泛涵分析ch8_3_new

泛函分析课件泛函分析是数学中的一门重要学科，它研究的是无限维空间中的函数和算子。

在实际应用中，泛函分析广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

本文将介绍泛函分析的基本概念和主要内容，以及其在实际应用中的一些例子。

一、泛函分析的基本概念泛函分析的基本概念包括向量空间、线性映射、内积、范数等。

向量空间是泛函分析的基础，它是一组满足一定条件的向量的集合。

线性映射是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，它保持向量空间的加法和数乘运算。

内积是向量空间中的一种运算，它是一个函数，将两个向量映射到一个实数。

范数是向量空间中的一种度量，它衡量向量的大小。

二、泛函分析的主要内容泛函分析的主要内容包括线性算子、连续性、紧性、谱理论等。

线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射，它在泛函分析中起到了重要的作用。

连续性是指在一个向量空间中，如果两个向量足够接近，它们的映射也应该足够接近。

紧性是指一个映射将有界集映射到有界集，且将紧集映射到紧集。

谱理论是研究线性算子谱性质的一门学科，它对于解析和估计线性算子的特征值和特征向量具有重要意义。

三、泛函分析在实际应用中的例子泛函分析在实际应用中有许多例子，下面将介绍其中的几个。

首先是量子力学中的波函数，它是一个复数函数，描述了量子系统的状态。

泛函分析提供了一种理论框架，可以对波函数进行分析和计算。

其次是信号处理中的傅里叶变换，它将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。

泛函分析提供了一种数学工具，可以对信号进行分析和处理。

再次是优化问题中的拉格朗日乘子法，它是一种求解约束优化问题的方法。

泛函分析提供了一种理论基础，可以对优化问题进行建模和求解。

最后是经济学中的效用函数，它描述了个体对不同商品或服务的偏好程度。

泛函分析提供了一种数学工具，可以对效用函数进行分析和计算。

综上所述，泛函分析是一门重要的数学学科，它研究的是无限维空间中的函数和算子。

泛函分析的基本概念包括向量空间、线性映射、内积、范数等。

泛函分析简介什么是泛函分析泛函分析是数学的一个分支，主要研究无限维空间的线性算子及其性质。

它源于传统的分析学，特别是微分方程、积分方程和最优化理论等领域的发展。

通过研究空间中的点和函数，以及这些点和函数之间的映射关系，泛函分析提供了一种强大的工具用于解决各种实际问题。

在物理学、工程学、经济学和其他科学领域中，泛函分析有着广泛的应用。

泛函分析的基本概念线性空间线性空间（或称向量空间）是泛函分析的基础。

它由一组元素组成，这些元素可以通过向量加法和标量乘法进行组合。

形式上，若 (V) 是一个集合，满足以下条件，则 (V) 是一个线性空间：对于任意 (u, v V)，则 (u + v V)（封闭性）。

对于任意 (u V) 和标量 (c)，则 (c u V)（封闭性）。

存在零向量 (0 V)，使得对于任意 (u V)，有 (u + 0 = u)。

对于每个向量 (u V)，存在一个对应的负向量 (-u V)，使得 (u + (-u) = 0)。

向量加法满足交换律和结合律。

标量乘法满足分配律以及结合律。

拓扑空间拓扑空间是讨论连续性和极限的重要工具。

在泛函分析中，通常会结合线性空间与拓扑结构。

例如，一个拓扑向量空间需要具备以下性质：每个点都有邻域；任意多个开集的并集仍为开集；有限多个开集的交集仍为开集。

此时，可以引入收敛、限制、开集、闭集等概念，从而更深入地研究函数的性质。

巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间（Banach Space）是一类重要的完备线性空间，其定义为一个带有范数的线性空间，使得它是完备的。

也就是说，在这个空间中，每个柯西序列都收敛于某个元素。

范数是一个度量，用来描述向量之间的“距离”。

希尔伯特空间（Hilbert Space）则是一个完备的内积空间，是巴拿赫空间的一种特殊情况。

内积允许我们定义角度、正交性等概念，对于研究四维空间中的物理现象尤为重要。

主要定理与结果超平面定理与 Hahn-Banach 定理超平面定理指出，在有限维欧几里德空间中，任何非空闭子集至少可以由一个超平面相切。

泛函分析是研究无穷维抽象空间及其分析的数泛函分析是研究无穷维抽象空间及其分析的数学理论。

泛函分析的基本思想是把函数(或曲线等)看作空间的元素或点，而函数的集合就构成了研究的“空间”。

泛函就是把函数变成实数的一种“变换”，相应地，把函数的广义变换则称为算子。

泛函分析是一门较新的数学分支，萌芽于19世纪末，到20世纪30年代已基本成熟，50年代已发展成为内容丰富、方法系统、体系完整、应用广泛的重要数学学科了。

泛函分析经过众多数学家的努力，已逐步形成了自己的学科观点、研究方法和理论体系，已成为现代分析学的重要的基础学科之一。

特别是近半个世纪以来，泛函分析的各种理论都得到系统的的发展，如广义函数论、非线性泛函等已成为应用数学的重要工具。

可以说，把泛函分析应用到自然科学(特点是物理学)的各个方面，都取得了极大的成功。

泛函分析在发展中受到数学物理方程和量子力学的推动，后来又整理概括了经典分析和函数论的许多成果。

由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了种种综合运用代数、几何(包括拓扑)手段处理分析问题的新方法。

正因为这种纯粹形式的代数、拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。

泛函分析对于任何一个从事纯粹数学与应用数学研究的人来说，都是一门不可缺少的知识。

80年代以来，我国许多高校都开设了泛函分析课程。

2(抽象代数抽象代数是从19世纪初开始萌芽并发展、成长起来的。

19世纪80年代，数学上从有限置换群的概念向抽象群的方面发展，并以通用的形式逐步前进，这就是建立抽象代数学的先声。

而深刻研究群以及其他相关的概念，比如域、环、模、代数等，并把这些相关概念运用到代数学的各个部分，从许多分散出现的具体研究对象中抽象出它们的共同特征来进行公理化的研究，促进了抽象代数的更进一步的演进，完成了以前相对独立发展的三个主要方面(群论、代数数论、线性代数以及代数)的综合。

泛函分析中的八大空间泛函分析绪论总结参考教材是孙炯老师的《泛函分析》❞泛函分析学习目标1、了解和掌握空间理论（距离、赋范、内积空间）和线性算子理论（线性算子空间、线性算子谱分析）中基本概念和理论。

2、运用全新的、现代数学的视点审视、处理数学基础课程中的一些问题。

3、将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何手段处理问题。

❞泛函分析研究对象与方法泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。

泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、并将这些概念和方法几何化。

解析几何的创立，将代数问题几何化、几何问题代数化，那么这种模式可类比的推广到泛函分析的研究中。

❞（1）建立一个新的空间框架，空间中元素包括函数、运算。

「注」：空间中的元素？空间的结构（距离、范数、内积）（2）在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题，把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。

「注」：泛函分析主要研究无穷维空间到无穷维空间的映射、运算，因此关注无穷维空间的性质，收敛性问题（如加法与无穷级数的区别）一些个人思考在三维实向量空间中进行了坐标分解，这样可以更清楚的表示这个向量的相关一些信息，那么空间的几何结构变得非常明了；另外将一个矩阵映射进行了分解，那么它的作用效果，也变得很明了。

所以自然联想到，无穷维空间能否有这样的几何结构（坐标系、正交性、元素能否分解？）、其中的映射又能否分解？但是在这其中就会遇到新的问题，也就是无穷项相加，就会有收敛性的问题。

❞泛函分析主要内容（1）空间、极限的概念，讨论他们的性质.包括：距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间.（2）研究线性算子（线性算子空间）.包括：有界线性算子、有界线性算子的重要性质、共轭空间。

其中：一致有界原则、开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理.（3）线性算子的谱理论.线性算子的谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是自共轭算子的谱分解，与有限维空间对称矩阵的分解很类似.❞定义1：设有集合,且存在映射,使得对任意的都有：1.非负性：;2.对称性：;3.三角不等式：映射称为集合上的一个度量，称为度量空间.度量函数有时也用表示.下边我们给出一些常用的度量空间：1.,度量函数为经典度量.这样的实空间就称为欧式空间.2.(平凡度量)在任何一个集合上，我们都可以定义上述度量，因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.1.(空间) 所有的方勒贝格可积函数，定义度量：1.(空间) 所有的在可测的本性有界的函数，定义度量：表示它的本性上界.1.(空间和空间) 元素是数列：.2.3.(连续函数空间) 如果不做声明时，我们的定义的度量是：4.当然还可以有其他度量：有了度量函数后，我们可以定义收敛性：定义2：设为距离空间中的一个点列(或称序列), 这里如果存在中的点, 使得当时, , , 则称点列收敛于, 记为有时也简记为称为的极限.注意到，这里一定要要求在集合中！命题1：设是距离空间中的收敛点列,则下列性质成立:(i) 的极限唯一;(ii) 对任意的, 数列有界.(iii) 如果收敛，那么它的任意子列也收敛.定义3：距离空间中的点列叫做基本点列或柯西点列,若对任给的, 存在, 使得当时,如果中的任一基本点列必收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.注意到：一个空间是否完备与它的集合和度量都有关系，比如：按照最大值定义的度量是完备的，但是按照积分定义的度量不完备，在比如上配备欧式度量，点列是基本列但是不收敛，因为不在集合中.一个不完备的空间，我们可以想方设法的添加一些元素使其完备，然而是否任何的不完备空间都能这样做使其完备呢？这就要需要我们的完备化定理了！在此之前，我们需要引入一些其他有必要的东西！定义4设是两个度量空间, 如果存在映射：满足：(1):是满射；(2):.则称和是等距同构的, 称为等距同构映射, 有时简称等距同构。

泛函分析泛函分析作为数学领域中的一个重要分支，研究了无限维度的向量空间和函数空间上的问题。

其广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，为解决现实生活中的问题提供了有效的数学工具和方法。

泛函分析的起源可以追溯到19世纪，其发展得益于函数论和拓扑学的进展。

在20世纪初，泛函分析的理论框架和方法逐渐形成，并为很多数学家和科学家所接受和应用。

泛函分析的基本概念包括向量空间、线性算子、泛函以及拓扑结构等，这些概念构成了泛函分析的基础。

在泛函分析中，向量空间是一个非常重要的概念。

它是一种由向量组成的集合，具有加法和数乘运算，并满足一定的性质。

向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。

无限维空间是泛函分析的研究对象之一，其特点是空间中的向量可以是无限维的。

线性算子是泛函分析中另一个重要的概念。

它是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，保持线性性质。

线性算子可以描述很多实际问题，例如变换、积分和微分等。

泛函是对向量空间中的向量进行映射的函数。

它可以将向量映射到实数域或复数域，并满足一定的性质。

泛函的概念是泛函分析的核心之一，使得我们可以研究函数的性质和行为。

拓扑结构是泛函分析中的一个重要概念，它描述了向量空间中元素之间的接近程度。

通过引入拓扑结构，可以定义连续性和收敛性等概念，为研究函数空间中的极限和连续性提供了数学基础。

泛函分析的应用广泛而且多样化。

在物理学中，泛函分析被用于描述量子力学和经典力学中的问题，例如量子力学算子、哈密顿力学和波动方程等。

在工程学中，泛函分析可以应用于控制论、信号处理和图像处理等领域。

在计算机科学中，泛函分析被用于定义距离度量和相似性度量，提供了计算机视觉和模式识别等方面的基本工具。

泛函分析的发展离不开众多优秀的数学家和科学家的努力。

知名的数学家如Hilbert、Banach和Frechet等对泛函分析的发展做出了重要贡献。

他们提出了许多重要的定理和概念，奠定了泛函分析的基础。

泛函分析总结范文泛函分析是数学中的一个重要分支领域，主要研究无穷维空间上的函数和算子的性质及其应用。

泛函分析是分析学、线性代数和拓扑学的交叉学科，涉及了大量的数学工具和理论。

本文将对泛函分析的基本概念、主要内容和一些典型应用进行总结。

泛函分析的基本概念主要包括：线性空间、范数、完备性等。

线性空间是泛函分析的基础，它是一个向量空间，具有加法和标量乘法运算，并且满足数乘和向量加法的线性性质。

范数是用来度量线性空间中向量的大小的一种方法，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。

完备性是指拓扑空间中的序列具有极限，即序列的极限点也在该空间中。

泛函分析的主要内容包括：线性算子、连续算子、紧算子、Hilbert空间、巴拿赫空间等。

线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，它保持向量的线性性质。

连续算子是一种满足一些特定性质的线性算子，它能够保持拓扑性质不变。

紧算子是一种特殊的连续算子，它将有界集映射为列紧集。

Hilbert空间是一种完备的内积空间，具有内积和范数的结构，它在量子力学和信号处理等领域有广泛应用。

巴拿赫空间是一种完备的范数空间，它在泛函分析和函数论中起着重要作用。

泛函分析的典型应用主要包括：函数逼近、偏微分方程、优化问题等。

函数逼近是利用泛函分析的方法来研究函数序列的极限性质，它在信号处理和图像处理等领域有广泛应用。

偏微分方程是描述自然界中各种现象的重要数学模型，通过泛函分析的方法可以研究其解的存在性和唯一性等性质。

优化问题是在给定一定条件下寻求最优解的问题，泛函分析可以提供寻找最优解的方法和工具。

总之，泛函分析是数学中重要的分析工具和理论体系，它对于理解和解决现实问题具有重要意义。

通过研究线性空间、范数、完备性、线性算子、连续算子、紧算子、Hilbert空间、巴拿赫空间等概念，可以建立起一套完整的理论框架。

通过应用泛函分析的方法和理论，可以解决函数逼近、偏微分方程、优化问题等实际问题。

泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。

在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。

学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。

§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当x y =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x是点列{}n x 的极限。

泛函分析知识总结讲解泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间中的函数与函数序列的性质以及它们之间的关系。

它是实数分析和复数分析的推广与深化，是现代数学的基石之一，对于几乎所有分支的数学都具有极高的重要性。

以下是对泛函分析的知识总结和讲解。

1.范数空间与内积空间：泛函分析的基础概念是线性空间，进一步的，我们将线性空间中的向量赋予一定的范数或内积，得到范数空间和内积空间。

范数空间是指一个线性空间中存在一个范数，满足向量加法、标量乘法和范数运算的线性性质。

常见的范数空间有欧几里得空间、无穷范数空间和Lp空间等。

内积空间是指一个线性空间中存在一个内积，满足线性性质、对称性和正定性。

内积定义了向量之间的夹角和长度，并且可以衡量向量的相似度和正交性。

常见的内积空间有欧几里得空间和希尔伯特空间等。

2.完备性与紧性：完备性是指一个度量空间中的柯西序列在该空间中有一个极限点。

具有完备性的空间被称为“完备度量空间”或“巴拿赫空间”。

典型的完备度量空间包括实数集和复数集。

紧性是指一个度量空间中存在一个有限的覆盖，可以从中选取有限个开球覆盖整个空间。

紧性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素具有收敛性质。

3.可分性与连续性：可分性是指一个度量空间中存在一个可数的稠密子集。

可分性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素可以用可数个元素逼近。

连续性是指线性空间和范数空间中的映射保持了基本的运算和距离的一致性。

连续性是一个重要的概念，它描述了元素的连续变化和收敛性质。

4.泛函与算子：泛函是指一个线性空间到实数或复数的映射。

泛函可以是线性的，也可以是非线性的，常见的泛函有线性泛函和连续泛函等。

算子是指一个线性空间到另一个线性空间的映射。

算子可以是线性的，也可以是非线性的。

常见的算子有线性算子和连续算子等。

5.特征空间与对偶空间：特征空间是指一个线性算子的定义域，它是算子的作用空间的一种表达形式。

特征空间可以是有限维空间，也可以是无限维空间。

泛函分析简介泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的空间，而不仅仅是函数本身。

泛函分析在数学理论研究和实际问题求解中都有着广泛的应用。

本文将简要介绍泛函分析的基本概念、重要定理以及其在现代数学和物理学中的应用。

泛函分析的基本概念包括向量空间、内积空间、赋范空间和希尔伯特空间等。

在泛函分析中，向量空间是最基本的概念之一。

向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的运算规则，比如加法和数乘。

内积空间是在向量空间的基础上引入了内积的概念，内积可以衡量向量之间的夹角和长度。

赋范空间是在向量空间的基础上引入了范数的概念，范数可以衡量向量的大小。

希尔伯特空间是一个完备的内积空间，其中的每一个柯西序列都收敛于空间中的一个元素。

泛函分析中的重要定理包括巴拿赫空间定理、霍尔德不等式、开映射定理、闭图像定理等。

巴拿赫空间定理是泛函分析中的一个基本定理，它指出了完备赋范空间的闭单位球是紧的。

霍尔德不等式是用来估计函数的导数和函数本身之间的关系的一个重要不等式。

开映射定理和闭图像定理则是关于线性算子的性质和映射的性质的重要定理。

泛函分析在现代数学和物理学中有着广泛的应用。

在数学中，泛函分析被广泛运用于偏微分方程、概率论、调和分析等领域。

在物理学中，泛函分析被广泛运用于量子力学、热力学、电磁学等领域。

泛函分析的理论不仅为这些领域提供了重要的数学工具，而且深刻影响了这些领域的发展。

总之，泛函分析作为数学中的一个重要分支，其基本概念和重要定理为研究者提供了丰富的数学工具和理论支持。

泛函分析在数学和物理学中有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

希望本文的简要介绍能够帮助读者更好地理解泛函分析的基本概念和重要定理，以及其在现代数学和物理学中的应用。

泛函分析,泛函分析简介泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

1概述泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

2拓扑线性空间由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。

而函数空间一般是无穷维线性空间。

所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。

比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。

或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。

(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。

对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

泛函分析知识总结汇总泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。

本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。

⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间nR （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。

这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。

⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。