立体几何——平行的证明
【例 1】如图，四棱锥 P－ ABCD 的底面是平行四边形，点 E、 F 分别为棱 AB 、 PD 的中点．求
证： AF ∥平面 PCE；
P
分析：取 PC 的中点 G，连 EG.， FG，则易证AEGF 是平行四边形
F
E A D
B
C
（第 1 题图）
【例2】如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1
＋ 3 ，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE
折叠，使得 DE⊥ EC。
（Ⅰ）求证： BC⊥面 CDE；（Ⅱ）求证： FG∥面 BCD ；
分析：取 DB 的中点 H ，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形
D
D EF C
G
F G C
E
A B A B
【例 3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C1中， D, E, F 分别为 AA 1, CC1, AB 的中点，
M为 BE 的中点 , AC⊥ BE. 求证：
（Ⅰ） C1D ⊥ BC ；（Ⅱ） C1D ∥平面 B1 FM.
C1
B1
E A 1
分析：连 EA ，易证 C1EAD 是平行四边形，于是 MF//EA
M D
C
B
F
A
1
【例 4】如图所示 , 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形,BA AD, CD AD , CD=2AB, E 为PC 的中点 , 证明 : EB //平面PAD ;
分析 :：取 PD 的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边
形
(2)利用三角形中位线的性质
【例 5】如图，已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点，求证： AM ∥平面EFG 。 A
E 分析：连MD 交 G
F 于 H ，易证 EH 是△ AMD 的中位线
B G D
F
M
C
【例 6】如图， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， E 是
PC 的中点。求证： PA ∥平面 BDE
【例 7】如图，三棱柱ABC — A 1B 1C1中， D 为 AC 的中
点.
求证： AB 1 //面 BDC 1；
分析：连 B 1C 交 BC1于点 E，易证 ED 是
△ B1AC 的中位线
2
【例 8】如图，平面
ABEF 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，
BADFAB
900
, BC
//
1
AD ， BE
//
1
AF ， G, H 分别为 FA, FD 的中点
2 2
（Ⅰ）证明：四边形
BCHG 是平行四边形；
（Ⅱ） C , D , F , E 四点是否共面？为什么？
（ .3）
利用平行四边形的性质
【例 9】正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中 O 为正方形 ABCD 的中心， M 为 BB 1 的中点，
求证： D 1O//平面 A 1BC 1;
分析：连 D 1B 1 交 A 1C 1 于 O 1 点，易证四边形 OBB 1O 1
是平行四边形
【例 10】在四棱锥 P-ABCD 中， AB ∥ CD ，AB= 1
DC ， E 为 PD 中
点 .
2
A
求证： AE ∥平面 PBC ；
分析：取 PC 的中点 F ，连 EF 则易证 ABFE B 是平行四边形
【例 11】在如图所示的几何体中，四边形
ABCD 为平行
四边形， ∠ ACB=
90
，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ， EF ∥ＡＢ，
ＦＧ∥ＢＣ， ＥＧ∥ＡＣ .ＡＢ =２ＥＦ。 若Ｍ是线段ＡＤ 的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ
;
D
E
C
P
3
（ I ）证法一：
因为 EF//AB ， FG//BC ，EG//AC ， ACB 90 ，
所以 EGF
90 , ABC ∽ EFG.
由于 AB=2EF ，因此， BC=2FC ，
连接 AF ，由于 FG//BC ， FG
1
BC
2
1
BC
在
Y ABCD
中， M 是线段 AD 的中点，则 AM//BC ，且 AM
2
因此 FG//AM 且 FG=AM ，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM//FA 。 又 FA 平面 ABFE ， GM
平面 ABFE ，所以 GM// 平面 AB 。
(4)利用对应线段成比例
【例 12】如图： S 是平行四边形 ABCD 平面外一点， M 、N 分别是 SA 、 BD 上的点，且
AM =
BN
，
SM
ND
求证： MN ∥平面 SDC
分析：过 M 作 ME//AD ，过 N 作 NF//AD
利用相似比易证 MNFE 是平行四边形
【例 13】如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB ，M ，N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求证： MN ∥平面 BEC
C
分析：过 M 作 MG//AB ，过 N 作 NH/AB
B
利用相似比易证 MNHG 是平行四边形
E
D
M
N
4
A F
