南京市2018届高三数学考前综合题(教师)(含答案)

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江苏省南京市2018届高三数学12月联考试题

江苏省南京市2018届高三数学12月联考试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B= ▲.2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|= ▲.3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有▲辆.4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为▲.第3题图第4题图5.已知变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。

则x+y的最大值是▲.6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为▲.7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为▲.8.已知双曲线错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为▲.9.在等差数列{a n}中,若a4=4,错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=96,则数列{a n}的前10项和S10= ▲.10.将函数y=sin(2x+错误！未找到引用源。

)的图象向右平移φ(0<φ<错误！未找到引用源。

)个单位后,所得的函数图象关于原点成中心对称,则φ= ▲.11.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。

在区间(0,+∞)上有且只有三个不同的零点,则实数m的取值范围是▲.12.如图,已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

= ▲.13.在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x2+y2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是▲.14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c2+ab≥kbc,则实数k的最大值是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角.(1)证明:BC∥平面PDE;(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin B sin(B+错误！未找到引用源。

高三数学-2018年南京市高三数学第一次模拟考试(含解答

2018年南京市高三数学第一次模拟考试本试卷共150分考试时间120分钟 2018. 3. 13 学校班级学号姓名得分一. 选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分）1. 以下可以估计总体稳定性的统计量是 ………………………………………( ) A. 样本平均数 B. 样本中位数 C. 样本方差 D. 样本最大值2. 函数)0x (1x y ≥-=y 的反函数是……………………………………… ( )A. )0x ()1x (y 2≥+=B. )1x ()1x (y 2-≥+=C. )0x ()1x (y 2≥-=D. )1x ()1x (y 2-≥-=3.若向量n 与直线l 垂直, 则称向量n 为直线l 的法向量. 直线03y 2x =++的一个法向量为 ………………………………………………………………………………( ) A. )2,1( B. )2 ,1(- C. )1,2( D. )1,2(-4. 设等差数列}a {n 的前n 项的和是n S , 且0a a 84=+, 则………………( ) A. 54S S < B. 54S S = C. 56S S < D. 56S S =5. 已知ABC ∆的三个顶点在同一球面上, .2AC AB ,90BAC ===∠ 若球心O 到平面ABC 的距离为1, 则该球的半径为 ……………………………………( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 26. 当),0(x π∈ 时, 函数xsin x sin 3x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为…………( )A. 22B. 3C. 32D. 47.若函数)0a (ax cos ax sin )x (f >+= 的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为…………………………………………………………………………………（） A. )0,8( π-B. )0,0(C. )0,81( -D. )0,81( 8. 函数|x |log 22y =的图像大致是……………………………………………( )9.“2b a =+”是“直线0y x =+与圆2)b y ()a x (22=-+-相切”的 … ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数)x (f 满足)x (f )x (f -π=, 且当)2,2(x ππ-∈ 时, x sin x )x (f +=. 设)3(f c ),2(f b ),1(f a === , 则……………………………………………( )A. c b a <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<11. 若M 是直线01sin y cos x =+θ+θ上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时, 动点M 的轨迹是………………………………………………………( )A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆12. 将三种作物种植在如图5块试验田里, 每块种植一种作物, 且同一种作物在相邻的试验田中, 不同的种植方法有……………………………………………………( )A. 24种B. 36种C. 42种D. 48种二. 填空题（本大题共6小题；每小题4分，共24分） 13. 设集合)}3a (log ,5{A 2+= , }b ,a {B =. 若{1}AB =, 则A B = .14. 设周期为4的奇函数)x (f 的定义域为R, 且当)6,4[x ∈时, 2x 2)x (f -=, 则)1(f - 的值为 .15. 已知双曲线的中心在坐标原点O, 焦点在y 轴上, 它的虚轴长为2, 且焦距是两准线间距离的2倍, 则该双曲线的方程为 .16. 设,3n (x a x a x a a )1x (n n 2210n ≥++++=- 且)Z n ∈. 若0a 3a 23=+, 则n = . 17. 在ABC ∆中, 若22A cos A sin =+, 则)4A tan(π-的值为 .18. 已知)0,1(A -, )1,2(B, )1 ,1(C - . 若将坐标平面沿x 轴折成直二面角, 则折后BAC ∠的余弦值为 .三. 解答题（本大题共5小题,共66分）19. (本小题满分12分)一位学生每天骑自行车上学, 从他家到学校有5个交通岗, 假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的, 且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p , 其余3个交通岗遇到红灯的概率均为21. (1) 若32p =, 求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率; (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过185, 求p 的取值范围.20. (本小题满分12分)如图, 在正方形ABCD —1111D C B A 中,E 为AB 的中点.(1) 求AD 和C B 1所成的角(2) 证明: 平面D EB 1⊥平面CD B 1;(3) 求二面角E —C B 1—D 的大小. (用反三角函数表示)21. (本小题满分14分)已知函数,34x 3x x 31)x (f 23+--=直线l : 0c y 2x 9=++. (1) 求证: 直线l 与函数)x (f y =的图像不相切;(2) 若当]2,2[x -∈时, 函数)x (f y =的图像在直线l 的下方, 求c 的范围.22. (本小题满分14分)已知函数.x12)x (f +=数列}a {n 中, )a (f a ,a a n 1n 1==+ )N n (*∈. 当a 取不同的值时,得到不同的数列}a {n , 如当1a =时, 得到无穷数列;,717,37,3,1 当21a -=时,得到有穷数列. 0,21- (1) 求a 的值, 使得0a 3=;(2) 设数列}b {n 满足),N n )(b (f b ,21b 1n n 1*+∈=-=求证: 不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n ; (3) 求a 的取值范围, 使得当2n ≥时, 都有3a 37n <<.23. (本小题满分14分)(1) 已知抛物线),0p (px 2y 2>= 过焦点F 的动直线l 交抛物线于B ,A 两点, O 为坐标原点, 求证: OB OA ⋅为定值;(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点F 的动直线 l 交抛物线于B ,A 两点, 存在定点P , 使得⋅为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.2018年南京市高三数学第一次模拟考试参考答案及评分标准 2018. 3. 13一. 选择题（每小题5分，共60分）二. 填空题（每小题4分, 共24分）13.;}5,1,1{ - 14. 23 ; 15.;1x y 22 =- 16. 11 ; 17. ;3 18. .253三. 解答题（共66分） 19．（本小题满分12分）解: (1) 记该学生在第i 个交通岗遇到红灯i A )5,,2,1i ( =,.12121)211()321()A A A (P 321=⨯-⨯-=⋅⋅答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为.121……………6分 (2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A ）或恰好遇到一次红灯（记为B ）,)p 1(81)211(C )p 1(C )A (P 2303202-=--=……………7分 =-⋅-+-⋅-=30312213202)211(C )p 1(p C )211(C )p 1(C )B (P ).p 1(p 41)p 1(832-+-…………………9分 +-2)p 1(81.38p 31185)p 1(p 41)p 1(832≤≤⇒≤-+-……………11分又,1p 0≤≤ 所以p 的取值范围是].1,31[ ……………12分20．（本小题满分12分）解: (1) 正方体中, BC //AD , AD ∴与C B 1所成的角为CB B 1∠或其补角.45CB B 1=∠, AD ∴和C B 1所成的角为 45……………4分(2) 取C B 的中点,F D B 的中点,G 连结.GF ,EG ,BF⊥CD 平面11B BCC , BF DC ⊥∴.又C B BF 1⊥, ,C C B DC 1=⋂⊥∴BF 平面CD B 1.……………6分GFBE ,CD21 ,CD 21BE∴GF , ∴四边形BFGE 是平行四边形, .CE //BF ∴⊥∴EG 平面.CD B 1……………7分又⊂EG 平面D EB 1, ∴平面⊥D EB 1平面.CD B 1……………8分(3) 连结EF . .C B GF ,CD //GF ,C B CD 11⊥∴⊥ 又⊥EG 平面CD B 1,,C B EF 1⊥EFG ∠∴为二面角E —C B 1—D 的平面角. …………10分设正方形的边长为a, 则在E F G ∆中,,a 33EF ,a 21GF ==.33EF GF EFG cos ==∠∴……………11分 ∴二面角E —C B 1—D 的大小为.33arccos…………12分 21．（本小题满分14分）解: (1) 证明: .3x 2x )x (f 2--='……………2分假设直线l : 0c y 2x 9=++与函数)x (f y =的图像相切, 则293x 2x 2-=--有实数解, 即023x 2x 2=+-有实数解. ……………5分因为02<-=∆时, 方程023x 2x 2=+-无实数解, 所以直线l 与函数)x (f y =的图像不相切.……………7分(2) 当]2,2[x -∈时, 函数)x (f y =的图像在直线l 的下方,即0)2cx 29(34x 3x x 3123<---+--对于一切]2,2[x -∈都成立, ……………9分即038x 3x 2x 32c 23<--+-<对于一切]2,2[x -∈都成立. ……………10分令)x (g .38x 3x 2x 3223--+-= 因为.01)1x (23x 4x 2)x (g 222<---=-+-='所以)x (g 在]2,2[ -上单调递减, ……………12分所以当]2,2[x -∈时, .6)2(g )]x (g [min -==……………13分所以6c -<, 所以c 的范围是)6,(--∞ ……………14分 22．（本小题满分14分）解: (1) 因为,a a 1=,a 12a n1n +=+ 所以,a 1a 2a 12a 12+=+=.1a 22a 5a 12a 23++=+=……………2分要,0a 3=即要52a -=. 所以, 52a -=时, .0a 3=……………4分 (2)由题知,21b 1-=.b b 12n 1n =++不妨设a 取n b , 所以,b b 12a 1n n 2-=+=,b b 12a 12a 2n 1n 23--=+=+=……………6分 ……,,21b b 12a 12a 121n n -==+=+=-所以,0a 1n =+……………8分所以不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n .……………9分 (3).3a 13a 12373a 371n 1n n <<⇔<+<⇔<<--……………11分因为)3,37()3,1( , 所以只要有3a 372<<就有).3n (3a 37n ≥<< ……………12分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+3a1a 237a 1a 2, 解得: ⎩⎨⎧><<<1a 0a 3a 0或, 即3a 1<<.所以, a 的取值范围是)3,1( .……………14分 23．（本小题满分14分）解: (1) 若直线l 垂直于x 轴, 则)p ,2p(A , )p ,2p (B - .=⋅OB OA .p 43p )2p (222-=-……………2分若直线l 不垂直于轴, 设其方程为)2px (k y -=, )y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0k 4p x )k 2(p x k px2y )2p x (k y 222222=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= .4p x x ,p k )k 2(x x 2212221=⋅+=+ ……………4分 ∴⋅=+=2121y y x x )2px )(2p x (k x x 21221--+4k p )x x (k 2p x x )k 1(22212212++-+=22222222p 434k p kp )k 2(k 2p 4p )k 1(-=++⋅-+=. 综上, ⋅2p 43-=为定值. ……………6分 (2) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆)0b ,0a (1by a x 2222>>=+ 的一个焦点F 的动直线l交椭圆于A 、B 两点, 存在定点P , 使⋅为定值. ……………7分证明: 不妨设直线l 过椭圆 1by a x 2222=+的右焦点)0,c (F (其中22b a c -=)若直线l 不垂直于轴, 则设其方程为: )c x (k y -=, )y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0)b a k c a (x ck a 2x )b k a (1b y ax )c x (k y 222222222222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=得: 所以 ,b k a ck a 2x x 2222221+=+.2222222221bk a b a k c a x x --=⋅……………9分由对称性可知, 设点P 在x 轴上, 其坐标为).0,m ( 所以⋅2121y y )m x )(m x (+--=222212212k c m )x x )(ck m (x x )k 1(++++-+=)k 1(2+=22222222b k a b a k c a --)ck m (2+-22222bk a ck a 2+222k c m ++ 22222222224224bk a b )a m (k )cm a 2m a b b a a (+-+-+--= 要使⋅为定值,只要),a m (a cm a 2m a b b a a 2222224224-=-+--即2c)e 3(a2c )b a 2(c a 2b b a a 2m 222224224-=+=--= 此时⋅22a m -==4224462222a4)a 4c (b a 4a 4c )b a 2(-=-+……………12分若直线l 垂直于x 轴, 则其方程为c x =, )a b ,c (A 2 , )a b ,c (B 2-. 取点)0,a2c)b a 2((P 222 + 有PB PA ⋅==--+242222a b ]c a 2c )b a 2([.a 4)a 4c (b 4224-……………13分综上, 过焦点)0,c (F 的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点, 存在定点)0,a2c )b a 2((P 222 + 使⋅.a 4)a 4c (b 4224-=为定值. ……………14分。

H03南京市2018届高三数学考前综合题~

南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ．其中是真命题的有．（填所有真命题的序号）2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为．4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为．8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是． 9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是． 12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b取最小值时，b 的值为．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零AB NM点，则实数a 的取值范围是．二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．PABDr rh18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．19．某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.ABC岸边30°20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21．（1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ． ①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，求实数a的取值范围．24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝ax1＋x2，a∈R．（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．25．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意m，n∈N*，都有S mn＝S m S n，则称数列{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n}是否具有性质P；（2）若正项等差数列{b n}具有性质P，求数列{b n}的公差；（3）已知正项数列{c n}具有性质P，c2＝3，且任意n∈N*，有c n＋c n＋2≤2c n＋1，求数列{c n}的通项公式．DCBA P26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }为等差数列．．三．理科附加题27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3,AB ＝23,BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．29．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ．（1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1；（2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数．30．已知m ∈N *，数列T ：a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1满足如下条件： ①a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1是1，2，3，…，3m ＋1的一个全排列；②数列a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1的前n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)项和S n 均不能被3整除．（1）当m ＝1时，写出所有符合条件的数列T ；（2）求满足条件的数列T 的个数f (m )．参考答案 1：【答案】④．2：【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立．所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．3：【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±bax ，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1，可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，4：【答案】38．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23AC →由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →，则⎩⎨⎧λ＝m 3，μ＝2m 3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．5：【答案】2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝，因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ．因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1，所以d ＝2a ，从而daq＝2．6：【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，因为f′(x )＝－34－1x 2，切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2x 2，于是l 1，l 2之间的距离d ＝|2x 1－2x 2|(－34－1x 12)2＋1＝4x 1(－34－1x 12)2＋1＝42516x 12＋1x 12＋32≤452＋32＝2，当且仅当x 1＝255时取等号，于是d 的最大值为2．7：【答案】53．【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点，所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，可得b a ＝23，所以e ＝53．8：【答案】[－223，223]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x 2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，D CBA 则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，则公差d 的最小值是．转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1． 9：【答案】6．【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →)＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →＝－2－OA →·MN →＝－2＋12AB →·MN →＝1所以AB →·MN →＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想． 10．【答案】(2，32]．【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →，可得A (3－2x 0，3－2y 0)，则有(1－2x 0)2＋(3－2y 0)2＝r 2，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 24，又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r2≤(2－12)2＋(32)2≤r ＋r2，解得：2≤r ≤32，易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，从而r ∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．11．【答案】4＋43．【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4×BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD 设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD，于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2×2×4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43，从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数．12．【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值．结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋22，对任意k ＞0恒成立，即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2k ＋1－1≥22－1，当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－1，所以a 的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．13．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13． 14．【答案】a ＞3518．【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3，易得函数f (x )在(－∞，－a 3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a 3，a 3)上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (a3)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＝0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者⎩⎨⎧f (23)≥0，a 3＜23，解得a ＞3518． 15、解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x ＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π6)．所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2．函数F (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．（2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13．于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x) ＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x＝22·2×13＋1－(13)21＋(13)2＝7210． 16、解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0．由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，故cos B ＝－12．因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3．（2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝a 2＋c 2＋ac ．因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，所以→AB ·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以→AB ·CB →的最小值为－2．【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂．17、（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2）解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ．V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13×(12×2×3)×1＝33．因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ．又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13×(12×3×5)h ＝156h ．因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝255．即点C 到平面PBD 的距离为255． 18、解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2－2×2×12t cos30°，整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2t－63)2＋36. 由于0＜t ≤14，所以2t≥8，所以，当2t ＝63即t ＝39时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6. 答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时.（2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°，两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )m t＋v 2－64＝0 设m t＝k ，0＜k ＜1，则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解，则必有△＝(128－163v )2－4×192×(v 2－64)≥0，解得0＜v ≤1633，当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633. 答：小船的最大速度为1633千米/小时. 19、解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )，由于h ≥2r ，因此23(32r 2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2，所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)×3＝π(2c －1)r 2＋128π r，定义域为(0，2]. （2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1) r 2，当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立，此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128π r 在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小；当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)，当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0，所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128π r 在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增，所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小. 综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m. 20、解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －1＝1000×0.98n －1．设第n 区的面积为c n 平方米，则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)，又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)，因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25×105π(2n －1)×0.98n －1(千克)．（2）a n ＋1－a n ＝25×105π(2n ＋1)×0.98n －25×105π(2n －1)×0.98n －1＝25×105π[(2n ＋1)×0.98－(2n －1)]×0.98n －1 ＝25×105π(－0.04n ＋1.98)×0.98n －1．当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1，当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1，所以，当n ＝50时，a n 最大．答：第50区火山灰的总重量最大．【说明】关注数列应用题．21、解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．（2）x ＝5，y ＝－940x ＋498．（3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k2，从而d ＝264－(m )21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2．由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4，整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )，即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ，因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论．22、解：（1）x 22＋y 2＝1．（2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，于是AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22＋22k 21＋2k 2，同理CD ＝22＋22(－12k )21＋2(－12k )2＝42k 2＋22k 2＋1，于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋22k 2＋1＝32． ②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k 1＋2k 2，所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k 1＋2k 2)，所以MN 的中点为T (12，0)，于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12×|k|1＋2k 2＝12×11|k |＋2|k|≤28，当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为28．【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，简化面积的运算，值得注意．23、解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0．（2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ．②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0，所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3．综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3；当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0．设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x．设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)，① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意．② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增，所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0；所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增．所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意．综上，0＜a ≤1．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类．24、解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )(1＋x 2)2，所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)．（2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )，f (n )－g (n )＝n －n ln n －2n n 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n ) 设φ(n )＝n 2－1n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1，则φ'(n )＝－(n 2－1)2n (n 2＋1)2＜0，所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0，所以n 2－1n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )，又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝ax 1＋x 2，因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a 1＋x 2在(0，＋∞) 有唯一的实数解，即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1x．设m (x )＝2x ln x －x ＋1x，因为m'(x )＝2ln x －1x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0，因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增，从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增．因为h (e)＝a ，h (e 1－a )＝－a e 2－2a ，① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学会利用导数来研究函数的图象和性质．25、解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d 2)n ．又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d 2m 2＋(1－d 2)m ][d 2n 2＋(1－d 2)n ]，即d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d 2(1－d 2)mn 2＋(1－d 2)2mn ，因为上式关于m ，n 恒成立，所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2，解得d ＝0或d ＝2．（3）同（2）可知c 1＝1，因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ，因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，于是c 2－c 1≤2，c 3－c 2≤2，……c n ＋1－c n ≤2，累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2，又c 1＝1＝2×1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *．因为S 2n ＝S 2S 2n －1＝4S 2n －1，所以数列{S 2n －1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ．因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2．又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －1≤k ＜2m ，所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2×2m －1)＝k 2，因此S k ＝k 2．所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又c 1＝1＝2×1－1，所以c n ＝2n －1．经检验c n ＝2n －1满足题设条件，从而c n ＝2n －1．【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．26、证明：（1）设数列{a n }公差为d ，于是2S m ＋n m ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)2d ]m ＋n＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]， a m ＋a n ＋a m －a n m －n＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n m －n．（2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n m －n， ① 在①中令m ＝n ＋1得，2S 2n ＋1 2n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n 1＝2a n ＋1， ② 由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1m －n －1，令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋13， ③ 由②得2S 2n ＋5 2n ＋5＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋12，于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－12(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)，所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12)n －1( a 4＋a 2－2a 3)，在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 12，即a 2＋a 4＝2a 3，于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 3 3＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2，因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，从而数列{a n }为等差数列．【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注三、理科附加题27、解：（1）16．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13×12×13＋23×12×13＋23×12×12＝13； P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为 E (ξ)＝0×16＋1×13＋2×718＋3×19＝139．【说明】本题考查独立事件的概率．28、解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ，则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →＝(23，6，0)，所以cos ＜PB →，AC →＞＝PB →·AC →|PB →|·|AC →|＝77，即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为77．（2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →＝(－23，a ，0)，设平面PBD 的法向量→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →·→n ＝0PB →·→n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→n ＝(3，6a ，2)．又平面BCD 的一个法向量→m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3，所以|→m ·→n |→m |·|→n ||＝12，即|23＋36a2＋4|＝12，解得a ＝2．经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π3．【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算．29、证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1，则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1，即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15，猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，证明：当n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1，则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝a 2k ＋3，即n ＝k ＋1时，命题也成立，所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n＋1，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．30、解：（1）满足条件的数列T 有：1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定，因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2．数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法，故满足条件的数列T 共有：C m 3m ×m !×m !×(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个，因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!．【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．。

优质金卷：江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题(解析版)

1．【解析】分析:先化简集合A,B,再求得解.详解：由题得，，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模,意在考查学生对复数基础知识的掌握能力及基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.3．【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=150．故答案为：150点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.4．【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．详解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7点睛：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键．点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.6．【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O连线的斜率求解．详解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2．由解得B（）.∴k OB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率，要记住这个差之比的结构表示的是两点所在直线的斜率.7．①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.8．【解析】分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．详解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质、离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)求双曲线的离心率一般方法是根据已知找关于离心率的方程，所以在求离心率时，要想方设法找到方程.9．【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化简再利用通项公式即可得出．详解：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化为：q3+1=3，即q3=2，∴a7=q6=4．故答案为：4点睛：(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（2）等比数列的前n项和，所以在利用等比数列前n项和公式计算时，一般都要就和分类讨论,否则容易出错.点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.11．【解析】分析：设直线l：y=k(x-4).先求出,,再根据求出k的值得解. 详解：由题得圆M的方程为：令y=0得或x=4,所以A(4，0),B(2，0).则圆N的方程为：因为(3)解（1）（2）（3）得k=.所以直线l的方程为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.12．【解析】分析：先建立直角坐标系，设C(2cosa,2sina),D(x,y),再求出x和cosa,最后求的值.详解：建立如下的直角坐标系,所以所以=故答案为：-3点睛：(1)本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算、坐标法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. （2）本题的关键有两个，其一是要想到坐标法分析解答，设C(2cosa,2sina),D(x,y),其二是要善于从已知里找到方程求出x和cosa的值.13．【解析】分析：先利用2b=a+c消掉b得到,再令5a+c=x,2a+c=y，消去a,c，利用基本不等式求最小值.详解：因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的关键是得到后，要想到转化，令5a+c=x,2a+c=y，则所以，把关于a，c的转化成关于新变量x,y的最值问题.转化是高中数学最普遍的数学思想，要灵活运用.14．【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出cosα＝，再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，cosβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．16．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．详解：（1）证明：如图，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，且PE＝，同理AE＝．因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ⊂平面ABC，所以PE ⊥平面ABC．因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．所以PM＝PC＝．点睛：（1）本题主要考查面面垂直的证明和线面平行的性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)对平面的转化是本题的关键，由线面平行得到线线平行PD∥OM，首先必须找到一个平面经过直线PD，且这个平面和平面AEM相交，再找到这两个平面的交线OM，对这个性质定理，学生要理解掌握并灵活运用.17．（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，所以，所以DF＝4cosθsin(＋θ)，且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3．因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．（2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，当l经过左､右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－n－＝n2－4，得n＝4．下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2＝＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．19．（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x的值为1．②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.20．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出a n＝4n－2，再利用“数列”证明.(2)利用“数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{a n}为等差数列，再转化a n＜a－a＜a n＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t ＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a－a＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋ (n－1)＝．点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，① ，n(t－2t2)＞2t －t2－1，② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21．证明见解析.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. 22．.【解析】分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由AB，即，得, 即,②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.23．.【解析】分析：先求出点P的直角坐标，再求出直线与极轴的交点C(2，0)，再求出圆C 的半径PC＝2，最后求圆的极坐标方程．点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力.24．.【解析】分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式.25．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答. 26．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．详解：（1）因为f n(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，所以f n(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，g n(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．面用数学归纳法证明：当n＝2时，命题成立；假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，即n＝k＋1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．点睛：(1)本题主要考查排列组合的运算，考查求和，考查数学归纳法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)在利用数学归纳法证明时，必须要利用到前面的归纳假设f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x ＋2)…(x＋k)，否则就不是数学归纳法,为了利用这个假设，后面的f k＋1(x)＋g k＋1(x)必须分解出f k(x)＋g k(x)，f k＋1(x)＋g k＋1(x)=(k+1)[ f k(x)＋g k(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).。

2018年5月江苏省南京师大附中2018届高三年级模拟考试数学试题参考答案

南师大附中2018届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1．{0，1}2．－213．104．55．1076．47．3328．120522=-y x 9．－2ln210．充分不必要11．912．)23,6[]623 -(-，13．2314．(，)451二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15．(本小题满分14分)解：(1)因为1=⋅n m ，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即1cos sin 3=-A A ，………2分则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即216sin(=-πA ，………4分又π<<A 0，所以5666A πππ-<-<，故66ππ=-A ，所以3π=A ．………6分(2)由题知3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得cos 2cos sin sin 22=--B B B B ………8分易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ，所以2tan =B 或1tan -=B ，………10分而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去，所以2tan =B ，………12分故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=πtan tan 81tan tan 11A B A B ++=-=-．………14分16．(本小题满分14分)证明：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB //CD ．………2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以AB //平面PDC ，………4分又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ，所以AB //EF ．………7分(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．………8分因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB //EF ，所以AB ⊥AF ，………9分又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，………12分又AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．………14分17．(本小题满分14分)解：(1)在ABC ∆中，6=AB ，︒=∠60A ，︒=∠75APB 由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，即644BP -===-，故PB 的距离是92－36千米．………4分(2)甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()t f ，要保持通话则需要()9≤t f ．︒1当10≤≤t 时，()()()()︒-⋅⋅--+=60cos 31262312622t t t t t f 9=≤，………6分即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t ，又[]1,0∈t 所以17158≤≤-t ，………8分时长为7115-小时．︒2当41≤<t 时，()()()︒-⋅--+=60cos 31262312362t t t f 9=≤，………10分即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t 所以41≤<t ，………12分时长为3小时．3＋7115-＝207(小时)．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是207小时．………14分(注：不答扣1分)18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，b ＝3，又因为ca ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.………4分(2)因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12×F 1F 2×r 12×(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)×r ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＋F 1F 2＝c a ＋c ＝13.………8分(3)若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点(52，0)，………9分下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，k (x －1)，＋y 23＝1化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以△＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.………11分由题意，D (4，y 1)，E (4，y 2)，直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×(52－4)＝2(x 1－4)y 2＋3(y 2－y 1)2(x 1－4)＝2(x 1－4)k (x 2－1)＋3k (x 2－x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2kx 1x 2－5k (x 2＋x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2k ·4k 2－123＋4k 2－5k ·8k 23＋4k 22(x 1－4)＝8k ·(3＋4k 2)＋2k ·(4k 2－12)－5k ·8k 22(x 1－4)(3＋4k 2)＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝40k 3－40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝0，所以点T (52，0)在直线AE 上，同理可证，点T (52，0)在直线BD 上.………16分所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).19．(本小题满分16分)解：(1)'11()ax f x a x x-=-=，0x >，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；………2分当0a >时，1(0,x a∈'()0f x >，()f x 在1(0,a上单调递增；1(,),x a ∈+∞'()0f x <，()f x 在1(,),a +∞上单调递减，函数有极大值1(ln 1f a a a=--，无极小值．………4分(2)由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值1()ln 1f a a a=--，令()ln 1g x x x =--(x ＞0)，11'()1x g x x x -=-=，(0,1)x ∈，'()0g x <，()0g x <在(0，1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 在(1，＋∞)上单调递增，函数()g x 有最小值(1)0g =．要使若函数()f x 有两个零点时，必须满足01a a >≠且，………6分下面证明01a a >≠且时，函数有两个零点．因为(1)0f =，所以下面证明()f x 还有另一个零点．①当01a <<时，1()ln 10f a a a=-->，222112ln 12ln 1()2ln a a a a a a f a a a a a a-+--+=-+-==-，令2()2ln 1h a a a a =-+(01a <<)，'()2(ln 1)22(ln 1)0h a a a a a =+-=-+<，()h a 在(0,1)上单调递减，()(1)0h a h >=，则21()0f a <，所以()f x 在211(,a a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在211(,a a 上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．②当1a >时，1(ln 10f a a a=-->，111(0a a a f a a a a e e e=--⨯+=-⨯<，易证ae a >，可得11a e a <，所以()f x 在11(,a e a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在11(,a e a上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．综上，a 的范围是(0,1)(1,)+∞ ． (10)分(3)证明：121221()()ln ln ()f x f x x x a x x -=-+-，12122112121212()()ln ln ()ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又'11()ax f x a x x -=-=，'12122(2x x f a x x +=-+， (12)分'121212112121212212111222ln ln 2()21([ln ]22(1)1[ln ]1x x x x x x x f k x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=-=-+--+-=--+不妨设0＜x 2＜x 1，t ＝x 1x 2，则t ＞1，则1211222(1)2(1)ln ln 11x x x t t x x t x ---=-++．令2(1)()ln 1t h t t t -=-+1)(t >，则22(1)'()0(1)t h t t t-=-<+，因此h (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (1)＝0.又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′(x 1＋x 22)－k ＜0，即f ′(x 1＋x 22)＜k ．………16分20．(本小题满分16分)解：(1)设等差数列的公差为d (d ≠0)，等比数列在公比为q (q ≠1)，由题意得：222141112332411144()(3)4444a a a a d a a d b b b b q b q b q ⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，，解得d ＝1，q ＝2，………4分所以1,2n n n a n b -==.(2)由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有2m n i m j n k a a b a b a b =+，即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅，由于i j k <<，且为正整数，所以1,2j i k i -≥-≥，所以22224j ik i mn m n m n --=⋅+⋅≥+，………6分可得2mn m n ≥+，即211m n +≤，①当1≤m ≤2时，不等式211m n+≤不成立；②当42m n =⎧⎨=⎩或33m n =⎧⎨=⎩时1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立；………8分③当4n ≥时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ；所以n m +的最小值为6，当且仅当1=-i j ，2=-i k 且42m n =⎧⎨=⎩或33m n =⎧⎨=⎩时取得．………10分(3)由题意得：1221(1)22c p c =++123311(1)323c c p c +=+++123123111(1)()23111(1)23n nn nS p p p p c c c c n T n=++++=++++++++=++++ ………11分123n nT c c c c =++++ (1)1211112222n n T c c c =+++ (2)(1)—(2)得1111111224822n n n n T -=+++++- 1122((22n n n =--，………12分求得114(2)(42n n T n -=-+<，所以1114(1)23n S n <++++ ，设1()ln 1(1)f x x x x =+->，则22111()0x f x x x x-'=-=>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，有()(1)0f x f >=，可得1ln 1x x>-.………14分当2k ≥，且k ∈N*时，11kk >-，有11ln11k k k k k ->-=-，所以12131ln ,ln ,,ln 21321n n n <<<- ，可得1112311ln ln ln1ln 23121nn n n ++++<++++=+- ，所以1114(1)4(1ln )23n S n n<++++<+ .………16分南师大附中2018届高三年级校模考试数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以ACBC＝AMBM．又AC＝12AB，所以ABBC＝2AMBM①……………4分因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即ABBC＝BNBM②……………8分由①、②可知2AMBM＝BNBM，所以BN=2AM．……………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝|λ－1－2－2λ－x|＝(λ－1)(λ－x)－4． (3)分因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．……………6分由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．……………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆C：ρ＝22cosθ直角坐标方程为x2＋y2－22x＝0，即(x－2)2＋y2＝2．直线l：θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．……………6分圆心C到直线l的距离d＝|2－0|2＝1．……………8分所以AB＝2． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以(12a＋1＋42b＋1)[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋2b＋12a＋1＋4(2a＋1)2b＋1≥5＋22b＋12a＋1×4(2a＋1)2b＋1＝9． (8)分而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94． (10)分证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得(1 2a＋1＋42b＋1)[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(12a＋12a＋1＋42b＋12b＋1)2＝(1＋2)2＝9．……………8分由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94．……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)解：(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法，其中S＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝32)＝12C36＝35.……………3分(2)S的所有可能取值为34，32，334.S＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝34)＝6C36＝310.……………5分S＝334的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，11所以P (S ＝334)＝2C 36＝110.……………7分又由(1)知P (S ＝32)＝12C 36＝35，故S 的分布列为S 3432334P31035110所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320.……………10分23．(本小题满分10分)解：(1)若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}，则A ＝∅，{a 1}，{a 2}，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有12C 种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为12C ×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5.…………3分(2)集合M 有2n 子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1).…………5分若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C nn －1)＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ).…………7分又(x ＋1)n (x ＋1)n 的展开式中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2，且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，所以(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时，有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n .…………9分所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n 2n2.…………10分。

高三数学-2018届江苏省南京市高三质量检测数学试卷精

江苏省南京市2018届高三质量检测数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第lI 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．每题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）S 锥侧=21cl 如果事件A 、B 相独立，那么其中c 表示底面周长，l 表 P （A·B ）=P （A ）·P （B ）示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那球的表面积公式么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率S 24R π= P n （k ）=C k n P k（1-P ）kn -其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、择题题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选顶中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ={1,2,3, 4,5,6}，集合P ={1,2,3,4}，Q ={3,4,5,6}，则P )(Q C UA ．{1,2}B ．{3,4}C ．23D ．12．已知a =（cos40°，sin40°），b +（sin20°，cos20°），则a ·b 的值为A ．22B ．21 C ．23 D ．13．将函数y =sin2x 的图象按向量a =（-,06π）平移后的图象的函数解析式为 A ．y =sin （2x +3π） B ． y =sin （2x -3π） C ． y =sin （2x +6π） D ． y =sin （2x -6π）4．已知双曲线191622=-y x ,双曲线上的点P 到左焦点的距离与点P 到左准线的距离之比等于A ．54 B ．34 C ．47 D ．45 5．（2x +x ）4的展开式中的x 3系数是A ．6B ．12C ．24D ．486．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．y =x1 B ．y =2x- C ．y =lgxx+-11D ．||x y -=7．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层，第二层，第三层…，则第6层正方体的个数是A ．28B ．21C ．15D ．118．设γβα,,为两两不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若βγα,⊥∥γ，则βα⊥； ②若βγα,⊥∥γ，则α∥β； ③若,,a n a m ∥∥；∥则n m④若βγα,⊥⊥γ，γβ⊥=m m a ，则．其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．49．若的是，则：q p x xq x x p 0|1|1,02:2>-+<--A ．充分不必要条件B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平构成一个“平行线面线”．在一个平行六面体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面线”的个数是A ．60B ．48C ．36D ．24第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．11．一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________12．已知=)(x f log )2(2+x ,函数g （x ）的图象与函数f （x ）的图象关于直线y=x 对称，则g （1）=____________13．已知圆044222=+-++y x y x 关于直线y=2x+b 成轴对称，则b=_________． 14．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是______________．15．一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为1，高为2，则此球的表面积为________． 16．已知抛物线)1,0(,22P y x 过点=的直线与抛物线相交于),(),(221,1y x B y x A 两点，则21y y +的最小值是___________．三、解答题：本大题5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分）已知数列（n a ）是等差数列，（n b ）是等比数列，且a 1=b 1=2,b 4=54,a 1+a 3=b 2+b 3．（1）求数列{n b }的通项公式（2）求数列{n a }的前10项和S 10．18．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。

江苏省南京市2018届高三数学第三次模拟考试试题

江苏省南京市2018届高三数学第三次模拟考试试题注意事项:1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分,考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0｝，则A ∪B =错误!．2．已知复数z 的共轭复数是错误!．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位,则错误!的模为错误!．3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况,随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为错误!．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为错误!．5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天,那么A 与B 在相邻两天值班的概率为错误!． 6．若实数x ,y 满足错误!则错误!的取值范围为错误!．7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线,有如下四个命题: ①若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β; ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β; ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β．其中真命题为错误!（填所有真命题的序号)．8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ,则该双曲线的离心率为错误!．9．若等比数列｛a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1,S 6=3S 3，则a 7的值为错误!．S ←1 I ←1While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S(第3题图)（第4题图)10．若f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且f（x）＝错误!则f(a+1）的值为错误!．11．在平面直角坐标系xOy中,圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A,B,其中A在B的右侧,以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为错误!．12．在△ABC中，AB=3，AC=2,D为边BC上一点．若错误!·错误!＝5，错误!·错误!＝－错误!,则错误!·错误!的值为错误!．13．若正数a，b，c成等差数列,则错误!＋错误!的最小值为错误!．14．已知a,b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2],使得函数f(x)＝e x－ax－b在［1，3]上存在零点，则a的取值范围为错误!．二、解答题(本大题共6小题，计90分。

高三数学-2018届江苏省南京市高三质量检测数学试卷精品

过 A 作 AN⊥ PD于 N，
∵ PD ＝（ a,2a,-2a） ,
设 PN =λPD ,
∴ AN = AP + PN =（λa,2 λa,2a-2λa）
∵ AN⊥ PD，
∴ AN ·PD =0．
∴ a·aλ+2a·2aλ-2a·（2a-2λa） =0．
解得 λ= 4 ． 9
∴ AN =（ 4 a， 8 a,
17．（本小题满分 12 分，第一小问满分 6 分，第二小问满分 6 分）
已知数列（ an ）是等差数列，（ bn ）是等比数列，且 a1=b1=2,b4=54,a1+a3=b2+b3．
（1）求数列 { b n }的通项公式
（2）求数列 { a n }的前 10 项和 S10 ．
18．（本小题满分 14 分，第一小问满分 6 分，第二小问满分 8 分）
在直角坐标系中， O 为坐标原点，设直线 l 经过点 P（ 3， 2 ），且与 x 轴交于点 F（ 2,0）．
（1）求直线 l 的方程；
（2）如果一个椭圆经过点 P，且以点 F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；
（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情况下，设直线 l 与椭圆的另一个交点 Q，且 PM PQ ,当｜ OM ｜
∴ < ME , NA >=arccos= 10 ． 10
∴二面角 A-PD-E的大小为 arccos 10 ． 10
（ 3）解法一： ∵∠ EAB=∠ABC=∠ DEA=90°,
BC=DE=a,AB=AE=2a,
取 AE 中点 F，连 CF，
10 分
8分 10 分
∵ AF∥ =BC,
∴四边形 ABCF为平行四边形．

2018年最新江苏省金陵中学河西分校2018届高三数学综合试题(一)2018-8-20 精品

江苏省金陵中学河西分校2018届高三数学综合试题（一）2018-8-20一、填空题：本大题共14题，每小题5分共70分，请将正确答案填写在题后横线上． 1．复数z=12i+,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 3则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的％． 4．若点（1,1）到直线x cosα+y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是． 5．函数f (x )=2x 3－6x 2＋7的单调减区间是．6．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = 7．在约束条件：x +2y ≤5,2x +y ≤4,x ≥0,y ≥0下，z =3x +4y 的最大值是． 8．若cos 2sin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为．9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ． 10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y =0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是．11．已知函数22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上． 12．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+，2AC i m j =+，则实数m = ．13．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ；其中所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）某学校拟建一块周长为中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？16．（本小题满分13分）如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1∥面MNQ．17．（本小题满分15分）某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地（A、B、C、D在同一平面上），测得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据：2.6≈≈≈）A1A BCPM NQB1C1307515DC 45A18．（本小题满分16分）倾斜角为60°形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．19．（本小题满分16分）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2018，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2018行．0，1，2，3，…，2018，2018，2018，20181，3，5， …， 4011， 4013， 4015 4，8， …， 8184， 8188……（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。

江苏省南京市2018届高三第三次调研考试数学试卷(含答案和评分标准)

南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学 2018．05一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．集合A ＝{x|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x|x 2－4＝0}，则A ∪B ＝．2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i )＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为．3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为．第3题第4题4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为．5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为．6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则y x 的取值范围为． 7．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β．其中真命题为（填所有真命题的序号）．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为．9．若等比数列{n a }的前n 项和为n S ，n ∈N *，且1a ＝1，6S ＝33S ，则n S 的值为．10．若()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，且()fx ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则(f a 1)+的值为．11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为．12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5，AC →·AD →＝﹣23，则AB →·AC →的值为．13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋b a ＋2c的最小值为． 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[﹣3e ，﹣e 2]，使得函数()f x ＝e x ﹣ax－b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．16．（本题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．。

高三数学-2018【数学】江苏省南师大附中2018届高三高考考前模拟精品

2018年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分，考试用时120分钟。

2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。

参考公式：样本数据221211,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑的方差为，其中x 为样本平均数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。

请把答案填写在答题纸相应位置上）1．sin(300)_____︒-=．2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =．3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B =ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为．5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为．6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是． 7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，，，则向a b a a b 量，a b 夹角的大小为．10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是． 11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是．12．△ABC 中，若A =2B ，则ab的取值范围是．13．已知函数()1||xf x x =-，分别给出下面几个结论： ①()f x 是奇函数；②函数()f x 的值域为R ；③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。

江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题(解析版)

南京师大附中2018届高三年级模拟考试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝______．【答案】{0，1}【解析】分析：先求B集合，再结合交集即可.详解：由题可得，故A∩B＝{0，1}点睛：考查集合的交集基本运算，属于基础题.2.若复数z＝1－i，则z＋的虚部是______．【答案】－【解析】分析：先化简z＋再写虚部即可.详解：故虚部为－点睛：考查复数的四则运算，属于基础题.3.某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．【答案】10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．详解：抽样比例是，故应从丙种型号的产品中抽取故答案为：10．点睛：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为．【答案】【解析】分析：画出约束条件的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得出最小值.详解：由约束条件作出可行域如图所示：化目标函数为.联立方程组，解得.由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值为.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B 2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是________.【答案】【解析】由程序框图，得运行过程如下：；，结束循环，即输出的的值是7.7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．【答案】【解析】分析：根据等体积法：即可：详解：由题可得=,故答案为点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．8.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.9.若直线y＝2x＋b是曲线y＝e x－2的切线，则实数b＝______．【答案】－2ln2【解析】分析：根据导数的切线的求法可设切点为，再求导得可得出切点坐标再代入切线方程即可得出b.详解：由题得：设切点为，由y＝2x＋b是曲线y＝e x－2的切线得，代入曲线得，然后将切点坐标代入切线得b=－2ln2.点睛：本题是基础题，考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力．10.“”是“函数为奇函数”的____条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】分析：根据充分必要条件判断即可.详解：当时，函数=，此时有故函数为奇函数，反之当函数为奇函数时，可令a=-1，此时f（x）=仍为奇函数，故反之a=1就不一定了，所以必要性不成立，故答案为充分不必要.点睛：考查充分必要的定义和判断，对a的适当取值是解题关键.属于基础题.11.在数列{a n}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】分析：将a n+a n+1+a n+2=15中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018详解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=15，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n，可得数列{a n是周期为3的数列．故，由a n+a n+1+a n+2=15，n取1可得，故，故答案为9.点睛：本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知直线与圆交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r可得b的第一个范围，然后由，可设AB的中点为D，则,可求出AB的长度然后再解不等式即可得到b的范围.详解：设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．13.在中，已知，则的最小值是________．【答案】【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.14.已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）设t=f（x），则g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的图象知，①当0＜a ＜1时，方程g（t）=a有两个根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的图象知，当-4＜t1＜-3时，t=f（x）有0个根，当-4＜t2＜-2时，t=f（x）有0个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0个根，②当a=1时，方程g（t）=a有两个根t1=-3，或t2=，由t=f（x）的图象知，当t1=-3时，t=f（x）有0个根，当t2=时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3个根，③当1＜a＜时，方程g（t）=a有两个根0＜t1＜，或＜t2＜1，由t=f（x）的图象知，当0＜t1＜时，t=f（x）有3个根，当＜t2＜1时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6个根，当a=由图可得同理只有5解，综合的故若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且．（1）求角A；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）用数量积的坐标运算表示出，有，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得；（2）化简，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为，再变形得，由可得结论．试题解析：（1）∵，∴，即，，，∵，，∴，∴．（2）由题知：，整理得，∴，∴，∴或，而使，舍去，∴，∴．考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB//EF；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．（2）结合（1）可证AB⊥AF，AB⊥平面PAD，从而得平面PAD⊥平面ABCD．证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD．又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB//平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB//EF．（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．因为AF⊥EF，（1）中已证AB//EF，所以AB⊥AF，又AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．17.如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又所以，时长为小时．当时，，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）见解析.【解析】分析：（1）由题可得b＝，＝，结合椭圆可得椭圆方程；（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N 为△F1AF2的内切圆的圆心，然后结合内切圆的半径表示三角形的面积可得面积比值；（3）分直线斜率不存在和斜率存在时两种情况进行讨论，连立方程结合韦达定理求出AE方程得到定点再验证其在BD上即可得到结论.解：（1）由题意，b＝，又因为＝，所以＝，解得a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.则＝＝＝＝.（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G的中点(，0)，下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).设直线l的方程为y＝k(x－1)，化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，直线AE的方程为y－y2＝(x－4)，令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝＝＝＝＝＝＝＝0，所以点T(，0)在直线AE上，同理可证，点T(，0)在直线BD上.所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，能正确计算直线方程表示是解题关键，计算量较大，属于难题．19.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1），，当时，，在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增；，在上单调递减，函数有极大值，无极小值．（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上单调递减；，，在(1，＋∞)上单调递增，函数有最小值．要使若函数有两个零点时，必须满足，下面证明时，函数有两个零点．因为，所以下面证明还有另一个零点．①当时，，，令()，，在上单调递减，，则，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．②当时，，，易证，可得，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．综上，的范围是．（3）证明：，，又，，不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，则．令（），则，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.20.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令c n＝，记{c n}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对 n≥2, n∈N*，都有pn＝＋A n c n，设{p n}的前n项和为S n，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，有，即，化简得，可得，即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论.解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，有，即，由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，①当1≤m≤2时，不等式不成立；②当或时成立；③当时，，，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且或时取得．（3）由题意得：（1）（2）（1）—（2）得，求得，所以，设，则，所以在上单调递增，有，可得.当，且N*时，，有，所以，可得，所以.点睛：考查等差等比得通项和综合运用，错位相减法求和，构造函数与数列结合证明不等式，对学生的分析思维和解决问题的能力有较高要求，属于难题.数学附加题21.A选修4—1：几何证明选讲在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．【答案】见解析【解析】分析：因为CM是∠ACB的平分线，由内角平分线定理，可得＝，再由圆的切割线定理，可得BM•BA=BN•BC，整理，即可得证.证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以＝．又AC＝AB，所以＝①因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即＝②由①、②可知＝，所以BN=2AM．点睛：本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用，考查推理能力，属于中档题．22.B选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．【答案】-1【解析】分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1．解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4．因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．点睛：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值，属于基础题.23.C选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2cosθ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】2【解析】【详解】分析：先化话普通方程：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2，直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．求出圆心C到直线l的距离d=．利用弦长公式求解即可.解：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2．直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．圆心C到直线l的距离d＝＝1．所以AB＝2．点睛：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24.已知，求证．【答案】见解析【解析】分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋，然后利用基本不等式可证明不等式．证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得()[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9．由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．点睛：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，解题的关键[（2a+1）+（2b+1）]=1的运用，属于中档题．25.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由古典概型的概率计算公式，能求出取出的三角形的面积S＝的概率；（2）由题设条S的所有可能取值为为，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望．详解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝)＝＝.（2）S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝)＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P(S＝)＝＝.又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为所以E(S)＝×＋×＋×＝.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．26.设集合是非空集合的两个不同子集．（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）分集合含有2个元素或1个元素进行讨论分析，根据定义，利用列举法即可得到结果；（2）根据有序集合对的定义，，利用二项式定理可得结果．【详解】（1）若集合B含有2个元素，即，则A＝∅，，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有种，不妨设，则A＝∅，此时(A，B)的个数为×1＝2.综上，(A，B)的个数为5.（2）集合M有子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为，若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为，又的展开式中的系数为，且的展开式中的系数为，，，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为，所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为.【点睛】本题考查集合的概念与运算、二项式定理的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

优质金卷：江苏省南师附中等四校2018届高三下学期期初联考数学试题(解析版)

1．3【解析】∵3A B，∴3A，∴3a．答案：32．12【解析】∵12112131112i ii izi i i，∴z的实部是12．答案：1 25．14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有3,3,3,4,4,3,4,4，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P．答案：1 46．2【解析】由题意得1tantan341tan，解得1tan2．∴22222213sin cos3cos tan32sin cos3cos21sin cos tan1()12．答案：2点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a （2p q m n r ）与前n 项和的关系.8．16【解析】令2204x y m，得2my x ，故双曲线的渐近线方程为2my x ．由题意可得1122m，解得16m ．答案：169．【解析】设四棱锥斜高为底面边长为因为正四棱锥的高为，正四棱锥的侧面积为，所以，故答案为10．1【解析】因为f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间2,2上，其函数解析式是,20{1,02x a x f x x x ，5511f f f f ，可得101221a a f a f ，故答案为1.11．,33,【解析】∵3221f x x ax a x ，∴2232f x x ax a ．∴实数a 的取值范围是,33,．答案：,33,12．0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB 的中位线，所以11,22EN AB ME DC ,所以12MN ME EN DC AB ．由PQ 与MN 共线，所以PQ MN R ，故2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC2202AB DC ．。

2018届南京市高三数学综合题及答案

南京市2018届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD →＝－12，则AD →²BC →＝．【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12²2πr²l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)，所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是．【答案】{－1＋ 52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ²c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ²c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ²3sin B ＝sin A ²cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ²tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．BA1B1C1 MNA又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE⊂/面DBC，DO⊂面DBC，故AE // 面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC ＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ．又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3，综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3．当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3．【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3．因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22²23²1＝－(23)2＋1－a 22²23²1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)，则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3．方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0．则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6．（2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6．答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心．又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2，化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4．当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ²CE OA2为定值．解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y 代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k 2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2，化简得CD ²CE OA 2＝2，所以CD ²CE OA2为定值．【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)，若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233，若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ²k 2＝4y 13(x 1＋2)²y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上，所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点( 2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0，可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减．综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32²3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12；取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42，所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2．又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1² 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3，此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。

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南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ．其中是真命题的有．（填所有真命题的序号）【答案】④．【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为．【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立．所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为．【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±bax ，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1，可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，即a ＝b ，于是e ＝2．【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝．【答案】38．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23AC →由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →，则⎩⎨⎧λ＝m 3，μ＝2m 3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也可通过坐标法解决．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是．【答案】2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝，因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ．因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1，所以d ＝2a ，从而daq＝2．【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是．【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，因为f ′(x )＝－34－1x 2，切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2x 2，于是l 1，l 2之间的距离d ＝|2x 1－2x 2|(－34－1x 12)2＋1＝4x 1(－34－1x 12)2＋1＝42516x 12＋1x 12＋32≤452＋32＝2，当且仅当x 1＝255时取等号，于是d 的最大值为2．【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为．【答案】53．【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点，所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，可得b a ＝23，所以e ＝53．【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是．【答案】[－223，223]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，则公差d 的最小值是．转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1．9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝．【答案】6．【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →)＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →＝－2－OA →·MN →＝－2＋12AB →·MN →＝1所以AB →·MN →＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是．ABNMDCBA【答案】(2，32]．【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →，可得A (3－2x 0，3－2y 0)，则有(1－2x 0)2＋(3－2y 0)2＝r 2，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 24，又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r2≤(2－12)2＋(32)2≤r ＋r2，解得：2≤r ≤32，易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，从而r ∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是．【答案】4＋43．【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4×BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD，于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2×2×4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43，从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数．12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是．【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值．结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋22，对任意k ＞0恒成立，即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2k ＋1－1≥22－1，当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－1，所以a 的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13．【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化，利用图像快速解决问题．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】a ＞3518．【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3，易得函数f (x )在(－∞，－a 3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a 3，a3)上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (a3)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＝0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者⎩⎨⎧f (23)≥0，a 3＜23，解得a ＞3518．【说明】本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题．二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π6)．所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2．函数F (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．（2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13．于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x)＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2x1＋tan 2x＝22·2×13＋1－(13)21＋(13)2＝7210．【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质，注意公式和性质的熟练掌握．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0．由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，故cos B ＝－12．因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3．（2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝a 2＋c 2＋ac ．因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，所以→AB ·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以→AB ·CB →的最小值为－2．【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂． 17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2）解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．PA BCD由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ． V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13×(12×2×3)×1＝33．因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ．又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13×(12×3×5)h ＝156h ．因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝255．即点C 到平面PBD 的距离为255．【说明】考查直线与平面位置关系的判断；考查空间几何体体积的计算，点到平面距离的计算．18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2－2×2×12t cos30°，整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2t －63)2＋36.由于0＜t ≤14，所以2t≥8，所以，当2t ＝63即t ＝39时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6.答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时. （2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°，两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )mt ＋v 2－64＝0设mt＝k ，0＜k ＜1，则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解，则必有△＝(128－163v )2－4×192×(v 2－64)≥0，ABC岸边30°rr h解得0＜v ≤1633，当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633.答：小船的最大速度为1633千米/小时.【说明】本题利用余弦定理解决简单的三角形问题，其中第二问，需要注意的是：要能利用方程有解，求参数的最值． 19.某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值. 解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )，由于h ≥2r ，因此23(32r2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2，所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)×3＝π(2c －1)r 2＋128πr ，定义域为(0，2].（2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1)r 2，当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立，此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小；当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)，当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0，所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增，所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小.综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m . 【说明】注意解决应用题时必要的讨论．20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －1＝1000×0.98n －1．设第n 区的面积为c n 平方米，则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)，又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)，因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25×105π(2n －1)×0.98n －1(千克)．（2）a n ＋1－a n ＝25×105π(2n ＋1)×0.98n －25×105π(2n －1)×0.98n－1＝25×105π[(2n ＋1)×0.98－(2n －1)]×0.98n －1＝25×105π(－0.04n ＋1.98)×0.98n －1．当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1，当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1，所以，当n ＝50时，a n 最大．答：第50区火山灰的总重量最大．【说明】关注数列应用题．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21．（1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．（2）x ＝5，y ＝－940x ＋498．（3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k 2，从而d ＝264－(m )21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2．由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4，整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )，即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ，因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．解：（1）x 22＋y 2＝1．（2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，于是AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22＋22k 21＋2k 2，同理CD ＝22＋22(－12k )21＋2(－12k)2＝42k 2＋22k 2＋1，于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋22k 2＋1＝32．②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k1＋2k 2，所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k 1＋2k 2)，所以MN 的中点为T (12，0)，于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12×|k|1＋2k 2＝12×11|k |＋2|k|≤28，当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为28．【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，简化面积的运算，值得注意．23．已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |，a ∈R ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程；（2）当x ∈[－1，1]时，求函数f (x )的最小值；（3）已知a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0．（2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0，所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3．综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3；当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0．设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ．设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x 2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增，所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0；所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增．所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意．综上，0＜a ≤1．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类．24．已知函数f (x )＝x －x ln x ，g (x )＝ax1＋x 2，a ∈R ．（1）当a ＞0时，求g (x )单调区间；（2）若a ＝2，设0＜n ＜m ＜1，证明：f (m )＞g (n )；（3）证明：关于x 的方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )(1＋x 2)2，所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)．（2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )， f (n )－g (n )＝n －n ln n －2nn 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n )设φ(n )＝n 2－1n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1，则φ'(n )＝－(n 2－1)2n (n 2＋1)2＜0，所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0，所以n 2－1n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )，又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝ax1＋x 2，因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a1＋x 2在(0，＋∞) 有唯一的实数解，即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1x ．设m (x )＝2x ln x －x ＋1x，因为m'(x )＝2ln x －1x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0，因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增，从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增．因为h (e)＝a ，h (e 1－a )＝－a e 2－2a，① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学会利用导数来研究函数的图象和性质．25．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，则称数列{a n }具有性质P ．（1）若数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n }是否具有性质P ；（2）若正项等差数列{b n }具有性质P ，求数列{b n }的公差；（3）已知正项数列{c n }具有性质P ，c 2＝3，且任意n ∈N *，有c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，求数列{c n }的通项公式．解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d2)n ．又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d 2m 2＋(1－d 2)m ][d 2n 2＋(1－d 2)n ]，即d2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d 2(1－d 2)mn 2＋(1－d2)2mn ，因为上式关于m ，n 恒成立，所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2，解得d ＝0或d ＝2．（3）同（2）可知c 1＝1，因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ，因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，于是c 2－c 1≤2， c 3－c 2≤2， …… c n ＋1－c n ≤2，累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2，又c 1＝1＝2×1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *．因为S 2n ＝S 2S 2n －1＝4S 2n －1，所以数列{S 2n －1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ．因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2．又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －1≤k ＜2m ，所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2×2m －1)＝k 2，因此S k ＝k 2．所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又c 1＝1＝2×1－1，所以c n ＝2n －1．经检验c n ＝2n －1满足题设条件，从而c n ＝2n －1．【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }为等差数列．证明：（1）设数列{a n }公差为d ，于是2S m ＋nm ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)2d ]m ＋n＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，a m ＋a n ＋a m －a nm －n ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n．（2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n， ①在①中令m ＝n ＋1得，2S 2n ＋1 2n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n1＝2a n ＋1， ②由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1m －n －1，令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋13， ③由②得2S 2n ＋5 2n ＋5＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋12，于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－12(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)，所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12)n －1( a 4＋a 2－2a 3)，在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 12，即a 2＋a 4＝2a 3，于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 33＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2，因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，从而数列{a n }为等差数列．【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注．三．理科附加题27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．解：（1）16．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13×12×13＋23×12×13＋23×12×12＝13；P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为3错DCBA PE (ξ)＝0×16＋1×13＋2×718＋3×19＝139．【说明】本题考查独立事件的概率．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3,AB ＝23,BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ，则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →＝(23，6，0)，所以cos ＜PB →，AC →＞＝PB →·AC →|PB →|·|AC →|＝77，即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为77．（2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →＝(－23，a ，0)，设平面PBD 的法向量→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →·→n ＝0PB →·→n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→n ＝(3，6a ，2)．又平面BCD 的一个法向量→m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3，所以|→m ·→n|→m |·|→n ||＝12，即|23＋36a2＋4|＝12，解得a ＝2．经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π3．【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算．29．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ．（1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1；（2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数．证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1，则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1，即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15，猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，证明：当n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1，则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12 ＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1 ＝a 2k ＋3，即n ＝k ＋1时，命题也成立，所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．30．已知m ∈N *，数列T ：a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1满足如下条件： ①a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1是1，2，3，…，3m ＋1的一个全排列；②数列a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1的前n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)项和S n 均不能被3整除．（1）当m ＝1时，写出所有符合条件的数列T ；（2）求满足条件的数列T 的个数f (m )．解：（1）满足条件的数列T 有：1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定，因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2．数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法，故满足条件的数列T 共有：C m 3m ×m !×m !×(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个，因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!．【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．。

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