苏科版九年级数学下册第五章二次函数单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
2.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）
A. 有最小值0，有最大值3
B. 有最小值-1，有最大值0
C. 有最小值-1，有最大值3
D. 有最小值-1，无有最大值
3.将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1
B. y=﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2﹣1
D. y=﹣2（x﹣1）2+3
4.若y=(m2+3m+2)x m2+m为二次函数，则m的值为（）
A.-2或1
B.-2
C.-1
D.1
5.将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（）
A. y=2x2+2
B. y=2（x+2）2
C. y=2（x﹣2）2
D. y=2x2﹣2
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（）
A. a＞0，b＜0，c＞0
B. 当﹣1＜x＜2时，y＞0
C. b2﹣4ac＜0
D. 当x＜1
时，y随x的增大而减小
2
7.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）
A. y=25
4x2 B. y=-25
4
x2 C. y=-4
25
x2 D. y=4
25
x2
8.下列函数：①y=-x；②y=2x；③y=-1
x
；④y=x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
9.在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）
A. ①②③
B. ①③⑤
C. ①③④
D. ①④⑤
10.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题（共10题；共28分）
11.将二次函数y=3（x+2）2-4的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数关系式为________．
12.将抛物线y=−x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为________．
13.一个圆柱的高为27，底面半径为x，则圆柱的体积y与x的函数关系式为________．
14.如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，
AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y= 3
2x2﹣3
2
，则图中CD的长为________．
15.如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2－4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为________．
16.抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则该函数的最小值是________
17.y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=________．
18.如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为________ ．
19.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，你所确定的b的值是________．
20.如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；②当x= 1
2
时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG
面积的最大值是113
4
；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确结论是________．（填序号）
21.已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
22.（1）把二次函数y=2x2－8x+6代成y=a x+ℎ2+k的形式.
（2）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和最值，并说明该抛物线是由哪一条形如y=a x2的抛物线经过怎样的变换得到的？
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标。
23.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
24.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.
（1）点A的坐标为点B的坐标为，点C的坐标为；
（2）设抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标为M，求四边形ABMC的面积.
25.如图是一座古拱桥的截面图．在水平面上取点为原点,以水平面为x轴建立直角坐标系,桥洞上沿形状恰
x−52+5的图像．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米高的景观灯．请求出这两盏好是抛物线y=−4
25
景观灯间的水平距离．
26.如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．
27.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连结PQ。
若设运动时间为t（s）（0<t<2)，解答下列问题：
（1）当t为何值时？PQ//BC？
（2）设△APQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系？
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由．
（4）如图2，连结PC，并把△PQC沿AC翻折，得到四边形PQP'C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】y=3（x-1）2-3
12.【答案】y=−x2+6x−11
13.【答案】27πx2
14.【答案】5
2
15.【答案】x2+4x+5
16.【答案】1
17.【答案】-3.3
x2+12（0＜x＜24）
18.【答案】y=−1
2
19.【答案】1
20.【答案】①④
三、解答题
21.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，3)，
∴3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，
解得x1=3，x2=−1.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
22.【答案】（1）解：y=2x2-8x+6
=2（x2-4x）+6
=2（x2-4x+4）+6-8
=2x−22-2
（2）解：由解析式可知：当x=2时，y=-2
∴顶点坐标是（2，-2）
对称轴是直线：x=2
该抛物线是由形如y=2x2先向右移动两个单位，再向下平移两个单位得到的．
（3）解：当x=0时，y=6
当y=0时，2x−22-2=0，∴x-2=±1，∴x=3或者x=1
∴该抛物线和坐标轴的交点坐标是：（0，6）、（3，0）、（1，0）．
23.【答案】解：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部. 所以：这种手机平均每天的销售利润为：16×（2800-2500）=4800（元）；
（2）根据题意,得y=(2900-2500-x)(8+4×x
50
),
即y=−2
25
x2+24x+3200；
（3）对于y=−2
25
x2+24x+3200,
当x=−
24
2× −2
=150时,
y最大值=（2900-2500-150）（8+4×150
50
）=5000（元）
2900-150=2750（元）
所以,每台手机降价2750元时,商场每天销售这种手机的利润最大,最大利润是5000元．24.【答案】解：(1)由y=0得x2-2x-3=0．
解得x1=-1，x2=3．
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）．
由x=0，得y=-3
∴点C的坐标（0，-3）
（2）如图：作出抛物线的对称轴，交x轴于点D，
由y=x2-2x-3=（x-1）2-4得
点M的坐标（1，-4）
四边形ABMC的面积=△AOC的面积+梯形OCMD的面积+△BDM的面积.
=1 2×1×3+1
2
×3+4×1+1
2
×2×4
=9.
25.【答案】解：由已知得两景观灯的纵坐标都是4,
∴4=−4
25
x−52
∴4
25
（x﹣5）2=1
∴x1=7.5,x2=2.5,
∴两景观灯间的距离为7.5﹣2.5=5米．
26.【答案】解：（1）因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0)，故设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-9）.
又∵B(0,-12) ∴-12=a（0+3）（0-9），解得a=4
9
.
∴抛物线的解析式为y=4
9（x+3）（x-9）=4
9
x2-8
3
x-12.
（2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15.
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP＝2t，AQ＝15－t. 又∵AC=12，∴0≤t≤6.
∵△APQ∽△AOB，∴AP
AO =AQ
AB
，即2t
9
=15−t
15
，解得t=45
13
.
∴当t=45
13
时，△APQ∽△AOB.
（3）易求直线AB的函数关系式为y=4
3
x−12．
设点M的横坐标为x，则M（x，4
3x−12），N（x，4
9
x2-8
3
x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12
∴（4
3x−12）-（4
9
x2-8
3
x-12）=12，即x2－9x＋27＝0.
∵△＜0，∴此方程无实数根.
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．②∵S四边形CBNA=S△ACB+S△ABN=72+ S△ABN
∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝1
2
×9·y N＝－2x2＋12x＋54
∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝−2 x−9
22
+81
2
.
∴当x＝9
2时，S△ABN最大值＝81
2
，此时M（9
2
，－6）
S四边形CBNA最大=225
2
．
27.【答案】解：(1) 连接PQ，
若AP
AB =AQ
AC
时，PQ//BC，即5−t
5
=2t
4
，
∴ t=10
7
(2) 过P作PD⊥AC于点D，则有AP
AB =PD BC
，
即5−t
5=PD 3
，
∴ PD=3
5
（5-t）
∴y=1
2·2t·3
5
（5-t）=-3
5
t2+4t（0<t<2)
(3) 若平分周长则有：
AP+AQ=1
2
(AB+AC+BC),
即：5－t+2t=6，
∴ t=1
当t=1时，y=3.4；而三角形ABC的面积为6，显然不存在．
过P作PD⊥AC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQP'C就为菱形．
同(2)方法可求AD=4
5
（5-t），所以：
4 5（5-t）-2t=4-4
5
（5-t）；
解之得：t=10
．
9
时，四边形PQP'C为菱形．
即t=10
9
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