人教版高中数学必修一第二章2.1.1数与指数幂的运算：根式PPT教学课件

①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
2020/12/15
2
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
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6
化简下列各式：
(1) 4 (－2)4
(2) 5 (2－π)5
4 (3)
(x＋1)4
3 (4)
பைடு நூலகம்(x－6)3
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给形式均为n an的形式；
②n an形式中 n 分为奇数和偶数两种． 解答本题可依据根式的性质
n an＝|a| a
n为大于1的偶数 n为大于1的奇数
∴原式＝－－23x－1
(x>1) (－2≤x≤1)
3 (x<－2)
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13
1．准确认识根式记号n a. (1)n∈N，且 n>1.
(2)当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R 都有 意义，它表示 a 在实数范围内惟一的一个 n 次方 根n an＝a.
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1．正整数指数幂am(m∈N*，a>0)含义是m．个a相乘
2．运算性质，设a>0，b>0，m，n∈N*，则
(1)an·am＝ _a_m_＋__n _； (2)an÷am＝； an－m
(3)(an)m＝anm；
(4)(ab)n＝anbn；
(5)ban＝bann.
2020/12/15

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3xy 2 6
7、若10x=2，10y=3，则10 2 3 。
高中数学
8、a , b ，R 下列各式总能成立的是（ B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B.8 (a 2 b 2 ) 8 a 2
C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 (a b )10 a b
9、化简
(1
2
1 32
)(1
1
2 16
)(1
2
1 8
)(1
2
1 4
)(1
2
1 2
)的结
A.
1
(1
2
1 32
)
1
2
1
C.1 2 32
B.(1
2
1 32
)
1
D.1
1
(1
2
1 32
)
2
高中数学
团团圆圆一家在台湾可受欢迎了。每 天，小 朋友们 排着长 队，等 着跟它 们合影 留念。 从“排 着长队 ”体现 出每天 喜欢它 们的人 不计其 数，特 别受欢 迎。从 “合影 留念” 体现出 大家都 想和大 熊猫留 住最美 丽的瞬 间以作 纪念。 Nothing can be accomplished without norms or standards.
高中数学
性质： （1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个
负数的n次方根是一个 （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个
互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是
记作 n 0 = 0. (4) (n a)n a
5 32_______481_______
210 ________3312 _______

0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？

1 3
1 ×3 2
＋
1 3
＋1
6
＝
2×3＝6.
251 (2)原式＝ 9 2 1 － 64 － 2 2 ＋ 10 ＋27 3
37 5 9 － 3×1 ＋48 ＝ 3＋ 100 ＋16 － 3
37 ＋48＝100. (3)原式＝
1 6a2 2 －24×a3
＋
1 2
×b
1 1 ＋ 4 2
2 －4×a3
3 ×b2
2 ＝6×a3
＋
1 2
－
2 3
1 ×b 4
＋
Hale Waihona Puke 1 2－3 2＝
b
－
3 4
.
课前预习 课堂互动 课堂反馈
规律方法 1．指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成
－
2 3
1
4
a3＋b32
＝b
－
.
4
解
(1)
b
－
2 3
＝b 4 ＝b

3
－
2 3
×
1 4
1 6
.
＋
1 (2)原式＝a· a2 a·
3
1 1 1 1 1 1 2 ＝a2 · a4 · a8 ＝a2 2
－
1 4
＋
1 8
7 ＝a8
3
－
.
(3)原式＝[ (a ＋b ) ]
(1)a＋a 1；(2)a2＋a 2.
－
解
－
(1)将
1 a2

中a >0).
(1) a2 3 a2 ; (2) a 3 a .
解:(1) a2
3
a2

2
a2 a3

a 2
2 3

8
a3;
11
41
2
(2) a 3 a (a a 3 )2 (a 3 )2 a(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
(7) 3 (8)3 8. 【2】计算 (a b)2 | b a | | 3 a3 3 b3 | ,(a b 0).
答案 : 3a b.
【2】计算 (a b)2 | b a | | 3 a3 3 b3 | ,(a b 0). 解:原式 | a b | | b a | | a b | (a b) (b a) [(a b)] a b b a a b
4 (a b)3 (a b 0) (a b)4
3 (m n)2
2
(m n)3
(m n)4 (m n) p6 q5 ( p 0)
(m n)2
5
p3 q2
4.有理指数幂的运算性质
(1) a m a n a mn (m, n Z)
(2) (am )n amn (m, n Z) (3) (ab)n a nbn (m, n Z)
( 3 2) (2 3) (2 2)
3 22 32 2
2 2.
例3．计算 (e e1 )2 4 (e e1)2 4.
解： (e e1 )2 4 (e e1 )2 4. e2 e2 2e1e1 4 e2 e2 2e1e1 4 e2 e2 2 e2 e2 2 (e e1)2 (e e1)2

∴原式＝－ －24x，－2，1≤－x3<<3.x<1，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是 什么？ 解 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3， ∴x－1<0，x＋3≤0， ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
解析答案
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人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
(4)n
an＝|a|＝
a a≥0 -a a<0
(n 为大于 1 的偶数).
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 根式的意义 例 1 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3 ＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
－32呢？ 答案 把 x＝ 3代入方程 x2＝3，有( 3)2＝3；
32＝ 9， 9代表 9 的两个平方根中正的那一个，即 3. －32＝ 9＝3.
答案
一般地，有：(1)n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1)；
(2)(n a)n＝ a (n∈N*，且 n>1)；
(3)n an＝a(n 为大于 1 的奇数)；

[解析] (1)①16的4次方根应是±2；② 4 16 ＝2，所以正确的 应为③④.
(2)要使 3 a－1 3有意义，则a－3≠0，即a≠3. ∴a的取值范围是{a|a≠3}． [答案] (1)③④ (2){a|a≠3}
[类题通法] 判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
()
2．下列式子中成立的是 A．a －a＝ －a3 C．a －a＝－ －a3
() B．a －a＝－ a3 D．a －a＝ a3
解析：要使a －a有意义，则a≤0，
故a －a＝－(－a) －a＝－ －a2－a＝－ －a3.
答案：C
3．若x>3，则 x2－6x＋9－|2－x|＝__________.
[易错防范] 1．本题易忽视 4 1－ 24 >0，而误认为 4 1－ 24 ＝1－ 2而导致解题错误． 2．对于根式 n an 的化简一定要注意n为正奇数还是正偶 数，因为n an＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶 数，那么n an＝|a|.
[活学活用] 当a，b∈R时，下列各式恒成立的是
所以 3－2 2＋(3 1－ 2)3＝ 2－12＋1－ 2 ＝ 2－1＋1－ 2＝0.
条件根式的化简
[例3] (1)若xy≠0，则使 4x2y2＝－2xy成立的条件可能是
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
()
C．x≥0，y≥0
D．x<0，y<0
(2)设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
[类题通法] 有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达 式可以通过配方、拆分等方式进行化简．

思考2： n an a成立吗?请举例说明.
如: 3 83 8, 3 (2)3 2, 4 84 8, 而6 (2)6 2, 应有：6 (2)6 2 2
2) 当n为奇数时, n an a;
人教版高一数学必修一2.1.1指数与指 数幂的 运算第 一、二 、三课 时（40 张）
当为偶数时, n
y (1 7.3%)x 1.073x ( x N *, x 20)
两个问题
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题2: 当 生 物 死 亡 后 ， 它 机 体内 原 有 的 碳14会 按 确
定 的 规 律 衰 减 ， 大 约 每经 过5730年 衰 减 为 原 来 的 一 半 ，
这 个 时 间 称 为 “ 半 衰 期” ， 根 据 此 规 律 ， 人 们获 得 了
an
| a |
a a
(a 0); (a 0).
人教版高一数学必修一2.1.1指数与指 数幂的 运算第 一、二 、三课 时（40 张）
能力训练
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.求 下列 各 式的 值:
(1)3 (8)3
(2)2 (10)2
(3)4 (3 )4 (4) (a b)2 (a b).
(n 1,且n N )
根式
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根,
其中n 1且n N .
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方
根是一个负数.这时, a的n次方根用符号 n a 表示. 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反
人教版高一数学必修一2.1.1指数与指 数幂的 运算第 一、二 、三课 时（40 张）

(n 为大于 1 的奇数);
a a 0 , |a| = (n 为大于 1 的偶数). -a a 0
【拓展延伸】 辨析 n a n 与( n a )n (1) n a n 是实数 an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,与 n 的奇偶无关,但这个式子的 值与 n 的奇偶有关.当 n 为大于 1 的奇数时, n a n =a;当 n 为大于 1 的偶数时, n a n =|a|.
三、核心素养 1.要用对比的方法进行记忆.如:指数函数y=ax和对数函数y=logax的图象都过定 点.当0<a<1时,它们都是减函数;当 a>1 时,它们都是增函数. 2.对于指数函数和对数函数,要弄清底数a对函数值变化的影响,并且能够对两者 进行相互转化. 3.熟记幂函数的结构形式,结合第一象限内的函数图象来认识几种简单的幂函数 的特点和性质,并注意与指数函数区分. 4.要注意加强对函数与方程思想、数形结合思想的学习与运用,要充分借助图象 来记忆性质.
4
C )
3.(根式的性质)若 f(x)=x x ,则函数定义域为( (A)[0,+∞) (C)(0,+∞) (B)(-∞,0] (D)(-∞,0)
6
B )
4.(根式的性质) 6 2
=
.
答案:2
6.(根式的性质)化简
1 2x (x>
2
1 )的结果是 2
.
答案:2x-1
课堂探究·素养提升
3
想一想
方程x4=16,x5=243的实数根如何表示呢?方程xn=a呢?
知识探究
1.根式及相关概念
(1)a的n次方根定义 xn=a 如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.

2019/10/19
15
(3)当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0
时有意义，当 a<0 时无意义.n a(a≥0)表示 a 在实
数范围内的一个
n
次方根，另一个是－n
a，±n

a
n＝a.
(4)式子n an对任意 a∈R 都成立．
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16
计算：3 (1＋ 2)3＋4 (1－ 2)4. 【错解】 3 (1＋ 2)3＋4 (1－ 2)4＝(1＋ 2) ＋(1－ 2)＝2. 【 错 因 】 4 (1－ 2)4 ≠1 － 2 ， 而 是 4 (1－ 2)4＝|1－ 2|＝ 2－1.其出错原因是n an ＝a(a∈R)成立的条件是 n 为正奇数，如果 n 为正 偶数，那么n an＝|a|.
∴原式＝－ －23x－(11≤x<2(－) 3<x<1)
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12
为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方 的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
2.本例中，若将“－2<x<2”变为x∈R，则结果是什么？
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【解析】 原式＝|x－1|－|x＋2| 当 x>1 时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3； 当－2≤x≤1 时，原式＝1－x－(x＋2)＝－2x－1； 当 x<－2 时，原式＝1－x－(－x－2)＝3.
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10
1.化简下列各式
3 (1)
(－8)3；
(2) (－10)2；
4 (3)
(3－π)4；
(4) (a－b)2(a>b)．
【解析】
3 (1)

小结 一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数 到底是正数还是负数，还要分清 n 为奇数和偶数这两种情况．
问题 5 根据 n 次方根的意义，可得：(n a)n＝a，即(n a)n＝ a 肯定成立，n an表示 an 的 n 次方根，等式n an＝a 一定成 立吗？如果不一定成立，那么n an等于什么？
偶数，n an＝|a|＝a－a
a≥0 a<0 .
7 (1)
－27；
4 (2)
3a－34(a≤1)．
解
7 (1)
－27＝－2；
4 (2)
3a－34＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
例2、化简： (1)5 (5)5 6 (2 5 )6 3 ( 5 2)3 ; (2) (a b)2 5 (b a)5 ; (3) 5 32 _____; 3 a6 _____; 6 a3 ____ .
m2
3 B. m
6 C. m
5 D.
－m
( C)
解析 要使6 m有意义，则 m≥0.
1.根式的概念：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.n 为奇数时，x＝n a，n 为偶数时，x＝±n a (a>0)；负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是 0.
2.掌握两个公式：(1)(n a)n＝a；(2)n 为奇数，n an＝a，n 为
解析 ①错，∵(±2)4＝16，∴16 的 4 次方根是±2；
②错，4 16＝2，而±4 16＝±2. ③④正确．
2.已知 x5＝6，则 x 等于
( B)
A. 6
5 B. 6
C．－5 6
D．±5 6
解析 由根式的定义知，x5＝6Fra bibliotekx＝5 6，故选 B.

有理 幂也同样适用）
aras ars (a0,r,sQ (ar)s ars (a0,r,sQ (ab)r arbr (a0,b0,r
高中数学
x n a
0的任何次方根都是0.
高中数学
• n次方根：一般地，若 x n ,那 么a x叫做a的n
根.其中,
n1,且nN*
• 根式： 式子 n 叫a 做根式，
这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数
• 开方与乘方： 求a的n次方根的运算称为开方运算； 开方运算和乘方运算是互逆运算。
高中数学
5 32 _______ 4 81_______
( 4 ) a R , 式 子 n a n 都 有 意 义 ：
n为 奇 数 ，
n为
偶
数
，
n an a
n an
a
a ,a
a
,
a
0 0
高中数学
思考题
• 4，4，16，144，（）
高中数学
• 2304
高中数学
一、复习准备
• 1.复习上节课的内容 • 2.练习 • ①计算 3(8)34(32)43(23)3
x n a
0的任何次方根都是0.
(4) (n a)n a
高中数学
探究
n an a 一定成立吗？
5 a R ,式 子 nan都 有 意 义 ：
1、当 n是奇数时，n an a
2、当
n是偶数时，n an
a |a|a
(a0 (a0
高中数学
例题与练习
例1、求下列各式的值
(1)3(8)3
(3)4(3)4
第二章 基本初等函数
2.1.1 指数
高中数学
问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳

(1)25的平方根是___±__5__;
(2)27的三次方根是___3__; (3)-32的五次方根是_-_2__; (4)16的四次方根是_±___2_;
(5)a6的三次方根是___a_2_; (6)0的七次方根是___0___.
点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
2022/3/24
探究二：n次方根的性质
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-32
-32的5次方根是-2.
27=128
128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
2022/3/24
一个数的奇次方根只有一个
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7. 81的4次方根是3，-3. 64的6次方根是2，-2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
例子：
24=16 (-2)4=16 (-2)5=-32
27=128
2022/3/24
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根.
2叫8的立方根. 一个数的立方 -2叫-8的立方根. 根只有一个

人
教
Ａ
版 必
修
一
新
第2课时 指数幂及运算
课 标
·
·
数 学
人
教 Ａ
目标要求
热点提示
版 必 修 一
本节学习指数与指数幂的运算 1.了解分数指数幂的模型 时，应注意以下几点： 的实际背景，体会引入 (1)应联系实际问题情境，体会
分数指数幂的必要性． 引入分数指数幂的必要性
·
新 课 标
2．能进行分数指数幂与 (2)通过回顾乘方的定义，并推 根式之间的相互转化， 广到分数指数幂，利用根式的
必 修
算，到2008年底，中国人口将增加多少？10年以后2017年
一 底我国人口总数将达到多少？如果年增长率是2%，甚至是
新 5%，那么结果将会怎样？能带来灾难性后果吗？ 课 标
·
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
修 一
换及平方差、立方差、立方和公式，利用转化、换元等方
新 法．
课 标
·
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
指数的发展
人 教
n个相同的因数相乘，即a·a·a·…·a记作an，an叫做a的
Ａ n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数．
标 a3，a4 等等，所以我将 a， a3写成
；又将1a，a1a，a1aa
数 学
写成 a－1，a－2，a－3，信中的“ a”，“ a3”，就是现在

5 (c 0)
c4
正数的正分数指数幂的意义
m
规定：a n n am (a 0, m, n N ,且n 1)
正数的负分数指数幂的意义
规定：
a
m n
1
m
(a
0, m, m
N ,且n
1)
an
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
(1)23 24 2(3 4)
(2)(22 )3 223
a 3 a2
运算性质 (1)ar as a(rs) (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r R)
a 2
7
a2
(2)a2 3 a2
2
a2 a 3
2 2
a 3
8
a3
(3) 3 a
11
4
2
(a a 3 ) 2 (a 3 ) a 3
例4.计算下列各式
2
11
15
（1）(2a 3 )( 6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6）
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
例5.计算下列各式 （1）(3 25 125) 4 25 （2） a2 (a 0)
(3)22 (1)2 2
(2
1 )2 2
有理数指数幂的运算性质
(1)ar as a(rs) (a 0, r, s Q)
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
(3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r Q)
例2.求值8
2 3
，25
-
1 43