北师大版九年级数学上册《4.1 第2课时 比例的性质》课件

第2课时 比例的性质
学习目标：
1、掌握比例的基本性质、合比性质及等比性质.
2、会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题.
重点：比例的基本性质、合比性质及等比性质.
难点：运用比例基本性质解决各类问题.
【预习案】
一、链接
1、什么叫做两条线段的比？
2、若四条线段a 、b 、c 、d 成比例线段，写出它们的比例式，并指出比例内项、比例外项和第四比例项.
3、等式有哪些性质？
二、导读
阅读课本回答下列问题：
1、比例的基本性质
（1）、比例的基本性质：如果d
c b a =，那么 （2）、请写出上述变形的过程：
（3）请用简短的语言总结下列变形的方法：
如果 d
c b a =，那么ad=bc （ ） 如果
d c b a ::=,那么bc ad =（ ）
2、等积式转化为比例式
（1）、如果bc ad =，那么 （答案不唯一）
（2）、请写出上述变形的过程，并用简短的语言总结变形的方法：
【探究案】
1、合比性质：已知：d c b a =，求证：d
d c b b a ±=±
2、等比性质：已知
a c m
b d n ==…=(b ＋d ＋…＋n ≠0)，求证：a
c a b
d b
++=++…+m …+n
【训练案】
1、如果3x-2y=0,那么
y x = .
2、若7
4=-b b a ，则b a = . 3、若2 x = 3 y = 4 z ，求
y x z y x --+2 的值.
4、已知：已知753c b a ==，求c
c b a 234+-的值.。

第四章图形的相似1成比例线段第2课时比例的性质素材一新课导入设计情景导入类比导入悬念激趣如图4－1－15①所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？图4－1－15[说明与建议] 说明：思维往往从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验做好铺垫．你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？图4－1－16①中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；图②中的鱼是将图①中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘2得到的．图4－1－16(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？(3)你还能找到其他比相等的线段吗？[说明与建议] 说明：利用前面学习过的知识——“变化的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处．借助图形的直观性来调动学生的学习兴趣，并通过三个问题引出新课．建议：可以让学生认真观察，先独立思考，后小组交流，为本节课的学习做好铺垫．素材二 教材母题挖掘80页例2在△ABC 与△DEF 中，已知AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长．【模型建立】根据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中任意一个比例式．一定要注意它的前提条件：各分母之和不等于0.【变式变形】1．已知x a ＝y b ＝z c ＝2(2a －3b ＋c≠0)，求2x －3y ＋z2a －3b ＋c的值．[答案：2]2．如图4－1－17，已知每个小方格的边长均为1，求线段AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC的周长比．图4－1－17[答案：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，△ABC 与△EDC 的周长比为2∶1]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用比例的性质求代数式的值比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质．在遇到相关问题时，要注意考虑选择适当的方法． 例 [凉山中考] 已知b a ＝513，则a －ba ＋b的值是(D )A .23B .32C .94D .49[命题角度2] 比例中的双解问题比例线段是相似三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特别是在运用等比性质时忽略分母之和不等于0的前提条件．例 若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b ＝k ，求k 的值．[答案：12或－1]素材四 教材习题答案 P80随堂练习已知a b ＝c d ＝23(b ＋d ≠0)，求a ＋c b ＋d的值．解：a ＋cb ＋d ＝23. P81习题4.21．已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，求a ＋c ＋eb ＋d ＋f的值．解：a ＋c ＋eb ＋d ＋f ＝23.2．如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比．解：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，l △ABC ∶l △EDC ＝2∶1.3．如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.你认为这个结论正确吗？为什么？解：正确．理由：∵a b ＝c d ，∴a b ＋1＝c d ＋1，a b －1＝c d －1，即a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.素材五 图书增值练习专题 综合运用比例性质 1. 若32a +＝4b ＝65c +，且2a －b ＋3c ＝21，求4a －3b ＋c 的值．2．如图，已知BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，求证：BCCA BC AB ++＝ME AE ．【知识要点】1．成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．2．比例的基本性质(1)如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ， (2)如果a b ＝b c ，那么b 2＝ac ， (3)如果a b ＝c d，那么a ±b b ＝c ±dd.【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错． 【方法技巧】1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形． 2．遇到比例式时，可设辅助未知数k ，即设这些比的比值为k ，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法． 3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解． 参考答案： 1．解：设32a +＝4b ＝65c +＝k ，则a ＋2＝3k ，b ＝4k ，c ＋5＝6k ，即a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5．∵2a －b ＋3c ＝21，∴2（3k －2）－4k ＋3（6k －5）＝21， ∴k ＝2．∴a ＝4，b ＝8，c ＝7． ∴4a－3b ＋c ＝4×4－3×8＋7＝－1．2．证明：∵BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，∴ CEBE AC AB ++＝EM AM ， 即BC AC AB +＝ME AM ，∴BC CA BC AB ++＝MEME AM +， 即BCCA BC AB ++＝ME AE ．素材六 数学素养提升比例线段错解诊所在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明. 一、对比的概念认识模糊 例1 因为a b ＝43，所以a ＝4，b ＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？ 错解 正确.因为a ＝4，b ＝3，所以a b ＝43，反过来则有a b ＝43，即a ＝4，b ＝3.剖析 a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，并不表示a ＝4，b ＝3.正解 这种说法是错误的.因为a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，它表示a ＝4k ，b ＝3k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.二、对线段比的单位认识不足例2 有两条线段，它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，则a ＝5cm ，b ＝3cm ，你认为这种说法正确吗？为什么？错解 正确.因为a ＝5cm ，b ＝3cm ，所以它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，即这种说法是正确的. 剖析 比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.正解 这种说法是错误的.因为a ∶b ＝5∶3仅表示a 、b 的比值，它表示a ＝5k ，b ＝4k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.三、忽视单位的统一例3 A 、B 两地的实际距离AB ＝250m ，画在纸上的距离A ′B ′＝5cm ，求纸上距离与实际距离的比. 错解 纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶250＝1∶50.剖析 求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.正解 因为AB ＝250m ＝25000 cm ，所以纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶25000＝1∶5000. 四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等例4 若y y x -＝mn ，求x y的值. 错解 因为y y x -＝mn ，所以,.y m y x n =⎧⎨-=⎩解得,.x m n y m =-⎧⎨=⎩所以x y ＝m n m -. 剖析 这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如24＝12，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.正解 设y y x -＝mn ＝k (k ≠0)，所以y ＝(y －x )k ，即xk ＝yk －y ＝y (k －1)，所以x y ＝1k k -＝1m n m n-＝m n m -.五、忽视使用性质的条件 例5 若a b c +＝b c a +＝c a b+＝k .求k 的值. 错解 因为a b c +＝b c a +＝c a b +＝k ，所以由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12.剖析 运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a +b +c ≠0，所以应分情况讨论. 正解 当a +b +c ≠0时，由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12；当a +b +c ＝0时，则有a +b ＝－c ，或a +c＝－b ，或b +c ＝－a ，无论哪一种情况都有k ＝－1，所以k 的值为12或－1. 六、错误地运用设k 法解题例6 已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y +3z ＝38，求3x +y －2z 的值.错解 设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.剖析 本题不能用“设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k ”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.正解 因为x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，所以可设3x ＝5y ＝6z＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.七、忽视成线段成比例的顺序性例7 已知线段a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm.试求a 、b 、c 的第四比例项x .错解 因为a 、b 、c 的第四比例项是x ，所以有x ∶a ＝b ∶c ，即x ＝abc，又a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm ，所以x ＝357⨯＝157.剖析要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.正解因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝573＝353.。

第2课时 比例的性质【教学目标】1、（理解） 能熟记比例的基本性质．2、（掌握） 能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.【教学重点】 比例的基本性质及其应用.【教学过程】一、 知识链接：1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。

（2）已知2：3＝4：x ，则x = 。

2、上节课教学了两条线段的比，成比例线段（1）比例线段及其相关概念“成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做 。

（2） “成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？线段的比是指 条线段的比的关系，成比例线段是指 条线段之间的关系。

（3）注意：概念的有序性线段的比有顺序性，a :b 和b :a 相等吗？请举例说明。

成比例线段也有顺序性，如dc b a =能说成是b 、a 、c 、d 成比例吗？请举例说明。

二、 预习交流： （1） 比例的基本性质是： 。

请写出推理过程：∵d c b a =，在两边同乘以bd 得，a b ⨯ =c d⨯ ∴ = （2） 合比性质:如果d c b a =，那么a b b += 请写出推理过程：∵d c b a =，在两边同时加上1得，a b + =c d+ . 两边分别通分得： a b c d b d++=思考：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么d d c b b a -=-”． （3） 等比性质： 猜想nm f e d c b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ），与n f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝ba ． 思考：等比性质中，为什么要0≠+⋅⋅⋅++n db 这个条件？三、 巩固练习：1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么，该建筑的高是多少米？2．若:2(4):4x x =-则x =3．若2x =0234x y z ==≠，则2x y z x--=四、 本课小结： 1．比例的基本性质：a :b =c :d ⇔ ；2. 合比性质：如果dc b a =，那么 ； 3. 等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ）， 五、 布置作业：课本习题4.2。

第2课时 比例的性质1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）一、情景导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋n＝a b. 这样表示的数学根据是什么？ 二、合作探究探究点一：比例的基本性质已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值.解：解法1：由比例的基本性质，得2（a ＋3b ）＝7×2b . ∴a ＝4b ，∴ab＝4.解法2：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3bb ＝7，∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴ab＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.探究点二：等比性质（1）已知a ：b ：c ＝3：4：5，求2a －3b ＋ca ＋b的值； （2）已知a b ＝c d ＝ef＝2，且b ＋d ＋f ≠0，求a －2c ＋3eb －2d ＋3f的值. 解析：（1）利用“引入参数法”，把a ，b ，c 用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式求值；（2）应用比例的等比性质，表示出a 与b 、c 与d 、e 与f 三组量之间的倍数关系，再代入原代数式求值.解：（1）设a ：b ：c ＝3：4：5＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∴2a －3b ＋ca ＋b＝6k －12k ＋5k 3k ＋4k＝－k 7k ＝－17； （2）∵a b ＝c d ＝e f ＝2，∴a b ＝－2c －2d ＝3e3f ＝2，∴a －2c ＋3eb －2d ＋3f＝2. 方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他的量都统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果a b ＝c d ＝…＝mn（b ＋d ＋…＋n ≠0），则a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋m ＝ab，转化后求分式的值.若a ，b ，c 都是不等于零的数，且a ＋b c ＝b ＋c a＝c ＋ab＝k ，求k 的值. 解：当a ＋b ＋c ≠0时，由a ＋b c ＝b ＋ca ＝c ＋ab＝k ， 得a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a a ＋b ＋c ＝k ，则k ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，则有a ＋b ＝－c . 此时k ＝a ＋b c ＝－cc ＝－1.综上所述，k 的值是2或－1.易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a ＋b ＋c ≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a ＋b ＋c ＝0这种情况.三、板书设计 比例的性质错误!经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.。

第2课时 比例的性质1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）一、情景导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋n＝a b. 这样表示的数学根据是什么？ 二、合作探究探究点一：比例的基本性质已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值.解：解法1：由比例的基本性质，得2（a ＋3b ）＝7×2b . ∴a ＝4b ，∴ab＝4.解法2：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3bb ＝7，∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴ab＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.探究点二：等比性质（1）已知a ：b ：c ＝3：4：5，求2a －3b ＋ca ＋b的值； （2）已知a b ＝c d ＝ef＝2，且b ＋d ＋f ≠0，求a －2c ＋3eb －2d ＋3f的值. 解析：（1）利用“引入参数法”，把a ，b ，c 用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式求值；（2）应用比例的等比性质，表示出a 与b 、c 与d 、e 与f 三组量之间的倍数关系，再代入原代数式求值.解：（1）设a ：b ：c ＝3：4：5＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∴2a －3b ＋ca ＋b＝6k －12k ＋5k 3k ＋4k＝－k 7k ＝－17； （2）∵a b ＝c d ＝e f ＝2，∴a b ＝－2c －2d ＝3e3f ＝2，∴a －2c ＋3eb －2d ＋3f＝2. 方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他的量都统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果a b ＝c d ＝…＝mn（b ＋d ＋…＋n ≠0），则a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋m ＝ab，转化后求分式的值.若a ，b ，c 都是不等于零的数，且a ＋b c ＝b ＋c a＝c ＋ab＝k ，求k 的值. 解：当a ＋b ＋c ≠0时，由a ＋b c ＝b ＋ca ＝c ＋ab＝k ， 得a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a a ＋b ＋c ＝k ，则k ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，则有a ＋b ＝－c . 此时k ＝a ＋b c ＝－cc ＝－1.综上所述，k 的值是2或－1.易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a ＋b ＋c ≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a ＋b ＋c ＝0这种情况.三、板书设计 比例的性质错误!经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.。