整数指数幂教学说明一、内容与内容解析本节课的教学内容是上海市九年义务教育课本七年级第一学期分式一章中《10.6整数指数幂及其运算》的第一课时.在本节课之前，学生已经学习了整式概念、整式的加、减、乘、除运算，学习了分式的意义、分式的基本性质及分式的运算.掌握了“同底数幂的乘法”、“积的乘方”、“幂的乘方”及“同底数的幂除法”等知识.本节课是在正整数指数幂扩充到自然数指数幂后的又一次扩充——将指数的范围扩大到整数.旨在使学生在经历整数指数幂扩展的过程中，体会到一套新概念扩张的研究方法.并在探索过程中体会类比思想、以及数学中的猜想、合理推断的思维方法.这节课是我们引导学生怎样认识、探索数学世界的一个很好的切入点.尤其是对数学规定合理性的思考，这些内容对学生的发展都是有益的.本课内容在初中教材中起到了承上启下的作用，既承接了零指数幂的扩展的过程，又为今后研究有理数指数幂、实数指数幂提供了范例，也为高中指数函数的研究奠定了基础.同时负整数指数幂概念的引入将分式和整式之间建立了有机的联系，因此本节课在初中数学学习中具有非常重要的地位.本节课将教学重点定为:展现整数指数幂的扩充过程，体会负整数指数幂规定的合理性.二、目标与目标解析1、经历整数指数幂概念的扩展过程，理解负整数指数幂的意义，掌握1p pa a -=成立的条件.2、经历正整数指数幂运算性质的扩展过程，体会从特殊到一般的数学思想.3、理解整数指数幂的意义，初步学会简单的整数指数幂的计算.类比)0(0≠a a 规定产生的过程，以同底数幂除法法则的适用范围需要扩张为切入点，使学生经历整数指数幂概念的扩展过程.理解规定:1p p a a -=（其中0≠a ，p 是自然数）的意义.体会一个有价值的数学规定应该尽可能不与以往能的法则发生矛盾，使之得以延续和推广.三、教学问题诊断分析教学难点：整数指数幂扩展过程的探索.本节课的教学难点之一是负整数指数幂的引入.首先类比01(0)a a =≠这一规定产生的原因，为1p pa a -=（其中0a ≠，p 是自然数）的引入提供了方法上的参考.采取从特殊到一般的思想方法，化解难点.本课的另一教学难点是在检验正整数指数幂的运算性质对整数指数幂是否仍然成立这一环节.仍采取从特殊到一般的思想方法，设计了教师示例和学生分组举例，学生示例的环节，使学生在交流活动中化解难点.将正整数指数幂的运算性质扩充到整数指数幂之后，对运算法则完整性的认识也是学生的一个难点所在.这里可以采用提出质疑的方式引发学生思考:整数指数幂的运算法则中，为什么没有除法法则?四、教学支持条件分析:本节课的教学对象是上海市李惠利中学七年级（1）班的学生，学生学习能力中等偏上.本节课的设计在尊重教材的基础上，对负整数指数幂的引入采取了从特殊到一般的思维方式，使学生对负整数指数幂的由来有更清晰的认识.在正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂的验算环节中，对验算过程也适当提高了些要求，使学生在举例验算的过程中感受到法则推广的推导过程.从外部条件来看，本节课通过黑板和多媒体的结合使用，既能突出重点，又能有效节省课堂时间.同时，投影仪的使用可以当堂展示学生的练习和操作活动，给学生提供互相学习，扬长补短的机会.五、教学过程设计(一)复习旧知，提出思考与猜想1、根据我们前面学习过的知识，对于一个非零数n a ,指数n 可以取哪些数？除了正整数和零，我们还学习过哪些数？并给出一组负整数指数幂在实际生活中的例子.体会负整数指数幂的引入既是数学自身发展的需要，也是实际生活的需要. 2、)0(0≠a a 是如何规定的?为什么要这样规定?回顾01(0)a a =≠这一规定产生原因，即同底数幂除法法则的适用范围需要扩张，为后面1p pa a -=（其中0a ≠，p 是自然数）这一规定的引入提供了方法上的参考，蕴含类比的思想方法.3、为了使同底数幂相除的性质在n m 、是正整数，且n m <时仍成立，?p a -=（0a ≠，p 为正整数）对于这个问题，学生可能感觉比较抽象，引导学生不妨先从特殊的例子入手，如)0?(3≠=-a a 体会从特殊到一般的数学思想.如果学生还是找不到突破点，可继续提问:3-a 可能在怎样的计算过程中产生?引导学生从特殊的例子入手思考.通过这样层层设问的方式，可以使学生在自主探索的过程中，体会规定的合理性. 这一环节的设计可以打破一部分学生对“规定”的认识.有些学生的固有观念可能会认为“规定”是没有原因的，只要将其记住并会使用就可以了，而把学习的重点放在计算技巧上.这段设计可以使学生形成一种重视概念形成过程的观念.不仅要知其然，更要知其所以然.（二）做出“规定”，完成整数指数幂概念的扩展1、为了使同底数幂相除的性质在m n 、是正整数且m n <时仍成立，规定:1p pa a -=（其中0a ≠，p 是正整数）. 对照课本，发现差别，进一步思考：当0p =时，上述等式是否仍然成立？ 扩大指数p 的取值范围，规定:1p p a a-=（其中0a ≠，p 是自然数）. 2、这项规定的引入使同底数幂的除法法则当m n <时仍然成立，所以同底数幂除法法则得到扩展:m n m n a a a -÷=(0 ,)a m n ≠为正整数.3、从1p p a a-=（其中0a ≠，p 是自然数）这个规定中，观察p a -与p a 之间的关系是什么?揭示意义:p a 与(0,)p a a p -≠是自然数之间互为倒数.4、到现在为止，对于幂n a ，指数n 可以取值的范围是什么?对底数a 有什么限制？完成整数指数幂概念的扩展，让学生体会指数概念的扩展给底数带来了新的限制.（三）配套练习，及时巩固练习1、将下列各式写成正整数指数幂的形式_______32=-,________)3(2=--,6______x -=,7()________y --=,________43=-b a ，()22_______x y -+=.设计意图:掌握等式1p pa a -=，并引导学生认识字母a 不仅可以代表一个数，还可以代表一个整式.判断:下列计算正确吗？错误的请改正.(1)2255-=-, (2)932=--, (3)11(100)100--=-, (4)1p p a a -=. 设计意图:不同位置的负号表示的意义不同.通过前三题辨析进行新旧概念的区分，这里也是学生自己做题时的易错点.最后一题引导学生关注指数概念的扩展给底数带来的新的限制.例1计算：35()a a -÷.练习2、计算：（1）1011041010÷， (2)121255÷ , (3)23()a a a ÷⋅.设计意图:对扩展后的同底数幂相除性质的运用.（四）检验新规，完成正整数指数幂运算性质的扩展回顾正整数指数幂中同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方的运算性质. 提出问题：现在我们已经把指数扩展到全体整数，那么正整数指数幂的运算性质对整数指数幂是否仍然成立呢？指数幂概念的扩展并不能直接带来幂运算法则的扩展，相反新的概念对原有的法则是否适用，是否带来矛盾，是需要我们认真对待的.这里的处理方法仍采取从特殊到一般的思想，进行举例验算.学生的困难在于:一是不理解对指数n m 、的取值要求及取值的多样性，二是不知道检验的方法.为化解难点，先由老师板演一个具体的验算过程和方法，然后给了学生自由发挥的空间，以小组合作的方式，设置了一个自己举例验算的环节.这个环节可以让学生在举例验算的过程中感受到法则推广的推导过程，再次感受负整数指数幂规定的合理性.最后的学生示例环节，可以使学生通过比较，体会数据选取的多样性及分类讨论的数学思想.练习3、计算:（1） 52x x -⋅, (2)73()a -, (3)3(2)x -. 设计意图:巩固整数指数幂的运算性质.（五）课堂小结通过这节课的学习，大家有哪些收获?对于这节课，大家还有什么问题或困惑吗？提出问题：整数指数幂的运算法则中，为什么没有除法法则?设计意图:帮助学生形成对整数指数幂的完整认识，培养思维的严谨性.（六）课后作业完成学习单中的课后练习.六、目标检测设计一、填空： 指数幂正整数指数幂 零指数 负整数指数幂 记作m a 0a m a - 指数m 的取值范围底数a 的取值范围意义设计说明:(1)比较各指数幂的意义，明确零指数幂、负整数指数幂与正整数指数幂概念之间的区别.(2)比较指数和底数的取值范围，体会指数概念的扩展给底数带来了新的限制.二、计算下列各题1. 1-5=_________；2. 4-10=________；3. 3-2-）（=____________； 4. 1-25.0=________；5. 1-43-）（=______________； 设计说明：考察负整数指数幂的意义，检测学生对p a -与p a 是互为倒数关系掌握情况.三、把下列各式写成不含有分母的形式1．341=__________； 2. 51a =___________ ； 3.7101=___________； 4.x21=_________； 设计说明：1~3题检测学生能把正整数指数幂的倒数化成负整数指数幂的形式.第4题考察学生能否把x 2看成一个整体添上括号写成1)2-x （的形式，而不写成12-x .四、计算1.23()a b -；2.354a a a -⋅÷；3.2332()()a a --⋅-设计说明:进一步巩固整数指数幂的运算性质.五、判断11pp p a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（其中0a ≠，p 是自然数）成立吗？为什么?并计算:(1)132-⎛⎫⎪⎝⎭, （2）235-⎛⎫⎪⎝⎭, (3)3110-⎛⎫⎪⎝⎭, （4）32xy-⎛⎫⎪⎝⎭.设计说明:本题是对课堂内容的延伸和补充，检测学生灵活应用所学知识的能力.让学生在计算关于分数、分式的负整数指数幂的过程中体会规定的灵活运用.。
