九年级数学下册教学课件中考题型针对专题训练几何图形中的动点问题

MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走

• （1）写出点A坐标（2）若点 在线段 上以每秒1个单位长 度的速度从 向 运动，同时，点 在射线 上以每秒2个单位 长度的速度从 向 运动，当其中一个点停止运动时，另一 个点也随之停止运动.设运动时间为 秒，当 为何值， △MNB为等腰三角形，写出计算过程.
•
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
D
C
4 P
A
7
B
当BP=BC时
D(钝角)
C
4
A
7
B
P
当BP=BC时
(锐角)
D
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
E4
A
7
B
P
当CB=CP时 当t=3或11或 7 4 3
或
74 3 3
当PB=PC时 时， PBC是等腰三角形。
连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)
（1）当t为何值时，PQ∥BC? A
D
P
Q
B
C
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， • 点P由点A出发 ，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时 • 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， • 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3)
y 4 t 2 4t 5
五、小结：
• 本节课你学到了什么？
积累就是知识
收获一：化动为静 收获二：分类讨论 收获三：数形结合 收获四：构建函数模型、方程模型
• 六.作业
• 如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与x轴交于A、B 两点（A在B左侧），B点坐标为（6,0），过点B的直线与 抛物线交于点C（3，2.25）.

E
(P)
D (Q)
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， 试求a的值.
2020/12/8
(F) C 综上:当a=2或6或12时,
△BEF与△APQ相似 4
3、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开 始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开 始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C 同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运 动.设运动时间为t（秒）.
厘米的等边三角形，质点P从点A沿AB—
A
BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿
DC—CB—BA作匀速运动.
3a
Q
(P)
（21）如果问质点题（P、1） Q运中 3a
的 动的质速点度P、分Q别分是别同4厘时米沿/ B F
原 秒路、返5厘回米，/质秒点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QA的PQ速是度哪 3a F 改 一类变三为角a厘形米？/（秒按，角经的过 3大秒小后分，类P）、Q分别到达E、
2020/12/8
1
1、如图，已知正三角形
ABC的高为9厘米，⊙O的
半径为r厘米，当圆心O
A
从点A出发，沿线路AB—
BC—CA运动，回到点A时，
⊙O随着点O的运动而停
止.
B
C
（1）当r=9厘米时，⊙O
在移动过程中与△ABC三
边有几个切点？
当r=9厘米时，⊙O在移动过程
中与△ABC三边有三个切点.
2020/12/8
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2 2
1
1
S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
1
1
1
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )

6−5
∴
=

4

Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，

25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题 在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，

4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，


∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2） 如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动 态 几 何 研 究 重 要 性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技 巧 ，
挑战自我
展

图Z5－1
例 1 【2017·徐州】 如图 Z5－1， 在平面直角坐标系中， 点 A(10， 0)，以 OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接 AB 并延长至 C，使 BC＝AB，过 C 作 CD⊥x 轴于点 D，交线段 OB 于点 E， 已知 CD＝8，抛物线经过 O、E、A 三点． (2)求抛物线的函数表达式；
∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝
3 x－2. 3
y ＝ 3 x － 2 ， 3 由 得交点D的坐标为(－ 3，－3)， y＝－1x2＋2 3x 3 3
3 将x＝0代入y＝ x－2中，得C点的坐标为(0，－2)， 3 由勾股定理，得：OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2 3＝OD. OA＝OC， 在△OAB与△OCD中，AB＝CD， OB＝OD， ∴△OAB≌△OCD.
例 1 【2017·徐州】 如图 Z5－1， 在平面直角坐标系中， 点 A(10， 0)，以 OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接 AB 并 延长至 C，使 BC＝AB，过 C 作 CD⊥x 轴于点 D，交线段 OB 于点 E， 已知 CD＝8，抛物线经过 O、E、A 三点． (3)若 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？
图Z5－8
【2017·徐州】如图 Z5－8①，菱形 ABCD 中，AB＝5 cm， 动点 P 从点 B 出发，沿折线 BC－CD－DA 运动到点 A 停止，动点 Q 从点 A 出发，沿线段 AB 运动到点 B 停止，它们运动的速度相 同．设点 P 出发 x s 时，△BPQ 的面积为 y cm2.已知 y 与 x 之间 的函数关系如图②所示，其中 OM，MN 为线段，曲线 NK 为抛物 线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题： (2)分别求出线段 OM，曲线 NK 所对应的函数表达式；

5
【思路分析】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静 止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的 变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂 直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
6
【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简 单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
A
D
N
B
M
C
2
【思路分析】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动， 通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目 来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意 味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的 条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也 是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问 题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
A
M
D
60°
B P
Q C
11
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现 特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求 解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不 变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下 来我们看另外两道题.
A
M
D
G
E
FN
B
C
图2 14
【思路分析】如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？在△BEF的
旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造

计算。 涉及了轴对称知识、面积计
算。利用面积构建二次函数，运用
二次函数的性质解决问题。体现了
函数思想和转化思想。
第十四页，共22页。
真题回顾
E F
第十五页，共22页。
真题回顾
E
第十六页，共22页。
真题回顾
例2 （2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC ，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从 点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点 也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运 动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
No （（21））当设t五=_边__形__O_E2_8C5_Q或_F_的5__面_ 积时为，S△（AcOmP2是）等，腰试三确角定形S与t的
函数关系式
Image 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①
思考当：AP满=P足O=什t，么条②件当△APA=OAPO是=t等=5腰，三△角A形PO？为等腰三角形
A
B
C
D
【分析】分三段考虑，①点P在AD上运动，② 点P在DC上运动，③点 P在CB上运动，分别判 断出在不同线段的函数的种类，继而可得出 函数图象．
第七页，共22页。
自主练习
1. （2016•广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正 方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x 之间形成的函数关系图象大致是（ ）C
点P在DC上运动，③点 P在CB上运动
第五页，共22页。
第六页，共22页。
课前热身

60、人民的幸福是有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
初三数学几何动点题及方法精编版
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克

当PB=PC时
∴t=3或11或7+ 4 3 或 4 3 /3 +7 时 △PBC为等腰三角形
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
1.如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段
DP过线段BC的三等分点？ 解决动点问题
D
C
的好助手：
E
必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。
收获一：化动为静
收获二：分类讨论
收获三：数形结合
收获四：构建函数模型、方程模型
3、（2009中考）如图在边长为2cm的正方形ABCD中， 点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接 PB、PQ,则 △ＰＢＱ 周长的最小值是-----cm (结果不取近 似值）
∴t=7，∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。
t
┌
E
F┐
3t
5.如图(1):在梯形ABCD中: AD=BC=5cm, AB=4cm, CD=10cm,BE∥AD。 如图(2):若整个△BEC从点E以1cm/s的速度沿射线CD平移，同时，
点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，时间为t（0＜t≤4）
A
D
P
B
Q
C
1t
3t
26
4(1)解：
要使四边形PQCD为平行四边形，只要QC=PD
∴3t=24-t
∴t=6，
∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形
24 1t
3t
26
4.2)解：
由题意，只要PQ=CD，则四边形PQCD为等腰梯形
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F:

①∠MB′C=90° ②∠B′MC=90°
45 °
2 1
【2017· 河南T15】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， AB=AC，BC= √2 +1 ，点M，N分别是边BC，AB上的 动点，沿MN所在直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落 在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为_____ ．
3 与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个
单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发 ，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停 止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t （s）（0＜t≤3)
（2014年 新疆）如图，直线y 4 x 8
7
当BP=BC时
D
4
30°
当
4
P
A
7
B
2 3
E
当CB=CP时
∴t=3或11或7+ 4 3 或 4 3 /3 +7 时 △PBC为等腰三角形
探究动点关键：化动为静，分类讨论，数形结合
∟
P
A
7
B
当PB=PC时
合作探究
1：:如图．△ABC中AB=6cm，BC=4cm， ∠B=60°，动点P、Q分别从A、B两点同时出发． 分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度分别为 2cm/s和1cm/s．当点P到达点B时．P、Q两点停止 运动．设点P的运动时间为t（s）．当t为 ______时 ，△PBQ为直角三角形．
（1）写出A，B两点的坐标； （2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函 数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最 大？ （3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角 形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)、当n=k(k≥1)时，你所得到的规律 和猜想是否成立？请说明理由。
1、如图1，E、F、G、H按照AE=CG，
BF=DH，BF=nAE(n是正整数)是关系，
分别在两邻边长a，na的矩形ABCD各
边上运动，设AE=x，四边形EFGH的
面积为S。 A
na
HD
aE
G
BFC图1源自博物馆的研究人员最近发表报告说,他们与蒙古科学家组成的考古队在戈壁大沙漠中发现了一处保存异常完好的恐龙化石。这是生活在万年~8万年前的一种 食肉性恐龙化石,化石清楚地显示,恐龙死前正在孵蛋。它坐在窝上,窝内有枚恐龙蛋,它的腿微微弯曲,其前爪叉开并伸向后方,似在护着自己的卵。此情此景,与 今天的驼鸟和子、母鸡孵蛋；炒股技术指标 股票技术指标 股票指标 股票指标大全 股票指标大全下载 股票指标网 股票 指标 ；的形式并无两 样。从化石上看,该恐龙很馀今天的鸵鸟,只是它的尾巴较长而脖子短。 [] 美蒙联合考察队成员、纽约自然历史博物馆鸟类学部研究员路易斯?查蓬指出,对鸟 类化石及新发现的恐龙化石进行分析研究,并参照已有的文献及解剖图可以看出,鸟类与恐龙有许多共同的地方。在戈壁大沙漠中的发现,第一次证实鸟与恐龙 在行为上有着共同点,其中最主要的一点是它们都是自己孵蛋育出后代。 [] 纽约自然历史博物馆与蒙古科学院组成的古生物考察队,自年以来一直在戈壁沙漠 里从事考古发掘。他们是在一处名为乌哈一托尔戈特的地方,发现这一极其珍贵恐龙化石的,该地区已被列为恐龙化石保护区。 [] 主要分类 中国恐龙Chine 包 头龙 包头龙 se Dinosaurs恐龙钟敏Class DinosauriaOwen，8 蜥臀目Order Saurischia Seeley，888兽脚亚目SuborderTheropoda Marsh，88 [] 肉食龙钟敏类 Infraorder Carnosauria von Huene, 巨齿龙科Family Megalosauridae Huxley, 8 ⊙建设气龙Gasosaurus constructus Dong et Tang, 8⊙七里峡宣汉龙Xuanhanosaurus qilixiaensis Dong, 8 异特龙科Family Allosauridae Marsh, 8 ⊙甘氏四川龙Szechuanosaurus campi Young, ⊙石油克拉玛依龙Kelmayisaurus petrolicus Dong, ⊙大水沟吉兰泰龙 Chilantaisaurus tashikouensis Hu, ⊙毛儿图吉兰泰龙 Chiantaisaurus maortuensis Hu, ⊙浙江吉兰泰龙Chilantaisaurus zhejiangensis Dong, 虚骨龙次亚目 Infraorder Coelurosauria Huene, 迅足龙 科 Family Podokesaurid⊙