江苏省灌南高级中学高一数学《直线与圆的方程》练习题 新人教A版

第二章 2.5 2.5.1A 级——基础过关练1．直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离【答案】B【解析】圆(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心为(－1,0)，点(－1,0)在直线x －y ＋1＝0上． 2．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交C ．相切D ．以上答案都不正确【答案】B【解析】因为点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，所以O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1＝r ，故直线与圆O 相交．3．若直线3x ＋4y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则k 的值等于( ) A ．1或－19 B ．10或－1 C ．－1或－19 D ．－1或19【答案】A【解析】x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为(3,0)，半径r ＝2，由题意得圆心到直线的距离d ＝|3×3＋0＋k |32＋42＝2，解得k ＝－19或1． 4．M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交【答案】C【解析】点M 在圆内，且不为圆心，则0＜x 20＋y 20＜a 2，故圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离为d ＝a 2x 20＋y 20＞a 2a2＝a ，所以相离．5．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 【答案】D【解析】设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5．所以所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0．6．过点G (0,1)的直线与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3【答案】B【解析】当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时，圆心到直线AB 的距离取得最大值，即d ＝|OG |＝1，此时弦长最短，即|AB |2≥R 2－d 2＝4－1，即|AB |≥23．故|AB |的最小值为23．7．(多选)直线y ＝kx －1与圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝36相交于A ，B 两点，则AB 长度可能为( )A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】BC【解析】因为直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，故圆C 的圆心(－3,3)到直线y ＝kx －1的距离的最大值为3－02＋[31]2＝5．又因为圆C 的半径为6，故弦长AB的最小值为262－52＝211．又因为当直线y ＝kx －1过圆心时弦长AB 取最大值为直径12，故AB ∈[211，12]．故选BC ．8．已知直线5x ＋12y ＋m ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则m ＝________． 【答案】8或－18【解析】由题意，得圆心C (1,0)，半径r ＝1，则|5＋m |52＋122＝1，解得m ＝8或－18．9．由直线y ＝x ＋1上的点向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．【答案】7【解析】直线y ＝x ＋1上点P (x 0，y 0)到圆心C 的距离|PC |与切线长d 满足d ＝|PC |2－1＝x 0－32＋y 20－1＝2x 20－4x 0＋9＝2x 0－12＋7≥7．10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0． (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． 解：x 2＋y 2－8y ＋12＝0可化为x 2＋(y －4)2＝4， 则圆心为(0,4)，半径为2．(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34．(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1．故所求直线l 的方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0．B 级——能力提升练11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D【解析】反射光线过点(2，－3)，设反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0．反射光线与圆相切，圆心(－3,2)到直线的距离等于半径1，即|－3k －2－2k －3|1＋k2＝1，解得k ＝－43或k ＝－34． 12．(多选)(2022年莆田质检)已知直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ＞0，b ＞0)与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，则下列说法正确的是( )A ．ab ≥12B ．1a 2＋1b2≥4C ．⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤12D ．1a ＋1b≤2 2【答案】BC【解析】∵直线ax ＋by ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝|1|a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1．∴1≥2ab ，∴ab ≤12，故A 错误；1a 2＋1b 2＝a 2＋b2a 2b 2＝1ab 2≥4，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24＝14＋12ab ≤14＋14＝12，故C 正确；1a ＋1b ≥21a ×1b≥22，故D 错误．故选BC ．13．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．【答案】[－1,1]【解析】由题意画出图形如图，点M (x 0,1)，要使圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45°．而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，此时MN ≤1，图中只有点M ′到M ″之间的区域满足MN ≤1，所以x 0的取值范围是[－1,1]．14．已知直线l 1：2x －y ＋4＝0，则过点(1,1)且与l 1平行的直线l 2的方程为________，若l 2与圆x 2＋y 2－8y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．【答案】2x －y －1＝0 2 5【解析】由题意，设l 2方程为2x －y ＋m ＝0，因为直线l 2过点(1,1)，所以2－1＋m ＝0，m ＝－1，所以直线l 2方程为2x －y －1＝0．已知圆标准方程为x 2＋(y －4)2＝10，圆心为C (0,4)，半径为r ＝10，圆心C 到直线l 2的距离为d ＝|0－4－1|2212＝5，所以|AB |＝2r 2－d 2＝210－5＝25．15．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由已知可知，直线x ＋2y ＝0过圆心，则a ＋2b ＝0．① 又因为点A 在圆上，则(2－a )2＋(3－b )2＝r 2．② 因为直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， 所以(2)2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b ＋112122＝r 2．③由①②③，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.故所求方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．。

一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。

一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,23．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（ ）A ．83B 83C ．163D 1634．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()22234x y +++=作一条切线切于点T ，则MT 的最小值为（ ）A 10B ．4C ．22D ．235．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-6．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=8．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±9．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( )A ．3，－3B ．5，2C ．5，1D ．7，111．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（ ） A ．2215()(3)22x y -+-= B ．2215()(3)22x y -++= C ．22125()(3)24x y ++-=D ．22125()(3)24x y +++=二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y =0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.15．经过点(2,1)M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是________． 16．已知圆C 的方程为2240x x y -+=，直线l ：330kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC 面积最大时，直线l 的斜率k =______.17．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________18．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 19．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__. 20．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为________．三、解答题21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标． 22．已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量； （2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.23．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 25．已知动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点()1,3B 的直线l 与曲线相切，求直线l 的方程；（3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.26．已知圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey -12＝0过点(P -，圆心C 在直线l ：x -2y -2＝0上. （1）求圆C 的一般方程.（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率. 【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C. 【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意： （1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．C解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.3．B解析：B 【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值. 【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 因为2AB BP ==，所以()3,0P，设(),Q x y因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，()2224PQ QO OR =-所以()()2222341x y x y -+=+-，整理得：()221613x y ++=， 所以点Q 的轨迹是以()1,0-3所以当点Q 在直线1x =-上时，3y =此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，所QAP 的面积最大为11834223333QAPS AP =⨯=⨯==， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.4．D解析：D 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4min MC ==，则||MT = 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.5．C解析：C 【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l的距离是解题关键.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．8．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.9．D解析：D 【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=， 即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==,∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】 因为圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以设圆的方程为：2221()(3)2x y r ++-=， 将直线方程代入圆的方程，得到228552004y y r -+-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有21212174,45r y y y y +=⋅=-，因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=， 所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，整理得121296()50y y y y -++=，即2179645()045r -⨯+⨯-=，求得2254r =， 所以圆C 的方程为：22125()(3)24x y ++-=， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离解析：(0,30,(-【分析】先画出图形，求出(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-，求出PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.15．或【分析】求出圆心和半径判断斜率不存在的直线是否是切线斜率存在时设出直线方程由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程【详解】圆标准方程是圆心为半径为1易知直线与圆相切设斜率存在的切线方程为即由解解析：2x =或4350x y --= 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】圆标准方程是22(3)(4)1x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为1． 易知直线2x =与圆相切，设斜率存在的切线方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，1=，解得43k =，切线方程为481033x y --+=，即4350x y --=．故答案为：2x =或4350x y --=． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，解题方法是由圆心到切线的距离等于半径求解．但解题时要注意过定点斜率不存在的直线是否是切线，否则由方程求不出此直线方程．如果所过的点在圆上，由可由过切点的半径与切线垂直得出切线斜率后得直线方程．16．1或【分析】由三角形面积公式求得面积最大时这样可求得圆心到直线的距离再由点到直线距离公式求得斜率【详解】圆的标准方程为直线可变形为则圆心为半径为2直线过定点由面积公式可得所以当即圆心到直线的距离为时解析：1或7- 【分析】由三角形面积公式求得ABC 面积最大时，2ACB π∠=，这样可求得圆心C 到直线BC的距离，再由点到直线距离公式求得斜率k ． 【详解】圆C 的标准方程为()2224x y -+=，直线l 可变形为()33y k x =-+，则圆心C 为()2,0，半径为2，直线l 过定点()3,3， 由面积公式可得21sin 2sin 22ABCS r ACB ACB =∠=∠≤， 所以当2ACB π∠=，即圆心C 到直线l的距离为d =ABC 的面积取得最大值，所以d ==，解得1k =或7-．故答案为：1或7-． 【点睛】易错点睛：直线与圆相交于,A B ，圆心为C ，ABC 面积为21sin 2S r ACB =∠，当ACB ∠的最大值θ不小于2π时，2ABC π∠=时，S 取得最大值212r ，当ACB ∠的最大值2πθ<时，S 取得最大值21sin 2r θ．不是任何时候最大值都是212r ． 17．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-=【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.18．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直解析：⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线x =有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=b =b =（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <，故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.19．【分析】利用配方法将圆化成标准方程得其圆心为当垂直这条弦时所得到的弦长最短求出直线的斜率后再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解【详解】解：将圆化成标准形式为圆心为则点A 在圆内当垂直这条弦时所得到 解析：80x y +-=【分析】利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为M ，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线AM 的斜率AM k 后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解. 【详解】解：将圆2248800x y x y +---=化成标准形式为22(2)(4)100x y -+-=，圆心为(2,4)M ，则点A 在圆内，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，54132AM k -==-， ∴这条弦所在直线的斜率为1-，其方程为5(3)y x -=--，即80x y +-=.故答案为：80x y +-=. 【点睛】本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化、两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.20．x2＋y2－4x ＋4y －17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减得到公共弦方程再联立直线和圆的方程求出公共点坐标进而求出圆的半径和圆心写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减得到公共弦方程再解析：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再联立直线和圆的方程求出公共点坐标，进而求出圆的半径和圆心，写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再利用圆系方程进行求解. 试题解法一：联立两圆方程22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0. 再由221221304320x y x y x y ⎧+---=⎨+-=⎩，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)5=， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心1212162(,)2(1)2(1)C λλλλ----++．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴121216243202(1)2(1)λλλλ---⨯+⨯-=++，解得λ＝12. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.三、解答题21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，即260kx y k --+=2=，解得43k =，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．由于以PO 为直径的圆的方程为2222442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2280x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为224x y +=②．①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=， 则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．22．（1）直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【分析】（1）将A 代入直线l 方程求a ，写出直线方程即可得l 的方向向量； （2）由直线方程得斜率42k a a=+-，讨论a 并利用基本不等式求k 的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =，此时直线l 的方程为330x y --=，故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442a a a a k a-+=+-=，∴当0a >时，4222k a a +-≥==当且仅当2a =时等号成立；当0a <时，4)()]22[(6a ak +--≤---=-=当且仅当2a =-时等号成立；综上有(,6][2,)k ∈-∞-+∞，可得倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】 结论点睛： 直线0ax by c的方向量为(,)b a -或(,)b a -.倾斜角α与斜率k 的关系：tan k α=或arctan k α=. 23．（1）()()22139x y -+-=；（2）1m =. 【分析】（1）求出圆心坐标和半径可得圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入圆方程一应用韦达定理得1212,x x x x +，已知条件得OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此可求得m 值． 【详解】解：（1）由题意可得：圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()22139x y -+-=.（2）由()()22139y x m x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612x x mm m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且241656m m ∆=-++，由题意可得：OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，且11y x m =+，22y x m =+，代入化简可得：2210m m -+=求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++> 综上可知：1m =. 【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的方程，考查直线与圆相交问题，直线与圆相交问题的解法是设而不求思想方法：即设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入圆方程，消元整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入题中其他条件OA OB ⊥，即12120x x y y +=可解得m 值．24．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程．【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 25．（1）22(1)4x y ++=；（2）1x =或12530x y-+=；（3）[3-+. 【分析】（1）设(,)P x y ，由||2||AP PO =结合两点间距离公式可求；（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；（3）设出圆Q 方程，利用|2|||2t CQ t -+可求出.【详解】解：（1）由题意知：设(,)P x y ， 由||2||AP PO =，得22||4||AP PO =， ∴()2222(3)4x y x y-+=+，整理得22(1)4x y ++=.故动点P 的轨迹C 的方程为22(1)4x y ++=；（2）由（1）知道，曲线C 为以(1,0)-为圆心，2为半径的圆， ①若直线l 斜率不存在，则直线l 为 1x =；②若直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为3(1)y k x -=-，即3y kx k =-+，此时圆心C 到直线l 的距离2d ==，化简得：125k =.综上，直线l 方程为1x =或12530x y -+=.（3）∵点Q 的坐标为(,)(0)t t t >，且圆Q 与x 轴相切， ∴圆Q 的半径为t ，∴圆Q 的方程为222()()x t y t t -+-=，∴圆Q 与圆C 的两圆心距离为||CQ == ∵圆Q 与圆C 有公共点，∴|2|||2t CQ t -+，即222(2)221(2)t t t t -+++，解得：33t -+，实数t 的取值范围是[3-+. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，注意需要讨论斜率不存在的情况，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心距和半径之间的关系判断. 26．（1）x 2+y 2-4x -12＝0；（2）直线l 过定点(2，0). 【分析】（1）根据题意，联立方程求解即可（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m (m ≠0)，联立方程，利用韦达定理得到222(2)212121km km m k ---=-+，进而化简求证；而当直线l 的斜率不存在时，直接求解即可证明题中条件成立 【详解】解：（1）由题意可得圆心C 的坐标为(,)22D E --，则2()2022D E--⨯--=，①因为圆C经过点(P -，所以17120D +--=，②联立①②，解得D ＝-4，E ＝0.故圆C 的一般方程是x 2+y 2-4x -12＝0.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m (m ≠0)，11(,)A x y ，22(,)B x y .联立224120,,x y x y kx m ⎧+--=⎨=+⎩整理得(k 2+1)x 2+2(km-2)x +m 2-12＝0，则1222(2)1km x x k -+=-+，2122121m x x k -=+.因为12OA OB ⋅=-，所以121212x x y y +=-，由1212()()y y kx m kx m =++得，222(2)212121km km m k ---=-+，整理得m (m +2k )＝0.因为m ≠0，所以m ＝-2k ，所以直线l 的方程为y ＝kx -2k ＝k (x -2).故直线l 过定点(2，0). 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m ，则A (m ，y )，B (m ，-y )，从而2241212OA OB m m ⋅=--=-，解得m ＝2，m ＝0（舍去）.故直线l 过点(2，0).综上，直线l 过定点(2，0). 【点睛】关键点睛：解题关键是分类讨论直线l 的情况，并联立方程，利用韦达定理化简，根据直线l 的情况，得到12OA OB ⋅=-121212x x y y =+=-和2241212OA OB m m ⋅=--=-，进而求证，难度属于中档题。

人教A 版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．6D ．2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=3．已知直线0ax by c ++=（0abc ≠）与圆221x y +=相切，则三条边长分别为a 、b 、c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸5．若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ）A BC ．D ．7．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．128．过点()3,0P作直线()2120x y λλ++-=（R λ∈）的垂线，垂足为M ，己知定点()4,2N ，则当λ变化时，线段MN 的长度取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．C ．D ．9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．10．由直线1y x =+上的一点P 向圆C ：()2231x y -+=引切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．CD ．311．过圆()()22111C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,S S S S ⅥⅡⅢI +=+则直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条12．若直线10x y --=被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为方程A ．()()22214x y -++= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22212x y ++-=D ．()()22212x y -++=13．若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m <D ．12m ≤二、填空题14．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.15．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．16．已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是 .17．在平面直角坐标系xOy 中，过点()5,P a -作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线，切点分别为()11,M x y 、()22,Nx y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是______.18．已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-.设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________19．已知实数x 、y 满足()2211x y -+≤，则342z x y =-+的最大值为_____． 20．已知A ，B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上两个动点，且AB =2，直线l :(5)y k x =-，若线段AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，若直线l 上任一点P ，都有1PD '≥，则实数k 的取值范围是__________.21．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约________秒（精确到0.1）．22．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．三、解答题23．已知圆C 经过点()0,6E ，()5,5F ，且圆心在直线:3590l x y -+=上 （1）求圆C 的方程.（2）过点()0,3M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问：在直线3y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-（AN k ，BN k 分别为直线AN ，BN 的斜率）恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.24．已知圆C 过(1,0)A ，(0,1)B -两点，且圆心C 在直线20x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 是直线4380x y --=上的动点，PM 、PN 是圆C 的两条切线，M 、N 为切点，求四边形PMCN 面积的最小值．25．已知圆()()22:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++=（1）求证：直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．26．如图，某处立交桥为一段圆弧AB .已知地面上线段40AB =米，O 为AB 中点.桥上距离地面最高点P ，且OP 高5米.工程师在OB 中点C 处发现他的正上方桥体有裂缝.需临时找根直立柱，立于C 处，用于支撑桥体.求直立柱的高度.（精确到0.01米）.27．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 28．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3),A 直线:24=-l y x ，设圆C 的半径长为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 存在点M ，使2=MA MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 29．已知圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4). (1)求圆C 的方程；(2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率； (3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由.30．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．31．已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在x +y ﹣2＝0上， （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设P 是直线x +y +2＝0上的动点．PC ，PD 是圆M 的两条切线，C ，D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．32．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？33．如图，12,l l是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N 两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到,l l距离分别为4公里和5公里.的12（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）34．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM 与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．35．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；②设l 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.36．已知椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，点12⎫⎪⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同A 、B ）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切；37．已知圆O ：224x y +=，直线:280l x y +-=，点A 在直线l 上． （1）若点A 的横坐标为2，求过点A 的圆O 的切线方程．（2）已知圆A 的半径为2，求圆O 与圆A 的公共弦EF 的最大值．38．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =u u u r u u u r ，NB mMB =u u u r u u u r，m ，n ∈R ，求m n +的值．39．已知圆M 与直线2x =相切，圆心M 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆M 截得的弦长为（1）求圆M 的方程，并判断圆M 与圆22:68150N x y x y +-++=的位置关系； （2）若横截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点Q ， 使得0AQ BQ k k +=，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由. 40．已知点M 与定点()6,0A 和原点O 的距离的比为2． （1）求点M 的轨迹C 方程；（2）设过点()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． ①求线段PQ 的中点N 的轨迹方程；②求证：BP BQ ⋅u u u r u u u r为定值，并求出这个定值．41．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，0)，离心率是3，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P 。

第二章 2.5 2.5.2A级——基础过关练1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】B【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d ＝5．由于2＜d＜4，所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】r1＝2，r2＝3，圆心距d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条．3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于( )A．1 B．－1C．±2 D．±1【答案】D【解析】圆C2：(x－a)2＋y2＝1，因为两圆内切，所以|C1C2|＝r1－r2＝2－1＝1，即|a|＝1，故a＝±1．4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆心C1(1,3)，半径为r1＝3，圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2．因为|C1C2|＝2－121－32＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．作出两圆图象如图，所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．5．(2021年九江模拟)圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A ． 5 B ． 6 C ．2 5 D ．2 6【答案】C【解析】x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0．圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此公共弦长为2522352＝25．6．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－3＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－1＝0公共弦长的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x ＋y ＋a ＋b －1a －b＝0，所以弦长为23－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －b ＋1a －b 22，所以当|a －b |＝1时，弦长最大，最大值为2． 7．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b【答案】ABC【解析】由题意，由圆C 2的方程可化为C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，两圆的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2．分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入，得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2,2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2．两式相减，得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，所以A ，B 正确．由圆的性质可得，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，所以C 正确，D 不正确．故选ABC ．8．若曲线C 1：x 2＋y 2＝5与曲线C 2：x 2＋y 2－2mx ＋m 2－20＝0(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是________．【答案】±5【解析】由已知可得圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝5，圆C 2的圆心C 2(m,0)，半径r 2＝25，|C 1C 2|2＝r 21＋r 22，即m 2＝25，故m ＝±5．9．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1，圆C 2的连心线C 1C 2所在的直线，又因为C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0．10．(2022年哈尔滨期末)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝36－m ，其中m ∈R ． (1)如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切，求m 的值；(2)如果直线x ＋y －3＝0与圆C 相交所得的弦长为45，求m 的值． 解：(1)圆C 的圆心为(3,4)，半径为36－m ，若圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和， 故32＋42＝1＋36－m ，解得m ＝20． (2)圆C 的圆心到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝||3＋4－31＋1＝22，由垂径定理，得⎝⎛⎭⎪⎫4522＝(36－m )2－d 2，解得m ＝8． B 级——能力提升练11．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22 B ．()－22，－2∪()2，22 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．(－∞，－322∪(2，＋∞),【答案】C【解析】根据题意知，圆(x －a )2＋(y －a )2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交，两圆圆心距为d ＝a 2＋a 2＝2|a |，所以2－1＜2|a |＜2＋1，解得22＜|a |＜322．所以－322＜a ＜－22，22＜a ＜322． 12．(多选)(2022年石家庄模拟)已知圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若圆C 2与x 轴相切，则m ＝2B ．若m ＝－3，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x ＋(6－2m )y ＋m 2＋2＝0 D ．直线kx －y －2k ＋1＝0与圆C 1始终有两个交点, 【答案】BD【解析】因为C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以若圆C 2与x 轴相切，则有|m |＝2，故A 错误；当m ＝－3时，|C 1C 2|＝1＋123＋32＝210＞2＋11，两圆相离，故B 正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x ＋(6－2m )y ＋m 2－2＝0，故C 错误；直线kx －y －2k ＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11，故点(2,1)在圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11内部，所以直线kx －y －2k ＋1＝0与圆C 1始终有两个交点，故D 正确．故选BD ．13．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r ＞0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝________．【答案】3【解析】设一个交点为P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，所以r 2＝41－8x 0＋6y 0.因为两切线互相垂直，所以y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，所以3y 0－4x 0＝－16.所以r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，所以r ＝3.,14.已知相交两圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，公共弦所在直线的方程为__________，公共弦的长度为__________．【答案】x ＝1 2 3【解析】如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －22＋y 2＝4，两式作差可得公共弦所在直线的方程为x＝1.将x ＝1代入x 2＋y 2＝4，解得y ＝±3，l ＝|y 1－y 2|＝2 3.15．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：方法一，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，两式相减，得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．因为所求圆以公共弦为直径， 所以圆心C 是公共弦的中点(2，－2)， 半径为125＋126－22＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法二，由方法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ.因为圆心C 在公共弦所在直线上， 所以4·12λ－1221＋λ＋3·16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.。

一、选择题1．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．2．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞3．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=4．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切C ．相交D ．内切7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．49．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．53,124D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．12．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是___________．14．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________.15．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 16．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个18．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 19．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.20．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题21．已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，且圆心C 在直线3150x y +-=上 （1）求圆C 的方程；（2）设点Q (-1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积.22．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈. （1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且42AB =时，求直线l 的方程.23．光线从(1,1)A 点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,7)D . （1）求BC 所在直线的方程；（2）过点(2,2)E 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线BC 的垂线，垂足为,R S ，求线段||RS 长度的最小值.24．已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.25．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.2．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离2243352543d ⨯+⨯-==+，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.3．A解析：A 【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.4．D解析：D【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.9．D解析：D 【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--，∴53,124k ⎛⎤∈⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||2()24AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||2OC =，所以222||||2(24AC OC =≤+，所以2a -或2a ，22<，所以2222a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，2)， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.二、填空题13．【分析】设点利用条件可求得点的轨迹方程进而可转化为直线与点的轨迹曲线有公共点可得出关于实数的不等式由此可解得实数的取值范围【详解】设点由于则化简可得由题意可知直线与圆有公共点则解得因此实数的取值范围 解析：[]4,4-【分析】设点(),P x y，利用条件PB PA =可求得点P 的轨迹方程，进而可转化为直线l 与点P 的轨迹曲线有公共点，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】设点(),P x y，由于PB PA ==，化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=≤44m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]4,4-. 故答案为：[]4,4-. 【点睛】方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：（1）代数法：将直线l 的方程和圆的方程联立，消去一个元（x 或y ），得到关于另外一个元的一元二次方程.①若0∆>，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交； ②若0∆=，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切； ③若∆<0，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；（2）几何法：计算圆心到直线的距离d ，并比较d 与圆的半径r 的大小关系. ①若d r <，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交； ②若d r =，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切； ③若dr ，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.14．【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到的轨迹为以线段为直径的圆然后判断点N 在圆外进而得到所求最小值【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n显然经过定点的轨迹为以线段为直径的圆圆心坐标为半径为2在圆 解析：2【分析】由动直线方程可得动直线经过定点()A 1,1,从而得到M 的轨迹为以线段PA 为直径的圆，然后判断点N 在圆外，进而得到所求最小值. 【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2242252CN =+=>,N ∴在圆外， 252min MN ∴=-,故答案为：25 2.- 【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定M 的轨迹，然后判定N 在圆的外部是不可缺少的.15．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣易错点睛：本题在把方程x =化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.16．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程.【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当m >或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l 212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，217PM =，所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b ，则22(02)423b b -+=⇒=±，∴22(23)9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为22315()()92x y ++±=和22315()()92x y -+±=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.18．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；19．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间 解析：()4,+∞【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可． 【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图， 作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ， 再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ， 则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.20．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72 ,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k，依据图形，简单计算和判断可得结果.【详解】由题可知：219y x=+-，所以()()22191+-=≥x y y如图又直线()35y k x=-+，即350kx y k过定点()A3,5213573241--+=⇒=+kkk当直线过点()3,1B-时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k 故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三、解答题21．（1）22(3)(6)40x y ++-=；（2）24. 【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=． （2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上，12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上.22．（1）直线与圆相交；（2）30x +-=或30x +=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可判定直线与圆的位置关系；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数m 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】解：（1）由题设知圆C ：()2249x y +-=.所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3.又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2202449+-=<所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交. （2）圆心C 到直线l的距离记为d =3r =，2AB= 又2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入解得：3m =±. 所以直线l的方程为：30x -=或30x +=. 【点睛】关键点睛：利用圆心C 到直线l 的距离，在利用公式2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出m ，最后求出直线l 的方程，属于中档题 23．（1）430x y +-=；（2）17. 【分析】（1）点(1,1)A 关于x 轴对称点()1,1E -，点D 关于y 轴对称点为()1,7F -，则其对称点,E F 在反射线上，即可求出反射线的直线方程；（2）写出直线l 的方程，求出()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，得到直线PR 和QS 的方程，转化为平行线的距离问题. 【详解】解：（1）点(1,1)A 关于x 轴对称为()1,1E - 点D 关于y 轴对称点为()1,7F -， 又直线BC 经过,F E 两点， 故直线BC ：430x y +-=； （2）设l 的方程为()22y m x -=--， 则()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++⎪⎝⎭， 可得直线PR 和QS 的方程分别为24(2)0x y m--+=和()44220x y m -++=， 又//PR QS ，∴RS =≥，当且仅当12m =取等号，∴线段RS 长度的最小值为181717. 【点睛】 三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y 间的距离公式为22122121||()()PP x x y y =-+-； （2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离1122d A B=+;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离2122d A B=+.24．（1）220x y --=；（2）()2219x y ++=；（3）422213422213,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）设AC 中点M 为(),0t ，则()42,0C t +，得到BM MC =，求出t ，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求AB k ，再求直线DE 的方程，点M 到直线DE 的距离，则三角形PDE 的高263,263h ⎡⎤∈-+⎣⎦，最后利用12PDESDE h =求解即可. 【详解】（1）设AC 中点M 为(),0t ，又()4,0A -， 则()42,0C t +，90ABC ∠=︒，则BM MC =,又(2,B --，424t t t =+-=+，则1t =-， 所以()2,0C ，故0222BC k -==--，则BC 边所在的直线方程为：)02202y x x -=-⇒--=；所以BC 边所在的直线方程为：20x --=； （2）由M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心， 则M 为AC 的中点坐标为()1,0-， 又3MC r ==,则圆M 的方程为：()2219x y ++=；（3）由()4,0A -，(2,B --，得024AB k -==-+，直线AB 与直线DE 平行，又(0,E -，则直线DE 的方程为：y =- 则()7,0D -，所以点M 到直线DE 的距离d ==，则三角形PDE 的高3h ⎡⎤∈⎣⎦，DE ==则12222PDESDE h ⎡==∈⎢⎣⎦，三角形PDE 面积的取值范围为22⎡⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.25．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=．【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程.【详解】（1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ； （2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =， 所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】 关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.26．（1）43m =-；（2）. 【分析】（1）先利用弦长和半径求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式建立关系即可求解； （2）求出直线定点D ，作CE l ⊥，垂足为E ，可得四边形MPQN 面积为CE PQ ⋅，当//MN l 且CD l ⊥时面积可得最大.【详解】解：（1）圆C 的圆心()3,4C -，半径4r =，由弦AB的长为，得点C 到直线l 的距离为d === 又d ==，∴=解得：43m =-； （2）把直线l 方程()()212340m x m y m ++---=化为()23240x y m x y +-+--=由230240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩∴直线l 过定点()2,1D -，当m 变化时，l 绕点D 转动， 作CE l ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形MPQN 为梯形（或矩形），PQ 为高，CE 为中位线， ∴()1884022MPQN S MP NQ PQ CE PQ CE MN CE CD =+⋅=⋅≤⋅=≤= 当且仅当//MN l 且CD l ⊥时等号全部成立， 由CD l ⊥得1l CD k k ⋅=-，即2112m m +=--，解得13m =， ∴当13m =时，四边形MPQN 的面积取得最大值402. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及四边形面积问题，解题的关键是巧妙表示出四边形面积，转化为点到直线距离的最值问题.。

新人教A 版选择性必修第一册《直线和圆的方程》单元测试卷一、单选题1．（2019·全国高二月考（文））直线：x y +-0=的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．（2019·浙江省高二期中）圆心为()2,2，且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22228x y -+-= B ．()()22222x y -+-= C ．()()22228x y +++=D ．()()22222x y +++=3．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－24．（2019·山东省高一期中）圆22(1)5x y +-=与直线120mx y m -+-=的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定5．（2019·山东省高一期中）从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5C D ．4+6．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a =)A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．（2019·山东省高一期中）若点(1,1)P 为圆2240x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为( )A ．20x y +-=B ．0x y -=C ．20x y -+=D ．22(1)5x y +-=8．（2020·武威第六中学高三二模（文））过点()1,0且倾斜角为30o 的直线被圆()2221x y -+=所截得的弦长为（ ）A B ．1C D ．9．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线20kx y -+=和以()3,2M -，()2,5N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．32k ≤ B ．32k ≥C ．4332k -≤≤ D ．43k ≤-或32k ≥10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是( ) A ．524+ B ．2 C ．52 D ．24+二、多选题11．（2019·辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2020·山东省高三期末）已知点A 是直线:20l x y +-=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ） A ．(2B ．()21C ．)2,0D ．)21,113．（2020·广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ）A ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-三、填空题14．（2019·浙江省高二期中）直线()1:20l m x y m +--=()m R ∈过定点______；若1l 与直线2:310l x my --=平行，则m =______.15．（2018·江苏省高二月考）已知以()4,3C -为圆心的圆与圆22:1O x y +=相内切，则圆C 的方程是________．16．（2020·河南省高三二模（文））圆22230x y y ++-=关于直线10x y +-=的对称圆的标准方程为__________．17．（2020·四川省高三二模（文））已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为ab 的最大值为__________． 四、解答题18．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）求圆224x y +=上与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标.19．（2019·全国高二月考（文））已知直线l 过点(2,1)P -. （1）若原点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程； （2）当原点O 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）在ABC ∆中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.（1）求点C 坐标； （2）求直线BC 的方程.21．（2019·浙江省高二期中）如图，圆22:(2)1C x y -+=，点P 为直线:4l x =上一动点，过点P 引圆C的两条切线，切点分别为,A B（1）求证：直线AB 恒过定点，并求出该定点Q 的坐标； （2）若两条切线,PA PB 于y 轴分别交于,M N 两点，求QMN V面积的最小值．22．（2020·江西省新余一中高一月考）已知点(4,4)A ，(0,3)B ，直线l ：1y x =-，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线37y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．23.（2019·山东省高一期中）已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.新人教A 版选择性必修第一册《直线和圆的方程》单元测试卷（解析版）一、单选题1．（2019·全国高二月考（文））直线：x y +-0=的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒【答案】D【解析】直线0x y +=的斜率1k =-，设直线0x y +-=的倾斜角为1(080)a a ︒≤<︒， 则tan 1α=-，所以135α=︒.故选：D.2．（2019·浙江省高二期中）圆心为()2,2，且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22228x y -+-= B ．()()22222x y -+-= C ．()()22228x y +++= D ．()()22222x y +++=【答案】A【解析】根据题意r ==()()22228x y -+-=.故选：A .3．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2 【答案】C【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2.4．（2019·山东省高一期中）圆22(1)5x y +-=与直线120mx y m -+-=的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定【答案】C【解析】直线120mx y m -+-=即()12y m x -=-即直线过()21，点,把()21，点代入圆的方程有405+<,所以点()21，在圆的内部,过()21，点的直线一定和圆相交.故选:C.5．（2019·山东省高一期中）从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A．B ．5CD．4+【答案】A【解析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴=故选:A.6．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a =)A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．7．（2019·山东省高一期中）若点(1,1)P 为圆2240x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为( )A ．20x y +-=B ．0x y -=C ．20x y -+=D ．22(1)5x y +-=【答案】B【解析】2240x y x +-=化为标准方程为()22-24x y +=.∵()1,1P 为圆()22-24x y +=的弦AB 的中点,∴圆心与点P 确定的直线斜率为01121k -==--, ∴弦AB 所在直线的斜率为1，∴弦AB 所在直线的方程为11y x -=-,即0x y -=.故选:B.8．（2020·武威第六中学高三二模（文））过点()1,0且倾斜角为30o 的直线被圆()2221x y -+=所截得的弦长为（ ） A ．3B ．1C ．3D ．23【答案】C【解析】根据题意，设过点()1,0且倾斜角为30o 的直线为l , 其方程为()tan301y x =-o,即()313y x =-,变形可得310x y --=， 圆()2221x y -+= 的圆心为()2,0，半径1r = , 设直线l 与圆交于点AB ,圆心到直线的距离211213d -==+,则12134AB =⨯-=，故选C. 9．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线20kx y -+=和以()3,2M -，()2,5N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．32k ≤ B ．32k ≥C ．4332k -≤≤ D ．43k ≤-或32k ≥【答案】C【解析】因为直线20kx y -+=恒过定点()0,2A ，又因为43AM k =-，32AN k =， 所以直线的斜率k 的范围为4332k -≤≤．故选：C ．10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是( ) A ．524+ B ．2C ．52D ．24+【答案】D【解析】如下图所示：圆1C 的圆心()12,3C ，半径为11r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径为23r =，()()221223342C C =-+-=，由圆的几何性质可得2223PN PC r PC ≤+=+，1111PM PC r PC ≥-=-，21124424PN PM PC PC C C -≤-+≤+=+，当且仅当1C 、P 、2C 三点共线时，PN PM -取到最大值24+. 故选：D. 二、多选题11．（2019·辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】直线2y ax a =+经过圆222()x a y a ++=的圆心(),0a -，且斜率为a .故选项,,A B D 满足题意. 故选：ABD .12．（2020·山东省高三期末）已知点A 是直线:20l x y +-=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ） A ．()0,2 B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1-【答案】AC 【解析】 如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA ==由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=整理得220t -=，解得0t =，因此，点A 的坐标为(或).故选：AC.13．（2020·广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ）A ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD【解析】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-.故选:AD 三、填空题14．（2019·浙江省高二期中）直线()1:20l m x y m +--=()m R ∈过定点______；若1l 与直线2:310l x my --=平行，则m =______.【答案】()1,2 3-【解析】 (1)()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=⇒-+-=,故101202x x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩.即定点为()1,2(2) 若1l 与直线2:310l x my --=平行,则()()()()()2310130m m m m +---=⇒-+=,故1m =或3m =-.当1m =时1l 与直线2l 重合不满足.故3m =-.故答案为：(1) ()1,2; (2)3-15．（2018·江苏省高二月考）已知以()4,3C -为圆心的圆与圆22:1O x y +=相内切，则圆C 的方程是________．【答案】(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5=，设所求圆的半径为()0r r >，由两圆内切的充分必要条件可得：15r -=， 据此可得：6r =，圆C 的方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.16．（2020·河南省高三二模（文））圆22230x y y ++-=关于直线10x y +-=的对称圆的标准方程为__________．【答案】22(2)(1)4x y -+-=【解析】Q 2222230(41)x y y x y ++-=⇒+=+，∴圆心为(0,1)-，半径为2， 设圆心关于直线10x y +-=的对称点为(,)x y ，∴1(1)1,2,1.110,22y x xy x y +⎧⨯-=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+-=⎪⎩∴对称圆的标准方程为22(2)(1)4x y -+-=. 17．（2020·四川省高三二模（文））已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b-+-=所得的弦长为ab 的最大值为__________． 【答案】14【解析】因为直线10x y ++=截圆()()224x a yb -+-=所得的弦长为且圆的半径为2.故圆心(),a b到直线的距离d ===,因为a 、b 为正实数,故1a b +=,所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当且仅当12a b ==时取等号. 故答案为：14四、解答题18．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）求圆224x y +=上与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标.【答案】86,55P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】过圆心且与直线43120x y +-=垂直的直线方程为340x y -=，联立圆方程224340x y x y ⎧+=⎨-=⎩得交点坐标为86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，86,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为与直线43120x y +-=的距离最小，所以86,55P ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．（2019·全国高二月考（文））已知直线l 过点(2,1)P -. （1）若原点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程； （2）当原点O 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程. 【答案】（1）20x -=或34100x y --=；（2）250.x y --= 【解析】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程2x =符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则方程为()12y k x +=-，即210.kx y k ---=22121k k +=+，解得34k =，则直线l 的方程为34100.x y --=故直线l 的方程为20x -=或34100.x y --= （2）当原点O 到直线l 的距离最大时，直线.l OP ⊥ 因为011022OP k +==--，所以直线l 的斜率2,k = 所以其方程为()122y x +=-，即250.x y --=20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）在ABC ∆中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.（1）求点C 坐标； （2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()66C ，（2）2180x y +-= 【解析】（1）AC 边上的高为74460x y +-=，故AC 的斜率为47， 所以AC 的方程为()4217y x -=+，即47180x y -+=， 因为CM 的方程为211540x y -+=21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，， 解得66x y =⎧⎨=⎩所以()66C ，. （2）设()00,B x y ，M 为AB 中点，则M 的坐标为0012,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭， 0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩解得0028x y =⎧⎨=⎩， 所以()2,8B ， 又因为()6,6C ， 所以BC 的方程为()866626y x --=--，即BC 的方程为2180x y +-=.21．（2019·浙江省高二期中）如图，圆22:(2)1C x y -+=，点P 为直线:4l x =上一动点，过点P 引圆C的两条切线，切点分别为,A B（1）求证：直线AB 恒过定点，并求出该定点Q 的坐标；（2）若两条切线,PA PB 于y 轴分别交于,M N 两点，求QMN V面积的最小值． 【答案】（1）见解析，5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭（2）1033【解析】（1）设(4,)P t ，则以CP 为直径的圆的方程：()()222224232t t x y -+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 与圆22:(2)1C x y -+=，两式相减得：:2(2)1AB l x ty -+=，所以直线恒过定点5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）设直线AP 与BP 的斜率分别为12,k k ，(4)y t k x -=-与圆C 211k=+，即223410k tk t -+-=．所以2121241,33-+=⋅=t t k k k k ，14M y t k =-，24N y t k =-，()2212121241283||444+=-=+-=≥⋅t MN k k k k k k()min183510322MNQ S∆==，所以面积的最小值为3322．（2020·江西省新余一中高一月考）已知点(4,4)A ，(0,3)B ，直线l ：1y x =-，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线37y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（1）4x =或3440x y -+=.（2）a ≤≤a ≤≤【解析】 (1)由137y x y x =-⎧⎨=-⎩得：()3,2C ，所以圆C ：22(3)(2)1x y -+-=..当切线的斜率存在时,设切线方程为4(4)y k x -=-，由1d ==，解得：34k =当切线的斜率不存在时，即4x =也满足 所以切线方程为：4x =或3440x y -+=. (2)由圆心C 在直线l ：1y x =-上，设(,1)C a a -设点(,)M x y ，由||2||MB MO ==化简得：22(1)4x y ++=，所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上. 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则1||3CD ≤≤即13≤，解得：a ≤≤a ≤≤. 23.（2019·山东省高一期中）已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【答案】(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.。

1.江苏省灌南高级中学高一数学《直线与圆的方程》练习题 新人教A 版2.① 若点（b a ,）在圆122=+y x 内部，则直线1=+by ax 与圆122=+y x 的位置关系为____________.② 已知圆0sin sin 2cos 22222=---+θθθa ay ax y x 截x 轴所得的弦长为16，则a =_______________.③ 已知圆1)1()1(:221=-++y x C ，圆2C 与圆1C 关于直线01=--y x 对称，则圆2C 的方程为_____________ _. ④ 若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围为_________________.2.过圆222r y x =+上一点),(00y x 的切线方程为______________,若点),(00y x P 在圆外，作圆的两条切线，则过切点的方程是______________.3.从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线OB OA ,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_____ABO ∆的外接圆方程为_______________.4.与1)5(22=++y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有_______条.5.自)1,3(作圆1)3()2(22=-+-y x 的切线l ，则l 的方程为______ _______.过点)1,1(--A 的直线l 与圆066222=++-+y x y x 相交，则直线l 的斜率的取值范围是【典型例题】1、一直线过)23,3(--P 且被圆2522=+y x 截得弦长为8，求此直线方程.2、已知圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 交于Q P ,，且0=⋅OQ OP ,O 为原点，求该圆的圆心坐标及半径.3、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆4)1()3(:221=-++y x C 和圆4)5()4(:222=-+-y x C（1）若直线l 过点)0,4(A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.【达标检测】1.与圆2522=+y x 外切于点),3,4(p 且半径为1的圆的方程为__________ _ __.2.平面内与点)2,1(-A 距离为1，与点)1,3(B 距离为2的直线有_________条.3.过点)1,21(M 的直线l 与圆4)1(:22=+-y x C 交于,,B A 当ACB ∠最小时，直线l 的方程为_______________.4.圆r y x =++-22)5()3(上有且仅有两个点到直线234=-y x 的距离为1，则r 的值可能为_____________.5.已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x o 相交于B A ,两点，且21-=⋅OB OA ，则AB =___________.6.设集合)}0()1()1(),({},4),({22222>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M ，当N N M =⋂时，求实数r 的取值范围.7.已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆4)3(:22=-+y x C 交于Q P ,,M 为PQ 中点，l 与直线063:=++y x m 相交于N .（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C（2）当32=PQ 时，求直线l 的方程.（3）求证：⋅为定值。

一、选择题1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．3．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外 B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定4．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．6．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-7．已知圆C 经过()4,2P -，()1,3Q -两点，且在y 轴上截得的线段的长为于5.若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则直线l 的方程为（ ） A ．40x y ++=或30x y +-= B ．40x y +-=或30x y ++= C ．40x y ++=或30x y ++=D ．40x y +-=或30x y +-=8．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)9．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．511．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++=D ．2430x y ++=12．若直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，则a 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．4-或4D ．2-二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.16．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.17．点(,)P x y 是直线30kx y ++=上一动点，,PA PB 是圆22:430C x y y +-+=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 面积的最小值为2，则k 的值为______.18．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________.19．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 20．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．三、解答题21．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈.（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =时，求直线l 的方程. 22．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，AB 4=，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切.（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）求M 的圆心M 点的轨迹方程.23．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值.24．直线21:20l a x y a ++=，2:10l x ay ++=，圆22:650C x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线1l 与2l 垂直；（2）若圆心C 在直线2l 的左上方，当直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且PQ =求直线2l 的方程.25．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）设点()()1,0Q m m ->在圆C 上，求△QAB 的面积．26．我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆1C :221x y +=，直线:340l x y m -+=. （1）若直线l 关于圆1C 的距离比2λ=，求实数m 的值;（2）当0m =时，若圆2C 与y 轴相切于点()0,3A ，且直线l 关于圆2C 的距离比65λ=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长.因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y+=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ， 211(2)5251()12d ⨯---∴==+，圆的半径为221(2)41632r =-++=. 2224MN r d ∴=-=.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.2．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.3．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||1<，即为1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，||1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.4．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】||5PQ ==，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线， 所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.5．C【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.6．C解析：C 【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.7．B解析：B 【分析】先求出圆C 的方程，设出直线l 的方程为y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -，与圆的方程联立消去y 可得12x x +、12x x 用m 表示，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，()21212121220OA OB x x y y x x m x x m ⋅=+=-++=将12x x +、12x x ，代入即可求出m的值，进而可得直线l 的方程. 【详解】因为()4,2P -，()1,3Q -，所以()32114PQ k --==---，所以直线PQ 的方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=， 设圆心(),C a b ，半径为r ， 直线PQ 的垂直平分线为：1322y x -=-，即10x y --=， 所以10a b --=①，由于在y轴上截得的线段的长为(222r a =+②， 又因为()()22213r a b =++-③，由①②③可得：10a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或54a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（舍），所以圆C 的方程为：()22113x y -+=，设直线l 的方程为：y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -， 若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，由()22113y x m x y =-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得：()22221120x m x m -++-=， 所以121x x m +=+，212122m x x -=，所以()()()2121212122OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++()221210m m m m =--++=，即2120m m --=，解得：4m =或3m =-， 所以直线l 的方程为4y x =-+或3y x =--， 即直线l 的方程为40x y +-=或30x y ++=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用待定系数法求出圆的方程，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，得出OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，将直线l 的方程与圆的方程联立，即可得12x x +、12x x 用m 表示，代入()()()21212121220OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++=，即可求出m 的值，进而求解.8．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.9．C解析：C 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，则d ==0m =或4-，当0m =时，直线过原点；若过原点，把()0,0代入()2200242++=>，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.10．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=，所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．B解析：B 【分析】根据两直线平行，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，可得2802240a a a ⨯-⨯=⎧⎨-⨯≠⎩，解得4a =-.故选: B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的平行的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程.【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=.即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=. 故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++=即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.16．15【分析】根据直线3x ＋4y-12＝0可求得的坐标及利用圆心到直线的距离求出点C 到直线的距离的最小值和最大值利用面积公式可求得结果【详解】令得令得所以A （40）点B （03）∴|AB|＝5由x2＋y解析：15 【分析】根据直线3x ＋4y -12＝0可求得,A B 的坐标及||AB ，利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果. 【详解】令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3）， ∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=， 所以圆的半径为3，圆心为(5,6)， 圆心(5,6)到直线AB 的距离d ==275， 所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=， 所以ABCS的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=， 所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值是解题关键.17．【分析】根据圆的切线性质可知四边形的面积转化为直角三角形的面积结合最小值可求的值【详解】由于是圆的两条切线是切点所以当最小时四边形的面积最小而的最小值即为到直线的距离又所以故答案为： 解析：2±【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求k 的值. 【详解】由于,PA PB 是圆()22:21C x y +-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，而||PC 的最小值即为C 到直线的距离d ，又2,1d k =+所以222424 2.d k k -=⇒=⇒=± 故答案为：2±.18．【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到的轨迹为以线段为直径的圆然后判断点N 在圆外进而得到所求最小值【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点的轨迹为以线段为直径的圆圆心坐标为半径为2在圆 解析：252-【分析】由动直线方程可得动直线经过定点()A 1,1,从而得到M 的轨迹为以线段PA 为直径的圆，然后判断点N 在圆外，进而得到所求最小值. 【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2242252CN =+=>,N ∴在圆外，252min MN ∴=-,故答案为：25 2.- 【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定M 的轨迹，然后判定N 在圆的外部是不可缺少的.19．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；20．【分析】将问题转化为以为圆心为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】解：根据题意设以为圆心为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为：因为圆O 上存在两点到A 的距离为 解析：()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）直线与圆相交；（2）30x +-=或30x +=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可判定直线与圆的位置关系；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数m 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】解：（1）由题设知圆C ：()2249x y +-=.所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3.又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2202449+-=<所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交. （2）圆心C 到直线l的距离记为d =3r =，2AB= 又2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入解得：m =所以直线l 的方程为：30x -=或30x +=. 【点睛】关键点睛：利用圆心C 到直线l 的距离，在利用公式2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出m ，最后求出直线l 的方程，属于中档题 22．（1）2r 或6r =；（2）24y x =.【分析】 （1）M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上，设(),M a a ，根据AOM为直角三角形，由勾股定理即可求解.（2）设(), M x y ，由于MO AO ⊥，根据AOM 为直角三角形，由勾股定理即可求解. 【详解】 解：（1）因为M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线0x y +=上，且A ，B 关于坐标原点O 对称， 所以M 在直线y x =上，故可设(),M a a . 因为M 与直线20x +=相切，所以M 的半径为2r a =+.由已知得2AO =，(),M a a 点到0x y +==又MO AO ⊥，故可得()22242a a +=+，解得0a =或4a =. 故M 的半径2r 或6r =.（2）设(), M x y ，由已知得M 的半径为2r x =+，2AO =， MO =由于MO AO ⊥，所以222MO OA r +=，故可得()22242x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.【点睛】思路点睛：直线和圆相交时，通常用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形建立等量关系. 23．（1）()()22129x y -++=；圆心()1,2C -，3r =；（2）存在；；1y x =+或4y x =-；（3）92. 【分析】（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；（2）设:l y x m =+，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此整理可得方程求得m ，进而得到所求方程；（3）设:l y x m =+，由垂径定理表示出AB ，将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 的函数，利用函数最值的求法可求得结果.【详解】（1）由222440x y x y +-+-=得：()()22129x y -++=.∴圆C 的圆心为：()1,2C -，半径3r =.（2）假设存在直线l ，设方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 以AB 为直径的圆过圆心O ，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=. 由222440y x m x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消去y 得：()22221440x m x m m ++++-=.由()()22418440m m m ∆=+-+->得：33m -<<.由根与系数关系得：()121x x m +=-+，212442m m x x +-=，()()()212121212y y x m x m x x m x x m ∴=++=+++，()21212121220x x y y x x m x x m ∴+=+++=，解得：1m =或4-.∴直线l 方程为：1y x =+或4y x =-.（3）设圆心C 到直线l ：y x m =+的距离为d ，则AB =12CABSd ∴=⨯==∴当2d =()max 92CAB S=，∴圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或6m =-， ∴当直线l 的方程为y x =或6y x =-时，CAB △面积取得最大值92. 【点睛】方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 或者半径r 的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果. 24．（1）0a =或1a =-（2）10x y -+= 【分析】（1）根据两条直线平行的条件列式解得结果即可得解；（2）设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，利用弦长求出d ，根据圆心到直线的距离求出d ，由此可求出a ，再根据圆心C 在直线2l 的左上方，舍去一个值，从而可得直线2l 的方程. 【详解】（1）由直线1l 与2l 垂直得20a a +=，解得0a =或1a =-；（2）圆22:650C x y y +-+=的圆心(0,3)C ，半径为2，设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，则d ==又d ==，所以27610a a +-=，所以17a =或1a =-，当17a =时，21:107l x y ++=，由0x =得73y =-<，此时圆心C 在直线2l 的右上方，不符合题意；当1a =-时，2:10l x y -+=，由0x =得1y =3<，此时圆心C 在直线2l 的左上方； 故直线2l 的方程为：10x y -+= 【点睛】结论点睛：根据两条直线的位置关系求参数的结论：若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，11,A B 不同为0，22,A B 不同为0，①若12l l //，则12210A B A B -=且12210AC A C -≠或12210B C B C -≠；②若12l l ⊥，则12120A A B B +=.25．（1）()()223640x y ++-=；（2）24． 【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=． （2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上，12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 26．（1）10±；（2）外切或相离，答案见解析. 【分析】（1）根据新定义的要求即可求出m 的值；（2）先设圆2C 的方程222()(3)x a y a -+-=，然后根据新定义可求出a 的值，再根据a的值判断两圆的位置关系. 【详解】（1）由直线关于圆的距离的比的定义 得25m =，所以10m =±（2）当0m =时，直线:340l x y -= 圆2C 与y 轴相切点于(0,3)A 所以可设2C ：222()(3)x a y a -+-=3126545a a a -=⇒=-或43①当4a =-时，2C ：22(4)(3)16x y ++-=两圆的圆心距5d =，两圆半径之和为145+=，因此两圆外切 ②当43a =时，2C ：22416()(3)39x y -+-=两圆的圆心距48433d =-+=大于两圆的半径之和47133+=，因此两圆外离 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用新定义圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，可求出m 的值，利用圆2C 与y 轴相切于点()0,3A 设出其方程为222()(3)x a y a -+-=根据新定义可求出a 的值，再比较圆心距与半径之和、差，可判断两圆的位置关系.。

其次章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x-y-1=0的倾斜角α=()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵直线x-y-1=0的斜率k=,∴tanα=.又0°≤α<180°,∴α=30°.答案:A2.已知直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有( )A.a=2,b=5B.a=2,b=-5C.a=-2,b=5D.a=-2,b=-5解析:由5x-2y-10=0,得=1.由直线的截距式,得a=2,b=-5.答案:B3.已知圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C. D.2解析:圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,即=1,解得a=-.答案:A4.已知直线l:y=k(x+),圆C:x2+(y-1)2=1,若直线l与圆C相切,则k=( )A.0B.C.或0D.或0解析:∵直线l与圆C相切,∴圆心C(0,1)到直线l的距离d=r=1,即=1,解得k=0或k=.答案:D5.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则( )A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8解析:②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+y-=0,由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,得解得答案:C6.已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),则线段MN的中点P的轨迹方程是( )A.(x-1)2+(y-2)2=5B.+y2=C.+y2=D.(x-2)2+(y+1)2=5解析:∵A,B是圆C的直径的两个端点,∴圆心C(1,2),半径r=.∴圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.设P(x,y),M(x0,y0).∵线段MN的中点为P,∴∵点M在圆C上运动,∴(2x-5)2+(2y)2=5,即+y2=.故线段MN的中点P的轨迹方程为+y2=.答案:B7.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1解析:设圆C2的圆心C2(x,y),则C2与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,从而解得即C2(2,-2).圆C2的半径等于圆C1的半径,即为1.故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案:B8.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )A. B.- C.± D.-解析:依据题意,画出大致图象,如图所示.若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率-1<k<0.设l:y=k(x-),则圆心O到直线l的距离d=,从而|AB|=2.S△AOB=|AB|·d=×2·d=,当且仅当d2=时,S△AOB取得最大值.由d2=,即k2=,得k=-.故选B.答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是( )A.方程表示的是圆B.当a≠0时,方程表示的圆过原点C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称D.方程表示的圆的圆心在x轴上解析:将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.当a≠0时,方程表示圆,而且圆心坐标为(-a,a)在直线x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.将(0,0)代入原方程,左边=右边,故当方程表示圆时,经过原点.故A不正确,B,C正确,D不正确. 答案:BC10.设点A(-2,3),B(3,2),则下列a的值满意直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是( )A.-2B.-1C.3D.4解析:如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),斜率为-a.kAC=-,kBC=.由于当-a≥或-a≤-,即a≤-或a≥时,直线与线段AB有交点,故A,C,D符合,B不符合.答案:ACD11.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦所在的直线为l1,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么( )A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l2与圆O相离D.l2与圆O相交解析:由题意得a2+b2<r2,OP⊥l1.∵kOP=,∴l1的斜率k1=-.∴直线l1的方程为y-b=-(x-a),即ax+by-a2-b2=0.又直线l2的方程为bx-ay-r2=0,∴l1⊥l2.故B正确.∵圆心O到直线l2的距离=|r|,∴l2与圆O相离.故C正确.答案:BC12.已知圆C:x2+y2-4x-4y-10=0,直线l:x-y+c=0,则下列c的取值满意圆C上至少有三个不同的点到直线l的距离为2的是( )A.-2B.-1C.0D.1解析:圆C的方程x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心C(2,2),半径为3.若圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则圆心C到直线l的距离≤3-2,解得-2≤c≤2.故ABCD都满意.答案:ABCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直,则线段AB的长为 .解析:如图,连接OO1,记AB与OO1的交点为C,在Rt△OO1A中,∵|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|=5.∴|AC|==2.∴|AB|=4.答案:414.过点M(3,2)引圆E:x2+y2+4x-2y+4=0的切线,则切线方程是 .解析:圆E的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=1,则圆心E(-2,1),半径为1.点M在圆外,作大致图象(图略)可知,直线斜率存在,设直线的方程为y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0.由=1,得k=0或k=.故切线的方程为y=2,5x-12y+9=0.答案:y=2,5x-12y+9=015.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:由圆C的方程知,圆心C(1,a),半径为2.由△ABC为等边三角形,得圆心C到弦AB的距离为,即点C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为,即,解得a=4±.答案:4±16.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .解析:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).由题意知圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d==r.①∵圆C过点A(4,1),B(2,1),∴(4-a)2+(1-b)2=r2,②(2-a)2+(1-b)2=r2.③由①②③,得a=3,b=0,r=,∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l经过直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.解:(1)由得两条直线的交点坐标为(1,6).因为直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率k=-2.故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)由(1)知,直线l的方程为2x+y-8=0.由点P(a,1)到直线l的距离等于,得,解得a=1或a=6.18.(12分)已知圆心为(3,4)的圆N被直线x=1截得的弦长为2.(1)求圆N的方程;(2)点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,求以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程.解:(1)∵圆心N到直线x=1的距离为2,且圆N被直线x=1截得的弦长为2,∴圆N的半径r==3,∴圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9.(2)∵点B(3,-2)与点C关于直线x=-1对称,∴点C的坐标为(-5,-2).由(1)知,圆N的方程为(x-3)2+(y-4)2=9,圆心N(3,4),半径为3.∴圆心距|NC|==10.∵圆C与圆N外切,∴圆C的半径为10-3=7.∴以C为圆心,且与圆N外切的圆的方程为(x+5)2+(y+2)2=49.19.(12分)为了适应市场需求,某地打算建一个圆形粮食储备基地(如图),它的旁边有一条马路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达马路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达马路上的另一点C.现打算在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D 通往马路BC的专用线DE(E在马路BC上),求D到E的最短距离.解:如图,以O为坐标原点,OB,OC所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为=1,即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所得的切点处且DE⊥BC时,|DE|取得最小值,最小值为-1=(4-1)km.故D到E的最短距离为(4-1)km.20.(12分)已知直线l:x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2.(1)求a的值;(2)求过点(3,5),且与圆C相切的切线方程.解:(1)由已知得圆心C(a,2),半径r=2.圆心C到直线l的距离d=.由勾股定理,得d2+=r2,代入后解得a=1或a=-3.因为a>0,所以a=1.(2)由(1)知,圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心C(1,2),半径r=2,点(3,5)在圆C外.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.由圆心到切线的距离d==2,得k=.所以,切线方程为5x-12y+45=0.当过点(3,5)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,与圆C相切,符合题意.综上所述,所求切线的方程为5x-12y+45=0或x=3.21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.解:因为圆心在直线l1上,所以设圆心坐标为C(a,a-1),半径为r.点C到直线l2的距离d1=.点C到直线l3的距离d2=.由题意得解得a=2,r=5.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,圆O过点M(1,).(1)求圆O的方程;(2)若直线l1:y=mx-8与圆O相切,求m的值;(3)过点(0,3)的直线l2与圆O交于A,B两点,点P在圆O上,若四边形OAPB是菱形,求直线l2的方程.解:(1)圆O的半径r==2.故圆O的方程为x2+y2=4.(2)若直线l1与圆O相切,则圆心O到直线l1的距离=2,解得m=±.(3)由圆O的方程,得点(0,3)在圆O外.由题意知,直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y=kx+3.∵四边形OAPB为菱形,∴对角线OP与AB相互垂直平分,故圆心O到直线l2的距离应为|OP|==1,即=1,解得k=±2,所以,直线l2的方程为y=2x+3或y=-2x+3.。

2.5.2 圆与圆的位置关系A 级必备知识基础练1.两圆x 2+y 2-2x-2y=0和x 2+y 2-6x+2y+6=0交于A ,B 两点,则AB 的垂直平分线的方程是( ) A.x+y+3=0 B.x-y+2=0 C.x+y-2=0D.2x-y-1=02.已知圆C 1:(x+a )2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-b )2+(y-2)2=4相外切,a ,b 为正实数,则ab 的最大值为( ) A.2√3B.94C.32D.√623.若圆x 2+y 2-2ax+a 2=2和圆x 2+y 2-2by+b 2=1相外离,则a ,b 满足的条件是 . 4.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .B 级关键能力提升练5.已知点M (-2,0),N (2,0),若圆x 2+y 2-6x+9-r 2=0(r>0)上存在点P (不同于M ,N ),使得PM ⊥PN ,则实数r 的取值范围是( ) A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3)D.[1,3]6.圆C 1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C 2:(x-a )2+(y-4)2=16外离,过原点O 分别作两个圆的切线l 1,l 2,若l 1,l 2的斜率之积为-1,则实数a 的值为( )A.83B.-83C.-6D.67.已知点P (t ,t-1),t ∈R ,点E 是圆O :x 2+y 2=14上的动点,点F 是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为( )A.2B.52C.3D.48.(多选题)圆O 1:x 2+y 2-2x=0和圆O 2:x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ,B ,则有( ) A.公共弦AB 所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB 中垂线的方程为x+y-1=0 C.公共弦AB 的长为√22+1D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为√229.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是()A.-16B.-9C.11D.1210.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.11.在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.C级学科素养创新练12.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径.(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.2.5.2 圆与圆的位置关系1.C AB 的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.2.B 由题意得,圆C 1:(x+a )2+(y-2)2=1的圆心为C 1(-a ,2),半径r 1=1. 圆C 2:(x-b )2+(y-2)2=4的圆心为C 2(b ,2),半径r 2=2. ∵圆C 1:(x+a )2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-b )2+(y-2)2=4相外切, ∴|C 1C 2|=r 1+r 2,即a+b=3,由基本不等式,得ab ≤a+b 22=94,当且仅当a=b=32时,等号成立.故选B .3.a 2+b 2>3+2√2 两圆的连心线的长为d=√a 2+b 2. ∵两圆相外离,∴d>√2+1, ∴a 2+b 2>3+2√2.4.外切 ∵点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,∴a 2+b 2=4. 又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1, 圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1, 则|C 1C 2|=√a 2+b 2=√4=2, ∴|C 1C 2|=r 1+r 2.∴两圆外切.5.A 由PM ⊥PN 得,点P 在以MN 为直径的圆上(不同于M ,N ), 以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4. 由x 2+y 2-6x+9-r 2=0得(x-3)2+y 2=r 2(r>0),所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5. 6.C 两圆外离,则√(2-a)2+(3-4)2>2+4, 即(a-2)2>35,设与圆C 1相切的直线l 1的方程为y=kx , 则√k 2+1=2,解得k=512, 则与圆C 2相切的直线l 2的斜率k'=-1k =-125, 直线l 2的方程为y=-125x ,即12x+5y=0,所以√122+52=4,解得a=-6或a=83,结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C.7.4∵P(t,t-1),∴P点在直线y=x-1上,作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1方程为(x-1)2+(y+1)2=14,∴E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|.设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.8.ABD对于A,由圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-y=0,故A正确;对于B,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),又k AB=1,则线段AB中垂线的斜率为-1,即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B正确;对于C,圆O1:x2+y2-2x=0,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离d=√12+(-1)2=√22,半径r=1,所以|AB|=2√12-(√22)2=√2,故C不正确;对于D,P为圆O1上一动点,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=√22,半径r=1,即P到直线AB距离的最大值为√22+1,故D正确.9.AD 化圆C 2:x 2+y 2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k ,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为√25+k ; 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C 1和圆C 2没有公共点,则|C 1C 2|>√25+k +1或|C 1C 2|<√25+k -1, 即5>√25+k +1或5<√25+k -1, 解得-25<k<-9或k>11.∴实数k 的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞). 满足这一范围的有A 和D. 10.2x+y-1=014,12圆C :x 2+y 2=1的圆心坐标为C (0,0), 则以C (0,0)和P (2,1)为直径的圆的圆心为1,12, 半径为r=12√22+12=√52. 可得以CP 为直径的圆的方程为(x-1)2+y-122=54,即x 2+y 2-2x-y=0,两圆的方程相减可得直线AB 的方程2x+y-1=0. 因为点P 为直线x+2y-4=0上一动点, 设P (4-2m ,m ),因为PA ,PB 是圆C 的切线,所以CA ⊥PA ,CB ⊥PB ,所以AB 是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦,以PC 为直径的圆的方程为[x-(2-m )]2+y-m22=(2-m )2+m 24,又由圆C 的方程为x 2+y 2=1,两圆的方程相减,则AB 的方程为2(2-m )x+my=1, 所以直线AB 过定点14,12.11.解(1)由{y =2x -4,y =x -1,得圆心C (3,2).∵圆C 的半径为1,∴圆C 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.过点A 作圆C 的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,∴√k 2+1=1,∴|3k+1|=√k 2+1,∴2k (4k+3)=0,∴k=0或k=-34,∴所求圆C 的切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0.(2)∵圆C 的圆心在直线l :y=2x-4上, ∴设圆心C (a ,2a-4),则圆C 的方程为(x-a )2+[y-(2a-4)]2=1.又|MA|=2|MO|,∴设M (x ,y ),则√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2,整理得x 2+(y+1)2=4,设为圆D ,∴点M 既在圆C 上又在圆D 上,即圆C 和圆D 有交点,∴2-1≤√a 2+[(2a -4)-(-1)]2≤2+1, 解得0≤a ≤125,所以a 的取值范围为0,125.12.解(1)设圆C 的圆心坐标为(a ,2a ),则半径r=√12+12=√2,两圆的圆心距为√(a -1)2+(2a -2)2=√5|a-1|=√10r , 因为两圆外切,所以√10r=r+9,∴r=√10+1.(2)有.如果存在另一条切线,则它必过l 与l 1的交点(1,2), ①若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C 到它的距离|a-1|=r=√2,由于方程需要对任意的a 都成立,因此无解,所以它不是公切线,②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k (x-1), 则d=√1+k 2=r=√2对任意的a 都成立,√1+k 2=√2√1+k 2=√2,两边平方并化简得k 2-8k+7=0,解得k=1或k=7, 当k=1时,直线与l 1重合, 当k=7时,直线方程为7x-y-5=0, 故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.。

一、选择题1．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 4．已知圆22:3C x y +=，从点()2,0A -观察点()2,B a ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 （ ）A ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞D ．((),-∞-⋃+∞5．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.A ．3B ．C ．±D 6．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，9．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-=B ．226160x y y +--=C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=10．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案11．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =______．14．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.15．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．16．若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹方程是______．17．已知P 为||||x y m +=上的点，过点P 作圆O ：221x y +=的切线，切点为M 、N ，若使得90MPN ∠=︒的点P 有8个，则m 的取值范围是_________. 18．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.19．已知直线l 过点(4,1)A -20y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.20．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______. 三、解答题21．已知||1t ≤，直线1:10l tx y -+=和直线2:10l x ty ++=相交于点P ，1l 和y 轴交于点A ，2l 和x 轴交于点B ．（1）判断1l 与2l 的位置关系，并用t 表示点P 的坐标； （2）求||OP 的长度的取值范围，并指出取最值时点P 的位置．22．已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.23．已知直线l 经过直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点，且()2,3M ，()4,5N -到l 的距离相等，求直线l 的方程.24．已知直线l ：240x y +-=，圆C 的圆心在x 2，且圆心C 到直线l 65. （1）求圆C 的方程；（2）直线l 上是否存在一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为,M N 直线MN 恒过定点，并求定点坐标.25．直线21:20l a x y a ++=，2:10l x ay ++=，圆22:650C x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线1l 与2l 垂直；（2）若圆心C 在直线2l 的左上方，当直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且22PQ =求直线2l 的方程.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为22(1)4x y -+=，M 点的坐标为(3，-3).（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程.（2）已知圆222:420Q x y x ay a +-++=，若圆Q 与圆C 14，求圆Q的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直， 所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-. 当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直； 当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.2．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.3．D【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.4．D解析：D 【分析】设过点与圆相切的直线为()2y k x =+，则圆心到直线的距离解得3k =，可得切线方程为)32y x =±+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，即a 大于B 点在x 轴上方的纵坐标或者小于B 点在x 轴上方的纵坐标即可. 【详解】设过点()2,0A -与圆22:3C x y +=相切的直线为()2y k x =+，则圆心()0,0到直线的距离为2231k k=+，解得3k =±，∴切线方程为()32y x =±+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，B 在2x =的直线上，在()32y x =±+中，取2x =，得43y =±，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，需43a >或43a <-， ∴a 的取值范围是()(),4343,-∞-⋃+∞， 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，关键点是求过A 点且与圆相切时的直线方程，考查分析问题解决问题的能力.5．A解析：A 【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程20kx y k -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率.. 【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解. 由于21y x =-()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB SAOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时， AOBS取得最大值，此时2AB =，点O 到直线l 的距离为22， 则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°，则斜率为3. 方法二：由21y x =-，得()2210x y y +=≥.所以曲线21y x =-表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则01k <<，直线l 的方程为(02y k x -=+，即20kx y k -+=. 则原点O 到l 的距离221k d k =+，l 被半圆截得的半弦长为222221111k k k k ⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭则()()22 222222211111ABOk k kkSkk k--=⋅=+++△()()()22222216141k kk-+++-=+()22246211kk=-+-++令211tk=+，则3462ABOS t t=-+-△，当3t4=，即21314k=+时，ABOS有最大值为12.此时由21314k=+，解得33k=.故选：A【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB⊥时，此时AOB的面积最小，即用斜率k表示面积，求最值，得到直线的斜率.6．B解析：B【分析】由题意圆C的圆心()1,2-在直线620ax by++=上，可得2260a b-++=，即点(),a b 在直线:30l x y-++=上，过点作圆C的切线，切点为E，则2222DE CD r CD=-=-，只需CD最短，可得答案.【详解】由将圆C 的方程化为标准方程为：()()22122x y ++-=， 圆心为()1,2-因为圆C 关于直线620ax by ++=对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中， 有2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上， 设(),D a b ，过点作圆C 的切线，切点为E则DE ==要使得切线DE 长最短，则只需CD 最短.CD 的最小值为过点C 作直线:30l x y -++=的垂线.此时CD ==CE r =所以根据勾股定理，得4DE ==. 故选：B 【点睛】解题关键是利用圆的定义和圆切线的长的求法，根据数形结合，列出方程求解，主要考查学生的分析能力和计算能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.8．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=. 由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 11354725ACk +==+，121154625BC k +==--， 由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥， 又32m k m +=--， ∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y +-+--=得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 9．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．10．B解析：B 【分析】作出曲线x =y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论． 【详解】作出曲线x =y x b =+，如图， 易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-，当直线y x b =+1=，b =b =∴b 的取值范围是11b -<≤或b = 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．11．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束， 所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时， 故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.12．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||2()24AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||2OC =，所以222||||2(24AC OC =≤+，所以2a -或2a ， 22<，所以2222a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，2)， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】首先画出相应的图形根据切线的性质得到对应的垂直关系利用勾股定理得到线段之间的关系从而将问题转化再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得从而求得结果【详解】由方程可得圆C1C2的圆心坐解析：32【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果. 【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+,()1,0-,半径都是1. 如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得221PQ PC =-PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，()2222123251(4)2617222C C k k k k x ⎛⎫=++-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当32k时，12C C 最小，得到PQ 最小， 故答案是：32. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.14．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线3y x =3k =，所以倾斜角为30，因为直线l 与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60，当倾斜角为60时,直线l 为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =，故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】直线上到原点的距离最近的点就是过原点作直线的垂线垂足即为又原点到直线的距离为定值所以可知动点的轨迹【详解】∵原点到直线的距离为∴当在实数范围内变化时动点的轨迹为以原点为圆心半径为1的圆即其轨 解析：221x y +=【分析】直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，就是过原点作直线的垂线，垂足即为M ，又原点到直线的距离为定值，所以可知动点M 的轨迹. 【详解】∵原点()0,0到直线cos sin 10x y θθ++=1=，∴当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹为以原点()0,0为圆心，半径为1的圆， 即其轨迹方程为221x y +=． 故答案为：221x y += 【点睛】本题主要考查轨迹方程，解决与直线有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，属于中档题.17．【分析】先根据条件得到点的轨迹方程为由条件可得曲线与圆有8个公共点作出的图象根据数形结合可得答案【详解】如图根据切线的性质可得与全等由则为等腰直角三角形则所以满足条件的点的轨迹方程为：P 为与圆的交点2m <【分析】先根据条件得到点P 的轨迹方程为222x y +=,由条件可得曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点,作出||||x y m +=的图象，根据数形结合可得答案.【详解】如图，根据切线的性质可得OPM 与OPN 全等，由90MPN ∠=︒，则OPM 为等腰直角三角形，则OP =所以满足条件的点P 的轨迹方程为：222x y +=P 为||||x y m +=与圆222x y +=的交点,由条件可得曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点.对于||||x y m +=,当0,0x y ≥≥时，x y m += 当0,0x y ≤≤时，x y m --= 当0,0x y ≥≤时，x y m -= 当0,0x y ≤≥时，x y m -+= 如图，当2m =时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=有4个交点.当2m =时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=相切，有4个公共点.根据图象可得，当22m <<时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点故答案为：22m <<【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和根据图象的交点个数求参数，解答本题的关键是先求出点P 的轨迹方程为：222x y +=，然后转化为曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点.根据图象先求出临界情况的参数值，再数形结合解出答案，属于中档题.18．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为解析：y x =-或11542y x =-+ 【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-， 所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-； 当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为1010k--，纵截距为1010k +，所以()101041010k k --=+，解得14k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542y x =-+，故答案为：y x =-或11542y x =-+. 【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.19．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由题直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为时直线为故答案为：或【点睛】本题考解析：4x =-330y -+= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,分类讨论,并利用点斜式方程求解即可 【详解】由题,直线2y =+的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,当倾斜角为30时,直线l 为)14y x -=+,330y -+=； 当倾斜角为90︒时,直线l 为4x =-,故答案为：4x =-330y -+= 【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系,考查求直线方程,考查分类讨论思想20．【分析】化已知直线为即有且解方程可得定点可得在以为直径的圆上运动求得圆心和半径由圆的性质可得最值【详解】解：由直线化为令解得所以直线过定点因为为垂足所以为直角三角形斜边为所以在以为直径的圆上运动由点解析：13⎡⎣【分析】化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13==CN ，所以MN 的取值范围是13⎡+⎣.故答案为：13⎡-⎣.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）垂直，2211,11t t P t t ---+⎛⎫⎪++⎝⎭；（2），最小时(1,0)P -或(0,1)P ，最大时(1,1)P -．【分析】（1）可得0t =时，显然12l l ⊥，0t ≠时，由121k k =-可得12l l ⊥；联立直线方程可求得P 的坐标； （2）可得2221O t P =+，由||1t ≤即可求得取值范围. 【详解】（1）当0t =时，1:1l y =，2:1l x =-，显然12l l ⊥，当0t ≠时，121,k t k t==-，则121k k =-，则12l l ⊥， 综上，12l l ⊥， 联立直线方程1010tx y x ty -+=⎧⎨++=⎩，解得2211,11t t x y t t ---+==++，2211,11t t P t t ---+⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭；（2）由（1）知222222112111t t t O t t P ---+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=， 1t ≤，201t ∴≤≤，则2112t ≤+≤，则22121t ≤≤+， 即[]21,2OP ∈，则OP ⎡∈⎣，当21t =时，即1t =±时，OP 取得最小值为1，此时(1,0)P -或(0,1)P ， 当20t =时，即0t =时，OP，此时(1,1)P -. 【点睛】关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P 坐标，将||OP 化成关于t 的式子2221O t P =+即可求解. 22．（1）22(4)4x y -+=；（2）3y x =±或4x y +=± 【分析】（1）设(),P x y ，()00,M x y ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程． 【详解】解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩．由220016x y +=，得22(28)(2)16x y -+=∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =2=∴3k =±，所以切线方程为y x =， 当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠2=，∴4a =±4x y +=±综上：切线方程为y x =或4x y +=± 【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

一、选择题1．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．2．若直线1y kx =-与曲线y =有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．4(0,]3B ．14[,]33C ．1[0,]2D ．[0,1]3．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．204．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2π B ．4πC ．8πD ．12π6．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．147．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)8．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=09．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=10．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞11．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是( ) A ．()2,4B ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,1二、填空题13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的最大值为__________.14．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.15．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =______．16．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 17．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．18．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；20．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________．三、解答题21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．22．已知圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -、()0,2B -. （1）求圆C 的标准方程；（2）求圆C 上的点到直线210x y --=的距离最大值. 23．已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量； （2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.25．已知圆C ：222430x y x y ++-+=（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）若从圆C 外一点()1,2P -向该圆引切线PA 和PB （A ，B 为切点），求弦长AB 的大小.26．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得PA =PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2．D解析：D 【分析】1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出两函数图像，找出两图像有公共点时k 的范围即可. 【详解】解：根据题意可得：1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出函数图像，如图所示： 当直线与曲线相切时：0k =，当()1,0在直线上时，代入可得1k =，所以两函数图像有公共点的k 的范围是[]0,1. 故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，属于中档题. 方法点睛：（1）画出函数图像；（2）根据图像找到有公共点的相切或相交的情况； （3）根据公式计算，得到结果.3．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴12442(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ． 【点睛】本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．4．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积 【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：4d ==，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π. 故选：B 【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.6．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.7．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.8．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.9．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．10．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.11．C解析：C 【分析】先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离. 【详解】解:由题可知，圆221014700C x y x y +--+=:,整理得()()222572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离， 所以()()22151721028d =--++=-=.故选:C 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.12．D解析：D 【分析】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02），点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0的距离d ==由此能求出抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标． 【详解】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02）， 点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0的距离d ==∴当x 0=1时，即当A （1，1）时，抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短． 故选D ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆解析：3 【分析】设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈ 设圆心O 到直线的距离为d，则d =AB =，∴12AOBSAB d d =⨯⨯=== 当23d=，即()22231m m -=+，即m =时，AOBS 取得最大值为3.故答案为：3. 【点睛】关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.14．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较： （1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.15．【分析】首先画出相应的图形根据切线的性质得到对应的垂直关系利用勾股定理得到线段之间的关系从而将问题转化再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得从而求得结果【详解】由方程可得圆C1C2的圆心坐解析：32【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果. 【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+,()1,0-,半径都是1. 如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得221PQ PC =-PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，()2222123251(4)2617222C C k k k k x ⎛⎫=++-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当32k时，12C C 最小，得到PQ 最小， 故答案是：32. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.16．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．17．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B解析：x ＋4y －4＝0【分析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．18．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b ，则22(02)423b b -+=⇒=±，∴22(23)9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为22315()()92x y ++±=和22315()()92x y -+±=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.19．【分析】把直线的一般方程化为斜截式方程得到斜率即可求出倾斜角【详解】由可得：所以斜率即所以倾斜角为故填【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角属于基础题解析：34π 【分析】 把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角. 【详解】由20180x y +-=可得：2008y x =-+ ，所以斜率1k =-，即tan 1α=-，所以倾斜角为34π，故填34π. 【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.20．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；三、解答题21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-， 即260kx y k --+=26221k k -=+，解得43k =，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．由于以PO 为直径的圆的方程为2222442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2280x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为224x y +=②．①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=， 则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．22．（1）()()22235x y -++=；（2115. 【分析】（1）求出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，与直线270x y --=的方程联立，可求得圆心C 的坐标，并求出该圆的半径，由此可得出圆C 的标准方程； （2）求出圆心C 到直线210x y --=的距离，由此可求得圆C 上的点到直线210x y --=的距离最大值.【详解】（1）由题意可知，圆心C 在线段AB 的垂直平分线3y =-上，联立2703x y y --=⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，即圆心()2,3C -，圆C 的半径为AC ==因此，求圆C 的标准方程为()()22235x y -++=； （2）圆心C 到直线210x y --=的距离为5d ==， 因此，圆C 上的点到直线210x y --=. 【点睛】结论点睛：当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离为d ，圆C 的半径为r ，则圆外一点到圆上一点距离的最小值为d r -，最大值为d r +. 23．（1）直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【分析】（1）将A 代入直线l 方程求a ，写出直线方程即可得l 的方向向量； （2）由直线方程得斜率42k a a=+-，讨论a 并利用基本不等式求k 的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =，此时直线l 的方程为330x y --=，故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442a a aa k a-+=+-=， ∴当0a >时，4222k a a+-≥==当且仅当2a =时等号成立； 当0a <时，4)()]22[(6a ak +--≤---=-=当且仅当2a =-时等号成立；综上有(,6][2,)k ∈-∞-+∞，可得倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】 结论点睛： 直线0ax by c的方向量为(,)b a -或(,)b a -.倾斜角α与斜率k 的关系：tan k α=或arctan kα=. 24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则|410|25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）30x y +-=或10x y ++=；（2）65. 【分析】（1）先把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再利用已知条件设切线l 的方程为0x y m ++=，利用圆心到直线的距离公式求解即可得解；（2）设A ，B 中点为D ，在APC △以及ACD △中，求出cos ACP ∠，得到CD ，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：（1）圆C 的标准方程为()()22122x y ++-=， 圆心()1,2C -，半径2r =，因为圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零， 所以可设切线l 的方程为0x y m ++=， 于是圆心C 到直线l 的距离122m d r +===，解得3m =-或1，所以切线方程为30x y +-=或10x y ++= （2）如图，设A ，B 中点为D ，在APC △中，2AC =25CP =所以2cos 25ACP ∠=， 在ACD △中，cos 2CD ACP CA ∠===，解得5CD=，所以22295AD AC CD=-=，于是2AB AD==【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则2222Lr d⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y，()22,B x y，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出12x x+，12x x，根据弦长公式AB=.26．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3）⎡⎣【分析】（1）设1l的斜率为tankα=，则2l的斜率为3tankβ-=，两直线的夹角为γ，不妨设0k>，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP，PQ，QR的斜率分别为123,,k k k，可得122313149k kk kk k=⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k的值，进一步求得直线RP和直线PQ的方程，联立得点P的坐标；（3）设()()122:1,:1l y k x l y xk=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d，求出12d d，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l的斜率为tankα=，则2l的斜率为3tankβ-=，两直线的夹角为γ，不妨设0k>，则()()313tan tan132kk kkγβα--⎛⎫=-==+≥⎪+-⎝⎭k=此时3πα=，23πβ=，即两直线倾斜角分别为2,33ππ；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-，当12332,,623k k k ===时， 直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332,,623k k k =-=-=-时， 直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+，联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====， 由于22459k k++≥，当且仅当22k =时等号成立， 故[)22910,145k k-∈++，12d d ⎡∈⎣， 即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

人教A 版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值为（ ） A ．24 B ．16 C ．8 D ．4 2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ( )A ．30－B ．5C ．5D ．253．方程y ＝－对应的曲线是 ( ) A ． B ． C ． D ．4．若集合A ＝{（x ，y ）|x 2＋y 2≤16|，B ＝{（x ，y ）|x 2＋（y －2）2≤a －1}，且A∩B ＝B ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤1B ．a≥5C ．1≤a≤5D ．a≤55．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．已知两圆的圆心距d =3，两圆的半径分别为方程0352=+-x x 的两根，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含7．点P 在圆221:84110C x y x y +--+=上，点Q 在圆222:42C x y x y +++10+=上，则PQ 的最小值是（ ）A ．5B ．1C ．5D ．58．圆0162:221=+--+y x y x C 与圆0124:222=++++y x y x C 的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．若圆与圆的公共弦的长为，则（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-10．已知直线x ＋7y ＝10把圆x 2＋y 2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（ ）A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π 11．曲线y ＝1与直线y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ． 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ． 13,34⎛⎤⎥⎝⎦ D ． 53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦12．圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为的方程为（ ）A ．（x －2）2＋（y ＋1）2＝4B ．（x －2）2＋（y ＋1）2＝2C ．（x －2）2＋（y ＋1）2＝8D ．（x －2）2＋（y ＋1）2＝1613．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y ＋10＝0上任意一点，点A 关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a 的值为（ ）A ．10B ．－10C ．－4D ．414．已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是 （ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定15．圆5:22=+y x P ，则经过点()21，-M 的切线方程为（ ） A ．052=--y x B ．052=++y xC ．052=-+y xD ．052=+-y x16．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．35422=+y x )0(06222>=-++a ay y x 32=aC．2D ．0 17．直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（ ）A ．B ．C D ． 18．直线210x y --=被圆()()22229x y -++=截得的弦长为 （ ）A ．B ．4C ．3D ．219．圆22222x y x y +-+=上一动点(),P x y 到直线3414x y +-距离最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 20．直线(3)y k x =-与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．k ≤B ．k k ≤≥C ．k ≤D ．k ≤≤二、填空题21．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是___.22．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧， km 和 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于____.23．若点A （a ，b ）在圆x 2＋y 2＝4上，则圆（x －a ）2＋y 2＝1与圆x 2＋（y －b ）2＝1的位置关系是_________.24．已知圆C 1：（x ＋1）2＋（y －3）2＝25，圆C 2与圆C 1关于点（2,1）对称，则圆C 2的方程是______________________.280x y --=22(2)(3)4x y -++=,E F EOF ∆O 555625．两圆相交于两点()1,3A 和(),1B m -，两圆圆心都在直线0x y c -+=上，则m c +的值为 .26．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，则当CPQ ∆的面积最大时，实数a 的值为 ．27．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为___________.28．已知圆22:9C x y +=，直线1:10l x y --=与2:2100l x y +-=的交点为P 点，过点P 向圆C 作两条切线,a b ，分别与圆相切于,A B 两点，则ABP S =△ .29．已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(0)A m -，，(0)B m ，（0m >），若圆C 上不存在点P ，使得APB ∠为直角，则实数m 的取值范围是__________．30．已知经过点(21)M ，作圆C ：22(1)1x y ++=的两条切线，切点分别为A ，B 两点，则直线AB 的方程为__________.31．已知()30A -,，圆()()22:11C x a y --+-=上存在点M ，满足条件2MA MO =，则实数a 的取值范围为__________．32．若直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相同的四段弧，则ab =_________．33．点(2,0),(0,2)A B -，实数k 是常数，,M N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，若,M N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是___________．34．直线750x y +-=截圆221x y +=所得的两段弧长之差的绝对值是__________． 35．点P 是圆()22(3)12x y ++-=上的动点，点()2,2,Q O 为坐标原点，则OPQ ∆面积的最小值是__________．36．实数,x y 满足方程2220x y x +-=，则1y x +的取值范围为__________.三、解答题37．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 38．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离. 39．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)40．过点(34)A -，作圆222:O x y r +=0r >（）的切线，O 为坐标原点，切点为B ，且||3AB =.（1）求r 的值；（2）设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，设OQ OC OD =+u u u v u u u v u u u v ，求OQ u u u v 的最小值．41．圆1O 的方程为22()14x y ++=，圆2O 的圆心()22,1O . （1）若圆2O 与圆1O 外切，求圆2O 的方程，并求公切线方程；（2）若圆2O 与圆1O 交于A ，B 两点，且AB =，求圆2O 的方程.42．求圆心在直线10x y -+=上，且经过圆22640x y x ++-=与圆22x y +6280y +-=的交点的圆的方程.43．若圆1C ：22x y m +=与圆2C ：2268160x y x y +--+=相外切．（1）求m 的值；（2）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．44．已知22:1O x y +=e 和定点()2,1A ，由O e 外一点(),P a b 向O e 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.（1）求实数a b 、间满足的等量关系；（2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的P e 与O e 有公共点，试求半径取最小值时的P e 方程.45．已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为，求圆C 的方程．46．已知圆的圆心在直线，且圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的切线方程．47．已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直线:(21)(1)7l m x m y m +++- 40()m -=∈R ．（1）求证：对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，及此时直线l 的方程．48．已知312A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()02B ，，()10C ，，斜率为12的直线l 过点A ，且l 和以C 为圆心的圆相切.（1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得PB PA=P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若不过C 的直线m 与圆C 交于M ，N 两点，且满足CM ，MN ，CN 的斜率依次为等比数列，求直线m 的斜率.49．已知点(2,0)P ，⊙22:6440C x y x y +-++=．(Ⅰ)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程．(Ⅱ)设过点P 的直线与⊙C 交于A ，B 两点，且AB CP ⊥，求以线段AB 为直径的圆的方程．50．（1）过点(2,4)P 向圆22:4O x y +=作切线，求切线的方程；（2）点P 在圆2246120x y x y ++-+=上，点Q 在直线4321x y +=上，求||PQ C 1y x =+C (5,4)P C ()1,0A C的最小值.参考答案1．C2．A3．A4．D5．C6．D7．C8．C9．B10．D11．D12．A13．B14．B15．D16．B17．A18．B19．A20．B21．4[0,]322．B 景点在小路的投影处23．外切24．（x －5）2＋（y ＋1）2＝2525．32627．210x y --=28．1922529．(04)(6)+∞U ，， 30．320x y ++=31．3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 32．7-33．3+34．π35．236．[ 37．0.5 h38．－1)km39．－24 m40．（1）4；（2）841．（1） ()())2222141x y -+-=，10x y ++-= （2）()()22214x y -+-=或()()222120x y -+-=42．()2227()11x y +++= 43．（1）4m = （2）见解析44．（1）230a b +-=.（2.（3）22263155x y ⎛⎫⎛⎫⎫-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. 45．（x －3）2＋（y －1）2＝9或（x ＋3）2＋（y ＋1）2＝946．（1）()()22452x y -+-= （2）或 47．（1）证明见解析 （2）最短弦长为l 的方程为250x y --=48．（1）22(1)5x y -+=（2）(11)P -，或919()1313P -，；（3）±1 49．(Ⅰ) 3460x y +-=或2x =．(Ⅱ) 22(2)4x y -+=23(1)7y x =-1y x =-本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

人教A 版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知圆22:2690C x y x y +--+=，P 是x 轴上的动点，PA 、PB 分别切圆C 于A 、B 两点，则四边形CAPB 的面积的最小值是（ ）A ．B ．3C ．D ．2 2．已知圆C ：22222210x y ax by a b +--++-=（a<0）的圆心在直线0y -= 上，且圆C 0y +=的距离的最大值为1+则22a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．过直线y =2x 上一点P 作圆M ：()()224325x y -+-=的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线 l 1，l 2关于直线y =2x 对称时，则∠APB 等于 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90° 4．在坐标平面上，圆C 的圆心在原点且半径为2，已知直线l 与圆C相交，则直线l 与下列圆形一定相交的是（ ）A ．2y x =B ．1()2x y =C ．223x y +=D ．22194x y += 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点， OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．若点M 在圆C 上，则实数k =（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1 6．已知实数x 、y 满足方程221x y +=，则2y x -的取值范围是 （ ）A ．[B ．(,)-∞+∞UC ．[D ．()-∞+∞U7．直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的倾斜角分别为,αβ，则cos cos αβ+=（ ）A ．1817B ．1217-C ．417-D ．4178．与圆22420x y y +-+=相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线有（ ） A ．3条 B ．4条 C ．5条 D ．6条9．圆224x y +=，过点(4,0)A 作圆的割线ABC ，则弦BC 的中点的轨迹方程为（ ） A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y -+= (01)x ≤<C ．22(2)4x y -+=D ．22(2)4x y -+= (01)x ≤< 10．已知圆M 过定点()0,1且圆心M 在抛物线212y x =上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为PQ ，则弦长PQ 等于（ ）A B ．2 C ．3 D ．411．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o ，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．,22⎡-⎢⎣⎦12．若曲线221:20C x y x +-=与曲线22:0C mx xy mx -+=有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．(UC ．D ．(U 13．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√17，则圆(x −6)2+y 2=1上的动点M 到双曲线C 的渐近线的最短距离为 （ ）A ．23B ．24C ．24√1717−1D ．24√171714．在平面直角坐标系xoy 中，直线l ：y =2x −4，圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，且M 在圆D :x 2+(y +1)2=4上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是（ ）A ．[35,2]B ．[0,125]C ．[2−25√5,2+25√5]D ．[0,2−25√5]∪[2+25√5,4] 15．若直线240x y +-=，30x ky +-=与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（ ）A ．114 B C ．4120 D ．5二、填空题16．已知点(1,1)P ，圆22:42C x y x +-=，过点P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M （M 不同于P ），若||||OP OM =，则l 的方程是__________．17．已知直线1:250l x y +-=与直线()2:50Z l mx ny n -+=∈相互垂直，点()2,5到圆()()22:1C x m y n -+-=的最短距离为3，则mn =______________.18．定义；平面内横坐标为整数的点称为“左整点”.过函数y =个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线的条数为_______.19．圆22210x y x +--=关于20x y +-=对称的圆的方程是________.20．已知⊙O 的方程为228x y +=，点P 是圆O 上的一个动点，若线段OP 的垂直平分线总不经过x a =±与y a =±（其中a 为正常数）所围成的封闭图形内部的任意一个点，则实数a 的最大值为______________.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0 ， −2)，点B(1 ， −1)，P 为圆x 2+y 2=2上一动点，则PB PA 的最大值是____．22．M 为圆221x y +=上的动点，则点M 到直线l ：34100x y --=的距离的最大值为__________．23．设点()()1,0,2,1A B ，若直线10ax by +-=与线段AB 有一个公共点，则22a b +的最小值为__________．24．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=o ，则实数k 的值为__________．25．设直线l ：，圆C ：，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则的取值范围是_________．26． 若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．27．已知方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=表示圆，其中a ∈R ，且a ≠1，则不论a 取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.28．设直线2x －y 0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为__________．29．设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C 等于 ______ .三、解答题30．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、C(4，0)，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y r.(1)求圆M 的方程；（2)当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．31．已知直线l ： ()()12530k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上.（1）求定点P 的坐标； （2）求圆C 的方程；（3）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点()0,M m ，使得PMQ V 为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.32．过点()1,1P 的直线l 将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分为两部分，其面积分别为12,S S ，当12S S -最大时，求直线l 的方程．33．已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)，过焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M,N 两点，|MN|=16.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知动圆P 的圆心在抛物线上，且过定点D(0,4)，若动圆P 与x 轴交于A,B 两点，且|DA|<|DB|，求|DA||DB|的最小值.34．如图，设有半径为3km 的圆形村落，A,B 两人同时从村落中心O 出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，在点P 处改变方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 在点Q 处相遇，设A,B 两人速度一定，其速度比为3:1，问Q 距O 多远？35．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南方向的海面P 处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 36．在直角坐标系xoy 中，已知圆22:(2)(2)8C x y -+-=及点(0,0),(2,0)O A -． （Ⅰ）从圆C 外一点(,)M m n 向圆C 引一条切线，切点为B ，且|MA|MB =，求||MO 的最小值；（Ⅱ）设点(0,)T t 满足：存在圆C 上的两点P Q 、，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．37．在平面直角坐标系中，已知两定点(1,0)E 、3(6,)2G ，⊙C 的方程为222(102)10290x y mx m y m +-+-+-=．当⊙C 的半径取最小值时：（1）求出此时m 的值，并写出⊙C 的标准方程；（2）在x 轴上是否存在异于点E 的另外一个点F ，使得对于⊙C 上任意一点P ，总有PE PF 为定值？若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明你的理由；（3）在第（2）问的条件下，求2246223PG PE PEPE PG PE μ--=---的取值范围．38．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．39．在直角坐标系xOy 中，直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别相交于,A B 两点，AOB ∆的内切圆为圆M ．（1）如果圆M 的半径为1，l 与圆M 切于点3(,12C ，求直线l 的方程； （2）如果圆M 的半径为1，证明：当AOB ∆的面积、周长最小时，此时AOB ∆为同一个三角形；（3）如果l 的方程为20x y +--=，P 为圆M 上任一点，求222PA PB PO ++的最值．40．如图，点P 是椭圆2243x y +=1上一动点，点H 是点M 在x 轴上的射影，坐标平面xOy内动点M 2HP =u u u r u u u r （O 为坐标原点），设动点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过右焦点F 的直线l 交曲线C 于D ，E 两点，且2DF FE =u u u r u u u r，点E 关于x 轴的对称点为G ，求直线GD 的方程．41．如图，台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东45o ）移动，离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B 在A 地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：(1)求台风移动路径所在的直线方程；(2)求城市B 处于危险区域的时间是多少小时？42．已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线0x y ++=相切.（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线8x =上，过P 点引圆C 的两条切线,PA PB ，切点为A B 、求证：直线AB 恒过定点.43．已知A ，B 分别为曲线C ：22x a+y 2＝1（y≥0，a ＞0）与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B ，且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T ． （1）若曲线C 为半圆，点T 为圆弧»AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（2）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ，使得O ，M ，S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．44．已知动点M 到点()1,0N 和直线l ： 1x =-的距离相等.（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．45．已知圆22:9C x y +=，点()5,0A -，直线:20l x y -=．（1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；（2）设定点9,05B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，问：对于圆C 上任一点P ， PB PA 是否为一常数？若是，求出这个常数值；若不是，请说明理由．46．已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切，过点B(−4,0)的动直线l 与圆A 相交于M,N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当|MN|=2√11时，求直线l 的方程.47．已知圆C:x 2+y 2−4x +2y −3=0和圆外一点M(4,−8).（1）过M 作圆C 的切线，切点为D,E ，圆心为C ，求切线长及DE 所在的直线方程；（2）过M 作圆的割线交圆于A,B 两点，若|AB|=4，求直线AB 的方程.48．已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x +m =0．（1）若圆C 1与圆C 2外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为求实数n 的值． 49．如图所示，某粮食储备库占地面呈圆域形状，它的斜对面有一条公路．从储备库中心A 向正东方向走1 km 是储备库边界上的点B ，接着向正东方向走2 km 到达公路上的点C ；从A 向正北方向走6 km 到达公路上的另一点D ．现准备在储备库的边界上选一点E ，修建一条由E 通往公路CD 的专用线路EF ，要求造价最低，用坐标法回答：点E 应该选在何处？50．如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．（结果保留两位小数）参考答案1．C2．C3．C4．D5．C6．A7．D8．A9．D10．B11．A12．D13．C14．B15．C16．340x y +-=17．218．11条19．()()22212x y -+-=.20．121．222．323．1524．±25．)∞+； 由题意得，圆()222:2C x y r -+=的圆心坐标()2,0C ，半径为r ，此时圆心到直线3440x y ++=的距离为2d ==，过任意一点M 作圆的两条切线，切点为,P Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形， 所以要使得直线l 上存在一点M ，使得090PMQ ∠=,则d ≤2r ≥⇒≥r 的取值范围是)+∞. 26．3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝027．11（，）28．73或3729．8 30．（1）222()(3)2rx y x r -+--= ;(2) 存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切.31．（1）()3,1；（2）22148400x y x y +--+=；（3）11m ≤≤32．20x y +-=33．（1）x 2=8y ；(2) √2−1.34．334千米 35． 1236．（Ⅰ；（Ⅱ）[-． 37．（1）22(5)4x y -+=；（2）2λ=；（3）(]25,0,2μ⎡⎫∈-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭．3839．（1）1y x =++；（2）见详解；（3）最大值17+，最小值9+40．（Ⅰ）C 的方程为224x y +=，（Ⅱ） 15600x +-=或15600x --=41．（1）400y x =+（答案不唯一）；（2）10小时42．（1）2224x y +=；（2）见详解.43．（1）s （1s （1，；（2）见解析 44．（Ⅰ）24y x =;（Ⅱ）见解析.45．（1）2y x =-±（2）35PB PA =． 46．（1）(x +1)2+(y −2)2=20；（2）x =−4或5x +12y +20=0.47．（1）切线长为√|CM|2−r 2=3√5,DE 直线方程为2x −7y −19=0；（2）直线AB:45x +28y +44=0或x =4.48．（1）5；（2）n =﹣3n =﹣3 49．E 点选在坐标为（2√55,√55）的点，造价最低． 50．支柱A 2P 2的高度约为3.86 m。

2.2.3 直线的一般式方程A级必备知识基础练1.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是()A.相交B.平行C.重合D.平行或重合2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则()A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0D.AB>0,C=03.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A.-4B.20C.0D.244.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为()A.x-y+5=0B.x-y-3=0C.x+y-5=0D.x-y+1=05.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则()A.AB>0,BC<0B.AB<0,BC>0C.AB>0,BC>0D.AB<0,BC<06.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是()7.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a=.8.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练9.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为()A.(2,-2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,2)10.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是()A.-4B.-2C.2D.411.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为()A.0B.2C.4D.√212.(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3围成一个三角形,则a的取值可以是()A.-1B.1C.2D.513.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为.C级学科素养创新练14.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH的一般式方程为.2.2.3直线的一般式方程1.D2.D直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-AB x,直线过二、四象限,所以斜率k=-AB<0,∴AB>0.3.A∵直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,∴2a-20=0,解得a=10.将(1,c)分别代入两直线的方程得c=-2,b=-12.∴a+b+c=-4.4.A∵k MH=4-2-1-1=-1,∴直线l的斜率k=1,∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.5.B由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=-AB>0,于是AB<0;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-CB<0,于是BC>0.6.BC l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.在A中,由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符; 在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符; 在D中,由l1知a>0,b>0,与l2的图象不符.7.83令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=83.8.解(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,此时a=2,即l的方程为3x+y=0;若a≠2,则a-2a+1=a-2,即a+1=1,所以a=0,即l的方程为x+y+2=0.所以a的值为0或2.(2)直线l的方程化为a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒过定点(1,-3),所以当斜率-(a+1)≥0,即a≤-1时,l不经过第二象限.故a的取值范围是(-∞,-1].9.A设B的坐标为(a,b),由题意可知{b-1a+1×1=-1,a-1 2-b+12-1=0,解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.10.B∵直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,∴(a+3)×1+1×(a-1)=0,∴a=-1, ∴直线l1:2x+y+4=0,令y=0,可得x=-2,∴直线l1在x轴上的截距是-2,故选B.11.B由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0,∴a2+b2=4.又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b=±√2时,等号成立.∴ab的最大值为2.故选B.12.CD直线x+y=0,x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不能经过原点,故只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行即可,即a≠±1.13.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0),令y=0,得x=-c 4,令x=0,得y=-c3,则S=12|-c 4|·|-c3|=6,得c 2=122,c=±12,∴直线l 的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0.14.x+4y-14=0 过点H ,F 分别作y 轴的垂线,垂足分别为M ,N (图略). ∵四边形ACGH 为正方形, ∴Rt △AMH ≌Rt △COA. ∵OC=AM=1,MH=OA=2, ∴OM=OA+AM=3,∴点H 的坐标为(2,3),同理,得F (-2,4), ∴直线FH 的方程为y -34-3=x -2-2-2,∴直线FH 的一般式方程为x+4y-14=0.。

直线和圆的方程测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线l ：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3D ．－332．已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π24．已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.435．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－116．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝07．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝18．已知圆C 1：(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9，点M ，N 分别是圆C 1、圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是( )A ．2 5 ＋4B ．9C ．7D ．2 5 ＋2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。