三角形解答题单元培优测试卷

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。

A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。

第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）参考答案与试题解析一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第　二　步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【答案】（1）二；（2）证明见解答过程．【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，在△BDE和△ACB中，，∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD 长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作图知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB．。

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。

人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练一、选择题1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是()2. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE相交于点M，则∠DCE等于()A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB3. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS4. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°5. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是()A.点O在点A的南偏东60°方向上B.点B在点A的北偏东30°方向上C.点B在点O的北偏东60°方向上D.点B在点O的北偏东30°方向上6. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()7. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=°.10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．11. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.12. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．13. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．14. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题17. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．18. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.19. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，P是对角线AC上除A，C外的任意一点．求证：∠ABP ＝∠ADP.20. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.21. (1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE＝∠B.故选A.3. 【答案】A4. 【答案】C[解析] 对于选项A来说，AB＋BC<AC，不能画出△ABC；对于选项B来说，可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C来说，已知两边及其夹角，△ABC是唯一的；对于选项D来说，△ABC的形状可确定，但大小不确定．5. 【答案】D[解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.6. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.7. 【答案】A[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】125[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.10. 【答案】AB ＝AC11. 【答案】20[解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△BAD ≌△CAD(SSS)． ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BDF ＝∠B ＋∠BAD ，∠CDF ＝∠C ＋∠CAD ， ∴∠BDF ＋∠CDF ＝∠B ＋∠BAD ＋∠C ＋∠CAD ， 即∠BDC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAC. ∵∠BAC ＝80°，∠BDC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝20°.12. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABDS△ACD ＝12AB·h12AC·h＝43.13. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．14. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS全等三角形的对应角相等内错角相等，两直线平行15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】7[解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G ，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题17. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.18. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD.∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC )=3.19. 【答案】证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，CB ＝CD ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠BAP ＝∠DAP.在△BAP 和△DAP 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ， ∴△BAP ≌△DAP.∴∠ABP ＝∠ADP.20. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.21. 【答案】解：(1)证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°. ∴∠CAE ＝∠ABD.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.(2)成立．证明：∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠EAC ＝180°－α. ∴∠DBA ＝∠EAC.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠DBA ＝∠EAC ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.。

人教版四年级下册数学第五单元《三角形及多边形的内角和》培优测试卷一、填空题(共1．(本题3分)直角三角形中，一个锐角是37°，另一个锐角是( )。

2．(本题3分)一个三角形中，最多有( )个直角，最多有( )个钝角，最少有( )个锐角。

3．(本题2分)用52厘米的铁丝围一个等腰三角形（接头处忽略），其中一条边是24厘米，另外两条边可能是( )厘米和( )厘米。

4．(本题2分)在直角三角形中，一个锐角是45°，另一个锐角是( )°，这也是一个( )三角形．5．(本题3分)钝角三角形只有一组底和高．．6．(本题3分)一个直角和一个锐角的和，一定( )平角。

（填“大于”“小于”或“等于”）。

7．(本题4分)在一个三角形中，一个角是70度，一个角是55度，这个三角形既是( )三角形，又是( )三角形。

8．(本题4分)一个三角形中两个内角是46°和75°，另一个内角是( )°，这是一个( )三角形．9．(本题3分)在等腰三角形中，其中一个角是100°，则另外两个角分别是________°和________°，这是一个________三角形。

（填“锐角”“钝角”或“直角”）二、判断题(共10分)10．(本题2分)三角形中两条较短的边长度的和小于第三条边．( )11．(本题2分)有三个角是钝角的三角形叫做钝角三角形．( )12．(本题2分)三角形的高有无数条。

( )13．(本题2分)正方形和平行四边形的四条边都相等。

( )14．(本题2分)一个三角形中，两个内角的和小于第三个内角，这个三角形一定是锐角三角形．（判断对错）三、选择题(共15分)15．(本题3分)下面的三组线段中，（）能围成一个三角形。

A．2、4、6B．5、6、7C．3、7、1316．(本题3分)（）三角形是轴对称图形．A．等边B．直角C．锐角17．(本题3分)等腰三角形的两个底角必定是（）。

2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（一）一．选择题1．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2cm、4cm、5cm B．15cm、20cm、25cmC．0.2cm、0.3cm、0.4cm D．1cm、2cm、2.5cm2．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等3．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠C＝30°，则∠D的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．已知在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，则这个三角形的最短边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm5．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A 和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC ＝3，则BD的长度为（）A．B．2 C．D．37．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知AD 为△ABC 的高线，AD ＝BC ，以AB 为底边作等腰Rt △ABE ，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①∠DAE ＝∠CBE ；②CE ⊥DE ；③BD ＝AF ；④△AED 为等腰三角形；⑤S △BDE ＝S △ACE ，其中正确的有（ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤二．填空题 11．在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则△ABC 的面积为＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26cm ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，则点C 与点D 的距离是 cm ．13．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2交于点O ．若∠B ＝35°，则∠AOC ＝ °．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°．AB ＝5，AC ＝13，BC ＝12，∠BAC 与∠ACB 的角平分线相交于点D ，点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且∠MDN ＝45°，连接MN ，则△BMN 的周长为 ．15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC上的一点，连接AP，作∠APD＝∠B，交AC于点D，且∠PDC＝∠BAP，作AE⊥BC于点E．（1）∠EAP的大小＝（度）；（2）已知AP＝6，①△APC的面积＝；②AB•PE的值＝．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD，AE边交CB 的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连结CF．（1）求证：BE＝CF；（2）若∠ACF＝100°，求∠BAD的度数．18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．19．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A △ABC运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10．（1）如图1，求点C到边AB距离；（2）点M是AB上一动点．①如图2，过点M作MN⊥AB交AC于点N，当MN＝CN时，求AM的长；②如图3，连接CM，当AM为何值时，△BCM为等腰三角形？21．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论．22．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，3）．（1）如图1，若点B在x轴正半轴上，点A（1，﹣1），AB＝BC，AB⊥BC，则点B坐标为．（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，∠BFN＝45°，NF交直线CE于点N，若点B（﹣1，0），BN＝5，求点N坐标．（3）如图3，若点B，F分别在x，y轴的正半轴上，CF＝BF，连接CB，点P、Q是BC上的两点，设∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∠BFC＝2∠PFQ，则以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形的形状为（①钝角三角形②直角三角形③锐角三角形④随线段的长度而定），请选择，并给出证明．参考答案一．选择题1．解：A、∵22+42≠52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；B、∵152+202＝252，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；C、∵0.22+0.32≠0.42，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；D、∵12+22≠2.52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；故选：B．2．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；故选：D．3．解：在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠D＝∠C，∵∠C＝30°，∴∠D＝30°，故选：A．4．解：在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，∴这个三角形的最短边长为×8＝4（cm）．故选：B．5．解：根据题意可得：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴AB＝DE，∴依据是SAS，故选：D．6．解：设CD＝x，∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2x，即BD＝AD＝2x，∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，解得：x＝1，即BD＝2x＝2，故选：B．7．解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴＝，∵E为HD中点，∴＝，∴＝，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，∴EM＝AE＝3，∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，则HG＝2EN＝2．故选：B．8．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S＝×3×4＝6．△ODQ故选：D．9．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，若③成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，故选：C．10．解：①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD＝90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°，AE＝BE，∴∠CBE+∠BAD＝45°，∴∠DAE＝∠CBE，故①正确②在△DAE和△CBE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；∴∠EDA＝∠ECB，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠ECB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠AFE＝∠ADC+∠ECD，∴∠BDE＝∠AFE，∵∠BED+∠BEF＝∠AEF+∠BEF＝90°，∴∠BED＝∠AEF，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD＝AF；故③正确；④∵AE≠DE，∴△ADE不是等腰三角形，⑤∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF ＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF ＝S△BED，∴S△BDE ＝S△ACE．故⑤正确；故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝，故答案为：30．12．解：连接CD，∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∵∠B+∠A＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴CD＝AB＝13（cm），故答案为：13．13．解：连接BO并延长，点D在BO的延长线上∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，∴OA＝OB，OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，∴∠AOD＝2∠ABO，∠COD＝2∠CBO，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2（∠ABO+∠CBO）＝70°，故答案为：70．14．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB＝＝5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，，∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x＝；∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP＝．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或．故答案为：1或．16．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠B+∠BAP+∠APB＝180°，∠APD+∠DPC+∠APB＝180°，∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠DPC，∵∠BAP＝∠PDC，∴∠DPC＝∠PDC，∵∠C＝45°，∴∠DPC＝∠PDC＝67.5°，∵∠B＝∠APD＝45°，∠PDC＝∠APD+∠PAC，∴∠PAC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝×90°＝45°，∴∠EAP＝∠EAC﹣∠PAC＝45°﹣22.5°＝22.5°；故答案为：22.5；（2）①过点C作CG⊥AP交AP延长线于G，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PF⊥AC于F，如图所示：∴∠BHA＝∠AGC＝90°，∵∠BAH+∠GAC＝90°，∠ACG+∠GAC＝90°，∴∠BAH＝∠ACG，在△ABH和△CAG中，，∴△ABH≌△CAG（AAS），∴AH＝CG，∵∠BAP＝67.5°，∠APB＝180°﹣∠APD﹣∠DPC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BAP＝∠APB，∴AB＝BP，∵BH⊥AP，∴AH＝PH＝AP＝×6＝3，∴CG＝AH＝3，＝AP•CG＝×6×3＝9，∴S△APC故答案为：9；＝AC•PF，②∵S△APC∴AC•PF＝18，∵∠EAP＝∠CAP＝22.5°，PF⊥AC，PE⊥AE，∴PE＝PF，∵AB＝AC，∴AB•PE＝AC•PF＝18．故答案为：18．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD．又∵∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EAB．在△ACF和△ABE中，，∴△ACF≌△ABE（SAS）．∴BE＝CF．（2）解：∵△ACF≌△ABE．∴∠ABE＝∠ACF＝100°，∴∠ABC＝80°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝20°，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝10°．18．（1）证明：连接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．19．解：（1）设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，∴AB＝BD+AD＝5x，由勾股定理得，AC＝＝5x，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；＝90cm2，（2）∵S△ABC∴×5x×4x＝90，解得，x＝3，∴BD＝6m，AD＝9m，CD＝12m，由题意得，BP＝t，AQ＝t，则AP＝15﹣t，当DQ∥BC时，∠ADQ＝∠ABC，∠AQD＝∠ACB，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝9，即t＝9，当PQ∥BC时，∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ，即15﹣t＝t，解得，t＝7.5，综上所述，当△DPQ的边与BC平行，t的值为9或7.5；（3）在Rt△CDA中，点E是AC的中点，∴DE＝AC＝AE＝7.5，∴当点P与点A重合时，△PDE为等腰三角形，此时t＝15，如图3，当DP＝DE＝7.5时，BP＝BD+DP＝13.5，此时t＝13.5，如图4，当PD＝PE时，△PDE为等腰三角形，作EH⊥AB于H，∵ED＝EA，∴DH＝DA＝4.5，设DP＝EP＝x，由勾股定理得，EH＝＝6，∴PH＝x﹣6，在Rt△EHP中，EP2＝EH2+PH2，即x2＝62+（x﹣4.5）2，解得，x＝，则BP＝6+＝，综上所述，当△PDE为等腰三角形时，t的值为15或13.5或．20．解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即82+BC2＝102，解得，BC＝6，∵，∴10CD＝6×8，∴CD＝，∴点C到边AB的距离为；（2）①连接BN，如图2所示：∵MN⊥AB，∴∠BMN＝90°，∴∠BMN＝∠ACB＝90°，在Rt△BCN与Rt△BMN中，∴Rt△BCN≌Rt△BMN（HL），∴BC＝BM，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣6＝4，∴AM的长为4cm；②当AM为5、4或时，△BCM为等腰三角形．当BM＝CM时，△BCM为等腰三角形，如图3所示：∵BM＝CM，∴∠BCM＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠BCM+∠ACM＝90°，∴∠A＝∠ACM，∴AM＝CM，∴AM＝BM＝AB，∴AM＝5；当BM＝BC＝6时，△BCM为等腰三角形，如图4所示：AM＝AB﹣BM＝4；当BC＝CM＝6时，△BCM为等腰三角形，如图5所示，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，∴BD 2+（）2＝62，∴BD＝，∵BC＝CM，CD⊥AB，∴DM＝BD＝，∴AM＝AB﹣BD﹣DM＝．21．解：（1）∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△CPD和△BPA中，，∴△CPD≌△BPA（ASA），∴AB＝CD＝100（米），故答案为：100；（2）如图2，延长EM交BC于F，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠CED＝90°，∴DE∥BC，∴∠MDE＝∠MBF，在△MED和△MFB中，，∴△MED≌△MFB（ASA）∴EM＝FM，DE＝BF，∵DE＝AE，∴EA＝FB，∵CA＝CB，∴CA﹣EA＝CB﹣FB，即CE＝CF，∵EM＝FM，∴MC＝ME，MC⊥ME，故答案为：MC＝ME，MC⊥ME；（3）MC＝ME，MC⊥ME，理由如下：如图3，延长EM至H，使MH＝EM，连接BH、CE、CH，在△MDE和△MBH中，，∴△MDE≌△MBH（SAS），∴BH＝DE＝AE，∠MDE＝∠MBH，∵∠MDE＝135°，∠ABC＝45°，∴∠CBH＝90°，在△CAE和△CBH中，，∴△CAE≌△CBH（SAS），∴CE＝CH，∵ME＝MH，∴MC＝ME，MC⊥ME．22．解：（1）如图1，过点C作CD⊥OB于D，过点A作AH⊥OB于H，∵点C的坐标为（3，3），点A（1，﹣1），∴CD＝OD＝3，OH＝AH＝1，∵AB⊥BC，CD⊥OB，AH⊥OB，∴∠ABC＝∠AHB＝∠CDB＝90°，∴∠ABH+∠CBD＝∠ABH+∠HAB＝90°，∴∠CBD＝∠HAB，又∵AB＝BC，∴△ABH≌△BCD（AAS），∴BD＝AH＝1，∴BO＝4，∴点B（4，0），故答案为：（4，0）；（2）∵点C的坐标为（3，3），点B（﹣1，0），∴CE＝CF＝OE＝3，BO＝1，∴BE＝4，∴EN＝＝＝3，∴点N（3，﹣3）；（3）如图3，将△CPF绕点F顺时针旋转2θ，得到△BGF，∴△CPF≌△BGF，∴FG＝FP，BG＝CP，∠CFP＝∠BFG，∠C＝∠FBG，∵∠BFC＝2∠PFQ，∴∠CPF+∠BFQ＝∠PFQ，∴∠BFG+∠BFQ＝∠PFQ，又∵FG＝PF，FQ＝FQ，∴△PFQ≌△GFQ（SAS），∴GQ＝PQ，∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形就是以线段BQ，GQ，GB长度为边长的△BGQ，∵∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∴∠BFC＝2∠PFQ＜90°，∴∠C+∠FBC＞90°，∴∠GBF+∠FBC＞90°，∴△BGQ是钝角三角形，∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形是钝角三角形，故答案为①．。

2020年中考数学考点过关培优训练卷：《三角形》一．选择题（每小题4分，共40分）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（）A．点G是△ABC的重心B．DE∥BCC．△ABC的面积＝2△ADE的面积D．BG＝2GE3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），在坐标轴上找到一点P，使△AOP为等腰三角形，这样的点P个数为（）A．8个B．7个C．6个D．5个4．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝11，AC＝5，则BE的长（）A．3B．2C．5D．45．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°6．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△A EC 的周长是11，则AB＝（）A．28B．18C．10D．77．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若A C＝4BE，则S△ABC ＝8S△BDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高为8，点A离点C的距离是3，点B离点D的距离是2．一只蚂蚁沿长方体表面从点A爬到点B，其最短距离是（）A．5B．3C．D．109．下列四组数中不是勾股数的一组是（）A．4，5，6B．7，24，25C．5，12，13D．11，60，61 10．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（）A．只与AB、CD的长有关B．只与AD、BC的长有关C．只与AC、BD的长有关D．与四边形ABCD各边的长都有关．二．填空题（每小题4分，共20分）11．已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC交AC于D，那么AD：AC＝．12．已知△ABC是等腰三角形，其边长为3和7，△DEF≌△ABC，则△DEF的周长是．13．在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝，AB＝．14．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连结DE 并延长至点F，使EF＝AE，连结AF、BE和CF．则图中全等三角形共有对．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P1，P2，P3，…，P n﹣1将AC分成n等份，过点P1，P2，P3，……，P n﹣1分别作AC的垂线，交AB于点N1，N2，N3，……，N n﹣1，用S1，S2，S3，……，S n分别表示△CBN2，△P1N1N2，△P2N2N3，…△P n﹣1N n﹣1A的面积，则S1+S2+S3+……+S n＝．三．解答题（每题8分，共40分）16．如图，将一张长方形的纸条ABCD 沿EF 折叠，若折叠后∠AGC ′＝48°，AD 交EC ′于点G ．（1）求∠CEF 的度数；（2）求证：△EFG 是等腰三角形．17．如图，平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，以AB 为斜边向上作等腰直角△ABC ，BC 交y 轴于点D ，C （﹣2，4）． （1）如图1，求点B 的坐标；（2）如图2，动点E 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正半轴运动，设运动时间为t 秒，连接CE ，设△ECD 的面积为S ，请用含t 的式子来表示S ；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E 在OD 的延长线上时，点F 在直线CE 的下方，且CF ⊥CE ，CF ＝CE ．连接AD ，取AD 的中点M ，连接FM 并延长交AO 于点N ，连接FO ，当S △NFO ＝10S △AMN 时，求S 的值．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．（2）若∠CDE＝25°，求∠A的度数．19．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点．（1）线段FD与线段FC的数量关系，位置关系；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a（0°＜a＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．20．在平面直角坐标系中，A（2，2），AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C．（1）如图1，求证：OA平分∠BOC；（2）如图2，点E、F分别在y轴、x轴的正半轴上，且AE⊥AF，EF交AC于点G，DG ∥x轴交OA于点D，连DE，求∠DEF的度数；（3）如图3，点E、D分别在y轴、x轴的正半轴上，且AC＝CD，F为EC的中点，连BF，过F作FK⊥BF交AD于点K，求∠KBF的度数．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝40°∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．故选：B．2．解：∵△ABC的中线BE与CD交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴DE∥BC且DE＝BC，所以选项A、B正确；∵点G是△ABC的重心，根据重心性质或利用三角形相似可得BG＝2GE，∴选项D正确；由△ADE∽△ABC，可知△ABC的面积＝4△ADE的面积，所以选项C错误．故选：C．3．解：如图所示，AO为底边时，点P可以有两个位置，AO为腰长时，点P可以有6个位置，所以，符合条件的点P共有8个．故选：A．4．解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝11，AC＝5，∴BE＝（11﹣5）＝3．故选：A．5．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．6．解：∵DE是BC的中垂线，∴BE＝EC，则AB＝EB+AE＝CE+EA，又∵△ACE的周长为11，故AB＝11﹣4＝7，故选：D．7．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ，∵∠C ＝90°，DE ⊥A B ，∴∠C ＝∠E ＝90°，∵AD ＝AD ，∴△DAC ≌△DAE （AAS ），∴∠CDA ＝∠EDA ，∴①AD 平分∠CDE 正确；无法证明∠BDE ＝60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE +AE ＝AB ，AE ＝AC ，∵AC ＝4BE ，∴AB ＝5BE ，AE ＝4BE ，∴S △ADB ＝5S △BDE ，S △ADC ＝4S △BDE ，∴S △ABC ＝9S △BDE ，∴④错误；∵∠BDE ＝90°﹣∠B ，∠BAC ＝90°﹣∠B ，∴∠BDE ＝∠BAC ，∴②∠BAC ＝∠BDE 正确．故选：B ．8．解：如图1，AB ＝＝； 如图2，AB ＝＝＝3， ∵， ∴一只蚂蚁沿长方体表面从点A 爬到点B ，其最短距离是3， 故选：B ．9．解：A、∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，故本选项符合题意；B、∵72+242＝252，∴7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴5，12，13是勾股数，故本选项不符合题意；D、∵112+602＝612，∴11，60，61是勾股数，故本选项不符合题意；故选：A．10．解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：假设AB＝AC＝1，那么在△ACB和△BCD中，∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC＝BC：DC，∴AC：BC＝BC：DC，而BC＝BD＝DA（等腰的性质）所以设AD＝x，那么CD＝1﹣x，1：x＝x：（1﹣x），所以舍负根，得到：x＝，∴AD：AC＝．12．解：当3为腰时，3+3＝6，∵6＜7，∴3、3、7不能组成三角形；当7为腰时，3+7＝10，∵7＜10，∴3、7、7能组成三角形．∴△ABC的周长为3+7+7＝17．又∵△DEF≌△ABC，∴△DEF的周长是17．故答案为：17．13．解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．故答案为：48；28．14．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，又∵CD＝CE，∴△CDE是等边三角形，AE＝BD，∴CD＝CE＝DE，∠DEC＝∠AEF＝60°，又∵AE＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠CAF＝60°，AE＝AF＝EF，∴BD＝EF，∴DF＝CB，∴△ABE≌△ACF（SAS），△BCE≌△FDC（SAS），△BDE≌△FEC（SSS），∴图中全等三角形共有3对，故答案为：3．15．解：如图，由题意S1＝8×＝8×，S2＝8×，S3＝8×，…，S n＝8×，∴S1+S2+S3+……+S n＝8×[]＝8×＝，故答案为．三．解答题（共5小题）16．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．17．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，又∵CF ＝CE ，∴△HCE ≌△DCF （SAS ），∴HE ＝FD ＝6﹣t ，∠CDF ＝∠CHE ＝45°，∵∠CBA ＝45°，∴∠CDF ＝∠CBA ，∴FD ∥AB ，∴∠FDM ＝∠NAM ，∵M 是AD 中点，∴DM ＝AM ，又∵∠FMD ＝∠NMA ，∴△DMF ≌AMN （ASA ），∴AN ＝FD ＝6﹣t ，∵DM ＝AM ，∴S △DMF ＝S △AMF∵△DMF ≌△AMN ，∴S △DMF ＝S △AMN ，∴S △NF A ＝2S △AMN∵S △NFO ＝10S △AMN∴S △NFO ＝5S △NF A ，∴5AN ＝ON ，∵OA ＝6，∴AN ＝1，∴AN ＝6﹣t ＝1，∴t ＝5，∴S ＝t ﹣2＝5﹣2＝3．18．（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ECD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD ，∴DE＝CE．（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝25°，∴∠ACB＝2∠ECD＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°．19．解：（1）如图1中，∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，∴DF＝AF＝EF＝CF，∴∠F AD＝∠FDA，∠F AC＝∠FCA，∴∠DFE＝∠FDA+∠F AD＝2∠F AD，∠EFC＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠F AD+∠F AC）＝90°，∴DF＝FC，DF⊥FC，故答案为：DF＝FC，DF⊥FC．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC＝CM，∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，∵AF＝FE，AC＝CM，∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，∴FD＝FC，∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，∴∠BAN+∠AOH＝90°，∴∠AHO＝90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC．（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．综上所述，≤BF≤3．20．（1）证明：∵A（2，2），AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C．∠BOC＝90°，∴AB＝AC＝2，四边形ABOC是矩形，∴四边形ABOC是正方形，∴OA平分∠BOC；（2）解：∵四边形ABOC是正方形，∴∠BAC＝90°，∠OAC＝45°，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠EAF+∠BOC＝180°，∴A、E、O、F四点共圆，∴∠OAE＝∠OFE，∵DG∥x轴，∴∠DGE＝∠OFE，∴∠OAE＝∠DGE，∴A、E、D、G四点共圆，∴∠DEF＝∠OAC＝45°；（3）解：延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，如图3所示：∵四边形ABOC是正方形，∴OB∥AC．∴∠EBF＝∠CGF，∠BEF＝∠GCF．∵F是CE的中点，∴EF＝CF．在△BEF和△GCF中，，∴△BEF≌△GCF（AAS），∴BF＝GF．∵BF⊥FK，∴∠BFK＝∠GFK＝90°．在△BFK和△GFK中，，∴△BFK≌△GFK（SAS），∴BK＝GK．∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．∵KN⊥AC，∴∠ANK＝90°，∴∠AKN＝45°，∴AN＝KN，∵KM⊥AB，∴四边形AMKN是正方形，∴KM＝KN．∠M＝∠GNK＝90°，AM∥KN．在Rt△BKM和Rt△GKN中，，∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL），∴∠MBK＝∠NGK．∠GKN＝∠BKM．∵AM∥KN，∴∠BKN＝∠MBK．∵∠BKM+∠BKN＝90°，∴∠GKN+∠BKN＝90°，即∠BKG＝90°．∵BK＝GK，∴△BKG是等腰直角三角形．∴∠KBF＝45°．。

浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（ ）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ． 故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ， 设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ， 在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ， 由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米）， 在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米）， 则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（ ） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（ ）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ， 故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2， 即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ， 则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等）， 且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝ ．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35， 设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ． 在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH， 则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ， 答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12， 解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2， 解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。

第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（ ） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（ ） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（ ） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离； （2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ． （1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值； （3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（浙教版）【单元测试】第1章三角形的初步认识（夯实基础培优卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10有个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知△ABC的三个内角度数之比为3△4△5，则此三角形是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．不能确定2．如图，直线a∥b，AC△AB，AC交直线b于点C，△1＝60°，则△2的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．50°3．如图，△B+△C+△D+△E―△A等于（）A．180°B．240°C．300°D．360°4．在下列命题中，为真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．同旁内角互补D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行5．小欣在一次游戏活动中，从三角形的一个顶点A 出发，沿三角形的三条边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，则他在行程中所转的各个角的度数和（）A ．90°B ．180°C ．360°D ．270°6．如图，ABC EFD ≌，那么下列结论正确的是（ ）A ．EC BD =B ．EF AB ∥C ．DE BD = D ．AC ED ∥7．下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．如图，在△ABC 和△DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，BC EF ∥，AC ＝DF ，只添加一个条件，能判定△ABC △△DEF 的是（ ）A ．BC ＝EFB ．AE ＝DBC ．△A ＝△DEFD ．△A ＝△D9．如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的AOB ∠的两边上，分别截取,OC OD ，使OC OD =．再分别以点C ，D 为圆心、大于12CD 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点P ，作射线OP ，则射线OP 就是AOB ∠的平分线．其作图原理是：OCP ODP △≌△，这样就有AOP BOP ∠=∠，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS10．如图1，已知 AB=AC ，D 为△BAC 的平分线上一点，连接 BD 、 CD ；如图2，已知 AB= AC ，D 、E 为△BAC 的平分线上两点，连接 BD 、CD 、BE 、CE ；如图3，已知 AB=AC ，D 、E 、F 为△BAC 的平分线上三点，连接BD 、CD 、BE 、CE 、 BF 、CF ；…，依次规律，第 n 个图形中全等三角形的对数是（ ）A ．nB ．2n -1C ．()12n n +D ．3（n+1）二、填空题（本大题共8有小题，每题3分，共24分）11．如图，DBC ∠与ECB ∠是ABC ∆的两个外角，BF 平分DBC ∠交ECB ∠的平分线于点F .若60F ∠=︒，则A ∠=________．12．“同一平面内，若a △b ，c △b ，则a △c ”这个命题的条件是___________________________，结论是__________，这个命题是____________命题．13．如图，△ABC △△DBE ，△C =45°，△ABE =70°，△ABD =40°，则△D 的度数为____________．14．如图，PAC △△PBD △，若40A ∠=︒，20BPD ∠=︒，则PCD ∠的度数为______．15．如图，已知点A ，C 在线段BD 两侧，AB AD =，CB CD =，线段AC ，BD 相交于点O ．下列结论：①ABC ADC ∠=∠；②AC BD ⊥；③AC 平分BAD ∠；④OB OD =．其中正确的是_________（填写所有正确结论的序号）．16．如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中ABC 是格点三角形，请你找出方格中所有与ABC 全等，且以A 为顶点的格点三角形．这样的三角形共有_____个（ABC 除外）．17．如图ABC 中，40B ∠=︒，50C ∠=︒．通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF 是线段AB 的_________，射线AE 是DAC ∠的_____；并求DAE ∠的度数为_________．C，点Q 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点(0,4)S=分别以AC、CQ为腰，点C为直角项点在第一、第二象限作等腰Rt CAN、在x轴的负半轴上，且12CQA等腰Rt QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为__________．三、解答题（本大题共6有小题，共66分；第19小题8分，第20-21每小题10分，第22-23每小题12分，第24小题14分）19．如图已知△ABC△△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，△A＝85°，△B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求△F的度数与DH的长；（2）求证：AB△DE．20．如图，把三角形纸片'A BC沿D折叠，点A'落在四边形BCDE内部点A处，（1）写出图中一对全等的三角形，井写出它们的所有对应角．∠∠的度数分别是多少(用含x或y的式子表示)？（2）设AED∠的度数为x，ADE∠的度数为y，那么1,2（3）A∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，井说明理由．∠与1221．小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知a b ∥，小宋把三角板的直角顶点放在直线b 上．若140∠=︒，直接写出2∠的度数；若1m ∠=︒，直接写出2∠的度数（用含m 的式子表示）．(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A ，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b 重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a 上，求1∠的度数．22．一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.【发现猜想】（1）如图①，已知△AOB ＝70°，△AOD ＝100°，OC 为△BOD 的角平分线，则△AOC 的度数为 ；.【探索归纳】（2）如图①，△AOB ＝m ，△AOD ＝n ，OC 为△BOD 的角平分线. 猜想△AOC 的度数（用含m 、n 的代数式表示），并说明理由.【问题解决】（3）如图②，若△AOB ＝20°，△AOC ＝90°，△AOD ＝120°.若射线OB 绕点O 以每秒20°逆时针旋转，射线OC 绕点O 以每秒10°顺时针旋转，射线OD 绕点O 每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA 重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？23．在等腰直角三角形ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线PQ 过点A 且PQ //BC ，过点B 为一锐角顶点作Rt△BDE ，△BDE ＝90°，且点D 在直线PQ 上（不与点A 重合）．(1)如图1，DE 与AC 交于点M ，若DF △PQ 于点D 交AB 于点F ，求证：△BDF △△MDA ；(2)在图2中，DE 与CA 延长线交于点M ，试猜想线段BD 、ED 、EM 的数量关系，并证明你的猜想．(3)在图3中，DE 与AC 延长线交于点M ，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．24．直线m 与直线n 相交于C ，点A 是直线m 上一点，点B 是直线n 上一点，ABC ∠的平分线BP 与DAB ∠的平分线AE 的反向延长线相交于点P ．(1)如图1，若90ACB ∠=︒，则P ∠=__________；若ACB α∠=，则P ∠=__________（结果用含α的代数式表示）；(2)如图2，点F 是直线n 上一点，若点B 在点C 左侧，点F 在点C 右侧时，连接AF ，CAF ∠与AFC ∠的平分线相交于点Q ．①随着点B 、F 的运动，APB AQF ∠+∠的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；②延长AQ 交直线n 于点G ，作QH∥CF 交AF 于点H ，则,,AGC HQF ACB ∠∠∠三个角之间是否存在某种数量关系，请说明理由．。

北师大版七年级数学下册第四章三角形培优测试试卷一、选择题（共10题；共30分）1.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能2.一个三角形的三边长分别为x、2、3，那么x的取值范围是（）A.2＜x＜3B.1＜x＜5C.2＜x＜5D.x＞23.如图是一架婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝130°，∠3＝40°，那么∠2的度数是()A.80°B.90°C.100°D.102°4.边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，则满足条件的三角形的个数为（）A.7B.8C.9D.105.如图．在△ABC中．∠B=30°．∠C=70°．AD是△ABC的一条角平分线．则∠CAD的角数为()A.40°B.45°C.50°D.55°6.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=65°，则∠COE的度数为（）A.40°B.60°C.70°D.100°7.如图，AB∥ED，CD＝BF，若要说明△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是()A.AC＝EFB.AB＝EDC.∠B＝∠ED.不用补充8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如右图所示），可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角9.如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（共6题；共24分）11.木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，要再找一根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有70cm、200cm、300cm三根木条，他可选择长为________的木条．12.已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，而第三边x的长是一个偶数，则这个三角形第三边x的长是________cm，周长是________cm．13.如图，E点为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，若MB＝6cm，CN＝4cm，则AB＝________．14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为________．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为________．16.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB=________．三、作图题（共1题；共8分）17.已知△ABC，按下列要求作图：（尺规作图，保留痕迹不写作法。

第11章《三角形》培优测试题一．选择题（共10小题）1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（）A．5cm，8cm，2cm B．5cm，8cm，13cmC．5cm，8cm，5cm D．2cm，7cm，5cm2．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．20°C．55°D．30°3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．在△ABC中，若AB=9，BC=6，则第三边CA的长度可以是（）A．3B．9C．15D．166．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO 等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°8．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°10．如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共8小题）11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在B C的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．13．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．14．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为．15．在△ABC中，∠C=∠A=∠B，则∠A= 度．16．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 度．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是．三．解答题（共7小题）19．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．21．如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．22．如图，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=52°，求∠EAD的度数．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE= 度；（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE= ；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．24．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB 的度数．25．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC 的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．参考答案一．选择题1． C．2． A．3． D．4． C．5． B．6． A．7． C．8． C．9． B．10． A．二．填空题11． 1＜a＜4．12．101°．13．115°．14． 10．15．60．16． 10．17．30°．18．50°．三．解答题19．解：（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．20．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．21．解：（1）证明：如图①，设BD、AD与CE的交点为M、N；△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C；△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（2）结论仍然成立，以图③为例；延长CE交AD于F，设CE与BD的交点为M；同（1）可知：∠DMF=∠B+∠E，∠DFM=∠A+∠C；在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．22．解：∵AD为高，∠B=28°，∴∠BAD=62°，∵∠ACD=52°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°，∵AE是角平分线，∴∠BAE=BAC=12°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°．23．解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，∵CF∥AD，∴∠CFE=∠DAE=20°；故答案为：20；（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA），∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA﹣∠B）=y﹣x．故答案为： y﹣x；（3）（2）中的结论成立．∵∠B=x，∠ACB=y，∴∠BAC=180°﹣x﹣y，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y，∵CF∥AD，∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y，∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y，∵AE⊥BC，∴∠FEC=90°，∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．24．解：∵AD=BD，∠A=23°，∴∠ABD=∠A=23°，∵BG∥EF，∠BC E=44°，∴∠DBC=∠BCE=44°，∴∠ABC=44°+23°=67°，∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．25．解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）．证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）．理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。

《解三角形》中解答题压轴题培优训练（1）（满分100分时间：60分钟）班级姓名得分一、解答题1.已知向量a⃗=(cos32x,sin32x),b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2]，求：(1)a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |的最小值为−32，求实数λ的值．2.如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E，甲到达D，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF=π3，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小值3.如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2√2，点M在线段PQ上．(1)若OM=√5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．4.如图，某机械厂欲从AB=2米，AD=2√2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB=EF，AF<BE.设∠BEF=θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域;(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．5.武汉是我国著名的“火炉”城市之一，如图，武汉某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条夹角为即∠AOB)的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为|AB|且落在小路上，要求弦长|AB|=2√3，记弓形花园的顶点为M，且∠MAB=∠MBA=π6，设∠OBA=，(1)将OA，OB用含有θ的关系式表示出来；(2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即OA，OB长度)，才使得喷泉M与山庄O距离即|OM|值最大？6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足cosAcosB +ab=2cb且b=4(1)求角B;(2)求△ABC周长的取值范围7. 如图，ΔABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90∘，AC =BC,点P 是ΔABC 内一点，连接PA,PB,PC ，已知∠1=30∘,∠2=∠3．(1)求证：AP =BC ；(2)试探究ΔPAB 与ΔPBC 的面积的比值．8. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132．(1)求函数y =f(x)的解析式；(2)将函数y =f(x)图象向左平移12个单位后得到函数y =g(x)的图象，当x ∈[12,2]时，求函数ℎ(x)=g(2x)+mf(x −1)的最大值．9.某地计划在一处海滩建造一个养殖场．,现用长度为1千米的围网PQ依托(1)如图1，射线OA、OB为海岸线，∠AOB=2π3海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P、Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积;(2)如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB(图2)(点A、B在直线l上)，使三角形OAB面积最大，设其为S1̂所在圆的圆心且方案二：围成弓形CDE(图3)(点D、E在直线l上，C是优弧DE∠DCE=2π),其面积为S23试求出S1的最大值和S2(均精确到0.001平方千米)，并指出哪一种设计方案更好．10. 已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，2(b +c )(sinB −sinC )=(2a −√3c)sinA ，b =2，D 为线段AC 上一点且AD =3DC ． (Ⅰ)求cos B ； (Ⅱ)求|BD|的最大值．11. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠ACB =π3，AB =√3，AC +BC =3，AC >BC ，AB // CD ，点E 为四边形ABCD 的外接圆劣弧CD ⌢(不含C ，D)上一动点．(1)证明：AB ⊥BC ；(2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AE ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，设∠DAE =α，y =f(α)，求f(α)的最小值．。

孝感数学全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.3．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.6．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。

第七单元三角形、平行四边形和梯形一、填空。

(每空1分，共24分)1．照相机的支架有三条腿，这是利用了三角形的( )性；电动伸缩门是利用平行四边形( )的特性设计的。

2．一个三角形两个内角的度数分别是75°和30°，另一个内角的度数是( )°；按边分，这个三角形是( )三角形。

3．在能围成三角形的三根小棒下面画“√”，不能的画“×”。

4．把一根24厘米长的铁丝围成一个等边三角形，每条边的长是( )厘米；如果围成其他三角形，那么最长边的长度要小于( )厘米。

5．如图，在平行四边形中，30厘米长的底边上的高是( )厘米，20厘米长的底边上的高是( )厘米。

6．如图，∠ 1=( )°，∠ 2=( )°。

7．一个梯形的下底是上底的4倍，如果将上底延长6厘米，那么就变成了一个平行四边形，则这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。

8．两个完全相同的直角三角形可以拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是( )°；如果拼成一个平行四边形，那么这个平行四边形的内角和是( )°。

一个六边形的内角和是( )°。

9．用饮料管做一个长方形，再拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底( )长方形的长，平行四边形的高( )长方形的宽，平行四边形的周长( )长方形的周长，平行四边形的面积( )长方形的面积。

(填“大于”“小于”或“等于”) 10．用三个完全一样的等腰三角形可以拼成一个等腰梯形(如图)。

已知每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么这个等腰梯形的上底是( )厘米，腰长是( )厘米。

二、选择。

(将正确答案的字母填在括号里)(每小题2分，共10分)1．小猴要给一块地围上篱笆，( )的围法更牢固些。

2．下面表示各种三角形之间的关系，正确的是( )。

3．在一个等腰梯形中画一条线段，可以将它分割成两个完全一样的( )。

专题2.8第2章全等三角形单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•西城区期末）如图，在△ABC与△EMN中，BC＝MN＝a，AC＝EM＝b，∠C＝∠M＝54°．若∠A＝66°，下列结论正确的是（）A．EN＝c B．EN＝a C．∠E＝60°D．∠N＝66°2．（2020春•香坊区期末）如图，AE∥FD，AE＝DF，要使△EAB≌△FDC，需要添加的条件可以是（）A．AB＝BC B．EB＝FC C．∠A＝∠F D．AB＝CD3．（2019秋•正阳县期末）下列说法正确的是（）A．三个角对应相等的两个三角形全等B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两个角与一边对应相等的两个三角形不一定全等4．（2019秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF5．（2020春•宁德期末）如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS6．（2020春•哈尔滨期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，E是AC上一点，连接BE，过E作DE⊥AB，垂足为D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE的值为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm7．（2019秋•中山区期末）如图，D是∠CBA的平分线BP上一点，DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，下列结论中不正确的是（）A．DE＝DF B．BE＝BF C．BD＝DE+DF D．△BDE≌△BDF8．（2019秋•辛集市期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．BE＝CFC．∠ABD+∠C＝180°D．AB+AC＝2AD9．（2020春•碑林区校级期末）如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．4210．（2020春•宁德期末）如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP＝180°，则下面三个结论：①AS＝AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•太原期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为．12．（2019秋•鄞州区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．13．（2019秋•镇原县期末）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝．14．（2019秋•海州区期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝°．15．（2020•牡丹江一模）如图，已知△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，DE，∠C+∠AED ＝180°，请你添加一个条件，使△BDE≌△BDC，你所添加的条件是（只填一个条件即可）．16．（2020春•历城区校级期中）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．17．（2019秋•松滋市期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，△DEF的三边分别是6，6x﹣4，4x+2，若两个三角形全等，则x的值为．18．（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是．（填写正确的序号）①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③F A平分∠DFE，④AE平分∠F AB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•宽城区期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4．（1）求∠CBE的度数．（2）求△CDP与△BEP的周长和．20．（2019秋•袁州区校级期中）如图，要测量河流AB的长，因为无法测河流附近的点A，可以在AB线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连结ED和BD，并且延长BD到点G，使DG＝BD；延长ED到点F，使DF＝ED；连结FG，并延长FG到点H，使点H，D，A在同一直线上．证明：测量出线段HG的长就是河流AB的长．21．（2019秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．22．（2019秋•江夏区期中）如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；（2）求∠BED的度数．23．（2020•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB ＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．24．（2020春•南岗区校级期中）已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．（1）如图1，求证：△ABE≌△CDF．（2）如图2，连接AD、BC、BF、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE全等于△CDF外）．25．（2020春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF ＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．（1）如图1，求证：AG＝AF；（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．26．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．。

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题4.10第4章三角形单元测试（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•柳州期末）下列各组图形中，AD是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．2．（2020秋•阳江期末）若一个三角形的三个内角的度数之比为11：13：24，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．（2020秋•柳州期末）如图，∠1＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF5．（2020秋•泰兴市期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS6．（2020秋•蔡甸区期末）将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（）①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC﹣∠CEA＝15°；④∠COB+∠AOD＝180°．A．0B．1C．2D．37．（2020秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．（2020秋•柳州期末）如图，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，AD与BF交于点E，AD＝BD＝5，DC＝2，则AE的长为（）A．2B．5C．3D．79．（2020秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．下列添加的条件不正确的是（）A．EF＝EB B．EA＝EC C．AF＝CB D．∠AFE＝∠B10．（2020秋•苏州期末）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B+∠E＝180°．如果△ABC 的面积48cm2，那么△DEF的面积为（）A．48cm2B．24cm2C．54cm2D．96cm2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•淮安期末）如图，∠ABC＝∠DCB，只需补充条件，就可以根据“AAS”得到△ABC ≌△DCB．12．（2020秋•扶余市期末）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠部分形成的角为55°，则图中角α的度数为．13．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝．14．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点E，DC＝DE，∠A＝32°，则∠BDC的度数为．15．（2020秋•石景山区期末）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1＝°．16．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，则∠BCD的度数是．17．（2020秋•海淀区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点．我们晓观数学发现△ABD的面积与△ABC的面积相等，则这样的点D（不包含C）共有个．18．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•增城区期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝72°．求∠1，∠2的度数．20．（2020秋•伊通县期末）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式．21．（2020秋•朝阳区期末）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．（1）比较a，b，c的大小；（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．22．（2020秋•淮安期末）已知：如图，点A、F、E、D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求证：BE∥CF．23．（2020秋•天心区期末）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．24．（2020秋•鼓楼区期末）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CD、C′D′分别是AB、A′B′边上的中线．证明：CD＝C′D′．证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格．25．（2020秋•南关区校级期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A 出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．26．（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．。