专题3：解一元二次方程(6-25)

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

【必刷题】2024八年级数学上册一元二次方程解法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知方程x^2 5x + 6 = 0，下列哪个选项是它的一个解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 52. 方程2x^2 4x + 1 = 0的解为：A. x = 1B. x = 1/2C. x = 1/2D. x = 13. 下列哪个方程是一元二次方程？A. x^2 + 3x 2 = 0B. 2x + 5 = 0C. 3x^3 2x^2 + x 1 = 0D. x^2 + y^2 = 14. 一元二次方程x^2 3x + 1 = 0的解为：A. x = 1，x = 2B. x = 1，x = 1C. x = 2，x = 2D. x = 3，x = 35. 方程x^2 4x + 4 = 0的解是：A. x = 2B. x = 2C. x = 0D. x = 2（重根）6. 已知方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0，若a为正数，则方程的解为：A. x = a，x = 1B. x = a，x = aC. x = a+1，x = a1D. x = 2a，x = 2a7. 方程x^2 5x + 6 = 0的解中，较大的是：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若方程x^2 (2k+1)x + k^2 = 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是：A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k = 09. 方程x^2 2x 3 = 0的解为：A. x = 3，x = 1B. x = 3，x = 1C. x = 3，x = 1D. x = 3，x = 110. 方程x^2 6x + 9 = 0的解是：A. x = 3B. x = 3C. x = 0D. x = 3（重根）二、判断题：1. 一元二次方程的解一定是两个实数根。

2. 方程x^2 2x + 1 = 0的解为x = 1。

专题08一元二次方程（4大考点）（原卷版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02一元二次方程根的判别式--------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03根与系数的关系---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4四、考点04一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------5考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12cx x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m 如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%a ，当a 为何值时，2025年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．。

专题03 方程的运算及应用问题专项训练【基础过关|直击中考】1．（2021·浙江温州市·中考真题）解方程()221x x -+=，以下去括号正确的是（ ） A ．41x x -+=-B ．42x x -+=-C ．41x x --=D ．42x x --=2．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（ ） A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，3．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程21133x x x-+=--的解为（ ） A ．2x =B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-4．（2021·天津中考真题）方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．22x y =⎧⎨=-⎩D ．33x y =⎧⎨=-⎩5．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或406．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义12a b a b⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（ ） A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =7．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ） A ．20a 元B ．()2024a +元C ．()17 3.6a +元D ．()20 3.6a +元8．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个9．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（ ）A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x +=C ．10021003 1.5x x+=D ．10010021.53x x =+10．（2021·江苏苏州市·中考真题）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架．根据题意可列出的方程组是（ ）A ．()()111,3122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩B ．()()111.3122x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．()()111,2123x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩D ．()()111,2123x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩11．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =-- B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x 元（ ）A ．4030201.5x x -= B ．4030201.5x x -= C ．3040201.5x x -= D ．3040201.5x x-= 13．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为（ ）A ．510330x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．531030x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．305103x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D ．305310x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 14．（2021·云南中考真题）若一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a ≤且0a ≠D ．1a <且0a ≠15．（2021·北京中考真题）方程213x x=+的解为______________． 16．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知13x y =⎧⎨=⎩是方程2ax y +=的解，则a 的值为______________．17．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．18．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于x 的方程21322x m x x x+-+=--的解是正数，则m 的取值范围为_____________．19．（2021·重庆中考真题）若关于x 的方程442xa -+=的解是2x =，则a 的值为__________． 20．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．21．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．22．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组271x y x y +=⎧⎨=-⎩的解也是关于x 、y 的方程4ax y +=的一个解，求a 的值．23．（2021·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．（1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x ，且k 与12x x 都为整数，求k 所有可能的值．24．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：214111x x x +-=--．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）解方程组：26x yx y =⎧⎨-=⎩．26．（2021·山东泰安市·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？27．（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？1．（2021·安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b ac =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．4()a b b c -=-D ．5()a c a b -=-2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x +=3．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x =B ．2x =-C ．34x =D ．2x =4．（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x （0x >），则（ ） A ．()60.5125x -= B ．()25160.5x -= C ．()60.5125x +=D ．()25160.5x +=5．（2021·四川广安市·中考真题）关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．14a ≤且2a ≠- B ．14a ≤ C ．14a <且2a ≠- D ．14a < 6．（2021·湖北十堰市·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（ ）A ．400450150x x -=- B ．450400150x x -=- C ．400450501x x -=+ D ．45040051x x-=+ 7．（2021·四川南充市·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x 元，则可列方程为（ ） A ．105(1)70x x +-= B ．105(1)70x x ++= C ．10(1)570x x -+=D ．10(1)570x x ++=8．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．59．（2021·重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．1510．（2021·四川成都市·中考真题）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（ ）A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．2502503x y x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D ．2502503x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 11．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．14k>-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠ 12．（2021·四川广安市·中考真题）若x 、y 满足2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩，则代数式224x y -的值为______．13．（2021·上海中考真题）若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________． 14．（2021·江苏宿迁市·中考真题）方程22142xx x -=--的解是_____________． 15．（2021·江苏扬州市·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．16．（2021·江西中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1212x x x x +-=______．17．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 18．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元． （1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．19．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A ，B 两种型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比B 型机平均每小时多运送20件，A 型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？20．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？。

1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。

专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。

一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略目录【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【考点五直接开平方法解一元二次方程】【考点六配方法解一元二次方程】【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【过关检测】【考点一一元二次方程的识别】【例题１】(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)下列方程是一元二次方程的是()A.x2+1x2=1 B.ax2+bx+c=0(a，b，c均为常数)C.x3x+2=5 D.2x+12=4x2-3【变式1-1】(2023秋·江苏镇江·九年级统考期末)下列方程中，一定是一元二次方程的是()A.x2-2x +2=0 B.x2+2x+3=x x+1C.2x+3y=6D.a2+2x2-2x+3=0【变式1-2】(2023春·浙江·八年级专题练习)下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x-1=0；③x2+1x =0；④x2-2x3+3=0；⑤2x2-1=2x+12中，是一元二次方程的个数为()A.1B.2C.3D.4典型例题【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题１】(2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末)已知x m +x=1是关于x的一元二次方程，则m的值是()A.2B.2或-2C.0D.-2【变式2-1】(2023春·湖南株洲·九年级校联考阶段练习)若关于x的方程m-1x m +1-3x+4=0是一元二次方程，则m应满足的条件是()A.m=-1B.m=1C.m=±1D.m=2+7x-1=0是一元二次方程，则【变式2-2】(2023·上海·八年级假期作业)若关于x的方程(a-2)x4-aa的值为．【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【例题１】(2023春·八年级单元测试)方程3x1-x化成一般形式后，二次项系数、一次+10=2x+2项系数、常数项分别为()A.-3x2，1，6B.3x2，1，6C.3，1，6D.3，-1，-6【变式3-1】(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程3x2-x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.3，-x，5B.3，-1，-4C.3，-1，4D.3x2，-1，4【变式3-2】(2023春·安徽滁州·八年级校联考期中)方程2x2=8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是()A.2x2,8x,2B.-2x2,-8x,-2C.2x2,-8x,-2D.2x2,-8x,2【变式3-3】(2023·江苏·九年级假期作业)将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x2=5x-2；(2)a x+1=2-x．x-1【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【例题１】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，则a的值为．【变式4-1】(2023·湖南长沙·校考二模)若x=1是一元二次方程2x2-x+m=0的一个根，则m的值是．【变式4-2】(2023·甘肃平凉·统考二模)若m是方程2x2-3x+1=0的一个根，则6m2-9m+2023的值为．【变式4-3】(2023·全国·九年级假期作业)若m是一元二次方程x2-x-3=0的根，则m3+m2-5m的值为【考点五直接开平方法解一元二次方程】【例题１】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x的方程：5x2-125=0．【变式5-1】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x的方程：9x2-625=0．【变式5-2】(2023·江苏·九年级假期作业)解下列一元二次方程：(2x+1)2+42x+1+4=0；【变式5-3】(2023·上海·八年级假期作业)解下列方程：(1)x+22=3x-12；(2)9(2x+1)2-16(x-2)2=0；(3)4x2-4x+1=0；(4)12x=-x2-36．【考点六配方法解一元二次方程】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)用配方法解关于x的方程：x2+12x+25=0．【变式6-1】(2023秋·广东汕头·九年级统考期末)用配方法解方程：x2+6x-6=0．【变式6-2】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：-2x2-5x+20=0．【变式6-3】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：0.3x2-0.2x+130=0．【变式6-4】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：y2-43y-2013=0．【变式6-5】(2023春·浙江·八年级专题练习)解下列方程3x2+4x-1=0．(用配方法)【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2-2x-4=0的过程：解：移项得x2-2x=4配方：x2-2x+1=4x-12=4开平方得：x-1=±2移项：x=±2+1所以：x1=3，x2=3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【变式7-2】(2023秋·河北沧州·九年级统考期末)阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下：解：x2+6x-4=0x2+6x=4--------------------------------①x2+6x+9=4-----------------------------②(x+3)2=4-------------------------------③x+3=±2--------------------------------④x+3=2，x+3=-2x1=1，x2=-5．问题：(1)佳佳解方程的方法是；A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法(2)上述解答过程中，从步开始出现了错误(填序号)，发生错误的原因是；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【变式7-3】(2023秋·山西朔州·九年级统考期末)下面是某同学解方程x2+4x-12=0的部分运算过程：解：移项，得x2+4x-12=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步配方，得x2+4x+4=12+4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步即x+22=16，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步两边开平方，得x+2=4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步⋯(1)该同学的解答从第步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．【变式7-4】(2023春·八年级单元测试)用配方法解一元二次方程：2x 2+3x +1=0．小明同学的解题过程如下：解：x 2+32x +12=0x 2+32x +94-94+12=0x +322=74x +32=±72x 1=-3+72，x 2=-3-72小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．【过关检测】一、选择题1.(2023春·浙江·八年级专题练习)方程x +1 2=9的解为()A.x =2，x =-4B.x =-2，x =4C.x =4，x =2D.x =-2，x =-42.(2023·江苏·九年级假期作业)下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为()A.ax 2+bx +c =0B.x 2-2=(x +3)2C.x 2+3x-5=0 D.x 2-1=03.(2023春·四川成都·九年级统考开学考试)把一元二次方程x 2-9=8x 化成一般形式后，一次项系数的一半为()A.8B.4C.-8D.-44.(2023春·四川绵阳·九年级专题练习)关于x的一元二次方程为(m-2)x m -x+3=0，则m的值是()A.2B.-2C.2或-2D.m≠25.(2023·广东佛山·校联考一模)已知a是方程x2-2x+2023=0的根，则代数式2a2-4a+2的值为()A.4044B.-4044C.2024D.-2024二、填空题6.(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程x-1的一般形式是．x+2=2x+27.(2023·全国·九年级专题练习)一元二次方程x2-8x-2=0，配方后可变形为．8.(2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末)一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于．9.(2023春·八年级单元测试)关于x的方程m-1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值为x m+1．10.(2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习)已知a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，则-2a2+8a+2025的值是．11.(2023·全国·九年级假期作业)判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2+x+1；②9x2-6x=0；③12y2=0；④5x2-12x+4=0；⑤x2+xy-3y2=0；⑥3y2=2；⑦(x+1)(x-1)=x2．12.(2023春·浙江·八年级专题练习)填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x2-x=42y-4y2=0(2x)2=(x+1)213.(2023春·浙江·八年级专题练习)用直接开平方法解下列方程：(1)49x2-36=0；(2)9x+12=25．14.(2023春·全国·八年级专题练习)解方程：(1)x2-5=0(2)x2+2x-5=015.(2023秋·湖南长沙·九年级校联考期末)解方程．(1)1x2-2=0；2(2)x2+2x-1=0．16.(2023春·全国·八年级专题练习)用适当的方法解下列方程：(1)6x-12=25；(2)x2-2x=2x-1：17.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)解方程：(1)x2+5x+7=11+3x(2)4x2+12x+9=8118.(2023春·浙江·八年级专题练习)在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：解：方程4x2-12x-1=0可化成2x2-6×2x-1=0，移项，得2x2-6×2x=1．配方，得2x2-6×2x+9=1+9，即2x-32=10．由此可得2x-3=±10∴x1=3+102，x2=3-102．晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？·11·。

一元二次方程分类训练专题一、直接开平方法1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．2．解方程：（x﹣2）2＝18．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝05．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．二、配方法9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．三、公式法17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．20．解方程：．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．四、因式分解法25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．五、换元法35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．参考答案与试题解析一．解答题（共38小题）1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣6．2．解方程：（x﹣2）2＝18．【答案】．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容5．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．【答案】a≤﹣1时，方程没有实数解；a＞﹣1时，x1＝﹣，x2＝．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝5，x2＝﹣7．（3）x1＝，x2＝．9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】，．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．【答案】x1＝，x2＝2．20．解方程：．【答案】，．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．【答案】x1＝，．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．【答案】x1＝1，x2＝﹣3．25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x1＝5，x2＝7．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣；（2）x1＝3，x2＝．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）【答案】x1＝，x2＝﹣2．32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；（2）x1＝﹣，x2＝4．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．【答案】（1）x1＝2.5，x2＝2；（2）x1＝4，x2＝﹣．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【答案】x1＝，x2＝．35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【答案】见试题解答内容36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x ＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x ＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【答案】，．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x ＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．【答案】（1）x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．（2）4．第11页（共11页）。

专题02 解一元二次方程（四大类型）【题型1 解一元二次方程-直接开平方】【题型2 解一元二次方程-配方法】【题型3 解一元二次方程-公式法】【题型4 解一元二次方程-因式分解法】【题型1 解一元二次方程-直接开平方】1．（2022春•顺义区期末）方程2x2﹣8＝0的根是（ ）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【答案】C【解答】解：2x2﹣8＝0则x2＝4，解得：x1＝2，x2＝﹣2．故选：C．2．（2022秋•丰台区期末）一元二次方程x2﹣4＝0的实数根为 ．【答案】x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣4＝0，x2＝4，解得x1＝2，x2＝﹣2．故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．3.（2023春•抚顺月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣9；（2）x1＝，x2＝﹣．x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．4.（2022秋•清新区期中）解方程：（x﹣5）2﹣36＝0．【解答】解：∵（x﹣5）2﹣36＝0，∴（x﹣5）2＝36，∴x﹣5＝±6，∴x1＝11，x2＝﹣1．5.（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25．【答案】x1＝﹣11，x2＝9．【解答】解：，∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．6.（2022秋•嘉定区月考）解方程：．【解答】解：，（2x﹣2）2＝48，2x﹣2＝±4，x＝1±2，7．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．（2）x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣3＝5，∴x2＝8，∴x＝，∴x1＝2，x2＝﹣2．8．（2022春•莱州市期末）解方程：9（x+1）2﹣25＝0．【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：9（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝，x+1＝，x＝﹣1，∴x1＝﹣，x2＝．9．（2022•建华区二模）解方程：（x﹣2）2+＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2＝﹣，（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，所以x1＝，x2＝．10．（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：（1）9x2＝25；（2）6（x+2）2＝48．【答案】（1）或；（2）或．【解答】解：（1）∵9x2＝25，∴，解得：或．（2）∵6（x+2）2＝48，∴（x+2）2＝8，∴，解得：或．11．（2022秋•嘉定区校级月考）解方程：3（x﹣1）2+1＝16．【答案】x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：3（x﹣1）2+1＝16，3（x﹣1）2＝15，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±解得：x1＝1+，x2＝1﹣．12．（2022秋•南海区期中）用适当方法解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0．【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【解答】解：2（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2．13．（2021秋•连平县校级期末）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．【解答】解：16（2﹣x）2﹣9＝0移项得：16（2﹣x）2＝9，去系数得：，直接开平方得：，即或，解得：，．14．（2022秋•东台市月考）解方程：4x2﹣121＝0【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：4x2﹣121＝0，x2＝，x＝±，所以x1＝﹣，x2＝．15．（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【答案】x1＝8，x2＝．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2＝．16．（2021秋•浦东新区校级月考）解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．【答案】x＝﹣11或x＝﹣．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，解得：x＝﹣11或x＝﹣．【题型2 解一元二次方程-配方法】17.（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6．故选：B．18.（2022秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故选：D．19.（2022秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（ ）A．﹣3，3B．﹣3，15C．3，3D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故选：A．20．（2022秋•海口期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9＝0，配方后所得的方程是（ ）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝25【答案】D【解答】解：x2+8x﹣9＝0，∴x2+8x+16＝9+16，∴（x+4）2＝25．故选：D21.（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．22.（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣23．用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：x2+2x﹣2＝0，原方程化为：x2+2x＝2，配方，得x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，开方，得x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．24．用配方法解方程：x2+10＝8x﹣1．【答案】，．【解答】解：∵x2+10＝8x﹣1，∴x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x+16﹣16+11＝0，∴（x﹣4）2＝5，∴x﹣4＝，∴，．25．用配方法解方程：．【答案】x1＝3+，x2＝﹣3+．【解答】解：∵，∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9，∴x﹣＝3或x﹣＝﹣3，∴x1＝3+，x2＝﹣3+．26．用配方法解方程：．【答案】．【解答】解：，移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：．27．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x1＝+4，x2＝﹣+4．【解答】解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．28．（2022秋•南关区校级期末）解方程：x2﹣4x+3＝2．【答案】x1＝2﹣，x2＝2+．【解答】解：x2﹣4x+3＝2，方程整理得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2﹣，x2＝2+．29．（2022秋•陈仓区期中）用配方法解方程：2x2+6x＝3．【答案】，．【解答】解：2x2+6x＝3，二次项系数化为1得，2（x2+3x）＝3，配方得：，即：，∴，∴，．30．（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．31．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣14x＝8（配方法）．【答案】x1＝7+，x2＝7﹣．【解答】解：x2﹣14x＝8，x2﹣14x+72＝8+72，（x﹣7）2＝57，x﹣7＝±，x1＝7+，x2＝7﹣．32．（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．【题型3 解一元二次方程-公式法】33．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（ ）A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2【答案】C【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，故选：C．34．（2022秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，c的值是（ ）A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4B．a＝5，b＝﹣4，c＝1C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1D．a＝5，b＝4，c＝1【答案】C【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，∴5x2﹣4x﹣1＝0，则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，故选：C．35．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是从第　一　步开始出错．【答案】一．【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．故答案为：一．36．用公式法解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【答案】x1＝+2，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0，这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝16＞0，∴x＝＝＝±2，∴x1＝+2，x2＝﹣2．37．用公式法解方程：2x2+4＝7x．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：2x2+4＝7x整理为2x2﹣7x+4＝0，这里：a＝2，b＝﹣7，c＝4，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝49﹣32＝17＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．38．用公式法解方程：2x2+4x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝【解答】解：这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．39．用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．【答案】．【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴，∴．40．用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1【答案】x1＝﹣，x2＝1．【解答】解：这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣，x2＝1．41．用公式法解方程：x2﹣x﹣6＝0．【答案】1＝3，x2＝﹣2．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，∴，即x1＝3，x2＝﹣2．42．（2022秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．43．（2022秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【答案】，．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化简为x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．44.用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1【答案】（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）6x（x+1）＝5x﹣1，整理得6x2+x+1＝0，∵a＝6，b＝1，c＝1，∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，方程没有实数解．45.（2022秋•潮安区期中）解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）．【解答】解：2x2﹣7x+3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝3，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，∴x＝＝，∴x1＝3，x2＝．46.（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．【答案】x1＝1，x2＝﹣．【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝1，x2＝﹣．47.用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10【答案】，；【解答】解：（1）x2+4x+8＝2x+10，整理，得x2+2x﹣2＝0，∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴，∴，；48．（2022秋•成县期中）公式法解方程：2x2﹣x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣．【解答】解：∵Δ＝（﹣）2+24＝3+24＝27＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝＝﹣．49．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）．【答案】x1＝9，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣7x﹣18＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121＞0，∴x＝，＝，∴x1＝9，x2＝﹣2．50．（2022秋•前郭县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝1+28＝29＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．【题型4 解一元二次方程-因式分解法】51．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1【答案】B【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故选：B．52．（2022秋•文山市期末）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（ ）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【答案】C【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故选：C．53．（2023•泸县一模）方程x2＝3x的解为（ ）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【答案】D【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．54．（2023•武清区校级模拟）解一元二次方程x2﹣2x﹣15＝0，结果正确的是（ ）A．x1＝﹣5，x2＝3B．x1＝5，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝﹣3D．x1＝5，x2＝﹣3【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0x﹣5＝0，x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3，故选：D．55．（2023春•靖西市期中）解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（ ）A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法【答案】D【解答】解：（此题用分解因式法最适当）移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴x1＝，x2＝．故选：D．56．（2023春•萧山区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x+1＝0；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．【答案】（1）x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）x1＝，x2＝4．【解答】解：（1）x2﹣6x+1＝0，x2﹣6x＝﹣1，x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，∴x1＝，x2＝4．57.用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0，∴（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，∴x1＝8；x2＝﹣7；（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），移项，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝2；x2＝．58．（2023春•海曙区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2＝5．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．59．（2023•九龙坡区校级自主招生）解方程．（1）3x（x+1）＝2（x+1）；（2）2x2﹣3x﹣5＝0．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝；（2）x1＝﹣1，x2＝．【解答】解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，则（x+1）（3x﹣2）＝0，∴x+1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝；（2）∵2x2﹣3x﹣5＝0，∴（x+1）（2x﹣5）＝0，∴x+1＝0或2x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝．60．（2023春•海曙区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2＝5．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．61．（2022秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．【答案】（1），；（2）x1＝﹣3，x2＝﹣4．【解答】解：（1）由原方程得：x2﹣4x＝4，得x2﹣4x+4＝4+4，得（x﹣2）2＝8，得，解得，，所以，原方程的解为，；（2）由原方程得：x（x+4）+3（x+4）＝0，得（x+4）（x+3）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣4，所以，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4．62．（2022秋•盘龙区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝2，x2＝．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝7，（x﹣2）2＝7，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝．63．（2022秋•兴平市期末）解方程：（x﹣4）2＝2（x﹣4）．【答案】x1＝4，x2＝6．【解答】解：（x﹣4）2＝2（x﹣4），（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，（x﹣4）（x﹣6）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣6＝0，∴x1＝4，x2＝6．。

2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1 B.1 C. -1 D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C.D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。

3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。

一元二次方程（知识归纳+题型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．3、了解--元二次方程的根与系数的关系．4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．(2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x +m ）2=n (n ≥0)的方程，可直接开平方求解.(2)因式分解法：可化为（ax +m ）(bx +n )=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式为x b 2-4ac ≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac ->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac -=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac -<0时，原方程没有实数根．4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b ＝a (1±x )n ，a 表示基数，x 表示平均增长率（降低率），n 表示变化的次数，b 表示变化n 次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.题型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有一个根是x m =，则方程20x bx a ++=有一个根是（）A ．x m =B ．x m=-C ．1x m=D ．1x m=-巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程()223790m x x m -++-=的一个根为0，则m 的值为（）A ．3B ．0C ．3-D ．3-或32．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若m 是一元二次方程220x x --=的一个根，则代数式222m m -的值为（）A ．0B ．2C ．2-D ．43．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知m 是一元二次方程2520x x --=的一个根，则代数式220235m m -+的值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20234．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，若0a b c ++=，则此方程必有一个根为（）A ．0B ．1C ．-1D ．±15．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠有一根为2023x =，则一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为（）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若2250x x --=的一个解为a ，则()()231a a a a -+-的值为（）A ．5B ．4CD ．5-7．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若1x =-是方程230x mx --=的一个根，则m 的值为．8．（2023·全国·九年级专题练习）（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为．9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）关于x 的一元二次方程22(1)2230k x x k k -+--+=的一个根为0，则k =．10．（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值2211121x x x x x ⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 的值是方程2230x x --=的根．题型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程2223x x -=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．2223x x -=．解：二次项系数化为1，得2312x x -=，第一步移项，得2312x x -=，第二步配方，得239124x x -+=，第三步变形，得2312x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，第四步开方，得312x -=±，第五步解得112x =，252x =，第六步(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．【例3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程2230x x --=的过程如下：解：∵2a =，1b =-，3c =-①∴()()2241423b ac =-=--⨯⨯-∆②124230=-=-<③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【例4】（2023·全国·九年级专题练习）按要求解方程(1)21(2603y -=（直接开平方法）；(2)231220x x --=（配方法）；260x --=（公式法）(4)21(2)12x x -=-（因式分解法）(5)2(35)5(35)60x x ---+=（换元法）【例5】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式2224m mn n +++的最小值．解：()()2222224244m mn n m mn n m n +++=+++=++，∵()20m n +≥，∴()244m n ++≥∴多项式2224m mn n +++的最小值是4(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；(2)求多项式2224230x xy y -+-+的最大值．巩固训练1．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）解方程243x x -=，下列用配方法进行变形正确的是（）A ．2(2)19x -=B ．2(4)7x -=C ．2(2)4x -=D ．2(2)7x -=2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程282x x -=-时，在方程两边应同时加上（）A ．4B ．8C ．16D ．643．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程2410x x +-=，配方后得到的方程（）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(4)3x +=D ．2(4)3x -=4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2290x x --=配方后可变形为（）A ．()2110x -=B ．()2110x +=C ．()218x -=-D ．()218x +=-5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．96．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程22410x x ++=时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（）A ．两人都正确B ．小思正确，小博不正确C ．小思不正确，小博正确D ．两人都不正确7．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程289x x -=时，变形正确的是（）A ．2(4)9x -=B ．2(4)9x +=C ．2(4)25x -=D ．2(4)25x +=8．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若()()160x y x y ++--=，则x y +的值是（）A ．2B ．3C ．2-或3D ．2或3-9．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一元二次方程2830x x +-=配方后可化为．10．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x ----=，则代数式22020x x -+的值为．11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程：22510x x +-=12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用配方法解方程：()()311x x -+=．13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：23270x x --=14．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：(1)()2214x +=(2)23648x x -=15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）用指定的方法解下列方程(1)26160x x +-=（配方法）(2)21090x x ++=（公式法）16．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）解方程：(1)22310x x -+=（用公式法）(2)2470x x --=（用配方法）17．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）请用指定方法解下列方程：(1)公式法：2120x x +-=；(2)因式分解法：241440x -=．18．（2023春·山东威海·八年级统考期末）按指定方法解方程：(1)()()223143x x -=+；（因式分解法）(2)22330x x --=．（配方法）题型三一元二次方程根的判别式【例6】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于x 的方程()()221200mx m x m +-+=≠．(1)求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的底边长1a =，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．巩固训练1．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（）A ．33B ．23C ．17D2．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A ．2440x x -+=B ．2510x x --=C ．2230x x -+=D ．2220x x -+=3．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）关于x 的方程()220x m x m +++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（）A ．223x x ++B ．222x x m --C ．22x x m--D ．22345x xy y -+5．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x 的方程2320ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．98≥-a B ．98≥-a 且0a ≠C ．98a >-D ．98a >-且0a ≠6．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）方程()21210m x x ---=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．34m -≤≤且12m ≠B ．4m ≤且12m ≠C ．34m -≤<D ．34m -≤<且12m ≠7．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知()1a a >是关于x 的方程20x bx b a -+-=的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当1a t =＋时，一定有1b t =-；③b 是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④8．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a ，b ，定义新运算：2a b ab b =-※，若关于x 的方程1x k =※有两个相等的实数根，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-9．（湖北省荆州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）对于实数u 、v 定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若关于x 的方程1*(*)4x a x =-有两个相等的实数根，求满足条件的实数a 的值为．10．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程2310kx x -+=有两个相等的实数根，则k 的值是．11．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x 的方程()()212110k x k x k +--+-=(1)当k 取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．题型四一元二次方程的实际应用【例7】（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x ，则下列所列的方程正确的是（）A ．2000(1)3000x +=B ．22000(1)3000x +=C ．22000(1%)3000x +=D ．20002000(1)3000x ++=【例8】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6【例9】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，8AB =cm ，6BC =cm ，动点P 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速移动，速度为1cm/s ，动点Q 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速移动，速度为2cm/s ．动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，当PBQ 的面积为152cm 时，动点P ，Q 的运动时间为s ．【例10】（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？巩固训练1．（2023·全国·九年级专题练习）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x 人，则可列方程（）A ．2125x x ++=B ．225x x +=C ．()2125x +=D ．()125x x x ++=2．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，经过两轮传染后共有64人感染，则x 的值是（）A ．8B ．7C ．6D ．53．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．22400(1)3456x +=B ．22400(1)3456x -=C ．()2400123456x +=D ．()2400123456x -=4．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）国家卫健委临床检验中心数据，因疫情防控需求，全国新冠病毒核酸检测实验室数量从2020年的2081家，增长至2022年的1.31万家，如果这两年核酸检测实验室的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（）A ．342.08110(1) 1.3110x ⨯+=⨯B ．3242.08110(1) 1.3110x ⨯+=⨯C ．2081(12)13100x ⨯+=D ．22081(12)13100x ⨯+=5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在一张长宽分别为50cm 和30cm 的长方形纸板上剪去四个边长为cm x 的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为2300cm ，求x 的值，根据题意，可列得的方程为（）A ．()()5030300x x --=B ．()()502302300x x --=C ．()()50230300x x --=D ．215004300x -=7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．8．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为元．9．（2023春·八年级单元测试）在ABC 中，90ABC ∠=︒，4cm AB =，3cm BC =，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s 2，点Q 的速度为1cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止移动，若使PBQ 的面积为2154cm ，则点P 运动的时间是s ．10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，90AOB ∠=︒，36cm =OA ，12cm OB =，一个小球从点A 出发沿着AO 方向滚向点O ，另一小球立即从点B 出发，沿BC 匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程BC 是cm ．11．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81个人患了甲流．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)某药房最近售出了100盒口罩．已知售出的95N 医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒95N 医用口罩的单价为15元，每盒普通医用口罩的价格为10元，则售出95N 医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．12．（2023·广东阳江·统考一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．(1)每轮感染中平均一个人传染几人？(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？13．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？14．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．15．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，正方形ABCD 分割成两个小正方形和两个长方形．(1)若正方形ABCD 边长为10，正方形BFPE 的面积是正方形PGDH 的一半，求正方形BFPE 的边BF 的长．(2)若正方形ABCD 面积为10，设BF x =，四边形APGD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．(3)四边形APGD 的面积是否能够等于正方形ABCD 面积的一半，如果能，请求出BF 长，如果不能请说明理由．16．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，AD 两边）．75m，求AB的长；(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边100m若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为217．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？19．（辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低1元，则每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(条)．(1)求每天的销售量y(条)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？20．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？21．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元／件）3025销售价（元／件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？22．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？23．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．24．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．(1)已知今年7月份销售A 种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x ，求x 的值；(2)若B 种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10月份可获利2860元?25．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ；(用含t 的代数式表示)；(2)当t为几秒时，PQ 的长度等于(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．26．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =．点P 、Q 同时由A 、C 两点出发，分别以1cm 和2cm s 的速度沿线段AC 、CB 匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．(1)设经过t 秒，用含t 的代数式表示PC 、CQ ．PC =______、CQ =______．(2)几秒后，PCQ △的面积是ABC 面积的1327．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，10cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以3cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm （用含t 的代数式表示）(2)当t 为何值时，PQ 的长度等于10cm ？(3)是否存在t ，使得五边形APQCD 的面积等于278cm ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．28．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =___________cm ，PB =___________cm ；（用含t 的代数式表示）(2)当t 为几秒时，PQ 的长度等于8cm ？(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由，29．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%；（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．30．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，m )小时；甲工程队的修路速度比原计划每乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．31．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了6900米，求a的值．。

数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作资料、求职资料、报告大全、方案大全、合同协议、条据文书、教学资料、教案设计、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic model essays, such as work materials, job search materials, report encyclopedia, scheme encyclopedia, contract agreements, documents, teaching materials, teaching plan design, composition encyclopedia, other model essays, etc. if you want to understand different model essay formats and writing methods, please pay attention!数学教案一元二次方程的应用（6篇）在教学工作者实际的教学活动中，通常需要用到教案来辅助教学，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

（北师版数学）2021年暑假初二升初三名师辅导精品课堂（3）辅导范围：一元二次方程（3）；辅导时间：120分钟；学生姓名：一、课堂精炼1．（2021·浙江八年级期末）如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为123,1x x ==，那么这个一元二次方程是（ ）A ．2340x x ++=B ．2430x x +-=C ．2430x x -+=D ．2340x x +-=【答案】C【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=3，x 2=1，∴3+1=-p ，3×1=q ，∴p =-4，q =3，∴一元二次方程是x 2-4x +3=0，故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 2．（2021·山东济南市·八年级期末）若m 、n 为一元二次方程2220x x --=的两个实数根，则mn m n --的值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4-【答案】D【分析】根据韦达定理可得m ＋n ＝2，mn ＝-2，再代入mn m n --＝mn −（m ＋n ）即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2220x x --=的两个实数根，∴m ＋n ＝2，mn ＝-2，，∴mn m n --＝mn −（m ＋n ）＝-2-2＝-4，故选：D ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1+x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a． 3．（2021·合肥市第四十八中学九年级其他模拟）已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，那么2a a b +-的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得2290a a +-=，2a b +=-，将2a a b +-整理成()22a a a b +-+，代入即可求解．【详解】解：∵a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，∴a 2+2a −9=0，a +b =−2，∵a 2+a −b =a 2+2a −(a +b )=9−(−2)=11，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键． 4．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则24m m n ++的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．12【答案】C【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−b a -，x 1•x 2=c a． 5．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．6．（2021·江苏南通市·九年级二模）若22x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根，则m ＋n 的值为（ ）A ．－4B ．－3C ．3D ．5【答案】B【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可求解m 、n 的值，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：((224,221m n =-+=-==，∴413m n +=-+=-；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，得211310x x -+=，结合根与系数的关系，得1x +2x =3，进而即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，∴211310x x -+=，即：21131x x -=-，1x +2x =3，∴211252x x x --=2113x x --2(1x +2x )=-1-2×3=-7．故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握20ax bx c ++=（a ≠0）的两根为1x ，2x ，则1x +2x =b a -，1x 2x =c a，是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2021D ．2021- 【答案】B【分析】 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120211x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【详解】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，∴211202110x x -+=，121x x ⋅=，∴21120211x x =-， ∴2122021x x -=21202112021x x --=1222220011222x x x x x -⋅-=22202112021x x ⨯--=22x x -=-1． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．9．（2021·江苏徐州市·九年级二模）已知一元二次方程x 2﹣5x +c ＝0有一个根为4，则另一个根为___．【答案】1【分析】设方程的另一个根为x 2，根据两根之和得出x 2+4＝5，解之可得答案．【详解】解：设方程的另一个根为x 2，则x 2+4＝5，解得x 2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q ＝0的两根时，x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ．10．（2021·天津河北区·八年级期末）已知x 1，x 2为方程x 2﹣3x ﹣7＝0的两个根，则1211+x x ＝___． 【答案】37-【分析】 利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7，再变形1211+x x 为1212x x x x +⋅，代入计算即可求解． 【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2-3x -7=0的根，∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7， ∴1211+x x =1212x x x x +⋅=37-， 故答案为：37-． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．（2021·安徽池州市·八年级期末）已知m 2-2m -1=0，n 2-2n -1=0且m ≠n ，则n m m n+的值为____． 【答案】-6【分析】 m n ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可求解．【详解】解：根据题意得，mn ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根， ∴2m n +=，1mn =- ∴2222()222=61n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-- 故答案为：-6．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n +的值为______． 【答案】12021【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n∴1m n +=-，2021mn =- ∴111120212021m n m n mn +-+===- 故答案为：12021． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解． 13．（2021·四川成都市·九年级二模）已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2220110a a +-=，即222011a a +=，则235a a b --化简为225()a a a b +-+，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a 为一元二次方程2220110x x +-=的根，2220110a a ∴+-=，222011a a ∴+=， a ，b 分别为一元二次方程2220110x x +-=的两个实数根，2a b ∴+=-，223525()20115(2)2021a a b a a a b ∴--=+-+=-⨯-=．故答案为2021．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 14．（2021·江苏南京市·中考真题）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =， ∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为c a．15．（2021·江苏南通市·九年级二模）设α，β是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则252ααβ++=______．【答案】1【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．【详解】解:∵,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，∴2370αα+-=，+3αβ=- ，∴原式＝()2252=+3+2ααβαααβ+++＝7－6＝1． 【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．16．（2021·辽宁丹东市·九年级一模）关于x 的方程2240mx x -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】14m <，且0m ≠ 【详解】略17．（2021·四川广元市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程()212022-++=m mx m x 有两个不等的实数根1x ，2x ．若12112+=m x x ，则m 的值为______． 【答案】2【分析】根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2（m +2），x 1•x 2=m ，变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵()22424022m m b ac m =-=+-⨯⨯>，且0m ≠， ∴1m >-，且0m ≠，∵12x x 、是方程()212022-++=m mx m x 有两个实数根， ∴()1222m x x m++=，121x x =， ∵12112+=m x x ， ∴12122x x m x x +=，即()222m m m +=， 整理得：220m m --=，解得：1221m m ==-，．∵1m >-，且0m ≠，∴2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18．（2021·江西南昌市·九年级一模）若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则a +b 的值_____．【答案】8或8±【分析】分类讨论：当a ＝b ，解方程易得原式＝；当a ≠b ，可把a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：当a ＝b 时，由a 2﹣8a +5＝0解得a ＝，∴a +b ＝；当a ≠b 时，a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a 、b 进行分类讨论是解题关键．19．（2021·湖北荆门市·九年级其他模拟）已知1x ，2x 是一元二次方程2220-++=x x m 的两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得等式12112m x x +=-成立?如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）1m ≤-；（2）存在满足条件的m =【分析】（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于m 的一元一次不等式，即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于m 的方程，解之即可． 【详解】（1）依题意得：0∆≥，44(2)0m ∴-+≥，解得1m ≤-．（2）依题意得：122x x +=，122x x m =+12112m x x +=-，即1212(2)x x m x x +=-， 2(2)(2)m m∴=-+，解得1m =2m =又1m ≤-，m ∴=∴存在满足条件的m =【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值． 【答案】（1）12m >；（2）1 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得12250x x m =-+>，124x x +=，得到1522m <<，根据两个根和m 都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根， ∴()164250m ∆=--+>，解得12m >； （2）设该方程的两个根为1x 、2x ， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴12250x x m =-+>，124x x +=，∴1522m <<， ∴m 的值为1或2，当1m =时，方程两个根为11x =、23x =； 当2m =时，方程两个根1x 与2x 不是整数； ∴m 的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．21．（2021·江苏淮安市·八年级期末）某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】共有30名员工去旅游． 【分析】设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意易得人数是超过25人的，则有()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦，然后求解即可． 【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意得： ∵25×2000=50000＜54000， ∴人数比25人多，∴()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦ 解得：1230,45x x ==，当30x =时，()200040302518001700-⨯-=>，符合题意；当45x =时，()200040452512001700-⨯-=<，不符合题意； 答：共有30名员工去旅游． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．22．（2021·安徽合肥市·八年级期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x 元，每天可售出y 件．（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （不要求写出自变量取值范围）；（2）当x 取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？ 【答案】（1）1502y x =-；（2）此时每天可销售45件． 【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论； 【详解】 （1）1502y x =-； （2）解：由题意得()1405022502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得1210,50x x == 每件利润不得超过60元020x ∴≤≤，因此取10x =，此时15010452y =-⨯=答：此时每天可销售45件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 二、课后作业23．（2021·江苏泰州市·中考真题）关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值为 ___． 【答案】2．先根据根与系数的关系得到12121,1x x x x +==-，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2， ∴12121,1x x x x +==-， ∴x 1+x 2﹣x 1•x 2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 为一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，则有1212,b cx x x x a a+=-=，熟记知识点是解题的关键．24．（2021·湖北中考真题）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-，111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．25．（2021·湖南娄底市·2是方程20x x c --=的一个根，则该方程的另一个根为______．【答案】1 【分析】2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为x 1，由x 12＝111--=，得x 1=1，故答案是：1． 【点睛】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．26．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________． 【答案】2 12± 【分析】根据根与系数的关系可得12x x +和12x x ，再根据21118x x +=-得到21128x x x x =+-，代入即可求出a 值． 【详解】 解：由题意可得：12221x x -+=-=，212x x a =-， ∵122112118x x x x x x ++==-， ∴21128x x x x =+-，∴()228a =-⨯-，解得：12a =±， 故答案为：2，12±．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到12x x +和12x x ．27．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·九年级一模）若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______． 【答案】98 【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解． 【详解】解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=， ∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根， ∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦ =21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键．28．（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根为2-，则另一个根为________． 【答案】3- 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可设另一个根为2x ，根据根与系数的关系有：12bx x a+=-即225x -+=- 解得：23x =- 故答案为3- 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 29．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值． 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为0，m 的值为1- 【分析】（1）由△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝（m +1）2+4＞0可得答案； （2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解之即可得出答案．【详解】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1） ＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4 ＝m 2+2m +1+4 ＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另外一根为a ， 根据题意，得：2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解得：01a m =⎧⎨=-⎩，所以方程的另一根为0，m 的值为1-．本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．30．（2021·苏州科技城外国语学校八年级期中）已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=有两个不相等的实数根12,x x ． （1）求m 的取值范围； （2）若12114m x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m >-且0m ≠；（2）2 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出122m x x m ++=，1214x x =，结合12114m x x +=，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合1m >-且0m ≠，即可确定m 的值． 【详解】 解：（1）关于x 的一元二次方程2(2)04mmx m x -++=有两个不相等的实数根， ∴20[(2)]404m m m m ≠⎧⎪⎨=-+-⨯⨯>⎪⎩， 解得：1m >-且0m ≠． （2）1x ，2x 是一元二次方程2(2)04mmx m x -++=的实数根， 122m x x m +∴+=，1214x x =．121212114x x m x x x x ++==，即4(2)4m m m+=， 220m m ∴--=，解得：11m =-，22m =． 又1m >-且0m ≠，【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合12114m x x +=，找出关于m 的一元二次方程．31．（2021·山东济南市·八年级期末）受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元． （1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适． 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意易得()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：10020102060-÷⨯=（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意得：()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭， 解得：1290,70x x ==， ∵要让利于消费者， ∴70x =；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．三、挑战自我32．（2021·广东汕头市·九年级一模）甲、乙两人同解方程组515410ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=-⎩（1）求a ，b 的值；（2）若关于x 的一元二次方程20-+=ax bx m 两实数根为1x ，2x ，且满足12727-=x x ，求实数m 的值．【答案】（1）72a b =⎧⎨=-⎩；（2）5m =-【分析】（1）将31x y =-⎧⎨=⎩代入方程②求出b 的值，将54x y =⎧⎨=-⎩代入方程①求得a 的值，即可得出答案，（2）再将a ，b 的值代入20-+=ax bx m 中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m 的值． 【详解】解：（1）根据题意得()()554154310a b ⎧+⨯-=⎪⎨⨯--=-⎪⎩解得72a b =⎧⎨=-⎩ （2）当72a b =⎧⎨=-⎩时，一元二次方程20-+=ax bx m 化为2720++=x x m ，由根与系数关系得1227+=-x x ，127⨯=mx x 联成方程组得{x 1+x 2=−277x 1−2x 2=7，解得{x 1=57x 2=−1∴m =−5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．33．（2021·浙江八年级月考）已知关于x 的一元二次方程2(4)240x m x m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若12,x x 为方程的两个根，且22124n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的数图象是否经过点(5,9)A -，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析【分析】（1）根据判别式公式得△=m 2≥0，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2和x 1x 2关于m 的表达式，整理n =x 12+x 22-4，得n =（m +2）2，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m +4）]2-4（2m +4）=m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x 1+x 2=m +4，x 1x 2=2m +4，n =x 12+x 22-4=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-4，=（m +4）2-2（2m +4）-4=m 2+4m +4=（m +2）2即n =（m +2）2，经过（-5，9）．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．。

专题02 《直接开平方法解一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《直接开平方法解一元二次方程》中“直接开平方法解一元二次方程的条件”、“解形如的方程”、“解形如的方程”、“已知方程的根求字母的值”、“已知方程的解求另一个方程的解”、“直接开平方法解新定义问题”、重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：直接开平方法解一元二次方程的条件方法点拨：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.1．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程()24x a -=有解，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．0a ³C ．0a >D ．0a <【答案】B【分析】根据题意得到a 是非负数，由此求得a 的取值范围．【详解】解：∵（x -4）2=a 有解，∴a ≥0，故选：B ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．2．（2020·浙江绍兴·一模）一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c≤0D ．c≥0【答案】D【分析】因为在x 2=c 中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以c 必须大于等于0．【详解】解：利用直接开平方法解方程时，本题中的被开方数c 必须为非负数，方程才有实数根．即c≥0．故选D ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，其解法是先将一元二次方程整理成2(0)x c c =³，然后两边同时开平方即可.3．（2020·全国·八年级课时练习）若方程（x ﹣1）2=m 有解，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤0B ．m ≥0C ．m ＜0D ．m ＞0【答案】B【分析】利用平方根的定义确定m 的范围．【详解】∵方程（x-1）2=m 有解，∴m≥0时，方程有实数解．故选B ．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．（2022·全国·九年级单元测试）关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________．【答案】1a ³【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．5．（2020·江苏常州·九年级期中）若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)【答案】1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得0c ³，于是只要使c 的值非负即可．【详解】解：若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则0c ³，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．6．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．【答案】m ＜1【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，∴m ﹣1＜0，解得m ＜1，所以m 的取值范围是m ＜1．故答案为：m ＜1．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．考点2：解形如的方程方法点拨：两边直接开平方，即可得到方程的两个解。

分解因式法解一元二次方程专项练习136题（有答案）题（有答案）1．3（x ﹣2）2﹣x （x ﹣2）=0=0，，2．3x 3x（（x+2x+2））=5=5（（x+2x+2））3．2x 2﹣8x=04.4. x 2﹣3x 3x﹣﹣4=04=0．．5．x 2﹣2x 2x﹣﹣3=03=0．．6．x （x ﹣3）﹣）﹣44（3﹣x ）=0=0，，7. 3（x ﹣2）2=x =x（（x ﹣2）；8. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣3=09. （3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））210. x （x ﹣6）=2=2（（x ﹣8）1111．．4+44+4（（1+x 1+x））+4+4（（1+x 1+x））2=191212．．x 2﹣4x 4x﹣﹣5=013. 13. 33（5﹣x ）2=2=2（（5﹣x ）14.14.（（x ﹣3）2=2=2（（3﹣x ）．1515．．2x 2+x +x﹣﹣6=06=0．．1616．．2x 2﹣x ﹣1=01=0；；17. 3x （x ﹣1）=2=2（（x ﹣1）2．1818．．x （x ﹣5）+4x=01919．． x 2﹣2x=02020．．（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0=0；；2121．．x 2﹣3x=03x=0；；2222．．（x ﹣2）2=（2x+32x+3））22323．．3x 2﹣11x 11x﹣﹣4=04=0．．2424．．2x 2x（（x ﹣1）﹣）﹣x+1=0 x+1=025. 2x 2+x +x﹣﹣3=02626．．x 2﹣2x 2x﹣﹣15=015=0；；27. 2x （x ﹣3）+x=3+x=3．．28. x （x ﹣3）=15=15﹣﹣5x 5x；；2929．．（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）=03030．．x （x ﹣2）﹣）﹣x+2=0x+2=0x+2=0；；31. 2x 2﹣3x 3x﹣﹣5=05=0．．32.32.．．4x 2﹣x ﹣1=3x 1=3x﹣﹣2， 33.34.34.（（x ﹣3）2﹣2（x ﹣1）=x =x﹣﹣7． 35. 3x （x ﹣2）﹣）﹣22（x ﹣2）=036. 3x 2﹣x ﹣2=02=0；；37. （x ﹣6）2﹣（﹣（33﹣2x 2x））2=0=0．．3838．．（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ）（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ）3939．．（2x+12x+1））2=2=2（（2x+12x+1））4040．．（3x 3x﹣﹣1）（x ﹣1）=（4x+14x+1））（x ﹣1）．4141．．x 2﹣x ﹣6=06=0，，4242．．x 2﹣8（x+6x+6））=04343．．2x 2﹣6x=06x=0．．4444．．（x ﹣3）（x+1x+1））=54545．．2x 2﹣8x=08x=0；；4646．．x 2+2x +2x﹣﹣15=047. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣7=048. 2y （y ﹣3）=4=4（（y ﹣3）49. x 2﹣7x 7x﹣﹣18=050. 3x 2+8x +8x﹣﹣3=05151．． 2x （x ﹣3）=9=9﹣﹣3x5252．．x 2﹣4x=553. ﹣8x 2+10x=05454．．3x 2+4x +4x﹣﹣7=07=0，，55. 3x 2﹣5x+2=056. 2（x ﹣3）2=x 2﹣3x5757．．x 2=3x =3x；； 58. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）259. （y ﹣2）2+2y +2y（（y ﹣2）=060.2y 60.2y（（y+2y+2））=y+2=y+2．．61. 5x 2+3x=062. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）263. x （x ﹣3）=5=5（（x ﹣3）；64. （2x+32x+3））2﹣5（2x+32x+3））+4=0+4=0．．65. （2x 2x﹣﹣7）2﹣5（2x 2x﹣﹣7）+4=066. （3x 3x﹣﹣1）2=x 2+6x+967.67.（（2x+22x+2））2=3=3（（2x+22x+2））（x ﹣1）68.68.（（x+7x+7））（x ﹣3）+4x +4x（（x+1x+1））=069.2x 69.2x（（x+3x+3）﹣）﹣）﹣33（x+3x+3））=070. x ﹣2=x 2=x（（x ﹣2）71. x 2+8x +8x﹣﹣9=07272．．x （2x 2x﹣﹣5）=4x =4x﹣﹣1010．．7373．（．（．（2x 2x 2x﹣﹣5）2﹣（﹣（x+4x+4x+4））2=07474．．2（x ﹣1）2=x 2﹣1 75.76. 4x （2x 2x﹣﹣1）=3=3（（2x 2x﹣﹣1）；77. 2x 2+x +x﹣﹣1=01=0．．78. （3x 3x﹣﹣2）（x+4x+4））=（3x 3x﹣﹣2）（5x 5x﹣﹣1）； 79. （x+1x+1））（x+3x+3））=15=15．．80.x 2﹣5x 5x﹣﹣6=081. x 2﹣2x=9982. （x ﹣3）2﹣4x+12=083. 4（x+1x+1））2=9=9（（x ﹣2）284. x 2=2x85. （x+4x+4））2=5=5（（x+4x+4））87. 16（x ﹣1）2=22588. 4x 2﹣4x+1=x 2﹣6x+989. 9（x+1x+1））2=4=4（（x ﹣1）2（4）x 2﹣4x+4=4x+4=（（3﹣2x 2x））290. （x ﹣2）2=（3﹣2x 2x））2．91. （x+2x+2））2﹣1010（（x+2x+2））+25=09292．．x 2﹣2（p ﹣q ）x ﹣4pq=04pq=0．．9393．．x 2+10x+21=0+10x+21=0，，9494．．2（x ﹣2）2=3=3（（x ﹣2）95. 3（x ﹣5）2=2=2（（5﹣x ）， 96. ，97. 5x 2﹣4x 4x﹣﹣12=012=0，， 98. （x ﹣）=5x =5x（（﹣x ），9999．．9（x ﹣2）2﹣4（x+1x+1））2=0=0．． 100100．．．101101．．（2）x 2﹣8x+15=08x+15=0；； 103. 6x 2﹣x ﹣12=012=0．．104. 2x 2﹣x ﹣6=0105. ﹣x 2+6x +6x﹣﹣5=0106. （x ﹣5）2=（2x 2x﹣﹣1）（5﹣x ）107. （x+1x+1））（x+2x+2））=3x+6=3x+6．．108. x 2﹣9=09=0，，109. x 2+3x +3x﹣﹣4=04=0，，110. x 2﹣3x+2=03x+2=0，，111. 4（3x 3x﹣﹣1）2 =25=25（（2x+12x+1））2．112. （3x+53x+5））2﹣4（3x+53x+5））+3=0113. （3x+23x+2））（x+3x+3））=x+14114. 3（x+1x+1））2=（x+1x+1））115.115.（（x ﹣2）2﹣4=0116.116.（（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0117.117.（（3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））2118.118.（（x+5x+5））2﹣2（x+5x+5）﹣）﹣）﹣8=08=08=0．．119. x 2﹣8x=9120. （x ﹣2）2=（2x+32x+3））2．121. x 2﹣3=33=3（（x+1x+1））；122. （y ﹣3）2+3+3（（y ﹣3）+2=0123. 7x （5x+25x+2））=6=6（（5x+25x+2））124124．．（3）6（x+4x+4））2﹣（﹣（x+4x+4x+4）﹣）﹣）﹣2=0 2=0 125. x 2﹣（﹣（3m 3m 3m﹣﹣1）x+2m 2﹣m=0m=0，，126126．．x 2﹣2x 2x﹣﹣224=0224=0．．127.127.．．128128．．5x 5x（（x ﹣3）﹣（）﹣（x x ﹣3）（x+1x+1））=0=0．．129129．．x 2﹣11x+28=0130. 4y 2﹣25=025=0；；131.131.（（2x+32x+3））2﹣36=036=0；；132. x 2﹣3x+2=03x+2=0；；133. 2t 2﹣7t 7t﹣﹣4=04=0；；134. 5y （y ﹣1）=2=2（（y ﹣1）135. x 2+（1+2）x+3+=0=0；；136.136.（（x ﹣3）2+（x+4x+4））2﹣（﹣（x x ﹣5）2=17x+24=17x+24．．137.x 2﹣3|x|3|x|﹣﹣4=0参考答案：1．3（x ﹣2）2﹣x （x ﹣2）=0=0，， （x ﹣2）（3x 3x﹣﹣6﹣x ）=0=0，， x ﹣2=0或2x 2x﹣﹣6=06=0，， 解得：解得：x x 1=2=2，，x 2=3=3；； 2．3x 3x（（x+2x+2））=5=5（（x+2x+2））原方程可化为3x 3x（（x+2x+2）﹣）﹣）﹣55（x+2x+2））=0=0，， （3x 3x﹣﹣5）（x+2x+2））=0=0，， 解得x 1=﹣2，3．2x 2﹣8x=0因式分解，得因式分解，得2x 2x（（x ﹣4）=0=0，， 于是得，于是得，于是得，2x=02x=0或x ﹣4=04=0，， 即x 1=0=0，，x 2=4=4．．4. x 2﹣3x 3x﹣﹣4=04=0．．因式分解，得（因式分解，得（x x ﹣4）（x+1x+1））=0=0，， 于是得，于是得，x x ﹣4=0或x+1=0x+1=0，， 解得：解得：x x 1=4=4，，x 2=﹣15．x 2﹣2x 2x﹣﹣3=03=0．．原方程可以变形为（原方程可以变形为（x x ﹣3）（x+1x+1））=0 x ﹣3=03=0，，x+1=0 ∴x 1=3=3，，x 2=﹣1．6．x （x ﹣3）﹣）﹣44（3﹣x ）=0=0，， （x ﹣3）（x+4x+4））=0=0，， x ﹣3=0或x+4=0x+4=0，， 解得：解得：x x 1=3=3，，x 2=﹣4；7. 3（x ﹣2）2=x =x（（x ﹣2）； 整理得3（x ﹣2）2﹣x （x ﹣2）=0 即（即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0 x 1=2=2，，x 2=3 8. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣3=0 9. （3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））2原方程可化为：（3x 3x﹣﹣1）2﹣（﹣（x+1x+1x+1））2=0=0，， （3x 3x﹣﹣1+x+11+x+1））（3x 3x﹣﹣1﹣x ﹣1）=0=0，， ∴4x=0或2x 2x﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：x x 1=0=0，，x 2=1=1；；10. x （x ﹣6）=2=2（（x ﹣8）x 2﹣6x=2x 6x=2x﹣﹣16x 2﹣8x+16=0（x ﹣4）2=0 x 1=x 2=4 =41111．．4+44+4（（1+x 1+x））+4+4（（1+x 1+x））2=19原式可变为4（1+x 1+x））2+4+4（（1+x 1+x）﹣）﹣）﹣15=0 15=0 [2[2（（1+x 1+x）﹣）﹣）﹣3][23][23][2（（1+x 1+x））+5]=0 x 1=，x 2=﹣1212．．x 2﹣4x 4x﹣﹣5=0 （x ﹣5）（x+1x+1））=0 x ﹣5=0或x+1=0 x 1=5=5，，x 2=﹣1 13. 13. 33（5﹣x ）2=2=2（（5﹣x ） 原方程可变形为：原方程可变形为：3（5﹣x ）2﹣2（5﹣x ）=0 （5﹣x ）[3[3（（5﹣x ）﹣）﹣2]=0 2]=0 （5﹣x ）（1313﹣﹣3x 3x））=0 则x 1=5=5，，x 2=14.14.（（x ﹣3）2=2=2（（3﹣x ）． 原式可变为原式可变为原式可变为 （x ﹣3）2﹣2（3﹣x ）=0 （x ﹣3）（x ﹣1）=0 x 1=3=3，，x 2=1（x+2x+2））（2x 2x﹣﹣3）=0 x+2=0或2x 2x﹣﹣3=0 ∴x 1=﹣2，x 2=．1616．．2x 2﹣x ﹣1=01=0；；原方程可化为：原方程可化为：（x ﹣1）（2x+12x+1））=0=0，， x ﹣1=0或2x+1=02x+1=0，， 解得：解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=﹣． 17. 3x （x ﹣1）=2=2（（x ﹣1）2．原方程可化为：原方程可化为：3x 3x 3x（（x ﹣1）﹣）﹣22（x ﹣1）2=0=0，， （x ﹣1）（3x 3x﹣﹣2x+22x+2））=0=0，， x ﹣1=0或x+2=0x+2=0，， 解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=﹣21818．．x （x ﹣5）+4x=0 即x （x ﹣5+45+4））=0 x （x ﹣1）=0 ∴x 1=0=0，，x 2=11919．． x 2﹣2x=0 x （x ﹣2）=0 ∴x=0或x ﹣2=0 ∴x 1=0=0，，x 2=2=2．．2020．．（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0=0；；原方程可化为：（x ﹣3）（x ﹣3+2x 3+2x））=0 （x ﹣3）（x ﹣1）=0 x 1=3=3，，x 2=1=1．． 2121．．x 2﹣3x=03x=0；； x （x ﹣3）=0 ∴x 1=0=0，，x 2=3 =32222．．（x ﹣2）2=（2x+32x+3））2（x ﹣2）2=（2x+32x+3））2 即（即（x x ﹣2）2﹣（﹣（2x+32x+32x+3））2=0（3x+13x+1））（x+5x+5））=0 x 1=﹣5，x 2=2323．．3x 2﹣11x 11x﹣﹣4=04=0．． 把方程3x 2﹣11x 11x﹣﹣4=0 即（即（x x ﹣4）（3x+13x+1））=0=0，， 解得x 1=4=4，，x 2=．∴（∴（x x ﹣1）（2x 2x﹣﹣1）=0 ∴x ﹣1=0或2x 2x﹣﹣1=0 解得x 1=1=1，，x 2=； 25. 2x 2+x +x﹣﹣3=0原方程变形为：原方程变形为：（x ﹣1）（2x+32x+3））=0 ∴x 1=1=1，，x 2=2626．．x 2﹣2x 2x﹣﹣15=015=0；；原式可化为：原式可化为：原式可化为： （x ﹣5）（x+3x+3））=0 得x 1=5=5，，x 2=﹣327. 2x （x ﹣3）+x=3+x=3．．原式可化为：（x ﹣3）（2x+12x+1））=0 得，x 2=328. x （x ﹣3）=15=15﹣﹣5x 5x；；x （x ﹣3）=﹣5（x ﹣3）（x ﹣3）（x+5x+5））=0 x 1=3=3，，x 2=﹣52929．．（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）=0 （x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）=0=0，， （x ﹣1）（x ﹣1﹣2）=0=0，， ∴x ﹣1=0或x ﹣3=03=0，， ∴x 1=1=1，，x 2=33030．．x （x ﹣2）﹣）﹣x+2=0x+2=0x+2=0；；原方程可化为：原方程可化为：x x （x ﹣2）﹣（）﹣（x x ﹣2）=0=0，， （x ﹣2）（x ﹣1）=0=0，， 解得：解得：x x 1=2=2，，x 2=1=1；；31. 2x 2﹣3x 3x﹣﹣5=05=0．．原方程可化为：（2x 2x﹣﹣5）（x+1x+1））=0=0，， 2x 2x﹣﹣5=0或x+1=0x+1=0，， 解得：解得：x x 1=，x 2=﹣1 32.32.．∵．∵．∵4x 4x 2﹣x ﹣1=3x 1=3x﹣﹣2，∴4x 2﹣4x+1=0 即（即（2x 2x 2x﹣﹣1）2=0=0，， 解得33.33.解：解：34.34.（（x ﹣3）2﹣2（x ﹣1）=x =x﹣﹣7．移项，合并同类项得，移项，合并同类项得，（x ﹣3）2﹣3x+9=03x+9=0，， 即，（x ﹣3）2﹣3（x ﹣3）=0=0，， 因式分解得，（x ﹣3﹣3）（x ﹣3）=0 则x ﹣3=0或（或（x x ﹣6）=0=0，， 解得，解得，x x 1=3=3，，x 2=6=6．． 35. 3x （x ﹣2）﹣）﹣22（x ﹣2）=0 （x ﹣2）（3x 3x﹣﹣2）=0 x 1=2=2，，x 2=； 36. 3x 2﹣x ﹣2=02=0；； 原方程变形得，原方程变形得， （3x+23x+2））（x ﹣1）=0 ∴，x 2=1=1；；37. （x ﹣6）2﹣（﹣（33﹣2x 2x））2=0=0．． 原方程变形得，原方程变形得，（x ﹣6+36+3﹣﹣2x 2x））（x ﹣6﹣3+2x 3+2x））=0 （x+3x+3））（3x 3x﹣﹣9）=0∴x 1=3=3，，x 2=﹣33838．．（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ）（x ﹣3）2=5=5（（3﹣x ） （x ﹣3）2+5+5（（x ﹣3）=0 （x ﹣3）（x+2x+2））=0 ∴x 1=3=3，，x 2=﹣2．3939．．（2x+12x+1））2=2=2（（2x+12x+1））原方程可化为：（2x+12x+1））2﹣2（2x+12x+1））=0=0，， （2x+12x+1））（2x+12x+1﹣﹣2）=0=0，， （2x+12x+1））（2x 2x﹣﹣1）=0=0，， 解得：解得：x x 1=﹣，x2=．4040．．（3x 3x﹣﹣1）（x ﹣1）=（4x+14x+1））（x ﹣1）． （3x 3x﹣﹣1）（x ﹣1）﹣（）﹣（4x+14x+14x+1））（x ﹣1）=0=0，， （x ﹣1）[（3x 3x﹣﹣1）﹣（）﹣（4x+14x+14x+1））]=0]=0，， （x ﹣1）（x+2x+2））=0=0，， ∴x 1=1=1，，x 2=﹣2．4141．∵．∵．∵x x 2﹣x ﹣6=06=0，， ∴（∴（x+2x+2x+2））（x ﹣3）=0=0，， ∴x+2=0或x ﹣3=03=0，， 解得x 1=3=3，，x 2=﹣2．4242．．x 2﹣8（x+6x+6））=04343．．2x 2﹣6x=06x=0．．原方程变形为2x 2x（（x ﹣3）=0 ∴2x=0或x ﹣3=0 ∴x 1=0=0，，x 2=34444．．（x ﹣3）（x+1x+1））=5 x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，， （x ﹣4）（x+2x+2））=0∴x 1=4=4，，x 2=﹣2．4545．．2x 2﹣8x=08x=0；；因式分解，得2x 2x（（x ﹣4）=0=0，， 2x=0或x ﹣4=04=0，， 解得，解得，x=0x=0或x=4x=4；；4646．．x 2+2x +2x﹣﹣15=0 （x+5x+5））（x ﹣3）=0 x+5=0或x ﹣3=0 ∴x 1=﹣5，x 2=3=3；；47. 2x 2﹣5x 5x﹣﹣7=0因式分解得（因式分解得（x+1x+1x+1））（2x 2x﹣﹣7）=0 解得：，x 2=﹣1；48. 2y （y ﹣3）=4=4（（y ﹣3） 2y 2y（（y ﹣3）﹣）﹣44（y ﹣3）=0 （y ﹣3）（2y 2y﹣﹣4）=0=0（（2分）分） ∴y 1=3=3，，y 2=249. x 2﹣7x 7x﹣﹣18=0 解：（x ﹣9）（x+2x+2））=0 x ﹣9=0或x+2=0 ∴x 1=9=9，，x 2=﹣250. 3x 2+8x +8x﹣﹣3=0解：方程可以化为（解：方程可以化为（x+3x+3x+3））（3x 3x﹣﹣1）=0 ∴x+3=0或3x 3x﹣﹣1=0 即x 1=﹣3，x 2=．5151．． 2x （x ﹣3）=9=9﹣﹣3x 2x 2x（（x ﹣3）﹣（）﹣（99﹣3x 3x））=0 2x 2x（（x ﹣3）+3+3（（x ﹣3）=0 （x ﹣3）（2x+32x+3））=0 x 1=3=3，，x 2=﹣x 2﹣4x 4x﹣﹣5=0 （x ﹣5）（x+1x+1））=0 ∴x ﹣5=05=0，，x+1=0∴原方程的解为：∴原方程的解为：x x 1=5=5，，x 2=﹣1．53. ﹣8x 2+10x=0 x （1010﹣﹣8x 8x））=0 ∴x 1=0=0，，x 2= 5454．．3x 2+4x +4x﹣﹣7=07=0，， （x ﹣1）（3x+73x+7））=0=0，， x ﹣1=0或3x+7=03x+7=0，， 解得：55. 3x 2﹣5x+2=0原式变形为：（3x 3x﹣﹣2）（x ﹣1）=0 ∴x 1=1=1，，x 2=56. 2（x ﹣3）2=x 2﹣3x 原方程变形为：原方程变形为：原方程变形为： 2（x ﹣3）2=x =x（（x ﹣3） （x ﹣3）[2[2（（x ﹣3）﹣）﹣x]=0 x]=0 （x ﹣3）（x ﹣6）=0 ∴x 1=3=3，，x 2=6 5757．．（1）x 2=3x =3x；； 移项得，移项得，x x 2﹣3x=03x=0，， 因式分解得，因式分解得，x x （x ﹣3）=0=0，， 解得，解得，x x 1=0=0，，x 2=3=3；；58. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）2解：解：3x 3x 3x﹣﹣2=2=±（±（±（2x 2x 2x﹣﹣3）3x ﹣2=2x 2=2x﹣﹣3或3x 3x﹣﹣2=2=﹣（﹣（﹣（2x 2x 2x﹣﹣3） 解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=1=1；；59. （y ﹣2）2+2y +2y（（y ﹣2）=0解：（y ﹣2）（y ﹣2+2y 2+2y））=0 解得：解得：y y 1=2=2，，y2=60.60.．．2y 2y（（y+2y+2））=y+2=y+2．．原方程变形为：原方程变形为：2y 2y 2y（（y+2y+2）﹣（）﹣（）﹣（y+2y+2y+2））=0=0，， 即（即（y+2y+2y+2））（2y 2y﹣﹣1）=0=0，， 解得y 1=﹣2，y2=．∴x 1=0=0，，x 2=﹣．62. （3x 3x﹣﹣2）2=（2x 2x﹣﹣3）2（3x 3x﹣﹣2）2﹣（﹣（2x 2x 2x﹣﹣3）2=0=0，， （3x 3x﹣﹣2+2x 2+2x﹣﹣3）（3x 3x﹣﹣2﹣2x+32x+3））=0=0，， 5（x ﹣1）（x+1x+1））=0=0，， 即：即：x x ﹣1=0或x+1=0 ∴x 1=1=1，，x 2=﹣163. x （x ﹣3）=5=5（（x ﹣3）； x （x ﹣3）﹣）﹣55（x ﹣3）=0=0，，（x ﹣3）（x ﹣5）=0=0，， ∴x 1=3=3，，x 2=5=5；；64. （2x+32x+3））2﹣5（2x+32x+3））+4=0+4=0．． （2x+32x+3））2﹣5（2x+32x+3））+4=0 （2x+32x+3﹣﹣4）（2x+32x+3﹣﹣1）=0 （2x 2x﹣﹣1）（x+1x+1））=0=0，， ∴x 1=，x 2=﹣165. （2x 2x﹣﹣7）2﹣5（2x 2x﹣﹣7）+4=0 （2x 2x﹣﹣7﹣4）（2x 2x﹣﹣7﹣1）=0；x 2=466. （3x 3x﹣﹣1）2=x 2+6x+9 （3x 3x﹣﹣1）2﹣（﹣（x x ﹣3）2=0 即（即（2x+12x+12x+1））（x ﹣2）=0 x 1=2=2，，x 2=﹣0.567.67.（（2x+22x+2））2=3=3（（2x+22x+2））（x ﹣1） （2x+22x+2））2﹣3（2x+22x+2））（x ﹣1）=0 即（即（2x+22x+22x+2））【2x+22x+2﹣﹣3（x ﹣1）】=0 ∴（∴（x x ﹣5）（x+1x+1））=0 x 1=﹣1，x 2=568.68.（（x+7x+7））（x ﹣3）+4x +4x（（x+1x+1））=0 化简：（x+7x+7））（x ﹣3）+4x +4x（（x+1x+1））=0 整理得，整理得，5x 5x 2+8x +8x﹣﹣21=021=0，， 因式分解得，因式分解得，（5x 5x﹣﹣7）（x+3x+3））=0=0，， 即5x 5x﹣﹣7=0或x+3=0x+3=0，， 所以x 1=，x 2=﹣3．69.69.．．2x 2x（（x+3x+3）﹣）﹣）﹣33（x+3x+3））=070. x ﹣2=x 2=x（（x ﹣2） 即x ﹣2﹣x （x ﹣2）=0 （x ﹣2）（1﹣x ）=0 x 1=2=2，，x 2=1=1；；71. x 2+8x +8x﹣﹣9=0 （x+9x+9））（x ﹣1）=0 x 1=﹣9，x 2=17272．．x （2x 2x﹣﹣5）=4x =4x﹣﹣1010．． 原方程可变形为：原方程可变形为： x （2x 2x﹣﹣5）﹣）﹣22（2x 2x﹣﹣5）=0=0，， （2x 2x﹣﹣5）（x ﹣2）=0=0，， 2x 2x﹣﹣5=0或x ﹣2=02=0；； 解得x1=，x 2=2=2．．7474．（．（．（2x 2x 2x﹣﹣5）2﹣（﹣（x+4x+4x+4））2=0因式分解，得因式分解，得[（2x 2x﹣﹣5）+（x+4x+4））][][（（2x 2x﹣﹣5）﹣（）﹣（x+4x+4x+4））]=0]=0，， 整理得，（3x 3x﹣﹣1）（x ﹣9）=0 解得，解得，x x 1=，x 2=9=9．．7474．．2（x ﹣1）2=x 2﹣1 原方程即为2（x ﹣1）2﹣（﹣（x x 2﹣1）=0=0，， 2（x ﹣1）2﹣（﹣（x+1x+1x+1））（x ﹣1）=0=0，， （x ﹣1）[2[2（（x ﹣1）﹣（）﹣（x+1x+1x+1））]=0]=0，， （x ﹣1）（x ﹣3）=0=0，， x 1=1=1，，x 2=3=3；； 75.（x ﹣1）（x ﹣+3+3））=0=0，， ∴x 1=1=1，，x 2=-376. 4x （2x 2x﹣﹣1）=3=3（（2x 2x﹣﹣1）； 原方程可化为：原方程可化为：原方程可化为：4x 4x 4x（（2x 2x﹣﹣1）﹣）﹣33（2x 2x﹣﹣1）=0=0，， （2x 2x﹣﹣1）（4x 4x﹣﹣3）=0=0，， 2x ﹣1=0或4x 4x﹣﹣3=03=0，， 解得：，；77. 2x 2+x +x﹣﹣1=01=0．．原方程可化为：（2x 2x﹣﹣1）（x+1x+1））=0=0，， 2x ﹣1=0或x+1=0x+1=0，， 解得：，x 2=﹣1．78. （3x 3x﹣﹣2）（x+4x+4））=（3x 3x﹣﹣2）（5x 5x﹣﹣1）； 解：（3x 3x﹣﹣2）（x+4x+4）﹣（）﹣（）﹣（3x 3x 3x﹣﹣2）（5x 5x﹣﹣1）=0 （3x 3x﹣﹣2）[（x+4x+4）﹣（）﹣（）﹣（5x 5x 5x﹣﹣1）]=0（3x 3x﹣﹣2）（﹣（﹣4x+54x+54x+5））=0 3x 3x﹣﹣2=0或﹣或﹣4x+5=0 4x+5=0；79. （x+1x+1））（x+3x+3））=15=15．． 方程整理得：方程整理得：方程整理得：x x 2+4x +4x﹣﹣12=0 （ x+6）（x ﹣2）=0 x 1=﹣6，x 2=2=2．．80. x 2﹣5x 5x﹣﹣6=0 解：（x ﹣6）（x+1x+1））=0=0，， x ﹣6=0或x+1=0x+1=0，，∴原方程的解是x 1=6=6，，x 2=﹣1． 81. x 2﹣2x=99解：解：（x ﹣1111））（x+9x+9））=0=0，， x ﹣11=0或x+9=0x+9=0，， ∴原方程的解是x 1=11=11，，x 2=﹣9． 82. （x ﹣3）2﹣4x+12=0解：解：（x ﹣3）2﹣4（x ﹣3）=0=0，， （x ﹣7）（x ﹣3）=0=0，，x ﹣3=0或x ﹣7=07=0，， ∴原方程的解是x 1=3=3，，x 2=7=7．． 83. 4（x+1x+1））2=9=9（（x ﹣2）2解：（2x+22x+2））2=（3x 3x﹣﹣6）2， （2x+2+3x 2x+2+3x﹣﹣6）（2x+22x+2﹣﹣3x+63x+6））=0=0，， 即：（5x 5x﹣﹣4）（8﹣x ）=0=0，， x=8或x=，∴原方程的解是84. x 2=2x移项，得x 2﹣2x=02x=0，， 因式分解，得x （x ﹣2）=0=0，， 所以x=0或x=2x=2．．85. （x+4x+4））2=5=5（（x+4x+4））移项，得，移项，得，（x+4x+4））2﹣5（x+4x+4））=0=0，， 因式分解得，（x+4x+4））[（x+4x+4）﹣）﹣）﹣5]=05]=05]=0，， x+4=0或x ﹣1=01=0，， 解得，解得，解得，x x 1=﹣4，x 2=187. 16（x ﹣1）2=225 16（x ﹣1）2﹣152=0=0，，所以所以[4[4[4（（x ﹣1）+15][4+15][4（（x ﹣1）﹣）﹣15]=015]=015]=0，， 即4x+11=04x+11=0，，4x 4x﹣﹣19=019=0，， 得x 1=﹣，x 2=．88. 4x 2﹣4x+1=x 2﹣6x+9方程变为（方程变为（2x 2x 2x﹣﹣1）2﹣（﹣（x x ﹣3）2=0=0，，所以所以[[（2x 2x﹣﹣1）+（x ﹣3）][][（（2x 2x﹣﹣1）﹣（）﹣（x x ﹣3）]=0]=0，， 即3x 3x﹣﹣4=04=0，，x+2=0x+2=0，， 得x 1=，x 2=﹣2．89. 9（x+1x+1））2=4=4（（x ﹣1）2（4）x 2﹣4x+4=4x+4=（（3﹣2x 2x））2原方程变为原方程变为[3[3[3（（x+1x+1））]2﹣[2[2（（x ﹣1）]2=0=0，，所以所以[3[3[3（（x+1x+1））+2+2（（x ﹣1）][3][3（（x+1x+1）﹣）﹣）﹣22（x ﹣1）]=0]=0，， 即（即（5x+15x+15x+1））（x+5x+5））=0=0，， 得x 1=﹣，x 2=﹣5．90. （x ﹣2）2=（3﹣2x 2x））2． （x ﹣2）2﹣（﹣（33﹣2x 2x））2=0=0，， （x ﹣2+32+3﹣﹣2x 2x））（x ﹣2﹣3+2x 3+2x））=0=0，， （1﹣x ）（3x 3x﹣﹣5）=0=0，， 所以x 1=1=1，，x 2=91. （x+2x+2））2﹣1010（（x+2x+2））+25=0 因式分解得，因式分解得，因式分解得，[[（x+2x+2）﹣）﹣）﹣5]5]2=0=0，， 解得，解得，x x 1=x 2=39292．．x 2﹣2（p ﹣q ）x ﹣4pq=04pq=0．． ∵x 2﹣2（p ﹣q ）x ﹣4pq=0 ∴（∴（x x ﹣2p 2p））（x+2q x+2q））=0=0，， ∴x 1=2p =2p，，x 2=﹣2q 2q．．9393．．x 2+10x+21=0+10x+21=0，，把左边分解因式得：（x+3x+3））（x+7x+7））=0=0，， 则：则：x+3=0x+3=0x+3=0，，x+7=0x+7=0，， 解得：解得：x x 1=﹣3，x 2=﹣7．94.294.2（（x ﹣2）2=3=3（（x ﹣2）∵2（x ﹣2）2=3=3（（x ﹣2）， ∴（∴（x x ﹣2）（2x 2x﹣﹣4﹣3）=0=0，， 即x ﹣2=0或2x 2x﹣﹣7=07=0，， 解得：解得：x x 1=2=2，，x2=；95. 3（x ﹣5）2=2=2（（5﹣x ）， 变形得：变形得：33（5﹣x ）2=2=2（（5﹣x ）， 移项得：移项得：33（5﹣x ）2﹣2（5﹣x ）=0=0，， 分解因式得：（5﹣x ）（1313﹣﹣3x 3x））=0=0，， 则：则：55﹣x=0x=0，，1313﹣﹣3x=03x=0，， 解得：解得：x x 1=5=5，，x 2=；96.，分解因式得：（x ﹣）（x ﹣）=0=0，，则x ﹣=0=0，，x ﹣=0=0，， 解得：解得：x x 1=，x 2=．97. 5x 2﹣4x 4x﹣﹣12=012=0，， （5x+65x+6））（x ﹣2）=0=0，， 5x+6=0，x ﹣2=02=0，， x 1=﹣，x 2=2=2．． 98. （x ﹣）=5x =5x（（﹣x ）， （x ﹣）+5x +5x（（x ﹣）=0=0，，（x ﹣）（1+5x 1+5x））=0=0，，x ﹣=0=0，，1+5x=01+5x=0，， x 1=，x 2=﹣．9999．．9（x ﹣2）2﹣4（x+1x+1））2=0=0．．9（x ﹣2）2﹣4（x+1x+1））2=0（3x 3x﹣﹣6+2x+26+2x+2））（3x 3x﹣﹣6﹣2x 2x﹣﹣2）=0=0，， 整理得：（5x 5x﹣﹣4）（x ﹣8）=0=0，， 解方程得：解方程得：x x 1=，x 2=8 100100．．．x （x ﹣2）=2=2（（x+6x+6））， x 2﹣2x=2x+122x=2x+12，， x 2﹣4x 4x﹣﹣12=012=0，， （x ﹣6）（x+2x+2））=0=0，， x 1=6=6，，x 2=﹣2． ∴原方程的根为x 1=6=6，，x 2=﹣2101101．．（2）x 2﹣8x+15=08x+15=0；；把左边分解因式得：（x ﹣3）（x ﹣5）=0=0，， 则x ﹣3=03=0，，x ﹣5=05=0，，解得：解得：x x 1=5=5，，x 2=3=3；； 102. ； 移项得：移项得：y y 2﹣2y+2=0y+2=0，， （y ﹣）2=0=0，，两边开方得：两边开方得：两边开方得：y y ﹣=0=0，，则y 1=y 2=； 103. 6x 2﹣x ﹣12=012=0．． 由原方程，得由原方程，得由原方程，得 （2x 2x﹣﹣3）（3x+43x+4））=0=0，， 解得，解得，x=x=，或x=x=﹣﹣104. 2x 2﹣x ﹣6=0原方程化为（原方程化为（2x+32x+32x+3））（x ﹣2）=0=0，， 解得x 1=﹣，x 2=2=2；； 105. ﹣x 2+6x +6x﹣﹣5=0 原方程化为原方程化为x 2﹣6x+5=0分解因式，得（分解因式，得（分解因式，得（x x ﹣1）（x ﹣5）=0=0，， 解得x 1=1=1，，x 2=5=5；；106. （x ﹣5）2=（2x 2x﹣﹣1）（5﹣x ） 移项，得（移项，得（x x ﹣5）2+（2x 2x﹣﹣1）（x ﹣5）=0=0，， 提公因式，得（提公因式，得（x x ﹣5）（x ﹣5+2x 5+2x﹣﹣1）=0=0，， 解得x 1=5=5，，x 2=2107. （x+1x+1））（x+2x+2））=3x+6=3x+6．． ∵（∵（x+1x+1x+1））（x+2x+2））=3x+6=3x+6，， ∴（∴（∴（x+1x+1x+1））（x+2x+2））=3=3（（x+2x+2））， ∴（∴（∴（x+1x+1x+1））（x+2x+2）﹣）﹣）﹣33（x+2x+2））=0=0，， ∴（∴（∴（x+2x+2x+2））（x+1x+1﹣﹣3）=0=0，， ∴x+2=0或x+1x+1﹣﹣3=0 ∴x 1=﹣2，x 2=2108. x 2﹣9=09=0，， x 2=9=9，， 解得：解得：解得：x x 1=3=3，，x 2=﹣3，109. x 2+3x +3x﹣﹣4=04=0，， （x ﹣1）（x+4x+4））=0=0，， 解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=﹣4，110. x 2﹣3x+2=03x+2=0，， （x ﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 解得：解得：x x 1=1=1，，x 2=2111. 4（3x 3x﹣﹣1）2=25=25（（2x+12x+1））2．∵4（3x 3x﹣﹣1）2﹣2525（（2x+12x+1））2=0=0，，∴[2[2（（3x 3x﹣﹣1）﹣）﹣55（2x+12x+1））][2][2（（3x 3x﹣﹣1）+5+5（（2x+12x+1））]=0]=0，， ∴2（3x 3x﹣﹣1）﹣）﹣55（2x+12x+1））=0或2（3x 3x﹣﹣1）+5+5（（2x+12x+1））=0=0，， ∴x 1=﹣，x 2=﹣．112. （3x+53x+5））2﹣4（3x+53x+5））+3=0 设3x+5=y 3x+5=y，则原方程变为，则原方程变为，则原方程变为 y 2﹣4y+3=04y+3=0，，∴（∴（y y ﹣1）（y ﹣3）=0=0，， 解得，解得，y=1y=1或y=3y=3；；①当y=1时，时，3x+5=13x+5=13x+5=1，解得，解得x=x=﹣﹣；②当y=3时，时，3x+5=33x+5=33x+5=3，解得，，解得，，解得，x=x=x=﹣﹣；∴原方程的解是x=x=﹣﹣，或x=x=﹣﹣； 113. （3x+23x+2））（x+3x+3））=x+14 由原方程，得由原方程，得 （x+4x+4））（3x 3x﹣﹣2）=0=0，， 解得x=x=﹣﹣4，或x=；114. 3（x+1x+1））2=（x+1x+1）） 移项得，移项得，33（x+1x+1））2﹣（﹣（x+1x+1x+1））=0=0，， 提公因式得，（x+1x+1））（3x+33x+3﹣﹣1）=0=0，， 即x+1=0或3x+33x+3﹣﹣1=01=0，， 解得x 1=﹣1，x 2=﹣115.115.（（x ﹣2）2﹣4=0∵（∵（x x ﹣2﹣2）（x ﹣2+22+2））=0=0，， ∴x ﹣2﹣2=0或x ﹣2+2=02+2=0，，∴x 1=4=4，，x 2=0=0；； 116.116.（（x ﹣3）2+2x +2x（（x ﹣3）=0 ∵（∵（x x ﹣3）（x ﹣3+2x 3+2x））=0=0，， ∴x ﹣3=0或x ﹣3+2x=03+2x=0，， ∴x 1=3=3，，x 2=1=1；；117.117.（（3x 3x﹣﹣1）2=（x+1x+1））2∵3x 3x﹣﹣1=1=±（±（±（x+1x+1x+1））， 即3x 3x﹣﹣1=x+1或3x 3x﹣﹣1=1=﹣（﹣（﹣（x+1x+1x+1））， ∴x 1=1=1，，x 2=0=0；；118.118.（（x+5x+5））2﹣2（x+5x+5）﹣）﹣）﹣8=08=08=0．．∵[（x+5x+5）﹣）﹣）﹣4][4][4][（（x+5x+5））+2]=0+2]=0，， ∴（∴（x+5x+5x+5）﹣）﹣）﹣4=04=0或（或（x+5x+5x+5））+2=0+2=0，， ∴x 1=﹣1，x 2=﹣7．119. x 2﹣8x=9 变形为：变形为：x x 2﹣8x 8x﹣﹣9=09=0，， （x ﹣9）（x+1x+1））=0=0，， 则：则：x x ﹣9=0或x+1=0x+1=0，， 解得：解得：x x 1=9=9，，x 2=﹣1；120. （x ﹣2）2=（2x+32x+3））2． 变形为：（x ﹣2）2﹣（﹣（2x+32x+32x+3））2=0=0，， （x ﹣2+2x+32+2x+3））（x ﹣2﹣2x 2x﹣﹣3）=0=0，， （3x+13x+1））（﹣（﹣x x ﹣5）=0=0，， 则：则：3x+1=03x+1=03x+1=0，﹣，﹣，﹣x x ﹣5=05=0，， 解得：解得：x x 1=﹣，x 2=﹣5．121. x 2﹣3=33=3（（x+1x+1））； 整理得整理得x 2﹣3x 3x﹣﹣4=04=0，， ∴（∴（∴（x+1x+1x+1））（x ﹣4）=0=0，， ∴x+1=0或x ﹣4=04=0，， ∴x 1=﹣1，x 2=4=4；；122. （y ﹣3）2+3+3（（y ﹣3）+2=0 ∵（∵（y y ﹣3+23+2））（y ﹣3+13+1））=0=0，， ∴y ﹣3+2=0或y ﹣3+1=03+1=0，， ∴y 1=1=1，，y 2=2=2；；123. 7x （5x+25x+2））=6=6（（5x+25x+2）） ∵7x 7x（（5x+25x+2）﹣）﹣）﹣66（5x+25x+2））=0=0，， ∴（∴（5x+25x+25x+2））（7x 7x﹣﹣6）=0=0，， ∴5x+2=0或7x 7x﹣﹣6=06=0，， ∴x 1=﹣，x 2=124124．．（3）6（x+4x+4））2﹣（﹣（x+4x+4x+4）﹣）﹣）﹣2=0 2=06（x+4x+4））2﹣（﹣（x+4x+4x+4）﹣）﹣）﹣2=02=02=0，， [3[3（（x+4x+4）﹣）﹣）﹣2][22][22][2（（x+4x+4））+1]=0+1]=0，， （3x+43x+4））（2x+72x+7））=0=0，， 3x+4=03x+4=0，，2x+7=02x+7=0，， 解得：解得：x x 1=﹣，x 2=﹣；125. x 2﹣（﹣（3m 3m 3m﹣﹣1）x+2m 2﹣m=0m=0，， （x ﹣m ）[x [x﹣（﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）]=0]=0，， x ﹣m=0m=0，，x ﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）=0=0，， 解得：解得：x x 1=m =m，，x 2=2m =2m﹣﹣1126126．．x 2﹣2x 2x﹣﹣224=0224=0．． x 2﹣2x 2x﹣﹣224=0 （x ﹣1616））（x+14x+14））=0=0，， 解得：解得：x x 1=16=16；；x 2=﹣1414．． 127.127.．．方程两边同时乘以2，得（，得（x+3x+3x+3））2=4=4（（x+2x+2））2， 移项，得（移项，得（x+3x+3x+3））2﹣4（x+2x+2））2，=0=0，， （x+3+4x+8x+3+4x+8））（x+3x+3﹣﹣4x 4x﹣﹣8）=0=0，， 即5x+11=0或﹣或﹣3x 3x 3x﹣﹣5=05=0，， 解得x 1=﹣，x 2=﹣；128128．．5x 5x（（x ﹣3）﹣（）﹣（x x ﹣3）（x+1x+1））=0=0．．∵（∵（x x ﹣3）（5x 5x﹣﹣x ﹣1）=0=0，， ∴x ﹣3=0或5x 5x﹣﹣x ﹣1=01=0，，∴x 1=3=3，，x 2=129129．．x 2﹣11x+28=0 x 2﹣11x+28=011x+28=0，， （x ﹣4）（x ﹣7）=0=0，， x ﹣4=04=0，，x ﹣7=07=0，，x 1=4=4，，x 2=7130. 4y 2﹣25=025=0；； （2y+52y+5））（2y 2y﹣﹣5）=0=0，， 所以y 1=﹣，y 2=；131.131.（（2x+32x+3））2﹣36=036=0；； （2x+32x+3））2﹣36=036=0；； （2x+3+62x+3+6））（2x+32x+3﹣﹣6）=0=0，， 所以x 1=﹣，x 2=；132. x 2﹣3x+2=03x+2=0；； （x ﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 所以x 1=1=1，，x 2=2=2；；133. 2t 2﹣7t 7t﹣﹣4=04=0；； （t ﹣4）（2t+12t+1））=0=0，， 所以t 1=4=4，，t 2=﹣；134. 5y （y ﹣1）=2=2（（y ﹣1）方程变形得：方程变形得：5y 5y 5y（（y ﹣1）﹣）﹣22（y ﹣1）=0=0，， 因式分解得：（y ﹣1）（5y 5y﹣﹣2）=0=0，， 可得y ﹣1=0或5x 5x﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：y y 1=1=1，，y 2=．135. x 2+（1+2）x+3+=0=0；；（x+）（x+1+）=0x+=0或x+1+=0∴x 1=﹣，x 2=﹣1﹣．136.136.（（x ﹣3）2+（x+4x+4））2﹣（﹣（x x ﹣5）2=17x+24=17x+24．． 原方程整理得：原方程整理得：x x 2﹣5x 5x﹣﹣24=0 （x ﹣8）（x+3x+3））=0 ∴x 1=8=8，，x 2=﹣3．137.x 2﹣3|x|3|x|﹣﹣4=0|x|2﹣3|x|3|x|﹣﹣4=0 （|x||x|﹣﹣4）（|x|+1|x|+1））=0|x||x|﹣﹣4=0|x|+14=0|x|+1≠≠0 ∴|x|=4∴x 1=4=4，，x 2=﹣4．。

专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。

二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。