菱形的性质和判定
一、选择题
1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为( )
A .5
B .7
C .8
D .
二、解答题
2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：OE=BC
3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB 与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△．
（2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．
4、如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长。
5、如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
6、如图，将矩形A
1B
1
C
1
D
1
沿EF折叠，使B
1
点落在A
1
D
1
边上的B点处；再将矩形
A 1B
1
C
1
D
1
沿BG折叠，使D
1
点落在D点处且BD过F点．
（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；
（2）当∠B
1
FE是多少度时，四边形BEFG为菱形？试说明理由．
菱形的性质和判定的答案和解析
一、选择题
1、答案：
B
试题分析：
作C H⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。
解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH=AB=4，AH=BH=4，
∵PB=3，
∴HP=1，
在Rt△CHP中，CP= =7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故选：B．
二、解答题
2、答案：
证明见解析
试题分析：
先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE=OC，
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴BC===OE
3、答案：
（1）见解答过程
（2）见解答过程
试题分析：
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△
（2）由旋转的性质得到∠=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠-∠C-∠=180°-α，证的四边形
是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。
解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形
∴AB=BC,∠A=∠C
∵等腰三角形ABC绕点B逆时针旋转α°到△的位置
∴=AB=BC,∠A=∠=∠C,∠=∠
在△BCF和△D中
∴△BCF≌△
(2)四边形是菱形
等腰三角形ABC绕点B逆时针旋转α°到△的位置,
∴∠ =∠A，
∵∠ADE=∠
∴∠=∠AED=α°
∴∠DEC=180°-α°
∵∠C=α
∴∠=α°
∴∠ABC=360°-∠ -∠C-∠ =180°-α°，
∴∠=∠C，∠=∠AEC
∴四边形BCE是平行四边形
∴=BC
∴四边形是菱形。
4、答案：
（1）见解析
（2）
试题分析：
（1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；
（2）设AF=CF=x，则BF=4-x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可。（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，则BF=4-x，
在Rt△ABF中，=+，
即=+，
解得 x=，
