菱形的性质和判定(含解析)

第4讲菱形的性质与判定知识精讲：1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形是的平行四边形。

2、菱形的性质：定理1：菱形的四边相等定理2：菱形的对角相等定理3:菱形的对角线互相互相垂直平分3、菱形的判定方法（1）四边相等的四边形是菱形（2）对角线互相____ 的平行四边形是菱形4、菱形的面积是它两条对角线长的乘积的一半.如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.O D CBA典型例题例1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形；（2）解：△ABC是直角三角形．证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点，∴EF∥BC．∠AFE=90°，∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．例2.如图在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，过D 作DE ∥AC 交AB 于E 点, 过D 作DF ∥AB 交AC 于F 点.求证：（1）四边形AEDF 是平行四边形 （2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF 是菱形321FED C B A证明∵DF ∥AE,DE ∥AF∴四边形AEDF 是平行四边形∵DF ∥AE∴∠1=∠3∵AD 为角平分线∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴FD = FA∵四边形AEDF 是平行四边形∴四边形AEDF 是菱形例3在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，并且AB =9，OB =6，OA .求证：（1）AC ⊥BD（2）□ABCD 是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD 的面积.OD C BA例4. 如图，AC⊥BC，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，连接FG ，求证：CEFG 为菱形.∵AC ⊥BC EF ⊥AB∴∠ACB=∠AFE∵AE 平分∠CAB∴∠CAE=∠BAE∵AE=AE∴△ACE ≌△AEF∴AC=AF∵AG=AG∴△AGC≌△AGF∴∠1=∠2又∵∠ACE=∠AFE=90°∴∠3=∠4∵CD⊥AB EF⊥AB∴CD∥EF∴∠4+∠CGF=180°即∠3+∠CGF=180°∴CE∥GF即四边形CEFG为平行四边形∵AE平分∠CAB EC⊥AC EF⊥AB∴EC=EF∴平行四边形CEFG为菱形（2014吉林）25．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm,BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B 运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ.设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）（1）填空：AB= cm,AB与CD之间的距离为cm；（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值.一、选择题1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误；B、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确；D、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确；故选A．2.在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm分析：根据菱形的四条边长都相等的性质、菱形的周长=边长×4解答解：∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，∴菱形的周长=AB×4=20cm；故选C．3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是___________．分析：由四边形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠BAD=60°，BD=4，即可证得△ABD 是等边三角形，即可求得菱形的边长，继而求得菱形ABCD的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=4，∴菱形ABCD的周长是：4×4=16．故答案为：16．4.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形分析：关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．解：由图形做法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选B．5.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、24分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20，故选A．6如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（）A、8B、9C、11D、12分析：首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．解：连接AC，设AC交BD于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO==8，在△AOD中，∵∠AOD=90°，∴AO===15，在△AOE中，∵∠AOE=90°，∴OE===20，又OD=8，∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．故选D．7.如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为何？（）A、6B、8C、10﹣2D、10+2分析：利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长，利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可．解：四边形ABCD为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD∥HE⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM⊥HE于M点，则△DEM为30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4⇒EM=2，DM=2，且四边形EFGH为正方形⇒∠H=∠I=90°，即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI 面积==8．故选B ．8.如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，则对角线BD 的长度为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3分析：由菱形ABCD 的周长是16，即可求得AB=AD =4，又由∠A =60°，即可证得△ABD 是等边三角形，则可求得对角线BD 的长度．解：∵菱形ABCD 的周长是16，∴AB=AD=CD=BC =4，∵∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB=AD=BD =4．∴对角线BD 的长度为4．故选C ．9.如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB=CD ．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠E HG ，④EG=21（BC ﹣AD ），⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD 可得四边形EFGH 是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．解：∵E、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点， ∴EF=21CD ，FG=21AB ，GH=21CD ，HE=21AB ， ∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFH 是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH 是矩形，错误；③HF 平分∠EHG，正确； ④EG=21（BC ﹣AD ），只有AD∥BC 是才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH 是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故选C ．10.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形分析先连接AC 、BD ，由于E 、H 是AB 、AD 中点，利用三角形中位线定理可知EH ∥BD ，同理易得FG ∥BD ，那么有EH ∥FG ，同理也有EF ∥HG ，易证四边形EFGH 是平行四边形，而四边形ABCD 是菱形，利用其性质有AC ⊥BD ，就有∠AOB =90°，再利用EF ∥AC 以及EH ∥BD ，两次利用平行线的性质可得∠HEF =∠BME =90°，即可得证．证明：如右图所示，四边形ABCD 是菱形，顺次连接个边中点E 、F 、G 、H ，连接AC 、BD ， ∵E 、H 是AB 、AD 中点，∴EH ∥BD ，同理有FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，同理EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∴∠AOB =90°，又∵EF ∥AC ，∴∠BME =90，∵EH ∥BD ，∴∠HEF =∠BME =90°，∴四边形EFGH 是矩形．故选A ．11.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA =5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是（ ）A 、3公里B 、4公里C 、5公里D 、6公里分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．解：如图，连接AC ，作CF ⊥l 1，CE ⊥l 2；∵AB=BC=CD=DA =5公里，∴四边形ABCD 是菱形，∴∠CAE =∠CAF ，∴CE=CF =4公里．故选B ．12.如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ．D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形分析：根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 解：∵分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ．D ， ∴AC =AD =BD =BC ，∴四边形ADBC 一定是菱形，故选：B ．13.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、163B 、16C 、83D 、8考点：菱形的性质。

证明是菱形的判定定理一、引言在几何学中，菱形是指具有四个相等边长的四边形。

判定一个四边形是否为菱形，一种常用的方法是通过其性质进行证明。

本文将介绍证明一个四边形为菱形的判定定理，并详细阐述其证明过程。

二、几何性质的重要定理在证明一个四边形为菱形的判定定理之前，我们需要了解几个几何性质的重要定理。

2.1、菱形的性质菱形是具有四个相等边长的四边形，因此具有以下性质： - 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直。

- 对角线平分角度：菱形的两条对角线会将其内部的角度平分。

- 对角线相等：菱形的两条对角线相等。

2.2、三角形的性质在判定一个四边形是否为菱形时，我们需要用到三角形的定理，其中有两个较为重要的定理： - 等腰三角形的性质：等腰三角形是指具有两个相等边长的三角形，其中包含以下性质： - 底角相等：等腰三角形的两个底角相等。

- 顶角平分底角：等腰三角形的顶角等于底角的平分角度。

•直角三角形的性质：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形，其中包含以下性质：–勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

三、证明四边形是菱形的判定定理根据菱形的性质，我们可以得出判定四边形为菱形的定理如下：定理：一个四边形是菱形的充分必要条件是其对边相等并且对角线互相垂直。

证明如下：3.1、充分性证明假设一个四边形ABCD，其中对边AD和BC相等，并且对角线AC和BD互相垂直。

我们需要证明该四边形为菱形，即证明其四条边相等。

根据对边相等的性质，我们可以得知AD=BC。

同时，根据对角线互相垂直的性质，我们可以得知∠ACD和∠BDA互相垂直。

根据三角形性质中等腰三角形的性质，我们可以得知∠ACD=∠BCD，同时∠BDA=∠BDC。

因此，∠ACD=∠BDA。

由于四边形内角和为360度，我们可以得知∠ADB=360°-(∠ACD+∠BDA)=360°-(∠ACD+∠BCD)=∠ADC+∠BCD。

2016中考数学四边形要点整理：菱形的定义、性质及判定_考点解析
知识的学习需要的不仅是大量的做题，更重要的是知识点的累积。

查字典数学网为大家准备了2016中考数学四边形要点整理，欢迎阅读与选择!
菱形的定义、性质及判定.
1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形的四条边都相等;。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形.
(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：
2.s菱=争6(n、6分别为对角线长).
3.判定：
(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
(2)四条边都相等的四边形是菱形;
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形.
希望这篇2016中考数学四边形要点整理，可以帮助更好的迎接即将到来的考试!。

专题16 菱形的判定与性质知识解读菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解.共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。

菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有三种方法方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法3：四条边相等的四边形是菱形。

如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。

培优学案典例示范一、菱形四边相等为全等提供了可能例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.（1）求证：CE=CF；（2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.BA EBAEHCFFCDD①②图4-16-1【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE2A△DCF（SAS），则可得CE=CF；（2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。

【解答】【技巧点评】菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起．【跟踪训练】1．如图4－16－2，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝34CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形例2已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【提示】菱形的周长是20cm，故边长为5cm，又两条对角线的比是4：3，不妨设两条对角线长为4k，3k，因菱形的对角线互相垂直平分，同勾股定理可得（4k）2＋（3k）＝100，可求出k的值，即可求出菱形的两条对角线的长，代入菱形的面积公式，可求出菱形的面积．【技巧点评】菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形，在直角三角形中，应用勾股定理，是解决这个问题的基本思路，本题在计算菱形的面积的时候，应用了菱形的面积等于对角线之积的一半．【跟踪训练】1.如图4－16－3，菱形ABCD的周长为40cm，AC，BD相交于O，且BD:AC＝3：4．求AC，BD的长及菱形ABCD的面积．【解答】三、含60°角的菱形常与等边三角形结合在一起例3如图4－16－4，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；【提示】（1）由于菱形ABCD的边长为2，BD＝2，所以△ABD和△BCD是等边三角形，则∠BDE＝∠BCF＝60°，BC＝BD，又由于AE＋CF＝2，AE＋ED＝2可得DE＝CF，即可证明△BDE≌△BCF；（2）由△BDE≌△BCF可证BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，由于∠CBF＋∠DBF＝60°，即可证明∠FBE＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△DEF是等边三角形．【解答】【技巧点评】如果一个菱形有一个内角等于60°，那么这个菱形较短的对角线会把菱形分成两个等边三角形，此时常需要用等边三角形知识解决问题．【跟踪训练】3.如图4－16－5，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．四、菱形的判定思路，平行四边形＋菱形特性＝菱形由于菱形是一个特殊的平行四边形，因此判定一个四边形是菱形时，可考虑先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明这个平行四边形具有菱形特征（如邻边相等或对角线互相垂直）．当然如果能直接证明四条边相等，就不需要先证明它是平行四边形．例4如图4－16－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D．交AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并说明理由．【提示】（1）用两组对边平行且相等，可以证明四边形ACEF是平行四边形．（2）通过探究得出当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形，可以用一组对边相等的平行四边形来证明．【解答】【技巧点评】要证明一个四边形是菱形，应尽可能先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明一组邻边相等或者证明对角线互相垂直．【跟踪训练】4.如图4－16－7，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．【解答】例5 如图4－16－8，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点．试说明：四边形EFGH 是菱形．【提示】由于“点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点”，我们可联想到三角形中位线定理，EH ，HG ，GF ，FE 分别是△ACD ，△ABC ，△BCD ，△ABD 的中位线，EH ，HG ，GF ，FE 分别等于12CD ，12AB ，12CD ，12A B ．由于AB ＝CD ，所以EH ＝HG ＝GF ＝FE ，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH 是菱形．【解答】【技巧点评】当题目不容易证明两直线平行时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形． 【跟踪训练】5.如图4－16－9，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【解答】五、从对称的角度考虑菱形问题，可以为解决问题提供帮助例6如图4－16－10，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A.3B．4C．5D．6【提示】找到点F关于AC的对称点（即CD的中点），连接CD的中点与点E交AC于点B P，则点P为AC 与BD的交点，此时PE＋PF的和最短，即等于AD的长，由于菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得AD ＝5，所以PE＋PF的长为5．【技巧点评】本题是把轴对称变换与菱形的轴对称性结合在一起的综合题，解决问题的方法是作出F点的对称点F'，线段EF'的长就是PE＋PF的最小值，同样道理，也可以作E点的对称点E’．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，许多题目正是从对称的角度展开对问题的讨论，因此从对称的角度思考问题，常常会给解决问题带来便利．【跟踪训练】6.如图4－16－11，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【解答】【拓展延伸】例7如图4－16－12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30o．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【提示】（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使口AEFD为菱形则还需要满足一组邻边相等；（3）①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中利用AD＝2AE即求得．②∠DEF＝90°时，由（2）知EF//AD，则得∠ADE＝∠DEF＝90°，求得AD＝AE·cos60°列式得．③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．【解答】【跟踪训练】7.如图4－16－13，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A＝60°，质点P从点A出发沿着AB－BD－DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC－CB－BD作匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知质点P，Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12秒后，P，Q分别到达M，N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形？并说明理由．【解答】【竞赛连接】例8（希望杯全国数学邀请赛试题）若某一个内角为30°的菱形中有一个点到四边的距离分别为1、2、3、4，则这个菱形的面积等于．【提示】菱形内的点到对边的距离之和为菱形的高线，故菱形的高为1＋4＝2＋3＝5，根据直角三角形中30°角的特殊性可以证明AB＝2AE，根据边长和高即可求菱形ABCD的面积．【跟踪练习】8．（湖北初中数学竞赛试题）如图4－16－14，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°培优训练1.如图4－16－15，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长为3＋，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．2.如图4－16－16，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点F是BD上一点，EF⊥CF，AE⊥EF，AE＝3，EF＝4，求AB长．3.如图4-16-17，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F . 求证：四边形AEFG 是菱形.G DFECB A图4-16-174.如图4-16-18，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N . 求证：四边形AMNE 是菱形.OENMD ACB图4-16-185.如图4-16-19，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且CE =CF .试说明：AE =AF .F DABC图4-16-196.如图4-16-20，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF . （1）求证：AF =DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论.FED图4-16-207.如图4-16-21，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ，BD 且AE =AB . （1）求证：∠ABE =∠EAD ；（2）若∠AEB =2∠ADB ， 求证：四边形ABCD 是菱形.ECBA图4-16-218.如图4-16-22，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，BC =CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q . 求证：四边形APCQ 是菱形.QPEFACB图4-16-229.如图4-16-23，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG 、DF .若AG =13，CF =6，求四边形BDFG 的周长.EFDBC图4-16-2310.如图4-16-24，点D 是等腰Rt △ABC 的直角边BC 上一点，AD 的垂直平分线EF 分别交AC ，AD ，AB 于E ，O ，F ，且BC =2. （1）当CD =2时，求AE ；（2）当CD =2(21) 时，试证明四边形AEDF 是菱形.FE OACD图4-16-24直击中考11.★★（2017·湖北十堰）如图4-16-25，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，若∠ABC =140°，则∠OED =________.O EDCABE D ABCP ADBC图4-16-25图4-16-26图4-16-2712.★★（2017·山东东营）如图4-16-26，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为________.13.★★★★（2017·湖南怀化）如图4-16-27，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点。

初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，? 还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质及判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】解析】根据菱形的性质可知：共有8 对答案】8在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少180【答案】180如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离AB BC16cm ，则1 度．考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】2009 年，江西中考解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形答案】120如图，在菱形ABCD 中，A 60 ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF 2 ，则菱形ABCD 的边长是______________________ ．AC【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】2009 年，漳州中考【解析】省略【答案】4如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB与EF 互相平分．考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】连接BD、AF、EB菱形ABCD 中BD AC ，EF AC ，∴ BD ∥ EF∵ AD ∥ FC ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴ ED FB 又∵ AE∥FB，∴四边形AFBE 是平行四边形∴ AB 与EF 互相平分如图1 所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24 ，则OH 的长等于AE ED ，∴ AE FB考点】菱形的性质及判定 题型】填空 难度】 2 星 关键词】 2009 年，本溪中考 解析】省略 答案】 3如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点 E ，则 DE 的长 为 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】 2 星【关键词】 【解析】省略 【答案】8 5cm 5菱形周长为 52cm ， 一条对角线长为 10cm ，则其面积为 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】 2 星 【关键词】D图1【解析】菱形的边长为52 4 13 cm ，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为24 cm ，故面积为120 cm2【答案】120菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】【解析】省略【答案】5如图2，在菱形ABCD 中，AC 6，BD 8，则菱形的边长为（）A．5 B ．10 C ．6 D ．8考点】菱形的性质及判定题型】选择难度】2 星关键词】2009 年，重庆江津中考解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A答案】A如图3，在菱形ABCD 中，A 110 ，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP 于点P ，则FPC （）A．35 B ．45 C ．50 D ．55CDD考点】菱形的性质及判定 题型】选择 难度】 2 星 关键词】 2009 年，杭州市中考 解析】省略 答案】 D如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一 个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为（ ） 考点】菱形的性质及判定 题型】选择 难度】 2 星 关键词】 2009 年，绵阳市中考 解析】省略 答案】 D菱形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ， 那么 等于 ． 【考点】菱形的性质及判定 题型】填空 难度】 2 星 关键词】A ． 15 或 30B ． 30 或 45C ． 45 或 60DEAFE BP C图330解析】省略 答案】 60已知菱形的一个内角为 60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的 长为 _________________ ． 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】 2 星【关键词】 2009 年，辽宁朝阳中考 【解析】省略 【答案】 2 或 6如图，将一个长为 10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形 两邻边中点的连线 （虚线）剪下，再打开， A ． 10cm 2B ． 20cm 2C ． 40cm 2考点】菱形的性质及判定 题型】选择 难度】 3 星 关键词】 2009 年，南宁市中考 解析】省略 答案】 A已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方， 则菱形的一个钝角的大小是 【考点】菱形的性质及判定得到的菱形的面积为 （ ） D ． 80cm 2C2【题型】填空 【难度】 4 星【关键词】希望杯邀请赛【解析】如图，过点 A 作 AE BC 于 E ，则 1AC BD BC AE ，又 AC BD AB 2，2得AE 1AB ， ABC 30 ， BAD 1502答案】 150如图，菱形花坛 ABCD 的周长为 20m ， ABC 60 ， ? 沿着菱形的对角线修 建了两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积．考点】菱形的性质及判定 题型】解答 难度】 3 星 关键词】 解析】 ∵四边形 ABCD 是菱形∴ AB BC CD DA 5 ∵ABC 60∴ ABC 和 ADC 都是等边三角形 ∴ AC 5 又∵ AC BD在 Rt ABO 和 Rt ADO 中可得53BO DODA图2∴BD 5 3∴ S ABCD1 AC BD 25 3 ABCD 2 2点评：内角为60 和120 的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型．【答案】见解析如图，在菱形ABCD 中，AB 4a ，E 在BC 上，BE 2a ，BAD 120 ，P 点在BD 上，则PE PC 的最小值为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】3 星【关键词】【解析】A，C 关于BD对称，连AE 交BD 于P ，且AE BC ，BAE 30 ，PE PC AE 4a 2 2a 2 2 3a 为最小值【答案】2 3a已知，菱形ABCD中，E、F 分别是BC 、CD上的点，若AE AF EF AB，求C的度数．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】4 星关键词】解析】∵ AE AB ∴ B AEBD同理D AFD∵四边形 ABCD 是菱形考点】菱形的性质及判定 题型】解答 难度】 4 星 关键词】 解析】连接 AC ，∵ 四边形 ABCD 为菱形AB BC CD AD△ABC 和 △ ACD 为等边三角形AB AC ， B ACD BAC 60 EAF 60 BAE CAF△ ABE ≌△ ACF AE AFEAF 60△AEF 为等边三角形AEF 60∵AEC B BAE AEF CEF∴ CEF 18 分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题 转∴ AD ∥ BC ， B D ， BAD C ， AEB AFDB D ∴ BAE DAFDE EF AF ，∴ △ AEF 是等边三角形，∴EAF 60AD ∥BC ，xB BAD 180 ，∴ 90 60 2x 1802∴x 20 ∴C【答案】 100BAD 60 2 x 100已知，菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 BAE 18 ．求： CEF 的度数．CD 上的点，且B EAF 60 ，化为三角形问题．【答案】18板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】2007 年，四川成都解析】AB AD，AC BD 等；答案】AB AD，AC BD如图，在ABC 中，BD 平分ABC ，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】∵ EF 是BD 的中垂线∴BE DE ，BF DF ，∴DBE BDE∵ EBD DBF∴ DBF EDB ，所以BC∥ DE 同理AB∥ DF 所以四边形BEDF 是菱形如图，在ABC 中，AB AC ，D是BC 的中点，连结AD，在AD 的延长线上取一点E，连结BE ，CE ．当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】2009 年，娄底中考【解析】当AE 2AD （或AD DE 或DE 1 AE ）时，四边形ABEC 是菱形2理由如下：∵ AE 2AD ，∴ AD DE又点D 为BC 中点，∴ BD CD∴四边形ABEC 为平行四形边∵ AB AC∴四边形ABEC 为菱形【答案】见解析已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F . 求证：四边形AFCE 是菱形.【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】2006 年，盐城中考【解析】省略【答案】∵ EF 垂直平分AC，∴ EF AC,AO CO .o∴ AOE COF 90o.又∵ ABCD 平行四边形，∴ EAO FCO .∴ AOE ≌COF .∴OE OF .∴四边形AECF 是平行四边形.又由AC EF 可知，四边形AECF 是菱形.如图，在梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，AD CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE. 求证：四边形CDC E 是菱形．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】2007 年，云南双柏解析】省略答案】根据题意可知CDE C'DE则CD C'D，C'DE CDE ，CE C'E .∵ AD / /BC ，∴ C DE CDE .∴ CDE CED ，∴ CD CE .∴ CD C D CE CE ，∴四边形CDC E为菱形.如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】省略【答案】连结BD，AF ，EB，因为菱形ABCD 中BD AC ，又因为EF AC ，所以BD ∥ EF ，因为AD ∥ FC ，所以四边形BDEF 是平行四边形，可得ED FB ，因为AE ED，所以AE FB，从而AE∥ FB ，AE FB ，因此四边形AFBE 是平行四边形，所以AB与EF互相平分已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC边上的高，将ABE沿BC 方向平移，使点E与点C重合，得GFC ．若B 60 ，当AB与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．B E F C考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】2009 年，山东青岛市解析】省略答案】当BC 3AB 时，四边形ABFC 是菱形．2AB∥GF ，AG∥ BF 四边形ABFG 是平行四边形∵ Rt ABE 中， B 60∴ BAE 30∴ BE1 AB2∵ BE CF ，BC3 AB2∴ EF1 AB2∴ AB BF∴四边形ABFG是菱形如图，在ABC 中，AB AC ，M 是BC 的中点．分别作MD AB于D ，ME AC 于E，DF AC 于F ，EG AB 于G．DF、EG 相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】省略【答案】∵ MD AB，EG AB．∴ MD ∥ EG ，同理ME ∥ DF ，∴四边形MFPD 是平行四边形AB AC ，BCo∵ BM MC ， BDM CEM 90o，∴ BDM ≌ CEM ∴ DM EM ，∴四边形 DMEP 是菱形如图， ABC 中， ACB 90 ，AD 是 BAC 的平分线， 交 BC 于 D ，CH 是 AB 边上 的高，交 AD 于 F ， DE AB 于 E ，求证：四边形 CDEF 是菱形．考点】菱形的性质及判定 题型】解答 难度】 3 星 关键词】 解析】省略 答案】 ∵ CH AB ，∴ HAF AFH 90ACB 90 ，∴ CAD ADC 90AD 平分 CAB ，∴ CAD HAF ，∴ AFH CDF AFH CFD ，∴ CDF CFD ，∴ CF CD AD 平分 CAB ， DC AC ， DE AB∴CD DE ，∴ CF DE 又∵ CH AB ，DE AB∴ CF ∥ DE ， 故四边形 ABCD 是平行四边形∵ CD DE ， ∴四边形 ABCD 是菱形 如图， M 是矩形 ABCD 内的任意一点，将 MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M '的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分 别等于AB ，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么位置时， 在上述变换下， 四边形 MDM 'C是菱形？为什么？AD AM D M'BC【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】 3 星【关键词】 【解析】省略 【答案】⑴如图， DCM '就是所要作的三角形⑵因为 AM 平移到 DM ' ，所以 AM ∥DM '且AM DM '，四边形 DAMM' 是平行四边形，所以AD ∥MM '，矩形 ABCD 中，AD CD ， 所以 MM ' CD ，又因为 AD MM ' ， CD AB ，所以四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直， 且长度分别等于 AB ，AD 的 长⑶当点 M 是 AC ，BD 的交点时，四边形 MDM 'C 是菱形，理由：如 图，矩形ABCD 中，AM BM MC MD ， 又因为 AM D'M ，BM CM ' ， 可得 MD MC CM ' DM ' ， 所以 四边形 MDM 'C 是菱形 如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知 ABAC ． ⑴ 顺次连结 A 、D 、F 、 E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成 图形的类型和相应 的条件．⑵ 当 BAC 为度时，四边形 ADFE 为正方形．考点】菱形的性质及判定题型】解答【难度】 3 星【关键词】 2008 年，佛山市中考改编DBC【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC= 60°（或A与F重合、△ ABC为正三角形）．⑵ 150 ．三、与菱形相关的几何综合题已知等腰△ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC交BC 于D点，在线段AD 上任取一点P（A点除外），过P点作EF ∥ AB ，分别交AC 、BC于E 、F点，作PM∥AC，交AB于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？M考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】⑴∵ PM ∥AC，EF∥ AB∴四边形AEPM 为平行四边形∵ AB AC ，AD平分CAB∴ CAD BADAD BC，BAD EPACAD EPAEA EPS 四边形 EFBM2 ∵四边形 AEPM 为菱形， ∴ AD EM∵AD BC ∴EM ∥BC 又 EF ∥AB ∴四边形 EFBM 为平行四边形问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段 DF 的中点，连结 PG ，PC ．若 ABC BEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置 关系及 PG的值．PC小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H ，构造全等三角形，经过推理 使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PG的值；PC⑵ 将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰 好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如 图 2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以 证明． ⑶ 若图 1 中 ABC BEF 2 0 90 ，将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任【考点】菱形的性质及判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性 质 题型】解答 难度】 5 星【关键词】 2008 年，北京中考 【解析】省略【答案】⑴ 线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG PC ；PG3 ．PC∴四边形 AEPM 为菱形 ⑵当 P 为 EF 中点时，S意角度，原问题中的其他条件不变，求 PG 的值（用含的式子表示） ．F⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．证明：如图，延长 GP 交 AD 于点 H ，连结 CH ，CG ．∵ P 是线段 DF 的中点， ∴ FP DP ．由题意可知 AD ∥FG ．∴ GFP HDP ． 又∵ GPF HPD ，∴ GFP ≌ HDP ，∴ GP HP ， GF HD ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ CD CB ， HDC ABC 60 ． 由ABC BEF 60 ，且菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上，可得 GBC 60 ． ∴ HDC GBC ． ∵四边形 BEFG 是菱形，∴ GF GB ，∴ HD GB ．∴ HDC ≌ GBC ，∴ CH CG ， DCHBCG ． ∴ DCH HCB BCG HCB 120 ，即 HCG 120 ．∵CHCG， PH PG ， ∴ PG PC ， GCP HCP 60 ．∴ PG3．PC⑶PGtan 90 ．证明过程略．PC本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈 现，从而降低了题目的难度， 本题应该是在 05 年大连中考压轴题的基 础上改进而来的．四、中位线与平行四边形顺次连结面积为 20 的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四 边形四边中点得到一个 ，其面积为 ． 【考点】三角形的中位线 【题型】填空 【难度】 3 星【关键词】【解析】理由：由中位线得 EF FG GH HE 1AD 即可．2【答案】 AD BC ．如图，在四边形 ABCD 中， AB CD ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BD 、 CD 、 AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还满足的一个条件 是 ，并说明理由．考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 题型】填空 难度】 3 星 关键词】2009 年，上海模拟 解析】理由：由中位线得 EF FG GH HE 1AD 即可．2 答案】 AD BC ．在四边形 ABCD 中， AB CD ， P ， Q 分别是 AD 、 BC 的中点， M ， N 分别是 对角线AC ， BD 中点，证明：PQ 与MN互相垂直．考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】解析】连接PN , NQ , MQ , PM ．证明PNQM 为菱形．答案】见解析四边形ABCD 中，R、P 分别是BC 、CD 上的点，点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减小C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长与点P的位置有关考点】三角形的中位线题型】选择难度】4 星关键词】解析】连结AR ，利用三角形的中位线可得答案】CE、F 分别是AP、RP的中那么下列结论成立的是EF 12 AR与点P无关．如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，CE AD 于 E ，M 为BC 的中点，AB 14cm ，AC 10cm，则ME 的长为【考点】三角形的中位线【题型】填空【难度】3 星【关键词】【解析】延长CE 交AB 于点线可得14 10 2 cm ．2【答案】2N ．利用中位线的性质和直角三角形斜边中如图，四边形ABCD 中，AB长，分别交BA，CDCD ，的延长线于点的中点，连结EF 并延CHEBC，ADBGEE，F 分别是G ，H ，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】4 星【关键词】【解析】省略【答案】连结BD，取BD中点P ，连结PE，PF ，BDC ，DBA 的中位线，所以PE∥DC，PF ∥BA，且PE 所以PE PF ，所以PEF PFE ，由PE∥ DC 可得：所以BGE CHEPE PF ，PFEBGE ，由条件易得1DC ，PF2PEF1BA2CHEPE，PF 分别是，因为AB CD ，，同理可得如图，已知 BE 、 CF 分别为 ABC 中 B 、 C 的平分线， AM BE 于 M，AN CF 于 N ，求证：MN ∥ BC．【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 4 星 【关键词】【解析】延长 AM 、 AN 交 BC 于点 Q 、 R ． 由等腰三角形三线合一可得 AM QM 、 ANRN 再由三角形中位线可得 MN ∥ BC ．【答案】见解析如图，四边形 ABCD 中，E ，F 分别是边 AB ，CD 的中点，【考点】三角形的中位线 【题型】选择 【难度】 3 星 【关键词】【解析】连结 BD ，取 BD 的中点 P ，连结 FP ，EP ，由三角形的中位线可知 选B 【答案】 B则 AD ，BC 和 EF 的关系是( )A ． AD BC 2EFBC ．AD BC 2EF DAD BC ≥ 2EF AD BC ≤ 2EF已知如图所示，E、F 、G 、H分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】连接AC ．∵ H 、G 分别为AD 、DC 中点∴ HG 1 AC ，HG ∥ AC2 又∵ E、F 分别为AB、BC 中点∴ EF 1 AC ，EF ∥ AC ，∴ HG EF ，HG ∥ EF2 ∴四边形EFGH 为平行四边形【答案】见解析如图，在四边形ABCD 中，E为AB 上一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，AB、BC 、CD 、DA的中点分别为P、Q、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN ．D考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】2009 年，兰州中考解析】如图，连结AC 、BD ．∵ PQ 为 ABC 的中位线 ∴ PQ ∥ AC 且 PQ 1AC2同理 MN ∥ AC 且 MN 1AC2∴ MN ∥ PQ 且 MN PQ∴四边形 PQMN 为平行四边形． 在 AEC 和 DEB 中AE DE ， EC EB , AED 60 CEB 即 AEC DEB ∴ AEC ≌ DEB∴AC BD ∴ 1 1.∴ PQ AC BD PN .22【答案】见解析如图，四边形 ABCD 中，AB CD ，E ，F ，G ，H 分别是 AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证： EF ，GH相互垂直平分【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 3 星 【关键词】【解析】连结 EG ，GF ，FH ，HE ，根据题意， EG ，HF 分别是 DAB ， CAB 的中位线， 所 以 EG HF 1AB ， 同 理 可 证 ： GF EH 1CD ， 因为 AB CD ， 所以 22EG HF GF EH ， 则四边形 EGFH 是菱形，所以 EF ，GH 相互垂直 【答案】见解析ABC 的三条中线分别为 AD 、BE 、CF ，H 为 BC 边外一点，且 BHCF 为平行 四边形，求证： AD ∥ EH．C考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】【解析】此题解法很多，仅供两种解法参考．方法一：连结DE 、DH ．（如图1）∵四边形BHCF 为平行四边形∴CH BF AF 且CH ∥ AF由中位线可得DE 12 AB AF∴ CH DE∴四边形DECH 为平行四边形∴DH ∥ CE 且DH CE AE∴四边形DHEA 为平行四边形∴ AD ∥ EH方法二：连结DE ．（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得DE HC ，AB∥ DE ∥HC∴ AED ECH 又∵ AE EC显然ADE ≌EHC ∴DAE HEC ∴ AD ∥ EH 【答案】见解析在平行四边形ABCD 的对角线BD上取一点 E ，使BE1 DE ，连接AE 并延长3与DC 的延长线交于F ，则CF 2 AB ．OR ∥CD ∥ AB，【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 5 星 【关键词】【解析】法 1：如图 2，取 BD 之中点 O ，由 O 引 OM ∥ AF 交 DF 于 M ，再由 C 引CG ∥FE交BD 于 G ．∵ AB CD ， ABE CDG ， BAE DCG ，∴ ABE ≌ CDG ， BE DG ， 则 O 为 EG 的中点， ∴ EO OG ． 又∵ DG BE 1DE ，3 1∴ EO OG DE ，3即 G 、 O 是 DE 的三等分点． ∵ CG ∥ OM ∥ AF ，∴C 、M 是 DF 的三等分点，有 CF 2CD ． 而 CD AB ，∴ CF 2AB ．法 2 ：如图 3，连接 AC 交 BD 于 O ，则 O 为 AC 、BD 的中点，取 AF 的中点 R ， 连接 AC 交 BD 于 O ，则 O 为 AC 、 BD 的中点，取 AF 的中点 R ，连接 OR ，则 1 OR ∥ CF ．2图3∴ABE ROE ，BAE ORE．又∵ BE OE OD ，BE 1 DE 1 (OE OD)，33由此可得BE 1OD，OE 1DE ，23BE OE ，ABE ≌ROEAB OR．即AB1OR CF ，∴CF2AB．2法3：如图1，∵AB∥DF ，AB BE 1，DF DE 3即DF3AB．又AB CD ，CF DF CD 3 AB AB，即CF2AB．答案】见解析如图，ABC中，E、F分别是AB 、BC的中点，G、H是AC的三等分点，连结并延长EG 、FH交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4 星【关键词】【解析】连接BG 、BH 、BD ，设BD 与AC 相交与点O∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴ EG ∥ BH ，同理FH ∥ BG ∴四边形BHDG 是平行四边形，∴ OB OD ，OG OH∵ AG HC ，∴ OA OC∴四边形ABCD 是平行四边形【答案】见解析如图，在四边形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AD 、BC 的中点， BD AC ，BD 和 AC 相交于点O ， MN 分别与 AC 、 BD 相交于 E 、 F ，求证 ： OE OF ．【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】 3 星 【关键词】【解析】取 AB 中点 P ，连结 MP 、 NP ． 利用中位线可得MP 1BD NP 1AC22∴PMN PNM ∵ MP ∥BD ，NP ∥ AC∴ OFE OEF ∴ OE OF【答案】见解析 如图，线段 AB ，CD 相交于点 O ，且 AB CD ， 连结 AD ，BC ， E ，F 分别是 AD ，BC的中点， EF 分别交 AB ，CD 于 M ，N ，求证： OM ON考点】三角形的中位线 题型】解答 难度】 4 星关键词】解析】连结 BD ，取 BD 中点 P ，连结 PE ，PF ，由条件易得 PE ，PF 分别是答案】见解析 如图，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB CD ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ， AOD 60 ，E ，F ，G 分别是 OA ，OB ，CD 的中点，求证 ： EFG 是等边三角形【考点】三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，等腰梯形的性质和判定 【题型】解答 【难度】 4 星 【关键词】【解析】省略【答案】 连结 DE ，由等腰梯形对角线相等， 且 AOD 60 ，可证 AOD 是等 边三角形，因为 E 是 OA 中点，所以 DE AC ， 在 Rt DCE 中， G 是 DC 中点， 所以 EG 1DC ，同理可证 FG 1DC ，因为 E ，F 分别是 OA ，OB 的中点，所以 22 EF 1AB ，因为 AB DC ， 所以 EG FG EF ，即 EFG 是等边三角形2如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线 共点．DBA ， BDC 的中位线，所以 PE ∥ BA ，PF ∥ DC ， 且 PE 1 BA ，PF 2所以 PE PF ，所以 PEFPFE ONM ， 所以 OMNPFE ，由 PE ∥ BA 可得ONM ， 所以 OM ONPEF1DC ， 因为 AB CD ，2OMN ，同理可得DLD【考点】三角形的中位线【题型】解答 【难度】 5 星 【关键词】【解析】方法一：设 N ，H ，M ，L ，F ，E 分别为 AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 的中点， 要证明 EF ，LH ，及MN 三线共点．因为 LF ∥DC 且 LF 1DC ，2所以 EF ∥ DC 且 EF 1DC ，2LF ∥ EH 且 LF EH ，从而四边形 EHFL 为平行四边形，故 LH 与EF 互相平分．设 LH 与 EF 的交点为 O ，则 LH 经过 EF 中点 O （当然也是 LH 中点）．同理， MN 也过EF 中点 O ．所以， EF ，LH ，MN 三线共点于 O ．说明：本题证明的关键是平行四边形 EHFL 的获得（它是通过三角形中 位线定理来证明的） ．由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一 种常用的技巧． 请看下例．方法二：应用中点公式法 可设 A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，C x 3，y 3 ，D x 4 ，y 4 那 么 AC 线 段 的 中 点 坐 标 为 Fx1 x3，y1 y3， BD 线 段 的 中 点 坐 标 为 22Ex 2 x 4 ，y 2 y 4E2 ，2 那么 EF 线段的中点坐标为 x 1 x 2 x3 x4，y 1 y 2 y 3 y422同理可得： MN ，LH的中点坐标也为x1 x2 x3 x4，y1 y2 y3 y422 所以可知： EF ， LH ， MN 三线共点于 O【答案】见解析如图， O 是平行四边形 ABCD 内任意一点， E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ，OC ， OD 的中点．若 DE ， CF 交于 P ，DG ，AF 交于 Q ， AH ， BG 交于 R ，BE ，CH 交 于 S ，求证 ：A ENOFHPQ SR ．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】6 星【关键词】【解析】设法证明四边形PORS 为平行四边形．因为F ，G 分别为OB ，OC 的中点，所以FG∥BC，且FG 21BC，FG ∥ AD ，且FG 1 AD ，2从而F 是AQ 中点．同理可证，F 是PC 的中点（EF 是PCD 的中位线）．所以四边形APQC 为平行四边形，PQ∥AC，PA AC．同理，RS∥ AC，RS = AC．因此PQ ∥ RS，PQ =RS，即四边形PQRS 为平行四边形，故PQ RS ．说明本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形PQRS ，APQC ，ACRS 像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．事实上，由于PQRS 为平行四边形，我们还可得到PQ∥SR，PS∥QR，PS QR，SQ与PR互相平分等等一系列结论．F为AQ的中点（同样G 为DQ 的中点）的断言可以证明于下：取AD 中点M ，连MF ，则FG ∥ MD 且FG MD ，所以四边形MFGD 为平行四边形，MF ∥ DG ．因此F 为AQ 的中点．答案】见解析。

第2课时菱形的判定教学目标：1．掌握菱形的判定方法；(重点)2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)教学过程一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF ＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB ＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解析：(1)由作图知PQ为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD ＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC ＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．证明：(1)由作图知PQ为线段AC 的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD ＝∠AED.在△AED与△CFD中，⎩⎨⎧∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用 【类型一】 菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠FAD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计 1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合运用教学反思在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．。

类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数答案与解析【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．答案与解析举一反三【答案与解析】证明：（1）连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．（2）由（1）得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分.【变式】菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．答案与解析【答案】解：（1）连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形∴ AD＝AB∵ E是AB的中点，且DE⊥AB．∴ AD＝DB，∴△ABD是等边三角形．∴△DBC也是等边三角形．∴∠ABC＝60°×2＝120°．（2）∵四边形ABCD是菱形．∴ AC与BD互相垂直平分．∴，∴．∴．（3）．类型二、菱形的判定3、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．答案与解析举一反三【答案与解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（两直线平行，内错角相等），∴△BOE≌△DOF(AAS)．（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：由（1）知，△BOE≌△DOF，∴ OE＝OF．又∵矩形ABCD中，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵ EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB 于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.答案与解析【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝∴四边形AQMP的周长为2（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．答案与解析【思路点拨】（1）由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形,∠BAC＝60°,又∠EAF＝60°所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．（2）思路基本与（1）相同但结果有些变化．【答案与解析】解：（1）连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．（2）CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】（1）菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．（2）注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系巩固练习一.选择题1. 下列命题中，正确的是( )A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE 的大小为（）A．75° B．65° C．55° D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF ＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．答案与解析【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为.所以有,∴,所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B；【解析】在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°－130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°－∠BAO＝90°－25°＝65°．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋＝18，设菱形边长为,则，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝.二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。