北京市海淀区2017届高三3月适应性考试数学试题(理)含答案

精华学校2016-2017学年全日制第三次月考测试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =B ．2xy -=C ．sin xy x=D ．0.5|log |y x =3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．154.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0θ=（R ρ∈）和cos 2ρθ= B ．2πθ=（R ρ∈）和cos 2ρθ= C ．0θ=（R ρ∈）和cos 1ρθ=D ．2πθ=（R ρ∈）和cos 1ρθ=5.设a ，b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.设不等式组3100,360x y x y +-≥⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（1a >）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3]B ．[3,)+∞C ．(1,2]D ．[2,)+∞7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A ．4B ．C ．D8.已知函数()f x 满足如下条件：①任意x R ∈，有()()0f x f x +-=成立；②当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x m x m m =-+--；③任意x R ∈，有()(1)f x f x ≥-成立．则实数m 的取值范围（ ）A ．66⎡-⎢⎣⎦B ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.复数(1)Z i i =+在复平面内对应的点的坐标为 ．10.抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐进线的距离是 ．11.在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2sin a B =，则角A 等于 ．12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-，若数列{}n b 满足210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为 ．13.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 种．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长度为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，另一个端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点的轨迹与正方体1111ABCD A B C D -的表面所围成的较小的几何体的体积等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()4cos sin()4f x x x πωω=⋅+（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. 如图，在直角梯形ABCP 中，//CP AB ，CP CB ⊥，122AB BC CP ===，D 是CP 的中点，将PAD ∆沿AD 折起，使得PD CD ⊥．（Ⅰ）若E 是PC 的中点，求证：//AP 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角A PB C --的大小．17.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p （01p <<）和1p -．若乙项目产品价格一年内调整次数X （次数）与2ξ的关系如表所示：（Ⅰ）求m ，n 的值； （Ⅱ）求2ξ的分布列；（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p 的取值范围．18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和长轴长；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，P 为直线3x =-上任意一点，过点F 作直线PF 的垂线交椭圆C 于M ，N ，记1d ，2d 分别为点M 和N 到直线OP 的距离，证明：12d d =．19.已知函数()xe f x x=．（Ⅰ）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当a e ≤时，证明：当(0,)x ∈+∞，()(ln )f x a x x ≥-．20.已知数集{}12,,,n A a a a =…（121n a a a =<<<…，2n ≥）具有性质P ：对任意的k （2k n ≤≤），i ∃，j （1i j n ≤≤≤），使得k i j a a a =+成立． （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：1212n n a a a a -≤+++…（2n ≥）； （Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．精华学校2016-2017学年全日制第三次月考数学（理科）测试卷答案 一、选择题1-5:BCDBD 6-8:BCA二、填空题9.(1,1)-3π 12.9或10 13.36 14.6π 三、解答题15.解：（Ⅰ）()4cos sin()4f x x x πωω=⋅+2cos x x x ωωω=⋅+2cos 2)x x ωω=++2sin(2)4x πω=+因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 从而有22ππω=，故1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)4f x x π=++，令222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，所以有322244k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以有388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为388k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈．16.（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，在正方形ABCD 中，O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点， 所以OE 为PAC ∆的中位线， 所以//OE AP ，又因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ， 所以//AP 平面BDE ．（Ⅱ）证明：由已知可得AD PD ⊥，AD CD ⊥， 又因为PDCD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，又因为AD ⊂平面ABCD ， 所以平面PCD ⊥平面ABCD ．（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD ⊥平面PCD ，所以AD PD ⊥，又因为PD CD ⊥，且A D C D D =，所以PD ⊥平面ABCD ，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ， 所以(2,0,2)AP =-，(0,2,0)AB =， 设平面APB 的一个法向量为(,,)m a b c =，所以0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220,b ac =⎧⎨-+=⎩令1a =，则1c =，从而(1,0,1)m =，同理可求得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)n =， 设二面角A PB C --的大小为θ，易知(,)2πθπ∈，所以1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=-<>=-=-⋅，所以23πθ=， 所以二面角A PB C --的大小为23π． 17.解：（Ⅰ）由题意得0.41,1101200.4170120,m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得0.5m =，0.1n =．（Ⅱ）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，[]2(41.2)(1)1(1)P p p ξ==---(1)p p =-，[]222(117.6)1(1)(1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-，2(204)(1)P p p ξ==-，所以2ξ的分布列为：（Ⅲ）由（Ⅱ）可得2222()41.2(1)117.6(1)204(1)1010117.6E p p p p p p p p ξ⎡⎤=-++-+-=-++⎣⎦，由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润， 所以21()()E E ξξ>，所以21010117.6120p p -++>，解得0.40.6p <<，所以p 的取值范围是(0.4,0.6)．18.解：（Ⅰ）由题意可知2,24,b c ===⎪⎩解得26a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=，椭圆C 的长轴长为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知点F 的坐标为(2,0)-，设点P 的坐标为(3,)m -， 则直线PF 的斜率03(2)PF m k m -==----，当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m=，直线MN 的方程是2x my =-， 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，得222,1,62x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(3)420m y my +--=， 其判别式22168(3)0m m ∆=++>， 所以12343m y y m +=+，12223y y m -=+， 1212212()43x x m y y m -+=+-=+， 设T 为线段MN 的中点，则点T 的坐标为2262(,)33mm m -++，所以直线OT 的斜率3OT m k =-， 又直线OP 的斜率3OP m k =-， 所以点T 在直线OP 上，由三角形全等的判定和性质可知：12d d =．19.解：（Ⅰ）设点P 的坐标为00(,)x y ，2(1)'()x e x f x x -=，由题意知00020(1),,x x e x k x e kx x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得02x =，所以02002x e e y x ==，从而点P 的坐标为2(2,)2e ．（Ⅱ）设函数()()(ln )g x f x a x x =--(ln )xe a x x x =--, 2()(1)'()x e ax x g x x --=，(0,)x ∈+∞，设()xh x e ax =-，(0,)x ∈+∞，则'()xh x e a =-，①当1a ≤时，因为0x >，所以1x e >，所以'()0xh x e a =->， 所以()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)10h x h >=>； ②当1a e <≤时，令'()0h x =，则ln x a =，所以(0,ln )x a ∈，'()0h x <；(ln ,)x a ∈+∞，'()0h x >． 所以()(ln )(1ln )0h x h a a a ≥=-≥， 由①②可知：(0,)x ∈+∞时，有()0h x ≥， 所以有：所以min ()(1)0g x g e a ==-≥，从而有当(0,)x ∈+∞时，()(ln )f x a x x ≥-． 20.解：（Ⅰ）因为311≠+，所以{}1,3,4不具有性质P ．因为212=⨯，312=+，633=+，所以{}1,2,3,6具有性质P ． （Ⅱ）因为集合{}12,,,n A a a a =…具有性质P ：即对任意的k （2k n ≤≤），i ∃，j （1i j n ≤≤≤），使得k i j a a a =+成立， 又因为121n a a a =<<<…，2n ≥，所以i k a a <，j k a a <， 所以1i k a a -≤，1j k a a -≤，所以12k i j k a a a a -=+≤，即12n n a a -≤，122n n a a --≤，232n n a a --≤，…，322a a ≤，212a a ≤， 将上述不等式相加得2311212()n n n a a a a a a a --++++≤+++……， 所以1212n n a a a a -≤+++…. （Ⅲ）最小值为147．首先注意到11a =，根据性质P ，得到2122a a ==， 所以易知数集A 的元素都是整数．构造{}1,2,3,6,9,18,36,72A =或者{}1,2,4,5,9,18,36,72A =，这两个集合具有性质P ，此时元素和为147．下面，我们证明147是最小的和．假设数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，2n ≥），满足1147nii S a==≤∑最小（存在性显然，因为满足1147nii a=≤∑的数集A 只有有限个）．第一步：首先说明集合{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，2n ≥）中至少有8个元素： 由（Ⅱ）可知212a a ≤，322a a ≤，……有11a =，所以22a ≤，34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，76472a ≤<，所以8n ≥．第二步：证明136n a -=，218n a -=，39n a -=：若36A ∈，设36t a =，因为723636n a ==+，为了使得1nii S a==∑最小，在集合A 中一定不含有元素k a 使得3672k a <<，从而136n a -=；假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有i a ，j a ，使得72n i j a a a ==+， 显然i j a a ≠，所以144n i j a a a ++=，而此时集合A 中至少还有5个不同于n a ，i a ，j a 的元素， 从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以36A ∈，进而36t a =，且136n a -=； 同理可证：218n a -=，39n a -=． （同理可证明：若18A ∈，则218n a -=， 假设18A ∉．因为136n a -=，根据性质P ，有i a ，j a ，使得136n i j a a a -==+， 显然i j a a ≠，所以1144n n i j a a a a -+++=，而此时集合A 中至少还有4个不同于n a ，1n a -，i a ，j a 的元素， 从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾， 所以18A ∈，且218n a -=．同理可以证明：若9A ∈，则39n a -=， 假设9A ∉，因为218n a -=，根据性质P ，有i a ，j a ，使得218n i j a a a -==+， 显然i j a a ≠，所以12144n n n i j a a a a a --++++=，而此时集合A 中至少还有3个不同于n a ，1n a -，2n a -，i a ，j a 的元素，全优试卷从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾， 所以9A ∈，且39n a -=．） 至此，我们得到了136n a -=，218n a -=，39n a -=． 根据性质P ，有i a ，j a ，使得9i j a a =+． 我们需要考虑如下几种情形： ①8i a =，1j a =，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S > ； ②7i a =，2j a =，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则148S >；③6i a =，3j a =，此时集合{}1,2,3,6,9,18,36,72A =的和最小，为147； ④5i a =，4j a =，此时集合{}1,2,4,5,9,18,36,72A =的和最小，为147．。

月考理数第1页，共6页月考理数第2页，共6页学校班级姓名学号密封线内不要答题0,0k S ==3k ≤S输出结束1k k =+2kS S =+否是开始精华学校2016—2017学年全日制第三次月考数学（理科）测试卷满分150分，考试时长120分钟本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）。

1.已知集合2{|},{1,0,1,}M x x x N ===-，则M N = （）（A ）{1,0,1}-（B ）{0,1}（C ）{1}（D ）{0}2.下列函数中为偶函数的是（）（A ）2sin y x x=（B ）2xy -=（C ）sin xy x=（D ）0.5log y x=3.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）1（B ）3（C ）7（D ）154.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为()（A ）()0R θρ=∈和cos 2ρθ=（B ）()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=（C ）()0R θρ=∈和cos 1ρθ=（D ）()2R πθρ=∈和cos 1ρθ=5.设,a b为两个非零向量，则“a b a b ⋅=⋅ ”是“a 与b 共线”的（）（A ）充分且不必要条件（B ）必要且不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6.设不等式组3100360x y x y +-≥⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数()log 1a y x a =>的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（）（A ）(]1,3（B ）[)3,+∞（C ）(]1,2（D ）[)2,+∞7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）（A ）4（B）（C）（D8．已知函数()f x 满足如下条件：①任意x R Î，有()()0f x f x +-=成立；②当0x ³时，()()2221232f x x m x m m =-+--；③任意x R Î，有()(1)f x f x ³-成立.则实数的取值范围（）（A）,66⎡-⎢⎥⎣⎦（B ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）,33⎡-⎢⎣⎦（D ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦月考理数第3页，共6页月考理数第4页，共6页密封线内不要答题二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）。

2 3 ⎨ ⎩海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）学校 班级 姓名 成绩2017．1本试卷共 4 液，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 抛物线 y 2 = 2x 的焦点到准线的距离为（）A ． 1 2B ．1C ． 2D ． 3⎛1 π ⎫ ⎛ 3π ⎫ 2. 在极坐标系中，点， ⎪ 与点 1， ⎪ 的距离为（ ） ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭A ．1B ．C ．D ． 3. 右侧程序图所示的算法来自于《九章算术》．若输入 a 的值为16 ， b 的值为24 ，则执行该程序框图输出的结果为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 94．已知向量a ，b 满足a + 2b = 0 ，(a + b ) ⋅ a = 2 ，则a ⋅ b = （ ）A. - 12B.1 2x 2 2C. -2D. 25．已知直线l 经过双曲线 - y 4= 1的一个焦点且与其一他渐近线平行，则直线l 的方程可以是（）A ． y = - 1 x + 5B ． y = 1x - 2 2 2C. y = 2x -32⎧x - y ≤0 D. y = -2x + 6．设 x ，y 满足⎪x + y - 2 ≥ 0 ，则( x + 1)2 + y 2 的最小值为（）⎪x ≤ 2 553A ．1B ． 92C. 5 D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂．成．红．色．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数 为 （ ） A ．14B ．16C ．18D ． 208 ． 如图， 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1 ， E ，F 分别是棱 AD ，B 1C 1 上的动点， 设AE = x ，B 1F = y ．若棱 DD 1 与平面 BEF 有公共点，则 x + y 的取值范围是（）⎡ 1 3 ⎤⎡ 3 ⎤A ． [0 ，1]B ． ⎢ ， ⎥C ． [1，2] D. ⎢ ，2⎥⎣ 2 2 ⎦二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知复数 z 满足(1+ i ) z = 2 ，则 z = ．⎣ 2 ⎦10．在⎛x 2 + ⎝1 ⎫6⎪ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）⎭11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12. 已知圆C : x 2 - 2x + y 2= 0 ，则圆心坐标为；若直线l 过点(-1，0) 且与圆C 相切，则直线l 的方程为 ．13．已知函数 y = 2sin (ω x + ϕ )⎛ω > 0 ，ϕ < π ⎫ ．2 ⎪ ⎝ ⎭①若 f (0) = 1，则ϕ = ；②若∃x ∈ R ，使 f (x + 2) - f (x ) = 4 成立，则ω 的最小值是．14. 已知函数 f ( x ) = e - x + cos πx ，给出下列命题：x① f ( x ) 的最大值为2 ；② f ( x ) 在(-10 ，10)内的零点之和为0 ； ③ f ( x ) 的任何一个极大值都大于1 ．其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）在△ABC 中， c = 2a ，B = 120︒ ，且△ABC 面积为 3．2（I ） 求b 的值；（II ） 求 tan A 的值．16．（本小题满分 13 分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“ 周实际回收水费”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期，下表周投入成本．．．．为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（I ） 计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 x ；（I I ） 分别从上表每个周期的 4 个数据中随机抽取1 个数据，设随机变量 X 表示取出的3 个数据中“水站诚信度”超过91% 的数据的个数，求随时变量 X 的分布列和期望；（I I I ） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分 14 分）如图 1，在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，∠ABC = 90︒，AB = 2DC = 2BC = 4 ，O 是边 AB 的中点．将三角形 AOD 绕边OD 所在直线旋转到 A 1OD 位置，使得∠A 1OB = 120︒ ，如图 2，设m 为平面 A 1DC 与平面 A 1OB 的交线．图 1图 2（I ） 判断直线 DC 与直线m 的位置关系并证明；+ 2（I I ） 若在直线m 上的点G 满足OG ⊥ A 1D ，求出 A 1G 的长；（I I I ）求直线 A 1 D 与平面 A 1 BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分 13 分）、已知 A (0，2)，B (3，1)是椭圆G : x 2 2 = 1(a > b > 0) 上的两点． a b（I ） 求椭圆G 的离心率；（II ） 已知直线l 过点 B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点 A ），若以 BC 为直径的圆经过点 A ，求直线l 的方程． 19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ln x - a- 1．x（I ） 若曲线 y = f (x )存在斜率为-1 的切线，求实数a 的取值范围； （I I ） 求 f ( x ) 的单调区间； （I I I ）设函数 g ( x ) =x + a ，求证：当-1 < a < 0 时， g (x ) 在(1，+ ∞) 上存在极小值．ln x20．（本小题满分 13 分）对于无穷数列{a n }，{b n } ，若b k = max {a 1 ，a 2 ， ，a k } - min {a 1 ，a 2 ， ，a k }(k =1，2，3， )则称{b n } 是{a n } 的“ 收缩数列”． 其中， max {a 1 ，a 2 ， a k }，min {a 1 ，a 2 ， ，a k } 分别表示a 1 ，a 2 ， ，a k 中的最大数和最小数．已知{a n } 为无穷数列，其前n 项和为 S n ，数列{b n } 是{a n } 的“收缩数列”．（I ） 若 a n = 2n + 1，求{b n } 的前n 项和； （I ）证明： {b n } 的“收缩数列”仍是{b n } ；（I ）若 S 1 + S 2 + + S n = n (n + 1)a 1 + n (n -1)b n (n = 1，2 ，3，) ，求所有满足该条件2 2y 2。

北京市海淀区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{}201A =-， ， ，{1B x x =<-或}0x >，则A ∩B =AB =（ ） A ．{}20-，B ．{}1C ．{}21-，D ．{}201-， ， 2．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．46x B ．46x - C ．412x D ．412x - 3．已知实数x y ，满足10303x y x y y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为（ ）A ．11B ．3C ．4D ．24．圆2220x y y +-=与曲线1y x =+的公共点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是（ ）A ．32a a >B ．120a a +>C ．{}2n a 是递增数列D ．n S 存在最小值6．已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234x x x x ，，，，大圆盘上所写的实数分别记为1234y y y y ，，，，如图所示．将小圆盘逆时针旋转()1234i i =， ， ， 次，每次转动90，记()1234i T i =， ， ， 为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++．若12340x x x x +++<，12340y y y y +++<，则以下结论正确的是（ ）A ．1234T T T T ，，，中至少有一个为正数B ．1234T T T T ，，，中至少有一个为负数C ．1234T T T T ，，，中至多有一个为正数D ．1234T T T T ，，，中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，极点到直线cos 1ρθ=的距离为_________．10．已知复数1i z i-=，则z =_________． 11．在ABC ∆中，2A B =，23a b =，则cos B =_________．12．已知函数()12x f x x =-，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭_________()1f （填“＞”或“＜”）；()f x 在区间11n n n n -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上存在零点，则正整数n =_________．13．在四边形ABCD 中，2AB =．若()12DA CA CB =+，则AB DC ⋅=_________．14．已知椭圆(222:=106x y G b b +<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()33sin 2cos cos 2sin 55f x x x ππ=-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A B C D E ，，，，为人文类课程，课程F G H ，，为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M ”）．（Ⅰ）在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M ”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F 或课程H 的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G 的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X 表示选出的4名同学中选择课程G 的人数，求随机变量X 的分布列；（ⅱ）设随机变量Y 表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =．（Ⅰ）求证：//AC 平面PDB ；（Ⅱ）求二面角P AB C --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CE CP 的值；如果不存在，请说明理由．已知动点M 到点()10N ， 和直线:1l x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C ．判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．已知函数()ax f x e x =-．（Ⅰ）若曲线()y f x =在()()00f ，处的切线l 与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）当1a ≠时，求证：存在实数0x 使()01f x <．对于无穷数列{}n a ，记{}j i T x x a a i j ==-<，，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（m k N *∈，且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t ． （Ⅰ）若数列{}n a 满足22253n n n a n n ≤⎧=⎨->⎩，，，判断数列{}n a 是否具有性质()2P ？是否具有性质()4P ？ （Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质()2P ，又具有性质()5P ，求证：存在整数N ，使得12N N N N k a a a a +++，，，，是等差数列．2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．（5分）二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．2【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3）时，z最小，所以最小值为3；故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，故选D．5．（5分）已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【解答】解：由{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；在C中，=，∴是递增数列，故C正确；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．（5分）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为1．【解答】解：直线ρcosθ=1，即x=1，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=1的距离为1，故答案为1．10．（5分）已知复数，则|z|=．【解答】解：复数==﹣i﹣1，则|z|==．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=．【解答】解：由正弦定理化简2a=3b得：2sinA=3sinB，把A=2B代入得：2sin2B=3sinB，即4sinBcosB=3sinB，∵sinB≠0，∴4cosB=3，即cosB=，故答案为：12．（5分）已知函数f（x）=，则＞f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间，上存在零点，则正整数n=2．【解答】解：易知函数f（x）=为减函数，则f（）＞f（1），∵f（1）=1﹣2=﹣1，f（）=2﹣＞0，∴f（1）f（）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（，1），∵f（x）在区间，上存在零点，∴=，故答案为：＞，213．（5分）在四边形ABCD中，AB=2．若，则=2．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，则：；∴；∴四边形ADCE是平行四边形；∴，且AB=2；∴．故答案为：2．14．（5分）已知椭圆G：＜＜的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是①③．【解答】解：椭圆G：＜＜的两个焦点分别为F1（0）和F2（﹣，0），短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，即有P在椭圆+=1上．对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．故答案为：①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求f（x）在区间，上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）．所以f（x）的最小正周期，令2x﹣=+kπ，解得x=+kπ．所以f（x）的对称轴方程为x=+kπ，k∈Z．（Ⅱ）因为，，所以2x∈[0，π]，所以，所以，当即时，f（x）在区间，上的最小值为﹣1．16．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H 为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．【解答】解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2.；；．（Ⅱ）故随机变量X的分布列为（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，所以随机变量Y的数学期望为E（Y）=6000+500E（X）=6000+500（）=6500．（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．所以随机变量Y的分布列为所以随机变量Y的数学期望为E（Y）==6500．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱P A=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以，所以∠DBA=60°．因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．因为AC⊄平面PDB，DB⊂平面PDB，所以AC∥平面PDB．解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PD⊥DA，PD⊥DB．如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B（1，0，0），，，，P（0，0，1），，，．平面ABC的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）为平面P AB的一个法向量，则由，得，令y=1，则，，所以平面P AB的一个法向量=（，，），所以cos＜，＞==，由图象知二面角P﹣AB﹣C是钝二面角，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，，，，，因为，，，，，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．18．（14分）已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=﹣1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以P A为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．所以（*）可化简为y2﹣4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=﹣1得，，因为n=﹣m2，所以，，所以NA⊥NP，所以点N在以P A为直径的圆C上．19．（13分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=ae ax﹣1，∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，∴切线l的斜率为2，∴f'（0）=a﹣1=2，∴a=3；（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e a﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，∴在，时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在，上递减；，时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在，上递增．∴=是f（x）的极小值．设，则＞，令g'（x）=0，得x=1．∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，∴＜，综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．20．（13分）对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t （m，k∈N*且m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列{a n}具有性质P（t）．（Ⅰ）若数列{a n}满足，，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{a n}是各项为正整数的数列，且{a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是等差数列．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，，，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集．（Ⅲ）因为数列{a n}具有性质P（2），数列{a n}具有性质P（5），所以存在M′、N′，使得a M'+p﹣a M'=2，a N'+q﹣a N'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P（2），P（5）的含义可得，a M'+p+k﹣a M'+k=2，a N'+q+k﹣a N'+k=5，若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得a N'+p﹣a N'=2；若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得a M'+q﹣a M'=5．记M=max{M'，N'}，则对于a M，有a M+p﹣a M=2，a M+q﹣a M=5，显然p≠q，由性质P（2），P（5）的含义可得，a M+p+k﹣a M+k=2，a N+q+k﹣a N+k=5，所以a M+qp﹣a M=（a M+qp﹣a M+（q﹣1）p）+（a M+（q﹣1）p﹣a M+（q﹣2）p）+…+（a M+p﹣a M）=2qa M+qp﹣a M=（a M+pq﹣a M+（p﹣1）q）+（a M+（p﹣1）q﹣a M+（p﹣2）q）+…+（a M+q﹣a M）=5p所以a M+qp=a M+2q=a M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足a M+p﹣a M=2，a M+q﹣a M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，a M+2﹣a M=2，a M+5﹣a M=5，所以，a M+2+k﹣a M+k=2，a M+5+k﹣a M+k=5，所以，a M+2k=a M+2（k﹣1）+2=…=a M+2k，a M+5k=a M+5（k﹣1）+5=…=a M+5k，取N=M+5，则，所以，若k是偶数，则a N+k=a N+k；若k是奇数，则a N+k=a N+5+（k﹣5）=a N+5+（k﹣5）=a N+5+（k﹣5）=a N+k，所以，a N+k=a N+k所以a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是公差为1的等差数列．第21页（共21页）。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1B ．2C ．3D ．53．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =- C ．322y x =- D ．23y x =-+6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．ABCD1D 1A 1B 1C E F开始是否是否a a b=-b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b>10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__． 14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC 面积为32． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一．．．．周期．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三俯视图2左视图211主视图角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．(Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区AOBCD1图ODCB2图1A高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3y x =+和3(1)3y x =-+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==1332222a a ⨯⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,7b b >∴=. (不写b>0不扣分) （Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：1321sin sin 2147a A B b ==⨯=， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=） 所以217557cos 1sin 19614A A =-==， 所以sin 213tan .cos 557A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(3,1,2)A D =-.设(3,,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(3,1,2)(3,,0)30m m -⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330,x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则3,1x z ==， 所以(3,1,1)=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,5A O n A O n A O n⋅<>==⋅.法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，ODCBG1A zxy M所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(3,3,0,)A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,330,x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则3,1y z ==，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,5AO n AO n AO n ⋅<>==⋅.18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==， 所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，O DCBG1A zxy由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-，--所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，--即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品文档考试教学资料施工组织设计方案。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017届北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题（word 版）2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6 B ．7 C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =- B．12y x =C．2y x = D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]221D 1A 1B 1C FC ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）俯视图主视图诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周第二周第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85% 92% 95% 96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）AOBCD1图ODCB2图1A已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b ===， 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X 的分布列为X0 1 2 3 P1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述 标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述 标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下： 情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分） 理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分） 情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分） 情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化） 情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分） 情况六： 以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分. ②以下情况不得分. 情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅= ，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则 110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z ==， 所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，则如图，建立空间直角坐标系O xyz -，A10,0,0),(2,0,0),(1(0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则1y z =，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>==⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-.法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+， 即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-. 19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ， 故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。

精华学校2016-2017学年全日制第三次月考测试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则MN =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =B ．2x y -=C ．sin xy x=D ．0.5|log |y x =3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．154.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0θ=（R ρ∈）和cos 2ρθ= B ．2πθ=（R ρ∈）和cos 2ρθ= C ．0θ=（R ρ∈）和cos 1ρθ=D ．2πθ=（R ρ∈）和cos 1ρθ=5.设a ，b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.设不等式组3100,360x y x y +-≥⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（1a >）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3]B ．[3,)+∞C ．(1,2]D ．[2,)+∞7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A ．4B ．C ．D 8.已知函数()f x 满足如下条件：①任意x R ∈，有()()0f x f x +-=成立；②当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x m x m m =-+--；③任意x R ∈，有()(1)f x f x ≥-成立． 则实数m 的取值范围（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎢⎣⎦D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.复数(1)Z i i =+在复平面内对应的点的坐标为 ．10.抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐进线的距离是 ．11.在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2sin a B =，则角A 等于 ．12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-，若数列{}n b 满足210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为 ．13.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 种．14.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，长度为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，另一个端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点的轨迹与正方体1111ABCD A BC D -的表面所围成的较小的几何体的体积等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()4cos sin()4f x x x πωω=⋅+（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. 如图，在直角梯形ABCP 中，//CP AB ，CP CB ⊥，122AB BC CP ===，D 是CP 的中点，将PAD ∆沿AD 折起，使得PD CD ⊥．（Ⅰ）若E 是PC 的中点，求证：//AP 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角A PB C --的大小．17.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p （01p <<）和1p -．若乙项目产品价格一年内调整次数X （次数）与2ξ的关系如表所示：（Ⅰ）求m ，n 的值； （Ⅱ）求2ξ的分布列；（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p 的取值范围．18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和长轴长；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，P 为直线3x =-上任意一点，过点F 作直线PF 的垂线交椭圆C 于M ，N ，记1d ，2d 分别为点M 和N 到直线OP 的距离，证明：12d d =．19.已知函数()xe f x x=．（Ⅰ）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当a e ≤时，证明：当(0,)x ∈+∞，()(ln )f x a x x ≥-．20.已知数集{}12,,,n A a a a =…（121n a a a =<<<…，2n ≥）具有性质P ：对任意的k （2k n ≤≤），i ∃，j （1i j n ≤≤≤），使得k i j a a a =+成立． （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：1212n n a a a a -≤+++…（2n ≥）； （Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．精华学校2016-2017学年全日制第三次月考数学（理科）测试卷答案一、选择题1-5:BCDBD 6-8:BCA二、填空题9.(1,1)-3π12.9或10 13.36 14.6π 三、解答题15.解：（Ⅰ）()4cos sin()4f x x x πωω=⋅+2cos x x x ωωω=⋅+2cos2)x x ωω=+2sin(2)4x πω=++因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 从而有22ππω=，故1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)4f x x π=++令222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，所以有322244k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以有388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈． 所以()f x 的单调递增区间为388k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈．16.（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，在正方形ABCD 中，O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点， 所以OE 为PAC ∆的中位线， 所以//OE AP ，又因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ， 所以//AP 平面BDE ．（Ⅱ）证明：由已知可得AD PD ⊥，AD CD ⊥， 又因为PDCD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ， 又因为AD ⊂平面ABCD ， 所以平面PCD ⊥平面ABCD ．（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD ⊥平面PCD ，所以AD PD ⊥，又因为PD CD ⊥，且AD CD D =，所以PD ⊥平面ABCD ，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，所以(2,0,2)AP =-，(0,2,0)AB =， 设平面APB 的一个法向量为(,,)m a b c =，所以0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220,b a c =⎧⎨-+=⎩令1a =，则1c =，从而(1,0,1)m =，同理可求得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)n =， 设二面角A PB C --的大小为θ，易知(,)2πθπ∈，所以1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=-<>=-=-⋅，所以23πθ=， 所以二面角A PB C --的大小为23π． 17.解：（Ⅰ）由题意得0.41,1101200.4170120,m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得0.5m =，0.1n =．（Ⅱ）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，[]2(41.2)(1)1(1)P p p ξ==---(1)p p =-，[]222(117.6)1(1)(1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-， 2(204)(1)P p p ξ==-，所以2ξ的分布列为：（Ⅲ）由（Ⅱ）可得2222()41.2(1)117.6(1)204(1)1010117.6E p p p p pp p p ξ⎡⎤=-++-+-=-++⎣⎦， 由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润， 所以21()()E E ξξ>，所以21010117.6120p p -++>，解得0.40.6p <<，所以p 的取值范围是(0.4,0.6)．18.解：（Ⅰ）由题意可知2,24,b c ===⎪⎩解得26a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=，椭圆C的长轴长为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点F 的坐标为(2,0)-，设点P 的坐标为(3,)m -，则直线PF 的斜率03(2)PF m k m -==----，当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m=，直线MN 的方程是2x my =-， 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，得222,1,62x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(3)420m y my +--=， 其判别式22168(3)0m m ∆=++>， 所以12343m y y m +=+，12223y y m -=+， 1212212()43x x m y y m -+=+-=+，设T 为线段MN 的中点，则点T 的坐标为2262(,)33mm m -++，所以直线OT 的斜率3OT m k =-， 又直线OP 的斜率3OP m k =-， 所以点T 在直线OP 上，由三角形全等的判定和性质可知：12d d =．19.解：（Ⅰ）设点P 的坐标为00(,)x y ，2(1)'()x e x f x x -=，由题意知00020(1),,x x e x k x e kx x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得02x =，所以02002x e e y x ==，从而点P 的坐标为2(2,)2e ．（Ⅱ）设函数()()(ln )g x f x a x x =--(ln )xe a x x x =--,2()(1)'()x e ax x g x x --=，(0,)x ∈+∞，设()x h x e ax =-，(0,)x ∈+∞，则'()x h x e a =-，①当1a ≤时，因为0x >，所以1x e >，所以'()0x h x e a =->， 所以()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)10h x h >=>； ②当1a e <≤时，令'()0h x =，则ln x a =，所以(0,ln )x a ∈，'()0h x <；(ln ,)x a ∈+∞，'()0h x >． 所以()(ln )(1ln )0h x h a a a ≥=-≥， 由①②可知：(0,)x ∈+∞时，有()0h x ≥， 所以有：所以min ()(1)0g x g e a ==-≥，从而有当(0,)x ∈+∞时，()(ln )f x a x x ≥-． 20.解：（Ⅰ）因为311≠+，所以{}1,3,4不具有性质P ．因为212=⨯，312=+，633=+，所以{}1,2,3,6具有性质P ． （Ⅱ）因为集合{}12,,,n A a a a =…具有性质P ：即对任意的k （2k n ≤≤），i ∃，j （1i j n ≤≤≤），使得k i j a a a =+成立， 又因为121n a a a =<<<…，2n ≥，所以i k a a <，j k a a <， 所以1i k a a -≤，1j k a a -≤，所以12k i j k a a a a -=+≤，即12n n a a -≤，122n n a a --≤，232n n a a --≤，…，322a a ≤，212a a ≤， 将上述不等式相加得2311212()n n n a a a a a a a --++++≤+++……，所以1212n n a a a a -≤+++…. （Ⅲ）最小值为147．首先注意到11a =，根据性质P ，得到2122a a ==， 所以易知数集A 的元素都是整数．构造{}1,2,3,6,9,18,36,72A =或者{}1,2,4,5,9,18,36,72A =，这两个集合具有性质P ，此时元素和为147．下面，我们证明147是最小的和．假设数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，2n ≥），满足1147nii S a==≤∑最小（存在性显然，因为满足1147nii a=≤∑的数集A 只有有限个）． 第一步：首先说明集合{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，2n ≥）中至少有8个元素： 由（Ⅱ）可知212a a ≤，322a a ≤，……有11a =，所以22a ≤，34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，76472a ≤<， 所以8n ≥．第二步：证明136n a -=，218n a -=，39n a -=：若36A ∈，设36t a =，因为723636n a ==+，为了使得1nii S a==∑最小，在集合A 中一定不含有元素k a 使得3672k a <<，从而136n a -=；假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有i a ，j a ，使得72n i j a a a ==+， 显然i j a a ≠，所以144n i j a a a ++=，而此时集合A 中至少还有5个不同于n a ，i a ，j a 的元素， 从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以36A ∈，进而36t a =，且136n a -=； 同理可证：218n a -=，39n a -=． （同理可证明：若18A ∈，则218n a -=，假设18A ∉．因为136n a -=，根据性质P ，有i a ，j a ，使得136n i j a a a -==+， 显然i j a a ≠，所以1144n n i j a a a a -+++=，而此时集合A 中至少还有4个不同于n a ，1n a -，i a ，j a 的元素， 从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾， 所以18A ∈，且218n a -=．同理可以证明：若9A ∈，则39n a -=， 假设9A ∉，因为218n a -=，根据性质P ，有i a ，j a ，使得218n i j a a a -==+， 显然i j a a ≠，所以12144n n n i j a a a a a --++++=，而此时集合A 中至少还有3个不同于n a ，1n a -，2n a -，i a ，j a 的元素， 从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾， 所以9A ∈，且39n a -=．）至此，我们得到了136n a -=，218n a -=，39n a -=． 根据性质P ，有i a ，j a ，使得9i j a a =+． 我们需要考虑如下几种情形：①8i a =，1j a =，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S >；②7i a =，2j a =，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则148S >； ③6i a =，3j a =，此时集合{}1,2,3,6,9,18,36,72A =的和最小，为147； ④5i a =，4j a =，此时集合{}1,2,4,5,9,18,36,72A =的和最小，为147．。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =- B．12y x =C．2y x =- D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．AOBCD1图ODCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴=. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b == 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A == 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则A110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z =，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1x =，则1y z ==，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>=⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==， 所以椭圆G的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+ ， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。

北京海淀区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（理科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}1x x ≥-B ．{}1x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >2．已知复数()()z i a bi a b R =+∈，），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．00a b =≠，D ．00a b ≠=，3．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） A ．0B ．3C ．6D ．84．设a b R ∈，若a b >，则（ ） A ．11a b> B ．22a b> C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5．已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，0c =⎰，则a b c 、、的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．已知曲线2:2x C y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），()()1010A B -，、，，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦，B ．[]11-，C．⎡⎣D ．[]22-，7．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若等比数列{}n a 满足24548a a a a ==，，则公比q =________，前n 项和n S =________． 10．已知()()122020F F -，、，，满足122PF PF -=的动点P 的轨迹方程为________． 11．在ABC ∆中，cos c a B =．①A =________；②若1sin 3C =，则()cos B π+=________． 12．若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+=，2a b =，则向量a ，b 夹角的大小为________．13．已知函数()210cos 0x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩，，，若关于x 的方程()0f x a +=在()0+∞，内有唯一实根，则实数a 的最小值是________．14．已知实数u v x y ，，，满足221u v +=，102202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z ux vy =+的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）已知3π是函数()22cos sin 21f x x a x =++的一个零点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠8~10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=，1AB =，12BC BB ==，1C D CD ==1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC 的值，若不存在，说明理由．已知函数()()()2241ln 1f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]01，上恒成立，求a 的取值范围．已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A B 、两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C D 、两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率； （Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．已知含有n 个元素的正整数集{}()12123n n A a a a a a a n =<<<≥，，，，具有性质P ：对任意不大于()S A （其中()12n S A a a a =+++）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ．（Ⅰ）写出12a a ，的值；（Ⅱ）证明：“12n a a a ，，，成等差数列”的充要条件是“()()12n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．2017年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|x＞0}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x＞0}【解答】解：∵集合A={x|x（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤0}，集合B={x|x＞0}，∴A∪B={x|x≥﹣1}．故选：A．2．（5分）已知复数z=i（a+bi）（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为（）A．a2+b2≠0 B．ab=0 C．a=0，b≠0 D．a≠0，b=0【解答】解：复数z=i（a+bi）=ai﹣b（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为﹣b=0，a≠0．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．0 B．3 C．6 D．8【解答】解：x=0，y=9，≠，x=1，y=8，≠，x=2，y=6，=4≠，x=3，y=3，3=，输出x=3，故选：B．4．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．2a＞2b C．lga＞lgb D．sina＞sinb【解答】解：a，b∈R，a＞b，当a＞0，b＜0时，A不成立，根据指数函数的单调性可知，B正确，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故C不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故D不成立，故选：B．5．（5分）已知a=xdx，b=x2dx，c=dx，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：a=xdx=|=，b=x2dx=|=，c=dx=|=，则b＜a＜c，故选：C6．（5分）已知曲线C：（t为参数），A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在点P满足•=0，则实数a的取值范围为（）A．，B．[﹣1，1] C．，D．[﹣2，2]【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在点P满足•=0，∴P的轨迹方程是x2+y2=1．曲线C：（t为参数），普通方程为x﹣y+a=0，由题意，圆心到直线的距离d=≤1，∴，故选C．7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12 B．40 C．60 D．80【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲和乙都排在丙的左侧，将甲乙安排在丙的左侧，考虑甲乙之间的顺序，有2种情况，排好后有4个空位，在4个空位中选一个安排丁，有4种情况，排好后有5个空位，在5个空位中选一个安排戊，有5种情况，则甲和乙都排在丙的左侧的情况有2×4×5=40种，②、甲和乙都排在丙的右侧，同理有40种不同的排法；故甲和乙都排在丙的同一侧的排法种数为40+40=80种；故选：D．8．（5分）某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查OM=ON=O'M'=O'N'；项目③：打开过程中（如图2），检查OK=OL=O'K'=O'L'；项目④：打开后（如图3），检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°；项目⑤：打开后（如图3），检查AB=A'B'=C'D'=CD．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤【解答】解：项目①：折叠状态下（如图1），四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行；项目②：打开过程中（如图2），若OM=ON=O'M'=O'N'，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目③：打开过程中（如图2），检查OK=OL=O'K'=O'L'，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目④：打开后（如图3），检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°，可以得到线线平行，从而得到面面平行项目⑤：打开后（如图3），检查AB=A'B'=C'D'=CD．桌面与地面不一定平行；故选：B．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）若等比数列{a n}满足a2a4=a5，a4=8，则公比q=2，前n项和S n=2n﹣1．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a2a4=a5，a4=8，∴，解得a1=1，q=2，∴前n项和S n==2n﹣1．故答案为：2，2n﹣1．10．（5分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），满足||PF1|﹣|PF2||=2的动点P的轨迹方程为．【解答】解：根据题意，F1（﹣2，0），F2（2，0），则|F1F2|=4，动点P满足||PF1|﹣|PF2||=2，即2＜4，则P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，其中c=2，2a=2，即a=1，则b2=c2﹣a2=3，双曲线的方程为：；故答案为：．11．（5分）在△ABC中，c=acosB．①A=90°；②若sinC=，则cos（π+B）=﹣．【解答】解：①∵c=acosB．∴cosB==，整理可得：a2=b2+c2，∴A=90°；②∵sinC=，A=90°，∴B=90°﹣C，∴cos（π+B）=﹣cosB=﹣sinC=﹣故答案为：90°，．12．（5分）若非零向量，满足•（+）=0，2||=||，则向量，夹角的大小为120°．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则θ∈[0°，180°]；又•（+）=0，2||=||，∴+•=0，即+||×2||cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，即向量，夹角为120°．故答案为：120°．13．（5分）已知函数f（x）=，，＜若关于x的方程f（x+a）=0在（0，+∞）内有唯一实根，则实数a的最小值是﹣．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x+a）在（0，+∞）上有唯一实根，∴f（x）在（a，+∞）上有唯一实根，∴﹣≤a＜1．故答案为．14．（5分）已知实数u，v，x，y满足u2+v2=1，，则z=ux+vy的最大值是2．【解答】解：约束条件的可行域如图三角形区域：A（2，1），B（2，﹣1），C（0，1），u2+v2=1 设u=sinθ，v=cosθ，目标函数经过A时，z=2sinθ+2cosθ=2sin（）．目标函数经过B时，z=2sinθ﹣cosθ=（θ+β）（其中tanβ=）．目标函数经过C时，z=sinθ≤1．所以目标函数的最大值为：2．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函数y=sinx的递增区间为，，k∈Z．由＜＜，k∈Z，得＜＜，k∈Z，所以，f（x）的单调递增区间为，，k∈Z．16．（13分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠8～10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）．【解答】解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件A：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56，49，58，54，54，57，59，58，58，56，54，56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，．（Ⅲ）X的数学期望EX=8．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，，，，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，，，所以，，，，，，设平面DBB1的法向量为，，，由即令y=1，则，x=0，于是，，，因为M为DC1中点，所以，，，所以，，，由，，，，，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量为，，．设，λ∈[0，1]，则，，，，，．若直线DP与平面DBB1成角为，则＜，＞，解得，，故不存在这样的点．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x=1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），=，令g（x）=x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）=0，因为a＜3，所以g（x）=0的判别式△=（1﹣a）2﹣4（a﹣2）=a2﹣6a+9=（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x=1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）=0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）=0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．19．（14分）已知椭圆G：+y2=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；（2）是否存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可知F1（﹣1，0），又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y=x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得或，所以AB中点，，于是直线OM的斜率为．（2）假设存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立．当直线l的斜率不存在时，AB的中点M（﹣1，0），所以，，矛盾；故直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆G的方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，于是，点M的坐标为，，．直线CD的方程为，联立椭圆G的方程，得，设C（x0，y0），则，由题知，|AB|2=4|CM|•|DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|﹣|OM|）=4（|CO|2﹣|OM|2），即，化简，得，故，所以直线l的方程为，．20．（14分）已知含有n个元素的正整数集A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意不大于S（A）（其中S（A）=a1+a2+…+a n）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）写出a1，a2的值；（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S（A）=”；（Ⅲ）若S（A）=2017，求当n取最小值时a n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由集合A={a1，a2，…，a n}，}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3），由a n为正整数，则a1=1，a2=2．（Ⅱ）先证必要性：因为a1=1，a2=2，又a1，a2，…，a n成等差数列，故a n=n，所以；再证充分性：因为a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，故有a1=1，a2=2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，所以，又，故a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列．（Ⅲ）先证明（m=1，2，…，n）．假设存在＞，且p为最小的正整数．依题意p≥3，则a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2=2p﹣1﹣1，又因为a1＜a2＜…＜a n，故当k∈（2p﹣1﹣1，a p）时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（m=1，2，…，n）成立．因此，即2n≥2018，所以n≥11．因为S=2017，则a1+a2+…+a n﹣1=2017﹣a n，若2017﹣a n＜a n﹣1时，则当k∈（2017﹣a n，a n）时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k，故2017﹣a n≥a n﹣1，即a n≤1009．此时可构造集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}．因为当k∈{2，2+1}时，k可以等于集合{1，2}中若干个元素的和；故当k∈{22，22+1，22+2，22+3}时，k可以等于集合{1，2，22}中若干不同元素的和；…故当k∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，k可以等于集合{1，2，…，28}中若干不同元素的和；故当k∈{497+3，497+4，…，497+511}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497}中若干不同元素的和；故当k∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497，1009}中若干不同元素的和，所以集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}满足题设，所以当n取最小值11时，a n的最大值为1009．。

北京市2017届高三综合练习数学（理)考生须知1.本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．2.本试卷共6页．各题答案均答在答题卡上．题号 一二三总分15 16 17 18 19 20分数第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}032|{2<--=x xx M ，}0log |{21<=x x N ，则N M 等于(）A ．)1,1(-B ．)3,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-2．在复平面内，复数21i i-+对应的点位于（ )A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．圆2cos ,2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（） 4．设nm ,是A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(2,0)-两条不同的直线,γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα5．执行右面的框图，若输入的N 是6,则输出p 的值是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040系数和6．若21()n xx-展开式中的所有二项式 为512,则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．4383+B ．4283+C ．2383+D ．3238．如图，已知平面l αβ=,A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内,且,,DA CB αα⊥⊥4AD =,6,8AB BC ==，在平面α上有一个βαA C BDP动点P ，使得APD BPC ∠=∠,则P ABCD -体积 的最大值是( )A ．243B ．16 C ．48 D ．144第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a,且b a //，则θ2cos =．10．等差数列{}na 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k=________．11。

人大附中2017年高三考前热身练习数学(理)参考答案及评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. D2. A3. C4. A5. B6. C7. A8. D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．填空应写出最简结果．9. 210. 3；1(1)2n n +11. f (x )=2sin(2x +6π)12.10313.14.；(0,3- 注：第10，14题第一空3分，第二空2分；第13题答对一个给3分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）（Ⅰ）21()4cos (sin )2f x x x x x =+-222sin cos x x x x =+-2sin 2x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=-························································· 4分因为sin y x =的单调递增区间为[2,2]22k k ππππ-+，k ∈Z ， 令222232k x k πππππ-≤-≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以，()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ．········· 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f A 2sin(2)3A π=-所以2233A k πππ-=+或223k ππ+，k ∈Z ．因为A 是△ABC 的内角， 所以3A π=或2π． ······························································· 9分 ①当3A π=时，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即27422cos3c c π=+-⋅⋅⋅，整理，得2230c c --=，解得：c =3(－1舍)． ··························································· 12分 ②当2A π=时，由勾股定理，得c ··············································· 13分16．（本题满分13分） （Ⅰ）由题意知：4002010010040400300300a +++=⨯=⇒++10a =；3000101510030400300300b +++=⨯=⇒++5b =；30001510100305400300300c c +++=⨯=⇒=++. ············ 3分（Ⅱ）记事件A = “这2人中恰有1人微信群数量超过10个”. ··············· 4分 由调查表知：这100名学生中，微信群数量超过10个的有101515051055+++++=（人），不超过10个的有1005545-=（人）． ································· 5分 所以这2人中恰有1人微信群数量超过10的概率为：11455521001()2C C P A C ==． ··················································· 7分（Ⅲ）由题意知，微信群个数在“11-15”的概率10151521005p ++==.X 的所有可能取值0，1，2，3． ···································· 8分 则：()0033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=，()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．所以X 的分布列为：方差35525DX npq ==⨯⨯=． ··········································· 13分17．（本题满分14分）(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,120ADC DCB ∴∠=∠=︒, 30DBC CDB ∴∠=∠=︒ 90ADB ∴∠=︒∴DB AD ⊥. ······································································· 2分 又AE ⊥BD,且A AE AD = ,故BD ⊥平面AED. ································································· 4分 (Ⅱ)连接AC,同理(Ⅰ)方法可知CB AC ⊥,且30DCA ∠=︒.FC ⊥平面ABCD,,CA CB CF ∴两两垂直． ······················································· 5分以C 为原点，建立空间直角坐标系C -xyz 如图．设2CB =,则CA =(0,0,2),(0,2,0),1,0)F B D -,向量(1,0,0)n =为平面BFC 的一个法向量.设平面BDF 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=00m ,即300y y z -=-=⎪⎩, 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m . ································· 7分cos ,m n m n m n⋅<>===,而二面角D-BF-C 的平面角为锐角,故二面角D-BF-C . ·········································· 9分（III ）法一：向量法由（I ）(II)知(DB =是平面AED 的法向量，且A(),F(0，0，2)．假设存在满足条件的点P(,,)a b c ，且设,(0,1]APABλλ=∈． 则AP AB λ=，即(,)((,2,0)a b c λλ-=-=-，得,2,0)P λ，因而,2,2)FP λ=-若FP ∥平面AED则FP 与平面AED的法向量(DB =垂直，且直线FP ⊄平面AED 内．故,2,2)(0λ-= ， 得12λ=，即F 为AB 的中点， ················································ 14分 此时FP ⊄不在平面AED 内，故满足题意．法二：几何法由（I ）知面EAD ⊥面ABCD.过E 作EG ⊥AD 于G ，则EG ⊥面ABCD. 又 FC ⊥面ABCD ，∴EG ∥FC ∵EG ⊂平面AED,FC ⊄平面AED∴FC ∥平面AED.作AB 中点P ，连接CP.由（II ）知AB=2DC∴DC ∥AP ，DC=AP ，∴AD ∥PC又AD ⊂平面AED,PC ⊄平面AED∴PC ∥平面AED.又 FC PC C = ，∴平面AED ∥面FCP. 又 FC ⊂平面FCP ，所以存在满足条件的点P ，且点P 是AB 中点，此时AP AB =12． ······ 14分（Ⅰ）()()1f x x a a x'=>-+，设切点为()11,x y ，则 1111111ln()a x y a x y x⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：1a =． ··········································· 5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知1a =，令()()()ln(1)(0,)h x f x g x x x =-=+-∈+∞依题意，存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <， ···················· 7分 ①0k ≤时，(0,)x ∈+∞，()ln(1)0h x x =+->，此时不存在00x >， 使得()00,x x ∈时()0h x <； ·················································· 8分②01k <<时，因为()h x'=22111k k k ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭=， 所以存在120,0x x >>使()()120h x h x ''==，不妨设21x x >()10,x x ∈，()()0,h x h x '<递减，所以()()00h x h <=，此时存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <； ·················································· 11分③1k ≥时，因为(0,)x ∈+∞，()221110k k k h x ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭'=≤，()y h x =递减，所以()()00h x h <=． ···································· 12分 综上所述，k 的取值范围是(0,)+∞． ········································ 13分（Ⅰ）由已知可得：2,2c a a ==c =b = ········· 3分 因此，椭圆C 的标准方程为：22142x y +=． ······························ 4分 （Ⅱ）直线l:,(0)y kx m k =+≠与椭圆C 联立得：2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，得：222(12)4240k x kmx m +++-=， ························ 6分 由0∆>，得2242m k <+2121222424,1212km m x x x x k k --+==++． ········································· 9分 直线AM ：11(2)2y y x x =++，所以1162P y y x =+. 直线BM ：22(2)2y y x x =++，所以2262Q y y x =+． ····················· 11分 因为121111P Qy y y y +=+， 所以121212112266x x y y y y +++=+，整理得到：1221(4)(4)0x y x y -+-= 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，即：12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， ······································ 12分把2121222424,1212km m x x x x k k --+==++，代入上式，得到 2222442(4)801212m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，化简得：0k m +=，能满足0∆>， ········································ 13分 故直线l 方程为：(1)y k x =-，过定点（1，0）． ······················· 14分 20.（本题满分13分）（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3；2(2)T ：1,1,1,1；3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5；2(2)T ：1,1,1,3；3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0． ·························································································· 4分 （Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k = ．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等； 取(1)(1)2231()2c a a =+,则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-,即经22()T c 后,前3项相等；… …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++ ，则()()()()1231k k k k k a a a a +==== ；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k na a a a a a a ++++++++++ ， 显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++===== ；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------===== ； 最后，取(1)n n nc a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ························· 9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ··············································· 10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，()()11(1)12min{,,,}j j j j n c a a a ---< ，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由()()1111|||||()|j j i j j i j j a c c a c c --++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，j c >()()11(1)12max{,,,}j j j n a a a --- ；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足()()11(1)12min{,,,}i i i n a a a --- i c ≤≤()()11(1)12max{,,,}i i i n a a a --- ． 不妨设()()11(1)12i i i n a a a ---≤≤≤ ，根据()()1i i k k i a a c -=-，则 ()()()12max{,,,}i i i n a a a =()(){}111max ,i i i n i c a a c ----，由于()()()()11111c ;i i i i i i n n i n c a a a c a -----≤≤-≤，所以 ()()()12max{,,,}iiin a a a ()()11(1)12max{,,,}i i i n a a a ---≤ ，所以，i c 12max{,,,}n a a a ≤ ．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换”，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”．当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++ 存在“k 次归零变换”． 此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,kk 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足k i c k ≤，1,2,,i k = ．所以111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+-⋅>所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ······························································ 13分。