中考数学试题分类大全梯形

一、选择题
1．2010安徽芜湖如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ⊥BD 于点O ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,AD ＝4,BC ＝8,则AE ＋EF 等于
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
答案B
2．2010山东日照已知等腰梯形的底角为45o ,高为2,上底为2,则其面积为 A2 B6 C8 D12
答案C
3．2010山东烟台如图,小区的一角有一块形状为等梯形的空地,为了美化小区,社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池,使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上,则水池的形状一定是 A 、等腰梯形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形
答案C
4．2010山东威海如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝BC ,对角线AC ⊥BD ,垂足为O ．若CD ＝3,AB ＝5,则AC 的长为
A ．24
B ．4
C ．33
D ．52
答案A
5．2010台湾如图十五梯形ABCD 的两底长为AD =6,BC =10,中线为EF , 且B =90,若P 为AB 上的一点,且PE 将梯形ABCD 分成面积相 同的两区域,则△EFP 与梯形ABCD 的面积比为何 A 1：6 B 1：10 C 1：12 D 1：16 ;
答案D
D C
B
A
E
F
P 图十五
C
A
B
D
O
6．2010 浙江省温州用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形提供的火柴棒全部用完,下列根数的火柴棒不能围成梯形的是▲ ． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
答案B
7．2010 浙江台州市梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD=AD =2,∠B =60°,则下底BC 的长是▲ A ．3 B ．4 C ． 23 D ．2+23 答案B
8．2010浙江金华 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD , 对角线AC ⊥BC ,∠B ＝60o,BC ＝2cm ,则梯形ABCD 的面积为 ▲ A ．33cm 2 B ．6 cm 2
C ．36cm 2
D ．12 cm 2
答案A
9．2010湖北省咸宁如图,菱形ABCD 由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成, 则线段AC 的长为 A ．3
B ．6
C ．33
D ．63
答案D
10．2010湖北恩施自治州如图5,EF 是△ABC 的中位线,将△AEF 沿中线AD 方向平移
到△A 1E 1F 1的位置,使E 1F 1与BC 边重合,已知△AEF 的面 积为7,则图中阴影部分的面积为：
A. 7
B. 14
C. 21
D. 28
答案B
11．2010四川内江2010四川内江,12,3分如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC , 点E 在BC 上,AE ＝BE ,点F 是CD 的中点,且AF ⊥AB ,若AD ＝,AF ＝4,AB ＝6,则CE 的长为
A
B C D
E
F
A
C
B
D
第10题图
A．2错误!B．2错误!－1 C．D．
答案D
12．2010 湖南湘潭在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,若DE=2cm,则BC的长是
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
答案C
13．2010湖北十堰如图,已知梯形ABCD的中位线为EF,且△AEF的面积为6cm2,则梯形ABCD的面积为
A D
E F
B C
第7题
A．12 cm2 B．18 cm2C．24 cm2D．30 cm2
答案C
14．2010 湖北咸宁如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,
则线段AC的长为
A．3 B．6 C．33D．63
答案D
15．2010四川达州如图4,在一块形状为直角梯形的草坪中,修建了一条由
A→M→N→C的小路M、N分别是AB、CD中点.极少数同学为了走“捷径”,沿线段AC行走,破坏了草坪, 实际上他们仅少走了图4
A. 7米
B. 6米
C. 5米
D. 4米
图4
答案B
16．2010湖南娄底下列说法中错误的是
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直平分
D. 等腰梯形的对角线相等
答案B
1二、填空题
1．2010甘肃兰州如图,直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD = 2,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE,连接
AE 、CE,△ADE 的面积为3,则BC 的长为 ．
答案5
2．2010浙江宁波如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =CD . 若∠ABC =60°,BC =12,则梯形 ABCD 的周长为 ▲ .
D
C
B
A
答案30
3．2010湖南长沙等腰梯形的上底是4cm,下底是10cm,一个底角是60,则等腰梯形的腰长是 cm ．
60°
4cm 6cm A
B C
D
E 4cm
答案6
4．2010江苏无锡如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF 是梯形的中位线,对角线AC 交EF 于G ,若BC =10cm,EF =8cm,则GF 的
长等于 ▲ cm ．
答案3
5．2010 黄冈如图,在等腰梯形ABCD 中,AC ⊥BD,AC ＝6cm,则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2
.
答案18 6．2010湖北武汉如图,在直角梯形ABCD 中,A D ∥BC,∠ABC=90°,BD ⊥DC,BD=DC,CE 平分∠BCD,交AB 于点E,交BD 于点H,EN ∥DC 交BD 于点N,下列结论：①BH=DH ；②CH=
)
21EH ；③
EBH ENH S EH
S EC
∆∆=
.其中正确的是 G
F E D C
B
A 第17题
A 、①②③
B 、只有②③
C 、只有②
D 、只有③
答案 B
7．2010湖南怀化如图5,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ⊥CD,AB=1cm, AD=6cm,CD=9cm,则BC= cm ．
答案10
8．2010江苏扬州如图,在直角梯形ABCD 中,∠ABC ＝90°,AD ∥BC ,AD ＝4,AB ＝5,BC ＝6,点P 是AB 上一个动点,当PC
＋PD 的和最小时,PB 的长为__________．
答案3
9．2010湖北随州如图,在等腰梯形ABCD 中,AC ⊥BD,AC ＝6cm,则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2
.
答案18
10．2010云南昆明如图,在△ABC 中,点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,
若△ABC 的周长为10 cm ,则△DEF 的周长是 cm ．
答案5
11．2010陕西西安如图,在梯形ABCD 中,DC ∥AB,∠A ＋∠B=90°;若AB=10,
AD=4,DC=5,则梯形ABCD 的面积为 ;
A
B
C D
E
F
第11题图
A B
C D
第18题 P
答案18 12．2010湖北十堰如图,n +1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1,四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2,……,四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ,通过逐一计算S 1,S 2,…,可得S n = .
13．2010广东清远如图3,DE 是△ABC 的中位线,若△ADE 的周长是18, 则△ABC 的周长是 .
答案36
14．2010四川攀枝花如图6,在梯形ABCD 中,A B ∥DC,DB ⊥AD,AD=DC=BC=2cm, 那么梯形ABCD 的面积是 ．
答案33cm
2
31321n -+15．2010 重庆江津已知：在面积为7的梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝３,
BC ＝4,P 为边AD 上不与A 、D 重合的一动点,Q 是边 BC 上的任意一点,连结AQ 、DQ ,过P 作PE ∥DQ 交 AQ 于E ,作PF ∥AQ 交DQ 于F ．则△PEF 面积的最大 值是_______________．
图6
D
C
B A
第16题
A
N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
M 1
M 2
M 3
M 4
…
答案
34
16．2010四川攀枝花如图1,在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,且∠AEC=∠DCE, 下列结论不正确的是 A ．Ｓ△AFD =2Ｓ△EFB B ．BF=
2
1
DF C ．四边形AECD 是等腰梯形 D ．∠AEB=∠ADC
答案A
17．2010湖北黄石如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC ＝∠BAC ＝90°,AB ＝2,CD ＝3,则AD 的长为 A.
32
3
D. 32
答案C 三、解答题 1．2010安徽芜湖本小题满分8分如图,直角梯形ABCD 中,∠ADC ＝90°,AD ∥BC ,点E 在BC 上,点F 在AC 上,∠DFC ＝∠AEB ．
1求证：△ADF ∽△CAE ；
2当AD ＝8,DC ＝6,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时,求直角梯形ABCD 的面积 1证明：
B
A
图1
C
E
D
F
答案
2．2010广东广州,18,9分如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC．
求证：∠A＋∠C＝180°
D
A
B C
答案证明：∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠B＝∠C
又∵AD∥BC,
∴∠A＋∠B＝180°
∴∠A＋∠C＝180°
3．2010江苏南京7分如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O,△ABC≌△BAD;
求证：1OA=OB；2AB∥CD.
答案
4．2010江苏盐城本题满分8分如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD．
1求sin∠DBC的值；
2若BC 长度为4cm,求梯形ABCD 的面积．
答案解：1∵AD =AB ∴∠ADB =∠ABD
∵AD ∥CB ∴∠DBC = ∠ADB =∠ABD ……………1分 ∵在梯形ABCD 中,AB =CD ,∴∠ABD +∠DBC =∠C =2∠DBC ∵BD ⊥CD ∴3∠DBC =90o ∴∠DBC =30o ……3分
∴sin ∠DBC =错误! ……………………4分
2过D 作DF ⊥BC 于F …………………………5分
在Rt △CDB 中,BD =BC ×c os ∠DBC =2错误!cm …………………6分 在Rt △BDF 中,DF =BD ×sin ∠DBC =错误!cm …………………7分 ∴S 梯=错误!2+4·错误!=3错误!cm 2………………………………………8分 其它解法仿此得分
5．2010江苏盐城本题满分12分如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,∠DCB =75o,以CD 为一边的等
边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． 1求∠AED 的度数； 2求证：AB =BC ；
3如图2所示,若F 为线段CD 上一点,∠FBC =30o ． 求 错误!的值．
答案
B A C
D F
第22题图
B A
C
D
6．2010 重庆已知：如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90ABC ∠=︒．点E 是DC 的中点,过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ,交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上,且满足AD CF =,MF MA =． 1若
120=∠MFC ,求证：MB AM 2=； 2求证：FCM MPB ∠-
=∠2
1
90 ．
答案
证明：1连结MD ． ························································································ 1分
∵点E 是DC 的中点,ME DC ⊥,∴MD MC =． ············································· 2分 又∵AD CF =,MF MA =,∴AMD ∆≌FMC ∆． ············································· 3分 ∴MAD MFC ∠=∠120=︒． ······································································ 4分 ∵AD ∥BC ,90ABC ∠=︒．
∴90BAD ∠=︒,∴30MAB ∠=︒． ································································· 5分 在Rt AMB ∆中,30MAB ∠=︒,
∴1
2
BM AM =
,即2AM BM =． ·
································································ 6分 2∵AMD ∆≌FMC ∆,∴ADM FCM ∠=∠．
∵AD ∥BC ,∴ADM CMD ∠=∠． ∴CMD FCM ∠=∠． ············································································· 7分
∵MD MC =,ME DC ⊥,∴DME CME ∠=∠1
2
CMD =∠． ······························ 8分
∴1
2
CME FCM ∠=∠． ··········································································· 9分
在Rt MBP ∆中,1
90902
MPB CME FCM ∠=︒-∠=︒-∠． 10分
7．2010 四川南充如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点M 是BC 的中点,且MA ＝MD ． 求证：四边形ABCD 是等腰梯形．
答案证明：∵ MA ＝MD ,∴ △MAD 是等腰三角形,
∴ ∠DAM ＝∠ADM ． ∵ AD ∥BC ,
∴ ∠AMB ＝∠DAM ,∠DMC ＝∠ADM ．
∴ ∠AMB ＝∠DMC ． 又∵ 点M 是BC 的中点,∴ BM ＝CM ． 在△AMB 和△DMC 中,
,,,AM DM AMB DMC BM CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △AMB ≌△DMC ．
24题图
M
P
F
E
D
C
B
A
∴ AB ＝DC ,四边形ABCD 是等腰梯形．
8．2010年上海已知梯形ABCD 中,AD1在图7中,用尺规作∠BAD 的平分线AE 保留作图痕迹,不写作法,并证明四边形ABED 是菱形；
2∠ABC ＝60°,EC=2BE,求证：ED ⊥DC .
答案证明：1如图∵AB=AD,AE 为∠BAD 的平分线,∴BG=DG ,
∵AD2∵四边形ABED 是菱形, ∠ABC ＝60°,∴∠DBE=∠BDE=30°,∠BGE=90°,
设GE=a ,∴
,BE=2a ,CE=4a ,BC=6a ,
∴
BD BE BC BD ==
∵∠DBE 为公共角, ∴ΔBDE ∽ΔBCD, ∴∠BDE=∠C,∴∠C=30°,∵DE ∥AB,∴∠DEC=∠ABC=60°,
∴∠CDE=90°,∴ ED ⊥DC .
9．2010重庆綦江县如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A ＝90°,AB ＝AD ＝6,DE ⊥DC 交AB 于E ,DF 平分∠EDC 交BC 于F ,连结EF ． 1证明：EF ＝CF ；
2当tan ∠ADE ＝1
3
时,求EF 的长．
F
E
D
C
B
A
答案解：1如图,过D 作DG ⊥BC 于G ,连结EF 由已知可得四边形ABGD 为正方形 ∵DE ⊥DC
∴∠ADE ＋∠EDG ＝90°＝∠GDC ＋∠EDG ∴∠ADE ＝∠GDC
又∵∠A ＝∠DGC 且AD ＝GD ∴△ADE ≌△GDC ∴DE ＝DC 且AE ＝GC 在△EDF 和△CDF 中
∠EDF ＝∠CDF ,DE ＝DC ,DF 为公共边 ∴△EDF ≌△CDF SAS ∴EF ＝CF
G
F E
D
C
B
A
图7 G
E D C B
A
A
B
E
C
D
图 1
A
B
C
D
图2
2∵ta n ∠ADE ＝
1
3
AE AD = ∴AE ＝GC ＝2 设EF ＝x ,则BF ＝8－CF ＝8－x ,BE ＝4 由勾股定理x 2
＝2
8x （－）＋42
解得：x ＝5,∴EF ＝5．
10．2010 江苏连云港本题满分10分如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这
个平面图形的一条面积等分线．如,平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线． 1三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
2如图1,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,如果延长DC 到E ,使CE ＝AB ,连接AE ,那么有S 梯形ABCD ＝S △ABE ．请你给出这个
结论成立的理由,并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线不写作法,保留作图痕迹；
3如图,四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行,S △ADC ＞S △ABC ,过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能,请画出
面积等分线,并给出证明；若不能,说明理由．
答案
11．2010 河北如图16,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90B ∠=︒,AD =6,BC =8,33=AB ,点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发
以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ,Q 的运动过程中,以PQ 为边作等边三角形EPQ ,使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ,Q 同时出发,当点P 返回到点M 时停止运动,点Q 也随之停止．
设点P ,Q 运动的时间是t 秒t ＞0．
1设PQ 的长为y ,在点P 从点M 向点B 运动的过程中,写出y 与t 之间的函数关系式不必写t 的取值范围． 2当BP =1时,求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．
3随着时间t 的变化,线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答：该
最大值能否持续一个时段若能,直接．．
写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．
答案解：1y =2t ；
2当BP =1时,有两种情形：
①如图6,若点P 从点M 向点B 运动,有 MB =BC 2
1
= 4,MP =MQ =3,
∴PQ =6．连接EM ,
∵△EPQ 是等边三角形,∴EM ⊥PQ ．∴33=EM
． ∵AB =33,∴点E 在AD 上．
∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分就是△EPQ ,其面
积为39．
②若点P 从点B 向点M 运动,由题意得 5=t ．
PQ =BM +M Q -BP =8,PC =7．设PE 与AD 交于点F ,Q E 与AD 或AD 的
延长线交于点G ,过点P 作PH ⊥AD 于点H ,则 HP =33,AH =1．在Rt △HPF 中,∠HPF =30°, ∴HF =3,PF =6．∴FG =FE =2．又∵FD =2,
∴点G 与点D 重合,如图7．此时△EPQ 与梯形ABCD
P Q 图
16
备用图
图
7
图6
的重叠部分就是梯形FPCG ,其面积为
32
27．
3能．
4≤t ≤5．
12．2010浙江湖州如图,已知在梯形ABCD 中,DC ∥AB ,AD ＝BC ,BD 平分∠ABC ,∠A ＝60°,
1求∠ABD 的度数；
2若AD ＝2,求对角线B D 的长．
答案1∵DC ∥AB ,AD ＝BC ,∴梯形ABCD 是等腰梯形,∴∠ABC ＝∠A ＝60°,又∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD ＝∠CBD ＝
1
2
∠ABC ＝30°． 2∵∠A ＝60°,∠ABD ＝30°,∴∠ADB ＝90°,∴AB ＝2AD ＝4,∴对角线BD ＝224223-= 13．2010 山东滨州如图,四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 1请判断四边形EFGH 的形状并说明为什么.
2若使四边形EFGH 为正方形,那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质
答案解：1 四边形EFGH 为平行四边形.....................................1分
连接AC .............................................. ..............2分
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF ∥AC,EF=2
1
AC. 同理HG ∥AC,HG=
2
1
AC. ∴EF ∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH 是平行四边形. .................... ..............4分
2 四边形ABCD 的对角线垂直且相等.
14．2010广东中山已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF,如图1放置,点B 、D 重合,点F 在BC 上,AB 与
EF 交于点G,∠C=∠EFB=0
90,∠E=∠ABC=0
30,AB=DE=4．
1求证：ΔEGB 是等腰三角形；
2若纸片DEF 不动,问ΔABC 绕点F 逆时针旋转最小 度时,四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形如图2．求
此梯形的高．
答案1证明：在Rt ΔEFB 中,∠E=0
30 ∴∠EBF=0
60 又∵∠ABC=030 ∴∠EBG=∠E=030 ∴EG=BG
∴ΔEGB 是等腰三角形 2解：答案填30,
设CB 交DE 于点M,当∠BFD=0
30时,∠FMD=0
90 所以,AC ∥DE,
即四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形
在Rt ΔABC 和Rt ΔDEF 中,∠E=∠ABC=0
30,AB=DE=4, ∴BC=32,DF=2 ∴CF=32-2
在Rt ΔFDM 中,求得FM=3 ∴CM=32-2+3=33-2 故梯形的高为33-2．
15．2010湖北荆州如图,直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点,边OA,OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA ∥BC,D 是BC 上一点,BD=
4
1
OA=2,AB=3,∠OAB=45°,E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点,且始终保持∠DEF=45°． 1直接写出．．．．D 点的坐标；
2设OE=x,AF=y,试确定y 与x 之间的函数关系；
3当△AEF 是等腰三角形时,将△AEF 沿EF 折叠,得到△EF A ',求△EF A '与五边形OEFBC 重叠部分的面积．
答案解：1D 点的坐标是)22
3,223(. 2连结OD,如图1,
由结论1知：D 在∠COA 的平分线上,则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB 中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2, ∴△ODE ∽△AEF ∴
AE
OD
AF OE =,即：x y x -=243
∴y 与x 的解析式为：
x x y 3
2
4312+-=3当△AEF 为等腰三角形时,存在EF=AF 或EF=AE 或AF=AE 共3种情况.
① 当EF=AF 时,如图2.
∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF 为等腰直角三角形.D 在A ’E 上A ’E ⊥OA, B 在A ’F 上A ’F ⊥EF
∴△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠的面积为 四边形EFBD 的面积.
∵22
522324=-
=-=-=CD OA OE OA AE
∴2
5
2222545sin 0
=⨯=
⋅=AE AF 8
25
)25(21AF EF 21S 2AEF =
⨯=⋅=
∆ ∴4
21
223)2252(21DE AE)(BD 21AEDB =⨯+⨯=⋅+=
梯形S ∴8
17825-421S -S S AEF AEDB BDEF ===∆梯形四边形也可用BD A'EF A'S -S S ∆∆=阴影
②当EF=AE 时,如图3,
此时△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为△A ’EF 面积.
∠DEF=∠EFA=45°, DE ∥AB , 又DB ∥EA ∴四边形DEAB 是平行四边形 ∴AE=DB=2 ∴EF AE 2
1
S S AEF EF
A'⋅=
=∆∆ 1)2(2
1
S 2EF A /=⨯=
∆ ③当AF=AE 时,如图4,四边形AEA ’F 为菱形且△A ’EF 在五边形OEFBC 内. ∴此时△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为△A ’EF 面积.
由2知△ODE ∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE=324- 过F 作FH ⊥AE 于H,则
()
2
2342232445sin -=⨯
-=︒•=AF FH ∴()
448
-241223-43-2421FH AE 21S S AEF EF A'=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛•⨯=•=
=∆∆
综上所述,△A ’EF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为
8
17
或1或448-241
16．2010湖北省咸宁如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90DAB ∠=︒,24AD DC ==,6AB =．动点M 以每秒1个单
位长的速度,从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度,从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时,两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ,与线段CD 的交点为E ,与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t 秒．
1当0.5t =时,求线段QM 的长；
2当0＜t ＜2时,如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,求t 的值；
3当t ＞2时,连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ
RQ
是否为定值,若是,试求这个定值；若不是,请说明理由．
答案解：1过点C 作CF AB ⊥于F ,则四边形AFCD 为矩形．
∴4CF =,2AF =．
此时,Rt △AQM ∽Rt △ACF ．……2分
∴
QM CF
AM AF =
． 即40.52
QM =,∴1QM =． 2∵DCA ∠为锐角,故有两种情况：
①当90CPQ ∠=︒时,点P 与点E 重合．
此时DE CP CD +=,即2t t +=,∴1t =． ②当90PQC ∠=︒时,如备用图1,
此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ,∴EQ MA
PE QM
=． 由1知,42EQ EM QM t =-=-,
而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-, ∴421222t t -=-． ∴53
t =． 综上所述,1t =或5
3
．
3CQ RQ
为定值． 当t ＞2时,如备用图2,
4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．
由1得,4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ． ∴△CRQ ∽△CAB ．
∴63
CQ BC RQ AB === 17．2010北京已知：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ＝AD ＝2,BC ＝4．求∠B 的度数及AC 的长．
A
B
C
D
备用图1
A
B
C
D
备用图2
Q A
B
C
D
l M
P 第24题
E A
B
C
D 备用图1
Q
P E l
M
A
B
C D 备用图2
M Q
R
F
P
Q A
B
C
D
l M P 第24题
E F
答案解法一：分别作AF⊥BC,DG⊥BC,F、G是垂足．∴∠AFB＝∠DGC＝90°．
∵AD∥BC,
∴四边形AFGD是矩形．
∴AF＝DG．
∵AB＝DC,
∴Rt△AFB≌Rt△DGC．
∴BF＝CG．
∵AD＝2,BC＝4,
∴BF＝1．
在Rt△AFB中,∵cos B＝BF
AB
＝
1
2
,
∴∠B＝60°．
∵BF＝1．
∴AF＝3．
由勾股定理,得AC＝23．
∴∠B＝60°,AC＝23．
解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E．
∵AD∥BC,
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD＝EC,AE＝DC．
∵AB＝DC＝AD＝2,BC＝4,
∴AE＝BE＝EC＝AB．
可证△BAC是直角三角形,△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°,∠B＝60°．
在Rt△ABC 中,AC ＝AB ·tan60°＝23． ∴∠B ＝60°,AC ＝＝23．
18．2010北京问题:已知△ABC 中,∠BAC =2∠ACB ,点D 是△ABC 内的一点,且AD =CD ,BD =BA ,探究∠DBC 与∠ABC 度数
的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明． 1当∠BAC =90°时,依问题中的条件补全右图． 观察图形,AB 与AC 的数量关系为 ；
当推出∠DAC =15°时,可进一步推出∠DBC 的度数为 ； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ．
2当∠BAC ≠90°时,请你画出图形,研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与1中的结论相同,写出你的猜想并加以证明．
答案解：1相等；15°；1:3．
2猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与1中的结论相同．
证明：如图2,作∠KCA =∠BAC ,过B 点作BK ∥AC ,交CK 于点K ,连结DK . ∵∠BAC ≠90°
∴四边形ABKC 是等腰梯形． ∴CK =AB , ∵DC =DA , ∴∠DCA =∠DAC ． ∵∠KCA =∠BAC , ∴∠KCD =∠3． ∵△KCD ≌△BAD ． ∴∠2=∠4,KD =BD , ∵BK ∥AC , ∴∠ACB =∠6． ∵∠KCA =2∠ACB , ∴∠5=∠ACB , ∴∠5=∠6． ∴KC =KB , ∴KD =BD =KB ． ∴∠KBD =60°．
C
B
A
∵∠ACB =∠6=60°－∠1, ∴ ∠BAC =2∠ACB =120°－2∠1．
∵∠1 +60°－∠1 +120°－2∠1+ ∠2=180° ∴∠2=2∠1．
∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．
19．2010河南如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=0
45,点P 是BC 边上一动点,
设PB 长为x.
1当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. 2当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行网边形.
3点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由.
答案13或8； 21或11；
3由2知,当BP = 11时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形. ∴EP = AD = 5.
过D 作DF ⊥BC 于F ,则DF = FC = 4 ,∴ FP = 3. ∴ DP 2222345FP DF +=+=.
∴ EP = DP ,故此时平行四边形PDAE 是菱形. 即以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能构成菱形.
20．2010四川乐山在△ABC 中,D 为BC 的中点,O 为AD 的中点,直线l 过点O .过A 、B 、C 三点分别做直线l 的垂线,垂足分别是G 、E 、F ,设AG =h 1,BE =h 2,CF =h 3.
1如图,当直线l ⊥AD 时此时点G 与点O 重合.求证：h 2+h 3= 2h 1； 2将直线l 绕点O 旋转,使得l 与AD 不垂直.
①如图,当点B 、C 在直线l 的同侧时,猜想1中的结论是否成立,请说明你的理由；
②如图,当点B 、C 在直线l 的异侧时,猜想h 1、h 2、h 3满足什么关系.只需写出关系,不要求说明理由
答案25.1证明：∵BE ⊥l ,GF ⊥l ,
∴四边形BCFE 是梯形. 又∵GD ⊥l ,D 是BC 的中点, ∴DG 是梯形的中位线, ∴BE +CF =2DG .
h 2
h 1 E F G
O C A
B
D
h 3 l
h 3 h 1 h 2 E F
l
C
A
B
D
O
G
O h 2
h 1 h 3 F E G l
C
A
B
D
图
图 图
又O 为AD 的中点,∴AG =DG , ∴BE +CF =2AG . 即h 2+h 3= 2h 1. 2成立.
证明：过点D 作DH ⊥l ,垂足为H ,
∴∠AGO =∠DHO =Rt ∠,∠AOG =∠DOH ,OA =OD , ∴△AGO ≌△DHO , ∴DH =AG .
又∵D 为BC 的中点,由梯形的中位线性质, 得2 DH =BE +CF ,即2 AG =BE +CF , ∴h 2+h 3= 2h 1成立.
3h 1、h 2、h 3满足关系：h 2－h 3= 2h 1. 说明：3问中,只要是正确的等价关系都得分 21．2010黑龙江哈尔滨如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形AOCB 是梯形,AB ∥OC,点A 的坐标为0,8,
点C 的坐标为10,0,OB ＝OC ． 1求点B 的坐标；
2点P 从C 点出发,沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动,过点P 作PH ⊥OB,垂足为H,设△HBP 的
面积为SS ≠0,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式直接写出自变量t 的取值范围；
3在2的条件下,过点P 作PM ∥CB 交线段AB 于点M,过点M 作MR ⊥OC,垂足为R,线段MR 分别交直线PH 、
OB 于点E 、G,点F 为线段PM 的中点,连接EF,当t 为何值时,
2
5
EG EF =
答案解：1如图1,过点B 作BN ⊥OC,垂中为N
由题意知OB=OC=10,BN=OA=8
622=-=∴BN OB ON …………1分 ∴B6,8
2如图1,︒=∠=∠∠=∠90OHP ONB POH
BON
BOH ∆∴∽PH
BN
OH ON PO BO POH =
=∴
∆ t PH t OH t OP t PC 48,36,510,5-=-=∴-=∴=∴ 43)36(10+=--=-=∴t t OH OB BH
)20(1646)48)(43(2
1
2<≤++-=-+=
∴t t t t t S
3①当点G 在点E 上方时,
如图2,过点B 作OC BN ⊥',垂足为'N
54'',4',8'22=+=∴==CN BN CB CN BN
PM BC PC BM //,// ∴四边形BMPC 是平行四边形
54==∴BC PM OBC OCB OB OC t PC BM ∠=∠∴===,5
∵PM ∥CB ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90° ∠ODP+∠DPH=90° ∴∠RMP=∠DPH ∴EM=EF ∵点F 为PM 的中点 ∴EF ⊥PM
∵∠EMF=∠PMR ∠EFM=∠PRM=90° ∴△MEF ∽△MPR
分
分其中132522
5
55148522
22
=-=-=∴=∴===∴=-====
==∴
EG EM MG EG EG EF EF ME MR PM PR MR PM
MF PR
EF
MR MF MP ME
∵AB
4
9
=∴'='∴
BM O N MB B N MG 20
9
495=∴=
∴t t 20
21
4215=∴=
=∴t t BM .2
5
,2021209==
∴EG EF t 时或当
答案
23．2010云南昆明已知：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠DCB = 90°,E 是AD 的中点,点P 是BC 边上的动点不与点B 重合,EP 与BD 相交于点O.
1当P 点在BC 边上运动时,求证：△BOP ∽△DOE ； 2设1中的相似比为k ,若AD ︰BC = 2︰3. 请探究：当k 为下列三种情况时,四边形ABPE 是什么四边形①当k = 1
时,是 ；②当k = 2时,是 ；③当k = 3时,是 . 并证明．．．k = 2
时的结论.
答案1证明：∵AD ∥BC
∴∠OBP = ∠ODE 在△BOP 和△DOE 中 ∠OBP = ∠ODE
∠BOP = ∠DOE ∴△BOP ∽△DOE 有两个角对应相等的两
三角形相似
2① 平行四边形
② 直角梯形
③ 等腰梯形
证明：∵k = 2时,
BP
2DE
∴ BP = 2DE = AD
又∵AD ︰BC = 2︰3 BC = 32
AD PC = BC - BP =
32AD - AD =1
2
AD = ED ED ∥PC , ∴四边形PCDE 是平行四边形 ∵∠DCB = 90°
∴四边形PCDE 是矩形 ∴ ∠EPB = 90° 又∵ 在直角梯形ABCD 中 AD ∥BC, AB 与DC 不平行 ∴ AE ∥BP, AB 与EP 不平行
四边形ABPE 是直角梯形
A
B
C D
E P
O
24．2010广东东莞已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ,如图⑴放置,点B 、D 重合,点F 在BC 上,AB 与EF
交于点G ．∠C ＝∠EFB ＝90°,∠E ＝∠ABC ＝30°,AB ＝DE ＝4． ⑴求证：△EGB 是等腰三角形；
⑵若纸片DEF 不动,问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小 度时,四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形如图⑵．求此梯形的高
图（2）
A
B D
F
G
E
C
E
G
F （D ）C
B
A
图（1）
答案⑴∵∠EFB ＝90°,∠ABC ＝30°
∴∠EBG ＝30° ∵∠E ＝30° ∴∠E ＝∠EBG ∴EG ＝BG
∴△EGB 是等腰三角形
⑵在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠ABC ＝30°,AB ＝4
∴BC ＝32；
在Rt △DEF 中,∠EFD ＝90°,∠E ＝30°,DE ＝4 ∴DF ＝2
∴CF ＝232-．
∵四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形 ∴ED ∥AC ∵∠ACB ＝90° ∴ED ⊥CB
∵∠EFB ＝90°,∠E ＝30° ∴∠EBF ＝60° ∵DE ＝4∴DF ＝2 ∴F 到ED 的距离为3
∴梯形的高为2333232-=+- 25．2010江苏 镇江探索发现本小题满分9分
如图,在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A,C 始终在x 轴的正半轴上,B,D 在第一象限
内,点B 在直线OD 上方,OC=CD,OD=2,M 为OD 的中点,AB 与OD 相交于E,当点B 位置变化时,.2
1的面积恒为OAB Rt ∆
试解决下列问题：
1填空：点D 坐标为 ；
2设点B 横坐标为t,请把BD 长表示成关于t 的函数关系式,并化简；
3等式BO=BD 能否成立为什么
4设CM 与AB 相交于F,当△BDE 为直角三角形时,判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.
答案
1)2,2(；1分
2),1,(,21t
t B OAB Rt 得的面积为由∆
,)(222CD AB AC BD -+=
4)1
(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t t
t t t BD ① 2分
.)21
(2)1(22)1(22-+=++-+=t
t t t t t 3分
.21
|21|-+=-+=∴t
t t t BD ② 4分注：不去绝
对值符号不扣分
3法一若OB=BD,则.2
2
BD OB =
,1
,22222t
t AB OA OB OAB Rt +
=+=∆中在 由①得,4)1(2212
2
22
++-1+=+
t t t t t t 5分
)
6(..,024)2(,
012,21
22分此方程无解得BD OB t t t
t ≠∴∴<-=-=∆=+-∴=+
法二若OB=BD,则B 点在OD 的中垂线CM 上.
),2
2,22(
,),0,2(M OCM Rt C 可求得中在等腰∆ ∴直线CM 的函数关系式为2+
-=x y , ③ 5分
,1
,21x
y B OAB Rt =∆点坐标满足函数关系式得的面积为由 ④
联立③,④得：0122
=+-x x ,
)
6(..,024)2(2分此方程无解BD OB ≠∴∴<-=-=∆
法三若OB=BD,则B 点在OD 的中垂线CM 上,如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥
)
6(..
)5(,2
1
21222121,21
0分矛盾显然与分而BD OB S S S S S S S BG HNO DOC MOC OMH OAB OBG ≠∴>=⨯⨯⨯====
=∆∆∆∆∆∆∆
4如果
45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形,
①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90
=∠,如图27 – 2
.//,,DC BF x DC x BF ∴⊥⊥轴轴
∴此时四边形BDCF 为直角梯形.7分 ②当,90时
=∠EBD 如图27 – 3
.
//,,.
//,DC BF x DC x AB CF BD OD CF ∴⊥⊥∴⊥轴轴又
∴此时四边形BDCF 为平行四边形.8分 下证平行四边形BDCF 为菱形：
法一在2
2
2
,BD OD OB BDO +=∆中,
,221,4)1(221412
2
22=+∴++-++=+
∴t t t t t
t t t 方法①OD BD t t 在 ,01222
=+-上方
121
,12;21,12-=+=+=-=t
t t t 或解得舍去.
得),12,12(+-B
方法②由②得：.222221
=-=-+=t
t BD
此时,2=
=CD BD
∴此时四边形BDCF 为菱形9分 法二在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中
)
9(.,
2].
[.221
,122,22)22(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCF CD BD t
t t t t t t BE AE AB T BD ED t OE t AE OA ∴===+=-∴-=-+=+=∴-=====
26．2010 广东汕头已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ,如图1放置,点B 、D 重合,点F 在BC 上,AB 与EF 交于点G ．∠C ＝∠EFB ＝90o,∠E ＝∠ABC ＝30o,AB ＝DE ＝4． 1求证：△EGB 是等腰三角形；
2若纸片DEF 不动,问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小_____度时,四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形如图2．求此梯形的高．
答案1证明：∵∠C ＝∠EFB ＝90o,∠E ＝∠ABC ＝30o,
∴∠EDF ＝60o,∠GBE ＝∠E ＝30o, ∴GB ＝GE
∴△EGB 是等腰三角形．
第20题图1 A B C E F F BD G G A E D 第20题图2
2解：在Rt △BEF 中,由∠E ＝30o 得BF ＝2
1
BE ＝2,EF ＝BC ＝4,BC ＝32 ∴CF ＝232-
∵四边形ACDE 是以ED 为底的梯形 ∴AC ∥DE ∵AC ⊥BC
∴DE ⊥BC
∴∠DFB ＝90o －∠EDF ＝30o ∴旋转的最小角是30o
设图2中CB 交DE 于点M ,则FM ＝3
∴CM ＝CF ＋FM ＝232-＋3＝233-,即此梯形的高为233-．
27．2010 四川泸州在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,DE=4,则BC= ． 答案8
28．2010 湖南湘潭如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,∠D =90o ,AC ⊥BC ,AB =10cm,BC =6cm,F 点以2cm ／秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动,E 点同时以1cm ／秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动,设运动时间为t 秒0<t<5． 1求证：△ACD ∽△BAC ； 2求DC 的长；
3设四边形AFEC 的面积为y ,求y 关于t 的函数关系式,并求出y 的最小值．
B
答案 解：1∵CD ∥AB ,∴∠ BAC =∠DCA ……………………1分
又AC ⊥BC , ∠ACB =90o
∴∠D =∠ACB = 90o
……………………2分 ∴△ACD ∽△BAC ……………………3分 2822=-=
∆BC AB ，AC ABC Rt 中 ……………………4分
∵△ACD ∽△BAC ∴AB
AC AC
DC = ……………………5分 即
108
8=
DC 解得：4.6=DC ……………………6分
（3） 过点E 作AB 的垂线,垂足为G ,
O ACB EGB 90,B ∠=∠=∠公共
∴△ACB ∽△EGB ……………………7分
∴ EG BE AC AB
= 即108t EG = 故t EG 54
= …………………8分
BEF ABC S S y ∆∆-=
=
()2445
4
542102186212+-=⋅--⨯⨯t t t t ……………………9分 25题图
=19)2
5(542+-t 故当t=５２
时,y 的最小值为19 ………………10分
29．2010 广西玉林、防城港等腰梯形ABCD 中,DC ∥AB,对角线AC 与BD 交于点O ,AD ＝DC,AC ＝BD ＝AB ; 1若∠ABD ＝α,求α的度数； 2求证：OB 2＝ OD ⋅BD
答案1∵DC ∥AB ∴∠BDC ＝∠ABD 又ABCD 是等腰梯形
∴∠BDC ＝∠DB C ∴∠BDC ＝∠ABD ＝∠DB C 又AC ＝BD ＝AB ∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α
又AD ＝BC,AB ＝AB AC ＝BD ∴△ABD ≌△BAC ∠BAC ＝∠ABD 在三角形ABC 中有：α＋2α＋2α＝180°,解得：α＝36° 2∵∠COB ＝2α＝＝∠BCO ∴OB ＝BC ＝CD
在△COD 和△BCD 中,∠BDC ＝∠BDC ∠DCA ＝∠CAB ＝∠DBC ＝α
∴△COD ∽△BCD ∴CD BD
OD CD
= 又OB ＝BC ＝CD ∴OB 2
＝ OD ⋅BD
30．2010 湖北咸宁如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90DAB ∠=︒,24AD DC ==,6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度,从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度,从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时,两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ,与线段CD 的交点为E ,与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t 秒．
1当0.5t =时,求线段QM 的长；
2当0＜t ＜2时,如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,求t 的值；
3当t ＞2时,连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ
RQ
是否为定值,若是,试求这个定值；若不是,请说明理由．
答案解：1过点C 作CF AB ⊥于F ,则四边形AFCD 为矩形．
∴4CF =,2AF =．
此时,Rt △AQM ∽Rt △ACF ．……2分
∴
QM CF
AM AF =
． 即40.52
QM =,∴1QM =．……3分 2∵DCA ∠为锐角,故有两种情况：
①当90CPQ ∠=︒时,点P 与点E 重合．
此时DE CP CD +=,即2t t +=,∴1t =．……5分 ②当90PQC ∠=︒时,如备用图1,
A
B
C
D
备用图1
A
B
C
D
备用图2
Q A
B
C
D
l M
P 第24题
E C
D Q
P E l
Q A
B
C
D
l M P 第24题
E F
此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ,∴EQ MA
PE QM
=
． 由1知,42EQ EM QM t =-=-,
而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-, ∴421222t t -=-． ∴53
t =． 综上所述,1t =或5
3
．……8分说明：未综述,不扣分
3CQ RQ
为定值．……9分 当t ＞2时,如备用图2,
4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．
由1得,4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =．
∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ．……11分 ∴△CRQ ∽△CAB ．
∴22422263
CQ BC CF BF RQ AB AB +====．……12分 31．2010鄂尔多斯如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠C=90°,E 为CD 的中点,EF ∥AB 交于点F; 1求证：BF=AD+CF;
2当AD=1,BC=7,且BE 平分∠ABC 时,求EF 的长;
答案1证法一：
如图1,延长AD 交FE 的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC
∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF
∵AB ∥FN,AN ∥BF
∴四边形ABFN 是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC （1） 解：∵AB ∥FN
∴∠1=∠BEF
A
B
C
D 备用图2
M Q
R
F
P
∵∠1=∠2 ∴∠2=∠BEF
∴EF=BE ∴EF=AD+CF=
42
7
12=+=+BC AD 1证法2：如图2
过D 点作DN ∥AB 交BC 于N ∵ADBN,AB ∥DN ∴AD=BN ∵EF ∥AB,∴DN ∥EF ∴△CEF ∽△CDN
∴
CN CF
DC CE =
∵,21=DC CE ∴2
1=CN CF 即NF=CF ∴BF=BN+NF=AD+FC=4
32．2010年山西在直角梯形OABC
中,CB 90=∠COA 。

BA 53=x y x x x BH ⊥3==∴CB OH .336=-=-=∴OH OA AH ABH
Rt ∆63)53(22
2
2=-=-=AH BA BH ∴x EG ⊥BH EG //∴OBH OEG ∆∆∽∴
BH
EG
OH OG OB OE ==EB OE 2= ∴
32=OB OE 633
2EG
OG ==
∴∴4.2==EG OG ∴ b kx y +=⎩
⎨
⎧==+.5,42b b k .5,21
=-=b k y MP ⊥x MP //FOD MPD ∆∆∴∽∴
FD MD OD PD OF MP =
=0=y 当 10,052
1
==+-x x 解得∴∴55105,2222=+=+=∆OF OD FD ODF Rt 中5
55
510=
=∴
PD MP ∴5,52==PD MP ∴)55,52(+-∴)5,52(-x x MP ⊥ 521+-=x y ∴)52
1
,(+-a a OPM Rt ∆222OM PM OP =+∴
22
2
5521=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+a a 0,421==a a ∴∴∴25===OP y y N M ∴2521=+-M x ∴,5=M x ∴
.5-=-=M N x x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛
-25,5x )25,5(),8,4(),5,52(321--N N N ABC
∠E D
A
B
C
AD
BC CD AB =CDE BAE ∠=∠∴E AD ED AE =∴4分
又BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠EBC. ················ 5分 ∴∠ABE=∠AEB , ∴AB =AE ． ·················· 6分
又AD AE 2
1
=
, ∴5AB =． 7分 34．2010辽宁本溪在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,∠B =30°,线段AD 是BC 边上的中线,如图①,将△ADC 沿直线BC 平移,使点D 与点C 重合,得到△FCE ,如图②,再将△FCE 绕点C 顺时针旋转,设旋转角为α0°＜α≤90°,连接AF 、DE .。