上海市七宝中学2015届高三年级上学期期中数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 在平面直角坐标系中，经过原点和点(1,3)-的直线的倾斜角α= ；2. 设(1,2)a =r ，(1,1)b =r，c a kb =+r r r ，若b c ⊥r r ，则实数k 的值等于 ；3. 直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则实数m = ；4. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的余子式的值为10，则实数k = ；5. 直线l 的一个方向向量(1,2)d =u r，则l 与直线20x y -+=的夹角为 ；（结果用反三角函数值表示） 6. 增广矩阵3110m n -⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解为12x y =⎧⎨=⎩，则m n += ； 7. 过三点(1,3)A 、(4,2)B 、(1,7)C -的圆交y 轴于,M N 两点，则||MN = ；8. 规定矩阵3A A A A =⋅⋅，若31110101x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值为 ；9. 手表的表面在一平面上，整点1,2,...,12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周 上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +u u u u r ，则1223233412112...t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅=u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r；10. 设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，则实数m 的取值范围是 ；11. 平面向量,,a b e r r r 满足||1e =r ，1a e ⋅=r r ，2b e ⋅=r r ，||2a b -=r r ，则a b ⋅r r 的最小值为 ； 12. 在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，2AB BC ==，过动点P 作半 圆的切线PQ ，若2PC PQ =，则PAC ∆的面积的最大值为 ； 13.在△ABC 中，的内部（不含边界），在△向量ABC M ,41m +=则实数m 的取值范围 ；14.给定平面内4个点O,A,B,C 满足OA=4，OB=3，OC=2，,3=•则△ABC 面积的最大值 ；二. 选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. 关于,x y的二元一次方程组1323mx ymx my m+=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D=是该方程组有解的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程(,)0f x y=的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A. 曲线C是方程(,)0f x y=的曲线B. 方程(,)0f x y=的每一组解对应的点都在曲线C上C. 不满足方程(,)0f x y=的点(,)x y不在曲线C上D. 方程(,)0f x y=是曲线C的方程15. 若对任意的实数x，都有cos sin1a xb x-=，则（）A.22111a b+≥ B.22111a b+≤ C. 221a b+≥ D. 221a b+≤16. ABC∆中，5AB=，7AC=，ABC∆的外接圆圆心为O，对于AO BC⋅u u u r u u u r的值，下列选项正确的是（）A. 12B. 10C. 8D. 不是定值三. 解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17. 已知点(1,2)A、(5,1)B-，且,A B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；18. 已知||2a=r||1b=r，ar与br的夹角为45︒，求使向量(2)a bλ-r r与(3)a bλ-r r的夹角是锐角的实数λ的取值范围；19. 已知,x y满足条件：7523071104100x yx yx y--≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩求：（1）43x y-的最小值；（2）15x yx-++的取值范围；20. 在平面直角坐标系中，设点111(,)P x y 、222(,)P x y ，称12121(,)max{||,|d P P x x y =-2|}y -（其中max{,}a b 表示a 、b 中的较大数）为1P 、2P 两点的“切比雪夫距离”；（1）若(3,1)P 、Q 为直线21y x =-上的动点，求,P Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值； （2）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =(0)r >，请求出P 点所在的曲线所围成图形的面积；6、关于y x ,的二元线性方程组⎩⎨⎧=-=+2352y nx my x 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则=n m_________． 7、对任意的实数m ，圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过定点，则定点坐标为_________．8、行列式156434472--xx 中，第3行第2列的元素的代数余子式记作)(x f ，则函数)(1x f y +=的零点是_________．9、已知定点)5,0(-A ，P 是圆()()23222=++-y x 上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为_________．10、已知P 是ABC ∆内的一点，且满足350PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，记ABP ∆、BCP ∆、ACP∆的面积依次为1S ，2S ，3S ，则321::S S S 等于_________．11、若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是_________．12、已知1,1,1≥≥>y x a ，且有()()444422log log log log y a x a y x a a +=+，则()xy a log 的取值范围是_________．13、已知直线方程为01321531=-y x，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．)3,2(-B ．)7,4(C ．)5,3(D ．)4,21( 14、直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ） A ．0732=++y x B ．0223=+-y x C ．0832=++y x D ．01223=--y x15、设O 是ABC ∆所在平面上的一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC∆的形状一定为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对 16、若方程0sin 1tan 2=-+θθx x 有两个不等实根a 和b ，则过点),(2a a A 与),(2b b B 的直线与圆122=+y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随θ值变化17、利用行列式解关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧+=--=+3231m my mx y mx ．18、设两个向量,a b r r 满足2a =r ，1b =r，,a b r r 的夹角为︒60，若向量27ta b +r r 与向量a tb+r r 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．19、已知直线l 过点)3,1(，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： （1）直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； （2）直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程．20、已知)2,0(A 是定圆C ：1622=+y x 内的一个定点，D 是圆上的动点，P 是线段AD 的中点，求：（1）P 点所在的曲线方程E ； （2）过点A 且斜率为43-的直线与曲线E 交于N M ,两点，求线段MN 的长度．21、平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，)0(>r r 为半径的定圆1C ，与过原点且斜率为)0(≠k k 的动直线交于Q P ,两点，在x 轴正半轴上有一个定点)0,(m R ，R Q P ,,三点构成三角形，求：（1）PQR ∆的面积1S 的表达式，并求出1S 的取值范围；（2）PQR ∆的外接圆2C 的面积2S 的表达式，并求出2S 的取值范围． 6、53-7、)1,1(和)57,51( 8、1-=x 9、)2,3(- 10、3:1:5 11、]3,221[- 12、]424,232[++ 13、B 14、C 15、A 16、B17、当0=m 时，原方程组无解当3-=m 时，原方程组有无数解，此时⎩⎨⎧-==13t y tx （其中R t ∈）当0≠m 且3-≠m 时，原方程组有唯一解，此时⎪⎩⎪⎨⎧-==21y m x18、)21,214()214,7(----Y 19、（1）最小值是6，直线l 的方程为063==+y x ；（2）最小值是324+，直线l 的方程为)033(3=+-+y x ． 20、（1）()4122=-+y x ；（2）5214 21、（1）2211kk mrS +=（0≠k ），),0(1mr S ∈（2）222214kk m S +⋅=π（0≠k ），),4(22+∞∈πm S21. 定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆220:1C x y +=，求过(2,0)P 的直线关于圆0C 的距离比3λ=（2）若圆C 与y 轴相切于点(0,3)A ，且直线y x =关于圆C 的距离比2λ=C 的方程；（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆21:(1)C x ++21y =与222:(3)(3)4C x y -+-=的距离比始终相等？若存在，求出相应的P 点坐标；若不存在，请说明理由；。

上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）．把答案直接填写在答题卷的相应位置上．1．（4分）已知集合A={0，1，a}，B={0，3，3a}，若A∩B={0，3}，则A∪B=．2．（4分）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=．3．（4分）在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则此数列前n项和为．4．（4分）已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为．5．（4分）如图程序框图，若实数a的值为5，则输出k的值为．6．（4分）在极坐标系中，圆ρ=2与直线ρcosθ+ρsinθ=2交于A，B两点，O为极点，则•=．7．（4分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为．8．（4分）若二项式（x+）n的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数与第六项的系数之比为1：4，则其常数项为．9．（4分）某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提2014-2015学年高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提2014-2015学年高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是．10．（4分）从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右最小平移个长度单位．12．（4分）过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为．13．（4分）某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．则该校学生上学所需时间的均值估计为．（精确到1分钟）14．（4分）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为，对于A⊊U，B⊊U，给出下列四个结论：①对∀x∈U，有；②对∀x∈U，若A⊊B，则f A（x）≤f B（x）；③对∀x∈U，有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对∀x∈U，有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．其中，正确结论的序号是．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上．15．（5分）已知函数f（x）=2x+1，对于任意正数a，|x1﹣x2|＜a是|f（x1）﹣f（x2）|＜a成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（）A．B．（﹣2，﹣1）C．D．（1，2）17．（5分）如果函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．[﹣1，1）C．{﹣1，0} D． [﹣1，0）∪（1，+∞）18．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则下列结论正确的是（）A．S2012=2012，a2012＜a7B．S2012=2012，a2012＞a7C．S2012=﹣2012，a2012＜a7D．S2012=﹣2012，a2012＞a7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．20．（13分）已知向量=（x2﹣3，1），=（x，﹣y），（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有⊥，当|x|≥2时，∥．（1）求函数关系式y=f（x）；（2）若对任意x∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），都有m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．21．（13分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（18分）已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，求证：x1•x2为定值；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中o为坐标原点）的面积分别为s1与s2，且≤15，求s12﹣s22的取值范围．23．（18分）实数列a0，a1，a2，a3，…，由下述等式定义：a n+1=2n﹣3a n，n=0，1，2，3，…（1）若a0为常数，求a1，a2，a3的值；（2）令b n=，求数列{b n}（n∈N）的通项公式（用a0、n来表示）；（3）是否存在实数a0，使得数列{a n}（n∈N）是单调递增数列？若存在，求出a0的值；若不存在，说明理由．上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）．把答案直接填写在答题卷的相应位置上．1．（4分）已知集合A={0，1，a}，B={0，3，3a}，若A∩B={0，3}，则A∪B={0，1，3，9}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A∩B={0，3}，∴a=3，则B={0，3，9}，则A∪B={0，1，3，9}，故答案为：{0，1，3，9}，点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部吧等于0求得a的值．解答：解：∵=，又复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则，即a=．故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则此数列前n项和为S n=16（1﹣）．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比中项的性质和已知等式求得a4，进而求得q，最后利用等比数列求和公式求得答案．解答：解：=a3•a5=a4，∴a4=1，q3==，q=，∴S n==16（1﹣），故答案为：S n=16（1﹣）．点评：本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式．基础性很强．4．（4分）已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=0，故抽象不等式可转化为具体不等式，故可求．解答：解：由题意，不等式等价于∴等价于或∵偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=0，∴或∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．点评：本题考查解不等式，考查单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是解题的关键．5．（4分）如图程序框图，若实数a的值为5，则输出k的值为5．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=1，k=5时，满足条件n=1，退出循环，输出k的值为5．解答：解：执行程序框图，有n=5，k=0不满足条件n为偶数，n=16，k=1不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=8，k=2不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=4，k=3不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=2，k=4不满足条件n=1，满足条件n为偶数，n=1，k=5满足条件n=1，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．（4分）在极坐标系中，圆ρ=2与直线ρcosθ+ρsinθ=2交于A，B两点，O为极点，则•=0．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化极坐标方程为直角坐标方程，联立方程组求得A，B的坐标，由数量积的坐标运算得答案．解答：解：由圆ρ=2，得x2+y2=4，由直线ρcosθ+ρsinθ=2，得x+y=2．联立，得或．∴•=（2，0）•（0，2）=2×0+0×2=0．故答案为：0．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程化直角坐标方程，考查了方程组的解法，训练了平面向量数量积的坐标运算，是基础题．7．（4分）如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为（2+）π．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：分别计算圆锥和圆柱的体积，即可得出结论．解答：解：由题意，圆锥的高为，体积为=π，圆柱的体积为π•12•2=2π，∴该组合体的体积为（2+）π．故答案为：（2+）π．点评：本题考查圆锥和圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）若二项式（x+）n的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数与第六项的系数之比为1：4，则其常数项为1120．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得n，写出二项展开式的通项，求出第四项的系数与第六项的系数，由系数比求得a值，再由x的指数为0求得r值，则常数项可求．解答：解：由二项式（x+）n的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，可得二项展开式有9项，则n=8．由=，当r=3时，可得第四项的系数为，当r=5时，可得第六项的系数为，由，解得a=±2．由8﹣2r=0，得r=4．∴常数项为：．故答案为：1120．点评：本题考查二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与应用，是基础题．9．（4分）某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提2014-2015学年高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提2014-2015学年高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是9档次．考点：函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：档次提高时，带来每件利润的提高，产量下降，第k档次时，每件利润为[8+2（k﹣1）]，产量为[60﹣3（k﹣1）]，根据：利润=每件利润×产量，列函数式，利用配方法求函数的最值，即可得到结论．解答：解：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y=[8+2（k﹣1）][60﹣3（k﹣1）]=﹣6k2+108k+378（1≤x≤10）配方可得y=﹣6（k﹣9）2+864，∴k=9时，获得利润最大故答案为：9档次点评：本题考查二次函数，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题．10．（4分）从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为．考点：计数原理的应用．专题：概率与统计；排列组合．分析：先根据排列组合求出没有限制条件的种数，再根据分类计数原理，求出甲不在排头、乙不在排尾的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：从甲、乙等五人中任选三人排成一排，故有A53=60，甲不在排头、乙不在排尾，可以分4类，有甲有乙时，若甲在排尾，则有A21A31=6种，若甲在中间，则有A31=3种，故有6+3=9种，有甲无乙时，有A21A32=12种，无甲有乙时，有A21A32=12种，无甲无乙时，有A33=6种，根据分类计数原理，共有9+12+12+6=39，根据概率公式，故则甲不在排头、乙不在排尾的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查了古典概型的概率问题，以及分类计数原理，关键是如何分类，属于中档题．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右最小平移个长度单位．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先根据函数的图象确定A、ω、φ的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果．解答：解：根据函数的图象：A=1T=所以：ω=2当x=由于|φ|＜）解得：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右最小平移个单位即可．故答案为：点评：本题考查的知识要点：函数图象解析式的求法，函数图象的平移变换，属于基础题型．12．（4分）过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为0或±．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据直线的方程可知直线恒过（2，0）点，进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程，求得k的值．解答：解：依题意可知直线l恒过（2，0）点，即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=±x，要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，即垂直于x轴，即有k=0；当直线与渐近线平行，即有=±，即k=±，此时直线与双曲线仅有一个交点．故答案为：0或±．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．13．（4分）某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．则该校学生上学所需时间的均值估计为33.6．（精确到1分钟）考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值解答：解：解：由直方图可得（x+0.025+0.0065+0.003×2）×20=1．所以x=0.0125．该校学生上学所需时间的均值估计为：10×20×0.0125+30×20×0.025+50×20×0.0065+70×20×0.003+90×20×0.003=33.6分钟．故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分故答案：33.6．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力14．（4分）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为，对于A⊊U，B⊊U，给出下列四个结论：①对∀x∈U，有；②对∀x∈U，若A⊊B，则f A（x）≤f B（x）；③对∀x∈U，有f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）；④对∀x∈U，有f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）．其中，正确结论的序号是①、②、③．考点：全称命题．专题：函数的性质及应用．分析：利用特殊值法，先设出特殊的集合U，A，B，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．解答：解：利用特殊值法进行求解．设U={1，2，3}，A={1}，B={1，2}．那么：对于①有f A（1）=1，f A（2）=0，f A（3）=0，f（1）=0，f（2）=1，f（3）=1．可知①正确；对于②有f A（1）=1=f B（1），f A（2）=0＜f B（2）=1，f A（3）=f B（3）=0可知②正确；对于③有f A（1）=1，f A（2）=0，f A（3）=0，f B（1）=1，f B（2）=1，f B（3）=0，f A∩B（1）=1，f A∩B（2）=0，f A∩B（3）=0．可知③正确；对于④有f A（1）=1，f A（2）=0，f A（3）=0，f B（1）=1，f B（2）=1，f B（3）=0，f A∪B（1）=1，f A∪B（2）=1，f A∪B（3）=0可知．④不正确；故答案为：①、②、③．点评：本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上．15．（5分）已知函数f（x）=2x+1，对于任意正数a，|x1﹣x2|＜a是|f（x1）﹣f（x2）|＜a成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题．分析：由|x1﹣x2|＜a不能推出|f（x1）﹣f（x2）|＜a；而由|f（x1）﹣f（x2）|＜a，能推出|x1﹣x2|＜a，由简易逻辑的知识可得正确答案．解答：解：由|x1﹣x2|＜a，得|f（x1）﹣f（x2）|=|（2x1+1）﹣（2x2+1）|=2|x1﹣x2|＜2a，不能推出|f（x1）﹣f（x2）|＜a；而由|f（x1）﹣f（x2）|＜a得，2|x1﹣x2|＜a，即|x1﹣x2|，当然能推出|x1﹣x2|＜a故|x1﹣x2|＜a是|f（x1）﹣f（x2）|＜a成立的必要非充分条件，故选B点评：本题考查充要条件，关键是看|x1﹣x2|＜a能否推出|f（x1）﹣f（x2）|＜a；|f（x1）﹣f（x2）|＜a能否推出|x1﹣x2|＜a，属基础题．16．（5分）函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间是（）A．B．（﹣2，﹣1）C．D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：要判断函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数f（x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，分析四个区间，易得答案．解答：解：∵f（﹣2）=3﹣2﹣log22＜0f（﹣1）=3﹣1﹣log21=﹣0=＞0∴f（﹣2）•f（﹣1）＜0∴函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）在区间（﹣2，﹣1）必有零点故选B．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，牢固掌握零点存在定理，即函数f （x）在区间（a，b）上若f（a）•（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点，是解答本题的关键．17．（5分）如果函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．[﹣1，1）C．{﹣1，0} D． [﹣1，0）∪（1，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用绝对值的几何意义，由y=|x|﹣1可得，x≥0时，y=x﹣1；x＜0时，y=﹣x﹣1，确定函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线必相交于（±1，0），为了使函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y=x﹣1代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形．解答：解：由y=|x|﹣1可得，x≥0时，y=x﹣1；x＜0时，y=﹣x﹣1，∴函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线必相交于（±1，0）所以为了使函数y=|x|﹣1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=x﹣1代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1=0当λ=﹣1时，x=1满足题意，由于△＞0，1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；y=﹣x﹣1代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+λ）x2+2λx+λ﹣1=0当λ=﹣1时，x=﹣1满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）故选B．点评：本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则下列结论正确的是（）A．S2012=2012，a2012＜a7B．S2012=2012，a2012＞a7C．S2012=﹣2012，a2012＜a7D．S2012=﹣2012，a2012＞a7考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先确定等差数列的公差d＜0，再将条件相加，结合等差数列的求和公式及等差数列的性质，即可求得结论．解答：解：由，，可得a7﹣1＞0，﹣1＜a2006﹣1＜0，即a7＞1，0＜a2006＜1，从而可得等差数列的公差d＜0 ∴a2012＜a7，把已知的两式相加可得（a7﹣1）3+2012（a7﹣1）+（a2006﹣1）3+2012（a2006﹣1）=0整理可得（a7+a2006﹣2）•[（a7﹣1）2+（a2006﹣1）2﹣（a7﹣1）（a2006﹣1）+2012]=0结合上面的判断可知（a7﹣1）2+（a2006﹣1）2﹣（a7﹣1）（a2006﹣1）+2012＞0所以a7+a2006=2，而s2012=（a1+a2012）=（a7+a2006）=2012故选A．点评：本题考查了等差数列的性质的运用，灵活利用等差数列的性质是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知向量=（x2﹣3，1），=（x，﹣y），（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有⊥，当|x|≥2时，∥．（1）求函数关系式y=f（x）；（2）若对任意x∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），都有m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；平面向量数量积的运算．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据向量垂直和向量平行的坐标公式即可求函数关系式y=f（x）；（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最大值即可得到结论．解答：解：（1）当|x|＜2时，由⊥可得：•=（x2﹣3）x﹣y=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1’∴y=x3﹣3x（|x|＜2且x≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3’当|x|≥2时，由∥可得：y=﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’∴f（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6’（2）由题意知m≥f（x）=，当x∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）恒成立，∴m≥f（x）max，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）=＞0，而当当x∈[2，+∞）时，f（x）＜0∴f（x）=的最大值必在（﹣∞，﹣2]上取到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8’当x1＜x2≤﹣2时，f（x1）﹣f（x2）=＜0，即函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’∴f（x）max=f（﹣2）=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’∴实数m的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13’点评：本题主要考查函数解析式的求解以及向量平行和垂直的坐标公式，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决恒成立问题的基本策略．21．（13分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E﹣xyz﹣﹣﹣﹣﹣1’则B（，0，0），C（0，2，0），P（0，﹣1，）﹣﹣﹣﹣2’于是=（﹣，﹣1，），=（﹣，2，0），∵•=（﹣，﹣1，）•（﹣，2，0）=2﹣2=0，∴⊥，即BP⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’∴△PBC为直角三角形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6’（2）由（1）可得，A（0，﹣2，0）于是=（0，1，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’=（，1，﹣），=（0，3，﹣），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13’点评：本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．22．（18分）已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，求证：x1•x2为定值；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中o为坐标原点）的面积分别为s1与s2，且≤15，求s12﹣s22的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆性质求出A（﹣1，0），B（1，0）．由题意知双曲线的焦距2c=，实半轴a=1，由此能求出双曲线C的方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，由此能证明为x1•x2为定值．（Ⅲ）由已知条件推导出，，从而得到1＜x1≤2，由此能求出的取值范围为[0，1]．解答：（Ⅰ）解：∵椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B，∴A（﹣1，0），B（1，0）．∵曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2的双曲线，∴双曲线的焦距2c=，实半轴a=1，∴．∴双曲线C的方程为．（Ⅱ）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（x1＞0，x2＞0），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或，所以．同理将直线方程代入，解得．∴为定值．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，又，∴，即，∵点P在双曲线上，则，∴，即，又点P是双曲线在第一象限内的点，∴1＜x1≤2，∵，所以.由（Ⅱ）知x1•x2=1，即，，设，则1＜t≤4，∴，∵在（1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴当t=4，即x1=2时，．当t=2，即.∴的取值范围为[0，1]．点评：本题考查曲线方程的求法，考查两数乘积为定值的证明，考查两三角形面积的平方差的取值范围的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．23．（18分）实数列a0，a1，a2，a3，…，由下述等式定义：a n+1=2n﹣3a n，n=0，1，2，3，…（1）若a0为常数，求a1，a2，a3的值；（2）令b n=，求数列{b n}（n∈N）的通项公式（用a0、n来表示）；（3）是否存在实数a0，使得数列{a n}（n∈N）是单调递增数列？若存在，求出a0的值；若不存在，说明理由．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=2n﹣3a n，分别令n=0，1，2即可得出；（2）由b n=，a n+1=2n﹣3a n，可得b n+1﹣b n==，利用“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；（3）a n=+，可得a n+1﹣a n=﹣4（﹣3）n+，要使{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0对任意n∈N*恒成立，对a0分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵a n+1=2n﹣3a n，∴a1=1﹣3a0，a2=2﹣3a1=﹣1+9a0，a3=7﹣27a0．（2）由b n=，a n+1=2n﹣3a n，∴b n+1﹣b n==，∴b n+（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=++…+++b1=b1=b1﹣×=b1+，∴b n=﹣+=a0﹣+．（3）a n=（﹣3）n =+，∴a n+1﹣a n=﹣4（﹣3）n +，要使{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0对任意n∈N*恒成立，当a0＞时，∵|﹣3|＞2，∴当n→+∞且n为偶数时，a n+1﹣a n＜0；当a0＞时，∵|﹣3|＞2，∴当n→+∞且n为奇数时，a n+1﹣a n＜0；而当时，则a n+1﹣a n =＞0对任意n∈N*恒成立，∴存在实数a0=，使得数列{a n}是单调递增数列．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的前n项和公式、数列的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．- 21 -。

上海市金山中学2015届高三上学期期中考试数学试题1．计算：=-+∞→453lim 22n nn n 。

2．函数x x y cos 2sin +=的最大值为 。

3．函数|)|1ln()(x x f -=的定义域为 。

4．方程012cos2=+x的解集是 。

5．设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是 。

6. 设全集R U =，集合}161|{<+=x x A ，则=A C U 。

7．设53sin ,223-=<<θπθπ，则=2cos θ。

8．设)(x f 是R 上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.5f 。

9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元。

若每批生产x 件，则平均仓储时间为4x天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为 。

10．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,5ππ上是增函数，则ω的取值范围为 。

11．定义：},max{y x 表示y x 、两个数中的最大值，},min{y x 表示y x 、两个数中的最小值。

给出下列4个命题：①⇔≥a x x },max{21a x ≥1且a x ≥2；②⇔≤a x x },max{21a x ≤1且a x ≤2；③设函数)(x f 和)(x g 的公共定义域为D ，若D x ∈，)()(x g x f ≥恒成立，则max min )]([)]([x g x f ≥；④若函数|}||,min{|)(t x x x f +=的图像关于直线21-=x 对称，则t 的值为1。

其中真命题是 。

（写出所有真命题的序号）12. 设函数⎩⎨⎧<≤≤=0,,0sin 2)(2x x x x x f π，，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 。

上海市金山中学2015届高三上学期期中考试数学试题1．计算：=-+∞→453lim 22n nn n 。

2．函数x x y cos 2sin +=的最大值为 。

3．函数|)|1ln()(x x f -=的定义域为 。

4．方程012cos2=+x的解集是 。

5．设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是 。

6. 设全集R U =，集合}161|{<+=x x A ，则=A C U 。

7．设53sin ,223-=<<θπθπ，则=2cos θ。

8．设)(x f 是R 上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.5f 。

9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元。

若每批生产x 件，则平均仓储时间为4x天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为 。

10．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,5ππ上是增函数，则ω的取值范围为 。

11．定义：},max{y x 表示y x 、两个数中的最大值，},min{y x 表示y x 、两个数中的最小值。

给出下列4个命题：①⇔≥a x x },max{21a x ≥1且a x ≥2；②⇔≤a x x },max{21a x ≤1且a x ≤2；③设函数)(x f 和)(x g 的公共定义域为D ，若D x ∈，)()(x g x f ≥恒成立，则max min )]([)]([x g x f ≥；④若函数|}||,min{|)(t x x x f +=的图像关于直线21-=x 对称，则t 的值为1。

其中真命题是 。

（写出所有真命题的序号）12. 设函数⎩⎨⎧<≤≤=0,,0sin 2)(2x x x x x f π，，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 。

上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、填空题1．函数tan 2y x =的最小正周期为．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.3．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是______________________ .4．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．5．已知(1,0),(5,5)a b ==r r ，则向量b r 在向量a r 方向上的投影向量的坐标为． 6．一圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的体积是．7．在ABC V 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∠=．（结果用反三角函数值表示） 8．若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =.9．对于正数a 、b ，称2a b +是a 、b 的算术平均值，a 、b 的几何平均值.设1x >，1y >，若ln x 、ln y 的算术平均值是1，则x e 、y e 的几何平均值（e 是自然对数的底）的最小值是.10．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x (1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围是 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为．12．已知()()()1111R 2a b a b c m m d n n m n ===⋅==--∈r r r r r r ，，，，，，，存在a b r r ，，对于任意的实数,m n ，不等式a c b d T -+-≥r r r u r ，则实数T 的取值范围为．二、单选题13．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（ ）A ．22a b -->B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >14．已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（ ）A ．()1P AB =IB ．()()()P A B P A P B ⋂=C ．()()1P A P B =-D ．()1P A B =U15．设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A ，且与棱1,,AB AD AA 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．416．已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，n ∈N ，1n ≥.若集合{}|,,1n S x x b n n ==∈≥N 中只含有4个元素，则t 的可能取值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点， 2AC =，1BD =，2OP =．(1)求异面直线AP 与BM 所成角；(2)求平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角18．某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为1a ，2a ，3a ，…(1)写出1a ，2a ，3a ，并证明数列{}3n a -是等比数列；(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？19．某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为25，高一年级胜高三年级的概率为13，且每轮对抗赛的成绩互不影响. (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X 的分布列与数学期望.20．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=的右焦点为()1,0，且经过点()0,1A ，设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆Г交于两个不同点P ，Q ，(1)求椭圆Г的方程；(2)若直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，且2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点；(3)若AP AQ ⊥，求APQ △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．。

2024—2025学年上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 函数的定义域为 __________ ．(★★) 2. 计算 ______ ．(★★) 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数 ______ ．(★) 4. 在的展开式中，的系数为 ______ （用数字作答）．(★) 5. 在复平面内，复数对应的点位于第 ______ 象限.(★★) 6. 已知，则 ______ ．(★) 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ______ ．(★★★) 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为 ______ （从中选择作答）．(★★★) 9. 已知函数．在中，，且，则 ______ ．(★★★) 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ______ ．(★★★) 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ______ ．(★★★★) 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ______ ．二、单选题(★★★) 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．(★★) 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A．不存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都不垂直C．存在，使得与重合D．对任意的，与都有公共点(★★★★) 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A．B．C．D．(★★★★) 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题三、解答题(★★★) 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．(1)求证：；(2)若异面直线与所成角为，求的值．(★★★) 18. 已知点、、，是坐标原点.（1）若，求的值；（2）若实数、满足，，求的最大值.(★★★) 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）(★★★★) 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．(1)求该椭圆的离心率；(2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值；(3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．(★★★) 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.。

七宝中学高一上学期期中数学试卷一. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）1. 若集合{(,)|5}A x y x y =+=，集合{(,)|1}B x y x y =-=，用列举法表示A B =I ；2. 设全集U R =，若集合1{|1}A x x=≥，则U C A = ； 3. 设集合{1,2,3}A =，{4,5}B =，{|,,}M x x a b a A b B ==+∈∈，则M 的非空真子集的个数为 ；4. 命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的否命题是 命题；（填入“真”或“假”）5. 已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{0,1,3,5,8}A =，集合{2,4,5,6,8}B =，则()()U U C A C B =I ；6. 已知集合2{|2,}M y y x x R ==-∈，{|1,}N x y x x R ==+∈，则M N =I；7. 函数0||y x x=-的定义域为 ； 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()1f x x x =++，则()f x 的解析式是()f x = ；9. 已知函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+()x R ∈，写出0y >的充要条件 ；10. 已知正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值为 ；11. 定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域，若2a b +-的a b +邻域为 区间(2,2)-，则22a b +的最小值是 ； 12. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，用数组2222123100[],[],[],...,[]100100100100组成集合A 的元 素的个数是 ；二. 选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. 若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 7a >B. 1a >C. 1a ≥D. 17a <<14. 判断函数221()11x f x x x +=+++ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数15. 设,a b R +∈2ab a b >+；②||a a b b >--；③22243a b ab b +>-； ④22ab ab+>恒成立的序号为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③16. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩， 若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A. 4B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，满分10+10+10+12+14=56分）17. 已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{|()(5)0}B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围；18.（1）试用比较法证明柯西不等式：22222()()()a b x y ax by ++≥+，,,,a b x y R ∈；（2）已知222x y +=，且||||x y ≠，求22199x y+的最小值；19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为20.2488000y x x =-+，已知此生产线的年产量最大为210吨；（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20. 已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+；（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围；21. 已知集合22{|,,}A x x m n m n Z ==-∈；（1）判断8、9、10是否属于集合A ；（2）已知集合{|21,}B x x k k Z ==+∈，证明：“x A ∈”的充分非必要条件是“x B ∈”；（3）写出所有满足集合A 的偶数；。

一、选择题1．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（ ）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20212．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S4．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．166．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．88．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40379．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．612．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形13．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 14．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<15．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1abc<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题16．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=____________． 17．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．18．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．20．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．21．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.22．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 23．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．24．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .25．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．27．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 28．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若5a =2b =．求ABC 的面积．29．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 30．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．C 9．B 10．D 11．B 12．A 13．D 14．A 15．D二、填空题16．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利17．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取18．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两19．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足20．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题21．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题22．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题23．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sin24．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行25．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.4．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值； 选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．6．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。