2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第5节指数与指数函数课件理新人教A版

第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练5函数的值域与解析式文202107243106[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －3，x >0，则f (5)＝( ) A ．32 B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C.[答案] C2．(2020·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3．(2021·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，因此f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x . [答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x＋1>1，因此函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，依照指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2020·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范畴是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－122x ＋5＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范畴为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.因此0≤a ≤1.[答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，因此－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)当x >0时，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，因此x ＋1x＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2， 当且仅当x ＝－1时取等号，因此x ＋1x＋1≤－1.故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，因此－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22， 故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范畴是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，因此当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.因此－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2020·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，因此f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，因此f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋12.[答案] －x x ＋1215．已知函数f (x )＝1－a2x 2＋31－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范畴； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范畴． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝91－a 2－241－a2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a －111a ＋5≤0⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范畴是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝91－a 2－241－a2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a －111a ＋5≥0⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范畴为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知，f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．因此有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m ，fn ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )差不多上定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 关于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x >0，f 2x ，f x ≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

高考数学1第二章基本初等函数考点汇总一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一样地，假如，那么叫做的次方根(n th root)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.现在，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，那个地点叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.现在，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根能够合并成±( >0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根差不多上0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一样地，函数叫做指数函数(exponential functio n)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>1 0图象特点函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一样地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作：( —底数，—真数，—对数式)说明：○1 注意底数的限制，且;○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数;○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化(二)对数的运算性质假如，且，，，那么：○1 ? + ;○2 - ;○3 .注意：换底公式( ，且; ，且; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，差不多上形式定义，注意辨别。

§2。

5 指数与指数函数考纲展示► 1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．考点1 指数幂的化简与求值1.根式（1)根式的概念若________，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示x n＝a⇒错误!答案:(1)x n＝a2．有理数指数幂(1）幂的有关概念①正分数指数幂：a错误!＝________（a＞0,m,n∈N＊，且n＞1）；②负分数指数幂:a错误!＝________＝________(a＞0，m，n∈N＊,且n＞1)；③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．（2）有理数指数幂的性质①a r a s＝________(a＞0,r,s∈Q）；②(a r）s＝________(a＞0,r,s∈Q);③(ab）r＝________(a＞0,b＞0，r∈Q）．答案：（1）①na m②错误!错误!③0 无意义(2)①a r＋s②a rs③a r b r(1）［教材习题改编］若x＋x－1＝5，则x2－x－2＝________.答案：±5错误!解析:把x＋x－1＝5两边平方,可得x2＋x－2＝23,所以（x－x－1）2＝x2－2＋x－2＝21，所以x－x－1＝±错误!，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x －x－1）＝±5错误!.(2）［教材习题改编］若x错误!＋x错误!＝3，则错误!＝________。

答案:错误!解析：由x错误!＋x错误!＝3，得(x错误!＋x错误!)2＝9，即x＋x－1＝7.错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

根式化简与指数运算的误区：混淆“na n”与“(错误!）n”；误用性质．（1)错误!＝__________；答案:｜a－b｜＝错误!解析：错误!＝｜a－b|＝错误!(2）化简［(－2)6］错误!－（－1)0的结果为________．答案：7解析：[(－2)6]错误!－(－1)0＝（26）错误!－1＝8－1＝7。

2021版高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数题组训练5函数的定义域与值域理1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sinxB ．y ＝lnx xC ．y ＝xe xD ．y ＝sinx x答案 D 解析 因为y ＝13x的定义域为{x|x≠0}，而y ＝1sinx 的定义域为{x|x≠kπ，k ∈Z }，y ＝lnxx 的定义域为{x|x>0}，y ＝xe x的定义域为R ，y ＝sinx x 的定义域为{x|x≠0}，故D 项正确．2．(2021·山东)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为B ，则A∩B ＝( ) A ．(1，2) B ．(1，2] C ．(－2，1) D ．[－2，1)答案 D解析 由4－x 2≥0，得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.3．函数f(x)＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]答案 A解析 要使函数f(x)有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x≤1，故选A.4．若f(x)的定义域是[－1，1]，则f(sinx)的定义域为( ) A ．RB ．[－1，1]C ．[－π2，π2]D ．[－sin1，sin1]答案 A5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( ) A ．(－∞，32)B ．(－∞，32]C ．(32，＋∞)D ．[32，＋∞)答案 B解析 设1－2x ＝t ，则t≥0，x ＝1－t 22，因此y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t＋1)2＋2，因为t≥0，因此y≤32.因此函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为(－∞，32]，故选B.6．(2020·东北三校联考)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2，(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范畴是( ) A ．(1，2] B ．(0，2] C ．[2，＋∞) D ．(1，22]答案 A解析 ∵当x≤2时，－x ＋6≥4，f(x)的值域为[4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a 2≥4，a>1，解得1<a≤2，∴a ∈(1，2]，故选A.7．(2020·河北衡水武邑中学月考)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为[－254，－4]，则实数m 的取值范畴是( ) A ．(0，4] B ．[－254，－4]C ．[32，3]D ．[32，＋∞)答案 C解析 函数y ＝x 2－3x －4的图像如图所示．因为y ＝(x －32)2－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标32开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范畴是[32，3]．8．(2020·人大附中月考)下列四个函数：①y＝3－x ；②y＝2x －1(x>0)；③y＝x 2＋2x －10；④y＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≤0），1x （x>0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ①y＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为(12，＋∞)，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≤0），1x （x>0），的定义域和值域均为R .因此定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.9．(2020·湖南长沙一中)设函数f(x)的定义域为D ，若f(x)满足条件；存在[a ，b]⊆D ，使f(x)在[a ，b]上的值域是[a 2，b 2]，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数f(x)＝log 2(2x＋t)为“倍缩函数”，则实数t 的取值范畴是( ) A ．(0，14)B ．(0，1)C ．(0，12)D ．(14，＋∞)答案 A解析 由题设可得log 2(2a ＋t)＝a 2且log 2(2b ＋t)＝b 2，故方程log 2(2x＋t)＝x 2有两个不等的实数根，即2x 2＝2x ＋t 有两个不等的实数根．令2x2＝r>0，则t ＝r －r 2在(0，＋∞)上有两个不等的实数根．因为t max ＝14，因此当t∈(0，14)时，函数y ＝r －r 2(r>0)的图像与直线y＝t 有两个不同交点．故选A.10．已知函数f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的值域为( ) A ．[6，10] B ．[2，13] C ．[6，13] D ．[6，13)答案 C解析 ∵f(x)＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，∴要使[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，即y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的定义域为[1，3]．又y ＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3，x ∈[1，3]，log 3x ∈[0，1]，∴y min ＝(0＋3)2－3＝6，y max ＝(1＋3)2－3＝13，∴函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的值域为[6，13]．11．(2020·福建连城一中期中)函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的部分数值如下：答案 (－1，1)∪(2，＋∞)解析 依题意有f(x)>0，由表格可看出，在区间(－1，1)，(2，＋∞)上f(x)的函数值是大于零的．12．若函数f(x)＝exx 2＋ax ＋a 的定义域为R ，求实数a 的取值范畴________．答案 (0，4)解析 ∵f(x)的定义域为R ，∴x 2＋ax ＋a≠0恒成立．∴Δ＝a 2－4a<0， ∴0<a<4.即当0<a<4时，f(x)的定义域为R . 13．函数f(x)＝2x ＋1x ＋1的值域为________．答案 (－∞，2)∪(2，＋∞)解析 ∵f(x)＝2x ＋1x ＋1＝2（x ＋1）－1x ＋1＝2－1x ＋1，1x ＋1≠0，∴f(x)≠2，∴函数f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．14．函数y ＝10x＋10－x10x －10－x 的值域为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)． 解析 由y ＝10x＋10－x10x －10－x ，得y ＋1y －1＝102x. ∵102x>0，∴y ＋1y －1>0.∴y<－1或y>1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 15．函数y ＝xx 2＋x ＋1(x>0)的值域是________．答案 (0，13]解析 由y ＝x x 2＋x ＋1(x>0)，得0<x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x ＋1≤12x ·1x＋1＝13，当且仅当x ＝1时，等号成立，因此该函数的值域是(0，13]．16．(2020·福州市质检)定义新运算“⊕”：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x ∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________． 答案 [－4，6] 解析 由题意知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x∈[－2，1]时，f(x)∈[－4，－1]； 当x∈(1，2]时，f(x)∈(－1，6]． 故当x∈[－2，2]时，f(x)∈[－4，6]．17．已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范畴． 答案 {a|a≥4＋23或a≤4－23}解析 令t ＝g(x)＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y ＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a 的取值范畴是{a|a≥4＋23或a≤4－23}． 18．设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a. (1)当a ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范畴． 答案 (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)(－∞，1] 解析(1)由题设知：|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x ＋2|和y ＝5的图像，知f(x)定义域为(－∞，－4]∪[1，＋∞)．(2)由题设知，当x∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x ＋2|－a≥0，即|x ＋1|＋|x ＋2|≥a，又由(1)，|x ＋1|＋|x ＋2|≥1，∴a ≤1.1．若函数y ＝f(x)的值域是[1，3]，则函数f(x)＝1－2f(x ＋3)的值域是( ) A ．[－5，－1] B ．[－2，0] C ．[－6，－2] D ．[1，3]答案 A解析 ∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x ＋3)≤3. ∴－6≤－2f(x ＋3)≤－2，∴－5≤f(x)≤－1.2．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋8－2x的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2] D ．[1，3]答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤2，8－2x≥0，解得0≤x≤1.故选A. 3．函数y ＝|x|（x －1）的定义域为( ) A ．{x|x ≥1} B ．{x|x ≥1或x ＝0} C ．{x|x ≥0} D ．{x|x ＝0}答案 B解析 由题意得|x|(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x|＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．(2020·江苏金陵中学模拟)已知函数f(x)＝2x x ＋2，函数g(x)＝－(x －1)2＋a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，则实数a 的取值范畴是________． 答案 [0，2] 解析 f(x)＝2x x ＋2＝2（x ＋2）－4x ＋2＝2－4x ＋2，则函数f(x)在[0，2]上为增函数，则f(0)≤f(x)≤f(2)，即0≤f(x)≤1，因此函数f(x)的值域是A ＝[0，1]．又g(x)＝－(x －1)2＋a 在[0，2]上的值域是B ＝[a －1，a]，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，则A∩B≠∅，若A∩B＝∅，则a<0或a －1>1，即a<0或a>2，因此实数a 的取值范畴是[0，2]． 5．函数y ＝1x ＋1＋11＋x－1定义域是________． 答案 (－1，0)∪(0，＋∞)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1＋x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，x ≠0，x ≠－1⇒－1<x<0或x>0.。

2021届⾼考数学总复习⼀轮复习资料⽬录专题1 集合与常⽤逻辑⽤语1§1.1 集合的概念与运算1§2 命题及其条件、充分条件与必要条件2§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词3专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ5§1 函数及其表⽰5§2 函数的单调性与最值7§3 函数的奇偶性与周期性8§4 ⼆次函数与幂函数9§5 指数与指数函数11§6 对数与对数函数12§7 函数的图像15§8 函数与⽅程17§9 实际问题的函数建模18专题3 导数及其应⽤20§1 导数的概念及运算20§2 导数的应⽤222.1 导数与函数的单调性222.2 导数与函数的极值、最值23§3 定积分与微积分基本定理26专题4 三⾓函数、解三⾓形27§1 任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数27§2 同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式29§3 三⾓函数的图像与性质31§4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应⽤32§6 简单的三⾓恒等变换35§7 正弦定理、余弦定理36§8 解三⾓形的综合运⽤37 专题5 平⾯向量39§1 平⾯向量的概念及线性运算39§2 平⾯向量基本定理及坐标表⽰41§3 平⾯向量的数量积42§4平⾯向量应⽤举例43专题6 数列44§1 数列的概念与简单表⽰法44§2 等差数列及其前n项和46§3 等⽐数列及其前n项和47§4 数列求和49专题7 不等式50§1 不等关系与不等式50§2 ⼀元⼆次不等式及其解法52§3 ⼆元⼀次不等式（组）与简单的线性规划问题53§4 基本不等式及其应⽤55专题8 ⽴体⼏何与空间向量57§1 简单⼏何体的结构、三视图和直观图57§2 空间图形的基本关系与公理59§3 平⾏关系61§4 垂直关系64§5 简单⼏何体的⾯积与体积66§6 空间向量及其运算68§7 ⽴体⼏何中的向量⽅法707.1 证明平⾏与垂直707.2 求空间⾓和距离72专题9 平⾯解析⼏何74§1 直线的⽅程74§3 圆的⽅程78§4 直线与圆、圆与圆的位置关系80§5 椭圆82§6 抛物线84§7 双曲线86§8 曲线与⽅程88§9 圆锥曲线的综合问题90专题10 计数原理99§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理99§2 排列与组合100§3 ⼆项式定理102专题11 统计与统计案例104§1 随机抽样104§2 统计图表、⽤样本估计总体106§3 变量间的相关关系、统计案例108专题12 概率、随机变量及其分布110§1 随机事件的概率110§2 古典概型113§3 ⼏何概型115§4离散型随机变量及其分布列116§5 ⼆项分布及其应⽤118§6离散型随机变量的均值与⽅差、正态分布120专题13 推理与证明、算法、复数122§1 归纳与类⽐122§2综合法与分析法、反证法124§3 数学归纳法126§4 算法与算法框图128§5 复数130专题14 系列4选讲132§1 ⼏何证明选讲1321.1 相似三⾓形的判定及有关性质1321.2 直线与圆的位置关系133§2 坐标系与参数⽅程1342.1 坐标系1342.2 参数⽅程135§3 不等式选讲1363.1 绝对值不等式1363.2 不等式的证明138专题1 集合与常⽤逻辑⽤语§1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、⽆序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，⽤符号∈或∉表⽰.(3)集合的表⽰法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.集合的运算4.集合关系与运算的常⽤用结论(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的⼦集个数为2n 个，⾮空⼦集个数为2n －1个，真⼦集有2n －1个. (2)A ⊆B A ∩B ＝A A ∪B ＝B . 典例例　设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.易易错分析　集合B 为⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易易忽视⽅方程⽆无解，即B ＝∅的情况，导致漏漏解. 解析　因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关集合⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋(或N *)ZQR关系⾃然语⾔符号语⾔Venn 图⼦集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B (或 B=A )真⼦集集合A 是集合B 的⼦集，且集合B 中⾄少有⼀个元素不在集合A 中A ⊊B集合相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为⼦集A ＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.遗忘空集致误解得a＝1；②当B≠∅且B A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满⾜足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案　(－∞，－1]∪{1}温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是⾼考的⼀个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考⽣很容易忽视A＝∅⽽造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进⾏讨论.[⽅方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是⽆无序性和互异性在解题时经常⽤用到.解题后要进⾏行行检验，要重视符号语⾔言与⽂文字语⾔言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进⾏行行合理理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的⼜又⼀一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的⼦子集，是任何⾮非空集合的真⼦子集，时刻关注对空集的讨论，防⽌止漏漏解.3.解题时注意区分两⼤大关系：⼀一是元素与集合的从属关系；⼆二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进⾏行行集合交、并、补运算的常⽤用⽅方法，其中运⽤用数轴图示法时要特别注意端点是实⼼心还是空⼼心.§2 命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与⽅法系1.等价转化思想在充要条件中的应⽤列典例例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成⽴的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成⽴立；当a≠0时，由得0<a≤4，∴q：0≤a≤4.∴p是q成⽴立的充分不不必要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|x>a}⊊{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.答案　(1)A　(2)A温馨提醒　(1)本题⽤到的等价转化①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对⼀些复杂、⽣疏的问题，利⽤等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常⽤到.[⽅方法与技巧]1.写出⼀一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的⼏几种判断⽅方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利利⽤用A B与┐B ┐A；B A与┐A ┐B；A B与┐B ┐A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，⼀一般运⽤用等价法.(3)利利⽤用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当⼀一个命题有⼤大前提⽽而要写出其他三种命题时，必须保留留⼤大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，⼀一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的⽅方向，正确理理解“p的⼀一个充分⽽而不不必要条件是q”等语⾔言.§3 简单的逻辑连接词、全称量量词与存在量量词1.全称量量词与存在量量词(1)常见的全称量词有“所有”“每⼀个”“任何”“任意⼀条”“⼀切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“⾄少有⼀个”“有⼀个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“⾮”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：p q┐p┐q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假1.常⽤逻辑⽤语及其应⽤⼀一、命题的真假判断典例例　已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成⽴，则－4<m<0，那么( )A.“┐p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析　由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成⽴立，所以命题q为假命题.综上可知：┐p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案　C温馨提醒　判断与⼀元⼆次不等式有关命题的真假，⾸先要分清是要求解⼀元⼆次不等式，还是要求⼀元⼆次不等式恒成⽴(有解、⽆解)，然后再利⽤逻辑⽤语进⾏判断.⼆二、求参数的取值范围典例例　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案　[e,4]温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要⾸先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利利⽤用逻辑推理理解决实际问题典例例　(1)甲、⼄、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市⽐⼄多，但没去过B城市；⼄说：我没去过C城市；丙说：我们三⼈去过同⼀城市.由此可判断⼄去过的城市为________.(2)对于中国⾜球参与的某次⼤型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国⾮第⼀名，也⾮第⼆名； ⼄：中国⾮第⼀名，⽽是第三名； 丙：中国⾮第三名，⽽是第⼀名.竞赛结束后发现，⼀⼈全猜对，⼀⼈猜对⼀半，⼀⼈全猜错，则中国⾜球队得了第________名.解析　(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但⽐比⼄乙去的城市多，⽽而丙说“三⼈人去过同⼀一城市”，说明甲去过A ，C 城市，⽽而⼄乙“没去过C 城市”，说明⼄乙去过城市A ，由此可知，⼄乙去过的城市为A .(2)由上可知：甲、⼄乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对⼀一半者也说了了错误“命题”，即只有⼀一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国⾜足球队得了了第⼀一名. 答案　(1)A (2)⼀温馨提醒　在⼀些逻辑问题中，当字⾯上并未出现 “或”“且”“⾮”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题⽬进⾏逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从⽽解决问题.[⽅方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字⾯面上未出现“或”、“且”时，要结合语句句的含义理理解.2.要写⼀一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律律是“改量量词，否结论”. [失误与防范]1.p 或q 为真命题，只需p 、q 有⼀一个为真即可；p 且q 为真命题，必须p 、q 同时为真.2.两种形式命题的否定p 或q 的否定：⾮非p 且⾮非q ；p 且q 的否定：⾮非p 或⾮非q . 3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定⽽而得到的命题，它既否定其条件，⼜又否定其结论；“命题的否定”即“⾮非p ”，只是否定命题p 的结论.专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ§1 函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念函数映射两集合 A 、B设A ，B 是两个⾮空数集设A ，B 是两个⾮空集合对应关系 f ：A →B 如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都存在唯⼀确定的数f (x )与之对应集合A 与B 间存在着对应关系f ，⽽且对于A 中的每⼀个元素x ，B 中总有唯⼀的⼀个元素y 与它对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A →B 是⼀个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作⾃变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表⽰法表⽰函数的常⽤⽅法有列表法、图像法和解析法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同⼦集上，因对应关系不同⽽分别⽤⼏个不同的式⼦来表⽰，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由⼏个部分组成，但它表⽰的是⼀个函数. 4.常⻅见函数定义域的求法典例例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成⽴的x 的取值范围是________. (2)(2015·⼭山东)设函数f (x )＝则满⾜f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞) 解析　(1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8].(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥，∴≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥，故选C.答案　(1)(－∞，8]　(2)C温馨提醒　(1)求分段函数的函数值，⾸先要确定⾃变量的范围，然后选定相应关系式代⼊求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求⾃变量的值或⾃变量的取值范围时，应根据每⼀段解析式分别求解，但要注意检验所求⾃变量的值或取值范围是否符合相应段的⾃变量的值或取值范围. (3)当⾃变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同⼦集进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]类型x 满⾜的条件，n ∈N ＋f (x )≥0与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋，k ∈Z2.分类讨论思想在函数中的应⽤1313x2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进⾏行行.3.函数解析式的⼏几种常⽤用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数⽆无论分成⼏几段，都是⼀一个函数，求分段函数的函数值，如果⾃自变量量的范围不不确定，要分类讨论.§2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值典例例　(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨　(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能⽤用定义.应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0⽐比较⼤大⼩小.(2)将函数不不等式中的抽象函数符号“f ”运⽤用单调性“去掉”是本题的切⼊入点.要构造出f (M )<f (N )的形式. 规范解答(1)证明　设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分]f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0 f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数.[6分](2)解　∵m ，n ∈R ，不不妨设m ＝n ＝1，增函数减函数定义在函数f (x )的定义域内的⼀个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是减少的图像描述⾃左向右看图像是上升的⾃左向右看图像是下降的前提函数y ＝f (x )的定义域为D条件(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(3)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (4)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最⼤值M 为最⼩值1.确定抽象函数单调性解函数不等式∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1 －3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]解函数不不等式问题的⼀一般步骤：第⼀一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第⼆二步：(转化)将函数不不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运⽤用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成⼀一般的不不等式或不不等式组；第四步：(求解)解不不等式或不不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易易错点及解题规范.温馨提醒　本题对函数的单调性的判断是⼀个关键点.不会运⽤条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破⼜.第⼆个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.[⽅方法与技巧]1.利⽤定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常⽤⽅法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利⽤单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常⽤求法：单调性法、图像法、换元法.[失误与防范]1.分段函数单调性不不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不不同的区间上单调性相同，⼀一般要分开写，⽤用“，”或“和”连接，不不要⽤用“∪”.§3 函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，⼀般都按照定义严格进⾏，⼀般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既⾮奇⾮偶函数.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在⼀个⾮零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最⼩正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在⼀个最⼩的正数，那么这个最⼩正数就叫做f (x )的最⼩正周期.典例例　(1)若函数f (x )＝在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝则满⾜不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________. 易易错分析　(1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了了1－x 2>0导致解答失误. 解析　(1)∵f (－x )＝＝， ∴f (－x )＋f (x ) ＝ ＝.由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )， 则 即得x ∈(－1，－1).答案　(1)±1　(2)(－1，－1)温馨提醒　(1)已知函数的奇偶性，利⽤特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应⾼度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的⼤⼩关系.③弄清最终结果取并集还是交集.[⽅方法与技巧]1.判断函数的奇偶性，⾸先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的⼀个必要条件.2.利⽤函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应⽤. [失误与防范]1.f (0)＝0既不不是f (x )是奇函数的充分条件，也不不是必要条件.应⽤用时要注意函数的定义域并进⾏行行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进⾏行行判断，不不可以利利⽤用函数在定义域某⼀一区间上不不是奇偶函数⽽而否定函数在整个定义域的奇偶性.§4 ⼆二次函数与幂函数1.⼆二次函数(1)⼆次函数解析式的三种形式 22.忽视定义域致误②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)⼆次函数的图像和性质 2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是⾃变量，α是常数. (2)幂函数的图像⽐较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 典例例　已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最⼩值.思维点拨　参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开⼝口⽅方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答解　(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开⼝口⽅方向向上，且对称轴为x ＝. ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在[0，]上递减，在[，1]上递增. 解析式f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x ∈上单调递减； 在x ∈上单调递增在x ∈上单调递增； 在x ∈上单调递减对称性函数的图像关于x ＝－对称思想与⽅法系列3.分类讨论思想在⼆次函数最值中的应⽤②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开⼝口⽅方向向下， 且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，f (x )min ＝温馨提醒　(1)本题在求⼆次函数最值时，⽤到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进⾏讨论，又对对称轴进⾏讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：⼀是分类的标准要⼀致，⼆是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不⽆原则的分类讨论.(2)在有关⼆次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]1.⼆二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜⽤用⼀一般式.(2)已知⼆二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最⼤大(⼩小)值有关的量量时，常使⽤用顶点式. (3)已知⼆二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选⽤用零点式求f (x )更更⽅方便便. 2.研究⼆二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析；(2)含参数的⼆二次函数，要进⾏行行分类讨论. 3.利利⽤用幂函数的单调性⽐比较幂值⼤大⼩小的技巧在⽐比较幂值的⼤大⼩小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进⾏行行⽐比较.[失误与防范]1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是⼆二次函数，就必须满⾜足a ≠0，当题⽬目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2.幂函数的图像⼀一定会出现在第⼀一象限内，⼀一定不不会出现在第四象限，⾄至于是否出现在第⼆二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点⼀一定是原点.§5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质 (0),,m mn na a a m n +=>∈N m na −y ＝a x a >10<a <1图像典例例　(1)函数y ＝x －x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为__________________________．思维点拨　(1)求函数值域，可利利⽤用换元法，设t ＝x ，将原函数的值域转化为关于t 的⼆二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进⾏行行探求． 解析　(1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝x ，则t ∈， 故y ＝t 2－t ＋1＝2＋.当t ＝时，y min ＝；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝u 在R 上为减函数，∴函数的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间． ⼜又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案　(1)　(2)(－∞，1]温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利⽤换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[⽅方法与技巧]1．通过指数函数图像⽐较底数⼤⼩的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进⾏⽐较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，⼀定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合⽽成． [失误与防范]1．恒成⽴立问题⼀一般与函数最值有关，要与⽅方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，⼀一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的⽅方程或不不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．§6 对数与对数函数1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)是R 上的增函数(7)是R 上的减函数4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应⽤用2211()()2x x f x −++=2211()()2x x f x −++=作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (2)对数的性质①＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝ (a ，b 均⼤于零且不等于1)； ②log a b ＝，推⼴log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝x 对称. 典例例　(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <c D.a <c <b(2)设a ＝log 2π，b ＝，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b思维点拨　(1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或⽐比商法确定a ，b 的⼤大⼩小关系，然后利利⽤用中间值⽐比较a ，c ⼤大⼩小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利利⽤用中间变量量和c ⽐比较.(3)化为同底的指数式. 解析　(1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；log m n a M log a Na a >10<a <1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数2.⽐比较指数式、对数式的⼤大⼩小12log π2log3.454log 3.653log 0.31()5。

第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①假设x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质函数 y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x 轴上方，过定点(0，1)当x 逐渐增大时，图象逐渐下降当x 逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性 减增函数值 变化 规律当x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1； 当x <0时，0<y <1； 当x >0时，0<y <1当x >0时，y >1判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)4〔π－4〕4＝π－4.( ) (2)na n与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( )(5)假设a m>a n，那么m >n .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (教材习题改编)有以下四个式子： ① 3〔－8〕3＝－8；② 〔－10〕2＝－10；③ 4〔3－π〕4＝3－π；④2 018〔a －b 〕2 018＝a －b . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A .①正确， 〔－10〕2＝|－10|＝10，②错误； 4〔3－π〕4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，2 018〔a －b 〕2 018＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ， 当a ≥b 时b －a ， 当a <b 时，应选A . (2021·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，以下函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．函数f (x )＝1－e x的值域为________． 解析：由1－e x ≥0，e x≤1， 故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}． 所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0，0≤1－e x<1， 函数f (x )的值域为[0，1)． 答案：[0，1)(教材习题改编)假设指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，那么实数a 的取值范围是________．解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)指数幂的化简与求值[学生用书P 23][典例引领]化简以下各式：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52a －16b －3÷(2a 13b －32)·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b －1＝－54b.[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．[通关练习]1．化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y解析：选D.因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y |＝－2x 2y .2．化简以下各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·〔4ab －1〕3〔0.1〕－1·〔a 3·b －3〕12.2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2〔4ab －1〕3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用[典例引领](1)函数f(x)＝a x－b的图象如下图，其中a，b为常数，那么以下结论正确的选项是( )A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)假设方程|3x－1|＝k有一解，那么k的取值范围为________．【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<af(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的根底上向左平移得到的，所以b<0.(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如下图．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】(1)D (2){0}∪[1，＋∞)1.假设本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，那么k的取值范围为________．解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如下图，数形结合可得k>0.答案：(0，＋∞)2.假设本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，那么实数k的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如下图．由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]3.假设将本例(2)变为函数y ＝|3x－1|在(－∞，k ]上单调递减，那么k 的取值范围如何？ 解：由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[通关练习]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A .将函数解析式与图象比照分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．假设直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，那么a 的取值范围是________．解析：(1)当0<a <1时，y ＝|a x－1|的图象如图①.因为y ＝2a 与y ＝|a x－1|的图象有两个交点，所以0<2a <1.所以0<a <12.(2)当a >1时，y ＝|a x－1|的图象如图②，而y ＝2a >1不可能与y ＝|a x－1|有两个交点．综上，0<a <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考察主要有以下三个命题角度： (1)比拟指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质．[典例引领]角度一 比拟指数幂的大小a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，那么以下关系式中正确的选项是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <bD ．a <b <c【解析】 把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1243，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1243<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，即b <a <c .【答案】 B 角度二 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，假设f (a )<1，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，即0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)，应选C . 【答案】 C角度三 研究指数型函数的性质函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)假设a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)假设f (x )有最大值3，求a 的值； (3)假设f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)， 单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g 〔x 〕，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g 〔x 〕，由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g 〔x 〕的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为假设a ≠0，那么g (x )为二次函数，其值域不可能为R ) 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.有关指数型函数性质的常考题型及求解策略题型求解策略比拟幂值的大小(1)能化成同底数的先化成底数幂再利用单调性比拟大小. (2)不能化成同底数的，一般引入“1〞等中间量比拟大小 解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[通关练习]1．函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞)解析：选C.设t ＝x 2＋2x －1，那么y ＝(12)t .因为0<12<1，所以y ＝(12)t为关于t 的减函数．因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2， 所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0，4]．2．(2021·河南南阳、信阳等六市模拟)a 、b ∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x<a x，那么( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：选C.因为x >0时，1<b x，所以b >1.因为x >0时，b x<a x，所以x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.所以a b>1，所以a >b . 所以1<b <a ，应选C.3．函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，那么m 的取值范围为________．解析：设t ＝3x ，那么y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mtx ∈[－2，2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]． 答案： (－∞，－18]na n与(na )n的区别(1)na n 是实数a n的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．(2)(na )n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶决定． 指数函数的图象与性质 (1)利用性质判断根据指数函数y ＝a x的图象及性质，判断所给函数的定义域、单调性、函数值(正负)等． (2)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小到大；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大到小． 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域 (1)y ＝af (x )的定义域就是f (x )的定义域．(2)求y ＝a f (x )和y ＝f (a x)的值域的解法．①形如y ＝af (x )的值域，要先令u ＝f (x )，求出u ＝f (x )的值域，再结合y ＝a u的单调性求出y ＝a f (x )的值域．假设a 的取值范围不确定，那么需要对a 进展分类讨论：当0<a <1时，y ＝a u为减函数；当a >1时，y ＝a u为增函数．②形如y ＝f (a x)的值域，要先求出u ＝a x的值域，再结合y ＝f (u )的单调性确定y ＝f (a x)的值域．与指数函数有关的复合函数的单调性 利用复合函数的单调性判断形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：(1)假设a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间． (2)假设0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间．易错防范(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(2)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元〞的范围．1．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C .原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－(－13)b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，应选C .2．(2021·高考北京卷)函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，那么f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A.因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．应选A.3．(2021·湖北四市联考)函数f (x )＝2x－2，那么函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )解析：选B.y ＝|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，应选B.4．假设2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，那么函数y ＝2x的值域是( )A ．[18，2)B ．[18，2]C ．(－∞，18]D ．[2，＋∞)解析：选B .因2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2＝24－2x，那么x 2＋1≤4－2x 即x 2＋2x －3≤0.所以－3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.5．假设函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，那么f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)． 6．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)＝________．解析：原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.答案：16157．(2021·陕西西安模拟)假设函数f (x )＝ax －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13，那么函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．解析：令x －2＝0得x ＝2，且f (2)＝1－2a ，所以函数f (x )的图象恒过定点(2，1－2a )，因此x 0＝2，a ＝13，于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2－23，f (x )在R 上单调递减，故函数f (x )在[0，3]上的最小值为f (3)＝－13.答案：－138．函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，那么a ＋b ＝________．解析：①当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－329．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )的最大值等于94，求a 的值．解：(1)令t ＝|x |－a ，那么f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t，不管a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． (2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2. 10．函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)假设f (x )为偶函数，求b 的值；(2)假设f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.1．(2021·河南濮阳检测)假设“m >a 〞是函数“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋m －13的图象不过第三象限〞的必要不充分条件，那么实数a 能取的最大整数为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1解析：选B .因为f (0)＝m ＋23，所以函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，所以“m >a 〞是“m ≥－23〞的必要不充分条件，所以a <－23，那么实数a 能取的最大整数为－1.2．(2021·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，那么( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D .设2x＝3y＝5z＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k 98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，应选D.3．假设不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，那么实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2.设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，那么原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3. 答案：(－2，3)4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，假设f (a )＝f (b )，那么b ·f (a )的取值范围是________．解析：画出函数图象如下图， 由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，那么12≤b <1.b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2 5．定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．所以t 2－2t >－2t 2＋1即3t 2－2t －1>0.解得t >1或t <－13，所以该不等式的解集为{t |t >1或t <－13}．6．函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)假设λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)假设函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．解：(1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2)．设t ＝(12)x，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)．当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716]．(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去； ②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去．综上所述，实数λ的值为 2.。