参数方程
【考点梳理】
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定
的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧
x ＝f (t )，
y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，
必须使x ，y 的取值范围保持一致．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
考点一、参数方程与普通方程的互化
【例1】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝a －2t ，
y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程
为⎩⎨⎧
x ＝4cos θ，y ＝4sin θ
(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |
5
≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 【类题通法】
1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】
在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：
⎩
⎨⎧
x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值. [解析] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 2
4＝1， 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3.
考点二、参数方程的应用
【例2】已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩⎨⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
[解析] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25
5. 【类题通法】
1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系 解决问题．
2．对于形如⎩⎨⎧
x ＝x 0＋at ，
y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式
后才能利用t 的几何意义解题． 【对点训练】
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)，直
线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π
6.
(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；
(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解析] (1)由⎩⎨⎧
x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，
得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π
6， 所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos π
6，
y ＝2＋t sin π
6，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2t ，y ＝2＋12t
(t 为参数).
(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2t ，
y ＝2＋12t
代入x 2＋y 2＝16，
得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2
＋(3＋2)t －11＝0， 所以t 1t 2＝－11，
由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.
考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用
【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α(α为
参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解析] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2
＝1， 由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝22，
所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，
因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．
因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， 又d (α)＝
|3cos α＋sin α－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3－2，
当且仅当α＝2k π＋π
6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12.
【类题通法】
1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
