南京市2015届高三年级学情调研卷
数 学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 2．已知复数z ＝
1
1＋i
，其中i 是虚数单位，则|z |＝ ▲ ． 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ， 则实数λ＝ ▲ ．
6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程
为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲ ．
9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，
则cos A ＝ ▲ ．
11．若f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥1，
－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
12．记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →
|的最大值是 ▲ ．
14．已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围
（第6题图）
为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π
2，－2)．
（1）求φ的值；
（2）若f (α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π
6)的值．
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；
（2）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB 平面CMN ．
17．（本小题满分14分）
已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ， {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21， S 4＋b 4＝30．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
A 1
A
B
C B 1
C 1
M
N
（第16题图）
（2）记c n ＝a n b n ，n ∈N*，求数列{c n }的前n 项和．
18．（本小题满分16分）
给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C
的离心率为3
2
，且经过点(0，1)． （1）求实数a ，b 的值；
（2）若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1
所截得的弦长为22，求实数m 的值．
19．（本小题满分16分）
如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，5km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B
点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
20．（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R ．
（1）若a ＝－1，求函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程； （2）若g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；
（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．
南京市2015届高三年级学情调研卷
数学附加题 2014.09
注意事项：
·
A
M
N
P
（第19题图）
α
C
B
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．
定区域内．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B 、C ，AQ ⊥OP ，垂足为Q ．若P A ＝4，PC ＝2，求AQ 的长．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎡
⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝
⎣⎡⎦
⎤ 1－1 ．
（1）求实数b ，λ的值；
（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C '：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，
y ＝2＋1
2t
(t 为参数 )，圆C 的参数
方程为⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy ．
（第21题A 图）
