2019届九年级数学下册北师大版作业课件：3.《圆》章末复习与小结(共36张PPT)

初中数学
初中数学
一、
创设情境
引入新课
乐在其中
一石激起千层浪
奥运五环
祥子
初中数学
小憩片刻
初中数学
观察车轮，
你发现了什么？
初中数学
r d
r
•
r
o
初中数学
•
o
同圆内，半径有无数条，长度都相等。
初中数学
变式思考
观察画圆过程
回答： （1）圆上各点到定点 （圆心） 的距离都等于 定长（半径r) 。 （2）到定点的距离等于定长的点都 在 同一个圆上 。
．
老师
．
Ａ
初中数学
议一议
(3) 现在要求Ｂ同学和 A 与我的距离都等于 2m ， 那么他又应站在哪儿？有几个位置？
(4)现在要求Ｂ和 A与我的距离都小于 2m，那么他
又应站在哪儿？有几个位置呢？
．
老师
初中数学
．
Ａ
想 一 想
初中数学
源于生活
1、如图，A，B表示车轮 边缘上的两点，点O表示 车轮的轴心，A，O之间 的距离与B，O之间的距 离有什么关系？
初中数学
初中数学
议一议
如图所示，一些学生正在做投圈游戏，他们 呈“一”字排开。 问题：这样的队形对每一人都公平吗？你认 为他们应当排成什么样的队形？
初中数学
为了使投圈游戏公平,现在有一条3米 长的绳子,你准备怎么办?
初中数学
想一想
如图：是一个圆形耙的示意图，O为圆心，小明向上 投了5枝飞镖，它们分别落到了A、B、C、D、E点。
初中数学
想一想
一个 8×10 米的长方形草地，现要安装自动 喷水装置 , 这种装置喷水的半径为 5 米 , 你准备安 装几个? 怎样安装? 请说明理由.

O
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED

半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_2__5___2_．
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.

AE C
F
O 图a
B
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半
（ （
圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36
°，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是
3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
考点三 切线的判定与性质
例5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径 的☉O交AC于点D，连接BD.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余 各组量都分别相等．
四、垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 对的两条弧.
C
A
B
M└
●O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.
例7 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为 直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. （1）求证：BC=2DE.
[解析] 连接BD，则在Rt△BCD 中，BE＝DE，利用角的互余 证明∠C＝∠EDC.
解：（1）证明：连接BD， ∵AB为直径，∠ABC=90°， ∴BE切☉O于点B. 又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90°， ∴∠EBD+∠C=90°， ∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠C=∠CDE，DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE.
D
可推得
③AM=BM,
④⌒ ⌒ A⑤CA⌒=DB=CB⌒, D.

A．点P B．点Q C．点R D．点M
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式

在RtBOF中，OB＝1 AB＝1 ，B＝30，
2
OF 1 BO 1 ，BF
BO2 OF 2
3 .
2
2
2
D F
B
O
A
BC＝2 3，D为BC的中点， BD 3.
DF BD BF 3 . 在RtDOF中，DO 2
∴OD=OB，点D在圆上.
O2
3 2
1.
课堂小结
《圆》的内容综合性较强，在具体 应用中，进一步完善知识体系构建.
O
A
C
B
5. 如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B 是切点，且OO′是圆O′半径长两倍，则∠AOB=_6_0__°__
A O
O′ B
6. 如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长斜边AB
到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是⊙O切线.
证明：连OC，如图，
C
∵∠A=30°，OA=OC， ∴∠COB=60°， A
① 圆外 ② 圆上
d>r d=r
③ 圆内
d<r
（2）直线与圆的位置关系
① 相交
d<r
② 相切
d=r
③ 相离
d>r
P P
·P
O
r
A
r
O· l l l
6. 圆的切线的性质 圆的切线 垂直于 过切点的半径.
·O
A
l
∵l是⊙O的切线，切点为A，OA是⊙O的直径， ∴OA⊥l.
7. 圆的切线的判定
经过__半__径____的外端，并且_垂__直__于___ 这条__半__径____的直线是圆的切线. ∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A, ∴ l是⊙O的切线.

◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关
◎第三关 ）
◆考点突破 ◆考前过三关 （ ◎第一关 ◎第二关

章末小结与提升
弦与直径 相关概念 弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 垂径定理及推论( 轴对称性 ) 基本性质 弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理及推论 圆内接四边形的性质
与圆有关的位置关系 点在圆外 点与圆的位置关系 点在圆上 点在圆内 相离 直线和圆的位置关系 相切 ( 切线的性质与判定 ) 相交
如图,△ABC 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,PB 是☉O 的切线,B 为切 点,OP⊥BC,垂足为 E,交☉O 于点 D,连接 BD. ( 1 )求证:BD 平分∠PBC; ( 2 )若☉O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长.
【解析】( 1 )连接 OB. ∵PB 是☉O 的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90° , ∴∠PBD+∠OBD=90° , ∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB, ∵OP⊥BC,∴∠BED=90° , ∴∠DBE+∠BDE=90° , ∴∠PBD=∠EBD,∴BD 平分∠PBC.
∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,������������的长为=
在 Rt△OCE 中,EC= ������������ 2 -������������ 2 = 62 -32 =3 3, ∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.
60°× π×3 =π. 180°
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
典例 1
的长为
.
【解析】作 CE⊥AB 于点 E,∠B=180° -∠BAC-∠ACB=180° -20° 130° =30° ,在 Rt△BCE 中,∵∠CEB=90° ,∠B=30° ,BC=2,∴ BE= 2 BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3. 【答案】 2 3

P有几个？求出点P的坐标.
y
A
x
P2
O P4 P1 P3
P1( 5, 0)
P2( 5,0)
P3 (4, 0)
P4
(
5 4
, 0)
随堂练习
1.填空： （1）_直__径___是圆中最长的弦，它是_半__径___的2倍． （2）图中有 一 条直径， 二 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 四 条，
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
·O
C
B
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的
弦，但弦不一定是直径.
弧:
B ·O
A
C
半圆
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 A⌒C ）叫做劣弧；
练一练：
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离
分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的
位置关系是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点 C在 圆外 .
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若
OP= 3 ，则点P在（ D ）
A.大圆内
B.小圆内
o
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
乙 甲
丙 丁
典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形， A
D
∴AO=OC，OB=OD.
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 10:38:30 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
• You have to believe in yourself. That's the sec

课 堂 精 讲
【例2】如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于 点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE. （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线.
【分析】（1）连接CD，由直径所对的圆周角为 直角可得∠BDC=90°，即可得CD⊥AB，然后根 据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而 可得 AC=BC=2OC=10；
本 章 小 结
课 堂 精 讲
【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°， ⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ） A.4 B.6 C.2 D.8
【分析】首先连接OA，OC，过点O作 OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得 ∠AOC的度数，进而可在构造的直角三 角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半， 由此得解.
课 堂 精 讲
【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于 点D， ∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD= ∠AOC， ∴∠COD=∠B=60°； 在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°， ∴CD= OC=2 ， ∴AC=2CD=4 . 故选A.
课 堂 精 讲 类 比 精 炼
1. 一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示 放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上， 顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN. 若AB=8 cm，则量角器的直径MN= cm.
∴弧AB的长为
π.
能 力 提 升
13.（长春）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四 边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为 （ C ） A.45° B.50° C.60° D.75°
能 力 提 升
14.（2016广州改编）如图，点C为△ABD外接圆上 的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合） ，∠ACB=∠ABD=45°． （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连接CD，求证： AC=BC+CD； （3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM， 连接DM，试猜想 三者之间满足的等量关系： ．