非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论
摘要:本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题,虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组,这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件,并给出了相应例题。
关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换
引言
非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222222********* (Ⅰ)
的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质:
(1) 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解,1v 是其导出组0=AX 的一个解,则
11v u +也是0=AX 的一个解。
证明:因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解,所以有B Au =1,同理有01=Av ,则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 (2) 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解,则21v v -是其导出组的解
证明:由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理
(非其次线性方程组解的结构定理)若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解,v 是其导出组的通解,则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。
证明:由性质(1)可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解,所以只需证明,非其次线性方程组的任意一个解*
v ,一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和,取
1*1u v v -=
由性质(2)可知,1v 是导出组的一个解,于是得到11*
v u v +=,即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。
由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表
示。因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解,如果0v 是方程组(Ⅰ)的一个特解,r n -ηηη,,21 是其导出组的一个基础解系,那么(Ⅰ)的任一
个解都可以表示成:r n r n k k k u u --++++=ηηη 22110*
3.由上面2的证明过程,我们可以知道其次线性方程组0=AX 的全部解可由基础解系
r n -ηηη,,21 线性表示出(其基础解系含有r n -个解向量),即
()r n r n r n k k k k k k ---+++ ,,212211ηηη为任意实数。那么,当非其次线性方程组
B AX =有解时,则B AX =至多有多少个线性无关的解向量?B AX =的全部解又如何表示?
定理
若其次线性方程组0=AX 的基础解系为r n -ηηη,,21 ,当非其次线性方程组
0≠=B AX 有解时,则它至多且一定有1+-r n 个线性无关的解向量
121,,,+--r n r n ξξξξ ,B AX =的通解可以表示为1
12211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ 为满足关系式1121=+++++--r n r n k k k k ,的任意实数。
证明:(ⅰ)若ξ是非其次线性方程组B AX =的解,则ξ为非零解向量,那么向量组ξ,
r n -ηηη,,21 线性无关(否则ξ可由r n -ηηη,,21 线性表示,与ξ是B AX =的解矛盾)。
那么,易证r n r n -+-+=+=+==ηξξηξξηξξξξ123121,,, 都是B AX =的解,并且
121,,,+--r n r n ξξξξ 线性无关。这说明B AX =至少有1+-r n 个线性无关的解向量。
下面再证B AX =至多有1+-r n 个线性无关的解向量。
反证:若B AX =有2+-r n 个线性无关的解向量2121,,,+-+-r n r n ξξξξ ,那么易证
212221,,+-+-+-+----r n r n r n r n ξξξξξξ 均为0=AX 的解,并且线性无关。这样0=AX 具
有1+-r n 线性无关的解向量矛盾,所以,B AX =至多且一定有1+-r n 个线性无关的解向量B AX =。
(ⅱ)对于B AX =的任意一个解,一定可以表示成它的一个特解ξ与其导出组0=AX 的基础解系的线性组合,即()r n r n r n k k k k k k ---++++ ,,212211ηηηξ为任意常数 那么
()()()()()1
3221121221121221111+--------++++----=+++++++----=++++r n r n r n r n r n r n r
n r n k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξηξηξαξηηηξ
(r n k k k - ,,21为任意实数,且组合系数()r n r n k k k k k k ------ ,,,12121之和等于1.
这说明,B AX =的任意解都可以表示成这样的形式。
另一方面,由于121,,,+--r n r n ξξξξ 都是B AX =的解,对于
112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ ,只要满足1121=+++++--r n r n k k k k 仍然是
B AX =的解,所以,B AX =的通解可以表示成112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ ,且121,,,+--r n r n k k k k 为满足关系式1121=+++++--r n r n k k k k ,的任意实数。
例2
设0η是线性方程组的一个解,t ηηηη ,,,321是它导出组的一个基础解系,令
010201,,ηηηη+===+t t r r r 。证明:线性方程组的任一一个解
112211+++++=t t r u r u r u ν,其中1121=++++t u u u 。
证明:
由题可设方程组的任一解ν可以表示成t t u u ηηην1120++++= (12,+t u u 为常数) 令1211+---=t u u u ,则
()0101201112011)()(ηηηηηηηην+++++=++++=+++t t t
t t u u u u u u u 112211+++++=t t r u r u r u
(1) 引理:设A 为m n ?矩阵,用初等行变换,把A 化为阶梯形矩阵,并使该梯形矩阵
的每一个非零行的第一个非零元素(从左算起)为1,且该元素所在列的其他元素为零,这样的阶梯形矩阵的为A 的行简化阶梯形矩阵。
定理:非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是,它的增广矩阵A 的秩()r A 与系数矩阵A 的秩()r A 相等,且A 的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2.
证明:必要性
方程组有全非零解,则必须满足方程组的条件,因而,()()r A r A =.不妨设其秩为r 且A 的简化阶梯矩阵为:
121,11,21,12,12,12,2,1,210000100000100000000000
0n r r n r r n r r r r r r l l l d l l l d l l l d ++++++??????????
???????????
?
(2) 且其对应的方程组为
11,111,221122,112,2222,11,22r r r r n n r r r r n n r r r r r r r rn n r
x l x l x l x d x l x l x l x d x l x l x l x d ++++++++++++=----+=----+=---
-+
若对某个r ()i i r ≤≤ 有,1,2,0i r i r i n i l l l d ++==
===
则0i x =,这和方程组(2)有全非零全部解矛盾,故对每个i (1,2,r n =)
,至少存在一个j (1r j n +≤≤)使0ij l ≠或0i d ≠,即(2)中第i (1,2,r r =)行至少有
两个非零元素。
充分性:设N 是充分大的正数,令1n r r x N -+=,1n r
r x N -+=,
n x N =
将其带入(2)得:1.1,2,n r
n r i i r i r i N i x l N
l N l d --+++=---
-+(1,2,
r r =)
,当0ij l =(1r j n +≤≤),0i d ≠时,显然成立;当上式右端至少存在一个非零系数,设第一个非
零系数为(),1i r k l k n r +≤≤-,则1,,1,1,1
,1
,1n r k n r k i i r k i r k in i
n r k i r k i n i n r k i r k n r k i r k x l N l N l N d l N l N d l N
l N --+--+++--++--++--++=---
-+??
---+=-+??-????
因为,1,1
,lim 0i r k n k r i n i
n r k N i r k l N l N d l N
++----+→+∞
+--
-+=-
所以
l i m i
N x →+∞
=∞,1,2,
i r =,故存在充分大的正数i N ,使
1,,10n r k n r k
i i r
k
i r
k
i n
i
x l N
l
N l
N d --+-
-+
++=----+
≠
(1,2,
i r =);
取
{}
12max ,,r N N N N =,
可
使
1,,10
n r k n r k i i r k i r k in i x l N l N l N d --+--+++=---
-+≠(1,2,i r =)
这样,就得到方程组的一个全非零解(
)112,,,,,,
T
n r n r n r r x x x x N N N N ----=
例1 方程组
()()134512345123451
24512
3452412626(1)0
3413
251035
x x x x x x x x x x x x x c x x x x c x x x x x c x ?+++=?
-++-=??
-++--=??+++-=??-+++-=? 有全非零解的充要条件? 解:其增广矩阵A 的简化阶梯形矩阵为
1
0241
1010
2210010320000000
00
000c ??
??--????-??
??????
故由上述定理可知,该方程组有全非零解的充要条件是c 为任意实数。
例2已知非齐次线性方程组1234123412
341
435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-??
++-=-??+++=?有三个线性五官的解,
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =, (Ⅱ)求,a b 的值及方程组的通解。
解:(Ⅰ)设123,,ααα是非齐次线性方程组的三个线性无关的解,则1213,αααα--是导出组0Ax =的线性无关解,所以()2n r A -≥,从而()2r A ≤,显然矩阵A 中存在不为零的2阶子式,又有()2r A ≥,从而秩()2r A =。
(Ⅱ)对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换,有
11111111114
3511011531310131111110115300424542A a b a a b a a b b a a --????
????=--→--????
????---+????
-????→--????-+--??
于是()()
2r A r A ==故2,3a b ==-,又因为()2,1,1,0T
α=-是Ax b =的解,且
()12,1,1,0T η=-,()24,5,0,1T
η=-是0Ax =的基础解系,所以方程组的通解为
1122k k αηη++(12,k k 为任意实数)
线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】r(A)= r 非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论 摘要:本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题,虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组,这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件,并给出了相应例题。 关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换 引言 非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222222********* (Ⅰ) 的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质: (1) 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解,1v 是其导出组0=AX 的一个解,则 11v u +也是0=AX 的一个解。 证明:因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解,所以有B Au =1,同理有01=Av ,则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 (2) 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解,则21v v -是其导出组的解 证明:由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理 (非其次线性方程组解的结构定理)若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解,v 是其导出组的通解,则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。 证明:由性质(1)可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解,所以只需证明,非其次线性方程组的任意一个解* v ,一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和,取 1*1u v v -= 由性质(2)可知,1v 是导出组的一个解,于是得到11* v u v +=,即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。 由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表 线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 非齐次线性方程组解得结构得进一步讨论摘要:本文通过矩阵得初等变换及非齐次线性方程组得解得有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组得解得结构问题,虽然非齐次线性方程组得解向量得全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组得基础解系得解向量组,这个解向量组线性无关。并且得任意一个解都可以由这个解向量组线性表示、最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解得充要条件,并给出了相应例题。 关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换 引言 非其次线性方程组(Ⅰ) 得矩阵形式为。取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组得导出组。我们知道非其次线性方程组得解有以下得一些性质: (1)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得一个解,则也就是得一个解。 证明:因为就是非其次线性方程组得一个解,所以有,同理有,则由。所以就是非其次线性方程组得解。 (2)若就是非其次线性方程组得两个解,则就是其导出组得解 证明:由,,所以有,故为其导出组得解。 2。定理 (非其次线性方程组解得结构定理)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得通解,则就是非其次线性方程组得通解。 证明:由性质(1)可知加上其导出组得一个解仍就是非其次线性方程组得一个解,所以只需证明,非其次线性方程组得任意一个解,一定就是与其导出组某一个解得与,取 由性质(2)可知,就是导出组得一个解,于就是得到,即非其次线性方程组得任意一个解与其导出组得某一个解得与。 由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示。因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表示出一般方程组得一般解,如果就是方程组(Ⅰ)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(Ⅰ)得任一个解都可以表示成: 3。由上面2得证明过程,我们可以知道其次线性方程组得全部解可由基础解系线性表示出(其基础解系含有个解向量),即为任意实数。那么,当非其次线性方程组有解时,则至多有多少个线性无关得解向量?得全部解又如何表示? 定理 若其次线性方程组得基础解系为,当非其次线性方程组有解时,则它至多且一定有个线性无关得解向量,得通解可以表示为为满足关系式,得任意实数。 证明:(ⅰ)若就是非其次线性方程组得解,则为非零解向量,那么向量组,线性无关(否则可由线性表示,与就是得解矛盾)。那么,易证都就是得解,并且线性无关。这说明至少有个线性无关得解向量。 下面再证至多有个线性无关得解向量。 反证:若有个线性无关得解向量,那么易证均为得解,并且线性无关。这样具有线性无关得解向量矛盾,所以,至多且一定有个线性无关得解向量。 (ⅱ)对于得任意一个解,一定可以表示成它得一个特解与其导出组得基础解系得线性组合,即为任意常数 那么 非齐次线性方程组Ax=b 一、基本理论 线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩. 非齐次线性方程组的解集结构: 若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ). 解非齐次线性方程组的方法: 通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组,根据方程组写出解. 二、Matlab 实现 调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解. 若方程组有解, 且rank(A )=n ,即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解:x=A\b . 三、例子 例1. 求解线性方程组 123452451234512351 2 3 4 5 343226333 434222026231 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=??---=-??-++-=??++-=?-+-++= ?? A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b] A1 = 3 - 4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1 rref(A1) ans = 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 线性方程组的解法 注意:考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点,但是同学们学得时候要系统,要全面,要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式,请同学们以此为准,进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解: (1) 若齐次线性方程组() =,则只有零解; r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.(注:当=时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.) 注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知,若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n 是未知量的个数,则有:(1)当m n <时,() ≤<,此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解; (2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=; (3)当m n A≠,故齐次线=且() =时,此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解; (4)当m n >时,此时()r A n ≤,故存在齐次线性方程组的同解方程组,使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一:将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)(注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判断),从而可计算系数矩阵A 的行列式: 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?(其中3x ,4x ,5x 为自由未知 量) 令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-;令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-;令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-,于是得到原方程组的一个基础解系为 非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组,还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法,即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换,而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说,就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面,而问题的反面是,如果两个非齐次线性方程组同解,则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵?答案是肯定的,此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组,则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵,且秩A =秩B ,如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ,使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ,则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ,0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵,由于B CA =,则B 的行可由A 的行线性表出,从而B 的行可由0A 的行线性表出,进而0B 的行可由0A 的行线性表出, 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行,因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =,所以0B 的各行亦构成一个线性无关组,则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =,12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵,且 线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r(A )= r 齐次和非齐次线性方程组 的解法日 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 线性方程组的解法 注意:考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点,但是同学们学得时候要系统,要全面,要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式,请同学们以此为准,进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理 齐次线性方程组一定有解: (1) 若齐次线性方程组()r A n =,则只有零解; (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.(注:当m n =时, 齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.) 注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知,若m 是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n 是未知量的个数,则有:(1)当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解; (2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 0A =; (3)当m n =且()r A n =时,此时系数矩阵的行列式0A ≠,故齐次线性方程组只有零解; (4)当m n >时,此时()r A n ≤,故存在齐次线性方程组的同解方程组,使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 线性方程组的解法 注意:考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点,但是同学们学得时候要系统,要全面,要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式,请同学们以此为准,进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解: (1) 若齐次线性方程组() =,则只有零解; r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() <.(注:当 r A n A=.)=时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 m n 注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知,若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n是未知量的个数,则有:(1)当m n <时,() ≤<,此时齐次线性方程组 r A m n 一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解; (2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=; (3)当m n A≠,故齐次线=且() =时,此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解; (4)当m n >时,此时()r A n ≤,故存在齐次线性方程组的同解方程组,使“m n ≤”. 例 解线性方程组1 2 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一:将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)(注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判 断),从而可计算系数矩阵A 的行列式:2 31531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---,知 方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 例 解线性方程组12 3 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++?? =---?(其中3x ,4x ,5x 为自由未知量) 令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-;令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-;令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-,于是得到原方程组的一个基础解系为非齐次线性方程组
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
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