微分中值定理例题

微分中值定理练习题

1．试证拉格朗日中值定理．

2．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导， (0)(1)0f f ==，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，使()f ηη=． （2）对任意实数,(0,)λξη∃∈，使[]()()1f f ξλξξ'--=．

3．模型Ⅰ：设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，则下列结论皆成立：

（1）存在(,)a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=（为实常数）．

（2）存在(,)a b ξ∈，使1()()0k f k f ξξξ-'+=（0,k k ≠为实常数）．

（3）存在(,)a b ξ∈，使()()()0f g f ξξξ'+=（()g x 为连续函数）．

4．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

，试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，使()f ηη=． （2）存在(0,)ξη∈，使[]2()3()1f f ξξξξ'+-=．

5．模型Ⅱ：设(),()f x g x 在[],a b 上皆连续，在(,)a b 内皆可导，且()0,()0f a g b ==，则存在(,)a b ξ∈，使()()()()0f g f g ξξξξ''+=．

6．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，k 为正整数，

求证：存在(0,1)ξ∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=．

中值定理证明例题

中值定理（RolleTheorem）是微积分中一个重要的定理，它指出，如果一个函数在定义域的端点上有可导的一阶连续导数，并且在定义域内单调，那么这个函数在定义域内必定存在不小于一个值的可导零点，即在两个不同的端点之间存在某点x，使得函数f(x)在该点处取得零值，而函数f(x)在该点处也取得零值。它的具体证明如下：给定函数f(x)在定义域[a，b]上连续可导，且单调，假设存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，则f(c)=0。

证明：令g(x) = f(x) f(a)

则g(x)在[a，b]上连续可导，且g(a) = g(b) = 0

令h(x) = g(x) (x a)，

则h(x)在[a，b]上连续可导，且h(a) = h(b) = 0

设h(x)在定义域[a，b]上关于x的连续偏导数为h′(x)

又根据中值定理，存在α∈[a,b]使 h′(α) = 0

即h′(α) = 0

对h′(x)求解：

h′(x) = g(x)+ g′(x) (x a)

设h′(α) = 0得 g(α) + g′(α) (α a)= 0

即g(α)= 0

由此可得f(α) = f(a)

又由于f(α) = f(a)，而f(α) = f(c)

因而可得 f(c) = f(a)

再由于f(c) = f(a)，已知f(b) = f(c)

所以有f(a) = f(c) = f(b)

综上所述，可以得出结论：

若函数f(x)在定义域[a,b]上连续可导，且单调，则存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，并且f′(c)=0。

1

柯西中值定理 拉格朗日中值定理 洛尔定理 费马定理 根值（零值）定理 有界定理或最大值与最小值定理 n

以下的连续函数在闭区间x ∈[a , b ]的基本定理（只与函数有关）共同条件：闭连续

微分中值 8 定理与积分 3 定理及函数的 9 性质的综合证明题型与技巧

一) 中值八定理

① x ∈[a , b ] ⇒ m ≤ f (x ) ≤ M 。注意 x ∈[a , b ]是闭区间。

② ●

是 介 于 f (a ) 与

f (b ) ⎡⎣

f (a ) ≠ f (b ), ≠ f (a ),

≠ f (b )⎤⎦ 任 一 值 ， 则 必

∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 。注意 ∈ (a , b ) 是开区间。

● 其推论是：当m ≤ ≤ M ，则必∃ ∈[a , b ]

⇒ f ( ) = 。 ∈[a , b ]。注意 ∈[a , b ]是闭区间。

③ f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 0 。注意 x ∈ (a , b ) 是开区间。

④ x ∈ ( x 0 - , x 0 + ), f (x ) ≥ f (x 0 )或 ≤ f (x 0 ) ,如果 f '(x 0 ) 存在，则 f '(x 0 ) =0。

⑤ f (a ) = f (b ), 则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f '( ) = 0

⑥ ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f (b ) - f (a ) = f '( )(b - a )

⑦ ∃ ∈ (a , b ) ⇒

f (b ) - f (a ) =

理工大学

微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２

１２１２１２１２２１１１２１１１２１

１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 001

1

000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n

n

i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.

'''=+-+

∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00

1

1

1

1

0000111()

()()()().x 2!

()()()()()(()()().)

n

n n

i i i i i i i n

n

i n

n

i

i

i

i

i

i

i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫

M 12丿」I 2丿

第三章 微分中值定理与导数的应用

习题3-1

1.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。可见，

f(x)

在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:

f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏

0,—】，F'(X)H 0

, ”■. f (x),

F (x)满足柯西 I 2丿

中值定理条件。

—

12©

宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,

f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在

一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3

), y ‘ = 一 2

3 —12x 2

厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5

L 2」 I 2丿 c oxs

n ——x

、、2

丿

F Q-F(O)

12丿

兀

--1 2

F( x) -1 sixn_

c O 弓-x

厂(X )_

F(x) ZL"

2 /兀 X ,

，即 tan I - -- U--1，此时

l 4 2丿 2

f JI

「兀

X = 2 I — -arctan l — -1

L 4

l 2

显然萨〔0,-〕，即

丿」 I 2丿

专升本拉格朗日中值定理例题根据你给出的题目，我将按照例题的形式来解答。

拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，具有广泛的应用。

它是拉格朗日的名字命名的，拉格朗日是18世纪的法国数学家，他在

这个定理的证明与应用方面做出了卓越的贡献。本文将通过一个例题

来说明拉格朗日中值定理的基本原理和应用方法。

例题：已知函数f(x)=x^2在闭区间[1,5]上连续且可导，求函数f(x)

在该区间上至少有多少个零点。

解析：首先，我们要明确拉格朗日中值定理的表述：对于一个连续

函数f(x)，如果在闭区间[a,b]上可导，则在开区间(a,b)内至少存在一个

数c，使得函数的导数f'(c)等于函数在这个区间的平均斜率。

根据题目中给出的函数f(x)=x^2，可以求出该函数的导函数f'(x)=2x。由于函数f(x)在闭区间[1,5]上是连续可导的，我们可以使用拉格朗日中

值定理来解决此题。

根据拉格朗日中值定理的原理，我们要找到一个数c，使得函数的

导数f'(c)等于函数在闭区间[1,5]上的平均斜率。首先计算函数f(x)在闭

区间[1,5]上的平均斜率：

平均斜率 = (f(5) - f(1)) / (5 - 1)

= (25 - 1) / 4

= 6

接下来，我们要找到一个数c，使得函数的导数f'(c)等于平均斜率6。由于函数f(x)的导函数f'(x)=2x，我们可以设2c=6，即c=3。因此，函

数f(x)在闭区间[1,5]上至少有一个零点。

综上所述，函数f(x)=x^2在闭区间[1,5]上至少有一个零点。

这个例题通过拉格朗日中值定理来计算函数f(x)在闭区间[1,5]上的

上册P 224—226 习题解答

1.

求下列函数的极值点 , 并确定单调区间 :

⑴ =y 1123223+--x x x .

解 定义域D =) , (∞+∞-.

='y )2)(1(612662-+=--x x x x , y '的符号为 :

X

可见 ，在区间) 1 , (-∞-和) , 2 (∞+内 y ↗↗，在区间) 2 , 1 (-内y ↘↘ ； y 在

点=x 1-取极大值 ，在点=x 2取极小值 . ⑵ =y x x sin +.

解 定义域D =) , (∞+∞-.

0cos 1≥+='x y ,且使0='y 的点不充满任何区间 ,⇒ 在) , (∞+∞-内y ↗↗.

⑶ =

y x x ln .

解 定义域D =) , 0 (∞+.

=

'y x

x 22ln -. y '的符号为 :

0 2

e X

可见 ，在区间) , 0 (2e 内y ↘↘ ，在区间) , (2

∞+e 内y ↗↗；y 在点=x 2

e

取极小值 .

⑷ =y x

n

e

x -

解 定义域D =) , (∞+∞-.

)(1x n x e y n x -='--. 1≥n 时 , y '的符号为 :

X

可见 ，在区间) 0 , (∞-和) , (∞+n 内 y ↘↘，在区间) , 0 (n 内y ↗↗； y 在点

=x 0取极小值 ，在点=x n 取极大值 .

⑸ =

y 3

2

2

)1(-+x x .

解 定义域D =) , 2 () 2 , (∞+∞- .

2

3

22

)

2()

5)(1(2

)1(31--+⋅

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+='-

x x x x x y . y '的符号为 :

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].

例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞

→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].

例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+

b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].

例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].

例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3

=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .

例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'

+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.

例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00

→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得

积分中值定理的例题

《中值定理》是微积分学中最重要的定理之一，它关乎到函数在

给定段上的定义、最值、单调性问题，经常被广泛地应用于几何、物

理等领域。

按照中值定理规定，如果一个在给定段上具有连续导数的函数，

在某一点上取值的极值（最大值或最小值），则在该点的导数必定为0，即当函数f（x）在a点取最大值时，f（x）的导数f'（a）=0；当函

数f（x）在a点取最小值时，f（x）的导数f'（a）=0。

拿一元函数f（x）=ax^2+bx+c举例：在计算此函数的极大值、

极小值时，我们一般都要经过两步：

首先根据求导法求出此函数的表达式的导数f'（x）；

由f'(x)=0可变求出x的值，记为x0，得到f'（x0）=0；

再用x0代入f（x）的表达式，计算得出f（x0）的值，记为K，得到f（x0）=K；

由K可以确定f（x）的极大值或极小值是K。

通过真实例题来加以说明。求函数f（x）=2x^2-4x+3在［3，4］段上的最值。

对函数求导

：f'（x）=4x-4

让f'（x）=0可得x=1

让x=1代入函数f（x）得函数值为f（x=1）=2

它是一个最小值，为2，

又因为函数f（x）在［3， 4］上是连续的，因此它的最小值是2.

从中我们可以看出，中值定理非常实用，只要将函数求导，得到函数值，然后根据计算结果就能轻而易举地算出函数的最大值或最小值。

大一高数每个知识点的例题

一、函数与极限

1. 函数的定义与性质

例题：已知函数$f(x)=-2x^2+3x+1$，求函数$f(x)$的定义域。

2. 极限的定义与基本性质

例题：求极限$\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$。

二、导数与微分

1. 导数的定义与基本性质

例题：已知函数$y=3x^2-2x+1$，求函数$y$在$x=2$处的导数。

2. 高阶导数与函数的凹凸性

例题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求$f(x)$的凹凸区间。

三、微分中值定理与泰勒展开

1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理

例题：证明函数$f(x)=e^x-x-1$在区间$(0,1)$内存在唯一根。

2. 泰勒展开与麦克劳林展开

例题：求函数$f(x)=\cos x$的部分麦克劳林展开式。

四、不定积分与定积分

1. 不定积分的基本性质与常见公式

例题：求不定积分$\int 2x^2+3x-1 \,dx$。

2. 定积分的定义与性质

例题：计算定积分$\int_0^2 (x^2+1) \,dx$。

五、常微分方程

1. 一阶常微分方程的可分离变量与线性方程

例题：求解微分方程$\frac{dy}{dx}=x^2+y$。

2. 高阶常微分方程与特征方程

例题：求解微分方程$y''-2y'+y=e^x$。

六、多元函数与偏导数

1. 多元函数的定义与性质

例题：判断函数$z=2x^2+3y^2-xy$的单调性。

2. 偏导数的定义与计算

例题：求函数$f(x,y)=2x^2+3xy-1$的偏导数$\frac{\partial

f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

3.1 微分学中值定理

3.1.1 罗尔定理

定理1 [罗尔（Rolle ）定理] 如果函数)(x f 满足

（1）在闭区间],[b a 上连续；

（2）在开区间),(b a 内可导；

（3）)()(b f a f =，

则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .

罗尔定理的几何意义是：在区间],[b a 连续光滑曲线)(x f y =在两端点的值相等，),(b a 内的每点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧上至少有一点，在该点处曲线的切线平行于x 轴.

例1 验证罗尔定理对1)(2-=x x f 在区间]1,1[-上的正确性.

解 函数1)(2-=x x f 在区间]1,1[-上满足罗尔定理的三个条件，由罗尔定理，则至少存一点)1,1(-∈ξ使得

0)(='ξf .

事实上，由x x f 2)(='得0=ξ时，有0)0()(='='f f ξ.

3.1.2 拉格朗日中值定理

定理2[拉格朗日（Lagrange ）中值定理] 如果函数)(x f 满足

（1）在闭区间],[b a 上连续；

（2）在开区间),(b a 内可导，

则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得

a

b a f b f f --=')()()(ξ. 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

例2 验证拉格朗日中值定理对x x f ln )(=在区间],1[e 上的正确性.

解 函数x x f ln )(=在区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理的两个条件，由拉格朗日中

值定理，则至少存在一点),1(e ∈ξ，使得

1)1()()(--=

'e f e f f ξ 事实上，由x x f 1)(=

一元微分中值定理练习题

一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中

a

b ，证明：在(x 1,x 3)内至少有一点ξ，使得f"(ξ)=0。 2.设f(x)∈C[0,3]，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3f(3)，证明：存在ξ∈(0,3)，使得f ′(ξ)=0。 3.设f(x) ∈C[a,b], 在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,f ′+(a )f ′−(b )>0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a

二、证明等式成立

1.设f 在[0，1]上连续，f(0)=f(1)。证明：对任何正整数N，存在ξ∈

[0，1]使得f �ξ+1n �=f �ξ�。 2.设f(x)在（-∞，+∞）内可导，且满足f’(x)=f(x),f(0)=1,求证：f(x)=e x 。

3.设f(x）∈C[0,1]，f(x)∈D(0,1),且f(1)=0,证明：

（1）∃ξ∈�0，1�，使得f �ξ�+ξf ′�ξ�=0;

（2）∃η∈�0，1�，使得2f �η�+ηf ′�η�=0。

4.已知f(x)连续，且满足f(x)∫f (x −t )dt =cos 4x x 0 ,求f(x)在区间[0,π2]上的平均值。

5.设f (x )在[a,b ]上连续，x i ∈[a,b ],t i >0 (i =1,2,3,⋯,n ) 且�t i =1,n i=1试证至少存在一点ξ∈[a,b ]，使f (ξ)=�t i f (x i )。n