高三数学月考试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=⋂B C A U ( )
A ．{}2
B ．{}3,2
C ．{}3
D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( )
A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x y
B ．()()3,1log 12∈+-=x x y
C ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x y
D ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( )
A ．x 2sin
B ．x cos
C ．x sin
D ．x sin
4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( )
A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n m
B ．βα、都垂直于平面γ
C ．α内不共线三点到β的距离相等
D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂
5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n n
n a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列、或者是等比数列
D ．等差、等比数列都不是
6、已知实数a 满足21<<a ．
命题P ：函数)2(log ax y a -=在区间[0，1]上是减函数． 命题Q ：1||<x 是a x <的充分不必要条件．则（ ） A ．“P 或Q ”为真命题； B ．“P 且Q ”为假命题；
C ．“┐P 且Q ”为真命题；
D ．“┐P 或┐
Q ”为真命题
7、教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况，一小孩在旁边随手拿了两个签，教
师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生．则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到
的概率分别为 ( )
A ．
11,265 B ．15,2626 C ．1
,026
D ．11,255
8、某工厂8年来某种产品的总产量c 与时间t （年）的函数关系如右图，下列四种说法：
①前三年中产品增长的速度越来越快；②前三年中产品增长
的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三
年后，年产量保持不变，其中正确的说法是 ( )
） A ．②和③ B ．①和④
C ．①和③
D ．②和④
9、若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e =( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．
2
5
10、某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）
A ．608元
B ．574.1元
C ．582.6元
D ．456.8元
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上. 11、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，有如下结论：①AC ⊥BD ；
②⊿ABC 是等边三角形； ③AB 与面BCD 成60°角；
④AB 与CD 成60°角。
请你把正确的结论的序号都填上_______________ 12、函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f sin )(2+=，当0<x 时，)(x f 的表达式为
13、若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点)0,1(F 的距离为2
5，则点P 到x 轴的距离为
14、已知向量b a ,212=-===+
15、数列{}n a 是等差数列9418240309,, ()n n S S a n -===>，则n 的值为 16、若函数[]
2
23()(, )y x a x x a b =+++∈的图象关于直线1=x 对称，则b =
三、解答题：本大题共5小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分14分） 已知函数)0(x cos x cos x sin 3)x (f 2>ωω-ω⋅ω=
最小正周期2
T π
=
. （1） 求实数ω的值;
（2） 若x 是AB C ∆的最小内角, 求函数)x (f 的值域
18、（本小题满分14分） 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度
d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比. （1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木， 其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
19、（本小题满分14分） 三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形，侧面AA 1C 1C 是菱形，
PA ⊥BC ，点P 是A 1C 1的中点，∠C 1CA=60°. （1）求证：PA ⊥平面ABC ； （2）求直线CC 1与直线B 1P 所成角的正弦值； （3）求四棱锥P —AA 1B 1B 的体积.
20、（本小题满分14分）
在ABC ∆中，已知),0(a A ，),0(a B -，AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于原点同侧的点M 、N ，且满足24a ON OM =⋅（a 为不等于零的常数）．
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）如果存在直线:l )0(1≠-=k kx y ，使l 与点C 的轨迹相交于不同的P 、Q 两点，
且AQ AP =，求a 的取值范围．
a
d l A
C A 1
C 1
B 1 B
P
21、（本小题满分14分）
已知函数)10(22)(2
2
<<--+=x x
x x x x f 的反函数为)(1x f - （1）已知数列{}n a 满足))((,1*1
11N n a f a a n n ∈==-+，求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 满足21111
12
*,()()()n n n b b b f b n N -+==+⋅∈，求证：对一切2≥n 的正整数，都满足：21
21112211<++++++<
n
n b na b a b a .
参考答案
一、选择题
DADDC ABACC 二、填空题
11、①②④ 12、2sin )(x x x f -= 13、2
3
14、6 15、 15 16、6 三、解答题
17．解(1) 因为21)6x 2sin()x 2cos 1(21x 2sin 23)x (f -π-ω=ω+-ω=
所以,2
22T π
=ωπ= 2=ω∴.
(2) 因为x 是AB C ∆的最小内角, 所以]3
,0(x π
∈
又21)6x 4sin()x (f -π-=, 所以]2
1
,1[)x (f -∈
18．解：．（1）解：安全负荷k l ad k y (221⋅=为正常数） 翻转22
2,90l
da k y ⋅=︒后
2121,0,y y a d a
d
y y <<<∴=时当
，安全负荷变大.当 12,0y y d a <<<时，安全负荷变小. （2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则22222244,)2
(R d a R d a
=+=+即.安全负荷
22(ad y k k l
=⋅为正常数）∵枕木长度不变，∴2
u ad =最大时，安全负荷最大.
)(24422422222d R d d R d a d u -=-==
令4
2
2
()()g d d R d =-
523640()g d d R d '∴=-+=时R d 3
6=，
取R d R a 3
32222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大.
19. 证明：（1）∵四边形AA 1C 1C 是菱形，∠C 1CA=60°，∴△AC 1A 1是正三角形，又P 是A 1C 1 的中点，∴PA ⊥A 1C 1，∴PA ⊥AC. 又PA ⊥BC ，AC ∩BC=C ∴PA ⊥平面ABC. （2）由（1），PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥平面 A 1B 1C 1，由△AC 1A 1是正三角形，∴PB 1⊥A 1C 1，
∴B 1P ⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1P ⊥CC 1. ∴CC 1与B 1P 所成的角的正弦值为1.
（3）PA S V V P B A B PA A B B AA P ⋅⋅⋅==∆--1111113122832323
1
2=⋅⋅⋅=
20.解：（1）设点)0)(,(≠x y x C ，)0,(),0,(N M x N x M ．
当a y =时，x AC //轴，当a y -=时， x BC //轴，与题意不符，所以a y ±≠; 由A ．C ．M 三点共线有
x y a x a M --=--000，解得y
a ax
x M -=．
同理由B ．C ．N 三点共线，解得y
a ax
x N +=
． 0>⋅N M x x ， 24a y
a ax
y a ax x x ON OM N M =+⋅-=
⋅=⋅∴， 化简得点C 的轨迹方程为)0(44222≠=+x a y x ． （2）设PQ 的中点为R ，
⎩⎨
⎧-==+1
,
44222kx y a y x 0448)41(222=-+-+⇒a kx x k ， 由0)44)(41(464222>-+-=∆a k k ，222
410a k a ∴+->…①
2214142k k x x x R +=+=
，2
411
1k
kx y R R +-=-=． PQ AR AQ AP ⊥⇔= ，即1-=⋅k k AR ， 14140411
22
-=⋅+-
++∴k k k
k a ，0342=-+a ak ，即a
a
k 432-=
………② 0,02>∴≠k k ， ∴30<<a ．把②代入①并化简得013>-a 3
1>
⇒a ． 当1=a 时，直线l 过点B ，而曲线C 不过点B ，所以直线l 与曲线C 只有一个公共点.故1=a 舍去;故a 的取值范围是33
1
<<a 且1≠a ．
21.解：)10(1)2)(1()2()(<<-=+-+=
x x x x x x x x f 的反函数)0(1
)(1>+=-x x x
x f
)(11n n a f a -+=，则11+=
+n n n a a a ，11
11+=+n
n a a {}n a 是首项为1，公差为1的等差数列 n
a n 1
=
, n n n n n n b b b b b b )1(1)1(21+=++=+ 则11111+-
=+n n n b b b 则2≥n 时
126
21
11111211212211>=+++>++++++b b b na b a b a n n
且
21
2)11()11()11(
11111112111
132********<-=-++-+-==
+++++=++++++++n n n n n n b b b b b b b b b b b na b a b a。
