南京市2018届高三数学考前综合题
一．填空题
1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；
②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】④．
【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．
2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 【答案】2π
3
．
【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，
即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立． 所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，
又θ∈[0，π]，所以θ＝2π
3
．
【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2．
【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±b
a
x ，
可得两条切线的斜率分别为±b
a
，
则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，
即a ＝b ，于是e ＝2．
【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →
，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 【答案】3
8
．
【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23
AC →
由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →
，则⎩
⎨⎧λ＝m 3，
μ＝2m 3
，
于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝1
4，
所以λ＋μ＝3
8
．
【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也可
通过坐标法解决．
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则d
aq
的值是 ．
【答案】2
【提示】S 2＝2a ，
S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝， 因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，
所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，
即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2
＝8a ，
所以2aq －aq 2＝a ． 因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1， 所以d ＝2a ，从而d
aq
＝2．
【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力．
6．已知函数f (x )＝－34x ＋1
x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值
是 ． 【答案】2．
【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，
因为f ′(x )＝－34－1x 2， 切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1
x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，
切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2
x 2
，
于是l 1，l 2之间的距离d ＝
|2x 1－2x 2
|(－34－1x 1
2)2
＋1＝
4x 1
(－34－1x 12)2
＋1
＝
42516x 12＋1x 12＋32
≤
4
52＋32
＝2， 当且仅当x 1＝25
5
时取等号，于是d 的最大值为2．
【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．
7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与
圆O ：x 2
＋y 2
＝b 2
4
相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．
【答案】
53
． 【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，
因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点， 所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，
又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，
所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，
可得b a ＝23，所以e ＝53
．
【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ． 【答案】[－223，22
3
]．
【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x
2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，
则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤23
3
．
【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：
已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，
则公差d 的最小值是 ．
转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1．
9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →
＝ ． 【答案】6．
【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，
于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →
)
＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →
＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →
＝－2－OA →·MN →
＝－2＋12AB →·MN →
＝1
所以AB →·MN →＝6．
【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想．
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →
，
则r 的取值范围是 ．
A
B
N
M
