2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2018年天津理）设全集为R ，集合{}20<<=x x A ，{}1≥=x x B ，则=⋂)(B C A RA ．{}10≤<x x B ．{}10<<x xC ．{}21<≤x xD ．{}20<<x x【答案】B【解析】由题意可得：{}1<=x x B C R ，结合交集的定义可得：.{}10)(<<=⋂x x B C A R 【考点】交集的运算法则+补集的运算法则 【难度】★★★2．（2018年天津理）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．19C ．21D ．45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点(2,3)A ，所以max 35325321z x y =+=⨯+⨯=. 本题选择C 选项.【考点】求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值， 【难度】★★★3．（2018年天津理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，10Ni=，结果为整数， 执行11,13T T i i =+==+=，此时不满足5i ≥；203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12,15T T i i =+==+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.故选择B 选项. 【考点】程序框图 【难度】★★★4. （2018年天津理）设R x ∈，则“2121<-x ”是“13<x ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 102121212121<<⇔<-<-⇔<-x x x ，由113<⇔<x x .据此可知2121<-x 是13<x 的充分而不必要条件.本题选择A 选项.【考点】绝对值不等式的解法+充分不必要条件 【难度】★★★5．（2018年天津理）已知e a 2log =，2ln =b ，31log 21=c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：1log 2>=e a ，)1,0(log 12ln 2∈==eb ，ec 2221log 3log 31log >==，据此可得：c a b >>.本题选择D 选项. 【考点】对于指数幂的大小的比较. 【难度】★★★6．（2018年天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间]45,43[ππ上单调递增 B ．在区间],43[ππ上单调递减 C ．在区间]2,4[ππ上单调递增D ．在区间],2[ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数sin(2)5y x π=+的图象平移变换的性质可知： 将sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin[2())]sin 2105y x x ππ=-+=则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k z ππππ-≤≤+∈，令1=k 可得函数的一个单调递增区间为]45,43[ππ，选项A 正确. 函数的单调递减区间满足：3222()22k x k k z ππππ+≤≤+∈， 即3()44k x k k z ππππ+≤≤+∈， 令1=k 可得函数的一个单调递减区间为]47,45[ππ，选项C ，D 错误；故选择A 选项. 【考点】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调性 【难度】★★★7．（2018年天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±，不妨设： 22(,),(,)b b A c B c a a-，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：221bc b d c -==，222bc b d c +==， 则12226,bcd d b c+===则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选择C 选项.【考点】待定系数法求双曲线的标准方程；渐近线方程 【难度】★★★★8．（2018年天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，BC AB ⊥，CD AD ⊥，︒=∠120BAD ，1==AD AB . 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为（ ）A ．1621 B ．23 C.．1625D ． 3【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则)210(，A ，)023(，B ，)230(，C ，)023(，-D ，点E 在CD 上，则)10(≤≤=λλ，设),(y x E ，则：)23,23(),23(λ=+y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+λλ232323y x ， 据此可得：)23,23,23(λλ-E ，且：31)22AE λ=+u u u r，3)2BE λ=-u u u r ，由数量积的坐标运算法则可得：331()(()222222AB BE λλλλ⋅=-+⨯+u u u r u u u r ，整理可得：23(422)(01)4AB BE λλλ⋅=-+≤≤u u u r u u u r ，结合二次函数的性质可知，当41=λ时，BE AB ⋅取得最小值1621. 本题选择A 选项.【考点】向量的数量积+向量的坐标运算+数量积的几何意义 【难度】★★★★第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（2018年天津理）i 是虚数单位，复数67i___________12i+=+． 【答案】4i -【解析】由复数的运算法则得：67i (67i)(12i)205412i (12i)(12i)5ii ++--==-++-. 【考点】复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【难度】★★★10．（2018年天津理）在5)21(xx -的展开式中，2x 的系数为____________.【答案】25【解析】结合二项式定理的通项公式有：r r r rrr r x C xx C T 2355551)21()21(--+-=-=，令2235=-r 可得：2=r ，则2x 的系数为：251041)21(252=⨯=-C . 【考点】二项式定理 【难度】★★★11．（2018年天津理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥EFGH M -的体积为__________.【答案】121 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为22的正方形，其面积21222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=EFGH S ， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为21=d ， 由四棱锥的体积公式可得：.121212131=⨯⨯=-EFGH M V 【考点】四棱锥的体积 【难度】★★★12．（2018年天津理）已知圆0222=-+x y x 的圆心为C ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=t y t x 223221(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为___________. 【答案】21【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：1)1(22=+-y x ， 直线的直角坐标方程为：)1(3+-=-x y ，即02=-+y x ， 则圆心到直线的距离：222201=-+=d ， 由弦长公式可得：2)22(122=-⨯=AB ， 则2122221=⨯⨯=∆ABC S . 【考点】直线与圆的位置关系+点到直线的距离.【难度】★★★13．（2018年天津理）已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为__________． 【答案】14【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+， 因为对于任意x ， 20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：31122284aa b b-+=+≥==. 当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【考点】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【难度】★★★★14．（2018年天津理）已知0>a ，函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤++=0,220,2)(22x a ax x x a ax x x f ，若关于x 的方程ax x f =)(恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】)8,4( 【解析】：分类讨论：当0≤x 时，方程ax x f =)(即ax a ax x =++22，整理可得：)1(2+-=x a x ，很明显1-=x 不是方程的实数解，则12+-=x x a ，当0>x 时，方程ax x f =)(即ax a ax x =-+-222， 整理可得：)2(2-=x a x ，很明显2=x 不是方程的实数解，则22-=x x a ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=0,20,1)(22x x x x x x x g ，其中）2-111(12+++-=+-x x x x ，424222+-+-=-x x x x原问题等价于函数)(x g 与函数a y =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数)(x g 的图象， 同时绘制函数a y =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0>a 观察可得，实数a 的取值范围是)8,4(.【考点】函数零点的求解与判断 【难度】★★★★15．（2018年天津理）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）b =；sin(2)A B -=【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0,π)B ∈，可得3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理及2,3,3a c B π===，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角差的正弦与余弦公式；3.二倍角的正弦与余弦公式；4.正弦定理、余弦定理 【难度】★★★16．（2018年天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）76． 【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2:2:3， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．)3,2,1,0()(37334=⋅==-k C C C k x P kk 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望712354335182351213510)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则C B A ⋃=，且B 与C 互斥，由（i ）知，)2()(==X P B P ，)1()(==X P C P ，故76)1()2()()(==+==⋃=X P X P C B P A P ．所以，事件A 发生的概率为76．【考点】超几何分布+分层抽样. 【难度】★★★ 17．（2018年天津理）如图，//AB BC 且BC AD 2=,CD AD ⊥,//EG AD 且AD EG =，//CD FG 且FG CD 2=， DG ⊥平面ABCD ，2===DG DC DA . （I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN//平面CDE ； （II ）求二面角F BC E --的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为︒60，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1010；(Ⅲ)33. 【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,2(E ，)2,1,0(F ，)2,0,0(G ，)1,23,0(M ，)2,0,1(N ．（Ⅰ）依题意)0,2,0(=，)2,0,2(=． 设),,(0z y x n =为平面CDE 的法向量，则 0000n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即 ⎩⎨⎧=+=02202z x y 不妨令1-=z ，可得)1,0,1(0-=n ．又3(1,,1)2MN =-u u u u r ，可得00=⋅n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN//平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得(1,0,0)BC =-u u u r ，(1,2,2)BE =-u u u r ，(0,1,2)CF =-u u u r．设),,(z y x n =为平面BCE 的法向量，则 0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即 ⎩⎨⎧=+-=-0220z y x x 不妨令1=z ，可得)1,1,0(=n ． 设),,(z y x m =为平面BCF 的法向量，则0m BC m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r 即 ⎩⎨⎧=+-=-020z y x 不妨令1=z ，可得)1,2,0(=m ．因此有10103,cos =<，于是sin ,10m n <>=u r r ． 所以，二面角F BC E --的正弦值为1010．（Ⅲ）设线段DP 的长为])2,0[(∈h h ，则点P 的坐标为),0,0(h ， 可得),2,1(h BP --=．易知，)0,2,0(=为平面ADGE 的一个法向量，故cos ,BP DC BP DC BP DC ⋅<==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由题意，可得2360sin 522==+︒h ，解得]2,0[33∈=h ． 所以线段DP 的长为33. 【考点】空间向量的应用+线面平行的证明+二面角 【难度】★★★★18．（2018年天津理）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为)(*N n S n ∈，{}n b 是等差数列，已知11=a ，223+=a a ，534b b a +=，6452b b a +=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为)(*N n T n ∈，（i ）求n T ；（ii ）证明)(222)2)(1()(*212N n n k k b b T n nk k k k ∈-+=++++=+∑ 【答案】(Ⅰ)12-=n n a ，n b n =；(Ⅱ)（i ）221--=+n T n n .（ii ）证明见解析.【解析】（I ）设等比数列{}n a 的公比为q .由11=a ，223+=a a可得022=--q q .因为0>q ，可得2=q ，故12-=n n a .设等差数列{}n b 的公差为d ，由534b b a +=，可得431=+d b 由6452b b a +=，可得 161331=+d b 从而 1,11==d b 故n b n = 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a ，数列{}n b 的通项公式为n b n =（II ）（i ）由（I ），有122121-=--=n nn S ，故.2221)21(2)2()12(111--=--⨯=-=-=+==∑∑n n T n nk nk n kkn （ii ）因为1222)2)(1(2)2)(1()222()2)(1()12112+-+=++⋅=++++--=++++++++k k k k k k k k k k k k b b T k k k k k k k （，所以222)1222()3242()2232()2)(1()(212342312-+=+-+++-+-=++++++=+∑n n n k k b b T n n n nk k k k Λ 【考点】数列通项公式+数列求和【难度】★★★★19．（2018年天津理）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为35，点A 的坐标为)0,(b ，且26=⋅AB FB . （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线)0(:>=k kx y l 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AOQ PQAQ ∠=sin 425(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)14922=+y x ；(Ⅱ)21或2811 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有9522=a c ，又由222c b a +=，可得b a 32=．由已知可得，a FB =，b AB 2=， 由26=⋅AB FB ，可得6=ab ，从而3=a ，2=b ．所以，椭圆的方程为14922=+y x ．（Ⅱ）设点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ． 由已知有021>>y y ，故21sin y y AOQ PQ -=∠． 又因为OAB y AQ ∠=sin 2，而4π=∠OAB ，故22y AQ =．由AOQ PQAQ ∠=sin 425，可得2195y y =． 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=14922y x kxy 消去x ，可得49621+=k k y ． 易知直线AB 的方程为02=-+y x ，由方程组⎩⎨⎧=-+=02y x kx y 消去x ，可得122+=k ky ．由2195y y =，可得493)1(52+=+k k ， 两边平方，整理得01150562=+-k k ，解得21=k ，或2811=k ． 所以，k 的值为21或2811【考点】直线与椭圆的综合问题 【难度】★★★★20．（2018年天津理）已知函数xa x f =)(，x x g a log )(=，其中1>a .（I ）求函数a x x f x h ln )()(-=的单调区间；（II ）若曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 处的切线与曲线)(x g y =在点))(,(22x g x 处的切线平行，证明aax g x ln ln ln 2)(21-=+； （III ）证明当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间)0,(-∞，单调递增区间为)0(∞+，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】（I ）由已知，a x a x h xln )(-=，有a a a x h xln ln )(-='. 令0)(='x h ，解得0=x由，可知当x 变化时，)(x h '，)(x h 的变化情况如下表：所以函数)(x h 的单调递减区间为)0,(-∞，单调递增区间为)0(∞+，. （II ）由a a x f xln )(='，可得曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 处的切线斜率为a a x ln 1.由a x x g ln 1)(='，可得曲线)(x g y =在点))(,(22x g x 处的切线斜率为a x ln 12. 因为这两条切线平行，故有ax a a x ln 1ln 21=，即1)(ln 222=a a x x .两边取以a 为底的对数，得0ln log 2log 212=++a x x a ，所以aax g x ln ln ln 2)(21-=+. （III ）曲线)(x f y =在点),(11x a x 处的切线.)(ln :1111x x a a a y l xx -⋅=-曲线)(x g y =在点)log ,(22x x a 处的切线)(ln 1log :2222x x ax x y l a -⋅=- 要证明当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线， 只需证明当e e a 1≥时，存在),(1+∞-∞∈x ，),0(2+∞∈x ，使得1l 和2l 重合.即只需证明当e e a 1≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩有解，由①得22)(ln 11a a x x =，代入②，得.0ln ln ln 2ln 1ln 1111=+++-aa a x a a x a x x ③ 因此，只需证明当e e a 1≥时，关于1x 的方程③存在实数解. 设函数aaa x a xa a x u xx ln ln ln 2ln 1ln )(+++-=， 即要证明当e e a 1≥时，函数)(x u y =存在零点.x xa a x u 2)(ln 1)(-='，可知)0,(-∞∈x 时，0)(>'x u ； ),0(+∞∈x 时，)(x u '单调递减，又01)0(>='u ，01])(ln 1[2)(ln 12<-='a a a u ，故存在唯一的0x ，且00>x ，使得0)(0='x u ，即0)(ln 1002=-x a x a .由此可得)(x u 在),(0x -∞上单调递增，在)(0∞+，x 上单调递减.)(x u 在0x x =处取得极大值)(0x u .因为e e a 1≥，故1)ln(ln -≥a ， 所以.0ln ln ln 22ln ln ln 2)(ln 1ln ln ln 2ln 1ln )(02000000≥+≥++=+++-=aa a a x a x a a a x a a x a x u x x 下面证明存在实数t ，使得0)(<t u .由（I ）可得a x a x ln 1+≥， 当ax ln 1>时， 有aaa x a x a x x u ln ln ln 2ln 1)ln 1)(ln 1()(+++-+≤ aaa x x a ln ln ln 2ln 11)(ln 22++++-=，所以存在实数t ，使得0)(<t u因此，当e e a 1≥时，存在),(1+∞-∞∈x ，使得0)(1=x u .所以，当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线. 【考点】用导数求函数的单调性、极值(最值) 【难度】★★★★★。
