天津市河北区2018届高三总复习质量检测(二)数学(理)试题扫描版含答案

2018－2018年河北区高三第二次模拟试卷数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）．柱体（棱柱、圆柱）的体积公式V Sh =柱体．其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1． 已知22()f x x x x-=+，则()f x 的解析式为 A ．2()f x x = B ．2()2f x x =- C ．2()2f x x =+ D ．2()2f x x x =+ 2． 若把一个函数的图象按向量(,2)3a π=--平移后得到函数cos y x =的图象，则原图象的函数解析式为A ．cos()23y x π=-+B ．cos()23y x π=++C ．cos()23y x π=+-D ．cos()23y x π=--3． 已知两条直线l 1 ：0x y -=，l 2 ：0ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，1）∪（1C ．D ．1）∪（14． 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)2f =，且(1)(5)f x f x +=+，则(3)(4)f f +的值是A ．－2B ．2C ．0D ．－45． 已知a 、b 、a ＋b 成等差数列，a 、b 、ab 成等比数列，且0＜log m ab ＜1，则m 的取值范围是A ．m ＞1B ．1＜m ＜3C ．m ＞8D ．0＜m ＜1或m ＞8 6． 下列命题正确的是A ．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直B ．两条异面直线不能同时垂直于一个平面C ．不存在四个面都是直角三角形的四面体D ．若两条斜线段在同一个平面上的射影长相等，则这两条斜线段的长也相等7． AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 、b 成30°角，在a 上取一点P 使AP ＝4，则点P 到直线b 的距离等于A．B． C． D．8．A ．棉农甲，棉农乙B ．棉农甲，棉农甲C ．棉农乙，棉农甲D ．棉农乙，棉农乙 9．在△ABC 中，已知22tan tan a B b A =，则△ABC 的形状可能是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形或等腰三角形D ．等腰直角三角形10．已知22sin 12()2tan sin cos 22x f x x x x -=+，则()8f π等于 A ．- B ．－4 C ．0 D ．1第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．某单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁~49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了了解该单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，应该用__________抽样法． 12．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 ____________．13．已知点P 是椭圆22143x y +=上的点，F 1、F 2是左、右焦点，则12||||PF PF ⋅的最小值是__________ ．14的圆木锯成强度最大的横梁，则断面的宽应为__________m ．15．对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止．若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有____________种． （用数字作答）16．设实数x 、y 满足约束条件：0,,23,x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的最大值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）若a ≠0，解不等式x ＋2＜a （x2＋1）．18．（本小题满分12分）已知函数2()4sin sin ()cos 242xf x x x π=++． （Ⅰ）设ω＞0为常数，若2()[,]23y f x ππ=ω-在区间上是增函数，求ω的取值范围； （Ⅱ）设集合2{|},{||()|2}63A x xB x f x m ππ=≤≤=-<，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AD＝2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P－AM－N的大小；（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知二次函数2()1f x ax bx =++（a ，b ∈R ，a ＞0），设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（Ⅰ）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （Ⅱ）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围．21．（本小题满分14分）设一次函数()f x 的图象关于直线y ＝x 对称的图象为C ，且(1)0f -=．若点（n ＋1，nn a a 1+）（n ∈N *）在曲线C 上，并且a 1＝a 2＝1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）设S n ＝++!3!221a a …＋)!1(+n a n，求S n ．22．（本小题满分14分）已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ·PM ＝0，PM ＝－23． （Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（Ⅱ）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点 E （x 0，0），使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值．。

2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1} 2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．23．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x24．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4 5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．146．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝17．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．168．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1}【解答】解：∁R A＝{x|x≤0}；∴（∁R A）∩B＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为1，底面时边长为2的正三角形，∴几何体的体积V＝＝．故选：A．3．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为∃x0≤x02，故选：C．4．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项：＝﹣12x4．故选：D．5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2+3＝9．即目标函数z＝3x+y的最大值为9．故选：C．6．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝1【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN＝60°，在Rt△BMN中，|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，即有|BN|＝2a cos60°＝a，|MN|＝2a sin60°＝a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得﹣＝1，即为a2＝b2，由A（﹣1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，则a＝b＝1，∴双曲线的标准方程：x2﹣y2＝1，故选：D．7．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．16【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为＝1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，∴a﹣1＝；∴a﹣1＞0，∴＝+9（a﹣1）≥2＝6，当且仅当＝9（a﹣1），即a＝1±时取“＝”（由于a＞1，故取a＝），∴的最小值为6；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：作出函数的图象如图，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2），故（1）正确；设y＝m与函数y＝f（x）的交点自左至右依次为a，b，c，d，由﹣2﹣lnx＝1，得x＝e﹣3，由﹣2﹣lnx＝2，得x＝e﹣4，∴c∈（e﹣4，e﹣3]，又﹣2﹣lnc＝2+lnd，∴cd＝e﹣4，∴a+b+c+d＝﹣2+c+在（e﹣4，e﹣3]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），故（2）正确；设斜率为1的直线与y＝lnx+2相切于（x0，lnx0+2），则由，可得x0＝1，则切点为（1，2），此时直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），即y＝x+1，∴当m＝1时，直线y＝x+m与函数y＝f（x）有4个不同交点，即关于x的方程f（x）＝x+m有四个不等实根，故（3）错误．∴正确结论的个数是2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是30．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1满足条件i＜6，执行循环体，i＝3，S＝6满足条件i＜6，执行循环体，i＝5，S＝16满足条件i＜6，执行循环体，i＝7，S＝30不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为1．【解答】解：∵复数＝＝为纯虚数，故有a﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．【解答】解：△ABC中，若B＝2C，则sin B＝sin2C，∴sin B＝2sin C cos C，由正弦定理得b＝2c cos C，∴cos C＝；又2b＝3c，∴b＝c，∴cos C＝＝．故答案为：．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于4．【解答】解：∵抛物线（t为参数）上，∴y2＝4x，∵点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，∴m2＝4×3＝12，∴P（3，2）∵F（1，0），∴|PF|＝＝4，故答案为4．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积S＝＝＝．故答案为．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．【解答】解：分别以边AD，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（0，4），C（2，4），D（4，0）；设P（x，y），则：，；∵；∴（x﹣4，y）＝λ（﹣2，4）①，x2+y2﹣4y＝5②；∴由①得x＝4﹣2λ，y＝4λ，带入②得：（4﹣2λ）2+16λ2﹣16λ＝5；解得，或；据题意知0≤λ≤1；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x＝sin2x cos+cos2x sin+cos2x cos﹣sin2x sin+sin2x＝＝sin2x+＝．∴T＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴[]．∵当，即0时，函数f（x）单调递增，当，即时，函数f（x）单调递减，且f（0）＝，f（）＝2，f（）＝﹣．∴函数f（x）的最大值和最小值分别为2，﹣．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•＝，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3＝，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为＝．（II）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2•＝，P（X＝2）＝•（）2•＝，P（X＝3）＝（）3＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝3×＝2．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB的法向量为，由即令y＝1，则，x＝0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的过程为d，∵a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．∴＝a1•（a4+2），即（1+d）2＝1×（1+3d+2），化为：d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1．其中d＝﹣1时，a2＝0，舍去．∴d＝2．a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（Ⅱ）设b n＝＝，∴n为偶数时，＝＝16，b2＝8；n为奇数时，＝＝，b1＝．∴数列{b n}的奇数项是首项为，公比为．数列{b n}的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n}的前2n项和T2n＝+＝．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵F1为BF2的中点，AB⊥AF2，∴Rt△ABF2中，BF22＝AB2+AF22，（4c）2＝（）2+a2，又a2＝b2+c2，∴a＝2c，故椭圆的离心率e＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，得c＝a，于是F2（a，0），B（﹣a，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r＝a，所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，所求椭圆方程为+＝1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝k（x﹣1）和3x2+4y2＝12，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，则x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2），+＝（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则（+）•＝0，故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）＝0，即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）＝0，﹣2m+k2（﹣2）＝0，由已知条件知k≠0，∴m＝＝，∴0＜m＜，故m的取值范围是0＜m＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），令f'（x）＝0，则x2﹣ax+a﹣1＝0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x＝1或x＝a﹣1，因为a＞2，所以a﹣1＞1当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，a﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数当x∈（a﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数（Ⅱ）设x1＞x2，则不等式等价于f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1整理得到f（x1）+x1＞f（x2）+x2令即函数g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，，不等式恒成立．而，所以，因为a＞2，所以（Ⅲ）因为a∈（3，4），由（Ⅰ）可以知道当x∈（1，a﹣1）时，函数f（x）为减函数，而，x1＝2∈（1，a﹣1），那么x n+1＜x1所以f（x n+1）＞f（x1）所以|f（x n+1）﹣f（x1）|＝f（x n+1）﹣f（x1）由（Ⅱ）知道所以．。

2017-2018学年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B={x||x|＞2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）2．若复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+π C．8+2π D．8+π4．设a，b∈R，则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．26．实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9 B．﹣9 C．﹣12 D．127．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）8．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．10．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=，则AD•DE的值为．11．（x﹣）6的展开式中常数项为．12．由曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积是．13．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．16．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．19．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．20．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）2016年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B={x||x|＞2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则A∩B=（2，3），故选：A．2．若复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=﹣1．故选：B．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+π C．8+2π D．8+π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图可知几何体下部为长方体，上部为两个半圆柱，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体由一个长方体和两个半圆柱组成．长方体的棱长分别为4，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=4×2×1+π×12×2=8+2π．故选：C．4．设a，b∈R，则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=0，b=3，满足a+b≥2但2a+2b=1+8=9，2a+b=8，则2a+2b=2a+b不成立，若2a+2b=2a+b，则2a+b=2a+2b，即（2a+b）2≥4（2a+b），解得2a+b≥4或2a+b≤0（舍去），即a+b≥2成立，即“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A5．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D．6．实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9 B．﹣9 C．﹣12 D．12【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对于的平面区域，设z=x+3y，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=x+3y，则z的最大值为12，即x+3y=12，且y=，则直线y=的截距最大时，z也取得最大值，则不等式组对应的平面区域在直线y=的下方，由，解得，即A（3，3），此时A也在直线2x+y+k=0上，即6+3+k=0，解得k=﹣9，故选：B．7．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据已知条件便可判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）是偶函数，所以f （x）=f（|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解答】解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数；且f（a）=f（|a|），f（b）=f（|b|），f（c）=f（|c|）；|a|=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a|，c=；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．8．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】不等式可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；先求对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；作函数图象，由数形结合求实数m的取值范围．【解答】解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=3，n=2不满足条件S≥15，执行循环体，S=9，n=3不满足条件S≥15，执行循环体，S=20，n=4满足条件S≥15，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．10．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=，则AD•DE的值为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用切割线定理，可得PA，利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2，即可得出结论【解答】解：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=．∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD=，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2=．故答案为：．11．（x﹣）6的展开式中常数项为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=（﹣）r C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0得r=3，得常数项为C63（﹣）3=﹣．故答案为：﹣．12．由曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积是4．【考点】定积分．【分析】联立，解得x=±1．曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积S=，解出即可得出．【解答】解：联立，解得x=±1．曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积S===4．故答案为：4．13．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．【解答】解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cosB=，cosC=；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，∴3+a=2，即a=﹣1．又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期为T=π故，ω=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得由．得．令k=0，得：．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为16．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）由题意可得随机变量X的取值可能为：1，2，3，分别求其概率，可得分布列为，进而可得数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，则P（E）==．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．…∵P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：∴EX=1×=．…17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM 为二面角D﹣AC﹣M的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．…又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则．∵，，∴，∴，即有SC⊥AM…又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．…设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，，∴．∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，．设平面ACM的法向量为，，则即，∴令x=﹣1，则．…，由作图可知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…18．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．+1，可得a n+1=（1+λ）a n，【分析】（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，a n=λS n﹣1利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．+1，【解答】解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n=λS n﹣1∴a n+1﹣a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3=（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1．∴a n=2n﹣1，b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）a n b n=（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n=（3n﹣5）×2n+5．19．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT 的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），k OG==﹣，设直线FT的方程为：y=﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT=﹣，∴k OG=k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．20．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性；（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值．（III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，由题意可知：x1即为x0．得到，即，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，分别研究单调性即可得出x0的取值范围．【解答】解：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）=0，解得x=﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f（x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）=2ln2＜2×0.7==t2（2），t1（3）=2ln3＞2＞=t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]=2．2016年6月16日。

河北区2017－2018学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）如果事件A，B相互独立，那么P（AB）＝P（A）P（B）球的表面积公式S＝球的体积公式V＝其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R，集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据全集为，由集合，求出集合的补集，然后利用交集的定义求出的补集与的交集即可.详解：集合，，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合A且属于集合B的元素的集合.2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由俯视图可得底面为边长为的等边三角形，由侧视图与正视图可得高为，利用棱柱的体积公式可得结果.详解：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，且底面为边长为的等边三角形，侧棱长为，，这个几何体的体积为，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.3. 命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据含有量词的命题的否定求解即可．详解：由题意得，命题的否定为：．故选C．点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．4. 二项式的展开式的第二项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据展开式通项可得：5. 若实数x，y满足，则的最大值为（）A. 7B. 8C. 9D. 14【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，平移直线，利用目标函数的几何意义，可求最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知，当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.己知点A(-1，0)、B(1，0)分别为双曲线的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由条件可得，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中，且，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得，故可得曲线方程．详解：由题意得，故双曲线的方程为．设点M在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM中，有且，∴点M的横坐标为，纵坐标为，∴点M的坐标为．又点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为．故选D．点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．7. 若正数a，b满足，则的最小值为（）A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】分析：由得，由此可得，，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．详解：∵正数满足，∴，解得．同理．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为6．故选B．点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．8. 已知函数，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f (a)=f (b)=f (c)=f(d)=m.则以下三个结论：①m∈[l，2)；②a+b+c+d∈，其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f (x)=x+m恰有三个不相等的实数解。

天津市河北区2018届高三总复习质量检测（二）化学试题1. 用N A表示阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是A. CH5+、-OH、NH3各1mol，所含的电子数均为10N AB. 3.6g重水中含有的中子数为2N AC. 10g 溶质质量分数为46%的乙醇水溶液中含有的氢原子总数为1.2N AD. 一定条件下，6.4g铜与过量的硫反应，转移电子数目为0.2N A2. X、Y、Z、W是原子序数依次增大的短周期主族元素。

X和Z同主族，可形成两种常见的分子，Y和Z 最外层电子数之和与W的最外层电子数相同。

下列说法错误的是A. 氢化物稳定性W>ZB. X、Y、W 三种元素组成化合物的水溶液均显碱性C. 原子半径: Y>Z>W>XD. 在X、Y 形成的两种常见的离子化合物中阴阳离子的个数比分别均为1:23. 下列说法正确的是A. 金属发生吸氧腐蚀时，被腐蚀的速率和氧气浓度有关B. 1molH2燃烧放出的热量为H2的燃烧热C. 制乙烯时，用排水法或向上排空气法收集气体D. a一氨基丙酸与a一氨基苯丙酸混合物脱水成肽，只生成2种二肽4. 己知下表为25℃时某些弱酸的电离平衡常数。

依据所给信息判断，下列说法正确的是A. 向NaClO溶液中通入少量二氧化碳的离子方程式为: 2ClO-+CO2+H2O=2HClO+CO32-B. 相同浓度的 CH3COONa 和 NaClO 的混合溶液中，c(CH3OOH)+c(HClO) =c(OH-)-c(H+)C. 向0.1mol/LCH3COONa溶液中加入少量水，溶液pH增大D. 25℃时，0.10mol/LNa2CO3溶液通入CO2至溶液的pH=7时，溶液中:c(Na+)=c(CO32-)+ c(HCO3-)+c(H2CO3)5. 对于反应CO(g)+H2O(g) CO2(g)+H2(g) △H<0，在其他条件不变的情况下，下列说法正确的是A. 若在原电池中进行，反应放出的热量不变B. 升高温度，反应速率加快，反应放出的热量不变C. 改变压强，平衡不发生移动，反应放出的热量不变D. 加入催化剂，改变了反应的途径，反应的△H也随之改变6. 药物贝诺酯可由乙酰水杨酸和对乙酰氨基酚在一定条件下反应制得:下列有关叙述不正确的是A. 贝诺酯分子中有2 种含氧官能团B. 可用FeCl3溶液区别乙酰水杨酸和对乙酰氨基酚C. 1mol 乙酰水杨酸最多消耗3molNaOHD. 贝诺酯与足量NaOH溶液共热，最终生成乙酰水杨酸钠和对乙酰氨基酚钠7. 焦亚硫酸钠(Na2S2O5) 是常用的脱氧剂，其制备方法是向Na2CO3溶液中通入SO2，生成NaHSO3和CO2，一定条件下NaHSO3转化为Na2S2O5。

2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1} 2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．23．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x24．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4 5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．146．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝17．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．168．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1}【解答】解：∁R A＝{x|x≤0}；∴（∁R A）∩B＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为1，底面时边长为2的正三角形，∴几何体的体积V＝＝．故选：A．3．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为∃x0≤x02，故选：C．4．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项：＝﹣12x4．故选：D．5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2+3＝9．即目标函数z＝3x+y的最大值为9．故选：C．6．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝1【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN＝60°，在Rt△BMN中，|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，即有|BN|＝2a cos60°＝a，|MN|＝2a sin60°＝a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得﹣＝1，即为a2＝b2，由A（﹣1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，则a＝b＝1，∴双曲线的标准方程：x2﹣y2＝1，故选：D．7．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．16【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为＝1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，∴a﹣1＝；∴a﹣1＞0，∴＝+9（a﹣1）≥2＝6，当且仅当＝9（a﹣1），即a＝1±时取“＝”（由于a＞1，故取a＝），∴的最小值为6；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：作出函数的图象如图，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2），故（1）正确；设y＝m与函数y＝f（x）的交点自左至右依次为a，b，c，d，由﹣2﹣lnx＝1，得x＝e﹣3，由﹣2﹣lnx＝2，得x＝e﹣4，∴c∈（e﹣4，e﹣3]，又﹣2﹣lnc＝2+lnd，∴cd＝e﹣4，∴a+b+c+d＝﹣2+c+在（e﹣4，e﹣3]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），故（2）正确；设斜率为1的直线与y＝lnx+2相切于（x0，lnx0+2），则由，可得x0＝1，则切点为（1，2），此时直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），即y＝x+1，∴当m＝1时，直线y＝x+m与函数y＝f（x）有4个不同交点，即关于x的方程f（x）＝x+m有四个不等实根，故（3）错误．∴正确结论的个数是2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是30．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1满足条件i＜6，执行循环体，i＝3，S＝6满足条件i＜6，执行循环体，i＝5，S＝16满足条件i＜6，执行循环体，i＝7，S＝30不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为1．【解答】解：∵复数＝＝为纯虚数，故有a﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．【解答】解：△ABC中，若B＝2C，则sin B＝sin2C，∴sin B＝2sin C cos C，由正弦定理得b＝2c cos C，∴cos C＝；又2b＝3c，∴b＝c，∴cos C＝＝．故答案为：．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于4．【解答】解：∵抛物线（t为参数）上，∴y2＝4x，∵点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，∴m2＝4×3＝12，∴P（3，2）∵F（1，0），∴|PF|＝＝4，故答案为4．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积S＝＝＝．故答案为．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．【解答】解：分别以边AD，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（0，4），C（2，4），D（4，0）；设P（x，y），则：，；∵；∴（x﹣4，y）＝λ（﹣2，4）①，x2+y2﹣4y＝5②；∴由①得x＝4﹣2λ，y＝4λ，带入②得：（4﹣2λ）2+16λ2﹣16λ＝5；解得，或；据题意知0≤λ≤1；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x＝sin2x cos+cos2x sin+cos2x cos﹣sin2x sin+sin2x＝＝sin2x+＝．∴T＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴[]．∵当，即0时，函数f（x）单调递增，当，即时，函数f（x）单调递减，且f（0）＝，f（）＝2，f（）＝﹣．∴函数f（x）的最大值和最小值分别为2，﹣．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•＝，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3＝，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为＝．（II）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2•＝，P（X＝2）＝•（）2•＝，P（X＝3）＝（）3＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝3×＝2．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB的法向量为，由即令y＝1，则，x＝0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的过程为d，∵a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．∴＝a1•（a4+2），即（1+d）2＝1×（1+3d+2），化为：d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1．其中d＝﹣1时，a2＝0，舍去．∴d＝2．a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（Ⅱ）设b n＝＝，∴n为偶数时，＝＝16，b2＝8；n为奇数时，＝＝，b1＝．∴数列{b n}的奇数项是首项为，公比为．数列{b n}的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n}的前2n项和T2n＝+＝．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵F1为BF2的中点，AB⊥AF2，∴Rt△ABF2中，BF22＝AB2+AF22，（4c）2＝（）2+a2，又a2＝b2+c2，∴a＝2c，故椭圆的离心率e＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，得c＝a，于是F2（a，0），B（﹣a，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r＝a，所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，所求椭圆方程为+＝1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝k（x﹣1）和3x2+4y2＝12，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，则x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2），+＝（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则（+）•＝0，故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）＝0，即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）＝0，﹣2m+k2（﹣2）＝0，由已知条件知k≠0，∴m＝＝，∴0＜m＜，故m的取值范围是0＜m＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），令f'（x）＝0，则x2﹣ax+a﹣1＝0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x＝1或x＝a﹣1，因为a＞2，所以a﹣1＞1当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，a﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数当x∈（a﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数（Ⅱ）设x1＞x2，则不等式等价于f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1整理得到f（x1）+x1＞f（x2）+x2令即函数g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，，不等式恒成立．而，所以，因为a＞2，所以（Ⅲ）因为a∈（3，4），由（Ⅰ）可以知道当x∈（1，a﹣1）时，函数f（x）为减函数，而，x1＝2∈（1，a﹣1），那么x n+1＜x1所以f（x n+1）＞f（x1）所以|f（x n+1）﹣f（x1）|＝f（x n+1）﹣f（x1）由（Ⅱ）知道所以．。

2018届河北省普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研考试数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U= {小于7的正整数)，{}{}21257100,,A B x x x x N ==-+≤∈，，，则 ()U A C B ⋂=A.{}1B. {}2C. {}12，D. {}125，，2．设复数12z i =+(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为A ．()3,2-B ．(5，4)C ．(－3，4)D ．(3，4)3．设a R ∈，则“3a >”是“函数()log 1a y x =-在定义域内为增函数”的A ．充分不必要条件B.必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()201821n n S a n N a *=-∈=，则A. 20162B. 20172C. 20182D. 201925．已知双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB CD =时，双曲线的离心率为A ．2BCD 6．已知随机变量X 服从正态分布()()3,1240.6826N X ≤≤=，且P ，则()4P X >= A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D. 0.158 57．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．4π+B ．24π++C ．22π++D ． D ．24π++8．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是A ．()c a f x dx ⎰ B ．()c a f x dx ⎰ C ．()()bc a b f x dx f x dx +⎰⎰ D ．()()c bb a f x dx f x dx -⎰⎰ 9.执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是A. ()(],22,5-∞⋃B. ()(),11,-∞-⋃+∞C. ()(),22,-∞⋃+∞D. ()(],11,5-∞-⋃10.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移12π个单位长度后，所得图像与函数()y g x =的图像重合，则 A. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()2sin 2g x x =D. ()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的向左、右焦点分别为12F F P ，，是椭圆上一点，12PF F ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<o o ，则该椭圆的离心率的取值范围是A. 1⎫⎪⎪⎝⎭B. 12⎫⎪⎪⎝⎭，C. 112⎛⎫⎪⎝⎭， D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12.已知在数列{}()112,1,n n n n a a n a a a n N *+=-=+∈中，，若对于任意的[]2,2a ∈-，n N *∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为 A. (][),22,-∞-⋃+∞B. (][),21,-∞-⋃+∞C. (][),12,-∞-⋃+∞D. []2,2- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()()1,,3,1,1,2a b c λ===，若向量2a b c -与共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为___________.14.若不等式组0,0,260,0x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域，则实数m 的取值范围是___________.15.在三棱锥A BCD ABC BCD -∆∆中，与都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为，则ABC ∆的边长为__________.16.若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，则实数b=__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求cos B 的值；（2）若2,cos a C ABC ==∆的外接圆的半径R.18.（12分）如图，在四棱锥222=P ABCD PA PD AD CD BC ADC -=====∠中，，且=90BCD ∠o .（1）当PB=2时，证明：平面PAD ⊥平面ABCD.（2）当四棱锥P ABCD -的体积为34，且二面角P AD B --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.19.（12分）一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表所示.经计算得()()()26666111111=26,33,55766i i i i i i i i i i x x y y x x x y y x x =======--=-∑∑∑∑， 84=，()6213930i i y y=-=∑，线性回归模型的残差平方和$()621236.64,i i i y y =-=∑8.06053167e ≈，其中,i i x y 分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6.i =（1）若用线性回归模型，求y x 与的回归方程y bx a =+（结果精确到0.1）.（2）若用非线性回归模型预测当温度为35℃时，该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()$$()()2121122111,;1n n i i i i i n n i i i x xy y y y b a y bx R xx y y ====---==-=--∑∑∑∑$$.20.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=u u u r ，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()()2ln ,3x f x x x g x x ax e ==-+-（a 为实数）.（1）当5a =时，求函数()g x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使方程()()2x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a .（1）求a 的值；（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m n m n=+++的最小值.。

天津市河北区2012－2013学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设复数z 满足i i z 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 A ．1B ．2C ．3D ．42．命题：“∃x ＞0，sin x ≤x ”的否定是 A ．∃x ＜0，sin x ＞x B ．∃x ＞0，sin x ＞x C ．∀x ＞0，sin x ＞xD ．∀x ＜0，sin x ＞x3．右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是 A ．6B ．5C ．64D ．634．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥+=.20 log 2 ,43)21()(2x x x x f x ，，若函数k x f x g -=)()(有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是A ．(0，1)B ．(43，1) C ．(43，+∞) D ．(－∞，1) 5．若n xx )1(2-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为A ．84B ．－84C ．36D ．－366．设直线x ＝t 与函数，的图像分别交于点M 、N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A ．1B ．22 C ．21 D ．42 7．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且||MN ≤1，则ON OM ⋅的取值范围是A ．(－∞，22-]B ．[22-，+∞)C ．[22-，2)D ．(－∞，2)8．已知关于x 的一元二次不等式在实数集上恒成立，且a ＜b ，则T ＝ab cb a -++的最小值为A ．0B ．1C ．2D ．3 第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。