河北省石家庄市复兴中学2018届高三数学一轮复习任意角、弧度制及任意角的三角函数 导学案(无答案)

三角形与三角函数的综合问题班级 姓名 小组 号【学习目标】1. 运用旧知等知识方法解决一些三角函数的综合问题。

2.提高三角函数的实际应用能力【教学重点】1. 运用旧知等知识方法解决一些三角函数的综合问题。

【自主学习探究】1.两角和与差及的正弦、余弦公式⑴ ()=-βαcos )(βα-C⑵ ()=+βαcos )(βα+C⑶ ()=+βαsin []cos = )(βα+S⑷ ()=-βαsin )(βα-S(5)=+)tan(βα (6)=-)tan(βα 2.二倍角公式sin 2________________α=.cos 2________________α== =tan 2________________α=.3. 辅助角公式(三角化一公式)形如()()的形式，引入辅助角变形为不同时为ϕ++x A b a x b x a sin 0,cos sin :令 ()()ϕϕϕ++=++=+x b a x x b a x b x a sin .cos sin sin cos cos sin 2222题型三 三角形与三角函数的综合问题 例3 (2016·长春质检)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调减区间；则,sin ,cos 2222b a b b a a+=+=ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛=..tan 确定的值由的符号决定，角、所在象限由其中角a b b a ϕϕϕ(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f (A 2－π6)＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．【课堂训练】1. 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cosA ＝－14. (1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．【整理内化】1. 本节课学习内容中的问题和疑难2.。

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z ． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝ ⎛⎭⎪⎫180π°．(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2．3．任意角的三角函数有向线1．辨明四个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 2．规律与技巧(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1.教材习题改编 单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.910π D.109π D2.教材习题改编 若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限C3．已知角α的终边经过点M (－3，－1)，则下列结论不正确的是( ) A ．sin α＝－1010B ．cos α＝－31010C ．tan α＝13D ．tan α＝3 D4．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 四 一5．若角α终边上有一点P (x ，5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________．513象限角及终边相同的角(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限． 【解】 (1)因为在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，所以终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . (2)由α是第三象限角，得π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，所以2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z )．所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．在本例(2)的条件下，判断α2为第几象限角？ 因为π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，所以π2＋k π<α2<3π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，所以α2为第二或第四象限角．1．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________． 所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. －675°或－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．三扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)． (2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长是( ) A.400π3 cm B.20π3 cm C.200π3cm D.40π3cm D 扇形的弧长为l ，圆心角大小为α＝5π3，半径为r ＝8 cm ，则l ＝αr ＝5π3×8＝40π3(cm)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.三角函数的定义(高频考点)三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，主要有以下三个命题角度：(1)根据三角函数的定义求三角函数值； (2)根据三角函数的定义求点的坐标；(3)判断三角函数值的符号．(1)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45【解析】 (1)因为tan α＞0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角． 所以sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正、余弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．(2)取终边上一点(a ，－2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝－2，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 【答案】 (1)C (2)B用定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度一 根据三角函数的定义求三角函数值1．设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为________．设点P 与原点间的距离为r ， 因为P (－4a ，3a )，a <0，所以r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝|5a |＝－5a . 所以sin α＝3a r ＝－35.故填－35.－35角度二 根据三角函数的定义求点的坐标2．设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则x ＝( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3D 因为α是第二象限角，所以x <0. 又由题意知xx 2＋16＝15x ，解得x ＝－3.角度三 判断三角函数值的符号3．已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，判断角α是第几象限角，并求tan α的值．依题意，点P 到原点O 的距离为r ＝ （－3）2＋m 2＝3＋m 2，所以sin α＝m3＋m2，又因为sin α＝34m ，m ≠0，所以m 3＋m2＝34m ， 所以m 2＝73，所以m ＝±213. 所以点P 在第二或第三象限． 故角α 是第二象限角或第三象限角． 当α是第二象限角时，m ＝213，tan α＝213－3＝－73，当α 是第三象限角时，m ＝－213， tan α＝－213－3＝73.——三角函数定义下的创新(2017·南昌质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【解析】 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ 2. 当t ＝π4时，d ＝0，故选C.【答案】 C(1)本题是三角函数与圆的结合，用时间t 表示角POx ，利用三角函数定义得出P点的纵坐标，从而得出d 和t 的关系，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、转动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )C 如图，取AP 的中点为D ，连接OD ，连接OP .设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，l ＝2θ，故d ＝2sin l2.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z ) C 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．3．角α的终边过点P (3a ，4)，若cos α＝－35，则a 的值为( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．±5 B x ＝3a ，y ＝4，r ＝9a 2＋16，由cos α＝－35得3a 9a 2＋16＝－35，且a <0. 解得a ＝－1.选B.4．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )A ．在x 轴的正半轴上B ．在x 轴的负半轴上C ．在y 轴的负半轴上D ．在y 轴的正半轴上A 由于角α与β的终边相同，所以α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，从而α－β＝k·360°(k∈Z )，此时角α－β的终边在x 轴正半轴上．5．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.故选B.6．设θ是第三象限角，且|cos θ2|＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B 由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )； 又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4(k ∈Z )，即θ2是第二象限角．7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________． 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35. －358．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 二9．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为________．依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 的坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．(－1，3)10．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．在区间内，由三角函数线可知，当x ∈(π4，5π4)时，sin x >cos x ，所以使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z . (2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．因为θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22. 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，所以△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3. 所以弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32)．。

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数【最新考纲】 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)分类：①从运动的角度看，可分为正角、负角和零角．②从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①角度与弧度的换算πrad＝180°；②弧长公式：l＝r|α|；③扇形面积公式：S＝12lr＝12r2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y x．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)将表的分针拔快5分钟，则分针转过的角度是π6.()(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等．()(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．答案：C3．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析：设角α的终边上点(－4，3)到原点O 的距离为r ，则r ＝（－4）2＋32＝5，∴由余弦函数的定义，得cos α＝x r ＝－45.答案：D4．(2014·课标全国Ⅰ卷)若tan α＞0，则( ) A ．sin 2α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin α＞0 D ．cos 2α＞0解析：由tan α＞可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选A.答案：A5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 答案：1或4一条规律三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 四点注意1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 4．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，应注意分类讨论．一、选择题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34解析：根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34.答案：D2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 解析：由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.答案：C3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵点P(tan α，cos α)在第三象限， ∴tan α＜0，且cos α＜0，由tan α＜0，知α的终边在第二或第四象限，由cos α＜0，知α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上，因此角α的终边在第二象限．答案：B4．(2016·石家庄质检)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3解析：因点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，则θ＝116π.答案：C5．已知P(6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ→，则点Q 的坐标是( ) A ．(8，－6) B ．(－8，－6) C ．(－6，8) D ．(－6，－8)解析：|OP|＝62＋82＝100，设∠xOP ＝θ，∴cos θ＝610＝35，sin θ＝45. 设OQ →＝(x ，y)，则x ＝10cos (θ＋3π2)＝10sin θ＝8，y ＝10sin (θ＋3π2)＝－10cos θ＝－6.答案：A6．(2014·课标全国Ⅰ卷)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M.将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x)，则y ＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )解析：利用单位圆及三角函数的定义，求出f(x)的解析式．如右图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P(cos x ，sin x)，M(cos x ，0)，作MM′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM|＝sin x ，∴f （x ）cosx ＝sin x ，∴f(x)＝sin xcos x ＝12sin 2x ，则当x＝π4时，f(x)max＝12；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f（x）|cosx|＝sin(π－x)，f(x)＝－sin xcos x＝－12sin 2x，当x＝3π4时，f(x)max＝12.只有B选项的图象符合．答案：B二、填空题7．若角α的终边过点(1，2)，则sin(π＋α)的值为________．解析：由三角函数的定义知r＝12＋22＝5，所以sin α＝yr＝25＝255，则sin(π＋α)＝－sin α＝－255.答案：－25 58．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________．解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案：－88．函数y＝2cos x－1的定义域为________．解析：∵2cos x－1≥0，∴cos x≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)三、解答题10．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a ，4a)，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：r ＝（3a ）2＋（4a ）2＝5|a|. 当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝3a 5a ＝35，tan α＝y x ＝4a 3a ＝43；当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.11．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S.解：(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB·sin π3＝25 3. ∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

三角函数摸底试卷班级 姓名 小组 号一、选择题（每题5分，共60分）1．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-，则函数()f x 的图象（ ）A. 最小正周期为2T π=B. 关于点1,82π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称C. 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 D. 关于直线8x π=对称2．下列区间上函数为增函数的是（ ）A. B. C. D.3．在△ABC 中，如果sin Asin B ＋sin Acos B ＋cos Asin B ＋cos Acos B ＝2，则△ABC 是() A. 等边三角形 B. 钝角三角 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形4．函数（，）的部分图像如图所示，则的单调递增区间为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5．在ABC ∆中，已知222s i n s i n s i n A B C =+，且s i n 2s i n c A B C =，则ABC ∆的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形6．已知中，，，，则等于（ ）A. B. 1C. D. 27．已知函数()(),0{42,0xsin x f x f x x π>=+≤，则()5f -的值为()A. 0B. 2C. 1D. 8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， cos2sin A A =， 2bc =，则ABC ∆的面积为（ ） A. 12 B. 14C. 1D. 2 9．已知，则 ( )A. B. C. D.10．已知角α满足tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+-的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 411．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若222a c b -=， sin 4cos sin B A C =⋅，则b = A. 14 B. 12C. 2D. 4 12．将函数()22sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ） A. ()424k x k Z ππ=+∈ B. ()412k x k Z ππ=-∈ C. ()412k x k Z ππ=+∈ D. ()424k x k Z ππ=-∈ 二、填空题（每题5分，共20分）13．已知，，则__________．14．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为____________.15．函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.16．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为__________海里/小时.三、解答题（第17题10分，以后每题15分，共70分）17．1.两角和与差及的正弦、余弦公式⑴ ()=-βαcos )(βα-C⑵ ()=+βαcos )(βα+C⑶ ()=+βαsin )(βα+S⑷ ()=-βαsin )(βα-S(5)=+)tan(βα (6)=-)tan(βα 2.二倍角公式sin 2________________α=.cos 2________________α== =tan 2________________α=.3.正弦定理4.余弦定理（3个）及推倒公式（3）18.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋ac .(1)求∠B 的大小；(2)求cos A ＋cos C 的最大值． 19．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c ,b ,a ，其外接圆半径为6，241=-B cos b ，34=+C sin A sin （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值．20．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3a =，点D 在AC 边上且,14BD AC BD ⊥=，求c . 21．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，，，为边中点， AD =1．（1）求的值；（2）求的面积.。

第三章三角函数、解三角形[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情][重点关注]1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为15分或17分，一般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主．2．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．3．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．4．高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换，又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求．[导学心语]1．立足基础，着眼于提高：立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法：应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键：三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意交汇：三角函数与解三角形知识的交汇渗透，这也是高考命题的热点之一．第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①角度与弧度的换算： a ．1°＝π180 rad ；b.1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.②弧长公式：l ＝r |α|.③扇形面积公式：S ＝12lr ＝12r 2α. 3．任意角的三角函数1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2017·西宁复习检测(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D.]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝( )A.32B.±32C.22D.±22B [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y ＝±32.]4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B.9π C.910πD.109πD [单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝109π，由弧度数的定义得109π＝l r ，所以l ＝109π.]5．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.1．2 [由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad.](1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A ．第一象限角 B.第二象限角 C ．第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图3-1-1所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．图3-1-1(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角． 综上，α2是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．][规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进行讨论．[变式训练1] (1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z，那么( ) A ．M ＝N B.M ⊆N C ．N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.【导学号：01772101】(1)B (2)－675°或－315° [(1)法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)由终边相同的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.5分(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.7分又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.9分当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.12分[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量．[变式训练2] 已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形，因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.5分(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.9分 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝253， ∴S 弓形＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.12分A ．sin α＞0 B.cos α＞0 C ．sin 2α＞0D.cos 2α＞0(2)(2016·河南中原名校第三次联考)已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－32 B.32 C ．－12D.12(1)C (2)D [(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.(2)抛物线方程y ＝－14x 2可化为x 2＝－4y ，∴抛物线的准线方程为y ＝1. ∵点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，∴A (－3，1)，由三角函数的定义得sin α＝yr ＝1(－3)2＋12＝12.] [规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况．(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断． [变式训练3] (1)(2016·山东聊城期中)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝( )A.247B.－247C.127D.－127(2)函数y ＝2cos x －1的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [(1)由三角函数的定义可得cos α＝x x 2＋42. ∵cos α＝15x ，∴x x 2＋42＝15x ， 又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3， ∴cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.故选A.(2)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．][思想与方法]1．在利用三角函数定义时，点P (x ，y )可取终边上任意一点，若点P 在单位圆上，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ；若|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝y x .2．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法． [易错与防范]1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．。

第四章 三角函数、解三角形第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.答案 A2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析 因P 点坐标为(－22，－22)，∴P 在第三象限． 答案 C3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )． A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40cm 2 D ．80cm 2解析 72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 答案 B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案 A5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ ( )． A ．－8 B ．8 C ．－4 D ．4解析 根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y42＋y 2＝－255，又∵y <0，∴y ＝－8(合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8.答案 A 6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案 A二、填空题 7．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析 因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案 22或－22－1 8．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.∴角α在第二象限．答案 二9．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析 由题意得S ＝12(8－2r )r ＝4，整理得r 2－4r ＋4＝0，解得r ＝2.又l ＝4，故|α|＝l r ＝2(rad)．答案 210．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 三、解答题11． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.12．(1)确定－cos8·tan5的符号； (2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1. 由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB ＝2sin 1 (cm)．14． 如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .解 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°3 5·12－45·32＝3－4310.＝。

52018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标18任意角和弧度制及任意角的三角函数理［解密考纲］本考点主要考查三角函数的概念、 任意角和弧度制. 通常以选择题、填空题 的形式呈现•安排在比较靠前的位置.一、选择题1 •将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（C ）A.D.解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A ,B 不正确，又因为拨快 101 1分钟，故应转过的角为圆周的6即为-以n值范围是（A ）A. ( - 2,3] C. [ - 2,3)4 . （2017 •福建三明模拟）设a 是第二象限内，RX, 4）为其终边上的一点，且 cos a 5X ，则 sin a = ( A )B.2.点P 从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动晋弧长到达Q 点，贝y Q 点的坐标为A.C.B . D .~2 ,解析：由三角函数定义可知2nQ 点的坐标(x , y )满足x = cos 331 . 2n 3 ,y = sin=3.已知角 a 的终边经过点 (3 a -9, a + 2)，且 cos a < 0, sina >0，则实数a 的取B. ( -2,3)D. [ - 2,3]解析：由cos a < 0, sina >0可知，角a 的终边在第二象限或y 轴的正半轴上，所3a -9W 0, 以有 a +2>0, 解得—2<a w 3. 1 2, 12,A.B.531x解析：因为r = E,cos a= 5x =—片T 得x = 3或x =- 3，又因为a 是第二4象限角，则x =— 3, r = 5,所以sin a=^,故选A.5边在直线 y = 2x 上，贝U cos 2 0 = ( B )B.2n B-y 11 nDnr•••与2 010。

终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为一1&设角0为第四象限角，并且角0的终边与单位圆交于点 P （x o, y o ）.若x o + y o = —-,贝U cos 2 0 =- ^7.91 解析：由二角函数的定义，得x o = cos 0 , y o = sin 0 . ■/ cos 0 + sin 0 = — 3,两3 55. （2017 •安徽合肥模拟）已知角 0的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,A. 解析: 由题意知，tan 0 = 2，即sin0 = 2cos2 20，将其代入sin 0 + cos 0 = 1中可得 cos 21 0 = 5,故2 3cos 2 0 = 2cos 0 — 1 =—，故选5B. 6. 已知正角 a 的终边上一点的坐标为 2 n sin亍cos 營，则角 a 的最小值为（D ）A. C. 解析：•/ sin,-2••角a 为第四象限角,且 sin a = — -, cosa = ~2~ ,•••角 a11 n的最小值为 ，故选D.6二、填空题 7.在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为一解析：•/ 2 010675n~6 n = 12 n — § ，解析：由a 是第三象限角，知 2k n + n <a <2k n + —^( k € Z) , k n +专<2<k n +第四象限角.三、解答题sin aQ与 A 关于直线y = x 对称，求corr + tan 3解析：由题意可知P 点坐标为Ra ,— b ) , Q 点的坐标为 Qb , 12 .已知 sin a <0, tan a >0. ⑴求a 角的集合；⑵求才的终边所在的象限；边平方得 sin 2 0 =— 8,• cos2 0 =± 1 — sin2 0 =±—0为第四象限角，sin 0 <0,cos 0 >0, sin 0 + cos 0 <0, ••• |sin 0 |>|cos20 | , • cos 20 = |cos 0 | — |sin 02| <0,• cos 2 0 = - ^17.9.设角a 是第三象限角,sin^ =-sin 十，则角三是第四象限角.3 n4(k € Z)，知2是第二或第四象限角，再由 aa 小 sin7 一sin㊁，知 sin訂,所以专只能是10.角a 的终边上的点P 与A (a ,b )关于x 轴对称(a ^0,0)，角的终边上的点ta n a 1 + cos a sin 3 的值.根据三角函数定义得 sinb aa i 2 +b 2' cos a 2+ b 2' tan a sin 3 =aba 2+b 2' cos —a 2 + b 2,a sin a tan atan 3=b 所以 corr +tanr +cos a sin 3=—1—F +b 22 . 2a + b=0.11.已知扇形AOB 勺周长为8.(1) 若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解析：设扇形AOB 勺半径为r ，弧长为I ，圆心角为a ,2r + I = 8,r = 3, 解得|= 2,r = 1,或■=I = 6,a ).(3) 试判断tan -^sin -2cos-2的符号.解析：(1)由sin a <0,知a的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan a >0, 知a的终边在第一、三象限，故a的终边在第三象限，其集合为『3 n=a | 2k+ 1 n < a <2k n + -, k€(2) 由(2k+ 1) n <a <2k n + —^ , k€ Z,ca■jn a/得k n + —<2<k n ^~4~, k € Z,故—的终边在第二、四象限.(3) 当牙在第二象限时，tan y<0, sin守>0, cos今<0,所以tan O^sin ^cos ：取正号；当亍在第四象限时，tan寺<0, sin "2<0, cos寺>0,a a a所以tan —sin ~cos —也取正号.因此tan专sin争0s a取正号.i =6.r(2) ••• 2r + I = 8, • S扇=2|r = *r(8 —2r) = r(4 —r) =—(r —2)2+ 4<4,当且仅当r = 2, 即a=r=2时，扇形面积取得最大值4.•弦长AB= 2sin 1 x 2= 4sin 1.。

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数, )1．角的有关概念(1)角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类①按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧正角：按逆时针方向旋转而成的角负角：按顺时针方向旋转而成的角零角：射线没有旋转 ②按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°．(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2．3．任意角的三角函数1．辨明四个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．(2)利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 2．活用两个方法(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1.教材习题改编 －2 017°6′8″是第几象限角( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B 因为－2 017°6′8″＝142°53′52″－6×360°， 142°53′52″是第二象限角，故选B.2.教材习题改编 单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9πC ．910π D ．109πD3.教材习题改编 若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限C4.教材习题改编 已知θ的终边过点P (12，－5)，则cos θ的值为( ) A ．1213 B ．－513C ．－125D ．－512A x ＝12，y ＝－5，所以r ＝x 2＋y 2＝13，所以cos θ＝x r ＝1213.5．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．象限角及终边相同的角(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅【解析】 (1)－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．(2)法一：由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .【答案】 (1)C (2)B1．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角C 因为α是第二象限角，所以π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. －675°或－315°3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.(－2，3)扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10(cm)，α＝2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形周长是6，面积是2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，所以l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.833π三角函数的定义(高频考点)任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现．高考对三角函数定义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值； (2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值； (3)判断三角函数值的符号．(1)已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( )A ．大于0B ．大于等于0C ．小于0D ．小于等于0(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．(3)若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α和tan α的值． 【解】 (1)选C.因为θ是第四象限角， 所以sin θ∈(－1，0)． 令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0. 故sin(sin θ)<0.(2)因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.故填－35.(3)设α终边上任一点为P (－4a ，3a )，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.用定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度一 已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值1．设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43D 因为α是第二象限角，所以x <0. 又由题意知xx 2＋16＝15x ，解得x ＝－3. 所以tan α＝4x ＝－43.角度二 已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45B 取终边上一点(a ，－2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝－2，可得cos θ＝±55， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.角度三 判断三角函数值的符号3．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．, )——三角函数定义下的创新如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x的函数f (x )，则y ＝f (x )在的图象大致为( )【解析】 如图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则||MM ′|OM |＝sin x ，所以f （x ）cos x＝sin x ，所以f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f （x ）|cos x |＝sin (π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．【答案】 B(1)本题是三角函数定义与圆相结合的题目，需要考生深刻理解三角函数的定义，并能对定义进行适当的迁移，同时考查考生转化的能力和数形结合思想的应用．(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滚动、转动等形式，运用三角知识考查学生分析问题、解决问题的能力．(2017·南昌质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )C 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ 2. 当t ＝π4时，d ＝0，故选C., )1．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )C 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．2．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC θ是第二象限角⇒θ2为第一、三象限角，所以tan θ2>0，故选C. 3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上A |cos α|＝1，则角α的终边在x 轴上． 4．已知角α的终边与单位圆的交点P (x ，32)，则tan α＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．33D ．±33B 因为P (x ，32)在单位圆上，所以x ＝±12. 所以tan α＝± 3.5．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.6．(2017·安徽省江淮十校协作体联考)已知锐角α，且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( )A ．8°B ．44°C ．26°D ．40°B 因为sin(－50°)<0，cos 130°＝－cos 50°<0，所以点P (sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．又因为0°<α<90°，所以0°<5α<450°. 又因为点P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)， 所以5α＝220°，所以α＝44°，故选B.7．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3 8．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，所以－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，－(k ＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k ＋1)·360°＋360°，其中k ∈Z ，所以180°－α是第四象限角．四9．(2017·山西大同一模)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x 的值为________．因为cos α＝－x （－x ）2＋（－6）2＝－xx 2＋36＝－513，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.5210．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 设扇形半径为R ，内切圆半径为r . 则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝(1＋233)r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr2＝7＋439. (7＋43)∶911．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限．(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限， 其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．12．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A ．5π6B ．2π3C ．5π4D ．11π6D 因为(sin 2π3，cos 2π3)＝(32，－12)，所以角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.所以角α的最小正值为11π6.13．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．因为θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x.又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22. 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. 14．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8， 所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.。

2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书 文 新人教版1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos αR＋－－＋tan α {α|α≠k π＋π2，k ∈Z }＋ － ＋ －4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线.【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √)(3)不相等的角终边一定不相同．( ×)(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √)(5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √)(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √)1．角－870°的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32 C.22D ．±22答案 B解析 由题意知|r |2＝(12)2＋y 2＝1，所以y ＝±32. 由三角函数定义知sin α＝y ＝±32. 3．(2016·潍坊二模)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．已知在半径为120 mm 的圆上，有一段弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad. 答案 1.2解析 由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad.5．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 (1)A (2)(2k π＋π4，2k π＋56π)(k ∈Z )解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角． 所以α为第一或第三象限角．故选A.(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________．(2)(2017·广州调研)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________．答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在[0,2π]内与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个．题型二 弧度制例2 (1)(2016·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad)．即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 (1)－64(2)A 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32)．命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________． 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6) (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3](2)满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 (1)A (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2017·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集． 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2， 则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2)(2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0 答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 3．(2016·广州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( )A.155 B.153 C ．－155D ．－153答案 D解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4．(2017·九江质检)若390°角的终边上有一点P (a,3)，则a 的值是( )A. 3B ．3 3C ．－ 3D ．－3 3答案 B 解析 tan 390°＝3a ，又tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝33， ∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 5．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 答案 C 解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α，∴α的一个变化区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．8．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3，r ＝2. 9．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角． 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角． 10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．答案 (π4，5π4) 解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)． 11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2 rad ，弦长AB 为2sin 1 cm.12．已知角α终边上一点P ，P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．解 设P (x ，y )，则根据题意，可得|y ||x |＝34. 又∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ， 从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝34， ∴cos α＋2tan α＝710. ②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ， 从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34， ∴cos α＋2tan α＝－710. 综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝710； 若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－710. *13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。