上海市七宝中学2015届高三年级上学期期中数学试卷

上海市七宝中学2015届高三年级上学期期中数学试卷
2014,11
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.已知集合12,A m y N m N m ⎧⎫
==
∈∈⎨⎬⎩
⎭
，用列举法表示集合A ，____________A =. 2．函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3
π
单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 . 3．函数3log (
arccos(2))3
y x π
=--的定义域为_____ _____.
4．已知集合}C ,R ,02i {∈∈=+⋅-⋅=z b z b z bi z A ，C},1{∈==z z z B ，若A B =∅，则b 的取值
范围是 ．
5.已知集合{
}
{}
2
31,,21,A y y a x x a R x R x y x x R ==++∈∈==+∈，B ，若，B A ⊆，则
a 的取值范围 . 6.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()121y f x -=-+的图像一定过点 .
7.如图C B A ,,是球面上三点，且OC OB OA ,,两两垂直，若P 是球O 的大
圆所在弧BC 的中点，则直线AP 与OB 所成角的大小为 ． 8．无穷数列1
sin 3
2n
n π⎧⎫⎨
⎬⎩⎭前n 项和的极限为 . 9.如图，在ABC ∆中，90A ∠=，3AB =，D 在斜边BC 上，且
2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 .
10.解方程332
log log ,__________x
a
x x
x a
== 11．(理)直线l 的参数方程是12,
(R,23x t t y t =-+⎧∈⎨
=-⎩
t 是参数)，试写出直线l 的一个方向向量
是 ．(答案不唯一)
(文) 已知实数y x 、满足线性约束条件,-10,0.x y x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
则目标函数21z x y =--的最大值是 ．
12.（理）函数x x x f cos )(2
-=，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈2,2ππx ，
则满足(2)()3f x f π>的x 的取值范围是 .
（文）若)(x f 是定义在(4,4)-上的奇函数，且在(40] -，上为减函数，则不等式
(2)(4)f x f x -++≤0的解集为 .
13．（理）已知三个实数,,a b c 成等比数列，且满足2a b c ++=，则b 的取值范围是 . （文）在等差数列{}n a 中，123936a a a a +++
+=，则222
258
+a a a +的最小值为 _____. 14.（理）（理）当a 和b 取遍所有实数时，2
2
(,)(25cos )(2sin )f a b a b a b =+-+-的最小值为 ．
（文）若y =
y 的最小值为 .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.10x -≠“”是 (1)(2)0x x --≠“”
的……………………………………………（ ）． ....A B C D 充分非必要条件 必要非充分条件 充分必要条件 既不充分也非必要条件16.12
x x 、是方程22(2)(35)0x a x a a --+++=（a 为实数）的二实根，则2211x x +的最大值为………………………………………………………………………………（ ）．
.20.19.18.A B C D 不存在
17．函数)(x f 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数)(x f 的图像都不能与函数x y 2
1log =的图像
重合，则函数)(x f 可以是…………………………………（ ）．
A ．x y )2
1
(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y
18. （理）对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：
①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图像关于点A （1，0）对称； ②若函数)1(-x f 的图像关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ③若对R x ∈，有)(),()1(x f x f x f 则-=-的周期为2； ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图像关于直线0=x 对称.
其中正确结论有……………………………………………………………………（ ）．
.1.2.3.4A B C D 个个个个
（文）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若786S S S >>，则下列结论：
①70a =，②80a <，③130S >，④140S <，其中正确的结论有……………（ ）．
.1.2.3.4A B C D 个个个个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出
必要的步骤.
19.(本题满分10分） 已知函数2
()21
x
f x a =-
+，a R ∈． 判断函数(x)f 的奇偶性，并说明理由；
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的
1
4
倍，固定成本为a 元． （1）将全程运输成本y （元）表示为速度(/)v km h 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶．
21. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =且2
1
11++=--n n n a s s ，数列{}n b 满足130b =-。

(1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n n a b -是公比为
1
2
的等比数列，求{}n b 前n 项和n T 的最小值；
22.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+⋅=x f x f x g ，其中α是常数. （1）设x x x f sin cos )(+=，2
π
α=
，求)(x g 的解析式；
（2）设计一个函数)(x f 及一个α的值，使得()2cos (cos )g x x x x =；
（3）c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，2=a ，若()2cos (cos )g x x x x = ，
且2
A
x =
时()g x 取得最大值，求当()g x 取得最大值时c b +的取值范围.
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 已知函数
11()||||f x x x x x
=+
--. (1)作出函数()f x 的图像，并求当0x >时()x
a f x >恒成立的a 取值范围； (2)关于x 的方程2()3()6(5)0kf x kf x k -+-=有解，求实数k 的取值范围； (3)关于x 的方程2()()0f x m f x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求m 的取值范围.
参考答案及评分标准 2014.11
1．{}1,2,3,4,6,12； 2．
56
π 3．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 4．(1,0)
(0,1)-
5．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
； 6． ()1,3
7.
3
π； 8．310
9． 6； 10． 23
a a 或
11．（理）()2,3- 答案不唯一 （文）1 12．（理） ,,4664ππππ⎡⎫⎛⎤
-
-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
（文）[)1,0-
13. （理）2
[2,0)
(0,]3
- （文）48
14．（理）8 （文）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15. B 16．C 17. D 18.(理)C （文）B
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出
必要的步骤 .
19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分. 解：（1）()y f x =的定义域R 关于原点中心对称 ……………………………1分 若()y f x =为奇函数，则(0)0f = 1a ∴=， ………………………………3分 此时，2
()121
x f x =-
+ 2222
()111()211221
x x x x f x f x -⋅∴-=-=-=-+=-+++满足…………………5分
又2(1)3f a =-
，4(1)3
f a -=-，(1)(1)f f ∴-≠ ……………………………6分 1a ∴=当时，(x)f 是奇函数；1a ∴≠当时，(x)f 是非奇非偶函数；………8分
（2）任取12,x x R ∈，且12x x <，则12()()f x f x -……………………………10分
12222121x x a a =--+-- 121
21
2222(22)2121(21)(21)
x x x x x x -=-+=++++………12分
12x x <12022x x ∴<<， 12()()0f x f x ∴-<………………………13分
所以函数()f x 在R 上单调递增 ．………………………………………………14分 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）(]2100014()250()0,804a
y v a v v v v =
+=+∈ ………………………6分
（2）(]2100014()250()0,804a
y v a v v v v
=+=+∈，y 在(
0，上递减，在 )
⎡∞⎣上递增，（单调性结论1分，需给出证明2分） ………………………9分
2100014()250()4a
y v a v v v
=
+=+≥v =10分
∴当80≤时，即min a v ≤==1600时，……………………12分
当min 2580200002
a
a v >==+
1600时，,y ………………………………………14分
21. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =且2
1
11++=--n n n a s s ，数列{}n b 满足130b =-。

(1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n n a b -是公比为
1
2
的等比数列，求{}n b 前n 项和n T 的最小值； 解：（1）21
11++=--n n n a s s ，112n n a a -=+，……………………………………（2分）
所以{}n a 为等差数列 1
2
n n a += ……………………………………（6分）
（2）111111
(301)(),31()2222
n n n n n n b b --++-=--=-，…………………………（8分）
因为n b n 随的增大而增大，…………………………（10分）
450,0,<>b b 所以，min 41234409
()8
n T T b b b b ==+++=-…………（14分 22.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1） x x x f sin cos )(+=，2
π
α=
∴x x x f sin cos )(-=+α；
∴x x g 2cos )(=……………………………………………………………4分
（2） ()2cos (cos )4cos cos()3
g x x x x x x π
=+=-，
若()2cos f x x =，则()()2cos()33
f x f x x π
π
α+=-
=-……………………8分
(2)33
k π
π
ααπ⇒∴=-
=-取中一个都可以， ()2cos f x x =……………10分
（3）()2cos (cos )2sin(2)16
g x x x x x π
=+=+
+
因为且2
A x =时取得最大值，max ()()32A
g g x ∴==…………………12分
且Z k k A ∈+
=+
,2
26
π
ππ
……………………………………………13分
因为A 为三角形内角，所以π<<A 0，所以3
π
=
A ．……………………14分
由正弦定理得B b sin 334=
，C c sin 3
3
4=，C B c b sin 334sin 334+=+ )3
2sin(334sin 334B B -+=
π
)6sin(4π+=B ………………………………16分
)32,
0(π∈B ，]1,2
1
()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+c b 所以c b +的取值范围为]4,2(………………………………………………………18分
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
解：（1）解：()[)
(]()2
,121,0()20,121,x x x x f x x x x x
⎧-∈-∞-⎪⎪
-∈-⎪=⎨∈⎪⎪⎪∈+∞⎩ ………………………………2分
（作图如下：）
…………………………4分
已知当0x >时()x
a f x >，即max ()2x a f x >=2a ⇒>…………………………6分 （2）2()3()6(5)0kf x kf x k -+-=，令()f x t =，则(]0,2t ∈…………………7分 即方程(]2
(36)300,2k t t t -+=∈在上有解…………………………………………8分
当(]0,2t ∈时，
2360t t -+≠
(]223030
5,8315
36()24
k t t t ∴=
=∈-+-+……………………………………………12分 （3）关于
x
的方程
2()()0f x m f x n ++
=（,m n R
∈）恰有6个不同的实数解即
2()()0f x mf x n ++=有6个不同的解，…………………………………………13分
数形结合可知必有1()2f x =和2()f x t =，(]0,2t ∈ ………………………………14分
令()u f x =，则关于u 的方程2
()0g u u mu n =++=有一根为2，另一根在()0,2间
…………………………………………………………………………………………15分
()224000(4,2)(0,2)240
m n g m m
m n ++=⎧⎪
>⎪⎪
⇒∈--⎨∈⎪⎪->⎪⎩-…………………………………………………18分。