苏教版高中数学选修2-3：本章回顾

苏教版普通高中数学选修2-3第一章《组合（2）》教学设计无锡市堰桥高级中学余金荣1 教材分析本节课是《组合》的第二节课，学生学习计数原理、排列数和组合数公式等知识的后续内容，教材安排的主要内容为组合数的性质及其相关的运用，它与计数原理、组合数和数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式系数的性质的基础。

学习本课时的相关内容能使学生系统掌握组合数的有关知识，掌握渗透于知识中的计数原理的相关思想，掌握特殊到一般和一般到特殊的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点有作用，对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生创新的精神。

2 学情分析所教学生为高二理科班学生，接受了高中一年半课程学习，具有一定的观察能力，但缺乏较强的逻辑思维能力，与字母有关的表达式计算难以接受；具有处理特殊问题的能力，但缺乏一定的归纳能力；学生缺乏将数学知识生活化的认识，潜意识中认为数学离生活比较遥远.3 目标定位3.1 教学目标（1）通过实例让学生归纳出组合数的性质，对组合数性质能用模型进行证明；（2）能用组合数公式来解决一些简单的关于组合数的计算问题和方程问题，并且能进行组合数相关等式的证明；（3）体验知识发生、发展过程，感受发现和探索数学知识的快乐；（4）通过情景的设置，培养学生用数学思维看世界，用数学知识认识世界，培养学生提出问题和解决问题的能力. 3.2 教学重点和难点（1）教学重点：能用组合数的性质进行组合数的相关计算和证明. （2）教学难点：组合数性质的证明和与组合数相关等式的计算与证明（含字母的）.4 教学过程设计4.1 回顾宜兴之旅，创设情境师：在2017年3月21日一个充满神奇色彩的班级无锡市堰桥高级中学高二（5）班在赴宜兴社会实践中获得了登山项目的第一名（展示活动过程中的一张合影）. 在龙池山脚下进行了大家印象深刻的野炊活动，发生了一下故事：高二（5）班第六组的主要成员如下（展示活动过程中的分组情况：组长：詹伦伦；副组长：郝天龙；组员：余老师，惠晓杰，孙乐天，张旭，沈康明）.幻灯片： 情境1赴宜兴社会实践中，第六小组有7名成员（余老师也在内），有3名成员负责烧饭，请问组长詹伦伦同学有多少种分派的方法？第六小组中有4名成员负责炒菜，请问组长詹伦伦同学有多少种分派的方法？（用组合数作答）生：37C ；47C . 师：你有什么发现？ 生：3477C C师：能解释其中的原因吗？生：从7名成员中选出3名成员构成一个组合与剩下来的4名成员构成的组合是一一对应关系，因此，从7名成员中选出3名成员的组合数37C ，即从7名成员中选出4名成员的组合数47C .师：将以上的人数做了改变之后呢？能否从中总结出一个一般性的等式？生：m n mnnC C .4.2 收获宜兴之旅，建构数学师：这就是我们要学习的组合数的性质1（板书），能否解释以上等式成立的原因？生：一般地,从n 个不同元素中取出m 个不同元素后，剩下()n m 个元素. 因为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的每一个组合，与剩下()nm 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，等于从这n 个元素中取出()nm 个元素的组合数，即mn mnnC C .设计意图 借助学生印象深刻的社会实践，调动学生的积极性，采用贴近学生生活的例子作为情境，让学生有一种亲切感， 从生活中的例子中总结出组合数的第一个性质，让学生感到数学来源于生活.在设计的过程中，从特殊到一般，让学生体验发现知识的过程，提高学生的抽象概括能力的同时享受发现知识的快乐.师：以上我们用组合数的定义给出了组合数性质的证明，能否从数式的角度给出这个等式的证明.生：!!()!![()]!()!mn mnnn n C C nm m n nm nm .（教师根据学生的口述板书）设计意图 教材的设计从特殊到一般直接给出了性质，便于学生掌握，另一方面也要兼顾严密性，对已经给出的性质给出必要的证明，在证明的过程中再次巩固组合数的定义及其计算公式，进一步掌握组合数性质的本质.课堂练习1. 计算：20112012C ________;2. 若377xC C ，则x _________;3. 对nn C 用性质1的结果如何？设计意图 学生对性质中的字母难以理解，一方面进一步巩固性质1，另一方面让学生感知性质1在计算，求方程上的应用，同时对0n C 做出规定（这样可以让学生感觉到这个规定的缘由）.师：以上我们帮助组长詹伦伦同学解决了一个实际问题，收获了组合数的一个性质，接下来再次回顾一个情境（幻灯片）：情境2 第六小组有7名成员，有3名成员负责烧饭，余老师不会烧饭，现在很关心以下两个问题：（1）余老师被选入烧饭团队的分派方法有多少种？（2）余老师没有被选入烧饭团队的分派方法有多少种？（用数字作答）生：（1）2615C ；（2）3620C ；师：以上两个问题的结果与情境1中总的选派方法数有什么关系？为什么？生：323766351520C C C .师：能类比情境1，分析情境2吗？生：可以得到等式：11mm m nnnC C C . 师：很好，这就是今天要学习的性质2.请类比性质1给出该性质的证明. 生：可以有两种证明方法： 方法一 从121,,,n a a a 这(1)n个不同的元素中取出m 个元素的组合数为1m n C ，这些取法的结果可以分为两类：（1）含有1a ，取法的种数为1m n C ；（2）不含1a ，取法的种数为m n C .根据分类计数原理得：11mm m nnnC C C .（教师根据学生的回答情况适当给予引导，特别是表达的规范上）方法二 用组合数公式进行证明（此处略）.设计意图 两个性质的研究的方法上基本类似，采用类比学习的方法，让学生发现性质2，一方面巩固性质1的研究方法，另一方面，让学生感受学会类比学习，进一步巩固合情推理的推理方法.课堂练习1. 计算：9897100100C C ___________；（结果用组合数作答） 2. 计算：898910099C C ___________.（结果用组合数作答）设计意图 巩固性质的运用，在练习中体会性质的特点，在变式中感受性质的不同使用方法.4.3 享受宜兴之旅，数学运用师：回顾宜兴之旅，我们收获了组合数的两个性质，接下来我们享受宜兴之旅带来的快乐.例题 （1）计算：9697989999992C C C ；（2）计算：45677789C C C C . 设计意图 让学生进一步体会组合数性质的特征，运用性质的关键是组合数的上标和下标均要满足性质的要求.同时，也让学生感受到用组合性质来解此类问题比用组合数公式来处理优越.探究 计算：3334510C C C . 设计意图 这个组合数式子的化简的方法比较多，学生会根据前面练习的经验给出一些尝试，往往学生最初的尝试都是错误的，只要学生看到了自己的错误就会知道自己正确的思路在哪.给学生探究的机会，提高学生分析问题和处理问题的能力.实际上本题的关键是在式子的最前面加一根“导火索”：44C .当然也可以使用组合数性质2的变形形式.师：能从以上例子中归纳出一个一般性的等式吗？生：11321mm m m m m mmnnnnC C C C C C （适当引导）. 设计意图 让学生再次体验发现知识的快乐，在发现知识中进一步巩固组合数的性质的运用.同时也为后面用二项式定理证明上述结论做铺垫（实际上，等式的左边就是11(1)(1)(1)m mn x x x 的展开式中m x 的系数）.课堂练习1. 求证：1231112311r r nnnnr nrC C C C C . 2. 解方程：（1）1231313x x C C ； （2）77818x x x A A A .设计意图 巩固组合数性质的运用，进一步感受组合数性质用来处理部分组合数计算问题的优越性.在解方程的过程中也感受到组合数和排列数之间的内在关系.4.4 反思宜兴之旅，课堂小结师：宜兴之旅让我们回味无穷，让我们在登龙池山时增强毅力，让我们在野炊中体验做饭带来的幸福，让我们在攀岩中体验耐力的极限，让我们在多米诺骨牌码放中认识细心二字，让我们在翻毕业墙中领略集体的智慧，接下来，我们再次反思一下宜兴之旅给我带来的数学收获.生：组合数的两个性质；组合数与实际模型之间的关系；组合数的性质在运用过程中的收获（导火索）：0111n kn n kC C C.师：说得很好，宜兴之旅，回忆无限.设计意图让学生将数学上的收获和精神上的收获一起总结，再次回味宜兴之旅.学生自我总结，也是给学生一个自我评价的过程.5 作业设计（略）6 教学后记为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程.本教学设计构建了一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“学习链，在这个过程中始终抓住组合数的性质，循序渐进，发现并运用组合数的性质，力求实现知识传授的连续与自然.本堂课的设计基于学生赴宜兴社会实践，以社会实践为背景设计问题情境，贴近学生的生活，给学生予数学来源于生活的感觉，同时也让学生能够及时进入课堂，另一方面，这样教学可以将原本枯燥的数学课堂变得丰富多彩.组合数的性质的运用在每个性质后配置了适当的简单练习，旨在让学生及时掌握性质的特点，并且能够在第一时间将性质的特点运用到位.组合数性质的深层次的运用在最后的综合例题中体现，使学生体会组合数的性质在计算组合数和化简组合数表达式中的运用.组合数性质的证明采用两种方法进行，利用定义让学生对组合数的性质有一个直观的印象，利用组合数公式进行证明一方面增强学生的计算能力，进一步熟悉学生比较陌生的阶乘的运算，另一方面采用一种严格的证明方法，训练学生严谨的逻辑思维.总之，课堂教学应该从学生的全面发展出发，注重培养学生的数学素养和情感体验，尊重学生个性思维特点，鼓励自主学习、合作学习、探究学习，关注每一位学生，因材施教，让每一位学生都能宽松、开放的学习环境中体验成功的喜悦、得到充分发展.。

高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章：计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事情，有N类方法，第一类方法有M1种不同的方法，第二类方法有M2种不同的方法，以此类推，第N类方法有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有M1+M2+。

+MN种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成N个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有M2种不同的方法，以此类推，第N步有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。

3.排列：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4.排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示。

An=m!/(n-m)!(m≤n，n，m∈N)。

5.公式：A(n+m)=An+Am*m!(m≤n，n，m∈N)；An=m*(m-1)*。

*(n-m+1)=n!/(n-m)。

6.组合：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

7.公式：C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!]；C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)；C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。

8.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。

+C(n,n)*a^0*b^n。

9.二项式通项公式展开式的通项公式：T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n)，其中C(n,r)为二项式系数。

10.二项式系数Cn：C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!)，其中r为从n个元素中取出的元素个数。

11.杨辉三角：杨辉三角是一种数学图形，由二项式系数构成，XXX的数为C(n,0)，C(n,1)。

排列教学目标1.进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题．教学重点，难点排列数公式的应用．教学过程一．问题情境1．复习回顾：（1）排列的定义；（2）排列数m n A 的意义；（3）阶乘的概念．2．练习：有四个互不相等且不等于1的正数,,,a b c d ，从中取出两个数，（1）求和；（2）求差；（3）求积；（4）求商；（5）分别作为对数的底数和真数，各有多少种不同的取法？在上述问题中，属于排列问题的是哪些？并写出所有符合条件的排列．二．学生活动思考：（1）用阶乘表示：11n n A ++；（2）11n n A ++与n n A 的关系．（11n n n n n n A A nA ++-=）三．数学运用1．例题：例1．求证：!()!m n n A n m =-．证明：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)()321!()(1)321()!n n n n m n m n n m n m n m ---+-⋅⋅==---⋅⋅-．说明：（1）排列数公式还可以写成!()!m n n A n m =-；（2）为了使这个公式在m n =时能成立，我们规定0!1=．例2．求证：（1）11m m n n A nA --=(2)n m ≥≥；（2）11m m m n n n A mA A -++=． （1）证法1：11!(1)!(1)!()!()![(1)(1)]!m m n n n n n A n n nA n m n m n m ----==⋅=⋅=-----． 证法2：11(1)!![(1)(1)]!()!m m n n n n nA n A n m n m ---=⋅==----．（2）证明：1!!()!(1)!m m n n n n A mA m n m n m -+=+--+ 1!(1)!(1)!(1)!(1)!m n n n m m n n A n m n m +-++⋅+===-+-+．例3．化简：12312!3!4!!n n -++++． 解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!n n =-+-+-++-=-11!n -．说明：111!(1)!!n n n n -=--．例4．解方程：3221326xx x A A A +=+． 解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-，∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=，解得：5x =或23x =，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =．例5．解不等式：2996x x A A ->．解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!x x >⋅--， 也就是16(9)!(11)(10)(9)!x x x x >--⋅-⋅-，化简得：2211040x x -+>， 解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈， 所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *∈且m n ≤这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式m n A =!()!n n m -，常用来证明或化简．四．回顾小结：排列数公式的两种形式及其应用．五．课外作业：。

2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为0­1分布或两点分布，并记为X～0­1分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。

第一章 计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n 个。

1.2 排列与组合 1.2.1 排列一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示。

排列数公式：n 个元素的全排列数规定：0!=11.2.2 组合一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(combination)。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C n m 或(n m )表示。

组合数公式：∵ A n m =C n m ∙A m m∴规定：C n 0组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性(2) 当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项C n n 2+1取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项C n n−12，C n n+12同时取得最大值。

排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

2.3.1 条件概率学 习 目 标核 心 素 养1.了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．(重点)2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．(难点)通过条件概率的学习，提升数学抽象素养.1．条件概率一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．若A ，B 互斥，则P (A |B )＝P (B |A )＝0.2．条件概率公式(1)一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). (2)乘法公式：P (AB )＝P (A |B )P (B )． 思考1：P (A |B )＝P (B |A )成立吗？[提示] 不一定成立．一般情况下P (A |B )≠P (B |A )，只有P (A )＝P (B )时才有P (A |B )＝P (B |A )．思考2：若P (A )≠0，则P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )，这种说法正确吗？ [提示] 正确．由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )．1．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A.1B.12C.13D.14B [设事件A ：第一次抛出的是偶数点；事件B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12×1212＝12.]2．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )＝________.12 [由P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12.] 3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．415[记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝410×69＝415.]利用P (B |A )＝P (AB )P (A )求条件概率 只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．(2)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．①求P (A )，P (B )，P (AB )；②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． [思路探究] (1)直接应用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )求解． (2)①利用古典概型求P (A )，P (B )及P (AB )． ②借助公式P (B |A )＝P (AB )P (A )求概率． (1)0.5 [设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ，于是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.] (2)[解] ①设x 为掷红骰子得到的点数，y 为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x ，y )建立对应如图．显然：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536.②P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512.1．用定义法求条件概率P (B |A )的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P (A )，P (AB )； (3)代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A ，B 的概率，从而求出P (B |A )，揭示出P (A )，P (B )和P (B |A )三者之间的关系．1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．(1)2335 (2)0.72 [(1)由公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝23，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35. (2)设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9，P (B |A )＝P (AB )P (A )，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72.]利用基本事件个数求条件概率【例2】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路探究] 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30， 根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )． (2)在原样本空间Ω中，先计算P (AB )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算求得P (B |A )． (3)条件概率的算法：已知事件A 发生，在此条件下事件B 发生，即事件AB 发生，要求P (B |A )，相当于把A 看作新的基本事件空间计算事件AB 发生的概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A ).2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解] 由题意得球的分布如下：玻璃 木质 合计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 合计61016设A ＝{取得蓝球}，B ＝{取得玻璃球}， 则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411.条件概率的综合应用[探究问题1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示] 设第一枚出现4点为事件A ，第二枚出现5点为事件B ，第二枚出现6点为事件C .则所求事件为(B ＋C )|A .∴P ((B ＋C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝16＋16＝13.【例3】 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：等级数量厂别甲厂乙厂合计合格品 475 644 1 119 次品 25 56 81 合计5007001 200(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________． [思路探究] 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算． (1)27400 (2)120[(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是811 200＝27400. (2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是25500＝120.法二：设A ＝“取出的产品是甲厂生产的”，B ＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P (A )＝5001 200，P (A ∩B )＝251 200，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝120.]条件概率的解题策略分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．[解] 设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P (C )＝P (AC )＋P (BC ) ＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B ) ＝5100×100200＋×100200＝21800. (2)P (A |C )＝P (AC )P (C )＝520021800＝2021.1．本节课的重点是条件概率的定义及条件概率的求法，难点是对条件概率定义的理解． 2．计算条件概率需要注意的问题： (1)公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )仅限于P (A )>0的情况．当P (A ＝0)时，我们不定义条件概率． (2)计算条件概率P (B |A )时，不能随便用事件B 的概率P (B )代替P (A ∩B )． (3)条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质． (4)P (B |A )与P (A |B )不一定相等．(5)利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B 与C 互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.( )(2)事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于A ，B 同时发生．( ) (3)P (B |A )≠P (A ∩B )．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (A ∩B )等于( )A.56B.910C.215D.115 C [由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )， 得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215]3．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________.13 [∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13.]4．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.。

章末总结知识点一条件概率在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择恰当的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB 的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．例1坛子里放着7个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．知识点二独立事件的概率1．互斥事件、相互独立事件一般综合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上运用相应公式求解．2．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立． 例2 已知诸葛亮解出问题概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？知识点三 n 次独立重复试验与二项分布事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率计算及二项分布的应用是高考重点考查的内容，在解答题中多与随机变量的分布列、均值综合考查．解题时应注意：恰有k 次发生和指定k 次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为C k n p k (1－p )n －k，后者的概率为p k (1－p )n －k .例3 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额为超过15万元的概率．知识点四 期望与方差求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．例4 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率．(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．例5设在10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，记X表示每次取出的次品件数．(1)求X的概率分布表；(2)求X的期望和方差．知识点五正态分布正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．例6设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值．章末总结答案重点解读例1解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A27＝42.根据分步乘法计数原理n(A)＝A14×A16＝24.于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1242＝27.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2747＝12.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1224＝12.例2 解 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：1－P (A ·B ·C )＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P (D )，所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮．例3 解 (1)设A 表示资助总额为零这个事件，则P (A )＝⎝⎛⎭⎫126＝164.(2)设B 表示资助总额超过15万元这个事件，则P (B )＝15×⎝⎛⎭⎫126＋6×⎝⎛⎭⎫126＋⎝⎛⎭⎫126＝1132. 例4 解 (1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A 、B 、C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率P ＝1－(1－34)(1－38)(1－23)＝9196.(2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分， 则ξ～B (10，9196)，∴E (ξ)＝10×9196＝45548(分)．而η＝20ξ－10(10－ξ)＝30ξ－100，∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184(分)．例5 解 (1)X 的可能取值为0,1,2,3. X ＝0，表示取出的5件产品全是正品．P (X ＝0)＝C 03C 57C 510＝112；X ＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品．P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝512；X ＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品．P (X ＝2)＝C 23C 37C 510＝512；X ＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品．P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝112.∴X 的概率分布表为X 0 1 2 3P 112512512112(2)E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32，V(X)＝112×(0－32)2＋512×(1－32)2＋512×(2－32)2＋112×(3－32)2＝712.例6解由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.。

章末总结知识点一两个计数原理应用两个计数原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件．能完成便是分类，否则便是分步，对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次分明，不重不漏．例1现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．例2某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用周六组织学生到某工厂进行社会实践活动．(1)任选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选两个班的学生参加社会实践，要求这两个班来自不同年级，有多少种不同选法？知识点二排列组合应用题解排列组合应用题的关键在于区别它是排列问题，还是组合问题，也就是看它有无“顺序”．解答排列组合应用题还应善于运用转化思想，把一些问题与排列组合基本类型相联系，从而把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．例3有四名男生和三名女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？(1)男甲排在正中间；(2)男甲不在排头，女乙不在排尾．例4用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有多少个？知识点三二项式定理及应用二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用．二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础；二项展开式的性质是解题的关键；利用二项展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等．赋值法与待定系数法是解决二项式定理相关问题常用的方法．例5二项式(2＋x)n的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式的第8项的系数为________．(用数字表示)例6已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，那么a1＋a2＋a3＋…＋a11＝________.例7求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．章末总结答案重点解读例148例2解(1)分三类：第一类从高一年级选一个班，有6种不同方法，第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法，第三类从高三年级选一个班，有8种不同方法，由分类计数原理，共有6＋7＋8＝21(种)不同选法．(2)分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同的方法；第二步从高二年级选一个班，有7种不同的方法；第三步从高三年级选一个班，有8种不同的方法，由分步计数原理，共有6×7×8＝336(种)不同的选法．(3)分三类，每类又分两步，第一类要从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选一个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三两个年级各选一个班，有7×8种不同方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146(种)不同选法．例3解(1)男甲排在正中间位置，其他六人排在余下的六个位置上，共有A66＝720(种)不同的排法．(2)分四类考虑(特殊元素法)：①男甲不在排头，女乙不在排尾，男甲也不在排尾，女乙也不在排头(即男甲、女乙在中间5个位置上)，有A25A55种排法；②女乙在排头男甲不在排尾，有A15A55种排法；③男甲在排尾女乙不在排头，有A15A55种排法；④男甲在排尾且女乙在排头，共有A55种排法．根据分类计数原理，共有A25A55＋2A15A55＋A55＝3 720(种)排法．例4解将1、2,3、4,5、6看成3个整体，进行全排列有A33种排法，3个整体间分别进行排列有A22·A22·A22种方法．在由3个整体形成的4个空档中选出2个插入7、8两个数，共有A24种方法，故共有A22·A22·A22·A33·A24＝576(种)排法．例516解析第1项为2n，第2项为C1n2n－1x，第3项为C2n2n－2x2. ∴2C1n·2n－1＝2n＋C2n2n－2.∴n＝8.∴T8＝C782x7，其系数为2C78＝16.例6－65解析令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－64；∴a1＋a2＋…＋a11＝－65.例7证明因为1＋3＋32＋…＋33n－1＝1－33n1－3＝12(33n－1)＝12(27n－1)＝12[(26＋1)n－1]，而(26＋1)n－1＝C0n26n＋C1n26n－1＋…＋C n－1n26＋C n n260－1＝C0n26n＋C1n26n－1＋…＋C n－1n 26.因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．。