高三理科数学第一轮复习不等式均值不等式

均值不等式复习导学案使用说明1、先仔细阅读教材相关内容，构建知识体系.2、独立规范完成问题探究,并及时总结使用均值不等式的方法和规律。

学习目标:能熟练掌握均值不等式及其变式的应用;能够借助均值不等式求函数的最值。

重点:均值不等式及其变式的应用难点:均值不等式求最值的适用条件▲自我建构一、基础知识建构：1． 均值不等式是什么？__________________________________2.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b 的算术平均数是 几何平均数是_______基本不等式可以叙述为____________________________3.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有 值是 .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当 且仅当 时，xy 有 值是 .(简记：和定积最大)4.均值不等式常用的变式：()2212ab ab + ()222a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()222322a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()4,b a a b a b +≥同号且不为零二、构建反馈1.a,,3;2.a,,4ab ;13.a ,a .a,,1;4.y 1b R ab a b b R a b R a b R a b x ++++∈=+≥∈+=≤∈+≥∈+=≤-已知且，则已知且，则已知则;4已知且5函数=x-1+(x>1)的最小值为；4．函数log (3)1a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ________ 5.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ____________ 6.已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则y x 311+的最小值是_________ ▲课内探究探究一、利用均值不等式求最值例1.已知x >2，求函数y=x ＋4x －2的最小值；拓展1、已知x <2，求y=x ＋4x －2的最大值；拓展2、已知x ≥6，求y=x ＋4x －2的最小值；(改一下形式)规律方法总结： __________________________________探究二、利用基本不等式求二元函数的最值例2、已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．拓展1、已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求xy的最小值．拓展2、已知x＞0，y＞0，且xy-y-9x＝7，求x+y的最小值．规律方法总结： __________________________________ ▲巩固提高1．已知a>0，b>0，1a＋3b＝1，则a＋2b的最小值为( )A．7＋2 6 B．2 3C．7＋2 3 D．142．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7 B．33 9C．1＋2 2 D．5 3．下列函数中，y的最小值为4的是.A4y xx=+.B2y=.C4x xy e e-=+.D4sin(0)siny x xxπ=+<<4.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为_____5.已知：x、y R+∈，280x y xy+-=，求x y+的最小值6.在下列条件下，求y＝4x－2＋14x－5的最值．(1)x<54时，求最大值；(2)x>54时，求最小值；(3)x≥2时，求最小值．▲总结提升1.知识方面：__________________________________ 2．数学思想方法：__________________________________。

7.2 均值不等式一、选择题1.设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b解析 ∵(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21ab＝4.∴A 成立；∵a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， ∴C 成立；对于D ，如果a ＜b ，显然成立， 如果a ＞b ，则|a －b |≥a －b ⇔a －b ≥a －2ab ＋b ⇔2b (b －a )≤0，而2b (b －a )≤0成立，故D 也成立．所以选B.也可取特殊值，如a ＝1100，b ＝110，易验证B 不成立． 答案 B2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4B ．8C ．16D ．32解析 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8. 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由均值不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由均值不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解析 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号． 答案 C 二、填空题8．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5， 等号当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时成立． 答案 59．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.答案 410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 4 三、解答题 13.(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值； (2)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； (3)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值．分析 将函数式先合理变形，再使用算术平均数与几何平均数定理求函数最值．解析 (1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1－2x]≤－2－x·1－2x＝－2(当且仅当x ＝－22时，取“＝”号) ∴y max ＝－ 2. (2)∵x ＞3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5(当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取“＝”号)．∴y min ＝5.(3)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12·[2x ＋a －2x2]2＝a 28(当且仅当x ＝a4时，取“＝”)．∴y max ＝a 28.14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)； (2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．15．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b . 证明 ∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·ba 2＝2 1ab＞0，a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎨⎧a b 2＝b a 2，a ＝b取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解析 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3， 即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3， 得S ≤1 832－210 800x·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。

均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。

1. 基本形式。

- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。

- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。

2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。

- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。

二、均值不等式的证明。

1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。

- 方法一：作差法。

- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。

- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 方法二：分析法。

- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。

三、均值不等式的应用。

1. 求最值。

- 类型一：和定积最大。

- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。

基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。

一、知识点梳理1、均值不等式（1） 基本不等式：若a,beR,则aW^2ab （当且仅当沪b 时取“二”号） （2） 均值不等式：若a,bUR+,则二凹§匚比（当且仅当沪b1 , 12 V 2 a b时取“二”号）① （一正）°>0">0.ab = p ,贝ijd + b 有最小2j 万值；③（三相等）当口仅当a 二b 吋取“二”号；（3）均值不等式的推广（三个数的均值不等式）：若a,b,cwRJ 贝ijd + b + c23y/abc （等号仅当a = b = c 时成立） 2、均值不等式的变形、2② abc W3、 二个重要不等式：① 若a,b 同号，则- + ->2 （当且仅当a 二b 吋取“二”号）a b ② 若xFR +,则x + ->2 （当且仅当x = l 时取号）4、 由不等式求最值的方法： （1）、积定，求和最小值：①基本不等式a 2+b 2^2ab ②a + ^ > y[ab2（2）、和定，求积最大值：娅 （字]）②（二定: 积定和最小, 和定积】 【大）若a + b = s,贝畑有最大£值；若、（3）、和定，求和与积的最大、最小：①字wj号1②亦wj乞尹5 .不等式解法⑴整式不等式：①依nb（QH°）；②^t2+^ + c> （<）0（^7 7^0）—图像法③高次不等式：m（x-a\x-h）（x-c）>0——穿根法（系数正化、轴上标根、穿根取解）⑵分式不等式：①/凶⑷‘° （分〜整）；② g（x）[g（x）^O必上型址0；g（x）g（x）⑶绝对值不等式：① |/（x）| < a（。

>0）f（x） < a；®\f（x）\>a（6/ > 0 ）» f（x） > a或- d.（若d 换为g（兀）可仿上处理）.6 •简单的线性规划⑴二元一次不等式（组）表示的平面区域及判定方法；⑵可行域：满足约束条件（不等式组）所表示的平面区域；⑶目标函数：关于的函数解析式；⑷线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。

2017 高考一轮复习&#160; 不等式和均值不等式一．选择题（共14 小题）1．（2010?上海）（上海春卷16）已知 a1， a2∈（ 0，1），记 M=a1a2， N=a1+a2﹣ 1，则 M与 N的大小关系是（）A． M＜ N B． M＞ N C． M=N D．不确立2．（ 2016 春?乐清市校级月考）设a， b 是实数，则“ a＞ b＞1”是“”的（A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足又不用要条件23．（2013?天津）设a， b∈ R，则“（ a﹣b） a ＜0”是“ a＜b”的（））A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件4．（2012?湖南）设a ＞ b＞ 1， C＜ 0，给出以下三个结论：①＞；c c②a＜ b ；③l og b（ a﹣ c）＞ log a（ b﹣ c）．此中全部的正确结论的序号（）A．①B．①② C．②③ D．①②③5．（2014?山东）已知实数x，y 知足 a x＜ a y（ 0＜ a＜ 1），则以下关系式恒建立的是（）A． x3＞y3B． sinx ＞ siny22D．＞C． ln （ x +1）＞ ln（ y+1）6．（2013?陕西）设[x]表示不大于 x 的最大整数，则对随意实数x， y，有（）A． [ ﹣ x]= ﹣ [x]B． [2x]=2[x]C． [x+y] ≤[x]+[y]D． [x ﹣y] ≤ [x] ﹣ [y]7．（ 2013 秋?丰城市校级期末）以下函数中最小值为 4 的是（）A． y=x+ B ． y=x﹣xD． y=sinx+ ，（ 0＜ x＜π）C． y=e +4e2﹣3xy+4y2﹣ z=0，则当获得最小值时，8．（2013?山东）设正实数x，y， z 知足 x x+2y ﹣z的最大值为（）A． 0B． C ． 2D．9．若实数 a， b 知足 ab﹣ 4a﹣b+1=0（a＞ 1），则（ a+1）（b+2）的最小值为（）A． 24B． 25C． 27 D． 3010．（ 2006 秋?增城市期末）已知0＜ x＜1，则 x（ 3﹣ 3x）获得最大值不时 x 的值为（）A． B ． C． D ．11．（ 2014 秋?周口期末）设x y）x， y∈ R，a＞ 1， b＞ 1，若 a =b =+b=8，则的最大值为（A． 2B． 3C． 4D． log 2312．（2012?河南一模）函数y=log a x+1（ a＞ 0 且 a≠ 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 +﹣4=0（ m＞0， n＞ 0）上，则 m+n的最小值为（）A． 2+ B． 2C． 1D． 413．（2015?陕西）设 f （ x） =lnx ， 0＜a＜ b，若 p=f （），q=f （）， r= （ f （ a） +f （ b）），则以下关系式中正确的选项是（A． q=r ＜ p B． p=r ＜ q）C． q=r ＞ p D． p=r ＞ q14．（2014?湖北校级模拟）某制冷设施厂设计生产一种长方形薄板，以下图，长方形 ABCD （AB＞ AD）的周长为 4 米，沿 AC折叠使 B 到 B′地点， AB′交 DC于 P．研究发现当 ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A． 2﹣ 2 B． 3﹣ 2 C ． 2﹣ D． 2二．填空题（共 5 小题）15．（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣ A1B1C1 D1的棱长为 1， P 为 BC的中点， Q为线段 CC1上的动点，过点 A，P， Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的选项是（写出全部正确命题的编号）．①当 0＜ CQ＜时， S 为四边形②当 CQ=时， S 为等腰梯形③当 CQ=时， S 与 C1D1的交点 R 知足 C1R=④当＜ CQ＜1 时， S 为六边形⑤当 CQ=1时， S 的面积为．16．（ 2015 秋?中山市校级期中）已知x＞ 3，则 +x 的最小值为．17．已知 x＞ 1，则函数 y= 的最小值是．18．（ 2014?荆州一模）已知 x＞ 0，y＞ 0，且 x+2y=xy ，则 log （4x+2y）的最小值是．19．若 a，b， x， y∈ R，且 a2+b2=3， x2+y2=1，则 ax+by 的最大值为．三．解答题（共 7 小题）20．（2009?广州一模）如图，A1A 是圆柱的母线， AB是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于 A、 B的随意一点， A1A=AB=2．（1）求证： BC⊥平面 A1AC；（2）求三棱锥 A1﹣ ABC的体积的最大值．21．设 a＞0， b＞ 0，且 a≠ b，试比较a b b a的大小．a b与 a b22．设 f （ x）是不含常数项的二次函数，且1≤ f （﹣ 1）≤≤ f （ 1）≤ 4 求 f （ 2）的取值范围．23．已知α，β知足，试求α +3β的取值范围．24．（ 2013 秋?商丘期中）（ 1）已知 a， b， c 为随意实数，求证：222a +b +c ≥ ab+bc+ca；（2）设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1，求证： ab+bc+ca≤．25．（2015?丹东二模）已知a，b 为正实数，（1）若 a+b=2，求的最小值；（2）求证： a2 b2+a2+b2≥ ab（ a+b+1）．26．（ 2016 春?和平区期末）已知x＞ 0， y＞ 0，且 2x+8y ﹣xy=0 ，求：（1） xy 的最小值；（2） x+y 的最小值．2017 高考一轮复习&#160; 不等式和均值不等式参照答案与试题分析一．选择题（共14 小题）1．（2010?上海）（上海春卷16）已知 a1， a2∈（ 0，1），记 M=a1a2， N=a1+a2﹣ 1，则 M与 N 的大小关系是（）A． M＜ N B． M＞ N C． M=N D．不确立【剖析】依据题意，利用作差法进行求解．【解答】解：由 M﹣N=a1a2﹣ a1﹣ a2+1=（ a1﹣1）（ a2﹣ 1）＞ 0，故M＞ N，应选 B．【评论】本题考察大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．a＞b＞1”是“”的（）2．（ 2016 春?乐清市校级月考）设a， b 是实数，则“A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足又不用要条件【剖析】画出 f （ x） =x+图象，依据函数的单一性，联合充足那样条件的定义可判断．【解答】解：∵ f （ a） =a+，f （ b） =b+， f （ x）=x+图象以以下图．∴依据函数的单一性可判断：若“ a＞ b＞1”则“”建立，反之若“”则“ a＞ b＞1”不必定建立．依据充足必需条件的定义可判断：“ a＞ b＞1”是“”的充足不用要条件，应选： A【评论】本题考察了对钩函数的单一性，必需充足条件的定义可判断，属于中档题．3．（2013?天津）设a， b∈ R，则“（a﹣b） a2＜0”是“ a＜b”的（）A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件22【剖析】经过举反例可得“ a＜b”不可以推出“（ a﹣ b） a ＜0”，由“（ a﹣ b） a ＜0”能推出“ a＜b”，从而得出结论．【解答】解：由“ a＜ b”假如 a=0，则（ a﹣ b）a2 =0，不可以推出“（ a﹣b）a2＜0”，故必需性不建立．由“（ a﹣ b） a2＜ 02”可得 a2＞ 0，所以 a＜ b，故充足性建立．2综上可得“（ a﹣ b）a ＜0”是 a＜ b 的充足也不用要条件，应选 A．【评论】本题主要考察充足条件、必需条件、充要条件的定义，经过给变量取特别值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．4．（2012?湖南）设a ＞ b＞ 1， C＜ 0，给出以下三个结论：①＞；c c②a＜ b ；③l og b（ a﹣ c）＞ log a（ b﹣ c）．此中全部的正确结论的序号（）A．①B．①② C．②③ D．①②③【剖析】利用作差比较法可判断①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判断②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．【解答】解：①﹣ =，∵ a＞ b＞ 1， c＜ 0∴﹣ =＞ 0，故＞正确；②考察幂函数c c c c正确；y=x ，∵ c＜ 0∴ y=x 在（ 0，+∞）上是减函数，而a＞ b＞0，则 a＜ b③当 a＞ b＞ 1时，有 log b（ a﹣ c）＞ log b（ b﹣ c）＞ log a（ b﹣ c）；正确．应选 D．【评论】本题主要考察了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．5．（2014?山东）已知实数 x，y 知足 a x＜ a y（ 0＜ a＜ 1），则以下关系式恒建立的是（）A． x3＞y3B． sinx ＞ sinyC． ln （ x2+1）＞ ln （ y2+1）D．＞【剖析】本题主要考察不等式的大小比较，利用函数的单一性的性质是解决本题的重点．【解答】解：∵实数 x， y 知足 a x＜a y（0＜ a＜ 1），∴ x＞ y，A．当 x＞ y 时， x3＞ y3，恒建立，B．当 x=π， y=时，知足x＞y，但 sinx ＞ siny 不建立．C．若 ln （x2 +1）＞ ln （ y2+1），则等价为 x2＞y2建立，当 x=1， y=﹣ 1 时，知足 x＞ y，但 x2＞y2不建立．222222D．若＞，则等价为x +1＜ y +1，即 x ＜ y ，当 x=1，y=﹣ 1 时，知足 x＞ y，但 x ＜ y 不建立．【评论】本题主要考察函数值的大小比较，的重点．利用不等式的性质以及函数的单一性是解决本题6．（2013?陕西）设 [x] 表示不大于x 的最大整数，则对随意实数x， y，有（）A． [ ﹣ x]= ﹣ [x]B． [2x]=2[x]C． [x+y] ≤[x]+[y]D． [x ﹣y] ≤ [x] ﹣ [y]【剖析】本题考察的是取整函数问题．在解答时要先充足理解[x] 的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以剖析即可，注意反例的应用．【解答】解：对 A，设 x=﹣，则 [ ﹣ x]=1 ，﹣ [x]=2 ，所以 A 选项为假．对B，设 x=﹣， [2x]=[ ﹣ ]= ﹣3， 2[x]= ﹣ 4，所以 B 选项为假．对C，设 x=y=，对 A， [x+y]=[]=3 ， [x]+[y]=2 ，所以 C 选项为假．故 D选项为真．应选 D．【评论】本题考察了取整函数的性质，是一道比赛的题目，难度不大．7．（ 2013 秋?丰城市校级期末）以下函数中最小值为 4 的是（）A． y=x+ B ． y=C． y=e x+4e﹣x D． y=sinx+ ，（ 0＜ x＜π）【剖析】 A．当 x＜ 0 时，利用基本不等式的性质，B．变形为，利用基本不等式的性质可知：最小值大于y=﹣≤﹣ 4，可知无最小值；4；C．利用基本不等式的性质即可判断出知足条件；D．利用基本不等式的性质可知：最小值大于4．【解答】解： A．当 x＜ 0 时， =﹣ 4，当且仅当x=﹣ 2 时取等号．所以此时 A 无最小值；B.==4 ，当且仅当2y＞4，所以x +2=1 时取等号，可是此时 x 的值不存在，故不可以取等号，即B 的最小值不是4；C.=4 ，当且仅当，解得e x=2，即 x=ln4 时取等号，即y 的最小值为 4，所以 C 知足条件；D．当 0＜ x＜π 时， sinx ＞ 0，∴ =4，当且仅当，即sinx=2时取等号，可是 sinx 不行能取等号，故 y＞ 4，所以不知足条件．综上可知：只有 C 知足条件．应选 C．【评论】娴熟掌握基本不等式的性质是解题的重点，特别注意“=”能否取到．8．（2013?山东）设正实数 x，y， z 知足 x2﹣3xy+4y 2﹣ z=0，则当获得最小值时，x+2y ﹣z 的最大值为（）A． 0B． C ． 2D．【剖析】将 z=x 2﹣ 3xy+4y 2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y ﹣ z 的最大值．【解答】解：∵ x2﹣ 3xy+4y 2﹣ z=0，∴z=x 2﹣ 3xy+4y 2，又 x， y， z 为正实数，∴=+﹣ 3≥ 2﹣ 3=1（当且仅当 x=2y 时取“ =”），即x=2y （ y＞ 0），∴x+2y ﹣ z=2y+2y ﹣（ x2﹣3xy+4y ）2=4y﹣ 2y2=﹣ 2（ y﹣ 1）2 +2≤ 2．∴x+2y ﹣ z 的最大值为2．应选： C．【评论】本题考察基本不等式，将查配方法求最值，属于中档题．z=x2﹣ 3xy+4y 2代入，求得获得最小值时x=2y是重点，考9．若实数A． 24a， b 知足 ab﹣ 4a﹣b+1=0（a＞ 1），则（B． 25C． 27D． 30a+1）（b+2）的最小值为（）【剖析】先依据 ab﹣ 4a﹣ b+1=0 求得不等式求得答案．【解答】解：∵ ab﹣4a﹣ b+1═ 0∴b==4+，∴（ a+1）（b+2） =6a++6a 和b 的关系式，从而代入到（a+1）（b+2）利用均值=6a++9=6（ a﹣ 1）++15≥27（当且仅当a﹣1=即 a=2 时等号建立），即（ a+1）（b+2）的最小值为27．应选： C．【评论】本题主要考察了基本不等式在最值问题中的应用．形式．解题的重点是配出均值不等式的10．（ 2006 秋?增城市期末）已知0＜ x＜1，则x（ 3﹣ 3x）获得最大值不时x 的值为（）A． B ． C． D ．【剖析】法一：设y=x（ 3﹣ 3x） =﹣ 3，利用二次函数的性质可求函数的最大值法二：由0＜ x＜ 1 可得 1﹣ x＞ 0，从而利用基本不等式可求值及获得最大值的x【解答】解：法一：设y=x （3﹣ 3x）x（ 3﹣ 3x） =3x（ 1﹣x）的最大则y=﹣ 3（x2﹣ x） =﹣ 3∵0＜ x＜ 1当x=时，函数获得最大值应选 C法二：∵ 0＜ x＜ 1∴1﹣ x＞ 0∵x（ 3﹣ 3x） =3x（ 1﹣ x）当且仅当 x=1﹣ x 即 x=时获得最大值应选 C【评论】本题主要考察了二次函数在闭区间上的最值的求解，进行配方，联合函数在区间上的单一性判断获得最值的条件．一般的办理方法是对二次函数11．（ 2014 秋?周口期末）设A． 2B． 3C． 4x， y∈ R，a＞ 1， b＞ 1，若D． log 23a x=b y=+b=8，则的最大值为（）x y【剖析】由 a =b =2，求出 x， y，从而可表示，再利用基本不等式，即可求的最大值．x y∴，∴=log 2a+log 2b=log 2ab，∵2a+b=8≥，∴a b≤ 8（当且仅当 2a=b 时，取等号），∴≤ log 28=3，即的最大值为3．应选 B．【评论】本题考察基本不等式的运用，考察对数运算，考察学生剖析转变问题的能力，表示是重点．正确12．（2012?河南一模）函数﹣4=0（ m＞0， n＞ 0）上，则A． 2+B． 2C． 1y=log a x+1（ a＞ 0 且m+n的最小值为（D． 4a≠ 1）的图象恒过定点）A，若点A在直线+【剖析】利用对数的性质可得：函数y=log a x+1（ a＞ 0 且 a≠ 1）的图象恒过定点A（ 1，1），代入直线 +﹣ 4=0（ m＞0，n＞ 0）上，可得．再利用“乘1 法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当 x=1 时， y=log a1+1=1，∴函数 y=log a x+1（ a＞ 0 且 a≠ 1）的图象恒过定点A（ 1， 1），∵点 A 在直线 +﹣ 4=0（ m＞ 0，n＞ 0）上，∴．∴m+n===1，当且仅当m=n=时取等号．应选： C．【评论】本题考察了对数的运算性质、“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题．13．（2015?陕西）设 f （ x） =lnx ， 0＜a＜ b，若 p=f （），q=f （）， r= （ f （ a） +f （ b）），则以下关系式中正确的选项是（A． q=r ＜ p B． p=r ＜ q）C． q=r ＞ p D． p=r ＞ q【剖析】由题意可得 p=（ lna+lnb ）， q=ln （）≥ ln （） =p， r= （ lna+lnb ），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若 p=f （） =ln （） =lnab= （ lna+lnb ），q=f （） =ln （）≥ ln （） =p，r= （ f （ a）+f （ b））=（ lna+lnb ），∴p=r ＜ q，应选： B【评论】本题考察不等式与不等关系，波及基本不等式和对数的运算，属基础题．14．（2014?湖北校级模拟）某制冷设施厂设计生产一种长方形薄板，以下图，长方形ABCD （AB＞ AD）的周长为 4 米，沿 AC折叠使 B 到 B′地点， AB′交DC于 P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A． 2﹣ 2 B． 3﹣ 2 C ． 2﹣D． 2【剖析】利用PA2=AD2+DP2，建立函数，可得y=2（1﹣），1＜x＜2，表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值．【解答】解：设 AB=x， DP=y，BC=2﹣ x， PC=x﹣y．∵x＞ 2﹣ x，∴ 1＜ x＜ 2，∵△ ADP≌△ CB′P，∴P A=PC=x﹣ y．2222=（ 2﹣ x）22由 PA =AD+DP，得（ x﹣ y）+y ? y=2（ 1﹣）， 1＜ x＜ 2，记△ ADP的面积为 S，则 S=（1﹣）（ 2﹣x） =3﹣（ x+）≤ 3﹣ 2，当且仅当 x=∈（ 1，2）时， S 获得最大值．应选： B．【评论】本题主要考察应用所学数学知识剖析问题与解决问题的能力．试题以常有的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考察．二．填空题（共 5 小题）15．（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣ A1B1C1 D1的棱长为1， P 为 BC的中点， Q为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的选项是①②③⑤（写出全部正确命题的编号）．①当 0＜ CQ＜时， S 为四边形②当 CQ=时， S 为等腰梯形③当 CQ=时， S 与 C1D1的交点 R 知足 C1R=④当＜ CQ＜1 时， S 为六边形⑤当 CQ=1时， S 的面积为．【剖析】由题意作出知足条件的图形，由线面地点关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当 CQ=时，即 Q为 CC中点，此时可得PQ∥ AD， AP=QD==，111故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点 Q向 C 挪动时，知足 0＜ CQ＜，只要在 DD1上取点 M知足 AM∥ PQ，即可得截面为四边形 APQM，故①正确；③当 CQ=时，如图，延伸 DD1至 N，使 D1N=，连结 AN交 A1 D1于 S，连结 NQ交 C1D1于 R，连结 SR，可证 AN∥ PQ，由△ NRD1∽△ QRC1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N=1： 2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1 时，只要点Q上移即可，此时的截面形状仍旧上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当 CQ=1时， Q与 C1重合，取A1D1的中点 F，连结 AF，可证 PC1∥AF，且 PC1 =AF，可知截面为APC1F 为菱形，故其面积为AC1?PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．【评论】本题考察命题真假的判断与应用，波及正方体的截面问题，属中档题．16．（ 2015 秋?中山市校级期中）已知x＞ 3，则 +x 的最小值为7．【剖析】本题能够经过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式求出原式的最小值，即本题答案．【解答】解：∵ x＞ 3，∴x﹣ 3＞ 0．∴+x=≥．当且仅当x=5 时取最值．故答案为： 7．【评论】本题考察了基本不等式，注意不等式使用的条件．本题难度适中，属于中档题．17．已知 x＞ 1，则函数y= 的最小值是8．y=的最小值．【剖析】利用换元法化简函数，依据基本不等式求出函数【解答】解：∵ x＞ 1，∴ t=x ﹣ 1＞ 0，∴y===t++2 ≥ 2+2=8，当且仅当t= ，即 t=3 ， x=4 时，取等号，∴函数 y=的最小值是8．故答案为： 8．【评论】本题考察求函数y=的最小值，考察基本不等式的运用，正确变形是重点．18．（2014?荆州一模）已知x＞0， y＞ 0，且 x+2y=xy ，则 log 4（ x+2y ）的最小值是．【剖析】依据基本不等式求出 xy ≥8，而后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．【解答】解：∵ x＞ 0， y＞ 0，且 x+2y=xy ，∴x+2y=xy ，平方得（xy）2≥8xy ，解得 xy ≥ 8，∴l og 4（ x+2y ） =log 4（ xy ），故答案为：【评论】本题主要考察基本不等式的应用以及对数的基本计算，考察学生的计算能力．19．若 a，b， x， y∈ R，且 a2+b2=3， x2+y2=1，则 ax+by的最大值为．2222222222【剖析】依据柯西不等式（ x1x2+y1y2）≤（ x1+y1）（ x2 +y2），获得（ ax+by）≤（ a +b）（x +y），从而求得 ax+by 的最大值．【解答】解：依据柯西不等式（ x1x2+y1y2）2≤（ x12+y12）（ x22+y22），? （ ax+by）2≤（ a2+b2）（x2+y2） =3× 1=3，当且仅当ay=bx 时取等号，所以， ax+by ∈ [ ﹣， ] ，所以， ax+by 的最大值为，故填：．【评论】本题主要考察了柯西不等式在最值问题中的应用，解题的重点是利用了柯西不等式，属于基础题．三．解答题（共7 小题）20．（2009?广州一模）如图， A1A 是圆柱的母线， AB是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于 A、 B的随意一点， A1A=AB=2．（1）求证： BC⊥平面 A1AC；（2）求三棱锥 A1﹣ ABC的体积的最大值．【剖析】（ 1）欲证 BC⊥平面 AA1C，依据直线与平面垂直的判断定理可知只要证BC与平面 AA1C 内两订交直线垂直，而BC⊥ AC， AA1⊥ BC， AA1∩AC=A知足定理条件；（2）设 AC=x，在 Rt△ ABC中，求出 BC，依据体积公式 VA1﹣ ABC=S△ABC?AA1表示成对于 x 的函数，依据二次函数求出其最大值．【解答】解：（ 1）证明：∵ C是底面圆周上异于 A、B 的随意一点，且 AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥ AC．∵AA1⊥平面 ABC， BC?平面 ABC，∴AA1⊥BC．∵AA1∩AC=A， AA1?平面 AA1C， AC?平面 AA1C，∴BC⊥平面 AA1 C．（2）设 AC=x，在 Rt△ ABC中，BC==（ 0＜ x＜ 2），故VA1﹣ ABC=S△ABC?AA1=??AC?BC?AA1=x（ 0＜ x＜2），即VA1﹣ ABC=x==．22∵0＜ x＜ 2， 0＜ x ＜ 4，∴当 x =2，即 x=时，【评论】本小题主要考察直线与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考察空间想象能力，运算能力和推理论证能力．21．设 a＞0， b＞ 0，且 a≠ b，试比较a a b b与 a b b a的大小．a﹣ bb﹣a a b b a时，同理可【剖析】由题意可得 =a?b=，当 a＞ b＞ 0 时，可得 a b＞ a b ．当 b ＞ a＞ 0a b b a a b b a得 a b＞ a b ．综上可得 a b 与 a b 的大小关系．【解答】解：∵ a＞ 0， b＞ 0，且 a≠ b，并且 =a a﹣b ?b b﹣a=，当 a＞ b＞ 0 时，由＞ 1， a﹣ b＞ 0，可得＞ 1，∴ a a b b＞ a b b a．当 b ＞ a＞0 时，由 0＜＜ 1，a﹣ b＜ 0，可得＞ 1，∴ a a b b＞ a b b a．a bb a综上可得， a b ＞ a b ．【评论】本题主要考察用作商比较法比较两个正实数的大小关系，不等式性质的应用，属于基础题．22． f （ x）是不含常数的二次函数，且1≤ f （ 1）≤≤ f （ 1）≤ 4 求 f （ 2）的取范．2点，而后求出f （ 2）的范即可．2作出可行域如，所以M（3， 1）， N（，）分目函数 f （ 2） =4a 2b 的取范， f （ 2）∈ [7 ， 14] ．【点】本主要考了的性划，以及利用几何意求最，注意特别点的，属于基．23．已知α，β足，求α +3β的取范．【剖析】是已知不等关系求范的，能够用待定系数法来解决．【解答】解α +3β=λ（α +β）+v（α +2β）=（λ +v）α +（λ +2v）β．比α、β 的系数，得，从而解出λ= 1， v=2．分由①、②得 1≤ α β≤1， 2≤2α +4β≤ 6，两式相加，得 1≤α +3β≤ 7．故α +3β的取范是 [1 ，7] ．【点】用待定系数法，利用不等式的性解决，是基．24．（ 2013 秋?商丘期中）（ 1）已知 a， b， c 随意数，求：222≥ ab+bc+ca；a +b +c（2） a， b， c 均正数，且a+b+c=1，求： ab+bc+ca≤．【剖析】（ 1）利用基本不等式可得222222a +b≥ 2ab，b +c≥2bc ，c +a ≥ 2ca ，三式相加即得，2222222（2）利用（ a+b+c） =a +b +c +2ab+2bc+2ca=1， a +b +c ≥ ab+bc+ca，即可明．222222【解答】明：（ 1）由 a +b ≥ 2ab， b +c ≥ 2bc ， c +a ≥ 2ca ，三式相加即得a2+b2+c2≥ ab+bc+ca ，（6 分）（2）因（ a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， a2+b2+c2≥ ab+bc+ca，所以（ 12 分）【点】本考不等式的明，考基本不等式的运用，考学生剖析解决的能力，属于中档．25．（2015?丹二模）已知a，b 正数，（1）若 a+b=2，求的最小；2 222（2）求： a b +a +b ≥ ab（ a+b+1）．【剖析】（ 1）利用“ 1”的代，合基本不等式求解即可．（2）利用均不等式，利用合法明即可．【解答】（Ⅰ）解： ==≥ =等号建立条件，而a+b=2，所以 a=，b=表达式的最小：⋯（ 5 分）（Ⅱ）明：由均不等式得a2b2+a2≥ 2a2b， a2b2+b2≥ 2b2a， b2+a2≥ 2ab，．高考一轮复习不等式和均值不等式11 / 11三式相加得 2 2 2 2 2 2 2a b +2a +2b ≥ 2a b+2ab +2ab=2ab （ a+b+1）．2 2 2 2 所以 a b +a +b ≥ ab （ a+b+1）．⋯（ 10 分）【点 】 本 考 不等式的 明，考 基本不等式的运用，考 合法，属于中档 ．26．（ 2016 春?和平区期末）已知x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x+8y xy=0 ，求： （ 1） xy 的最小 ；（ 2） x+y 的最小 ．【剖析】（ 1）利用基本不等式建立不等式即可得出；（ 2）由 2x+8y=xy ， 形得 +=1，利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出．【解答】 解：（ 1）∵ x ＞ 0， y ＞ 0， 2x+8y xy=0 ，∴xy=2x+8y ≥ 2，∴≥ 8，∴ xy ≥ 64．当且 当 x=4y=16 取等号．故 xy 的最小 64．（ 2）由 2x+8y=xy ，得： +=1，又 x ＞ 0， y ＞ 0，∴ x +y= （ x+y ）?=10++≥ 10+=18．当且 当 x=2y=12 取等号．故 x+y 的最小 18．【点 】 熟 掌握“乘 1 法”和 形利用基本不等式是解 的关 ．。