2014年重庆高考文科数学试题含答案(Word版)

重庆市2014年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，可知17-的相反数是17，故选A ． 【考点】相反数的定义 2.【答案】B【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减得64642222x x x x -÷==，故选B ． 【考点】同底数幂的除法运算 3.【答案】A【解析】因为二次根式中被开方数是非负数，即0a ≥，故选A 【考点】二次根式中被开方数的取值范围 4.【答案】C【解析】n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒，将5n =代人即得五边形的内角和是540，故选C ． 【考点】多边形的内角和 5.【答案】D【解析】气温最低即数值最小，8-在这四个数中处在数轴的最左边，故8-最小，故选D 【考点】有理数的大小比较 6.【答案】B【解析】将方程的两边向时乘最简公分母1x -得整式方程21x =-，解得3x =.经检验，3x =是原分式方程的解，故选B ．【考点】分式方程的解法 7.【答案】D【解析】根据方差越小越稳定，而0.020.03 0.050.11<<<，故丁的成绩最稳定，故选D 【考点】方差的意义 8.【答案】B【解析】因为//AB CD ，根据“两直线平行，同位角相等”得142EFD ∠=∠=︒，又因为FG FE ⊥，所以2180904248∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【考点】平行线的性质及垂直的定义，OA OB =43AB OC =242=3π.所以22ax a ，由①得a 只能等于【考点】一次函数图象与坐标轴的交点、解不等式组、三角形的面积计算等，DC BC =62210BC CE BE ⨯=CF BE ⊥︒,OCF ∴∠+∠又OBM ∠+BM CF =等腰R MF【解析】解：AD BC ⊥tan 4BAD ∠=,12AD =9BD ∴=CD BC ∴=2(1)(x 1)x x -+-1111x +-+补图如下：(2)用1A ,2A 表示餐饮企业，1B ,2B 表示非餐饮企业，画树状图如下：10%)150(19-24．【答案】证明：如图) BAC ∠=12∴∠=∠,AB AC =,∴∠B FCA ∠=∠ABF ∴△BE CF ∴=(2)①过E 45B ∠=AD BC ⊥2BM ED =⊥②AD BC∠=∠15=MC MC78∴∠=∠,∠=BAC∴∠=ACB∴∠=∠57∠=ADE【解析】【考点】全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角乎分线的性质等1AM ME=⨯12x=-，(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，2)5AB =,2BD AB =+1122ABD AB AD S BD AE ==△ 解得4AE =2222543BE AB AE ∴=-=-=若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图1，34∠=∠'A Q A ∴=在Rt BF ∆若点Q 在线段BD 上，如图2：1=3∠∠，3=5+∠∠35∴∠=∠4A ∴∠=∠'5F Q ∴='1A ∠=∠设QB QA =在Rt BF ∆③当PD PQ =时，如图4，有1=2=3∠∠∠1A ∠=∠253DQ ∴=11 / 11。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则解：分层抽样的抽取比例为，×5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）V=×﹣×8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，22B===+2+2＞2∴a+b=a+=a+=a+3++7+7a=4+210．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）（﹣，﹣]（﹣]（﹣]（﹣]，x=﹣＜，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．解：∵=∴∴13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．ωω（，﹣）图象上每一点的横坐标缩短为个单位长度得到函数﹣ω﹣（x+（（）=sin=故答案为：14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．=15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．，联立得，联立得×，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．∴17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．P=18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．求出sinC，且，cosC==；22=2sinCabsinC=sinC19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．y=+﹣﹣，x﹣a=+﹣﹣﹣=20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．BAD=，BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得BAD=，（BM=OBM=（，，=，=，，即PO==•OM=S PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．|=，于是可求得椭圆的标准方程；与椭圆﹣=2，得==，得，，因此，所求椭圆的标准方程为与椭圆，所以+﹣，即3﹣﹣得+1|=，==。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•重庆）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B．2．（5分）（2014•重庆）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5B．8C．10D．14【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故选：B．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．4．（5分）（2014•重庆）下列函数为偶函数的是（）A．f（x）=x﹣1B．f（x）=x2+xC．f（x）=2x﹣2﹣x D．f（x）=2x+2﹣x【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；B、f（x）=x2+x，其定义域为R，f（﹣x）=x2﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；C、f（x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x﹣2x，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；故选：D．5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10B．17C．19D．36【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3；第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9；第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17，不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19．故选：C．6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：A．7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．4D．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．9．（5分）（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7 +7=4+7，当且仅当a=4+2取等．故选：D．10．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，，，，，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B={3，5，13} ．【分析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，A、B公共元素为3、5、13，则A∩B={3，5，13}，故答案为：{3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可【解答】解：∵=（﹣2，﹣6），∴，∴＜，＞=2=10．故答案为：10．13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab 的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，∵AB=2，∠BAD=，∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（）=1，又∵BM=，∠OBM=，∴在△OBM中，OM2=OB2+BM2﹣2OB•BM•cos∠OBM=，即OB2=OM2+BM2，即OM⊥BM，∴OM⊥BC，又∵PO⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PO⊥BC，又∵OM∩PO=O，OM，PO⊂平面POM，∴BC⊥平面POM；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（）=，设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3，由△POM也为直角三角形得：PM2=PO2+OM2=a2+，连接AM，在△ABM中，AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cos∠ABM==，由MP ⊥AP 可知：△APM 为直角三角形，则AM 2=PA 2+PM 2，即a 2+3+a 2+ =，解得a= ，即PO=，此时四棱锥P ﹣ABMO 的底面积S=S △AOB +S △BOM = •AO•OB + •BM•OM=，∴四棱锥P ﹣ABMO 的体积V= S•PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆 +=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，丨 丨丨 丨=2 ，△DF 1F 2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF 1|= =，|DF 2|=，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x 2=﹣x 1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|x 1|，由F 1P 1⊥F 2P 2，得x 1=﹣或x 1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c 2=a 2﹣b 2，由丨 丨丨 丨=2 ，得|DF 1|== c ，从而 = |DF 1||F 1F 2|= c 2=，故c=1．从而|DF 1|=，由DF 1⊥F 1F 2，得 = + = ，因此|DF 2|=，所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2 ，故a= ，b 2=a 2﹣c 2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y 2=1；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，由圆和椭圆的对称性，易知x 2=﹣x 1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|x 1|， 由（Ⅰ）知F 1（﹣1，0），F 2（1，0），所以 =（x 1+1，y 1），=（﹣x 1﹣1，y 1），再由F 1P 1⊥F 2P 2，得﹣+ =0，由椭圆方程得1﹣=，即3 +4x 1=0，解得x 1=﹣或x 1=0． 当x 1=0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在；当x 1=﹣时，过P 1，P 2，分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C ，设C（0，y 0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．。

2014年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】B 【解析】..1,2-(B 选）复数对应点2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D【答案】B 【解析】..861,35.102,217144531B d a a d d a a a a a a 选即=+=∴=+==∴==+=3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）.100A .150B .200C .250C【答案】A 【解析】..100,:70)15003500(3500A n n 选解得：按相同比例进行抽样==+∴4.下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22xxC f x -=- .()22xxD f x -=+【答案】D 【解析】..,D D C B A 选为偶函数为奇函数，是非奇非偶函数，5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为.10A .17B .19C .36C【答案】C【解析】+++==+S选9∴.51920C36.已知命题x≥；:p对任意x R∈，总有||0q x=是方程"20":"1"x+=的根则下列命题为真命题的是（）⌝∧.D p q⌝∧.C p q∧∧⌝.B p q.A p q【答案】A【解析】为假命题，正确为真命题，∴A..Aqp选7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.30【答案】C【解析】CS S V 选几何体表的体积的上部三棱锥后余下的；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形三棱锥三棱柱∴24324331-5243-354*3=•••••==8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，学科 网双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C.4 D.17 【答案】D【解析】.,17,174,1∴,4,3-a 4∴3-)-(222222221D acc b a b a c b a ab b ab b PF PF 选则令且解得====+====9.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+B.327+C.346+D.347+ 【答案】D【解析】..3474327437)43)((,14343log 43log 4log )43(log )43(log 22224D a b b a a b b a a b b a b a a b abb a ab b a b a b a 所以，选即+=•+≥++=++=+=+=+∴=+=+=+10.已知函数]1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.]21,0(]2,49(⋃-- B.]21,0(]2,411(⋃-- C.]32,0(]2,49(⋃-- D.]32,0(]2,411(⋃-- 【答案】A【解析】..2]21,0(∪]2-,49-(∈.49-]1,0(∈,)0,1-(2-)0,1-(),2-0(21)0,1-(),1,1(.).1()(∴0--)()(A m x x y x m x f m mx x f x g 所以，选个交点时，有显然相切的斜率为与，过的斜率为，，点的斜率为点图像如图所示=+===二、填空题11.已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______. 【答案】{3, 5, 13} 【解析】A ∩B={3, 5, 13}12.已知向量=⋅=--=b a b a b a则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.【答案】10 【解析】10.103πcos 10364cos θ||||∴3πθ,10||),6-2-(=•=••+=•=•===，13. 将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______.【答案】22【解析】22)6π(224πsin )6π(∴2πφ≤2π-,6πφ,21ω∴)6π21sin()φωsin()(2)6πsin(6πsin .===<==+=+=+==f f x x x f x y x y 所以，倍，则得到，再把横坐标扩大为，得到左移把反向解题 0=+-a y x14. 已知直线与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________. 【答案】60,或 【解析】60,∴60,232|2--1|.20-)2,1-(∴3),2,1-(Δ或，或解得又的距离到直线圆心半径心为等腰直角三角形，圆===+===+=a a a d r d a y x r ABC15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，学科 网则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）【答案】329【解析】3295329202021515.20≤,20≤,0≥,0≥,≤520-020-0.分钟的概率为至少早到所以，小王比小张到校之比，即是所求概率可行区域面积与总面积分，则据题有轴表示小张到校时间分，轴表示小王到校时间设几何概型=••=+p y x y x x y y x三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【答案】（I ）+∈==N n n S n a n n ,.1-22（II ）+•=•=N n T b n n n n ∈,32-42,421-【解析】（I ）+∈===+==+=∴==N n n S n a n n a a S n d n a a d a n n nn n ,.1-22.1-2)1-(2,1,22111所以，由题知（II ）+•=•=•===•=====++=++N n T b q q b T b q b b b q q q S q a q n n n n n n n n n n n n ∈,32-42,4232-424-1)4-1(2-1)-1(,42∴,24,016)17(-∴0)1(-1-11-1-112442所以，解得17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率. 【答案】 （I ）0.005 （II ）2,3（III ） 103【解析】 （I ）005.0005.01.0d122a 3a 6a 7a ∴10,====•+++=a a d 所以，，解得组距由题知 （II ）人和的学生人数分别为与所以，成绩在的学生人数成绩在的学生人数成绩在32)70,60[)60,50[32010005.03203)70,60[,22010005.02202)60,50[=•••=••==•••=••=d a n d a m （III ）103)70,60[2103)70,60[2233)70,60[.10252中的概率为人的成绩均在所以，所取中的概率人的成绩均在所取人，共有人中任选人，从这共有成绩在种取法人，共有人中任选）知，从由（=∴p18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（1）若25,2==b a ，求C cos 的值;（2）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值.【答案】 （I ）51-（II ）a=b=3【解析】（I ）51-cos .51-2-cos ,.278,25,2222==+==∴=++==C ab c b a C c c b a b a 所以，由余弦定理知（II ）33∴69∴sin 29sin 26,2,84∴83⇒sin 3sin sin ⇒sin 4sin sin sin sin cos sin sin cos sin )1(cos sin )1(cos sin ⇒sin 4)11-2cos 2(sin )11-2cos 2(sin ∴sin 22cos sin 2cos sin ΔABC 2222=====+====+===++=+=+=++=+++=+++=+++=+b a b a b a ab C C ab S b a c c c b a c b a C B A C C B A B A B A B A A B B A C AB B AC A B B A 所以，19.（本小题满分12分）已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学文科试题答案及解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2.在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=,则7______a =A.5 B.8 C.10 D.14【答案】B 【解析】将条件全部化成1a d 和:112410a d a d +++=,解得1d =,于是7168a a d =+=.3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本。

已知从高中生中抽取70人，则n 为（）A.100B.150C.200D.250【答案】A 【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500701005000n n=⇒=。

考察分层抽样的简单计算.4.下列函数为偶函数的是（）A.()1f x x =-B.()2f x x x =+C.()22x x f x -=-D.()22x xf x -=+【答案】D 【解析】利用奇偶性的判断法则：()()()()()()f x f x f x f x f x f x -=-⇒-=⇒为奇函数为偶函数。

即可得到答案为D 。

考察最简单的奇偶性判断.5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（A）12s >（B）35s >（C）710s >（D）45s >【答案】：C【解析】：按照循环步骤：9871,9,8,7,6101010s k s k s k s k ==⇒==⇒==⇒==，此时需要不满足条件输出，则输出条件应为710s >。

6.已知命题p ：对任意x R ∈，总有20x >；q ：“1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列倒是为真命题的是（A）p q ∧（B）p q ⌝∧⌝（C）p q ⌝∧（D）p q∧⌝【答案】：D【解析】：根据复合命题的判断关系可知，命题p 为真，命题q 为假，所以只有p q ∧⌝为真。

1数 列1、(2014年高考重庆卷 文2) 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =（ ）A . 5B . 8C . 10D . 142、(2014年高考天津卷 文5) 设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若124S S S ，，成等比数列，则1a ＝（ ） A . 2 B . －2 C .21 D . －213、(2014年高考新课标2卷 文5) 等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项n S ＝（ ）A . ()1n n +B . ()1n n -C .()12n n + D .()12n n -4、(2014年高考全国卷 文8). 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．645、(2014年高考辽宁卷 文9) .设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）DA ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >6、(2014年高考江苏卷 文7) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲ .7、(2014年高考江西卷 文13) 在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.8、(2014年高考广东卷 文13). 等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.9、(2014年高考新课标2卷 文16) 数列{}n a 满足111n na a +=-，2a ＝2，则1a ＝______. 10、(2014年高考北京卷 文15) （本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.211、 (2014年高考重庆卷 文16) （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .12、(2014年高考湖南卷 文16).（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.13、(2014年高考福建卷 文17). （本小题满分12分）已知等比数列}{n a 中，23a =，581a =. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）若数列n n a b 3log =，求数列}{n b 的前n 项和n S . 14、 (2014年高考江西卷 文17) （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 15、(2014年高考全国卷 文17). （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.16、(2014年高考新课标1卷 文17) （本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年重庆高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） .100A .150B .200C .250C 4．下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x xD f x -=+s 为（ ）.19C D ．366．已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ） .A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧A ．8．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ）A.2 B ．15 C ．4 D ．17 9．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+ B ．327+ C ．346+ D ．347+10．已知函数13,(1,0](),1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃--C ．]32,0(]2,49(⋃--D ．]32,0(]2,411(⋃--二．填空题11．已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______．12．已知向量a 与b 的夹角为60，且(2,6),||10a b =--=，则a b ⋅=_________． 13．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 14．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．15．某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分．（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．17．（本小题满分13分．（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人， 求次2人的成绩都在[)7060，中的概率． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a （1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C AB B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值． 19．（本小题满分12分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72. 已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45- 3. 不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x > 4. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16B C ．13D5. 函数1)(1)y x =>-的反函数是（ ）A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6. 已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -∙=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11. 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答） 14. 函数cos22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13cos 2cos ,tan 3a C c A A ==，求B.19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小. 20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.21. （本小题满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.D6.B7.C8.C9.A10.A11.C12.D二、填空题13. -16014.3215. 5 16.43三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45- 3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ） A ．{|21}x x -<<- B ．{|10}x x -<< C ．{|01}x x << D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16BC ．13D5.函数1)(1)y x =>-的反函数是（ ）A ．3(1)(1)x y e x =->-B ．3(1)(1)x y e x =->-C ．3(1)()x y e x R =-∈D ．3(1)()x y e x R =-∈ 6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 . 15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+.。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）共 4 页。

满分 150 分。

考试时间 120 分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限.C 第三象限 .D 第四象限2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）.100A .150B .200C .250C4.下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x D f x -=+5. 执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的s 值为（ ）.10A .17B .19C .36C6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:"1"q x =是方程"20"x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ q p C ⌝∧⌝. .D p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12B.18C.24D.308.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=-则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C.4 D.179.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ） A.326+ B.327+ C.346+ D.347+10.已知函数]1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,0(]2,49(⋃--B.]21,0(]2,411(⋃-- C.]32,0(]2,49(⋃-- D.]32,0(]2,411(⋃--二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上.11.已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,2{},13,12,5,4,3{______.12.已知向量=⋅=--=b a b a b a 则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.13. 将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______. 14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在 该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.16. （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.（I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通 项公式及其前n 项和n T .17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（I ）求频率直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.19.（本小题满分12分）已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 21= （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限[核心考点]考查复数的运算，复数的几何意义。

[解析] (12)2i i i -=+，其在复平面上对应的点为(2,1)Z ，位于第一象限。

[答案]A2. 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）A.1a 、3a 、9a 成等比数列B.2a 、3a 、6a 成等比数列C.2a 、4a 、8a 成等比数列D.3a 、6a 、9a 成等比数列[核心考点]考查等比数列的性质应用。

[解析]根据等比数列的性质，2639a a a =，故3a 、6a 、9a 成等比数列。

[答案]D3. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） A.0.4 2.3y x =+B.2 2.4y x =-C.29.5y x =-+D.0.3 4.4y x =-+[核心考点]考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。

[解析]由变量x 与y 正相关可排除选项C 、D ，由样本中心点()2.5,3.5在回归直线方程上可得回归直线方程可能为0.4 2.3y x =+。

[答案]A1k sk +[解析]由题知，23(23,6)k -=--a b ，因为(23)-⊥a b c ，所以(23)0-=a b c ，所以(23)2(23)(6)4120k k -=-+-=-=a b c ，解得3k =。

[答案]C5. 执行如题5所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A.12s >B.35s >C.710s >D.45s >[核心考点]考查程序框图的相关知识。

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(文史类)答案解析一、选择题1. 【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标. 【提示】根据复数的几何意义，即可得到结论. 【考点】复数的代数表示法及其几何意义2. 【答案】B【解析】将条件全部化成a 1和d ： a 1 + 2d + a 1 + 4d =10 ，解得d = 1 ，于是a 7 = a 1 + 6d = 8【提示】由等差数列{a n } 中， a 1 = 2 ，且有a 3 + a 5 =10 ，利用等差数列的通项公式先求出公差 d ，再求a 7 . 【考点】等差数列的通项公式3. 【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500 = 70⇒ n = 100 5000 n【提示】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值. 【考点】分层抽样方法4. 【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则： f (-x ) = - f (x ) ⇒ f (x ) 为奇函数； f (-x ) = f (x ) ⇒ f (x ) 为偶函数即可得到答案为D ．【提示】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析 f (-x ) = - f (x ) 是否成立，即可 得答案.【考点】函数奇偶性的判断5. 【答案】C【解析】k = 2，s = 0 ⇒ s = 0 + 2 = 2，k = 3 ⇒ s = 3 + 2，k = 5 ⇒ s = 5 + 5 =10，k = 9 ⇒ s =10 + 9 =19，k =17 结束循环.此时输出条件 s =19 所以选 C.【提示】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k <10 ，跳出循环体，计算输出S 的值. 【考点】程序框图6. 【答案】A【解析】根据复合命题的判断关系可知，命题 p 为真，命题q 为假，所以只有 p ∧ ⌝q 为真.1 + ⎛ b ⎫2 ⎝ a ⎭⎪ 17 3 1 2 1 2 a b 【提示】判定命题 p ， q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论. 【考点】复合命题的真假7. 【答案】C【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱底面为一个边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 2，上方的四棱锥是底面边长是 3 的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合.所以V = 1 ⨯ 3⨯ 4 ⨯ 2 + 1⨯ 3⨯ 3⨯ 4 = 24 .2 3【提示】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算. 【考点】由三视图求面积、体积8. 【答案】D【解析】由题意(| PF | -| PF |)2 = (2a )2 = 4a 2 = b 2 - 3ab ⇒ b 2 - 3ab - 4a 2= 0 ，⎛ b ⎫2⎛ b ⎫ b 同除以a 2 得 ⎪ - 3 ⎪ - 4 = 0 ⇒ = 4 或-1（舍去），从而e = = .⎝ a ⎭ ⎝ a ⎭ a【提示】根据(| PF | - | PF |)2 = b 2 - 3ab ，由双曲线的定义可得(2a )2 = b 2 - 3ab ，同除以a 2，即可求出双曲线的离心率.【考点】双曲线的简单性质9. 【答案】D【解析】log 4 (3a + 4b ) = log 2，条件足以说明a > 0，b > 0 .经过化简得：3a + 4b = ab ，即 3 + 4= 1 ，于 b a是(a + b ) = (a + b )⎛ 3 + 4 ⎫= 7 + 3b + 4a ≥ 7 + 4 .⎪ ⎝ ⎭【提示】利用对数的运算法则可得3a + 4b = ab ，即 3 + 4= 1 再利用基本不等式即可得出.b a【考点】基本不等式，对数的运算性质10. 【答案】A【解析】函数 f (x ) 的图像如图所示.aba b6 2 6 6 6 ⎪g (x ) = f (x ) - mx - m 在(-1,1] 内有且仅有两个不同的零点，可看成函数 f (x ) 与直线 y = mx + m 的交点，又知道该直线过定点(-1,0) .要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间.计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是⎛ - 9 , -2⎤ ⎛ 0, 1 ⎤ . 4 ⎥ 2 ⎥ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦【提示】由 g (x ) = f (x ) - mx - m = 0 ，即 f (x ) = m (x +1) ，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.【考点】分段函数的应用 二、填空题 11.【答案】{3,5,13}【解析】根据题意，集合A ={3, 4,5,12,13} ，B ={2,3,5,8,13} ，A 、B 公共元素为3,5,11，则 A B ={3,51, 3}. 【考点】交集及其运算【提示】分析集合 A 、B 的公共元素，由交集的意义即可得答案.【考点】交集及其运算12. 【答案】10【解析】由向量的数量积与向量模长公式得【提示】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可.⨯ 10 ⨯ 1=10 . 2【考点】平面向量数量积的运算13. 【答案】 22【解析】根据函数的伸缩变换规则：函数 f (x ) = sin(ωx + ϕ) 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成f (x ) = sin(2ωx + ϕ) 函数的图像，再根据平移变换规则：向右平移个单位长度得到函数f (x ) =sin ⎢2 ，所以 f ⎛ π ⎫ = sin ⎛ 1 ⨯ π + π ⎫= sin π = 2⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭4 2【提示】根据函数 y = A sin(ω x + ϕ )的图象变换规律，可得sin(2ωx + ϕ - πω) = sin x ，可得 2ω =1 ，且3 ϕ - ω = 2k π，k ∈Z ，由此求得ω、ϕ 的值，可得 f (x ) 的解析式，从而求得 f ⎛ π⎫ 的值.⎝ ⎭【考点】函数的图象变换14. 【答案】a = 0或= 6a b =| a || b | cos 60 = (-2)2+ (-6)2⎡ ⎛ π ⎫ ⎤ sin ⎛ 2ωx + ϕ - ωπ ⎫ 的函数图像，由题意得ω = 1，ϕ = π⎪ ⎣ ω x - 6 ⎪ + ϕ ⎥ =⎝3 ⎭ 2 6 ⎝ ⎭ ⎦⨯ 21【解析】将圆的方程转换成标准方程得，圆C 的圆心为(-1，2) ，半径为 3，因为直线与圆 C 的交点 A ，B 满 足，所以△ACB 为等腰直角三角形，则弦 AB 的长度为3 ，且 C 到 AB 的距离为 3 2，而由点到直线的 2| -1 - 2 + a | 距离公式得 C 到 AB 的距离为，所以 | -1 - 2 + a | = 3 2 解得a = 0或= 6 .(-1)2 +12 (-1)2 +122【提示】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【考点】直线和圆的方程的应用15. 【答案】 932【解析】由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是 x ，小王到达学校的时间为 y ，则 x ，y 满足Ω ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20} ，那么小张和 小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，而小张比小王至少早到 5 分钟可以用不等式表示1A ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20, y - x ≥ 5}，所以小张比小王至少早5 分钟到校的概率为P ( A ) = 2 =9 . 202 32 【提示】设小张到达学校的时间是 x ，小王到达学校的时间为 y ，(x ，y ) 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20} 是一个矩形区域，则小张比小王至少早 5 分钟到校事件A ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20, y - x ≥ 5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可.【考点】几何概型 三、解答题16. 【答案】（Ⅰ） {a n }是首项为 1，公差为 2 的等差数列，∴a n = a 1 + (n -1)d =1+ 2(n -1) = 2n -1 ．S = 1+ 3 + + (2n -1) = n (1+ 2n -1) = n 2； n 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a 4 = 7，S 4 =16 ．+1)q + S 4 = 0 ，即q 2 - 8q +16 = 0 ， ∴(q - 4)2 = 0 ，即q = 4 ．又 {b n } 是首项为 2 的等比数列，∴ = n -1= n -1 = 2n -1 =b (1- q n ) 2 n b n b 1q 2 4 2 . T n 1 = (4 1- q 3-1) 【提示】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出a 和S ，代入q 2- (a +1)q + S = 0 求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前444 42 q 2 - (a 42 2 52n 项和公式得答案.【考点】数列的求和，等差数列的性质17. 【答案】（Ⅰ）由频率分布直方图可知组距为 10，(2a + 3a + 6a + 7a + 2a ) ⨯10 =1，解得a =1200= 0.005 . （Ⅱ）由图可知落在[50,60) 的频率为 2a ⨯10 = 0.1 ；由频数=总体⨯ 频率，从而得到该范围内的人数为 20⨯ 0.1 = 2 ，落在[60,70) 范围内的频率为3a ⨯10 = 0.15 ；得该范围内的人数为20⨯ 0.15 = 3； （Ⅲ）记[50,60) 范围内 2 人分别为 A 1，A 2 ；[60,70) 范围内 3 人分别 B 1，B 2，B 3 ；从 5 人中选 2 人的情况如下： A 1 A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2 B 1，A 2 B 2，A 2 B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2 B 3 ；此 2 人成绩都在[60,70) 范围内共有 B B ，B B ，B B 3 种情况，总情况有 10 种；故概率为 31 2 1 3 2 3 10【提示】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出 a 的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50,60) 和[60,70) 的频率分别为0.1 和0.15 ，用样本容量 20 乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求.（Ⅲ）分别列出满足[50,70) 的基本事件，再找到在[60,70) 的事件个数，根据古典概率公式计算即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式，频率分布直方图18.【答案】（Ⅰ）由题意可知： c = 8 - (a + b ) = 7，2 ⎛ 5 ⎫2 22 + ⎪ ⎛ 7 ⎫2 - ⎪ 由余弦定理得： a 2 + b 2 - c 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1cos C = 2ab = = - 5 （Ⅱ）由sin A cos 2 B + sin B cos 2 A = 2sin C 可得： sin A1+ cos B + sin B 1+ cos A = 2sin C ， 2 2 2 2化简得sin A +sin A cos B +sin B +sin B cos A = 4sin C .因为sin A cos B + sin A cos B = sin(A + B ) = sin C ，所以sin A + sin B = 3sin C .由正弦定理可知： a + b = 3c .又因a + b + c = 8 ，故 a + b = 6 .由于 S = 1 ab sin C = 9sin C ，所以ab = 9 ，从而a 2 - 6b + 9 = 0 ，解得a = 3，b = 3 .2 2【提示】（Ⅰ）由a + b + c = 8 ，根据a = 2，b = 5求出 c 的长，利用余弦定理表示出cos C ，将三边长代入求2出cos C 的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到 a + b = 3c ，与a + b + c = 8 联立求出a + b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入 S = 9sin C 求出ab 的值，联立即可求出 a 与 b 的值.2【考点】余弦定理，正弦定理PO OM =O ⎬19.【答案】（Ⅰ）对f (x) 求导得f '(x) =1-a-1，由f (x) 在点(1, f (1))处的切线垂直于直线y =1x 知f '(1) =-3-a =-2 ，解得a =5.4 x2 x 24=x+45--3'=x2 - 4x -5 f '(x) =0x =-==-（Ⅱ）由(Ⅰ)知f (x)4 4xln x，则f2 (x)4x2 ，令，解得1或x 5 .因x 1不在f (x) 定义域(0, +∞) 内，故舍去.当x ∈(0,5) 时，f '(x) < 0 ，故f (x) 在(0,5) 内为减函数；当x ∈(5, +∞)时， f '(x) > 0 ，故f (x) 在(5, +∞) 内为增函数.由此可知f (x) 在x = 5 时取得极小值f (5) =-ln5 .【提示】（Ⅰ）由曲线y =f (x) 在点(1, f (1))处的切线垂直于直线y =1x 可得f '(1) =-3-a =-2 ，可求出a2 4的值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f (x) 的单调区间与极值.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值20.【答案】（Ⅰ ）因为PO⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，故BC∥PO .因为ABCD 是以O 为中心的菱形，AB = 2，∠BAD =π，所以OB =AB sin∠OAB = 2 ⨯1= 1 .又因为BM =1，∠OBM =π，2 3所以OM =OM 2 +BM 2 =OM 2 ⇒BC⊥OM ⎫3 2 =3，2BC⊥POPO ⊂平面POM OM ⊂平面POM ⎪⎪⎪BC⊥平面POM ⎪⎪⎪⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，|OA| =3 ，OM =3，在△ABM 中，利用余弦定理可以求得AM =221 .2设PO =a ，可得PA2 =AO2 +PO2 = 3 +a2 ，PM 2 =PO2 +OM 2 =a2 +34又因为PA2 +PM 2 =AM 2 ，解得a =3，即PO =3.2 2S =S+S =1OA OB +1BM OM =1⨯ 3 ⨯1+1⨯1⨯ 3 =5 3ABMO△OMB△OAB 2 2 2 2 2 2 8所以四棱锥P -ABMO 的体积为VP-A BMO =1⨯S3 ABMO⨯PO =516【提示】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD ，AB = 2，∠BAD =π，M 为3BC 上一点，且BM =1，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC ，进而由线面2OB2 +OM 2 - 2OB OM cos 60︒2 2 19垂直的判定定理得到 BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）设 PO = a ，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO 的值，及四棱锥 P - ABMO 的底面积 S ，代入棱锥体积公式，可得答案.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 21.【答案】（Ⅰ）设F (-c ,0)，F (c ,0) ，其中c 2 = a 2 - b 2 ，由| F 1F 2 | = 2 2 ，得 DF = | F 1F 2 | = 2 c ，从而| DF 1 | 2S= 1 | DF || F F |= 2 c 2 =2 ，故c = 1，从而| DF |= 2， △DF 1F 2 2 1 1 2 2 2 1 2由 DF ⊥F F 得|DF |2 =| DF |2+ | F F |2 = 9 ，因此|DF | = 3 2 ，所以 2a =| DF | +|DF | = 2 ，故 a = 2 ， 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2x 2 2b 2 = a 2 -c 2 =1，因此，所求椭圆方程为： + y 2 = 1 ；y x 2 + 2 =P (x , y ) P (x , y )y > 0 y > 0 （Ⅱ）设圆心在 轴上的圆C 与椭圆 y 2 1 相交， 1 1 1 ， 2 2 2 是两个交点， 1 ， 2 ， F 1P 1，F 2 P 是圆C 的切线，且 F 1P 1⊥F 2 P 2 ，，由圆和椭圆的对称性，易知， x 2 = -x 1，y 1 = y 2 ，|P 1P 2 | = 2 | x 1 | ，由（Ⅰ）知 F 1 (-1,0)，F 2 (1,0) ，所以 F 1P 1 = (x 1 +1, y 1 ) ，F 2 P 2 = (-x 1 -1, y 1 ) ， F P F P - + 2 + 2 = - x 2= + 2 2+ = 由 1 1⊥ 2 2 得： (x 11) y 1 0 ，由椭圆方程得1 12(x 1 1) ，即： 3x 1 4x 1 0 ， 解得， x =- 4或 x = 0 .131当 x 1 = 0 时， P 1，P 2 重合，此时题设要求的圆不存在； 当 x =- 4时，过 P ，P 分别与 F P ，F P 垂直的直线的交点即为圆心 C ，设 C (0, y ) ，由 CP ⊥F P 得1 31 2 1 1 2 2 0 1 1 1y 1 - y 0 y 1= -1， y= |x +1| = 1 ， y = 5x 1x 1 +11 1 3 0 3由 F 1P 1，F 2 P 2 是圆C 的切线，且 F 1P 1⊥F 2 P 2 ，知CP 1⊥CP 2 ，又|CP 1| =|CP 2 | ，故圆C 的半径 |CP | = 2 | PP |= 2 | x |= 4 2. 1 2 1 2 13⎛ 5 ⎫232综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x 2+ y - ⎝ ⎪ = .⎭ 2 3 12【提示】（Ⅰ）设 F (-1,0)，F (1,0) ，依题意，可求得c = 1，易求得| F 1F 2 |= 2 2 ，从而可得 | DF 1 |2a =| DF 1 | +|DF 2 | = 2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 x 2 + y 2= 相交， P (x , y ) ， P (x , y ) 是两个交点，依题意，利用圆 1 1 1 1 22 2 2和椭圆的对称性，易知 x = -x ，y = y ，| PP |= 2 | x | ，由 FP ⊥F P ，得 x =- 4或 x = 0 ，分类讨论即可2 1 1 2求得圆心及半径，从而可得圆的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题1 2 1 1 1 2 2 131 2 1 2。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-正确答案：A（2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 正确答案：A（3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2正确答案：B（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1正确答案：D（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数正确答案：A（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. B.21 C. 21D. 正确答案：C（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 正确答案：C8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱正确答案：B9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158正确答案：D10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk xF A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8正确答案：C（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 正确答案：B（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-（B ）正确答案：A第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 正确答案：2/3（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________. 正确答案：A（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.正确答案：(（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .本文来自正确答案：150三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） （3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（重庆卷）试题卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限. .B 第二象限. .C 第三象限. .D 第四象限.2.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）.A 139,,a a a 成等比数列. .B 236,,a a a 成等比数列. .C 248,,a a a 成等比数列. .D 239,,a a a 成等比数列.3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.A 0.4 2.3y x =+. .B 2 2.4y x =-. .C 29.5y x =-+. .D 0.3 4.4y x =-+.4.已知向量(,3)a k = ，(1,4)b = ，(2,1)c = ，且(23)a b c -⊥，则实数()k =9..2A - .0.B .C 3. 15..2D 5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）1..2A s > 3..5B s > 7..10C s > 4..5D s >6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是（ ）.A .p q ∧ ..B p q ⌝∧⌝. ..C p q ⌝∧. ..D p q ∧⌝7.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）.54.A .60.B .66.C .72.D8.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||.4abPF PF ⋅=则该双曲线的离心率为（ ）9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）.72.A .120.B .144.C .168.D10.已知ABC ∆的内角,,A B C 满足()()1s i n 2s i n s i n 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记,,a b c 分别为 ,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）().8.Abc b c +> .()B ac a b +> .612.C abc ≤≤ .1224.D abc ≤≤二.填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案写答 题卡相应位置上）11.设全集{}|110U n N n =∈≤≤，{}1,2,3,5,8A =，{}1,3,5,7,9B =，则()U A B = ð .12.函数())log 2f x x =的最小值为 .13.已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a .14.过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ， 若6=PA ，8AC =，9BC =，则AB = . 15.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ .16.若不等式21|21||2|22x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17.已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.π （I ）求ω和ϕ的值；（II ）若2()()2463f αππα=<<，求3cos()2πα+的值.18.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. （I ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（II ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.19.如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ABCD ⊥底面，3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且12BM =，.MP AP ⊥（I ）求PO 的长；（II ）求二面角C PM A --的正弦值. 题（19）图20.已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为4.c -(I)确定,a b 的值；(II)若3c =，判断()f x 的单调性； (III)若()f x 有极值，求c 的取值范围.21如题（21）图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. ⑴求该椭圆的标准方程；⑵是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.22.设11a =，()1*n a b n N +=+∈. (I)若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；(II)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论。