高三数学解析几何复习材料 苏教版

苏州市高三数学 解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________． 【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________． 【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33． 所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ． 【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12． 例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是 ． 【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)． 当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， 所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】： 圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是 ． 【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一： 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________． 【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5， 所以OP max ＝OC ＋r ＝6， 即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率 ． 【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+． 因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+． 将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±． 当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为 ．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________． 【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为 ． 【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________． 【答案】k ≥34-． 【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立， 只需点位于的中点时存在公共点即可． 点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-． 【考点三】： 圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253． 【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =； 当焦点在y轴上时，e ==253m =． 例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________． 【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45． 解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ． 【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53． 【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠． 把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=． 根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ．【答案】152022=+y x ． 【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =． 双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ． 所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=， 则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ． 例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-． 例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程； （2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=． 联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ． 例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程． 【解析】(1)证明 直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内， 所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)， 所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2， 从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22， 解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ， 从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)． 因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方， 故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=， 解得32m =-或0m =（舍）． 所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-． 设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ． 又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6． 例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 ． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 ． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4． 改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥， 当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。

高三数学解析几何复习材料一、考点回顾：1.基本曲线方程：圆，圆锥曲线3. 圆锥曲线的离心率：ae =椭圆：10<<e 双曲线：1>e 抛物线：1=e4. 圆锥曲线的焦半径公式：5. 直线与圆锥曲线之间的关系，①定直线曲线 ②动直线曲线6.高考热点题型主要有：⑴运用方程（组）求圆锥曲线的基本量 ⑵运用函数研究圆锥曲线的有关量的范围 ⑶运用直译法或参数法求动点的轨迹方程 ⑷运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质 ⑸运用一元二次方程研究直线和圆锥曲线相交的问题。

二、课前预习：1. 已知F F 12，是双曲线x y 2221-=的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ ） A. 42B. 8C. 22D. 随α大小变化2. 已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43D.y ＝±x 43 3. 定点M 3103，⎛⎝⎫⎭⎪与抛物线y x 22=上一点P 之间的距离为x P 1，到准线的距离为x 2，当x x 12+取得最小值时，点P 的坐标为___________。

4. 双曲线2x 2－y 2+6=0上的一点P 到一个焦点的距离为4，则点P 到较远的准线的距离是（ ）A ．31264+ B ．62364或 C ．364 D ．462+三、例题精析：5. 已知双曲线与椭圆在x 轴上有公共焦点，若椭圆焦距为52，它们的离心率是方程6x 2-55x+5 =0的两根，求双曲线和椭圆的标准方程．6. 已知双曲线2222by a x -=1（a >0，b >0）的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点.（1）求证：PF ⊥l ;（2）若|PF |=3，且双曲线的离心率e =45，求该双曲线方程； （3）延长FP 交双曲线左准线l 1和左支分别为点M 、N ，若M 为PN 的中点，求双曲线的离心率.7. 已知椭圆C x a y ba b 1222210：+=>>()的一条准线方程是x =254，其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线C x a y b222221：-=的一条渐近线方程为350x y -=。

第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直， 得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． 解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． 所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)． 答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离， 又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________． 解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等， 即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )， 则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________． 解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________． 解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)． 答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， 所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1， 解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________． 解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0， 所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m， 故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3， 当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号． 故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)， 所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32， 所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65， 所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0， 则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3， 所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。

高三数学直线与圆提优复习讲义知 识 梳 理解析几何涉及 直线与圆中的几个重要结论： 1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（这里只列了常用的三种） （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线间的位置与斜率关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠； 12121l l k k ⊥⇔=-；1212120l l l l x y k k ⇒+=、倾斜角互补(常见：、关于轴或轴对称)4、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )5、两个距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是：0022|0|Ax By C d A B++==+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：1222||C C d A B-=+.（注意：当12l l 、斜率相等求距离时注意化,x y 的系数A,B 为一致）学员姓名 年 级 高三 上课时间辅导科目 数学学科教师课 题直线系与圆系方程题 型 分 类题型一 过定点直线系方程在解题中的应用例1．求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的切线的方程．变式训练：过点(4,1)P -作圆22(2)(3)4x y ++-=的切线为l ，求切线l 的方程．总结：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．题型二 过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2．求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等 的直线方程.变式训练：1.直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，求出定点坐标.2．直线(2)310mx m y x +-+-=恒过的定点是 .3．求出方程2(2)210a x ay x a +++++=恒过的定点。

１．直线的倾斜角（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.（２）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π）．２．斜率公式（１）直线l的倾斜角为α错误!，则斜率k＝tan_α.（２）P１（x１，y１），P２（x２，y２）在直线l上，且x１≠x２，则l的斜率k＝错误!.３．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y—y0＝k（x—x0）不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式错误!＝错误!不含直线x＝x１（x１≠x２）和直线y＝y１（y１≠y２）截距式错误!＋错误!＝１不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A２＋B２≠0平面内所有直线都适用[小题体验]１．若过点M（—２，m），N（m,４）的直线的斜率等于１，则m的值为________．答案：１２．已知a≠0，直线ax＋my—５m＝0过点（—２,１），则此直线的斜率为________．答案：２３．已知三角形的三个顶点A（—５,0），B（３，—３），C（0,２），则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC的中点坐标为错误!，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝—错误!，故BC边上的中线所在直线方程为y＋错误!＝—错误!错误!，即x＋１３y＋５＝0．答案：x＋１３y＋５＝0４．已知直线l：ax＋y—２—a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为２＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为１＋错误!.依题意２＋a＝１＋错误!，解得a＝１或a＝—２．答案：１或—２１．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．２．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．３．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]１．若直线l经过点A（１,２），且倾斜角是直线y＝x＋３的倾斜角的２倍，则直线l的方程为____________．解析：因为直线y＝x＋３的倾斜角为α＝４５°，所以所求直线l的倾斜角为２α＝90°，所以直线l 的方程为x＝１．答案：x＝１２．过点M（３，—４），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：１若直线过原点，则k＝—错误!，所以y＝—错误!x，即４x＋３y＝0．２若直线不过原点．设错误!＋错误!＝１，即x＋y＝a.则a＝３＋（—４）＝—１，所以直线的方程为x＋y＋１＝0．答案：４x＋３y＝0或x＋y＋１＝0错误!错误![题组练透]１．（２0１9·启东中学检测）倾斜角为１３５°，在y轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：直线的斜率为k＝tan １３５°＝—１，所以直线方程为y＝—x—１，即x＋y＋１＝0．答案：x＋y＋１＝0２．（２0１8·绥化一模）直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：因为直线x sin α＋y＋２＝0的斜率k＝—sin α，又—１≤sin α≤１，所以—１≤k≤１．设直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角为θ，所以—１≤tan θ≤１，而θ∈[0，π），故倾斜角的取值范围是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若点A（４,３），B（５，a），C（6,５）三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝错误!＝１，k AB＝错误!＝a—３．由于A，B，C三点共线，所以a—３＝１，即a ＝４．答案：４４．已知线段P Q两端点的坐标分别为P（—１,１）和Q（２,２），若直线l：x＋my＋m＝0与线段P Q有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A（0，—１），当m≠0时，k Q A＝错误!，k PA＝—２，k l＝—错误!.结合图象知，若直线l与P Q有交点，应满足—错误!≤—２或—错误!≥错误!.解得0＜m≤错误!或—错误!≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段P Q有交点．所以实数m的取值范围为错误!.答案：错误![谨记通法]１．倾斜角α与斜率k的关系当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k的值由0增大到＋∞.当α∈错误!时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由错误!错误!增大到π（α≠π）时，k的值由—∞趋近于0（k≠0）．２．斜率的２种求法（１）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．（２）公式法：若已知直线上两点A（x１，y１），B（x２，y２），一般根据斜率公式k＝错误!（x１≠x）求斜率．２错误!错误![典例引领]（１）求过点A（１,３），斜率是直线y＝—４x的斜率的错误!的直线方程；（２）求经过点A（—５,２），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的２倍的直线方程．解：（１）设所求直线的斜率为k，依题意k＝—４×错误!＝—错误!.又直线经过点A（１,３），因此所求直线方程为y—３＝—错误!（x—１），即４x＋３y—１３＝0．（２）当直线不过原点时，设所求直线方程为错误!＋错误!＝１，将（—５,２）代入所设方程，解得a＝—错误!，所以直线方程为x＋２y＋１＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则—５k＝２，解得k＝—错误!，所以直线方程为y＝—错误!x，即２x＋５y＝0．故所求直线方程为２x＋５y＝0或x＋２y＋１＝0．[由题悟法]求直线方程的２个注意点（１）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．（２）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）．[即时应用]１．过点P（6，—２），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大１的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，解得a＝２或a＝１，则直线方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１，即２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0．答案：２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0２．在△ABC中，已知A（５，—２），B（7,３），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．解析：设C（x0，y0），则M错误!，N错误!.因为点M在y轴上，所以错误!＝0，所以x0＝—５．因为点N在x轴上，所以错误!＝0，所以y0＝—３，即C（—５，—３），所以M错误!，N（１,0），所以直线MN的方程为错误!＋错误!＝１，即５x—２y—５＝0．答案：５x—２y—５＝0错误!错误![锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：（１）与基本不等式相结合的最值问题；（２）与导数的几何意义相结合的问题；（３）与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题１．（２0１9·如皋检测）过点P（２,１）的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（１）当OA·OB最小时，求直线l的方程；（２）当２OA＋OB最小时，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y—１＝k（x—２）（k＜0），则l与x轴，y轴正半轴分别交于A错误!，B（0,１—２k）两点．（１）OA·OB＝错误!·（１—２k）＝４＋（—４k）＋错误!≥４＋２错误!＝8，当且仅当—４k＝—错误!，即k＝—错误!时取得最小值8．故当OA·OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—错误!（x—２），即x＋２y—４＝0．（２）２OA＋OB＝２错误!＋（１—２k）＝５＋错误!＋（—２k）≥５＋２错误!＝9，当且仅当—错误!＝—２k，即k＝—１时取得最小值9．故当２OA＋OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—（x—２），即x＋y—３＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题２．设P为曲线C：y＝x２＋２x＋３上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，则点P横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y′＝２x＋２，设P（x0，y0），则k＝２x0＋２．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，所以0≤k≤１，即0≤２x0＋２≤１，故—１≤x0≤—错误!.答案：错误!角度三：与圆相结合求直线方程的问题３．（２0１8·徐州调研）已知点P是圆O：x２＋y２＝４上的动点，点A（４,0），若直线y＝kx＋１上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，求实数k的取值范围．解：设P（２cos θ，２sin θ），则AP的中点坐标为Q（cos θ＋２，sin θ），因为点Q在直线y＝kx＋１上，所以sin θ＝k（cos θ＋２）＋１，即k＝错误!，即k表示单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（—２,１）连线的斜率．设过点（—２,１）的直线方程为y—１＝k（x＋２），若要满足题意，则圆心到直线kx—y＋２k＋１＝0的距离d＝错误!≤１，解得k∈错误!.[通法在握]处理直线方程综合应用的思路（１）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．（２）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]１．已知直线l１：ax—２y＝２a—４，l２：２x＋a２y＝２a２＋４，当0＜a＜２时，直线l１，l２与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l１：ax—２y＝２a—４，所以当x＝0时，y＝２—a，即直线l１与y轴交于点A（0,２—a）．因为l２：２x＋a２y＝２a２＋４，所以当y＝0时，x＝a２＋２，即直线l２与x轴交于点C（a２＋２,0）．易知l１与l２均过定点（２,２），即两直线相交于点B（２,２）．则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝错误!（２—a）×２＋错误!（a２＋２）×２＝错误!２＋错误!≥错误!.所以S min＝错误!，此时a＝错误!.答案：错误!２．已知点P在直线x＋３y—２＝0上，点Q在直线x＋３y＋6＝0上，线段P Q的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋２，求错误!的取值范围．解：依题意可得错误!＝错误!，化简得x0＋３y0＋２＝0，又y0＜x0＋２，k OM＝错误!，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB（不包括端点）上时，k OM＞0，当点M位于射线BN上除B点外时，k OM＜—错误!.所以错误!的取值范围是错误!∪（0，＋∞）．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通模拟）将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y＝２x的倾斜角是α，则tan α＝２，将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则倾斜角变为α＋错误!，∴所得直线的斜率k＝tan错误!＝错误!＝—３．答案：—３２．（２0１8·南通中学月考）过点P（—２,４）且斜率k＝３的直线l的方程为________．解析：由题意得，直线l的方程为y—４＝３[x—（—２）]，即３x—y＋１0＝0．答案：３x—y＋１0＝0３．若直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．解析：解方程组错误!得错误!因为直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，所以k＋6＞0且k＋２＜0，所以—6＜k＜—２．答案：（—6，—２）４．（２0１8·南京名校联考）曲线y＝x３—x＋５上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ（θ∈[0，π）），因为y′＝３x２—１≥—１，所以tan θ≥—１，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!５．（２0１9·无锡模拟）已知直线（a—２）y＝（３a—１）x—１，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：若a—２＝0，即a＝２时，直线方程可化为x＝错误!，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a—２≠0，直线方程可化为y＝错误!x—错误!，此时若直线不经过第二象限，则错误!≥0，错误!≥0，解得a＞２．综上，满足条件的实数a的取值范围是[２，＋∞）．答案：[２，＋∞）6．（２0１8·南京调研）已知函数f（x）＝a sin x—b cos x，若f错误!＝f错误!，则直线ax—by＋c＝0的倾斜角为________．解析：由f错误!＝f错误!知函数f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，所以f（0）＝f错误!，所以—b＝a，则直线ax—by＋c＝0的斜率为错误!＝—１，故其倾斜角为错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·泰州模拟）倾斜角为１２0°，在x轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：由于倾斜角为１２0°，故斜率k＝—错误!.又直线过点（—１,0），所以直线方程为y＝—错误!（x＋１），即错误!x＋y＋错误!＝0．答案：错误!x＋y＋错误!＝0２．（２0１8·泗阳中学检测）若直线l与直线y＝１，x＝7分别交于点P，Q，且线段P Q的中点坐标为（１，—１），则直线l的斜率为________．解析：设P（x,１），Q（7，y），则错误!＝１，错误!＝—１，所以x＝—５，y＝—３，即P（—５,１），Q（7，—３），故直线l的斜率k＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１9·苏州调研）已知θ∈R，则直线x sin θ—错误!y＋１＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!sin θ，∵—１≤sin θ≤１，∴—错误!≤tan α≤错误!，又α∈[0，π），∴0≤α≤错误!或错误!≤α＜π.答案：错误!∪错误!４．已知两点A（0,１），B（１,0），若直线y＝k（x＋１）与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：y＝k（x＋１）是过定点P（—１,0）的直线，k PB＝0，k PA＝错误!＝１，所以实数k的取值范围是[0,１]．答案：[0,１]５．已知点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，则x２＋y２的最小值是________．解析：因为点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，所以y＝４—x，所以x２＋y２＝x２＋（４—x）２＝２（x—２）２＋8，当x＝２时，x２＋y２取得最小值8．答案：86．（２0１9·南京模拟）过点P（２,３）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为错误!＋错误!＝１，把P（２,３）代入，得错误!＋错误!＝１，a ＝５，直线方程为x＋y—５＝0．若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P（２,３）代入，得３＝２k，k＝错误!，直线方程为３x—２y ＝0．综上，所求直线方程为x＋y—５＝0或３x—２y＝0．答案：x＋y—５＝0或３x—２y＝07．已知直线l：y＝kx＋１与两点A（—１,５），B（４，—２），若直线l与线段AB相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l：y＝kx＋１的方程恒过点P（0,１），如图，∵k PA＝—４，k PB＝—错误!，∴实数k的取值范围是（—∞，—４]∪错误!.答案：（—∞，—４]∪错误!8．若直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）经过点（１,２），则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点（１,２）得错误!＋错误!＝１．于是a＋b＝（a＋b）·错误!＝３＋错误!＋错误!，因为错误!＋错误!≥２错误!＝２错误!错误!，所以a＋b≥３＋２错误!，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为３＋２错误!.答案：３＋２错误!9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为３，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（１）过定点A（—３,４）；（２）斜率为错误!.解：（１）设直线l的方程为y＝k（x＋３）＋４，它在x轴，y轴上的截距分别是—错误!—３,３k＋４，由已知，得（３k＋４）错误!＝±6，解得k１＝—错误!或k２＝—错误!.故直线l的方程为２x＋３y—6＝0或8x＋３y＋１２＝0．（２）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝错误!x＋b，它在x轴上的截距是—6b，由已知，得|—6b·b|＝6，所以b＝±１．所以直线l的方程为x—6y＋6＝0或x—6y—6＝0．１0．已知直线l的方程为（m２—２m—３）x＋（２m２＋m—１）y＋6—２m＝0．（１）求实数m的取值范围；（２）若直线l的斜率不存在，求实数m的值；（３）若直线l在x轴上的截距为—３，求实数m的值；（４）若直线l的倾斜角是４５°，求实数m的值．解：（１）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m２—２m—３＝0，解得m＝—１或m＝３；令２m２＋m—１＝0，解得m＝—１或m＝错误!.所以实数m的取值范围是（—∞，—１）∪（—１，＋∞）．（２）由（１）易知，当m＝错误!时，方程表示的直线的斜率不存在．（３）依题意，有错误!＝—３，所以３m２—４m—１５＝0，所以m＝３或m＝—错误!，由（１）知所求m＝—错误!.（４）因为直线l的倾斜角是４５°，所以斜率为１．由—错误!＝１，解得m＝错误!或m＝—１（舍去）．所以直线l的倾斜角为４５°时，m＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·无锡期末）过点（２,３）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为________________．解析：设直线l的斜率为k，且k＜0，所以直线l的方程为y—３＝k（x—２），即kx—y＋３—２k ＝0．令x＝0，得y＝３—２k，所以B（0，３—２k）；令y＝0，得x＝２—错误!，所以A错误!.则△AOB 的面积为S＝错误!（３—２k）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝１２，当且仅当—错误!＝—４k，即k＝—错误!时等号成立，所以直线l的方程为３x＋２y—１２＝0．答案：３x＋２y—１２＝0２．已知曲线y＝错误!，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y′＝错误!＝错误!，因为e x＞0，所以e x＋错误!≥２错误!＝２（当且仅当e x＝错误!，即x＝0时取等号），所以e x＋错误!＋２≥４，故y′＝错误!≥—错误!（当且仅当x＝0时取等号）．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为错误!，切线的方程为y—错误!＝—错误!（x—0），即x＋４y—２＝0．该切线在x轴上的截距为２，在y轴上的截距为错误!，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝错误!×２×错误!＝错误!.答案：错误!３．已知直线l：kx—y＋１＋２k＝0（k∈R）．（１）证明：直线l过定点；（２）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（３）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（１）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋２）＋１，故无论k取何值，直线l总过定点（—２,１）．（２）直线l的方程为y＝kx＋２k＋１，则直线l在y轴上的截距为２k＋１，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k≥0，故k的取值范围是错误!.（３）依题意，直线l在x轴上的截距为—错误!，在y轴上的截距为１＋２k，所以A错误!，B（0,１＋２k）．又—错误!＜0且１＋２k＞0，所以k＞0．故S＝错误!|OA||OB|＝错误!×错误!×（１＋２k）＝错误!错误!≥错误!（４＋４）＝４，当且仅当４k＝错误!，即k＝错误!时，取等号．故S的最小值为４，此时直线l的方程为x—２y＋４＝0．。

高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容： 直线名称 已知条件直线方程使用范围 示意图 点斜式 ()111y ,x P ，k ()11x x k y y -=- k 存在 斜截式b k ， b kx y += k 存在两点式)y ,x (11（)y ,x 22121121x x x x y y y y --=-- 2121y y ,x x ≠≠截距式 b ,a1by a x =+ 0b ,0a ≠≠一般式0C By Ax =++A 、B 不全为0（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， （3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

渐 近 线焦点在x 轴上时：0=-bya x 焦点在y 轴上时： 0=-bxa y 图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p-)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴2228ab b a ab ab =+≥≥于是, ∴8OA OB ab •=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a =2b ，即a =4，b =2时取得等号。

(四)平面解析几何初步（搜集、整理：柳金爱）51．平面内两点间的距离公式:12PP =52．定比分点公式：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． 53．直线的倾斜角与斜率的关系式：tan (90)k θθ=≠．斜率公式：121212()y y k x x x x -=≠-． 54．直线方程的几种形式及适用条件：（斜截式）y kx b =+;直线的斜率存在且在y 轴上的截距为b （点斜式）11()y y k x x -=-;经过点11(,)x y 且直线的斜率存在（两点式）11122121(,)y y x x x x x x y y x x --=≠≠--;已知直线经过两点11(,)x y ,()22,x y （截距式）1(0)x y ab a b +=≠;已知直线在x,y 轴上的截距分别为a,b .（一般式）0(,)Ax By C A B ++=不同时为零．★（参数方程）__________;____________.★(极坐标方程)_____________;________★55．两条直线的“夹角”公式：211221121212tan |||1|k k A B A B k k A A B B θ--==++． “到角”公式：2112tan 1k k k k θ-=+ 561122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=57.圆的定义：(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆;(2)平面内到两定点的距离的平方和等于两定点的距离平方的点的轨迹是圆;(3)平面内到两定点连线的乘积等于-1的点的轨迹是圆;(4)平面内到两定点的距离之比为正常数(常数不为1)的点的轨迹是圆.58.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=（2）圆的一般方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->. ★（3）圆的参数方程00cos ()sin x x r y y r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数. (4)圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).59.(1)点与圆的位置关系有三种:在圆外——点与圆心之间的距离大于半径;在圆上——点与圆心之间的距离等于半径;在圆内——点与圆心之间的距离小于半径.(2)直线与圆的位置关系有三种:相离——圆心到直线的距离大于半径;相切——圆心到直线的距离等于半径;相交——圆心到直线的距离小于半径.(3)圆与圆的位置关系有五种:外离——两圆心之间的距离大于两圆半径之和；外切——两圆心之间的距离等于两圆半径之和;相交——两圆心之间的距离大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和;内切——两圆心之间的距离等于两圆半径之差的绝对值;内含——两圆心之间的距离小于两圆半径之差的绝对值.60.了解空间直角坐标系的有关概念及公式.实际上,空间直角坐标系充分地体现了立体几何与平面解析几何的完美结合,是必修2内容的总结.。

必修二部分:(三)立体几何知识28.一个空间几何体的三视图包括:主视图、左视图、俯视图.29.一个几何体的三视图必须遵循三原则：长相等、宽对正、高平齐.30．正棱柱是指底面是正多边形、侧棱垂直于底面的棱柱；正棱锥是指底面是正多边形、顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；正棱台是指用平行于正棱锥底面的平面截去正棱锥后剩余的部分.31．对照教材理解圆柱、圆锥、圆台的概念.32.试画出一个倒立圆锥的三种视图:33.理解并掌握斜二测画法的步骤.34.了解“中心投影”与“平行投影”联系与区别.35.平面的基本概念及表示法：平面是无限延展的且没有厚薄，通常利用阿拉伯字母,,,, γβα或平面AC 、平面ABCD 等来表示.36.平面的基本性质（4个公理及公理3的3个推论）——数学语言、符号语言、图形语言：公理一：如果一条直线上有两个点在同一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。

即ααα⊂∈∈∈∈l B A l B l A 则直线且若,,,, 公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条公共直线，且它一定经过该公共点，即,,.A A l A l αβαβ∈∈=∈若平面平面则直线，且公理三：经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面，即 推论（一）：经过直线与直线外一点，有且仅有一个平面，即 推论（二）：经过两条相交直线，有且仅有一个平面，即 推论（三）：经过两条平行直线，有且仅有一个平面，即公理四：空间中，如果两条直线和同一条直线平行，那么这两条直线互相平行，即37.直线a 与b 没有公共点，可以记作//,a b a b 或与异面.，直线a 与b 不平行，可以记作,a b a b 与相交或与异面.。

38.异面直线的判定定理：经过平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线,即,,,,A a A a B AB a ααα∈⊂∉∉若则直线与是异面直线.（两在两不在）39.已知两异面直线所成的角为α(02πα<<)，过空间一定点P 与两异面直线都成β角的直线的条数判断：,0;(2)90,1;22(3),),222),2l l l l l ααββαπαπαββπαβπ<=--<<=-<<(1)若则直线的条数为若或则直线的条数为若则直线的条数为2;(4若则直线的条数为3;(5若则直线的条数为4;40．线面平行的性质定理是：若直线与平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，所得的交线与已知直线平行，即////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ .41．线面垂直的性质定理是：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线，即l g g α⇒⊥⎬∀⊂⎭。

第24讲：解析几何综合问题昆山震川高级中学 张勇一．高考要求解析几何历来是高考的重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题． 二．两点解读重点：①运用方程（组）求圆锥曲线的基本量；②运用函数、不等式研究圆锥曲线有关量的范围；③运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质．难点：①对称性问题；②解析几何中的开放题、探索题、证明题；③数学思想的运用． 三．课前训练1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）4- （D ）42．已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（A ） （B ）6 （C ） （D ）123．椭圆12222=+by a x 的内接矩形的面积最大值为 ．4．两点)4,0(),0,3(B A ，动点P 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为 ．四．典型例题例 1 和圆22(3)(1)36x y -+-=关于直线0x y +=对称的圆的方程是 （ ）(A)22(1)(3)36x y +++= (B)22(1)(3)12x y +++= (C)22(1)(3)36x y -+-=(D) 22(1)(3)12x y -+-=例2 椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k ．例3 直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （ ）（A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）64例4 设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为1的点P 的个数为 ( )（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4例5 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）． （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．例6 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．第24讲 解析几何综合问题 过关练习1．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 ．2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ）（A ）1或5（B ）6 （C ）7 （D ）93．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．4．若实数,x y 满足2220x y x +-=，则22x y +的取值范围是 ．5． 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ）（A ） ]412[ππ， （B ）]12512[ππ， （C ）]36[ππ， （D ）]20[π，6．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 （ ）（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要7．已知抛物线24y x =的准线与x 轴交于M 点，过M 点作直线与抛物线交于,A B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于0(,0)E x ，（1）求0x 的取值范围；（2）ABE ∆能否是直角三角形？若能，求0x 的值，若不能，请说明理由．8．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a F 2||1=，点P 是线段Q F 1与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足02=⋅TF ，0||2≠TF ．（1）设x 为点P 的横坐标，证明：x aca F +=||1； （2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使21MF F ∆的面积2b S =．若存在，求21MF F ∠第24讲：解析几何综合问题 参考答案 课前训练部分1．D ． 2．C ． 3．2ab ． 4．3． 典型例题部分例1只要求圆心关于直线0x y +=的对称点的坐标为(1,3)--，半径不变，故选A 。

高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容：（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， （3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴28ab b a ab =+≥≥, ∴8OA OB ab ∙=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a=2b ，即a =4，b =2时取得等号。

故所求直线的方程为：x +2y -4=0． 变式：过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求PA PB ⋅取得最小值时直线的方程．解：显然直线的斜率存在，设其方程为：y -1=k （x -2）,则A 1(2,0),(0,12)B k k--由1201200k k k->-><及得，∴PA PB ⋅4=当且仅当2211k k k ==-即时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4时直线的方程为x+y -3=0．例2、已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元；（Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使混合物的成本最低．解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，46320 3130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以75450.x y +≥所以当且仅当⎩⎨⎧=-=+130y x 3320y 6x 4，即⎩⎨⎧==20y 50x 时等号成立．所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130xy x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．例3、如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线OA 的方向行驶，其中sin α=.在距离O 地a 5（a 为正常数）千米、北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=.现120指挥中心紧急调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往载有危重病人的火车，并在C 处相遇。