平面向量及其加减运算(教师版)

平面向量的加减法复习教案

执教 : 毛移民

教学目标

1.掌握向量加法的三角形法则、向量加法的多边形法则、向量加法的平行四边形法则、

向量减法的三角形法则；

2.掌握向量的加法满足交换律与结合律；

3.灵活运用向量加减法法则和运算律进行向量的运算.

教学重难点

灵活运用向量加减法法则和运算律进行向量的运算.

教学过程

一、知识点复习

1.向量加法的三角形法则与多边形法则的两个要点:

(1);

(2).

提示 :当 a与b 是两个平行向量时，方法同上.

uuur uuur

符号语言：如图， (1) AB BC _____________；（2）AB BC CD_____________ .

C D

C

A B

A B

练习：

（1）思考：已知向量CB , BA , AD , DE ，能直接写出 CB BA AD DE 的和向量吗？（2）填空：AB BC；CB BA；OE ED；

AB BE ED；AB BC CD DE EF.

2.向量减法的三角形法则的两个要点:

(1);

(2).

提示 :

C 当 a与b 是两个平行向量时，方法同上.

符号语言：如图，AC AB________．A B

练习：

A

(1)如图，试用 AB , AD , AC 表示向量 BD , DC .

BD； DC.

D C

B

(2)填空：OA OB；AB AE BC；

AB AD DC.

3. 向量加法的平行四边形法则的两个要点:D C

(1);

(2).A B

符号语言：如图， AB AD ________； AB AD ________．

练习：

(1) 如图，已知平行四边形ABCD ，设AD a , AB b ，试用向量 a, b 表示向量CA,BD .

高考微点二 复数、平面向量与算法

牢记概念公式，避免卡壳

1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念

(1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数.

(2)z 的共轭复数z －

＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则

(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝

ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad

c 2＋

d 2

i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算

(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1

）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2

2. 4.算法的三种基本逻辑结构

(1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构.

活用结论规律，快速抢分

1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)

第1讲 平面向量的概念及加减运算

一、考点梳理

考点1 基本概念

既有大小，又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.|AB →|叫AB →的模或AB →

的绝对值，表示向量AB →

的长度.

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a∥b . ①规定：零向量与任一向量平行． 例1．（1）下列物理量中不是向量的有( )

①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个

解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．

（2）一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.

解 (1)向量AB →、BC →、CD →

如图所示．

(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →

共线， 又|AB →|＝|CD →|，

①在四边形ABCD 中，AB ∥CD .

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;

（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；

当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，

若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.

2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r

3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )

证：

知识点二 向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法：

“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r

任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r

如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r

向量减法的定义：

向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )

2．用加法的逆运算定义向量的减法：

3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量

∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r

课题：《平面向量及其加减运算复习》

教学目标:1．在理解向量相关概念的基础上，进一步掌握相等向量、相反向量、平行向量的概念；

2．熟练掌握平面向量加法、减法的三角形法则，多个向量相加的多边形法则，加法的平行四边形法则；并能熟练用画图的方法求和向量和差向量；

3.能运用向量的方法解决某些简单的几何问题，体会“数形结合”思想.

核心素养：通过复习培养学生分析问题、解决问题的能力

教学重点:进一步掌握平面向量相加减的作图方法，并会熟练应用

教学难点：熟练应用向量相加减的法则解决较复杂问题

教学

环节

教学过程设计意图

一、复习知识点一、向量相关概念的复习

1、课前练习

练习1：

如图,D、E、F顺次是等边△ABC的边AB,BC,AC的中点，

则在A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点和终点的向量中

（1）写出与DE相等的向量；

（2）写出与DF互为相反向量的向

量；

（3）写出与DF平行的向量；

（4）与DE模相等的向量有多少个？

（5）若2,

AB=则DE=；=

+CE

BE .

2、回顾向量的相关概念：

通过课前

练习来复习

归纳平面向

量的有关概

念，并突出

需要注意的

知识点。

练习巩固

（3）()BD

AC

CD

AB-

-

-

4.复习向量加法的交换律和结合律

5.练习5.如图，在平行四边形ABCD中，

点E是CD边上的中点，记b

AD

a

DE=

=,

用含b

a,的式子表示BE

EA,

6.练习6：如图，已知四边形AECF是平行四边形，E、F在BD上，

并且BE=FD，求证:四边形ABCD是平行四边形.

提问：除了用几何证明方法解决外，

能否用向量的方法来证明?

向量加、减

平面向量及其加减运算教案

【学习目标】

1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.

2. 理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.

3. 理解两个向量共线的含义.

【要点梳理】要点一、平面向量

1. 有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.

要点诠释：

uuur uuur

（1）“有向线段AB”符号标记为AB ，且AB 表示点B 相对于点A的位置差别.

（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.

2. 平面向量的定义及表示

（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量. 其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.

要点诠释：

①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.

②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.

③向量与有向线段的区别：

（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；

（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

（2）向量的表示方法:

rrr ①小写英文字母表示法: 如a,b,c,L 等.

uuur uuur

②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如AB,CD 等.

（3）向量的分类：

固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.

1、三角形法则

向量加法的定义：如图1，已知非零向量a.b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即a+b =AB +BC =AC 。

图1

运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 2、平行四边形法则

如图2，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线OC 就是a 与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

图2

3、多边形法则

特点、首尾顺次连接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点。

注：向量减法的法则

1、三角形法则

如图3，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作a OA ，=b ，则=a-b ，即a-b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

图3 图4

2、平行四边形法则

如图4，设向量=b ，=a ，则=-b ，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b 。 又b +=a ，所以=a-b 。

二、经典例题

例1、判断下列说法是否正确；不正确的请改正。 （1）既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）起点位置不同但同向又等长的有向线段表示同一个向量。

OB BA AB AC AD AE BC BC

）两个相等向量的模相等。 |||a b =，则a b =。 ）若m n =，n k =，则m k =

）向量的长度与向量的长度相等。）模相等的两个平行向量是相等向量。）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反）平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =

一、平面向量的相关概念

1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；

3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0r ；

4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；

5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；

6、平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．

二、实数与向量相乘的运算

设k 是一个实数，a r 是向量，那么k 与a r

相乘所得的积是一个向量，记作ka r ．

1、 如果0k ≠，且0a ≠r r

，那么ka r 的长度ka k a =r r g ；

ka r 的方向：当k > 0时ka r 与a r 同方向；当k < 0时ka r 与a r

反方向． 2、 如果k = 0或0a =r r

，那么0ka =r r ．

三、实数与向量相乘的运算律

设m 、n 为实数，则

(1) ()()m na mn a =r r

；

(2)

()

m n a ma na +=+r r r ； (3) (

)

m a b ma mb +=+r r r r ．

知识精讲

平面向量

知识结构

模块一：向量的概念及计算

如果向量b r 与非零向量a r

平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =r r ．

五、 单位向量

单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e r 为单位向量，则1e =r

．

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．

对于任意非零向量a r ，与它同方向的单位向量记作0a r

． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =r r r ，01a a a

沪教版初二数学下册

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量及其加减运算（基础）知识讲解

【学习目标】

1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.

2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.

3.理解两个向量共线的含义.

【要点梳理】

要点一、平面向量

1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.

要点诠释：

（1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别.

（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.

2.平面向量的定义及表示

（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.

要点诠释：

①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.

②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.

③向量与有向线段的区别：

（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；

（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

（2）向量的表示方法:

①小写英文字母表示法: 如等.

②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.

（3）向量的分类：

固定向量：有大小、方向、作用点的向量；

自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.

要点诠释：我们学习的主要是自由向量.

专题二 第1讲 平面向量

【要点提炼】

考点一 平面向量的线性运算

1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

【热点突破】

【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →

，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )

A ．－12

B.1

2 C ．－14

D.14

【答案】 A

【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫

12CB →＋CA →

＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →

， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12

.

(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m

n ＝________.

【答案】 －2

【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m

n

＝－2.

(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →

(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)

【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →

苏教版中职数学基础模块下册说课稿平面向量的加法、减法和数乘向量

各位评委老师，大家好！我今天说课的课题是《平面向量的加法、减法和数乘向量》.

下面我从教材分析、学情分析、教学目标及重难点等六个方面进行说明.

一、教材分析：

我选用的教材是由江苏教育出版社出版，马复教授主编的“江苏省职业学校文化课教材《数学》（基础模块·下册）”.

《平面向量》具有数形双重性，不仅能方便地解决一些平面几何问题，而且能帮助我们找到解析几何中一些点的坐标之间的代数关系；平面向量的运算巧妙地把量的大小与方向结合到一起，为几何图形的角度计算提供了一个很好的代数工具；平面向量是《电工基础》中交流电电路分析和《工程力学》中力的分析、计算的主要工具.

《平面向量》安排在第七章，前承三角函数，后启直线与圆的方程.第1节通过实例引入了向量的有关概念，为《平面向量的加法、减法和数乘向量》的学习奠定了基础.本节介绍了是平面向量的三种运算，为进一步学习向量知识提供了准备.

二．学情分析：

我班学生是中职电子专业一年级学生，他们已初步了解了矢量的合

成；学习了向量的有关概念；运用到了数形结合的方法；通过一学期的共同努力，学生已具有一定的自主学习与合作学习相结合的意识；但他们动手能力不够强，数学表达和交流的能力欠缺.

三．教学目标：

结合教材和学情，我确定本节的教学目标为：

（1）理解平面向量的加法、减法和数乘向量的相关运算，并理解其代数、几何意义，掌握各类运算的代数式运算的特点.

（2）通过动手作图，进一步渗透数形结合的思想；通过学生探究，培养学生的合作意识.

AB ；字母a .

）向量的模：向量的大小叫做向量的模（向量的长度）记做：||||AB a ，

. ）定义：长度为0的向量，记作a a +-＝0．

）简单说：零向量：大小为0，方向任意．即：00＝． ）说明：零向量是向量，故零向量既有大小，又有方向的量．相等向量、相反向量，平行向量

（说明：既要考虑方向，又要考虑长度）（既要考虑方向，又要考虑长度）A

a

c a b

=＋；d b a

=＋。

即加法满足交换律。

结合律类似。

向量加法的多边形法则：

几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，

,,

AB BC CD, AB BC CD

++=

得出：多个向量的加法可以多边形法则。

AB//DC，CE//AD，点E在AB上，

AE EC CD BE

++

＋＝__________________。BC

AB BC CE AD

++

＋＝__________________

三、平面向量的减法：

1、问题1：已知向量,a b，如果a是b与另一个向量x相加所得的

和向量，即b x a

+=；那么怎样求出x?

：b BC a

+=；即：a b BC

-=；图：()

a b AC

+-=；即：a

在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

又：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

三角形法则。

D

A

D

b

a

C

A

b

a

A

图1 图2

起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是,a b的和向量

定叫做向量加法的平行四边形法则。

起点相同；②以两个向量为邻边做平行四边形；由起点指向平行四边形的