3 ，则ω火ω地＝ r 3地r 3火＝2233 ，C 对．由GMm r 2 ＝ma 得a ＝GMr 2 ，则a 火a 地 ＝r 2地 r 2火 ＝49，D 错．]5．(2021·黑龙江哈尔滨六中模拟)2022年左右我国将建成载人空间站，轨道高度距地面约400 km ，在轨运营10年以上，它将成为中国空间科学和新技术研究实验的重要基地．设该空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T ，轨道半径为r ，万有引力常量为G ，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．地球的质量为M ＝4π2r 3GT 2B ．空间站的线速度大小为v ＝grC ．空间站的向心加速度为a ＝4π2T 2 RD ．空间站的运行周期大于地球自转周期A [由万有引力等于向心力：G Mm r 2 ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可得M ＝4π2r 3GT 2 ，故A 正确；由在地表：g ＝GM R 2 ，空间站：a ＝GM r 2 ＝v 2r ＝4π2T2 r 可得：v ＝R 2rg ，故B 、C 错误；因为空间站轨道半径小于同步卫星轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站的运行周期小于地球自转周期，故D 错误．]6．(2021·内蒙古通辽模拟)地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 1，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r ，向心加速度为a 2.已知引力常量为G ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，且地球近地卫星轨道处的重力加速度为g 0，下列说法正确的是( )A ．地球质量M ＝gr 2GB ．地球质量M ＝a 1r 2GC ．a 1、a 2、g 、g 0的关系是g 0＝g >a 2>a 1D ．加速度之比a 1a 2 ＝r 2R2C [根据万有引力定律可得，对地球的同步卫星有G Mmr 2 ＝ma 2，解得地球的质量M ＝a 2r 2G，故A 、B 错误；地球赤道上的物体和地球同步卫星的角速度相等，根据 a ＝ω2r 知a 1＜a 2，对于地球近地卫星有G Mm R 2 ＝mg 0得g 0＝GM R 2 ，地球表面的物体G MmR 2 ＝mg ，得g ＝GM R 2 ＝g 0，对于地球同步卫星，有G Mm r 2 ＝ma 2，即得a 2＝GMr 2 因为 r ＞R ，所以 a 2＜g ，综合得g 0＝g ＞a 2＞a 1，故C 正确；地球赤道上的物体与地球同步卫星角速度相同，则根据a ＝ω2r ，地球赤道上的物体与地球同步卫星的向心加速度之比a 1a 2 ＝Rr，故D 错误．]7．(多选)(2021·黑龙江哈尔滨六中模拟)2020年7月21日发生了土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间．此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察．地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周．则( )A ．地球绕太阳运转的向心加速度大于土星绕太阳运转的向心加速度B ．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小C ．2019年没有出现土星冲日现象D ．土星冲日现象下一次出现的时间是2021年AD [地球的公转周期比土星的公转周期小，由万有引力提供向心力有G Mmr 2＝mr 4π2T2 解得T ＝ 4π2r 3GM ，可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小．又G Mmr2 ＝ma解得a ＝GM r 2 ∝1r 2 ，可知行星的轨道半径越大，加速度越小，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，选项A 正确；由万有引力提供向心力有G Mmr 2 ＝m v 2r解得v ＝GMr，知土星的运行速度比地球的小，选项B 错误；设T 地＝1年，则T 土＝29.5年，出现土星冲日现象则有(ω地－ω土)·t ＝2π，得距下一次土星冲日所需时间t ＝2πω地－ω土＝2π2πT 地－2πT 土≈1.04年，选项C 错误，D 正确．]。

课时限时练(限时：25分钟)对点练1 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别1.(2020·湖北武汉市武昌区1月调研)如图1所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c 为地球的同步卫星。

下列关于a 、b 、c 的说法中正确的是( )图1A.b 卫星转动线速度大于7.9 km/sB.a 、b 、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a a ＞a b ＞a cC.a 、b 、c 做匀速圆周运动的周期关系为T c ＞T b ＞T aD.在b 、c 中，b 的速度大答案 D解析 b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G Mm R 2＝m v 2R ，解得v ＝GMR ，代入数据得v ＝7.9 km/s ，故A 错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa ＝ωc ，根据a ＝rω2知，a c ＞a a ，根据a ＝GM r 2知a b ＞a c ，即a b ＞a c ＞a a ，故B 错误；卫星c 为同步卫星，所以T a ＝T c ，根据T ＝2πr 3GM 知T c ＞T b ，即T a ＝T c ＞T b ，故C 错误；在b 、c 中，根据v ＝GM r ，可知b 的速度比c 的速度大，故D 正确。

2.(多选)(2020·河北张家口市5月模拟)如图2所示，赤道上空的卫星A 距地面高度为R ，质量为m 的物体B 静止在地球表面的赤道上，卫星A 绕行方向与地球自转方向相同。

已知地球半径也为R ，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M ，引力常量为G 。

若某时刻卫星A 恰在物体B 的正上方，下列说法正确的是( )图2A.物体B 受到地球的引力为mRω20B.卫星A 的线速度为GM2RC.卫星A 再次到达物体B 上方的时间为2πGMR 3－ω0D.卫星A 与物体B 的向心加速度之比为GM 4R 3ω20 答案 BD 解析 物体B 受到地球的引力应为万有引力 F ＝GMm R 2，不等于向心力mRω20，故A 错误；对卫星A ，根据万有引力提供向心力，可得G Mm ()2R 2＝m v 22R ，因此卫星A的线速度v ＝GM 2R ，故B 正确；由G Mm （2R ）2＝mω2A (2R )知，卫星A 的角速度为ωA ＝GM ()2R 3，此时A 和B 恰好相距最近，当他们下次相距最近时间满足()ωA －ω0t ＝2π，因此联立解得t ＝2πω0－GM 8R 3，故C 错误；依题得，卫星A 的向心加速度为a A ＝GM 4R 2，物体B 的向心加速度a B ＝ω20R ，因此向心加速度之比为a A a B ＝GM 4R 3ω20，故D 正确。

专题强化五天体运动的“四类热点”问题专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解．3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．一、卫星的轨道1．赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．2．极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．3．其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．自测1(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道()A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的答案CD解析人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B错误；相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星，它必须在赤道平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，C、D正确．二、地球同步卫星的特点相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．同步卫星有以下“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝3GMT 24π2－R ≈3.6×107 m. (5)速率一定：v ＝GMR ＋h≈3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由G Mm (R ＋h )2＝ma n 得a n＝GM(R ＋h )2＝g h ＝0.23 m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致．自测2 (2018·河南省鹤壁市第二次段考)已知某行星半径为R ，以第一宇宙速度围绕该行星运行的卫星的绕行周期为T ，围绕该行星运动的同步卫星运行速率为v ，则该行星的自转周期为( )A.8π3R 3T 2v 3B.4π3R 3v 3C.2πR vD.2π2R 2T v 2 答案 A解析 设同步卫星距地面的高度为h ，则GMm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，以第一宇宙速度运行的卫星的轨道半径为R ，GMm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，联立解得h ＝4π2R 3T 2v 2－R ，行星的自转周期等于同步卫星运转周期T ＝2π(R ＋h )v ＝8π3R 3T 2v 3，A 选项正确，B 、C 、D 选项错误． 三、卫星变轨1．当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝ GMr可知其运行速度比原轨道运行时的小，但重力势能、机械能均增加．2．当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr 可知其运行速度比原轨道运行时的大，但重力势能、机械能均减小．自测3 (2018·安徽省江南十校冲刺联考)现对于发射地球同步卫星的过程分析，如图1所示，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P 点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )图1A ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/sB ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/sD ．在轨道Ⅰ上，卫星在Q 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s 答案 C解析 第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据G Mmr 2＝m v 2r 可知v ＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A 错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B 错误；P 点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P 点加速，所以卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度，C 正确；在Q 点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q 点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q 点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q 点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故卫星在轨道Ⅰ上经过Q 点时的速度小于第一宇宙速度，D 错误.命题点一 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题1．解决同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：要抓住G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T 2r .(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析． (3)物理规律：①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． ②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上． (4)重要条件：①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km ，地球表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s. 2．两个向心加速度卫星绕地球运行的向心加速度物体随地球自转的向心加速度 产生原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生方向 指向地心垂直且指向地轴大小 a ＝GMr 2(地面附近a 近似等于g )a ＝rω2，r 为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度特点 随卫星到地心的距离的增大而减小从赤道到两极逐渐减小3.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢． (2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T ＝2π r 3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．例1 (2018·江西省鹰潭市模拟)有a 、b 、c 、d 四颗卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b 在地面附近近地轨道上正常运行，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h ，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )图2A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角为π6C ．b 在相同的时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期可能是23 h答案 C解析 同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a 和c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大，由GMmr 2＝ma 知，c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，选项A 错误；由于c 为同步卫星，所以c 的周期为24 h ，因此4 h 内转过的圆心角为θ＝π3，选项B 错误；由四颗卫星的运行情况可知，b 运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C 正确；d 的运行周期比c 要长，所以其周期应大于24 h ，选项D 错误．变式1 (2016·四川理综·3)如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设“东方红一号”在远地点的加速度为a 1，“东方红二号”的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )图3A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3答案 D解析 由于“东方红二号”卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a ＝ω2r ，r 2>r 3，则a 2>a 3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mmr 2＝ma ，由题目中数据可以得出，r 1<r 2，则a 2<a 1；综合以上分析有，a 1>a 2>a 3，选项D 正确．变式2 (2018·福建省南平市第一次质检)如图4所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，a 和b 的轨道半径相同，且均为c 的k 倍，已知地球自转周期为T .则( )图4A ．卫星b 也是地球同步卫星B ．卫星a 的向心加速度是卫星c 的向心加速度的k 2倍C ．卫星c 的周期为1k 3T D ．a 、b 、c 三颗卫星的运行速度大小关系为v a ＝v b ＝k v c 答案 C解析 卫星b 相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A 错误；根据公式G Mmr 2＝ma可得a ＝GM r 2，即a a a c ＝r c 2r a 2＝1k 2，B 错误；根据开普勒第三定律r a 3T a 2＝r c 3T c2可得T c ＝r c 3r a 3T a2＝1k 3T a ＝1k 3T ，C 正确；根据公式G Mmr 2＝m v 2r可得v ＝GMr，故v a ＝v b <v c ，D 错误． 命题点二 卫星变轨问题1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图5所示．图5(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B . (2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例2 (多选)(2018·陕西省宝鸡市质检二)如图6所示，质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMm r ，其中G 为引力常量，M 为地球质量，该卫星原来在半径为R 1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R 3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动，其中P 点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q 点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列判断正确的是( )图6A ．卫星在轨道Ⅰ上的动能为G Mm2R 1B ．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－G Mm2R 3C ．卫星在Ⅱ轨道经过Q 点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q 点时的加速度D ．卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率 答案 AB解析 在轨道Ⅰ上，有：G MmR 12＝m v 12R 1，解得：v 1＝GM R 1，则动能为E k1＝12m v 12＝GMm2R 1，故A 正确；在轨道Ⅲ上，有：G MmR 32＝m v 32R 3，解得：v 3＝GM R 3，则动能为E k3＝12m v 32＝GMm2R 3，引力势能为E p ＝－GMm R 3，则机械能为E ＝E k3＋E p ＝－GMm 2R 3，故B 正确；由G MmR Q 2＝ma 得：a＝GMR Q 2，两个轨道上Q 点到地心的距离不变，故向心加速度的大小不变，故C 错误；卫星要从Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道上，经过P 点时必须点火加速，即卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率小于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率，故D 错误．变式3 (多选)(2018·河北省唐山市上学期期末)登陆火星需经历如图7所示的变轨过程，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是( )图7A ．飞船在轨道上运动时，运行的周期T Ⅲ> T Ⅱ> T ⅠB ．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能C ．飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝速度方向喷气D ．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度 答案 ACD解析 根据开普勒第三定律a 3T 2＝k 可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期T Ⅲ> T Ⅱ> T Ⅰ，选项A 正确；飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道Ⅰ，则在轨道Ⅰ上机械能小于在轨道Ⅱ的机械能，选项B 错误，C 正确；根据G Mm R 2＝mω2R 以及M ＝43πR 3ρ，解得ρ＝3ω24πG，即若轨道Ⅰ贴近 火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D 正确． 变式4 (多选)(2018·河南省南阳、信阳等六市二模)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图8所示．关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )图8A ．沿轨道Ⅰ运动至P 时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ B. 沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C ．沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度大于在Q 点的加速度D ．在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变 答案 AD解析 要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A 正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B 错误；万有引力使物体产生加速度，a ＝G Mm r 2m ＝G Mr 2，沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度小于在Q 点的加速度，C 错误；月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D 正确．命题点三 双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图9所示．图9(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L ④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.⑤双星的运动周期 T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)⑥双星的总质量 m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图10甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图10(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自自转的角速度无法求解．变式5 (多选)(2018·广东省高考第一次模拟)如图11，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )图11A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 4答案 BD解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r ＝l 2cos 30°＝33l .根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m ，则2G m 2l2cos 30°＝m ·4π2T 2·33l ，解得m ＝4π2l 33GT 2，它们两两之间的万有引力F ＝G m 2l2＝G ⎝⎛⎭⎫4π2l 33GT 22l 2＝16π4l 49GT 4，A 错误，B 、D 正确；线速度大小为v ＝2πr T ＝2πT ·3l 3＝23πl 3T，C 错误． 命题点四 天体的追及相遇问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3，…)．2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4 (2018·福建省泉州市考前适应性模拟)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C ．木星运行的加速度比地球的大D ．木星运行的周期比地球的小答案 B解析 地球公转周期T 1＝1年，土星公转周期T 2＝125T 1≈11.18年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝2πT 1，ω2＝2πT 2，解得t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝GM r2，T ＝2πr 3GM ，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C 、D 错误．变式6 (多选)(2019·山西省太原市质检)如图12，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )图12A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次答案 AD解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对；设图示位置夹角为θ<π2，b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t ＝T b ，则a 、b 相距最远时：2πT a T b －2πT bT b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3，…)，可知n <6.75，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：2πT a T b －2πT bT b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3，…)，可知m <6.25，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，D 对．。

专题强化五天体运动的“四类热点”问题一、卫星的轨道【自测1】（多选）可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨逍（）A.与地球表面上某一纬线（非赤道）是共而同心圆B.与地球表而上某一经线所决泄的圆是共面同心圆C.与地球表而上的赤道线是共而同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D.与地球表面上的赤逍线是共而同心圆，但卫星相对地球表而是运动的二、地球同步卫星的特点【自测2]（多选）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星泄位与通信系统（CNSS）,建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星•关于这些卫星, 以下说法正确的是（）A.5颗同步卫星的轨道半径都相同B.5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内C.导航系统所有卫星的运行速度一泄大于第一宇宙速度D.导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小三、卫星变轨【自测3] “嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从四昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月而巡视勘察•如图1所示，假设“嫦娥三号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，贝M ）A.若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引力常虽:，则可以算出月球的密度B.“嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C.“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点的速度大于0点的速度D.“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小研透命题点--------------------------------------------- 细硏老纲和貢越分析臾破命题点-------------------------------------------------- 命题点一近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题【例1] （2017-江西鹰潭模拟）有"、b 、c 〃四颗卫星，“还未发射，在地球赤道上随地球一起 转动，方任地而附近近地轨道上正常运行，c 是地球同步卫星，d 是髙空探测卫星，设地球自 转周期为24 h,所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列 A ・“的向心加速度等于重力加速度gB. e 在4h 内转过的圆心角为?C. b 在相同的时间内转过的弧长最长D. d 的运动周期可能是23h【例2】（2016-全国卷1・17）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之 间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周 期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（）A. l hB.4 hC.8h D 」6h陵式1】（2016-四川理综3）国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”. 如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆 轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km ： 1984年4月8日 成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远 地点的加速度为5,东方红二号的加速度为"2,固立在地球赤道上的物体随地球自转的加速 度为"3,则"1、"2、"3的大小关系为（）图3B ・“3>"2>“1C ・d3>dl >G2D.t/l >"2>"3命题点二卫星变轨问题【例3】（多选）如图5是“嫦娥三号”飞行轨道示意图•假设"嫦娥三号”运行经过P 点第一次 通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道I 上运动，再次经过P 点 时第二次通过近月制动使''嫦娥三号”在距离月面近地点为髙度为15 km,远地点为P 、 髙度为100 km 的椭圆轨道II 上运动，下列说法正确的是（）关于卫星的说法中正确的是（4戕图5A. “嫦娥三号”在距离月而高度为100 km 的圆轨道I 上运动时速度大小可能变化B. “嫦娥三号”在距离月而髙度100 km 的圆轨道I 上运动的周期一立大于在椭圆轨道I ［上 运动的圆期C. “嫦娥三号”在椭圆轨道II 上运动经过Q 点时的加速度一泄大于经过P 点时的加速度D. “嫦娥三号”在椭圆轨道I 【上运动经过0点时的速率可能小于经过P 点时的速率【变式2】（多选）2020年左右我国将进行第一次火星探测，美国已发射了 "凤凰号”着陆器降 落在火星北极勘察是否有水的存在•如图6为“凤凰号”着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨 迹图，轨道上的P 、S 、0三点与火星中心在同一直线上，P 、Q 两点分别是椭圆轨道的远火 星点和近火星点，且PQ=2QS,（已知轨道II 为圆轨道）下列说法正确的是（）A. 着陆器在P 点由轨道I 进入轨道II 需要点火加速B. 着陆器在轨道II 上S 点的速度小于在轨道川上Q 点的速度C. 着陆器在轨道II 上S 点与在轨道II 【上P 点的加速度大小相等D. 着陆器在轨逍II 上由P 点运动到S 点的时间是着陆器在轨道1【1上由P 点运动到Q 点的时间 的2倍命题点三双星或多星模型【例4】（2017-河北冀州2月模拟）2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波.双星的运 动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由"、b 两颗星体组成，这两颗星绕它 们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得“星的周期为几“、b 两颗星的距 离为/，“、b 两颗星的轨道半径之差为星的轨道半径大于b 星的），贝9（）命逍修正 RI 帆板経开 发W 及人轨段 轨道修A. b 星的周期为去T B. “星的线速度大小为••血娥三号"飞行轨逍示逆图（彌岛虔W'Z 蜃J图6C. "、b 两颗星的半径之比为土D.“、b 两颗星的质量之比为弓【变式31 （多选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，英中有一种三星系统如图9所示, 三颗质量均为加的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为忽略其他星体对它们的引 力作用，三星在同一平而内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常疑为G,贝0（）A. 每颗星做圆周运动的线速度为C. 每颗星做圆周运动的周期为2g^3G 加D. 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 【变式4］（多选）（2017-河北衡水模拟）宇宙中存在一些质呈相等且离其他恒星较远的四颗星组 成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用•设四星系统中每个星体的质量均为 m,半径均为/?,四颗星稳左分布在边长为厶的正方形的四个顶点上，其中厶远大于R 已知 万有引力常量为G,忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是（）A. 四颗星做圆周运动的轨道半径为#B. 四颗星做圆周运动的线速度均为瑕2+乎）C. 四颗星做圆周运动的周期均为2兀\冶*羽D. 四颗星表面的重力加速度均为G 徽命题点四 天体的追及相遇问题【例5］（多选）如图10,三个质点a 、b 、c 的质疑分别为ni\> m 2>远大于加］及加2），在万有引力作用下，“、b 在同一平而内绕C 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比 为心：m=l ： 4,则下列说法中正确的有（）A ・“、b 运动的周期之比为几:T h =\ : 8B. "、b 运动的周期之比为T a : T h =\ : 4B.每颗星做圆周运动的角速度为2U R' R' 3GmC.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，“、b、c共线12次D.从图示位置开始，在”转动一周的过程中，“、b、c共线14次【变式5】如图11所示，有A、B两颗卫星绕地心0做圆周运动，旋转方向相同.A卫星的周期为乃，B卫星的周期为门，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)()图11A.两卫星经过时间t=T^T2再次相距最近2 2B.两颗卫星的轨道半径之比为7；亍：T]C.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求岀地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表而的重力加速度。

专题强化五 天体运动的“四类热点”问题1．(2018·广东省茂名市第二次模拟)所谓“超级月亮”，就是月球沿椭圆轨道绕地球运动到近地点的时刻，此时的月球看起来比在远地点时的月球大12%～14%，亮度提高了30%.则下列说法中正确的是( )A ．月球运动到近地点时的速度最小B ．月球运动到近地点时的加速度最大C ．月球由远地点向近地点运动的过程，月球的机械能增大D ．月球由远地点向近地点运动的过程，地球对月球的万有引力做负功 答案 B解析 由开普勒第二定律，月球运动到近地点时的速度最大，A 错误；由牛顿第二定律和万有引力定律可得a ＝GMr 2，月球运动到近地点时所受引力最大，加速度最大，B 正确；月球绕地球运动过程仅受地球的万有引力，机械能守恒，C 错误；月球由远地点向近地点运动的过程中二者间距变小，地球对月球的万有引力做正功，D 错误．2．(多选)(2018·广东省深圳市第一次调研)我国发射的某卫星，其轨道平面与地球赤道在同一平面内，卫星距地面的高度约为500 km ，而地球同步卫星的轨道高度约为36 000 km ，地球半径约为6 400 km ，地球表面的重力加速度取g ＝10 m/s 2，关于该卫星，下列说法中正确的是( )A ．该卫星的线速度大小约为7.7 km/sB ．该卫星的加速度大于同步卫星的加速度C ．一年内，该卫星被太阳光照射时间小于同步卫星被太阳光照射时间D ．该卫星的发射速度小于第一宇宙速度 答案 ABC解析 该卫星的线速度为：v ＝GM R ＋h，又由g ＝GMR 2得：v ＝gR 2R ＋h＝ 10×(6 400×103)26 400×103＋500×103m /s≈7.7 km/s ，故A 正确．根据a ＝GMr 2知该卫星的加速度大于同步卫星的加速度，故B 正确．由开普勒第三定律知，该卫星的周期小于同步卫星的周期，则一年内，该卫星被太阳光照射时间小于同步卫星被太阳光照射时间，故C 正确．第一宇宙速度是卫星最小的发射速度，知该卫星的发射速度大于第一宇宙速度，故D 错误．3．(2018·山东省日照市校际联合质检)“慧眼”是我国首颗大型X 射线天文卫星，这意味着我国在X 射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天能力、独特的多波段快速光观测能力等．下列关于“慧眼”卫星的说法正确的是( ) A ．如果不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小 B ．如果不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低 C. “慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用D ．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度 答案 B解析 卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，如果不加干预，卫星的机械能减小，卫星的轨道高度会缓慢降低，据G Mmr 2＝m v 2r可得v ＝GMr，卫星的轨道高度降低，卫星的线速度增大，卫星的动能增大，故A 错误，B 正确．卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，故C 错误．据G Mmr 2＝m v 2r 可得v ＝GMr，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，故D 错误．4．(多选)(2018·山东省淄博市一中三模)2017年4月20日19时41分，“天舟一号”货运飞船在文昌航天发射场成功发射，后与“天宫二号”空间实验室成功对接．假设对接前“天舟一号”与“天宫二号”都围绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．“天舟一号”货运飞船发射加速上升时，里面的货物处于超重状态B ．“天舟一号”货运飞船在整个发射过程中，里面的货物始终处于完全失重状态C ．为了实现飞船与空间实验室的对接，飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向后喷气加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．为了实现飞船与空间实验室的对接，飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向前喷气减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 AC解析 “天舟一号”货运飞船发射加速上升时，加速度向上，则里面的货物处于超重状态，选项A 正确，B 错误；为了实现飞船与空间实验室的对接，飞船先在比空间实验室半径小的轨道上向后喷气加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项C 正确，D 错误.5．如图1所示，有A 、B 两颗卫星绕地心O 做圆周运动，旋转方向相同．A 卫星的周期为T 1，B 卫星的周期为T 2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G )( )图1A ．两卫星经过时间t ＝T 1＋T 2再次相距最近B ．两颗卫星的轨道半径之比为231T ∶232TC ．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D ．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度 答案 B解析 两卫星相距最近时，两卫星应该在同一半径方向上，A 比B 多转动一圈时，第二次追上，转动的角度相差2π，即2πT 1t －2πT 2t ＝2π，得出t ＝T 1T 2T 2－T 1，故A 错误；根据万有引力提供向心力得GMm r 2＝m 4π2T 2r ，A 卫星的周期为T 1，B 卫星的周期为T 2，所以两颗卫星的轨道半径之比为231T ∶232T ，故B 正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得GMm r 2＝m 4π2T 2r ，可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球密度和地球表面的重力加速度，故C 、D 错误．6．(多选)(2018·山西省太原市三模)据NASA 报道，“卡西尼”号于2017年4月26日首次到达土星和土星内环(碎冰块、岩石块、尘埃等组成)之间，并在近圆轨道做圆周运动，如图2所示．在极其稀薄的大气作用下，开启土星探测之旅的最后阶段——“大结局”阶段．这一阶段持续到九月中旬，直至坠向土星的怀抱．若“卡西尼”只受土星引力和稀薄气体阻力的作用，则( )图2A ．4月26日，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的角速度小于内环的角速度B ．4月28日，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的速率大于内环的速率C ．5月到6月间，“卡西尼”的动能越来越大D ．6月到8月间，“卡西尼”的动能、以及它与土星的引力势能之和保持不变 答案 BC解析 根据万有引力提供向心力：GMmr2＝mω2r ，ω＝GMr 3，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的角速度大于内环的角速度，A 错误；根据万有引力提供向心力：GMmr 2＝m v 2r，v ＝GMr，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的速率大于内环的速率，B 正确；根据万有引力提供向心力：GMmr 2＝m v 2r，v ＝ GMr，“卡西尼”的轨道半径越来越小，动能越来越大，C 正确；“卡西尼”的轨道半径越来越小，动能越来越大，由于稀薄气体阻力的作用，动能与土星的引力势能之和减小，D 错误．7．(多选)(2018·安徽省滁州市上学期期末)如图3为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则( )图3A ．A 的质量一定大于B 的质量 B ．A 的线速度一定大于B 的线速度C ．L 一定，M 越大，T 越大D ．M 一定，L 越大，T 越大答案 BD解析 设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：G m A m B L 2＝m A ω2R A ，G m A m BL 2＝m B ω2R B ，距离关系为：R A ＋R B ＝L ，联立解得：m A m B ＝R BR A，因为R A >R B ，所以A 的质量一定小于B 的质量，故A 错误；根据线速度与角速度的关系有：v A ＝ωR A 、v B ＝ωR B ，因为角速度相等，半径R A >R B ，所以A 的线速度大于B 的线速度，故B 正确；又因为T ＝2πω，联立可得周期为：T ＝2πL 3GM，所以总质量M 一定，两星间距离L 越大，周期T 越大，故C 错误，D 正确．8．(2018·安徽省池州市上学期期末)地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则( ) A ．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大 B ．地球的运行速度比海王星的运行速度小 C ．2019年不会出现海王星冲日现象 D ．2017年出现过海王星冲日现象 答案 D解析 地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得：T ＝2πr 3GM，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A 错误；根据万有引力提供向心力，有G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，故B 错误； T 地＝1年，则T 海＝164.8年，由(ω地－ω海)·t ＝2π，ω地＝2πT 地，ω海＝2πT 海，可得距下一次海王星冲日所需时间为：t ＝T 地T 海T 海－T 地≈1.01年，故C 错误，D 正确． 9．(2018·四川省德阳市高考一诊)2016年10月17日发射的“神舟十一号”飞船于2016年10月19日与“天宫二号”顺利实现了对接，如图4.在对接过程中，“神舟十一号”与“天宫二号”的相对速度非常小，可以认为具有相同速率．它们的运动可以看做是绕地球的匀速圆周运动，设“神舟十一号”的质量为m ，对接处距离地球表面高度为h ，地球的半径为r ，地球表面处的重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响，“神舟十一号”在对接时，下列说法正确的是( )图4A ．对地球的引力大小为mgB ．向心加速度为r r ＋h gC ．周期为2π(r ＋h )r r ＋h gD ．动能为mgr 2r ＋h答案 C解析 “神舟十一号”在对接处的重力加速度小于地球表面的重力加速度，对地球的引力小于mg ，故A 错误；在地球表面重力等于万有引力，有G Mmr 2＝mg解得：GM ＝gr 2①对接时，万有引力提供向心力，有G Mm(r ＋h )2＝ma ②联立①②式得：a ＝r 2(r ＋h )2g ，故B 错误；根据万有引力提供向心力，有G Mm (r ＋h )2＝m 4π2T 2(r ＋h )③联立①③得T ＝2π(r ＋h )rr ＋h g ，故C 正确；根据万有引力提供向心力，G Mm(r ＋h )2＝m v 2r ＋h ④动能E k ＝12m v 2＝GMm 2(r ＋h )＝mgr 22(r ＋h )，故D 错误．10．(多选)(2019·福建省龙岩市模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R .已知万有引力常量为G ，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是( ) A ．四颗星做圆周运动的轨道半径为L2B ．四颗星做圆周运动的线速度均为 Gm L ⎝⎛⎭⎫2＋24 C ．四颗星做圆周运动的周期均为2π2L 3(4＋2)GmD ．四颗星表面的重力加速度均为G mR 2答案 CD 解析 如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r ＝22L .取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为F 合＝2G m 2L 2＋G m 2(2L )2.由F 合＝F向＝m v 2r ＝m 4π2rT2，解得v ＝Gm L ⎝⎛⎭⎫1＋24，T ＝2π2L 3(4＋2)Gm，故A 、B 项错误，C 项正确；对于在星体表面质量为m 0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m 0g ＝G mm 0R 2，故g ＝G mR 2，D 项正确．11．(2019·湖北省宜昌市调研)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图5，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 月．以月球表面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝mg 月RhR ＋h .若忽略月球的自转，求：图5(1)“玉兔”在h 高度的轨道上的动能；(2)从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功． 答案 (1)mg 月R 22(R ＋h ) (2)mg 月R (R ＋2h )2(R ＋h )R解析 (1)设月球质量为M ，“玉兔”在h 高度的轨道上的速度大小为v ，由牛顿第二定律有G Mm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h设“玉兔”在h 高度的轨道上的动能为E k ，有E k ＝12m v 2；设月球表面有一质量为m ′的物体，有G Mm ′R 2＝m ′g 月联立解得E k ＝mg 月R 22(R ＋h )；(2)由题意知“玉兔”在h 高度的引力势能为E p ＝mg 月RhR ＋h，故从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功W ＝E k ＋E p ＝mg 月R (R ＋2h )2(R ＋h )R.12．(2018·江西省七校第一次联考)两个天体(包括人造天体)间存在万有引力，并具有由相对位置决定的势能．如果两个天体的质量分别为m 1和m 2，当它们相距无穷远时势能为零，则它们距离为r 时，引力势能为E p ＝－G m 1m 2r .发射地球同步卫星一般是把它先送入较低的圆形轨道，如图6中Ⅰ轨道，再经过两次“点火”，即先在图中a 点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点b 处第二次“点火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道Ⅲ(即同步轨道)运动．设某同步卫星的质量为m ，地球半径为R ，轨道Ⅰ距地面非常近，轨道Ⅲ距地面的距离近似为6R ，地面处的重力加速度为g ，并且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星的质量减少可以忽略．求：图6(1)从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功是多少？(2)两次“点火”过程中燃气对卫星所做的总功是多少？ 答案 (1)－3mgR 7 (2)3mgR7解析 (1)卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ做圆周运动，应满足： G Mm R 2＝m v 12R ，故E k1＝12m v 12＝GMm 2R ＝12mgR G Mm (7R )2＝m v 227R ，故E k2＝12m v 22＝mgR 14 合力对卫星所做的总功W ＝E k2－E k1＝mgR (114－12)＝－3mgR7(2)卫星在轨道Ⅰ上的势能E p1＝－GMmR ＝－mgR卫星在轨道Ⅲ上的势能E p2＝－GMm 7R ＝－mgR7则燃气对卫星所做的总功W ′＝(E p2＋ E k2)－(E p1＋ E k1)＝(－mgR 7＋mgR 14)－(－mgR ＋12mgR )＝3mgR7.。

第3讲专题提升:天体运动的四大问题基础对点练题组一卫星的变轨和对接问题1.(多选)(2023海南卷)如图所示,1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道,下列说法正确的是()A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速B.飞船在1轨道的周期大于在2轨道的周期C.飞船在1轨道的速度大于在2轨道的速度D.飞船在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度2.我国在海南文昌航天发射场,用长征五号遥五运载火箭成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道。

嫦娥五号在进入环月圆轨道前要进行两次“刹车”,如图所示,第一次“刹车”是在P点让其进入大椭圆轨道,第二次是在P点让其进入环月轨道。

下列说法正确的是()A.探测器在不同轨道上经过P点时所受万有引力相同B.探测器完成第二次“刹车”后,运行过程线速度保持不变C.探测器在环月轨道上运行周期比在大椭圆轨道上运行周期大D.探测器在环月轨道上运动的机械能比在大椭圆轨道上运动的机械能大3.“天舟五号”货运飞船仅用2小时就与“天宫”空间站快速交会对接,创造了世界纪录。

飞船从预定轨道Ⅰ的A点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达椭圆轨道的远地点B时,再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ,与空间站实现对接,假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道,不计飞船质量的变化,则飞船()A.在轨道Ⅰ的线速度大于第一宇宙速度B.在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期C.第一次变轨需加速,第二次变轨需减速D.在圆轨道Ⅰ上A 点与椭圆轨道Ⅱ上A 点的加速度不同 题组二 双星和多星问题4.天文学家发现了一对被称为“灾变变星”的罕见双星系统,约每51 min 彼此绕行一圈,通过天文观测的数据,模拟该双星系统的运动,推测在接下来的7 000万年里,这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18 min 。

如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型,如图所示,两星球在万有引力作用下,绕O 点做匀速圆周运动。

不考虑其他天体的影响,两颗星球的质量不变,在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中,下列说法正确的是( )A.每颗星球的角速度都在逐渐变小B.两颗星球的距离在逐渐变大C.两颗星球的轨道半径之比保持不变D.每颗星球的加速度都在变小 题组三 卫星的追及和相遇问题5.如图所示,卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动,轨道平面相互垂直,乙的轨道半径是甲的√493倍。

专题强化五天体运动的“四类热点”问题一、卫星的轨道自测1(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道()A.与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆B.与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的二、地球同步卫星的特点自测2(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星.关于这些卫星，以下说法正确的是()A.5颗同步卫星的轨道半径都相同B.5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内C.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度D.导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小三、卫星变轨自测3“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.如图1所示，假设“嫦娥三号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则()图1A. 若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以算出月球的密度B. “嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C. “嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度D.“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小命题点一近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题例1(2017·江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是()图2A.a的向心加速度等于重力加速度gB.c在4 h内转过的圆心角为π6C.b在相同的时间内转过的弧长最长D.d的运动周期可能是23 h例2(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A.1 hB.4 hC.8 hD.16 h变式1(2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()图3A.a2＞a1＞a3B.a3＞a2＞a1C.a3＞a1＞a2D.a1＞a2＞a3命题点二卫星变轨问题例3(多选)如图5是“嫦娥三号”飞行轨道示意图.假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是()图5A.“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B.“嫦娥三号”在距离月面高度100 km 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的圆期C.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的加速度一定大于经过P 点时的加速度D.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的速率可能小于经过P 点时的速率变式2 (多选)2020年左右我国将进行第一次火星探测，美国已发射了“凤凰号”着陆器降落在火星北极勘察是否有水的存在.如图6为“凤凰号”着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的P 、S 、Q 三点与火星中心在同一直线上，P 、Q 两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ ＝2QS ，(已知轨道Ⅱ为圆轨道)下列说法正确的是( )图6A.着陆器在P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速B.着陆器在轨道Ⅱ上S 点的速度小于在轨道Ⅲ上Q 点的速度C.着陆器在轨道Ⅱ上S 点与在轨道Ⅲ上P 点的加速度大小相等D.着陆器在轨道Ⅱ上由P 点运动到S 点的时间是着陆器在轨道Ⅲ上由P 点运动到Q 点的时间的2倍命题点三 双星或多星模型例4 (2017·河北冀州2月模拟)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的)，则( )A.b 星的周期为l －Δr l ＋Δr TB.a 星的线速度大小为π(l ＋Δr )TC.a 、b 两颗星的半径之比为l l －ΔrD.a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δr l －Δr变式3 (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图9所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )图9A.每颗星做圆周运动的线速度为Gm R B.每颗星做圆周运动的角速度为3Gm R 3 C.每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关变式4 (多选)(2017·河北衡水模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R .已知万有引力常量为G ，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是( )A.四颗星做圆周运动的轨道半径为L 2B.四颗星做圆周运动的线速度均为Gm L ⎝⎛⎭⎫2＋24 C.四颗星做圆周运动的周期均为2π2L 3(4＋2)GmD.四颗星表面的重力加速度均为G m R2 命题点四 天体的追及相遇问题例5 (多选)如图10，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )图10A.a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶8B.a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶4C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次变式5如图11所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，旋转方向相同.A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)()图11A.两卫星经过时间t＝T1＋T2再次相距最近B.两颗卫星的轨道半径之比为231T∶232TC.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度。