高考数学圆锥曲线专题：椭圆的定义与性质(二)

3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。

高二数学 第二章 第2节 椭圆（理）知识精讲 人教新课标A 版选修21一、学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质，并会利用椭圆的几何性质解决一些问题。

难点：对椭圆的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关椭圆焦点三角形的问题，并能与正余弦定理相结合。

能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。

三、考点分析：本节课我们主要学习熟练掌握椭圆的定义及其两种标准方程，会用待定系数法确定椭圆的方程，以及对椭圆的简单几何性质的运用。

初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时掌握一些直线与椭圆的位置关系的运用。

1、对椭圆第一定义的理解在椭圆的第一定义中，平面内动点与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、椭圆的第二定义：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个小于1的正常数e ，这个点的轨迹是椭圆。

定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：（1）定点必须在直线外。

（2）比值必须小于1。

（3）符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程的形式。

（4）椭圆离心率的两种表示方法：c P F e a P F ==椭圆上任意一点到焦点的距离点到与对应的准线的距离准线方程为：椭圆焦点在x 轴 2a x c =±椭圆焦点在y 轴 ca y 2±=3、椭圆的标准方程椭圆方程图形特征几何性质范围顶点焦点准线对称性长短轴离心率焦半径4、常用的公式及结论：（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与2x、2y项分母的大小即可。

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆知识一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数(122a F F >)的点的轨迹叫做椭圆，即点集；1212M={P| |PF|+|PF |=2a},2a>||=2c F F这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（122a F F =时为线段12F F ，122a F F <无轨迹）。

第二定义：椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

.准线：l 1：x=－c a 2， l 2：x=ca 2焦半径：1122r =|PF|=a+ex;r =|PF |=a-ex 1F 为左焦点，2F 为右焦点。

（规律：左加右减） 2．椭圆方程：标准方程：①焦点在x 轴上：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：22221x y b a+=（a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；一般方程： 或者221mx ny +=其中0,0,m n m n >>≠参数方程:cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ , θ为参数二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆（a ＞b ＞0） 横坐标- a x a -≤≤,纵坐标b y b -≤≤（2）椭圆（a ＞b ＞0） 横坐标a x a -≤≤，纵坐标b y b -≤≤2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）222c a b =-221x y m n +=12222=+b y a x 12222=+b x a y（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解8.5椭圆考试要求1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率 e ＝ca (0<e <1) a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示当2a ＝|F 1F 2|时，动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示由e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁平；e 越小，b 越大，椭圆越接近于圆．3．焦点弦的弦长最短是什么？提示焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为2b 2a.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 题组二教材改编2．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，若点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是____________． 答案x 225＋y 216＝1解析因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.3．若椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案4或8解析当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8.4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 答案x 216＋y 28＝1解析如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又△ABF 2的周长为16， 所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝16， 即4a ＝16，a ＝4，又e ＝c a ＝22，则c ＝22，b ＝a 2－c 2＝22，故椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.5．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 由题意可得点P 到x 轴的距离为1， 所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题组三易错自纠6．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是____________________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 解析由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.7．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为________．答案3或253解析若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m ，由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3. 若a 2＝m ，b 2＝5， 则c ＝m －5.由c a ＝105，即m －5m＝105，解得m ＝253.综上，m ＝3或253.8．已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为________；若直线y＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝________. 答案x 24＋y 2＝110解析由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，由点A (－2,0)，B (0,1)且焦点在x 轴上，得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2(x 1>0)，则⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，解得x 1＝2，y 1＝22，x 2＝－2，y 2＝－22，则|MN |＝(2＋2)2＋⎝⎛⎭⎫22＋222＝10.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用例1(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 答案A解析连接QA (图略)． 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |<|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32＝433.若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积．解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4)＝4a 2－16， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1 (1)设P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为________． 答案60°解析由椭圆x 216＋y 29＝1，可得2a ＝8，设||PF 1＝m ，||PF 2＝n ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2a ＝8，mn ＝12，4c 2＝28＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，化简可得cos ∠F 1PF 2＝12，∴∠F 1PF 2＝60°.(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 答案6＋26－ 2解析椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.题型二椭圆的标准方程例2 (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 答案D解析由题意可知椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可知c ＝1，e ＝c a ＝12，可得a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，可得b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．答案y 220＋x 24＝1解析方法一(待定系数法)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二(定义法)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． (2)椭圆的标准方程的两个应用①方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与x 2a 2＋y 2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．②与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A.x 2100＋y 284＝1B.x 225＋y 29＝1 C.x 284＋y 2100＝1D.x 29＋y 225＝1 答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝4，解得a ＝5，b 2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 29＋y 225＝1.(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，|F 1F 2|＝25， 所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.题型三椭圆的简单几何性质命题点1离心率例3 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为() A.23B.12C.13D.14 答案D解析如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是() A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案A解析由题设知，直线l ：x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c ,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a.又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A. 思维升华求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的最值(或范围)问题例4设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是()A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞) 答案A解析方法一设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x ,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan ∠AMB ＝tan120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m.又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).故选A. 方法二当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.思维升华利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca ＝2－1.故选A.(2)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案5解析设B (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，∴AP →＝(－x 1,1－y 1)，PB →＝(x 0，y 0－1)． ∵AP →＝2PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝2x 0，1－y 1＝2(y 0－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x 0，y 1＝3－2y 0，将A ，B 两点的坐标代入x 24＋y 2＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 204＋y 20＝m ，(－2x 0)24＋(3－2y 0)2＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋4y 20＝4m ，x 20＋(3－2y 0)2＝m ，两式相减，得y 0＝14m ＋34.∴x 20＝4m －4y 20＝－14m 2＋52m －94，m >1， ∴当m ＝－522×⎝⎛⎭⎫－14＝5时，x 20取得最大值，此时|x 0|最大． 课时精练1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是() A.x 225＋y 220＝1B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1D.x 280＋y 285＝1 答案B解析由9x 2＋4y 2＝36可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b ＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为() A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 答案D解析设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.4．(2021·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案D解析设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)， 由线段PF 1的中垂线过点F 2得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 5．(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2.5”的充要条件 答案CD解析对于A ，当1<k <4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k－1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，k －1>4－k ，解得2.5<k <4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件，所以C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1<k <2.5，所以D 正确．6．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m ()0<m <3与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[]6，12C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形 D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为 6 答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |， ∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6为定值，A 正确； △ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，因为|AF |＋|BF |为定值6，∴|AB |的取值范围是(0,6)， ∴△ABF 的周长的取值范围是(6,12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可解得A ⎝⎛⎭⎫－332，32，B ⎝⎛⎭⎫332，32，又∵F (6，0)，∴AF →·BF →＝⎝⎛⎭⎫6＋332⎝⎛⎭⎫6－332＋⎝⎛⎭⎫322＝0，∴AF ⊥BF ， ∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)， ∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确．7．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上任意一点．点A (3，m )⎝⎛⎭⎫m >165，B (－3,0)，则|P A |＋|PB |的最小值为________． 答案36＋m 2解析如图，点P 为线段AB 与椭圆的交点时|P A |＋|PB |最小，其最小值为|AB |＝62＋m 2＝36＋m 2.8．已知椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________________． 答案(－3,0)或(3,0)解析记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 由题意知a ＝5，b ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，等号成立， 即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. 所以此时点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 为椭圆的右焦点，AB 为过原点O 的弦，则△ABF 面积的最大值为________． 答案b a 2－b 2解析如图，设E 为椭圆的左焦点，则S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝S △AOF ＋S △AOE ＝S △AEF ≤ba 2－b 2.10．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 答案(3，15)解析不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15， 所以M 的坐标为(3，15)．11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴c 2a 2≥14， 即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明由(1)知mn ＝43b 2，∴12PF F S △＝12mn sin60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与椭圆的短轴长有关．13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为()A.3－1B ．2－3C.22D.32 答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝3c ＋c ＝2a ，∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1. 14．已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM |＝2.在△FF ′P 中，OM 綊12PF ′，所以|PF ′|＝4.根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PF |＝2.又因为|FF ′|＝4，所以在Rt △MFF ′中，tan ∠PFF ′＝|MF ′||MF |＝|FF ′|2－|MF |2|MF |＝15， 即直线PF 的斜率是15.15．(多选)(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论正确的是()A ．卫星向径的取值范围是[]a －c ，a ＋cB ．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[]a －c ，a ＋c ，A 正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B 正确； a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误． 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．16．(2021·商洛模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝()2＋22＋()2－22＝23，所以c ＝3，从而b ＝22－()32＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)连接F 1Q ，如图所示，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a . 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.设|PF 1|＝m ，所以|QF 1|＝4a －2m ，|QF 2|＝2m －2a ， |PF 2|＝2a －m ，又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|QF 1|＝2|PF 1|， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋()2a －m 2＝4c 2，4a －2m ＝2m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝64m ，a ＝2＋24m ，所以e ＝c a ＝64m 2＋24m ＝6－ 3.。

高考数学复习考点题型专题讲解专题21 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2B.2 2C.3D.3 2 答案 B解析 法一 由题意可知F (1，0)， 抛物线的准线方程为x ＝－1.设A (y 204，y 0)，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1，又|BF |＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得y24＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2). 不妨取A(1，2)，故|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝（－2）2＋22＝22，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )A.32B.22C.12D.13答案 A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以k AP·k AQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14(*).因为点P在椭圆C上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案 －3解析法一 依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.法二 依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________. 答案 13解析 如图，连接AF 1，DF 2，EF 2，因为C 的离心率为12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.因为|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2c ＝|F 1F 2|， 所以△AF 1F 2为等边三角形，又DE ⊥AF 2，所以直线DE 为线段AF 2的垂直平分线， 所以|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，且∠EF 1F 2＝30°， 所以直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，代入椭圆C 的方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，得13x 2＋8cx －32c 2＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c 213，所以|DE |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c 213＝48c 13＝6， 解得c ＝138，所以a ＝2c ＝134， 所以△ADE 的周长为|AD |＋|AE |＋|DE |＝|DF 2|＋|EF 2|＋|DE |＝4a ＝13.热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|).(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与虚轴的上端点，F (2，0)是双曲线C 的右焦点，直线AB 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为焦点，直线x －my－2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M (1，1)满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为________.答案 (1)x 22－y 22＝1 (2)y 2＝2x解析 (1)由题意得A (a ，0)，B (0，b )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，而k AB ＝－b a，∴－b 2a2＝－1，∴a ＝b ，又F (2，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线C 的标准方程为x 22－y 22＝1.(2)由已知直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为－1，所以m ＝－1，又M (1，1)在直线AB 上， ∴1＋1－2p ＝0，∴p ＝1. ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为________. 答案 (1)B (2)x 29－y 227＝1解析 (1)由抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4， 可得3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，故选B.(2)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a ＝3，离心率为2，所以c ＝6，则b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 227＝1.热点二 椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2(e >1). (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).考向1 离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.32C.12D.22(2)(2022·浙江卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2.若|FB |＝3|FA |，则双曲线的离心率是________. 答案 (1)A (2)364解析 (1)可画出如图所示图形.△MF 1F 2为等边三角形，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，QF 1⊥MF 2，∠F 1F 2Q ＝60°， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|QF 2|＝c ，|QF 1|＝3c ， ∴|QF 1|＋|QF 2|＝(3＋1)c ＝2a ，∴ca＝3－1， 即e ＝3－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F (－c ，0)且斜率为b 4a 的直线方程为y ＝b4a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 4a （x ＋c ），y ＝b a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c3，y ＝bc 3a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，bc 3a .因为|FB |＝3|FA |，所以FB →＝3FA →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，bc 3a ＝3(x 1＋c ，y 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5c9，y 1＝bc9a ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a .将⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 92a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 9a 2b 2＝1，结合离心率e ＝c a得e 2＝8124， 又e >1，所以双曲线的离心率为364. 考向2 椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2⊥x 轴，tan∠PF 1F 2＝34，则双曲线的渐近线方程为( )A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C ：x 218＋y 2b 2＝1(b 2<18且b >0)的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且S △ABC ＝2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为________.答案 (1)C (2)6解析 (1)因为点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a，|F 1F 2|＝2c ，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，整理得2b 2＝3ac ， 所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9＝0，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选C. (2)根据题意可得A (0，b )，C (0，－b )，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).连接BD ，由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可得，点A ，B ，C ，D 均在以BD 为直径的圆E (E 为BD 中点)上，又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，即圆心E 在x 轴上， 所以y 1＋y 2＝0. 又S △ABC ＝2S △ADC ， 所以x 1＝－2x 2，故圆心E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14，0，所以圆E 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －x 142＋y 2＝916x 21＋y 21，将(0，b )代入圆E 的方程，结合x 2118＋y 21b 2＝1可得b 2＝9，所以b ＝3，短轴长为6.规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在y 轴上，且△MF 1F 2为正三角形.若线段MF 2的中点恰好在双曲线E 的渐近线上，则E 的离心率等于( ) A.5B.2 C.3D. 2(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线l交椭圆C 于点A ，B ，且2|FO |＝|AB |，若∠BAF ＝π6，则椭圆C 的离心率是________. 答案 (1)B (2)3－1解析 (1)不妨设M 在y 轴的正半轴上， 设M (0，t )，t >0，由于△MF 1F 2为正三角形，所以t ＝3c ，故M (0，3c )，则MF 2的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2， 因为N 在渐近线y ＝b ax 上，所以3c 2＝b a ×c 2，即b a ＝3，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选B. (2)因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |， 所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F ′，连接BF ′，AF ′， 又因为2|OF |＝|AB |＝2c ， 可得四边形AFBF ′为矩形，在Rt△ABF 中，|AF |＝2c ·cos∠BAF ＝2c ·32＝3c ， |BF |＝2c ·sin∠BAF ＝2c ·12＝c ，∴|AF ′|＝|BF |＝c ，由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3－1.热点三 抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( ) A.18B.2 C.14D.4 (2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝FA → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4 答案 (1)B (2)ABC解析 (1)依题意F 点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M 在准线上的射影为K ， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， ∵FM →＝55MN →，∴|FM ||MN |＝55， 可得|MK ||MN |＝55， 则|KN |∶|KM |＝2∶1， ∴k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，∴－4p＝－2，求得p ＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确； ∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )A.4B.4 2C.8D.8 2(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3B.4C.5D.6答案(1)C (2)B解析(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ 是梯形ABDC 的中位线，又由抛物线的定义可知|AB |＝2|PQ |＝8，故选C. (2)由抛物线的方程可得焦点F (1，0)，渐近线的方程为：x ＝－1， 由AB →＝2BF →， 可得|AB ||BF |＝2， 如图所示：作BB ′垂直于准线于B ′， 而|BB ′||AB |＝22，∴∠ABB ′＝45°， 所以直线AB 的斜率为1， 所以直线AB 的方程为x ＝y ＋1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝y ＋1，整理可得：x 2－6x ＋1＝0，可得x 1＋x 2＝6，所以线段BC 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y 2－2x 2＝1的离心率是( )A.52B.62C.3D. 5 答案 B解析 双曲线方程化为y 21－x 212＝1，则a 2＝1，b 2＝12，从而e ＝1＋b 2a 2＝62，故选B. 2.设经过点F (1，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C解析 因为抛物线为y 2＝4x ，所以p ＝2， 设A ，B 两点横坐标为x 1，x 2， 因为线段AB 中点的横坐标为2， 则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝－2D.x ＝－4 答案 B解析 由抛物线的方程可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨设P 在x 轴上方，则y 2＝2p ×8，可得y p ＝4p ， 则S △OFP ＝12|OF |·y p ＝12×p2×4p ＝22，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p2＝－1，故选B.4.“1<k <5”是方程“x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为k ＝3时，x 2k －1＋y 25－k＝1表示圆，故充分性不成立.若x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆，则⎩⎨⎧k －1>0，5－k >0，k －1≠5－k ，∴1<k <5且k ≠3，∴必要性成立. 故“1<k <5”是“方程x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与x 轴正半轴所成夹角为π3，则C的离心率为( )A.233B.2C.3D.3 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ，由题意可得a b ＝tanπ3＝3， 则b a ＝33， 所以e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选A.6.(2022·西安二模)直线y ＝kx (k >0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在第一、第三象限分别交于P ，Q 两点，F 2是C 的右焦点，有|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3，且PF 2⊥QF 2，则C 的离心率是( ) A.3B. 6 C.3＋1 D.6＋1 答案 C解析 由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形， 又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形， ∴|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ， 又|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3， ∴|QF 2|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：x2a2＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝32，则M的方程为( )A.x22＋y2＝1 B.x23＋y2＝1C.x24＋y2＝1 D.x25＋y2＝1答案 B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝3，|AF|＝2|PF|＝ 3.∴|AF1|＋|AF|＝23＝2a，∴a＝ 3.∴椭圆M的方程为x23＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知C ，E 横坐标相等，|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ， 即|F 1E |－|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ， 同样圆心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°－θ2，在△CEF 2中，tan∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan∠OF 2D ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线l 的斜率为tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝21－12＝22，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，则( )A.C 的离心率为22B.△PF 1F 2的周长为5C.∠F 1PF 2<90°D.1≤|PF 1|≤3 答案 CD解析 对于A ，由椭圆方程知：a ＝2，c ＝4－3＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2， ∴△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，∴tan∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，∴∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°， ∴∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，∵|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3， ∴1≤|PF 1|≤3，D 正确. 故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为2答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·m＋2 2，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为（3－2）2＋（1－0）2＝2，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案 2解析 y 2＝2px 准线方程为x ＝－p2，则－p2＝－1，∴p ＝2.12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________. 答案x 2－y 24＝1(答案不唯一)解析 依题意，不妨取b ＝2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝ 5.所以满足题设的一个标准方程为x 2－y 24＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF 1→＝λF 1B →，则( ) A.△ABF 2的周长为定值B.AB 的长度最小值为1 C.若AB ⊥AF 2，则λ＝3D.λ的取值范围是[1，5] 答案 AC解析 AF 1→＝λF 1B →，则A ，B ，F 1三点共线，△ABF 2周长＝4a ＝8是定值，A 正确.AB min ＝2·b 2a＝2≠1，B 错误；∵AB ⊥AF 2，则AF 1⊥AF 2，A 在上、下顶点处，不妨设A (0，2)，则AB ∶y ＝x ＋2，⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1.解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－423，y ＝－23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，－23，λ＝－2－23＝3，C 正确； 令AB ：x ＝my －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x ＝my －2，x 24＋y 22＝1消x 可得(m 2＋2)y 2－22my －2＝0，则y 1＋y 2＝22mm 2＋2， y 1y 2＝－2m 2＋2，－y 1＝λy 2，当m ＝0时，λ＝1，当m ≠0时，λ（1－λ）2＝m 2＋24m 2>14，∴3－22<λ<3＋22，D 错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A.||PA 1|－|PA 2||＝2aB.若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5C.若双曲线C 为等轴双曲线，则直线PA 1的斜率与直线PA 2的斜率之积为1D.若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，则∠PA 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ：在△PA 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故||PA 1|－|PA 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0， 设焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ×b a ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2c ，n ＝2abc，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意该对称点在双曲线上，故（a 2－b 2）2a 2c 2－（2ab ）2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2， 所以e ＝1＋b 2a2＝5， ∴e ＝5，故B 正确；对于C ：双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，所以x 20－a 2＝y 20， 故k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ：双曲线为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2， 设∠PA 1A 2＝θ，∠A 1PA 2＝3θ， 则∠PA 2x ＝4θ，根据C 项中的结论kPA 1·kPA 2＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数， 故θ＋4θ＝π2，所以θ＝π10，即∠PA 1A 2＝π10，故D 正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上任意一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，圆I 与PF 1的切点为M ，PI 与x 轴的交点为N ，则以下结论正确的有( ) A.PF 1→·PF 2→有最大值a 2 B.内切圆I 面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2C.若|PM |＝12|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率为 12D.若∠F 1PF 2＝2π3，则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |答案 BCD解析 对A ：PF 1→·PF 2→＝PO →2－c 2≤b 2，故A 不正确；对B ：由等面积法，内切圆I 的半径r ＝S △PF 1F 2a ＋c ≤bca ＋c ，所以内切圆面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2，故B 正确；对C ：|PM |＝12|F 1F 2|＝c ，2|PM |＋2c ＝4c ＝2a ，椭圆C 的离心率为12，故C 正确；对D ：若∠F 1PF 2＝2π3，由角平分线性质得则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |，故D 正确.故选BCD. 16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦距与双曲线C 1的焦距相同，且椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交C 2于A ，B 两点，若点A (1，y 1)，则下列说法中正确的有( ) A.双曲线C 1的离心率为2 B.双曲线C 1的实轴长为12C.点B 的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B 的横坐标的取值范围为(－3，－1) 答案 AD解析 双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则可设双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝λ，∵过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C 1方程为4x 2－43y 2＝1，即x 214－y234＝1，可知双曲线C 1的离心率e ＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误； 由14＋34＝1，可知椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 不妨设A (1，y 1)(y 1>0)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，∴y 1＝b 2a ，直线AB 的方程为y ＝b 22a(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 22a （x ＋1），x2a 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0， 根据韦达定理可得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，可得x B ＝－3a 2＋1a 2＋3＝－3＋8a 2＋3，又a 2>1，∴a 2＋3>4，0<8a 2＋3<2， ∴－3<x B <－1，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为________. 答案 0(答案不唯一)解析 当m ＝0时，PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1→⊥PF 2→，由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c >b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点. 使得PF 1→·PF 2→＝0成立的点恰好有4个. 所以实数m 的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22的最小值为________.答案 1＋32解析 由题意，可设椭圆长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2， 不妨设P 为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 又∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理可得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ3， 整理得4c 2＝a 21＋3a 22，即1e 21＋3e 22＝4，则14e 21＋34e 22＝1， 所以e 21＋e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14e 21＋34e 22(e 21＋e 22)＝1＋e 224e 21＋3e 214e 22≥1＋2e 224e 21·3e 214e 22＝1＋32. 当且仅当e 224e 21＝3e 214e 22，即e 2＝43e 1时取等号.。

1. 椭圆标准方程的求解步骤.2. 椭圆的几何问题.3. 椭圆的第二定义及其应用.4. 椭圆的总结.2.1.1 椭圆的定义及其标准方程物理学：开普勒行星运动定律所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.aM F 1 F 2 M O a OM =a MF MF 221=+21F F >定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫作椭圆.椭 圆M F 1 F 2焦点：两个定点F 1、F 2焦距：两焦点之间的距离 |F 1F 2| 1212MF MF |F F | ＞动点M 的轨迹：线段F 1F 2 .动点M 的轨迹：不存在. MF 1F 2当 时：1212MF MF F F +=当 时：1212MF MF F F +＜用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.(1) 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.(2) 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.(3) 到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹.是不是是椭 圆长轴：线段|A 1A 2| = 2a 短轴：线段|B 1B 2| = 2b 焦距：线段|F 1F 2| = 2c 222a =b +c F 1 F 2 OB 1A 2A 1B 2顶点 A 1、A 2、B 1、B 2F 1F 2xyO222a =b +c22221x y +a bF 1F 2xy O B 1A 2A 1B 2F 1(-c,0) F 2(c,0)焦点坐标：A 1(-a ,0) A 2(a ,0)顶点坐标：B 1(0,-b ) B 2(0,b )222a =b +c22221y x +a bF 1F 2 yxOF 1 F 2 yxO B 1A 2A 1B 2F 1(0,-c) F 2(0,c)焦点坐标：A 1(0,-a ) A 2(0,a )顶点坐标：B 1(-b ,0) B 2(b ,0)2212516x y +=在 x 轴上 (-3,0)和(3,0）在 y 轴上 (0,-5)和(0,5）222211x y m m +=+　在 y 轴上 (0,-1)和(0,1)例1 判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标.221144169x y+=求椭圆标准方程的步骤：（1）定位：先判断焦点F1、F2的位置，它决定了椭圆标准方程的类型。

椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-， 例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-； 即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。

关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)首页>生活常识 >正文关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)发布日期：2023-09-21 12:26:22 次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的'并、补、交、非'也就解决了。

还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。

在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。

函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。

对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。

另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。

二次函数的零点的δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。

这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。

考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。

这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。

次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。

还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。

在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。

关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。

函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。

作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。

因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。

中国普通高考高中数学圆锥曲线二阶结论知识点推导一、椭圆的定义和基本性质椭圆的定义：设F1和F2是平面上的两个不重合的点，对于平面上的任意一点P，PF1+PF2的值等于常数2a（a>0），则所有满足此性质的点的轨迹称为椭圆，称点F1和F2为椭圆的焦点。

椭圆方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。

椭圆的性质：1.椭圆是中心对称图形，以原点为中心。

2.焦距之和等于常数2a。

3.焦距之差等于常数2c，其中c^2=a^2-b^24.椭圆的离心率e=c/a（e<1）。

5.椭圆的长轴为2a，短轴为2b。

6.其他性质如顶点坐标，焦点坐标，焦半径，短轴与斜长径交点坐标等可通过推导得出。

二、双曲线的定义和基本性质双曲线的定义：设F1和F2是平面上的两个不重合的点，对于平面上的任意一点P，PF1-PF2的值等于常数2a（a>0），则所有满足此性质的点的轨迹称为双曲线，称点F1和F2为双曲线的焦点。

双曲线方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）。

双曲线的性质：1.双曲线是中心对称图形，以原点为中心。

2.焦距之差等于常数2a。

3.焦距之和等于常数2c，其中c^2=a^2+b^24.双曲线的离心率e=c/a（e>1）。

5.双曲线的长轴为2a，短轴为2b。

6.其他性质如顶点坐标，焦点坐标，焦半径，短轴与斜长径交点坐标等可通过推导得出。

三、抛物线的定义和基本性质抛物线的定义：设F为平面上的一个点，l为一条不经过F的直线，对于平面上的任意一点P，P到F的距离等于P到l的距离，则所有满足此性质的点的轨迹称为抛物线，点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。

抛物线方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px（p>0）。

抛物线的性质：1.抛物线是对称图形，其对称轴平行于准线。

2.焦点到准线的距离等于常数p。

3.抛物线的顶点为（0，0）。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（212F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。

具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。

注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMF MF 221=+（c a 22>，cF F 221=），即2121F F MF MF >+.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMF MF 221=+千万不可忘记。

2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。

二、椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b x a y （0>>b a ）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。

长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。

（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。

若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或12222=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。