2015-2016学年九年级数学上册 第22章 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质导学案

二次函数教学设计一、教材分析《二次函数》是人教版《数学》九年级上册中的第22章第一节，是《义务教育课程标准》“数与代数”领域的内容。

二次函数是九年级的第一节函数课，初中涉及到的“一元一次方程”，“二元一次方程组”，“一次函数”，“一元二次方程”，这几章代数的学习都为接下来的函数的进一步学习奠定了基础。

“二次函数”的学习，使得学生在思想上认识到函数的一般性以及函数与生活中实际问题的联系。

二、学情分析九年级的学生有一定的逻辑思考能力，也有主动思考的意识，相对比较活跃，可以多让学生参与到课堂中来，让学生主动思考，多与学生互动，引导学生自主学习。

三、教学目标1、理解并掌握二次函数的概念，能够判别二次函数；2、会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和自变量的取值范围；3、在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。

四、教学重难点教学重点:对二次函数概念的理解教学难点:由实际问题确定函数解析式，以及自变量的取值范围。

教学过程：一、知识回顾：1、前面我们学过什么函数？2、一次函数的一般形式？在表达式中自变量是什么？3、什么是函数？二、自主探索，讲授新知问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为①问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系表示为②问题3：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x 之间的关系怎样表示？析:这种产品的现在产量是20t, 一年后的产量_____________ t，再经过一年后的产量是______________t ,即两年后的产量y=____________________ ③1、思考：函数式①②③有什么共同点?（1）从形式上看：等号两边都是什么式？（2）自变量的最高次数分别是多少？2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，自变量x的取值范围是一切实数。

要点一、二次函数的概念1.二次函数的概念一般地，形如_____________________（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越________.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。

因为抛物线y=x 2有最低点，所以函数y=x 2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.2y ax bx c =++a b c 0a ≠2()y a x h k =-+a h k 0a ≠12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x x 240b ac -≥a>0 a<01.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数a>a<2(0)y ax c a=+≠2(0,0)y ax c a c=+>>2(0,0)y ax c a c=+<>j jjj1．（2016•松江区一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ） A ．y=2x +1 B ．y=（x ﹣1）2﹣x 2C ．y=2x 2﹣7D ．【思路点拨】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．举一反三：【变式】如果函数232(3)1m m y m x mx -+=-++是二次函数，求m 的值．类型二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质2．函数y ＝x 2的图象对称轴左侧上有两点A(a ，15)，B(b ，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．举一反三：【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ． 【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（ ）． A.开口向上 B. 对称轴是y 轴 C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大 D. 最高点是原点类型三、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质3．求下列抛物线的解析式：142y ax =22y x =-a =（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________． 【巩固练习】 一、选择题2132y x =-+2y x =-21y x =-+21y x =-+2y x =-21y x =-+21y x =-+1．下列函数中是二次函数的有（ ）.①y=x+；②y=3（x ﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x 2；④y=+x ．A ．4个B ．3个 C.2个 D ．1个2．（2016•当涂县三模）函数y=﹣x 2+1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )． A ． B ． C ． D ．4．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为( )．A ．y ＝60(1-x)2B ．y ＝60(1-x)C ．y ＝60-x 2D ．y ＝60(1+x)2 5．在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（ ）． A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上 B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下 C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( )． A ．40 m/s B ．20m/s C ．10 m/s D ．5 m/s二、填空题7．已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________． 8．（2016春•潜江校级期中）若函数y=（a ﹣5）x是二次函数，则a= ．9．已知抛物线y ＝x 2上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，2y x =21y x =+2(1)y x =+21y x =-2(1)y x =-22y x =22y x =-212y x =21(0)20y x x =>则△AOB 的面积为________． 10．函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．第10题 第12题11．（2015•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是___________．12．如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 的边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为______________________(不要求写自变量的取值范围)．三、解答题 13．已知是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求m 的值； (2)画出函数的图象．14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m 与参加聚会的人数n 之间的函数关系式．2y x =212y x =23y x =2(2)m my m x+=+。

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教学设计
归纳总结：a>0，开口向上，对称轴为y 轴；顶点(0、0)；函数值有最小值；增减性：在对称轴y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 随x 的增大而增大.
a<0，开口向下，对称轴为y 轴；顶点(0、0)；函数
值有最大值；增减性：在对称轴y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小. |a|越大，抛物线的开口越小.
a>0图象 a<0图象
思考：对比抛物线，y=x 2和y= -x 2.它们关于x 轴对称吗？一般地，抛物线y=ax 2和y= -ax 2呢？
小结：在同一坐标系内,抛物线y=ax 2 与抛物线y= -ax 2是关于x 轴对称的. 环节三：课堂练习
1. 函数2
23y x =的图象的开口向上，对称轴是y
轴；顶点(0、0)；在对称轴y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 随x 的增大而增大；函数有最小值.
2. 函数22y x =-的图象开口向下，对称轴为y
运用二次函数的性质求解未
知字母的值以及解决相关问题. 学生练习、板演解题过程，师生互
评，进行订正.
深刻理解二次函数的性质，初步
理解问题并能用所学的知识解决问题.培养学生运用数学知识解决问题的能力和对
知识的应用意识.
x
y
O
y
x
O。

22.1.4二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质-待定系数法一、温故知新1.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。

2.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(-1,5),能求出一次函数的解析式吗？若过点A(-1,2)和点B(2,2),能求出一次函数的解析式吗？ 二、学习新知问题1：已知三点求二次函数的解析式 若果一个二次函数的图象经过点A （－1，10），B （1，4），C （2，7），能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出二次函数的解析式．问题2：已知抛物线的顶点和另一点求 二次函数的解析式已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.问题3：归纳总结由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式，这几个点应满足什么条件？用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式()k h x a y +-=2和一般式2y ax bx c =++。

1）．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；2）．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式 。

三、巩固训练 题组一1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y= -1，当x= -2与21时，y=0.求这个二次函数的解析式.2.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的解析式．3.求经过下面三点的二次函数的解析式（只写设，列方程两步） (1)、(-1，3)，(1，3)，(2，6) (2)、(-1，0)，(0，-2)，(1，1) 题组二1.已知抛物线顶点为(1,－4),且又过点(2,－3).求抛物线的解析2.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象过点（0,0）、（12,0），最低点的纵坐标为-3，求该抛物线的解析式.四、 拓展延伸如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4m m/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PB Q 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．QPCBA。

第22章二次函数考点☆考点1、二次函数的定义定义：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，aH0)定义要点：①aH0②最高次数为2③代数式一定是整式练习：1、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5x2,y=3x2-2x3+5，其中是二次函数的有个。

m2-m2._____ 当m时，函数y=(m+1)x-2x+1是二次函数？☆考点2、二次函数的图像及性质表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、练习：1、已知二次函数(1)求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

(2)设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C,A,B的坐标。

(3)x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大(小)值，这个最大(小)值是多少？(4)x为何值时，y<0?x为何值时，y>0?2、直线y=ax+c与抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系内大致的图象是()1,一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(aH0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标(h,k)，通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(aH0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)，通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2)(aH0)练习：1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0,0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2,3)，且经过点(3,1)；(3)、图象经过(0,0),(12,0)，且最高点的纵坐标是3。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3,—6)。

求a、b、c。

☆考点4、a,b,c符号的确定。

初中数学教学设计课题：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教学过程设计教学环节师生行为设计意图课前准备师：播放关于抛物线的欣赏图片生：欣赏图片使学生二次函数的图像有一个大概的感知，激发学生的学习兴趣.冬藏师：幻灯片出示忆一忆1.正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过的一条。

2.当时，正比例函数y=kx(k≠0)的图像经过原点和一、三象限。

此时y随x的增大而当时，正比例函数y=kx(k≠0)的图像经过原点和二、四象限。

此时y随x的增大而说出你的结论：3.比较正比例函数xyxyxy3,31,===的函数图像说出你的结论：生：根据题目作答复习旧知，了解探究函数图像与性质的一般方法，为类比探究y=ax2的图象和性质埋下伏笔。

春耕师：出示问题画出二次函数2222,21,xyxyxy==-=的图像生：在教师准备好的坐标纸上作图。

通过做图感知二次函数是一条抛物线，为后续进行二次函数y=ax2的图象和性质打下基础。

春耕师：与学生一起用描点法画出二次函数y=x2的图像。

师生共同探究二次函数的图像的画法，体会数形结合的数学思想。

从数到形，通过数来判断，通过形来验证。

师：先让学生判断所给出的x的取值特点，再观察计算得出的y的取值，判断对应点与y轴的关系。

先在平面直角坐标系中描出各点，再让学生观察各点与y轴的关系，猜测二次函数y=x2的图像特点春耕函数y=ax2(k≠0)的图像的几个基本知识点1.抛物线的定义2.对称轴的描述3.顶点的定义通过几个基本概念的介绍使学生深化对抛物线的理解夏耘探究一函数y=ax2(k≠0)的图像与系数a的符号的关系以函数y=x2与y= - x2为例1.开口方向出现了怎样的变化？2.函数值y随自变量的变化情况呢？对称轴左侧对称轴右侧生：学生讨论小组合作完成在动画的演示下帮助学生完成对二次函数a的符号与函数图像的探究夏耘与学生一起梳理刚才得出的结论a的符号抛物线的开口方向及时梳理系统内化知识.夏耘探究二：函数y=ax 2(k≠0)的图像与系数|a|的关系学生小组合作讨论解决。

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）责编:康红梅【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1．求抛物线2142y x x =-+-的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+-- 211(1)422x =--+-217(1)22x =---．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =． 解法2（公式法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =． 解法3（代入法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-， ∴ 111222b x a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．将1x =代入解析式中得，21711422y =-⨯+-=-． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【变式】把一般式2286y x x =-+-化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限． 故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值3．求二次函数211322y x x =++的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+ 21(3)42x =+-，∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．解法2(公式法)：∵ 102a =>，b ＝3，12c = ∴ 当331222b x a =-=-=-⨯时，22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小．解法3(判别式法)：∵ 211322y x x =++，∴ 26(12)0x x y ++-=．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时2690x x ++=，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？ 【答案】(30)S L L =-2(30)L L =-- 2(15)225L =--+（0<L <30）．15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用4．（2015•衡阳）如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连结AM 、BM ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案与解析】解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），∴AM=，AB===3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤，即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．。