第十二章理论力学

取整体进行分析：
1、受力分析：如图； 2、运动分析： 轮O：定轴转动； 轮C：平面运动；
3、建立动力学关系 ---动能定理：
W12 T2 T1
T1 （初始时刻） 0
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2v2 ( m2 R2 2 )2 T2 （当轮O转过时） 2 2 2 2
2、刚体的内力所作的功等于零（因为任意两点间的距
离不会发生改变）；
§12-2 一、质点的动能：
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
二、质点系的动能：
1 T mi vi 2 2 三、刚体的动能：
1、平移刚体的动能：
1 2 1 2 1 2 T mi vi vC mi MvC 2 2 2
质心在几何中心C。小半径上缠绕无重细绳，绳水
平拉出后绕过无重滑轮B悬挂一质量为 mA 80 kg 的重物A。 求：若塔轮和水平地面间为纯滚动，试求C点的加速度、 绳的张力和静摩擦力；
R r C
P
B A
此题既涉及动力学第二类问题（求解运动），又涉及动力
学第一类问题（求解约束反力）。因此可以用普遍定理的 综合应用方法来进行求解：即先使用动能定理求解动力学 第二类问题（求解运动），然后再使用动量定理（质心运 动定理）和动量矩定理求解动力学先使用动能定理求解动力学第二类问题（求解运 动）： 取整体进行分析：
1、受力分析：如图；
2、运动分析：
物块A ：平动； 轮B ：定轴转动； 轮C : 平面运动； 3、建立动力学关系 ---动能定理：
W12 T2 T1
T1 0
1 2 1 1 2 2 T2 mvC J C mAv A 2 2 2
M2
s
F
做功均为零；
2）滑动摩擦力的功： （1）静滑动摩擦力的功：为零； 如：只滚不滑；
Fs
（2）动滑动摩擦力的功：不为零； 做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰链、 静滑动摩擦力等； 做功不为零的约束称为非理想约束：动滑动摩擦力；
四、物体内任意两点间的内力所做的功： 1、变形体的内力所作的功不为零（因为变形体内的任 意两点间的距离会发生改变）；
第十二章
动能定理
F

§12-1 力的功 一、常力在直线位移上所做的功：
W F s F cos s
二、变力在曲线位移上所做的功： 可以认为是无限个常力在 直线位移上所做的功的积分：
s
力在它的作用点产生的直线位移上的积累；
δW F dr
W12
M2 M1
(a )
求轮心C的加速度： 将式(a)两端对t 求导,得：
vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1
aC 2 ( M m2 gR1 sin ) (2m1 3m2 ) R1
例12-2 已知: r1 , m1 均质;杆m 均质,O1O2 =l , M=常量,纯滚动, 处于水平面内,初始静止. 求: O1O2 转过φ角的 , ; 解: 取整体进行分析： 1、受力（主动力）分析：如图； 2、运动分析：
FT 733 N
2、研究塔轮： 1）受力分析：如图；
2）运动分析：平面运动；
3）建立动力学关系 ---平面运动微分方程： （质心运动定理+动量矩定理）
maC FT1 F
且
FT1 FT
F 499 N
一、普遍定理：
质点、质点系的动力学普遍定理包括：动量定理（质 心运动定理）、动量矩定理和动能定理； 二、三个普遍定理的优缺点： 动量定理（质心运动定理）、动量矩定理： 优点：能解决动力学两类问题； 缺点：矢量形式，复杂、求解时需分解为标量式；
动能定理：
优点：标量形式，简单； 缺点：只能求解动力学第二类问题；
(t )
t 0
δW
M2 M1
F ·dr
元功
力在空间上的积累；
三、作用在物体上的外力所做的功： 1、主动力： 1）集中力的功： W M 2、约束力： 1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：
M2
1
F dr
M d
1
2）集中力偶的功： W M
2
W12 M
且
0 l , 1
1
0
1
r1

l
r1
；
∴
1 m 3m1 2 2 M ( )l 2 3 2
(a )
12M (2m 9m1 )l 2
求轮心C的加速度： 将式(a)两端对t 求导,得：
6M (2m 9m1 )l 2
§12-6
普遍定理的综合应用


2.115 rad/s2
a A 0.635 m/s 2
aC 1.269 m/s 2
二、再使用动量定理（质心运动定理）和动量矩定理求解
动力学第一类问题（求解约束反力）： 1、研究重物A：
1）受力分析：如图； 2）运动分析：平动； 3）建立动力学关系 ---质心运动定理:
mAa mA g FT
三、普遍定理的综合应用： 通常先使用动能定理求解动力学第二类问题（求解运
动），然后再使用动量定理（质心运动定理）和动量矩定
理求解动力学第一类问题（求解约束反力）；
例12-3 已知：塔轮质量m 200 kg ，大半径R 600 mm ，小半径 r 300 mm ，对轮心C的回转半径 C 400 mm ，
2、定轴转动刚体的动能：
1 1 1 2 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri J Z 2 2 2 2 2
3、平面运动刚体的动能：
1 2 1 T mvC J C 2 2 2
§12-3
动能定理
一、质点、质点系的动能定理（证明略）：
W12 mA gs
其中：
vC R
aC R
vA (R r )
aA (R r)
∴
mA gs
1 2 m( C R 2 ) mA ( R r ) 2 2 2


(a)
求C点的加速度： 将式(a)两端对t 求导,得：
2 mA gvA m( C R 2 ) mA ( R r ) 2
T2 T1 Wi
质点、质点系的动能变化等于其 所受到的所有外力和内力所做的 功的总和； 二、刚体的动能定理：
T2 T1 Wi
刚体的动能变化等于其所受到的 所有外力所做的功的总和；
例12-1 已知：轮O：R1，m1，质量分布在轮缘上; 均质轮C：R2，m2，纯滚动, 初始静止; θ、M 为常力偶。 求: 轮心C走过路程s 时的速度和加速度； 解:
轮 O （太阳轮）：静止；
2
杆 O O ：定轴转动；
1 2
轮 O（行星轮）：平面运动；
1
3、建立动力学关系 ---动能定理：
W12 T2 T1
T1 （初始时刻） 0
1 ml 2 2 1 1 m1r1 2 T2 ( ) m101 ( ) 2 T2 （当杆O1O2转过时） 2 3 2 2 2
W12 M m2 gs sin
s vC vC 且 1 , 2 ； ； R1 R1 R2
s vC 2 (2m1 3m2 ) MM ∴ m2 gs sin R1 4
vC 2 ( M m2 gR1 sin ) s R1 (2m1 3m2 )